យើងបានណែនាំសមីការខាងលើក្នុង§ 7។ ជាដំបូង សូមអោយយើងរំលឹកឡើងវិញនូវអ្វីដែលជាការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល។ នេះគឺជាកន្សោមពិជគណិតដែលបង្កើតឡើងដោយលេខ និងអថេរ x ដោយប្រើប្រតិបត្តិការបូក ដក គុណ ចែក និងនិទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។
ប្រសិនបើ r(x) ជាកន្សោមសមហេតុផល នោះសមីការ r(x) = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការសនិទាន។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្តវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើការបកស្រាយទូលំទូលាយបន្តិចនៃពាក្យ "សមីការសមហេតុផល"៖ នេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ h(x) = q(x) ដែល h(x) និង q(x) គឺ កន្សោមសមហេតុផល។
រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងមិនអាចដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលណាមួយបានឡើយ ប៉ុន្តែមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ ដែលជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ និងហេតុផលផ្សេងៗ ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា សមីការលីនេអ៊ែរ. ឥឡូវនេះសមត្ថភាពរបស់យើងគឺធំជាងនេះ៖ យើងនឹងអាចដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលដែលកាត់បន្ថយមិនត្រឹមតែជាលីនេអ៊ែរប៉ុណ្ណោះទេ
mu, ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់សមីការការ៉េ។
ចូរយើងរំលឹកពីរបៀបដែលយើងបានដោះស្រាយសមីការសនិទានពីមុន ហើយព្យាយាមបង្កើតក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ។
ឧទាហរណ៍ ១.ដោះស្រាយសមីការ
ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់
ក្នុងករណីនេះ ជាធម្មតា យើងទាញយកអត្ថប្រយោជន៍ពីការពិតដែលថាសមភាព A = B និង A - B = 0 បង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដូចគ្នារវាង A និង B ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ទីពាក្យទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយ។
ចូរបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ យើងមាន
ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌនៃសមភាព ប្រភាគសូន្យ៖ ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើទំនាក់ទំនងពីរត្រូវបានពេញចិត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា៖
1) ភាគយកនៃប្រភាគគឺសូន្យ (a = 0); 2) ភាគបែងនៃប្រភាគគឺខុសពីសូន្យ)។
សមីការភាគយកនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (1) ដល់សូន្យ យើងទទួលបាន
វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌទីពីរដែលបានចង្អុលបង្ហាញខាងលើ។ ទំនាក់ទំនងមានន័យថាសម្រាប់សមីការ (1) នោះ។ តម្លៃ x 1 = 2 និង x 2 = 0.6 បំពេញទំនាក់ទំនងដែលបានចង្អុលបង្ហាញហើយដូច្នេះបម្រើជាឫសគល់នៃសមីការ (1) ហើយក្នុងពេលតែមួយឫសនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
1) ចូរយើងបំប្លែងសមីការទៅជាទម្រង់
២) ចូរយើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះ៖
(ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងលេខភាគនិង
ប្រភាគ) ។
ដូច្នេះ សមីការដែលបានផ្តល់ឲ្យយកទម្រង់
3) ស្រាយសមីការ x 2 − 6x + 8 = 0. រក
4) សម្រាប់តម្លៃដែលបានរកឃើញ សូមពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌ 
. លេខ 4 បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ ប៉ុន្តែលេខ 2 មិនពេញចិត្ត។ នេះមានន័យថា 4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយ 2 គឺជាឫសខាងក្រៅ។
ចម្លើយ៖ ៤.
2. ការដោះស្រាយសមីការសនិទានភាពដោយការណែនាំអថេរថ្មីមួយ
វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីគឺស៊ាំនឹងអ្នក យើងបានប្រើវាច្រើនជាងម្តង។ ចូរយើងបង្ហាញជាមួយឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលវាត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការសនិទាន។
ឧទាហរណ៍ ៣.ដោះស្រាយសមីការ x 4 + x 2 − 20 = 0 ។
ដំណោះស្រាយ។ សូមណែនាំអថេរថ្មី y = x 2 ។ ចាប់តាំងពី x 4 = (x 2) 2 = y 2 នោះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា
y 2 + y − 20 = 0 ។
នេះគឺជាសមីការ quadratic ឫសគល់នៃការដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើស្គាល់ រូបមន្ត; យើងទទួលបាន y 1 = 4, y 2 = − 5 ។
ប៉ុន្តែ y = x 2 ដែលមានន័យថាបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការពីរ៖
x 2 = 4; x 2 = −5 ។
ពីសមីការទីមួយ យើងឃើញថាសមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ។
ចម្លើយ៖ ។
សមីការនៃទម្រង់ ax 4 + bx 2 + c = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ biquadratic ("bi" គឺពីរ ឧ. ប្រភេទនៃសមីការ "quadratic ទ្វេ")។ សមីការដែលទើបតែបានដោះស្រាយគឺជាពីរចតុកោណយ៉ាងជាក់លាក់។ សមីការ biquadratic ណាមួយត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងសមីការពីឧទាហរណ៍ទី 3៖ ណែនាំអថេរថ្មី y = x 2 ដោះស្រាយសមីការការ៉េលទ្ធផលទាក់ទងនឹងអថេរ y ហើយបន្ទាប់មកត្រឡប់ទៅអថេរ x ។
ឧទាហរណ៍ 4 ។ដោះស្រាយសមីការ
ដំណោះស្រាយ។ ចំណាំថាកន្សោមដូចគ្នា x 2 + 3x លេចឡើងពីរដងនៅទីនេះ។ នេះមានន័យថាវាសមហេតុផលក្នុងការណែនាំអថេរថ្មី y = x 2 + 3x ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញ និងរីករាយជាងនេះ (ដែលតាមពិត គឺជាគោលបំណងនៃការណែនាំថ្មី អថេរ- និងសម្រួលការថត
កាន់តែច្បាស់ ហើយរចនាសម្ព័ន្ធនៃសមីការកាន់តែច្បាស់)៖
ឥឡូវនេះ ចូរយើងប្រើក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសនិទាន។
1) ចូរផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការទៅជាផ្នែកមួយ៖
= 0
2) ផ្លាស់ប្តូរផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ
ដូច្នេះ យើងបានបំប្លែងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់
3) ពីសមីការ - 7y 2 + 29y -4 = 0 យើងរកឃើញ (អ្នកនិងខ្ញុំបានដោះស្រាយសមីការការ៉េជាច្រើនរួចហើយ ដូច្នេះវាប្រហែលជាមិនមានតម្លៃដែលតែងតែផ្តល់ការគណនាលម្អិតនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា)។
4) ចូរយើងពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញដោយប្រើលក្ខខណ្ឌ 5 (y - 3) (y + 1) ។ ឫសទាំងពីរបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ។
ដូច្នេះ សមីការការ៉េសម្រាប់អថេរ y ត្រូវបានដោះស្រាយ៖ 
ចាប់តាំងពី y = x 2 + 3x និង y ដូចដែលយើងបានបង្កើត យកតម្លៃពីរ៖ 4 និង , យើងនៅតែត្រូវដោះស្រាយសមីការពីរ: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . ឫសនៃសមីការទីមួយគឺលេខ 1 និង - 4 ឫសនៃសមីការទីពីរគឺជាលេខ
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ គឺដូចដែលគណិតវិទូចង់និយាយថា គ្រប់គ្រាន់ទៅនឹងស្ថានភាព ពោលគឺវាត្រូវគ្នាយ៉ាងល្អទៅនឹងវា។ ហេតុអ្វី? បាទ/ចាស ពីព្រោះកន្សោមដូចគ្នាបានលេចឡើងយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងសមីការជាច្រើនដង ហើយមានហេតុផលក្នុងការកំណត់កន្សោមនេះជាមួយនឹងអក្សរថ្មី។ ប៉ុន្តែវាមិនតែងតែកើតឡើងទេ ជួនកាលអថេរថ្មី "លេចឡើង" តែក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការផ្លាស់ប្តូរ។ នេះគឺជាអ្វីដែលនឹងកើតឡើងនៅក្នុងឧទាហរណ៍បន្ទាប់។
ឧទាហរណ៍ 5 ។ដោះស្រាយសមីការ
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24 ។
ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន
x(x − 3) = x 2 − 3x;
(x − 1)(x − 2) = x 2 − Зx+2 ។
នេះមានន័យថាសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់
(x 2 − 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
ឥឡូវនេះអថេរថ្មីមួយបាន "លេចឡើង"៖ y = x 2 - 3x ។
ដោយមានជំនួយរបស់វា សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ y (y + 2) = 24 ហើយបន្ទាប់មក y 2 + 2y - 24 = 0 ។ ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺលេខ 4 និង -6 ។
ត្រលប់ទៅអថេរ x ដើម យើងទទួលបានសមីការពីរ x 2 − 3x = 4 និង x 2 − 3x = − 6. ពីសមីការដំបូងយើងរកឃើញ x 1 = 4, x 2 = − 1; សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ។
ចម្លើយ៖ ៤, - ១។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
ការអប់រំ៖
- ការបង្កើតគំនិតនៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ;
- ពិចារណាវិធីផ្សេងៗដើម្បីដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ;
- ពិចារណាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភាគ រួមទាំងលក្ខខណ្ឌដែលប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ។
- បង្រៀនការដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលប្រភាគដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ;
- ពិនិត្យកម្រិតនៃភាពជាម្ចាស់នៃប្រធានបទដោយធ្វើតេស្ត។
ការអភិវឌ្ឍន៍៖
- អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការប្រតិបត្តិបានត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងចំណេះដឹងដែលទទួលបាន និងគិតដោយសមហេតុផល។
- ការអភិវឌ្ឍជំនាញបញ្ញា និងប្រតិបត្តិការផ្លូវចិត្ត - ការវិភាគ សំយោគ ការប្រៀបធៀប និងទូទៅ។
- ការអភិវឌ្ឍនៃការផ្តួចផ្តើម, សមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការសម្រេចចិត្ត, និងមិនបញ្ឈប់នៅទីនោះ;
- ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតរិះគន់;
- ការអភិវឌ្ឍជំនាញស្រាវជ្រាវ។
ការអប់រំ៖
- ជំរុញចំណាប់អារម្មណ៍ការយល់ដឹងលើប្រធានបទ;
- ជំរុញឯករាជ្យភាពក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាអប់រំ;
- ការចិញ្ចឹមបីបាច់ឆន្ទៈ និងការតស៊ូដើម្បីសម្រេចបានលទ្ធផលចុងក្រោយ។
ប្រភេទមេរៀន៖ មេរៀន - ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មី។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់
1. ពេលរៀបចំ។
សួស្តីបងប្អូន! មានសមីការដែលសរសេរនៅលើក្ដារខៀន សូមក្រឡេកមើលពួកវាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ តើអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការទាំងអស់នេះបានទេ? តើមួយណាមិនមែន ហើយហេតុអ្វី?
សមីការដែលផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំជាប្រភាគប្រភាគកន្សោមត្រូវបានគេហៅថា សមីការសនិទានភាពប្រភាគ។ តើអ្នកគិតថាយើងនឹងសិក្សាអ្វីនៅក្នុងថ្នាក់ថ្ងៃនេះ? បង្កើតប្រធានបទនៃមេរៀន។ ដូច្នេះ សូមបើកសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក ហើយសរសេរប្រធានបទនៃមេរៀន “ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ”។
2. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង។ ការស្ទង់មតិខាងមុខ ការងារផ្ទាល់មាត់ជាមួយថ្នាក់។
ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងនិយាយឡើងវិញនូវសម្ភារៈទ្រឹស្តីសំខាន់ៗដែលយើងនឹងត្រូវសិក្សាប្រធានបទថ្មីមួយ។ សូមឆ្លើយសំណួរខាងក្រោម៖
- តើសមីការគឺជាអ្វី? ( សមភាពជាមួយអថេរ ឬអថេរ.)
- តើសមីការលេខ ១ មានឈ្មោះអ្វី? ( លីនេអ៊ែរ.) វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ ( ផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ លេខទាំងអស់ទៅខាងស្តាំ។ ផ្តល់លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា។ ស្វែងរកកត្តាដែលមិនស្គាល់).
- តើសមីការលេខ ៣ មានឈ្មោះអ្វី? ( ការ៉េ។) វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ ( ញែកការ៉េពេញលេញដោយប្រើរូបមន្តដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និងផ្នែករួមរបស់វា។.)
- តើសមាមាត្រគឺជាអ្វី? ( សមភាពនៃសមាមាត្រពីរ.) ទ្រព្យសំខាន់នៃសមាមាត្រ។ ( ប្រសិនបើសមាមាត្រត្រឹមត្រូវ នោះផលិតផលនៃលក្ខខណ្ឌខ្លាំងរបស់វាស្មើនឹងផលិតផលនៃលក្ខខណ្ឌកណ្តាល.)
- តើលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះដែលត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការ? ( 1. ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ទីពាក្យក្នុងសមីការពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀត ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា អ្នកនឹងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ 2. ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានគុណ ឬចែកដោយលេខដែលមិនមែនជាសូន្យដូចគ្នា អ្នកនឹងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។.)
- តើប្រភាគស្មើនឹងសូន្យនៅពេលណា? ( ប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលភាគយកជាសូន្យ ហើយភាគបែងមិនមែនជាសូន្យ។.)
3. ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មី។
ដោះស្រាយសមីការលេខ 2 នៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក និងនៅលើក្តារ។
ចម្លើយ: 10.
តើសមីការប្រភាគប្រភាគដែលអ្នកអាចព្យាយាមដោះស្រាយដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃសមាមាត្រ? (លេខ 5) ។
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 −6x−x 2 −5x = 6−8
ដោះស្រាយសមីការលេខ 4 នៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក និងនៅលើក្តារ។
ចម្លើយ: 1,5.
តើសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគអ្វីដែលអ្នកអាចព្យាយាមដោះស្រាយដោយគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយភាគបែង? (លេខ 6) ។
x 2 −7x+12 = 0
D=1›0, x 1=3, x 2=4 ។
ចម្លើយ: 3;4.
ឥឡូវនេះព្យាយាមដោះស្រាយសមីការលេខ 7 ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តមួយខាងក្រោម។
(x 2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x 2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 |
x 2 −2x −5 = x + 5 |
||
x(x-5)(x 2-2x-5-(x+5))=0 |
x 2 -2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x 2-3x-10)=0 |
|||
x=0 x-5=0 x 2-3x-10=0 |
|||
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49 |
|||
x 3 = 5 x 4 = −2 |
x 3 = 5 x 4 = −2 |
||
ចម្លើយ: 0;5;-2. |
ចម្លើយ: 5;-2. |
ពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង? ហេតុអ្វីបានជាមានឫសបីក្នុងករណីមួយ និងពីរក្នុងករណីផ្សេងទៀត? តើលេខអ្វីខ្លះជាឫសគល់នៃសមីការប្រភាគប្រភាគនេះ?
រហូតមកដល់ពេលនេះ សិស្សមិនទាន់បានជួបប្រទះនូវគោលគំនិតនៃឫសគល់ខាងក្រៅនោះទេ វាពិតជាពិបាកណាស់សម្រាប់ពួកគេក្នុងការយល់អំពីមូលហេតុដែលរឿងនេះកើតឡើង។ ប្រសិនបើគ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងថ្នាក់អាចពន្យល់បានច្បាស់លាស់អំពីស្ថានភាពនេះទេ នោះគ្រូនឹងសួរសំណួរនាំមុខ។
- តើសមីការលេខ 2 និង 4 ខុសគ្នាពីសមីការលេខ 5,6,7 យ៉ាងដូចម្តេច? ( នៅក្នុងសមីការលេខ 2 និងទី 4 មានលេខនៅក្នុងភាគបែង លេខ 5-7 គឺជាកន្សោមដែលមានអថេរ.)
- តើអ្វីជាឫសគល់នៃសមីការ? ( តម្លៃនៃអថេរដែលសមីការក្លាយជាការពិត.)
- តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតើចំនួនគឺជាឫសនៃសមីការ? ( ធ្វើការត្រួតពិនិត្យ.)
ពេលធ្វើតេស្ត សិស្សខ្លះកត់សម្គាល់ថាត្រូវចែកនឹងសូន្យ។ ពួកគេសន្និដ្ឋានថាលេខ 0 និង 5 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការនេះទេ។ សំណួរកើតឡើង៖ តើមានវិធីដោះស្រាយសមីការប្រភាគដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងលុបបំបាត់កំហុសនេះទេ? បាទ/ចាស វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌដែលប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ។
x 2 −3x-10=0, D=49, x 1=5, x 2 = −2 ។
ប្រសិនបើ x = 5 បន្ទាប់មក x (x-5) = 0 ដែលមានន័យថា 5 គឺជាឫសបន្ថែម។
ប្រសិនបើ x=-2 នោះ x(x-5)≠0។
ចម្លើយ: -2.
ចូរយើងព្យាយាមបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគតាមវិធីនេះ។ កុមារបង្កើតក្បួនដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។
ក្បួនដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ៖
- ផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅខាងឆ្វេង។
- កាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងរួម។
- បង្កើតប្រព័ន្ធ៖ ប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលភាគយកស្មើសូន្យ ហើយភាគបែងមិនស្មើនឹងសូន្យ។
- ដោះស្រាយសមីការ។
- ពិនិត្យភាពមិនស្មើគ្នាដើម្បីដកឫសខាងក្រៅ។
- សរសេរចម្លើយ។
ការពិភាក្សា៖ របៀបបង្កើតដំណោះស្រាយជាផ្លូវការ ប្រសិនបើអ្នកប្រើទ្រព្យសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃសមាមាត្រ និងគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយភាគបែងរួម។ (បន្ថែមលើដំណោះស្រាយ៖ ដកចេញពីឫសរបស់វា ដែលធ្វើឲ្យភាគបែងរួមរលាយបាត់)។
4. ការយល់ដឹងបឋមនៃសម្ភារៈថ្មី។
ធ្វើការជាគូរ។ សិស្សជ្រើសរើសរបៀបដោះស្រាយសមីការដោយខ្លួនឯង អាស្រ័យលើប្រភេទនៃសមីការ។ កិច្ចការពីសៀវភៅសិក្សា “ពិជគណិត ៨” Yu.N. Makarychev, 2007: លេខ 600(b,c,i); លេខ 601(a,e,g)។ គ្រូតាមដានការបញ្ចប់ភារកិច្ច ឆ្លើយសំណួរណាមួយដែលកើតឡើង និងផ្តល់ជំនួយដល់សិស្សដែលមានសមត្ថភាពទាប។ តេស្តដោយខ្លួនឯង៖ ចម្លើយត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារខៀន។
ខ) 2 - ឫសខាងក្រៅ។ ចម្លើយ៖ ៣.
គ) 2 - ឫសខាងក្រៅ។ ចម្លើយ៖ ១.៥ ។
ក) ចម្លើយ៖ -12.5 ។
g) ចម្លើយ៖ ១;១.៥។
5. កំណត់កិច្ចការផ្ទះ។
- អានកថាខណ្ឌទី 25 ពីសៀវភៅសិក្សា វិភាគឧទាហរណ៍ 1-3 ។
- រៀនក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។
- ដោះស្រាយនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រាលេខ 600 (a, d, e); លេខ 601(g,h)។
- ព្យាយាមដោះស្រាយលេខ 696(a) (ស្រេចចិត្ត)។
6. ការបំពេញភារកិច្ចត្រួតពិនិត្យលើប្រធានបទដែលបានសិក្សា។
ការងារត្រូវបានធ្វើនៅលើក្រដាស។
ឧទាហរណ៍កិច្ចការ៖
ក) តើសមីការមួយណាជាប្រភាគសមហេតុផល?
ខ) ប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលភាគយកគឺ ______________________ ហើយភាគបែងគឺ __________________________ ។
សំណួរ) តើលេខ -3 ជាឫសនៃសមីការលេខ 6 មែនទេ?
ឃ) ដោះស្រាយសមីការលេខ 7 ។
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យវាយតម្លៃសម្រាប់ការងារ៖
- "5" ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើសិស្សបានបញ្ចប់កិច្ចការច្រើនជាង 90% ត្រឹមត្រូវ។
- "4" - 75%-89%
- "3" - 50%-74%
- "2" ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសិស្សដែលបានបញ្ចប់ការងារតិចជាង 50% ។
- ការវាយតម្លៃ 2 មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិទេ 3 គឺស្រេចចិត្ត។
7. ការឆ្លុះបញ្ចាំង។
នៅលើសន្លឹកកិច្ចការឯករាជ្យ សូមសរសេរ៖
- 1 - ប្រសិនបើមេរៀនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍និងអាចយល់បានសម្រាប់អ្នក;
- 2 - គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ប៉ុន្តែមិនច្បាស់;
- 3 - មិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍, ប៉ុន្តែអាចយល់បាន;
- ៤- មិនចាប់អារម្មណ៍ មិនច្បាស់។
8. សង្ខេបមេរៀន។
ដូច្នេះ ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀន យើងបានស្គាល់សមីការប្រភាគប្រភាគ រៀនដោះស្រាយសមីការទាំងនេះតាមវិធីផ្សេងៗ និងសាកល្បងចំណេះដឹងរបស់យើង ដោយមានជំនួយពីការងារអប់រំឯករាជ្យ។ អ្នកនឹងរៀនពីលទ្ធផលនៃការងារឯករាជ្យរបស់អ្នកនៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ ហើយនៅផ្ទះអ្នកនឹងមានឱកាសដើម្បីបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងរបស់អ្នក។
តើវិធីសាស្រ្តមួយណាក្នុងការដោះស្រាយសមីការប្រភាគតាមគំនិតរបស់អ្នក ងាយស្រួលជាង ងាយស្រួលប្រើ និងសមហេតុផលជាង? ដោយមិនគិតពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ តើអ្នកគួរចងចាំអ្វីខ្លះ? តើអ្វីទៅជា "ល្បិចកល" នៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ?
អរគុណអ្នកទាំងអស់គ្នា មេរៀនបានបញ្ចប់ហើយ។
នៅក្នុងអត្ថបទនេះខ្ញុំនឹងបង្ហាញអ្នក។ ក្បួនដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលប្រាំពីរប្រភេទដែលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា quadratic ដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។ ក្នុងករណីភាគច្រើន ការបំប្លែងដែលនាំទៅរកការជំនួសគឺមិនមែនជារឿងតូចតាចទេ ហើយវាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការទាយអំពីពួកវាដោយខ្លួនឯង។
សម្រាប់ប្រភេទសមីការនីមួយៗ ខ្ញុំនឹងពន្យល់ពីរបៀបធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរនៅក្នុងវា ហើយបន្ទាប់មកបង្ហាញដំណោះស្រាយលម្អិតនៅក្នុងវីដេអូបង្រៀនដែលត្រូវគ្នា។
អ្នកមានឱកាសបន្តការដោះស្រាយសមីការដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយរបស់អ្នកជាមួយនឹងមេរៀនវីដេអូ។
ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
ចំណាំថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការមានផលិតផលនៃតង្កៀបបួន ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំមានលេខ។
1. ចូរដាក់តង្កៀបជាពីរ ដូច្នេះផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរគឺដូចគ្នា។
2. គុណពួកគេ។
3. ចូរយើងណែនាំការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ។
នៅក្នុងសមីការរបស់យើង យើងនឹងដាក់តង្កៀបទីមួយជាមួយទីបី និងទីពីរជាមួយទីបួន ចាប់តាំងពី (-1)+(-4)=(-7)+2:
នៅចំណុចនេះ ការជំនួសអថេរក្លាយជាជាក់ស្តែង៖
យើងទទួលបានសមីការ 
ចម្លើយ៖ 
2 .
សមីការនៃប្រភេទនេះគឺស្រដៀងគ្នានឹងលេខមុនដែលមានភាពខុសគ្នាមួយ៖ នៅផ្នែកខាងស្ដាំនៃសមីការគឺជាផលគុណនៃចំនួននិង . ហើយវាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបខុសគ្នាទាំងស្រុង៖
1. យើងដាក់តង្កៀបដោយពីរ ដូច្នេះផលិតផលនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺដូចគ្នា។
2. គុណគូតង្កៀបនីមួយៗ។
3. យើងយក x ចេញពីកត្តានីមួយៗ។
4. ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ .
5. យើងណែនាំការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ។
នៅក្នុងសមីការនេះ យើងដាក់តង្កៀបទីមួយជាមួយតង្កៀបទីបួន និងទីពីរជាមួយទីបី ចាប់តាំងពី៖
ចំណាំថានៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ មេគុណនៅ និងពាក្យទំនេរគឺដូចគ្នា។ ចូរយកកត្តាចេញពីតង្កៀបនីមួយៗ៖
ដោយសារ x=0 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការដើម យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ . យើងទទួលបាន:
យើងទទួលបានសមីការ៖ 
ចម្លើយ៖ 
3
. 
ចំណាំថាភាគបែងនៃប្រភាគទាំងពីរមាន trinomials quadratic ដែលមេគុណនាំមុខ និងពាក្យសេរីគឺដូចគ្នា។ ចូរយើងយក x ចេញពីតង្កៀប ដូចនៅក្នុងសមីការនៃប្រភេទទីពីរ។ យើងទទួលបាន:
ចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗដោយ x៖
ឥឡូវនេះយើងអាចណែនាំការជំនួសអថេរ៖
យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់អថេរ t:
4 .
ចំណាំថាមេគុណនៃសមីការគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពទៅកណ្តាលមួយ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា អាចត្រឡប់មកវិញបាន។ .
ដើម្បីដោះស្រាយវា,
1. ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ (យើងអាចធ្វើវាបានព្រោះ x=0 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការ។) យើងទទួលបាន៖
2. ចូរដាក់ពាក្យជាក្រុមតាមវិធីនេះ៖
3. នៅក្នុងក្រុមនីមួយៗ ចូរយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប៖
4. សូមណែនាំការជំនួស៖
5. បញ្ចេញមតិតាមរយៈ t កន្សោម៖
ពីទីនេះ 
យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់ t:
ចម្លើយ៖
5. សមីការដូចគ្នា។
សមីការដែលមានរចនាសម្ព័ន្ធដូចគ្នាអាចត្រូវបានជួបប្រទះនៅពេលដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និងត្រីកោណមាត្រ ដូច្នេះអ្នកត្រូវអាចស្គាល់វាបាន។
សមីការ homogeneous មានរចនាសម្ព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ
នៅក្នុងសមភាពនេះ A, B និង C គឺជាលេខ ហើយការ៉េ និងរង្វង់បង្ហាញពីកន្សោមដូចគ្នា។ នោះគឺនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដូចគ្នាមានផលបូកនៃ monomials មានដឺក្រេដូចគ្នា (ក្នុងករណីនេះកម្រិតនៃ monomials គឺ 2) ហើយមិនមានពាក្យឥតគិតថ្លៃទេ។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា សូមបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ
យកចិត្តទុកដាក់! នៅពេលបែងចែកផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃសមីការដោយកន្សោមដែលមិនស្គាល់ អ្នកអាចបាត់បង់ឫស។ ដូច្នេះ ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលថាតើឫសគល់នៃសមីការដែលយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។
តោះទៅវិធីទីមួយ។ យើងទទួលបានសមីការ៖
ឥឡូវនេះយើងណែនាំការជំនួសអថេរ៖
ចូរយើងសម្រួលការបញ្ចេញមតិ និងទទួលបានសមីការ biquadratic សម្រាប់ t:
ចម្លើយ៖ឬ
7
. 
សមីការនេះមានរចនាសម្ព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ
ដើម្បីដោះស្រាយវា អ្នកត្រូវជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញមួយនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ។
ដើម្បីជ្រើសរើសការ៉េពេញ អ្នកត្រូវបន្ថែម ឬដកផលិតផលពីរដង។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានការ៉េនៃផលបូកឬភាពខុសគ្នា។ នេះមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការជំនួសអថេរជោគជ័យ។
ចូរចាប់ផ្តើមដោយស្វែងរកផលិតផលពីរដង។ នេះនឹងជាគន្លឹះក្នុងការជំនួសអថេរ។ នៅក្នុងសមីការរបស់យើង ផលិតផលពីរដងស្មើនឹង
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើអ្វីដែលងាយស្រួលជាងសម្រាប់យើងមាន - ការេនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នា។ ដំបូងយើងពិចារណាផលបូកនៃកន្សោម៖
អស្ចារ្យ! កន្សោមនេះគឺពិតជាស្មើនឹងផលិតផលពីរដង។ បន្ទាប់មក ដើម្បីទទួលបានការេនៃផលបូកក្នុងតង្កៀប អ្នកត្រូវបន្ថែម និងដកផលិតផលទ្វេរ៖
Smirnova Anastasia Yurievna
ប្រភេទមេរៀន៖មេរៀននៃការរៀនសម្ភារៈថ្មី។
ទម្រង់នៃការរៀបចំសកម្មភាពអប់រំ: frontal, បុគ្គល។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖ ដើម្បីណែនាំប្រភេទសមីការសមីការប្រភាគ - សមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ ដើម្បីផ្តល់គំនិតអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគ។
គោលបំណងនៃមេរៀន។
ការអប់រំ៖
- ការបង្កើតគំនិតនៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ;
- ពិចារណាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភាគ រួមទាំងលក្ខខណ្ឌដែលប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ។
- បង្រៀនការដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលប្រភាគដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ។
ការអភិវឌ្ឍន៍៖
- បង្កើតលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍជំនាញក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងដែលទទួលបាន;
- លើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍចំណាប់អារម្មណ៍នៃការយល់ដឹងរបស់សិស្សនៅក្នុងប្រធានបទ;
- អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពរបស់សិស្សក្នុងការវិភាគ ប្រៀបធៀប និងទាញការសន្និដ្ឋាន;
- ការអភិវឌ្ឍជំនាញនៃការគ្រប់គ្រងគ្នាទៅវិញទៅមក និងការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង ការយកចិត្តទុកដាក់ ការចងចាំ ការនិយាយផ្ទាល់មាត់ និងការសរសេរ ឯករាជ្យភាព។
ការអប់រំ៖
- ជំរុញចំណាប់អារម្មណ៍ការយល់ដឹងលើប្រធានបទ;
- ជំរុញឯករាជ្យភាពក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាអប់រំ;
- ការចិញ្ចឹមបីបាច់ឆន្ទៈ និងការតស៊ូដើម្បីសម្រេចបានលទ្ធផលចុងក្រោយ។
ឧបករណ៍៖សៀវភៅសិក្សា ក្តារខៀន ក្ដាម។
សៀវភៅសិក្សា "ពិជគណិត 8" ។ Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, កែសម្រួលដោយ S.A. Telyakovsky ។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ "ការត្រាស់ដឹង" ។ ឆ្នាំ ២០១០
ប្រាំម៉ោងត្រូវបានបែងចែកសម្រាប់ប្រធានបទនេះ។ នេះជាមេរៀនដំបូង។ រឿងចំបងគឺសិក្សាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ ហើយអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយនេះក្នុងលំហាត់។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់
1. ពេលរៀបចំ។
សួស្តីបងប្អូន! ថ្ងៃនេះខ្ញុំចង់ចាប់ផ្តើមមេរៀនរបស់យើងជាមួយ quatrain:
ដើម្បីធ្វើឱ្យជីវិតកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា,
អ្វីដែលត្រូវបានសម្រេច, អ្វីដែលអាចធ្វើទៅបាន,
ញញឹម សំណាងល្អទាំងអស់គ្នា
ដើម្បីកុំឱ្យមានបញ្ហា,
យើងញញឹមដាក់គ្នាទៅវិញទៅមក បង្កើតអារម្មណ៍ល្អ ហើយចាប់ផ្តើមធ្វើការ។
មានសមីការដែលសរសេរនៅលើក្ដារខៀន សូមក្រឡេកមើលពួកវាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ តើអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការទាំងអស់នេះបានទេ? តើមួយណាមិនមែន ហើយហេតុអ្វី?
សមីការដែលផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំជាប្រភាគប្រភាគកន្សោមត្រូវបានគេហៅថា សមីការសនិទានភាពប្រភាគ។ តើអ្នកគិតថាយើងនឹងសិក្សាអ្វីនៅក្នុងថ្នាក់ថ្ងៃនេះ? បង្កើតប្រធានបទនៃមេរៀន។ ដូច្នេះ សូមបើកសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក ហើយសរសេរប្រធានបទនៃមេរៀន “ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ”។
2. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង។ ការស្ទង់មតិខាងមុខ ការងារផ្ទាល់មាត់ជាមួយថ្នាក់។
ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងនិយាយឡើងវិញនូវសម្ភារៈទ្រឹស្តីសំខាន់ៗដែលយើងនឹងត្រូវសិក្សាប្រធានបទថ្មីមួយ។ សូមឆ្លើយសំណួរខាងក្រោម៖
- តើសមីការគឺជាអ្វី? ( សមភាពជាមួយអថេរ ឬអថេរ.)
- តើសមីការលេខ ១ មានឈ្មោះអ្វី? ( លីនេអ៊ែរ.) វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ ( ផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយមិនស្គាល់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ លេខទាំងអស់ទៅខាងស្តាំ។ ផ្តល់លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា។ ស្វែងរកកត្តាដែលមិនស្គាល់).
- តើសមីការលេខ ៣ មានឈ្មោះអ្វី? ( ការ៉េ។) វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ (ទំ អំពីរូបមន្ត)
- តើសមាមាត្រគឺជាអ្វី? ( សមភាពនៃសមាមាត្រពីរ.) ទ្រព្យសំខាន់នៃសមាមាត្រ។ ( ប្រសិនបើសមាមាត្រត្រឹមត្រូវ នោះផលិតផលនៃលក្ខខណ្ឌខ្លាំងរបស់វាស្មើនឹងផលិតផលនៃលក្ខខណ្ឌកណ្តាល.)
- តើលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះដែលត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការ? ( 1. ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ទីពាក្យក្នុងសមីការពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀត ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា អ្នកនឹងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ 2. ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានគុណ ឬចែកដោយលេខដែលមិនមែនជាសូន្យដូចគ្នា អ្នកនឹងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។.)
- តើប្រភាគស្មើនឹងសូន្យនៅពេលណា? ( ប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលភាគយកជាសូន្យ ហើយភាគបែងមិនមែនជាសូន្យ។.)
3. ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មី។
ដោះស្រាយសមីការលេខ 2 នៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក និងនៅលើក្តារ។
ចម្លើយ: 10.
តើសមីការប្រភាគប្រភាគដែលអ្នកអាចព្យាយាមដោះស្រាយដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃសមាមាត្រ? (លេខ 5) ។
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 −6x−x 2 −5x = 6−8
ដោះស្រាយសមីការលេខ 4 នៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក និងនៅលើក្តារ។
ចម្លើយ: 1,5.
តើសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគអ្វីដែលអ្នកអាចព្យាយាមដោះស្រាយដោយគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយភាគបែង? (លេខ 6) ។
x 2 −7x+12 = 0
D=1›0, x 1=3, x 2=4 ។
ចម្លើយ: 3;4.
យើងនឹងពិនិត្យមើលសមីការដូចជាសមីការលេខ 7 នៅក្នុងមេរៀនខាងក្រោម។
ពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង? ហេតុអ្វីបានជាមានឫសបីក្នុងករណីមួយ និងពីរក្នុងករណីផ្សេងទៀត? តើលេខអ្វីខ្លះជាឫសគល់នៃសមីការប្រភាគប្រភាគនេះ?
រហូតមកដល់ពេលនេះ សិស្សមិនទាន់បានជួបប្រទះនូវគោលគំនិតនៃឫសគល់ខាងក្រៅនោះទេ វាពិតជាពិបាកណាស់សម្រាប់ពួកគេក្នុងការយល់អំពីមូលហេតុដែលរឿងនេះកើតឡើង។ ប្រសិនបើគ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងថ្នាក់អាចពន្យល់បានច្បាស់លាស់អំពីស្ថានភាពនេះទេ នោះគ្រូនឹងសួរសំណួរនាំមុខ។
- តើសមីការលេខ 2 និង 4 ខុសគ្នាពីសមីការលេខ 5 និង 6 យ៉ាងដូចម្តេច? ( នៅក្នុងសមីការលេខ 2 និងទី 4 មានលេខនៅក្នុងភាគបែង លេខ 5-6 - កន្សោមដែលមានអថេរ.)
- តើអ្វីជាឫសគល់នៃសមីការ? ( តម្លៃនៃអថេរដែលសមីការក្លាយជាការពិត.)
- តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតើចំនួនគឺជាឫសនៃសមីការ? ( ធ្វើការត្រួតពិនិត្យ.)
ពេលធ្វើតេស្ត សិស្សខ្លះកត់សម្គាល់ថាត្រូវចែកនឹងសូន្យ។ ពួកគេសន្និដ្ឋានថាលេខ 0 និង 5 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការនេះទេ។ សំណួរកើតឡើង៖ តើមានវិធីដោះស្រាយសមីការប្រភាគដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងលុបបំបាត់កំហុសនេះទេ? បាទ/ចាស វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌដែលប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ។
ចូរយើងព្យាយាមបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគតាមវិធីនេះ។ កុមារបង្កើតក្បួនដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។
ក្បួនដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ៖
- ផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅខាងឆ្វេង។
- កាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងរួម។
- បង្កើតប្រព័ន្ធ៖ ប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលភាគយកស្មើសូន្យ ហើយភាគបែងមិនស្មើនឹងសូន្យ។
- ដោះស្រាយសមីការ។
- ពិនិត្យភាពមិនស្មើគ្នាដើម្បីដកឫសខាងក្រៅ។
- សរសេរចម្លើយ។
4. ការយល់ដឹងបឋមនៃសម្ភារៈថ្មី។
ធ្វើការជាគូរ។ សិស្សជ្រើសរើសរបៀបដោះស្រាយសមីការដោយខ្លួនឯង អាស្រ័យលើប្រភេទនៃសមីការ។ កិច្ចការពីសៀវភៅសិក្សា “ពិជគណិត ៨” Yu.N. Makarychev, 2007: លេខ 600(b,c); លេខ 601(a,e)។ គ្រូតាមដានការបញ្ចប់ភារកិច្ច ឆ្លើយសំណួរណាមួយដែលកើតឡើង និងផ្តល់ជំនួយដល់សិស្សដែលមានសមត្ថភាពទាប។ តេស្តដោយខ្លួនឯង៖ ចម្លើយត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារខៀន។
ខ) 2 - ឫសខាងក្រៅ។ ចម្លើយ៖ ៣.
គ) 2 - ឫសខាងក្រៅ។ ចម្លើយ៖ ១.៥ ។
ក) ចម្លើយ៖ -12.5 ។
5. កំណត់កិច្ចការផ្ទះ។
- អានកថាខណ្ឌទី 25 ពីសៀវភៅសិក្សា វិភាគឧទាហរណ៍ 1-3 ។
- រៀនក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។
- ដោះស្រាយនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រាលេខ 600 (ឃ, ឃ); លេខ 601(g,h)។
6. សង្ខេបមេរៀន។
ដូច្នេះ ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀន យើងបានស្គាល់សមីការសមីការប្រភាគ ហើយរៀនដើម្បីដោះស្រាយសមីការទាំងនេះតាមវិធីផ្សេងៗ។ មិនថាអ្នកដោះស្រាយសមីការប្រភាគដោយរបៀបណាទេ តើអ្នកគួរចងចាំអ្វីខ្លះ? តើអ្វីទៅជា "ល្បិចកល" នៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ?
អរគុណអ្នកទាំងអស់គ្នា មេរៀនបានបញ្ចប់ហើយ។
ចូរបន្តនិយាយអំពី ការដោះស្រាយសមីការ. នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងចូលទៅក្នុងលម្អិតអំពី សមីការសមហេតុផលនិងគោលការណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលជាមួយនឹងអថេរមួយ។ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមីការប្រភេទណាដែលត្រូវបានគេហៅថាសនិទានកម្ម ផ្តល់និយមន័យនៃសមីការសមហេតុសមផល និងប្រភាគទាំងមូល និងផ្តល់ឧទាហរណ៍។ បន្ទាប់មក យើងនឹងទទួលបានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសនិទាន ហើយជាការពិតណាស់ យើងនឹងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ធម្មតាជាមួយនឹងការពន្យល់ចាំបាច់ទាំងអស់។
ការរុករកទំព័រ។
ដោយផ្អែកលើនិយមន័យដែលបានបញ្ជាក់ យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃសមីការសនិទាន។ ឧទាហរណ៍ x=1, 2·x−12·x 2·yz·z 3=0, , គឺជាសមីការសមហេតុផលទាំងអស់។
ពីឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញ វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការសនិទាន ក៏ដូចជាសមីការនៃប្រភេទផ្សេងទៀត អាចនៅជាមួយអថេរមួយ ឬជាមួយពីរ បី។ល។ អថេរ។ នៅក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោមនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការសនិទានភាពជាមួយនឹងអថេរមួយ។ ការដោះស្រាយសមីការក្នុងអថេរពីរហើយចំនួនដ៏ធំរបស់ពួកគេសមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេស។
បន្ថែមពីលើការបែងចែកសមីការសនិទានដោយចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ពួកគេក៏ត្រូវបានបែងចែកទៅជាចំនួនគត់ និងប្រភាគផងដែរ។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា។
និយមន័យ។
សមីការសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថា ទាំងមូលប្រសិនបើផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វា គឺជាកន្សោមសមហេតុផលចំនួនគត់។
និយមន័យ។
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកមួយនៃសមីការសមហេតុផលគឺជាកន្សោមប្រភាគ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ប្រភាគសមហេតុផល(ឬប្រភាគប្រភាគ) ។
វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការទាំងមូលមិនមានការបែងចែកដោយអថេរទេ ផ្ទុយទៅវិញ សមីការសមហេតុសមផលប្រភាគចាំបាច់មានការបែងចែកដោយអថេរ (ឬអថេរក្នុងភាគបែង)។ ដូច្នេះ 3 x + 2 = 0 និង (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- ទាំងនេះគឺជាសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូល ផ្នែកទាំងពីររបស់ពួកគេគឺជាការបញ្ចេញមតិទាំងមូល។ A និង x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការប្រភាគប្រភាគ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋានចំណុចនេះ ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាសមីការលីនេអ៊ែរ និងសមីការបួនជ្រុងដែលគេស្គាល់ដល់ចំណុចនេះគឺជាសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូល។
ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូល
វិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយក្នុងការដោះស្រាយសមីការទាំងមូលគឺកាត់បន្ថយពួកវាទៅសមមូល សមីការពិជគណិត. វាតែងតែអាចធ្វើបានដោយអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលខាងក្រោមនៃសមីការ៖
- ដំបូង កន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការចំនួនគត់ដើមត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងឆ្វេងដែលមានសញ្ញាផ្ទុយដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅផ្នែកខាងស្តាំ។
- បន្ទាប់ពីនេះ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ទម្រង់ស្តង់ដារលទ្ធផល។
លទ្ធផលគឺសមីការពិជគណិតដែលស្មើនឹងសមីការចំនួនគត់ដើម។ ដូច្នេះក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ ឬចតុកោណ ហើយក្នុងករណីទូទៅដើម្បីដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រ n ។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់សូមមើលដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូល 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
ដំណោះស្រាយ។
ចូរយើងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងមូលនេះទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតសមមូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងជាលទ្ធផលយើងមកដល់សមីការ 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. ហើយទីពីរ យើងបំប្លែងកន្សោមដែលបានបង្កើតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាពហុនាមទម្រង់ស្ដង់ដារដោយបំពេញតម្រូវការចាំបាច់៖ 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x + 3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ដូច្នេះ ការដោះស្រាយសមីការចំនួនគត់ដើមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការការ៉េ x 2 −5·x−6=0 ។
យើងគណនាការរើសអើងរបស់វា។ D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49វាគឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការមានឫសពិតពីរ ដែលយើងរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ៖
ដើម្បីឱ្យប្រាកដទាំងស្រុង ចូរយើងធ្វើវា ពិនិត្យរកឫសគល់នៃសមីការ. ដំបូងយើងពិនិត្យមើលឫស 6 ជំនួសវាជំនួសឱ្យអថេរ x ក្នុងសមីការចំនួនគត់ដើម៖ ៣·(៦+១)·(៦−៣)=៦·(២·៦−១)−៣ដែលដូចគ្នា 63=63។ នេះគឺជាសមីការលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះ x=6 ពិតជាឫសគល់នៃសមីការ។ ឥឡូវនេះយើងពិនិត្យមើលឫស −1 យើងមាន 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3ពីណា 0=0 ។ នៅពេល x=−1 សមីការដើមក៏ប្រែទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះ x=−1 ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការផងដែរ។
ចម្លើយ៖
6 , −1 .
នៅទីនេះវាគួរតែត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ផងដែរថាពាក្យ "ដឺក្រេនៃសមីការទាំងមូល" ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការតំណាងនៃសមីការទាំងមូលនៅក្នុងទម្រង់នៃសមីការពិជគណិត។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា៖
និយមន័យ។
អំណាចនៃសមីការទាំងមូលត្រូវបានគេហៅថាកម្រិតនៃសមីការពិជគណិតសមមូល។
យោងតាមនិយមន័យនេះ សមីការទាំងមូលពីឧទាហរណ៍មុនមានសញ្ញាបត្រទីពីរ។
នេះអាចជាការបញ្ចប់នៃការដោះស្រាយសមីការសនិទានកម្មទាំងមូល ប្រសិនបើមិនមែនសម្រាប់រឿងមួយ…។ ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ ការដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រខាងលើទីពីរត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការលំបាកសំខាន់ៗ ហើយសម្រាប់សមីការនៃសញ្ញាបត្រខាងលើទី 4 មិនមានរូបមន្តឫសគល់ទូទៅទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការទាំងមូលនៃដឺក្រេទី 3 ទី 4 និងខ្ពស់ជាងនេះ ជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយផ្សេងទៀត។
ក្នុងករណីបែបនេះ វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយសមីការសនិទានភាពទាំងមូលដោយផ្អែកលើ វិធីសាស្រ្តកត្តា. ក្នុងករណីនេះក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមត្រូវបានប្រកាន់ខ្ជាប់ទៅនឹង:
- ដំបូងពួកគេធានាថាមានសូន្យនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ពួកគេផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងមូលទៅខាងឆ្វេង។
- បន្ទាប់មក កន្សោមលទ្ធផលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវបានបង្ហាញជាផលិតផលនៃកត្តាជាច្រើន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្តទៅសំណុំនៃសមីការសាមញ្ញមួយចំនួន។
ក្បួនដោះស្រាយដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូលតាមរយៈការបង្កើតកត្តាទាមទារការពន្យល់លម្អិតដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយសមីការទាំងមូល (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x + 13) ។
ដំណោះស្រាយ។
ជាដំបូង ជាធម្មតា យើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដោយមិនភ្លេចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា យើងទទួលបាន (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x + 13) = 0 ។ នៅទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថា វាមិនត្រូវបានណែនាំឱ្យបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផលទៅជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារនោះទេ ព្រោះវានឹងផ្តល់សមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេទីបួននៃទម្រង់។ x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ដំណោះស្រាយដែលពិបាក។
ម្យ៉ាងវិញទៀត វាច្បាស់ណាស់ថា នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផល យើងអាច x 2 −10 x+13 ដោយហេតុនេះបង្ហាញវាជាផលិតផល។ យើងមាន (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x−1) = 0. សមីការលទ្ធផលគឺស្មើនឹងសមីការទាំងមូលដើម ហើយវាអាចត្រូវបានជំនួសដោយសំណុំនៃសមីការការ៉េពីរ x 2 −10·x+13=0 និង x 2 −2·x−1=0 ។ ការស្វែងរកឫសរបស់ពួកគេដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលគេស្គាល់តាមរយៈអ្នករើសអើងគឺមិនពិបាកទេ ឫសគឺស្មើគ្នា។ ពួកគេគឺជាឫសដែលចង់បាននៃសមីការដើម។
ចម្លើយ៖
មានប្រយោជន៍ផងដែរសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសនិទានទាំងមូល វិធីសាស្រ្តណែនាំអថេរថ្មី។. ក្នុងករណីខ្លះ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកផ្លាស់ទីទៅសមីការដែលមានកម្រិតទាបជាងកម្រិតនៃសមីការទាំងមូលដើម។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកឫសគល់ពិតប្រាកដនៃសមីការសនិទាន (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x −4).
ដំណោះស្រាយ។
ការកាត់បន្ថយសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូលនេះទៅជាសមីការពិជគណិតគឺដើម្បីដាក់វាឱ្យស្រាល មិនមែនជាគំនិតល្អទេ ព្រោះក្នុងករណីនេះយើងនឹងឈានដល់តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីបួនដែលមិនមានឫសសនិទាន។ ដូច្នេះហើយ អ្នកនឹងត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយមួយទៀត។
នៅទីនេះវាងាយស្រួលឃើញថាអ្នកអាចណែនាំអថេរ y ថ្មី ហើយជំនួសកន្សោម x 2 +3·x ជាមួយវា។ ការជំនួសនេះនាំយើងទៅកាន់សមីការទាំងមូល (y+1) 2 +10=−2·(y−4) ដែលបន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីកន្សោម −2·(y−4) ទៅខាងឆ្វេង និងការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់នៃកន្សោម បង្កើតឡើងនៅទីនោះ ត្រូវបានកាត់ជាសមីការការ៉េ y 2 +4·y+3=0 ។ ឫសនៃសមីការនេះ y=−1 និង y=−3 ងាយស្រួលរក ឧទាហរណ៍ ពួកវាអាចត្រូវបានជ្រើសរើសដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។
ឥឡូវនេះយើងបន្តទៅផ្នែកទីពីរនៃវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ នោះគឺដើម្បីអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស។ បន្ទាប់ពីអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស យើងទទួលបានសមីការពីរ x 2 +3 x = −1 និង x 2 +3 x = −3 ដែលអាចសរសេរឡើងវិញជា x 2 +3 x + 1 = 0 និង x 2 +3 x + 3 ។ =0 ។ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការ quadratic យើងរកឃើញឫសនៃសមីការទីមួយ។ ហើយសមីការការ៉េទីពីរមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ព្រោះការរើសអើងរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន (D=3 2−4·3=9−12=−3)។
ចម្លើយ៖
ជាទូទៅនៅពេលដែលយើងកំពុងដោះស្រាយសមីការទាំងមូលនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ យើងត្រូវតែត្រៀមខ្លួនជានិច្ចដើម្បីស្វែងរកវិធីសាស្ត្រដែលមិនមានស្តង់ដារ ឬបច្ចេកទេសសិប្បនិម្មិតសម្រាប់ដោះស្រាយវា។
ការដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ
ជាដំបូង វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការយល់ពីរបៀបដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ ដែល p(x) និង q(x) គឺជាចំនួនគត់កន្សោមសនិទាន។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគផ្សេងទៀតទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃប្រភេទដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។
វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងការដោះស្រាយសមីការគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម៖ ប្រភាគជាលេខ u/v ដែល v ជាលេខមិនមែនសូន្យ (បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងជួប ដែលមិនត្រូវបានកំណត់) គឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែភាគយករបស់វា ស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកគឺប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ u=0 ។ ដោយគុណធម៌នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ការដោះស្រាយសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរ p(x)=0 និង q(x)≠0។
ការសន្និដ្ឋាននេះត្រូវនឹងចំណុចខាងក្រោម ក្បួនដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ អ្នកត្រូវការ
- ដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលទាំងមូល p(x)=0 ;
- ហើយពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌ q(x)≠0 ពេញចិត្តសម្រាប់ឬសនីមួយៗដែលបានរកឃើញឬអត់
- ប្រសិនបើពិត នោះឫសនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។
- ប្រសិនបើវាមិនពេញចិត្ត នោះឫសនេះគឺ extraneous នោះគឺវាមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការដើមនោះទេ។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ក្បួនដោះស្រាយដែលបានប្រកាសនៅពេលដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។
ដំណោះស្រាយ។
នេះគឺជាសមីការប្រភាគប្រភាគ ហើយនៃទម្រង់ ដែល p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0។
យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃប្រភេទនេះ ដំបូងយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការ 3 x−2=0 ។ នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរដែលឫសគឺ x = 2/3 ។
វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលឫសនេះ ពោលគឺពិនិត្យមើលថាតើវាបំពេញលក្ខខណ្ឌ 5 x 2 −2≠0 ដែរឬទេ។ យើងជំនួសលេខ 2/3 ទៅក្នុងកន្សោម 5 x 2 −2 ជំនួសឱ្យ x ហើយយើងទទួលបាន . លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ ដូច្នេះ x=2/3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។
ចម្លើយ៖
2/3 .
អ្នកអាចចូលទៅជិតការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគពីទីតាំងខុសគ្នាបន្តិច។ សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការចំនួនគត់ p(x)=0 នៅលើអថេរ x នៃសមីការដើម។ នោះគឺអ្នកអាចនៅជាប់នឹងរឿងនេះ ក្បួនដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ :
- ដោះស្រាយសមីការ p(x)=0;
- ស្វែងរក ODZ នៃអថេរ x;
- យកឫសដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន - ពួកគេគឺជាឫសដែលចង់បាននៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើម។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយនេះ។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយសមីការ។
ដំណោះស្រាយ។
ដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េ x 2 −2·x−11=0 ។ ឫសរបស់វាអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរដែលយើងមាន ឃ 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, និង .
ទីពីរ យើងរកឃើញ ODZ នៃអថេរ x សម្រាប់សមីការដើម។ វាមានលេខទាំងអស់ដែល x 2 +3·x≠0 ដែលដូចគ្នានឹង x·(x+3)≠0 ពេលណា x≠0 x≠−3 ។
វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើឫសដែលបានរកឃើញនៅក្នុងជំហានដំបូងត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង ODZ ដែរឬទេ។ ច្បាស់ណាស់បាទ។ ដូច្នេះ សមីការប្រភាគដើមមានឫសពីរ។
ចម្លើយ៖
ចំណាំថាវិធីសាស្រ្តនេះគឺមានផលចំណេញច្រើនជាងវិធីទីមួយ ប្រសិនបើ ODZ ងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក ហើយមានប្រយោជន៍ជាពិសេសប្រសិនបើឫសនៃសមីការ p(x) = 0 គឺមិនសមហេតុផល ជាឧទាហរណ៍ ឬសមហេតុផល ប៉ុន្តែជាមួយនឹងលេខធំជាង និង / ឬភាគបែង ឧទាហរណ៍ 127/1101 និង −31/59 ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅក្នុងករណីបែបនេះការត្រួតពិនិត្យលក្ខខណ្ឌ q(x)≠0 នឹងតម្រូវឱ្យមានការខិតខំប្រឹងប្រែងគណនាយ៉ាងសំខាន់ហើយវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដកចេញឫសខាងក្រៅដោយប្រើ ODZ ។
ក្នុងករណីផ្សេងទៀត នៅពេលដោះស្រាយសមីការ ជាពិសេសនៅពេលដែលឫសនៃសមីការ p(x) = 0 គឺជាចំនួនគត់ វាមានផលចំណេញច្រើនជាងក្នុងការប្រើក្បួនដោះស្រាយទីមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នោះគឺ គួរតែស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូល p(x)=0 ភ្លាមៗ ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌ q(x)≠0 ពេញចិត្តសម្រាប់ពួកគេ ជាជាងការស្វែងរក ODZ ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការ។ p(x)=0 នៅលើ ODZ នេះ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅក្នុងករណីបែបនេះវាជាធម្មតាងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យជាងការស្វែងរក DZ ។
ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ពីរដើម្បីបង្ហាញពី nuances ដែលបានបញ្ជាក់។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។
ដំណោះស្រាយ។
ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូល (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0ផ្សំឡើងដោយប្រើលេខភាគនៃប្រភាគ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះគឺជាផលិតផលមួយ ហើយផ្នែកខាងស្តាំគឺសូន្យ ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការតាមរយៈការធ្វើកត្តា សមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការចំនួនបួន 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 ។ សមីការទាំងបីនេះគឺលីនេអ៊ែរ ហើយមួយគឺចតុកោណ យើងអាចដោះស្រាយវាបាន។ ពីសមីការទីមួយយើងរកឃើញ x = 1/2 ពីទីពីរ - x = 6 ពីទីបី - x = 7 x = −2 ពីទី 4 - x = −1 ។
ជាមួយនឹងឫសដែលបានរកឃើញ វាពិតជាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាតើភាគបែងនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដើមបាត់ឬអត់ ប៉ុន្តែការកំណត់ ODZ ផ្ទុយទៅវិញ គឺមិនសាមញ្ញទេ ព្រោះសម្រាប់បញ្ហានេះអ្នកនឹងត្រូវដោះស្រាយ។ សមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីប្រាំ។ ដូច្នេះយើងនឹងបោះបង់ចោលការស្វែងរក ODZ ដើម្បីពិនិត្យមើលឫស។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសពួកវាម្តងមួយៗជំនួសឱ្យអថេរ x ក្នុងកន្សោម x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112ទទួលបានបន្ទាប់ពីការជំនួស ហើយប្រៀបធៀបពួកវាជាមួយសូន្យ៖ (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0។
ដូច្នេះ 1/2, 6 និង −2 គឺជាឫសដែលចង់បាននៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើម ហើយ 7 និង −1 គឺជាឫស extraneous ។
ចម្លើយ៖
1/2 , 6 , −2 .
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។
ដំណោះស្រាយ។
ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ (5 x 2 −7 x −1) (x−2)=0. សមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ៖ ការេ 5 x 2 −7 x−1=0 និងលីនេអ៊ែរ x−2=0 ។ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ យើងរកឃើញឫសពីរ ហើយពីសមីការទីពីរយើងមាន x=2 ។
ការពិនិត្យមើលថាតើភាគបែងទៅសូន្យនៅតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃ x គឺពិតជាមិនសប្បាយចិត្ត។ ហើយការកំណត់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃអថេរ x ក្នុងសមីការដើមគឺសាមញ្ញណាស់។ ដូច្នេះយើងនឹងធ្វើសកម្មភាពតាមរយៈ ODZ ។
ក្នុងករណីរបស់យើង ODZ នៃអថេរ x នៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើមមានលេខទាំងអស់ លើកលែងតែលេខដែលលក្ខខណ្ឌ x 2 +5·x−14=0 ពេញចិត្ត។ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះគឺ x=−7 និង x=2 ដែលយើងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានអំពី ODZ៖ វាមាន x ទាំងអស់នោះ។
វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើឫសដែលបានរកឃើញ និង x=2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។ ឫសជាកម្មសិទ្ធិ ដូច្នេះពួកវាជាឫសនៃសមីការដើម ហើយ x=2 មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិទេ ដូច្នេះវាគឺជាឫសខាងក្រៅ។
ចម្លើយ៖
វាក៏នឹងមានប្រយោជន៍ផងដែរក្នុងការរស់នៅដោយឡែកពីគ្នាលើករណីនៅពេលដែលនៅក្នុងសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគនៃទម្រង់មានលេខនៅក្នុងភាគយក នោះគឺជាពេលដែល p(x) ត្រូវបានតំណាងដោយលេខមួយចំនួន។ ឯណា
- ប្រសិនបើលេខនេះមិនមែនជាសូន្យ នោះសមីការមិនមានឫសទេ ព្រោះប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើភាគយករបស់វាស្មើនឹងសូន្យ។
- ប្រសិនបើលេខនេះគឺសូន្យ នោះឫសនៃសមីការគឺជាលេខណាមួយពី ODZ ។
ឧទាហរណ៍។
ដំណោះស្រាយ។
ដោយសារលេខភាគនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការមានលេខមិនមែនសូន្យ ដូច្នេះសម្រាប់ x តម្លៃនៃប្រភាគនេះមិនអាចស្មើនឹងសូន្យបានទេ។ ដូច្នេះសមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ។
ចម្លើយ៖
គ្មានឫស។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយសមីការ។
ដំណោះស្រាយ។
ភាគយកនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការប្រភាគប្រភាគនេះមានសូន្យ ដូច្នេះតម្លៃនៃប្រភាគនេះគឺសូន្យសម្រាប់ x ណាមួយដែលវាសមហេតុផល។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺជាតម្លៃណាមួយនៃ x ពី ODZ នៃអថេរនេះ។
វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។ វារួមបញ្ចូលតម្លៃទាំងអស់នៃ x ដែល x 4 +5 x 3 ≠0 ។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x 4 +5 x 3 = 0 គឺ 0 និង −5 ដោយហេតុថាសមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ x 3 (x + 5) = 0 ហើយវាស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការទាំងពីរ x 3 = 0 និង x +5 = 0 ពីកន្លែងដែលឫសទាំងនេះអាចមើលឃើញ។ ដូច្នេះជួរដែលចង់បាននៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានគឺ x ណាមួយ លើកលែងតែ x=0 និង x=−5 ។
ដូច្នេះ សមីការប្រភាគមានដំណោះស្រាយជាច្រើនឥតកំណត់ ដែលជាលេខណាមួយលើកលែងតែសូន្យ និងដកប្រាំ។
ចម្លើយ៖
ជាចុងក្រោយ វាដល់ពេលដែលត្រូវនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលប្រភាគនៃទម្រង់បំពាន។ ពួកវាអាចត្រូវបានសរសេរជា r(x)=s(x) ដែល r(x) និង s(x) គឺជាកន្សោមសមហេតុផល ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺប្រភាគ។ ក្រឡេកមើលទៅមុខ ឧបមាថា ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេមកលើការដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ដែលយើងធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយ។
វាត្រូវបានគេដឹងថាការផ្ទេរពាក្យពីផ្នែកមួយនៃសមីការទៅមួយទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយនាំទៅរកសមីការសមមូល ដូច្នេះសមីការ r(x)=s(x) គឺស្មើនឹងសមីការ r(x)−s(x)។ )=០.
យើងក៏ដឹងដែរថា ណាមួយដែលដូចគ្នាទៅនឹងកន្សោមនេះគឺអាចធ្វើទៅបាន។ ដូច្នេះ យើងតែងតែអាចបំប្លែងកន្សោមសនិទាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ r(x)−s(x)=0 ទៅជាប្រភាគសមហេតុផលស្មើគ្នានៃទម្រង់។
ដូច្នេះ យើងផ្លាស់ទីពីសមីការប្រភាគប្រភាគដើម r(x)=s(x) ទៅជាសមីការ ហើយដំណោះស្រាយរបស់វា ដូចដែលយើងបានរកឃើញខាងលើ កាត់បន្ថយទៅការដោះស្រាយសមីការ p(x)=0។
ប៉ុន្តែនៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីការពិតដែលថានៅពេលជំនួស r(x)−s(x)=0 ជាមួយ ហើយបន្ទាប់មកជាមួយ p(x)=0 ជួរនៃតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃអថេរ x អាចពង្រីកបាន។ .
អាស្រ័យហេតុនេះ សមីការដើម r(x)=s(x) និងសមីការ p(x)=0 ដែលយើងមកដល់អាចប្រែទៅជាមិនស្មើគ្នា ហើយដោយការដោះស្រាយសមីការ p(x)=0 យើងអាចទទួលបានឫស នោះនឹងជាឫសខាងក្រៅនៃសមីការដើម r(x)=s(x) ។ អ្នកអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណ និងមិនរាប់បញ្ចូលឫសខាងក្រៅនៅក្នុងចម្លើយដោយធ្វើការត្រួតពិនិត្យ ឬដោយពិនិត្យមើលថាពួកវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ODZ នៃសមីការដើម។
ចូរយើងសង្ខេបព័ត៌មាននេះនៅក្នុង ក្បួនដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ r(x)=s(x). ដើម្បីដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ r(x)=s(x) អ្នកត្រូវការ
- ទទួលបានសូន្យនៅខាងស្តាំដោយផ្លាស់ទីកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។
- អនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយប្រភាគ និងពហុនាមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដោយហេតុនេះបំប្លែងវាទៅជាប្រភាគសមហេតុផលនៃទម្រង់។
- ដោះស្រាយសមីការ p(x)=0 ។
- កំណត់អត្តសញ្ញាណ និងលុបបំបាត់ឫសគល់ខាងក្រៅ ដែលធ្វើឡើងដោយការជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការដើម ឬដោយពិនិត្យមើលកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេទៅនឹង ODZ នៃសមីការដើម។
ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ យើងនឹងបង្ហាញខ្សែសង្វាក់ទាំងមូលនៃការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ៖
.
សូមក្រឡេកមើលដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើនជាមួយនឹងការពន្យល់លម្អិតអំពីដំណើរការដំណោះស្រាយ ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីប្លុកព័ត៌មានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។
ដំណោះស្រាយ។
យើងនឹងធ្វើសកម្មភាពស្របតាមក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយដែលទើបតែទទួលបាន។ ហើយដំបូងយើងផ្លាស់ទីពាក្យពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅខាងឆ្វេង ជាលទ្ធផលយើងបន្តទៅសមីការ។
នៅក្នុងជំហានទីពីរ យើងត្រូវបំប្លែងកន្សោមប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ប្រភាគ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានទៅជាភាគបែងធម្មតា ហើយសម្រួលការបញ្ចេញមតិលទ្ធផល៖ . ដូច្នេះយើងមកសមីការ។
នៅជំហានបន្ទាប់ យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការ −2·x−1=0 ។ យើងរកឃើញ x = −1/2 ។
វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើលេខដែលបានរកឃើញ −1/2 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការដើមទេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកអាចពិនិត្យ ឬស្វែងរក VA នៃអថេរ x នៃសមីការដើម។ ចូរយើងបង្ហាញវិធីសាស្រ្តទាំងពីរ។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយការពិនិត្យ។ យើងជំនួសលេខ −1/2 ទៅក្នុងសមីការដើមជំនួសឱ្យអថេរ x ហើយយើងទទួលបានដូចគ្នា −1=−1 ។ ការជំនួសផ្តល់នូវសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះ x=−1/2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។
ឥឡូវនេះយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលចំណុចចុងក្រោយនៃក្បួនដោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តតាមរយៈ ODZ ។ ជួរនៃតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃសមីការដើមគឺជាសំណុំនៃលេខទាំងអស់ លើកលែងតែ −1 និង 0 (នៅ x=−1 និង x=0 ភាគបែងនៃប្រភាគបាត់)។ ឫស x=−1/2 ដែលរកឃើញក្នុងជំហានមុន ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ODZ ដូច្នេះ x=−1/2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។
ចម្លើយ៖
−1/2 .
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។
ដំណោះស្រាយ។
យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ ចូរយើងឆ្លងកាត់គ្រប់ជំហាននៃក្បួនដោះស្រាយ។
ដំបូងយើងផ្លាស់ទីពាក្យពីខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងយើងទទួលបាន .
ទីពីរ យើងបំប្លែងកន្សោមដែលបង្កើតនៅខាងឆ្វេង៖ . ជាលទ្ធផលយើងមកដល់សមីការ x = 0 ។
ឫសរបស់វាគឺច្បាស់ - វាសូន្យ។
នៅជំហានទីបួន វានៅតែត្រូវរកមើលថាតើឫសដែលបានរកឃើញគឺលើសពីសមីការប្រភាគប្រភាគដើម។ នៅពេលដែលវាត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម កន្សោមត្រូវបានទទួល។ ជាក់ស្តែង វាមិនសមហេតុផលទេព្រោះវាមានការបែងចែកដោយសូន្យ។ តើនៅពេលណាដែលយើងសន្និដ្ឋានថា 0 គឺជាឫសខាងក្រៅ។ ដូច្នេះសមីការដើមមិនមានឫសគល់ទេ។
7 ដែលនាំទៅដល់ Eq ។ ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាកន្សោមនៅក្នុងភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវតែស្មើនឹងផ្នែកខាងស្តាំ ពោលគឺ . ឥឡូវនេះយើងដកពីភាគីទាំងពីរនៃបីដង: . ដោយភាពស្រដៀងគ្នា មកពីណា និងបន្តទៀត។
ការត្រួតពិនិត្យបង្ហាញថាឫសទាំងពីរដែលបានរកឃើញគឺជាឫសនៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើម។
ចម្លើយ៖
គន្ថនិទ្ទេស។
- ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួលដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
- Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង ផ្នែកទី 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
- ពិជគណិត៖ថ្នាក់ទី ៩៖ ការអប់រំ។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួលដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2009. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-021134-5 ។
កំពុងផ្ទុក...
