តោះពិចារណាស៊េរីជាក់លាក់។
7 28 112 448 1792...
វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃធាតុណាមួយរបស់វាពិតជាធំជាង 4 ដង។ នេះមានន័យថាស៊េរីនេះគឺជាការវិវត្ត។
ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខគ្មានកំណត់ លក្ខណៈសំខាន់គឺថាលេខបន្ទាប់ត្រូវបានទទួលពីលេខមុនដោយគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ។ នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម។
a z +1 =a z ·q ដែល z ជាចំនួននៃធាតុដែលបានជ្រើសរើស។
ដូច្នោះហើយ z ∈ N ។
រយៈពេលដែលការវិវត្តធរណីមាត្រត្រូវបានសិក្សានៅសាលាគឺថ្នាក់ទី 9 ។ ឧទាហរណ៍នឹងជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីគំនិត៖
0.25 0.125 0.0625...
ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនេះ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពអាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម៖
ទាំង q ឬ b z មិនអាចជាសូន្យបានទេ។ ផងដែរ ធាតុនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពមិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ។
ដូច្នោះហើយ ដើម្បីស្វែងរកលេខបន្ទាប់ក្នុងស៊េរីមួយ អ្នកត្រូវគុណលេខចុងក្រោយដោយ q ។
ដើម្បីកំណត់វឌ្ឍនភាពនេះ អ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់ធាតុទីមួយ និងភាគបែងរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនេះ គេអាចស្វែងរកពាក្យបន្តបន្ទាប់ណាមួយ និងផលបូករបស់វា។
ពូជ
អាស្រ័យលើ q និង a 1 ការវិវត្តនេះត្រូវបានបែងចែកជាប្រភេទជាច្រើន៖
- ប្រសិនបើទាំង 1 និង q ធំជាងមួយ នោះលំដាប់បែបនេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែលកើនឡើងជាមួយនឹងធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ។ ឧទាហរណ៍នៃរឿងនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍៖ a 1 =3, q=2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺធំជាងមួយ។
បន្ទាប់មកលំដាប់លេខអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
3 6 12 24 48 ...
- ប្រសិនបើ |q| គឺតិចជាងមួយ ពោលគឺការគុណដោយវាស្មើនឹងការបែងចែក បន្ទាប់មកការវិវឌ្ឍន៍ដែលមានលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺជាការថយចុះនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃរឿងនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍៖ a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 ធំជាងមួយ, q គឺតិចជាង។
បន្ទាប់មកលំដាប់លេខអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
6 2 2/3 ... - ធាតុណាមួយធំជាងធាតុបន្ទាប់ 3 ដង។
- សញ្ញាជំនួស។ ប្រសិនបើ q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
ឧទាហរណ៍៖ a 1 = -3, q = -2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺតិចជាងសូន្យ។
បន្ទាប់មកលំដាប់លេខអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
3, 6, -12, 24,...
រូបមន្ត
មានរូបមន្តជាច្រើនសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ងាយស្រួលនៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖
- រូបមន្ត Z-term ។ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាធាតុនៅក្រោមលេខជាក់លាក់មួយដោយមិនចាំបាច់គណនាលេខពីមុន។
ឧទាហរណ៍៖q = 3, ក 1 = 4. តំរូវអោយរាប់ធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាព។
ដំណោះស្រាយ៖ក 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- ផលបូកនៃធាតុទីមួយដែលបរិមាណគឺស្មើនឹង z. អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផលបូកនៃធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់រហូតដល់a zបញ្ចូលគ្នា។
ចាប់តាំងពី (1-q) គឺនៅក្នុងភាគបែង បន្ទាប់មក (1 - q)≠ 0 ដូច្នេះ q មិនស្មើនឹង 1 ។
ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ q=1 នោះការវិវត្តនឹងជាស៊េរីនៃលេខដដែលៗគ្មានកំណត់។
ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2, q= -២. គណនា S5 ។
ដំណោះស្រាយ៖ស 5 = 22 - ការគណនាដោយប្រើរូបមន្ត។
- ចំនួនទឹកប្រាក់ប្រសិនបើ |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2 , q= 0.5 ។ ស្វែងរកបរិមាណ។
ដំណោះស្រាយ៖ស = 2 · = 4
ស = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន៖
- លក្ខណៈសម្បត្ដិ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម ធ្វើការសម្រាប់ណាមួយ។zបន្ទាប់មក ស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖
a z 2 = a z -1 · កz+1
- ផងដែរ ការេនៃចំនួនណាមួយនៅក្នុងដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានរកឃើញដោយបន្ថែមការេនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀតនៅក្នុងស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើពួកវាស្មើគ្នាពីធាតុនេះ។
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , កន្លែងណាt- ចម្ងាយរវាងលេខទាំងនេះ។
- ធាតុខុសគ្នានៅក្នុង qម្តង។
- លោការីតនៃធាតុនៃវឌ្ឍនភាពក៏បង្កើតជាវឌ្ឍនភាពដែរ ប៉ុន្តែនព្វន្ធមួយ ពោលគឺពួកវានីមួយៗធំជាងធាតុមុនដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។
ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាបុរាណមួយចំនួន
ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ នោះឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 អាចជួយបាន។
- លក្ខខណ្ឌ៖ក 1 = 3, ក 3 = 48. រកq.
ដំណោះស្រាយ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងធាតុមុននៅក្នុងq ម្តង។វាចាំបាច់ដើម្បីបង្ហាញពីធាតុមួយចំនួននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតដោយប្រើភាគបែង។
អាស្រ័យហេតុនេះក 3 = q 2 · ក 1
នៅពេលជំនួសq= 4
- លក្ខខណ្ឌ៖ក 2 = 6, ក 3 = 12. គណនា S ៦.
ដំណោះស្រាយ៖ដើម្បីធ្វើដូចនេះគ្រាន់តែស្វែងរក q ដែលជាធាតុទីមួយ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្ត។
ក 3 = q· ក 2 ដូច្នេះ,q= 2
a 2 = q · a 1 ,នោះហើយជាមូលហេតុដែល a 1 = 3
ស ៦ = 189
- · ក 1 = 10, q= -២. ស្វែងរកធាតុទីបួននៃវឌ្ឍនភាព។
ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីធ្វើបែបនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញធាតុទីបួនតាមរយៈធាតុទីមួយ និងតាមភាគបែង។
a 4 = q 3· a 1 = -80
ឧទាហរណ៍កម្មវិធី៖
- អតិថិជនរបស់ធនាគារបានដាក់ប្រាក់បញ្ញើក្នុងចំនួន 10,000 រូប្លិ ក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលជារៀងរាល់ឆ្នាំ អតិថិជននឹងមាន 6% នៃប្រាក់បញ្ញើបន្ថែមទៅក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ដើម។ តើលុយនឹងមាននៅក្នុងគណនីប៉ុន្មានបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំ?
ដំណោះស្រាយ: ចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងគឺ 10 ពាន់រូប្លិ៍។ នេះមានន័យថាមួយឆ្នាំបន្ទាប់ពីការវិនិយោគ គណនីនឹងមានចំនួនទឹកប្រាក់ស្មើនឹង 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06
ដូច្នោះហើយ ចំនួនទឹកប្រាក់នៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំទៀតនឹងត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
នោះគឺជារៀងរាល់ឆ្នាំបរិមាណកើនឡើង 1.06 ដង។ នេះមានន័យថាដើម្បីស្វែងរកបរិមាណមូលនិធិនៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាពដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុទីមួយស្មើនឹង 10 ពាន់ហើយភាគបែងស្មើនឹង 1.06 ។
S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាគណនាផលបូក៖
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើក្នុងបញ្ហាផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម:
ក 1 = 4, q= 2, គណនាស ៥.
ដំណោះស្រាយ៖ ទិន្នន័យទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនាត្រូវបានដឹង អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ។
ស 5 = 124
- ក 2 = 6, ក 3 = 18. គណនាផលបូកនៃធាតុទាំងប្រាំមួយដំបូង។
ដំណោះស្រាយ៖
នៅក្នុងភូមិសាស្ត្រ។ វឌ្ឍនភាព ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺ q ដងធំជាងធាតុមុន ពោលគឺដើម្បីគណនាផលបូក អ្នកត្រូវដឹងពីធាតុក 1 និងភាគបែងq.
ក 2 · q = ក 3
q = 3
ដូចគ្នានេះដែរអ្នកត្រូវស្វែងរកក 1 , ដឹងក 2 និងq.
ក 1 · q = ក 2
a 1 =2
ស 6 = 728.
គណិតវិទ្យាគឺជាអ្វីមនុស្សគ្រប់គ្រងធម្មជាតិ និងខ្លួនឯង។
គណិតវិទូសូវៀត អ្នកសិក្សា A.N. Kolmogorov
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ទន្ទឹមនឹងបញ្ហាលើវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ បញ្ហាទាក់ទងនឹងគោលគំនិតនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រក៏ជារឿងធម្មតាដែរក្នុងការប្រលងចូលរៀនគណិតវិទ្យា។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការធរណីមាត្រ និងមានជំនាញល្អក្នុងការប្រើប្រាស់វា។
អត្ថបទនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការបង្ហាញនៃលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតាក៏ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅទីនេះផងដែរ។, ខ្ចីពីភារកិច្ចប្រឡងចូលគណិតវិទ្យា។
ចូរយើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមុនសិន ហើយរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្ត និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍សំខាន់ៗ, ទាក់ទងនឹងគំនិតនេះ។
និយមន័យ។លំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ប្រសិនបើលេខនីមួយៗចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរស្មើនឹងលេខមុន គុណនឹងលេខដូចគ្នា។ លេខត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
សម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្ររូបមន្តមានសុពលភាព
, (1)
កន្លែងណា។ រូបមន្ត (1) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តនៃពាក្យទូទៅនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ហើយរូបមន្ត (2) តំណាងឱ្យទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖ ពាក្យនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវគ្នានឹងមធ្យមធរណីមាត្រនៃពាក្យជិតខាង និង។
ចំណាំ វាច្បាស់ណាស់ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិនេះដែលវឌ្ឍនភាពនៅក្នុងសំណួរត្រូវបានគេហៅថា "ធរណីមាត្រ" ។
រូបមន្តខាងលើ (១) និង (២) មានលក្ខណៈទូទៅដូចខាងក្រោម៖
, (3)
ដើម្បីគណនាបរិមាណដំបូង សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្ររូបមន្តត្រូវបានអនុវត្ត
ប្រសិនបើយើងសម្គាល់ នោះ
កន្លែងណា។ ចាប់តាំងពី រូបមន្ត (6) គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃរូបមន្ត (5) ។
ក្នុងករណីនៅពេលណានិង វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំពុងតែថយចុះជាលំដាប់។ ដើម្បីគណនាបរិមាណនៃលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ រូបមន្តត្រូវបានប្រើ
. (7)
ឧទាហរណ៍ , ដោយប្រើរូបមន្ត (7) យើងអាចបង្ហាញ, អ្វី
កន្លែងណា។ សមភាពទាំងនេះត្រូវបានទទួលពីរូបមន្ត (7) ក្រោមលក្ខខណ្ឌថា , (សមភាពទីមួយ) និង , (សមភាពទីពីរ)។
ទ្រឹស្តីបទ។បើអញ្ចឹង
ភស្តុតាង។ បើអញ្ចឹង
ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ចូរបន្តពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ" ។
ឧទាហរណ៍ ១.បានផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ប្រសិនបើយើងអនុវត្តរូបមន្ត (5) បន្ទាប់មក
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ ២.អនុញ្ញាតឱ្យវាក្លាយជា។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពី និង យើងប្រើរូបមន្ត (5), (6) និងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ
ប្រសិនបើសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (9) ត្រូវបានបែងចែកដោយទីមួយបន្ទាប់មក ឬ . វាធ្វើតាមពីនេះ។ . ចូរយើងពិចារណាករណីពីរ។
1. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកពីសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (9) យើងមាន.
2. ប្រសិនបើ .
ឧទាហរណ៍ ៣.អនុញ្ញាតឱ្យ និង . ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ពីរូបមន្ត (2) វាធ្វើតាមនោះ ឬ . ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ។
តាមលក្ខខណ្ឌ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ។ ចាប់តាំងពី និង បន្ទាប់មកនៅទីនេះយើងមានប្រព័ន្ធសមីការ
ប្រសិនបើសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបែងចែកដោយទីមួយ បន្ទាប់មក ឬ .
ចាប់តាំងពី សមីការមានឫសសមរម្យតែមួយគត់។ ក្នុងករណីនេះវាធ្វើតាមសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ។
ដោយគិតពីរូបមន្ត (7) យើងទទួលបាន។
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ 4 ។ផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ
យោងតាមរូបមន្ត (២) យើងមាន។ ក្នុងន័យនេះ ពីសមភាព (10) យើងទទួលបាន ឬ .
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយតាមលក្ខខណ្ឌ។
ឧទាហរណ៍ 5 ។វាត្រូវបានគេដឹងថា។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ យើងមានសមភាពពីរ
ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ។ ដោយសារតែបន្ទាប់មក។
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ ៦.ផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ដោយគិតពីរូបមន្ត (5) យើងទទួលបាន
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ចាប់តាំងពី , និង , បន្ទាប់មក។
ឧទាហរណ៍ ៧.អនុញ្ញាតឱ្យវាក្លាយជា។ ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។យោងតាមរូបមន្ត (1) យើងអាចសរសេរបាន។
ដូច្នេះយើងមានឬ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា និង ដូច្នេះ និង .
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ ៨.ស្វែងរកភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើ
និង។
ដំណោះស្រាយ។ ពីរូបមន្ត (7) វាធ្វើតាមនិង . ពីទីនេះ និងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ
ប្រសិនបើសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធគឺការ៉េ, ហើយបន្ទាប់មកចែកសមីការលទ្ធផលដោយសមីការទីពីរបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន
ឬ។
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ ៩.ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់ដែលលំដាប់ , , គឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យ និង . យោងតាមរូបមន្ត (2) ដែលកំណត់លក្ខណៈសំខាន់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ យើងអាចសរសេរ ឬ .
ពីទីនេះយើងទទួលបានសមីការការ៉េ, ឫសរបស់អ្នកណានិង។
តោះពិនិត្យមើល៖ ប្រសិនបើបន្ទាប់មក , និង ; ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , និង .
ក្នុងករណីដំបូងយើងមាននិង, ហើយនៅក្នុងទីពីរ - និង .
ចម្លើយ៖ , ។
ឧទាហរណ៍ 10 ។ដោះស្រាយសមីការ
, (11)
កន្លែងណា និង .
ដំណោះស្រាយ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (11) គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះគ្មានកំណត់ ដែលនៅក្នុងនោះ និង , ប្រធានបទ៖ និង .
ពីរូបមន្ត (7) វាធ្វើតាម, អ្វី . ក្នុងន័យនេះ សមីការ (១១) យកទម្រង់ឬ . ឫសសមរម្យ សមីការ quadratic គឺ
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ 11 ។ទំ លំដាប់នៃលេខវិជ្ជមានបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ, ក - វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រតើវាទាក់ទងនឹងអ្វី? ស្វែងរក។
ដំណោះស្រាយ។ដោយសារតែ លំដាប់នព្វន្ធ, នោះ។ (ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ) ។ ដោយសារតែបន្ទាប់មក ឬ . នេះបញ្ជាក់ថា ដែលវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រមានទម្រង់. យោងតាមរូបមន្ត (២)បន្ទាប់មកយើងសរសេរវាចុះ។
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក . ក្នុងករណីនេះការបញ្ចេញមតិយកទម្រង់ឬ។ តាមលក្ខខណ្ឌ, ដូច្នេះពី Eq ។យើងទទួលបានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា, i.e. .
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍ 12 ។គណនាផលបូក
. (12)
ដំណោះស្រាយ។ គុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាព (12) ដោយ 5 ហើយទទួលបាន
ប្រសិនបើយើងដក (12) ចេញពីកន្សោមលទ្ធផល, នោះ។
ឬ។
ដើម្បីគណនា យើងជំនួសតម្លៃទៅជារូបមន្ត (7) ហើយទទួលបាន . ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
ចម្លើយ៖ ។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់បេក្ខជននៅពេលរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងចូល។ សម្រាប់ការសិក្សាកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីវិធីសាស្ត្រដោះស្រាយបញ្ហា, ទាក់ទងនឹងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ, អ្នកអាចប្រើការបង្រៀនពីបញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានណែនាំ។
1. ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅមហាវិទ្យាល័យ / Ed ។ M.I. ស្កានវី។ – M.: Mir and Education, 2013. – 608 ទំ។
2. Suprun V.P. គណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ៖ ផ្នែកបន្ថែមនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ - M. : Lenand / URSS, 2014. – 216 ទំ។
3. Medynsky M.M. វគ្គសិក្សាពេញលេញនៃគណិតវិទ្យាបឋមក្នុងបញ្ហា និងលំហាត់។ សៀវភៅទី២៖ លំដាប់លេខ និងវឌ្ឍនភាព។ - អិមៈកែសម្រួល, 2015. – 208 ទំ។
នៅតែមានសំណួរ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូបង្រៀន សូមចុះឈ្មោះ។
គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។
រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺសាមញ្ញណាស់។ ទាំងក្នុងន័យ និងរូបរាងទូទៅ។ ប៉ុន្តែមានបញ្ហាគ្រប់ប្រភេទនៅលើរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 - ពីបុព្វកាលរហូតដល់ធ្ងន់ធ្ងរ។ ហើយនៅក្នុងដំណើរការនៃអ្នកស្គាល់គ្នាយើងពិតជានឹងពិចារណាទាំងពីរ។ តោះស្គាល់គ្នា?)
ដូច្នេះដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការពិត រូបមន្តន
នៅទីនេះនាង៖
b n = ខ 1 · qn -1
រូបមន្តគឺគ្រាន់តែជារូបមន្តប៉ុណ្ណោះ គ្មានអ្វីអស្ចារ្យទេ។ វាមើលទៅកាន់តែសាមញ្ញ និងបង្រួមជាងរូបមន្តស្រដៀងគ្នាសម្រាប់។ អត្ថន័យនៃរូបមន្តក៏សាមញ្ញដូចស្បែកជើងកវែងដែរ។
រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកសមាជិកណាមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រដោយលេខរបស់វា " ន".
ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ អត្ថន័យគឺជាការប្រៀបធៀបពេញលេញជាមួយនឹងដំណើរការនព្វន្ធ។ យើងស្គាល់លេខ n - យើងក៏អាចរាប់ពាក្យនៅក្រោមលេខនេះបានដែរ។ មួយណាដែលយើងចង់បាន។ ដោយមិនចាំបាច់គុណនឹង "q" ច្រើនដងច្រើនដង។ នោះហើយជាចំណុចទាំងមូល។ )
ខ្ញុំយល់ថានៅកម្រិតនៃការធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពនេះ បរិមាណទាំងអស់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តគួរតែច្បាស់សម្រាប់អ្នករួចហើយ ប៉ុន្តែខ្ញុំនៅតែចាត់ទុកថាវាជាកាតព្វកិច្ចរបស់ខ្ញុំក្នុងការឌិគ្រីបនីមួយៗ។ គ្រាន់តែនៅក្នុងករណី។
ដូច្នេះ, នៅទីនេះយើងទៅ:
ខ 1 – ដំបូងរយៈពេលនៃដំណើរការធរណីមាត្រ;
q – ;
ន- លេខសមាជិក;
b n – ទី (នទី)រយៈពេលនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
រូបមន្តនេះភ្ជាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ៗចំនួនបួននៃដំណើរការធរណីមាត្រណាមួយ - ខន, ខ 1 , qនិង ន. ហើយបញ្ហាវឌ្ឍនភាពទាំងអស់គឺទាក់ទងនឹងតួរលេខសំខាន់ៗទាំងបួននេះ។
"តើវាត្រូវបានដកចេញដោយរបៀបណា?"– ខ្ញុំឮសំណួរចង់ដឹង… បឋមសិក្សា! មើល!
អ្វីដែលស្មើនឹង ទីពីរសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព? គ្មានបញ្ហា! យើងសរសេរដោយផ្ទាល់៖
b 2 = b 1 · q
ចុះសមាជិកទីបីវិញ? ក៏មិនជាបញ្ហាដែរ! យើងគុណនឹងពាក្យទីពីរ ជាថ្មីម្តងទៀតនៅលើq.
ដូចនេះ៖
B 3 = b 2 q
ឥឡូវនេះ ចូរយើងចាំថាពាក្យទីពីរគឺស្មើនឹង b 1 ·q ហើយជំនួសកន្សោមនេះទៅជាសមភាពរបស់យើង៖
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
យើងទទួលបាន:
ខ 3 = b 1 · q 2
ឥឡូវនេះសូមអានធាតុរបស់យើងជាភាសារុស្សី៖ ទីបី term គឺស្មើនឹងពាក្យទីមួយគុណនឹង q ក្នុង ទីពីរដឺក្រេ។ តើអ្នកទទួលបានវាទេ? នៅឡើយ? មិនអីទេ មួយជំហានទៀត។
តើអ្វីទៅជាពាក្យទីបួន? ដូចគ្នាទាំងអស់! គុណ មុន(ឧ. ពាក្យទីបី) នៅលើ q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
សរុប៖
ខ 4 = b 1 · q 3
ហើយម្តងទៀតយើងបកប្រែជាភាសារុស្សី៖ ទីបួន term គឺស្មើនឹងពាក្យទីមួយគុណនឹង q ក្នុង ទីបីដឺក្រេ។
លល។ ដូច្នេះតើវាយ៉ាងម៉េចដែរ? តើអ្នកបានចាប់គំរូទេ? បាទ! សម្រាប់ពាក្យណាមួយដែលមានលេខណាមួយ ចំនួននៃកត្តាដូចគ្នាបេះបិទ q (ឧ. កម្រិតនៃភាគបែង) នឹងតែងតែជា មួយតិចជាងចំនួនសមាជិកដែលចង់បានន.
ដូច្នេះ រូបមន្តរបស់យើងនឹងគ្មានជម្រើស៖
b n =ខ 1 · qn -1
អស់ហើយ។)
អញ្ចឹងតោះយើងដោះស្រាយបញ្ហា?)
ការដោះស្រាយបញ្ហារូបមន្តនពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ចូរចាប់ផ្តើមដូចធម្មតាជាមួយនឹងការអនុវត្តផ្ទាល់នៃរូបមន្ត។ នេះជាបញ្ហាធម្មតា៖
នៅក្នុងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រវាត្រូវបានគេដឹងថា ខ 1 = 512 និង q = -1/2 ។ ស្វែងរកពាក្យទីដប់នៃវឌ្ឍនភាព។
ជាការពិតណាស់ បញ្ហានេះអាចដោះស្រាយបានដោយគ្មានរូបមន្តអ្វីទាំងអស់។ ដោយផ្ទាល់នៅក្នុងន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ប៉ុន្តែយើងត្រូវកំដៅជាមួយរូបមន្តសម្រាប់អាណត្តិទី៩ មែនទេ? នៅទីនេះយើងកំពុងឡើងកំដៅផែនដី។
ទិន្នន័យរបស់យើងសម្រាប់អនុវត្តរូបមន្តមានដូចខាងក្រោម។
សមាជិកទីមួយត្រូវបានគេស្គាល់។ នេះគឺ 512 ។
ខ 1 = 512.
ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរ៖ q = -1/2.
អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវស្វែងយល់ថាតើចំនួនសមាជិក n ជាអ្វី។ គ្មានបញ្ហា! តើយើងចាប់អារម្មណ៍នឹងវគ្គទីដប់ទេ? ដូច្នេះយើងជំនួសដប់ជំនួសឱ្យ n ទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ។
ហើយគណនាលេខនព្វន្ធដោយប្រុងប្រយ័ត្ន៖
ចម្លើយ៖ -១
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញរយៈពេលទី 10 នៃវឌ្ឍនភាពបានប្រែទៅជាដក។ គ្មានអ្វីគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេ៖ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពរបស់យើងគឺ -1/2, i.e. អវិជ្ជមានចំនួន។ ហើយនេះប្រាប់យើងថា សញ្ញានៃការវិវត្តរបស់យើងឆ្លាស់គ្នា បាទ)
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ នេះគឺជាបញ្ហាស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិចនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការគណនា។
នៅក្នុងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ គេដឹងថា៖
ខ 1 = 3
ស្វែងរកពាក្យទីដប់បីនៃវឌ្ឍនភាព។
អ្វីៗគឺដូចគ្នា មានតែពេលនេះទេ ដែលជាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព មិនសមហេតុផល. ឫសពីរ។ មិនអីទេ។ រូបមន្តគឺជាវត្ថុសកល វាអាចគ្រប់គ្រងលេខណាមួយ។
យើងធ្វើការដោយផ្ទាល់តាមរូបមន្ត៖
ជាការពិតណាស់ រូបមន្តបានដំណើរការដូចដែលវាគួរតែ ប៉ុន្តែ... នេះគឺជាកន្លែងដែលមនុស្សមួយចំនួនជាប់គាំង។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើបន្ទាប់ជាមួយឫស? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីលើកឫសមួយទៅអំណាចដប់ពីរ?
How-how... អ្នកត្រូវតែយល់ថា រូបមន្តណាមួយជារឿងល្អ ប៉ុន្តែចំណេះដឹងនៃគណិតវិទ្យាពីមុនទាំងអស់មិនត្រូវបានលុបចោលទេ! តើត្រូវសាងសង់ដោយរបៀបណា? បាទចាំលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ! ចូរបង្វែរឫសទៅជា សញ្ញាបត្រប្រភាគនិង - យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់បង្កើនកម្រិតមួយដល់កម្រិតមួយ។
ដូចនេះ៖
ចម្លើយ៖ ១៩២
ហើយនោះជាអ្វីទាំងអស់។ )
តើអ្វីជាការលំបាកចម្បងក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តពាក្យទី 0 ដោយផ្ទាល់? បាទ! ការលំបាកចម្បងគឺ ធ្វើការជាមួយសញ្ញាបត្រ!ពោលគឺការបង្កើនចំនួនអវិជ្ជមាន ប្រភាគ ឫស និងសំណង់ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអំណាច។ ដូច្នេះអ្នកដែលមានបញ្ហានេះសូមបញ្ជាក់ពីសញ្ញាបត្រ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាឡើងវិញ! បើមិនដូច្នោះទេអ្នកនឹងបន្ថយប្រធានបទនេះផងដែរបាទ ... )
ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយបញ្ហាស្វែងរកធម្មតា។ ធាតុមួយនៃរូបមន្តប្រសិនបើអ្នកដទៃទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយជោគជ័យ រូបមន្តគឺឯកសណ្ឋាន និងសាមញ្ញណាស់ - សរសេររូបមន្តន- សមាជិកទូទៅ!នៅខាងស្ដាំសៀវភៅកត់ត្រានៅជាប់នឹងលក្ខខណ្ឌ។ ហើយបន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌយើងរកឃើញនូវអ្វីដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើង និងអ្វីដែលបាត់។ ហើយយើងបង្ហាញពីតម្លៃដែលចង់បានពីរូបមន្ត។ ទាំងអស់!
ឧទាហរណ៍ដូចជាបញ្ហាដែលមិនបង្កគ្រោះថ្នាក់។
ពាក្យទីប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង 3 គឺ 567។ ស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។
គ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេ។ យើងធ្វើការដោយផ្ទាល់យោងទៅតាមអក្ខរាវិរុទ្ធ។
ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 !
b n = ខ 1 · qn -1
តើយើងត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យអ្វីខ្លះ? ទីមួយ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ q = 3.
លើសពីនេះទៅទៀតយើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ សមាជិកទីប្រាំ: ខ 5 = 567 .
ទាំងអស់? ទេ! យើងក៏ត្រូវបានផ្តល់លេខ n! នេះគឺជាប្រាំ: n = 5 ។
ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកបានយល់រួចទៅហើយអ្វីដែលមាននៅក្នុងការថត ខ 5 = 567 ប៉ារ៉ាម៉ែត្រពីរត្រូវបានលាក់ក្នុងពេលតែមួយ - នេះគឺជាពាក្យទីប្រាំដោយខ្លួនឯង (567) និងលេខរបស់វា (5) ។ ខ្ញុំបាននិយាយអំពីរឿងនេះរួចហើយនៅក្នុងមេរៀនស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែខ្ញុំគិតថាវាមានតម្លៃនិយាយនៅទីនេះផងដែរ។)
ឥឡូវនេះយើងជំនួសទិន្នន័យរបស់យើងទៅក្នុងរូបមន្ត៖
567 = ខ 1 · ៣ ៥-១
យើងធ្វើលេខនព្វន្ធ សម្រួល និងទទួលបានសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញ៖
81 ខ 1 = 567
យើងដោះស្រាយនិងទទួលបាន៖
ខ 1 = 7
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញវាមិនមានបញ្ហាជាមួយនឹងការស្វែងរកពាក្យដំបូងទេ។ ប៉ុន្តែនៅពេលស្វែងរកភាគបែង qនិងលេខ នវាក៏អាចមានការភ្ញាក់ផ្អើលផងដែរ។ ហើយអ្នកក៏ត្រូវរៀបចំសម្រាប់ពួកគេផងដែរ (ការភ្ញាក់ផ្អើល) បាទ។
ឧទាហរណ៍បញ្ហានេះ៖
ពាក្យទីប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលមានភាគបែងវិជ្ជមានគឺ 162 ហើយពាក្យទីមួយនៃវឌ្ឍនភាពនេះគឺ 2. ស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។
លើកនេះយើងត្រូវបានផ្តល់ឲ្យនូវពាក្យទី១ និងទី៥ ហើយត្រូវសួររកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។ តោះយើងទៅ។
យើងសរសេររូបមន្តនសមាជិក!
b n = ខ 1 · qn -1
ទិន្នន័យដំបូងរបស់យើងនឹងមានដូចខាងក្រោម៖
ខ 5 = 162
ខ 1 = 2
ន = 5
បាត់តម្លៃ q. គ្មានបញ្ហា! សូមស្វែងរកវាឥឡូវនេះ។) យើងជំនួសអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលយើងដឹងទៅក្នុងរូបមន្ត។
យើងទទួលបាន:
១៦២ = ២q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
សមីការសាមញ្ញនៃសញ្ញាបត្រទីបួន។ ហើយឥឡូវនេះ - ប្រយ័ត្ន!នៅដំណាក់កាលនៃដំណោះស្រាយនេះ សិស្សជាច្រើនបានទាញយកឫសគល់ (នៃសញ្ញាបត្រទីបួន) ដោយរីករាយភ្លាមៗ ហើយទទួលបានចម្លើយ q=3 .
ដូចនេះ៖
q4 = 81
q = 3
ប៉ុន្តែតាមពិត នេះគឺជាចម្លើយដែលមិនទាន់បញ្ចប់។ ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត មិនពេញលេញ។ ហេតុអ្វី? ចំណុចនោះគឺថាចម្លើយ q = -3 ក៏សមរម្យ៖ (-៣) ៤ ក៏នឹង ៨១!
នេះគឺដោយសារតែសមីការថាមពល x ន = កតែងតែមាន ឫសផ្ទុយពីរនៅ សូម្បីតែន . បូកនិងដក៖
ទាំងពីរគឺសមរម្យ។
ឧទាហរណ៍នៅពេលសម្រេចចិត្ត (ឧ។ ទីពីរដឺក្រេ)
x 2 = 9
សម្រាប់ហេតុផលខ្លះអ្នកមិនភ្ញាក់ផ្អើលនឹងរូបរាងទេ។ ពីរឫស x = ± 3? វាដូចគ្នានៅទីនេះ។ និងជាមួយផ្សេងទៀត។ សូម្បីតែសញ្ញាបត្រ (ទីបួន ទីប្រាំមួយ ទីដប់ ។ល។) នឹងដូចគ្នា។ ព័ត៌មានលម្អិតគឺនៅក្នុងប្រធានបទអំពី
ដូច្នេះដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវនឹងមានៈ
q 4 = 81
q= ±3
ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានតម្រៀបចេញសញ្ញា។ តើមួយណាត្រឹមត្រូវ - បូកឬដក? ជាការប្រសើរណាស់, សូមអានសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាម្តងទៀតក្នុងការស្វែងរក ព័ត៍មានបន្ថែម។ជាការពិតណាស់វាប្រហែលជាមិនមានទេប៉ុន្តែនៅក្នុងបញ្ហានេះព័ត៌មានបែបនេះ មាន។លក្ខខណ្ឌរបស់យើងចែងក្នុងអត្ថបទធម្មតាថា វឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ភាគបែងវិជ្ជមាន។
ដូច្នេះចម្លើយគឺច្បាស់៖
q = 3
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ តើអ្នកគិតថានឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាមានលក្ខណៈដូចនេះ៖
ពាក្យទីប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ 162 ហើយពាក្យទីមួយនៃវឌ្ឍនភាពនេះគឺ 2. ស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។
តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? បាទ! នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ គ្មានអ្វីទេ។គ្មានការលើកឡើងពីសញ្ញានៃភាគបែងទេ។ មិនដោយផ្ទាល់ ឬដោយប្រយោល។ ហើយនៅទីនេះបញ្ហានឹងមានរួចហើយ ដំណោះស្រាយពីរ!
q = 3 និង q = -3
បាទបាទ! ទាំងបូក និងដក។) តាមគណិតវិទ្យា ការពិតនេះអាចមានន័យថាមាន វឌ្ឍនភាពពីរដែលសមនឹងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ហើយម្នាក់ៗមានភាគបែងរៀងៗខ្លួន។ គ្រាន់តែជាការលេងសើច, អនុវត្តនិងសរសេរចេញប្រាំលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃគ្នា) ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងអនុវត្តការស្វែងរកលេខរបស់សមាជិក។ បញ្ហានេះពិបាកបំផុត បាទ។ ប៉ុន្តែថែមទាំងមានភាពច្នៃប្រឌិតថែមទៀត។ )
បានផ្តល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ:
3; 6; 12; 24; …
តើលេខអ្វីក្នុងការវិវត្តនេះជាលេខ ៧៦៨?
ជំហានដំបូងនៅតែដដែល៖ សរសេររូបមន្តនសមាជិក!
b n = ខ 1 · qn -1
ហើយឥឡូវនេះ ដូចធម្មតា យើងជំនួសទិន្នន័យដែលយើងដឹងទៅក្នុងវា។ ហឹម... វាមិនដំណើរការទេ! តើពាក្យទីមួយនៅឯណា ភាគបែងនៅឯណា ឯណាទៀត?!
កន្លែងណា កន្លែងណា... ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការភ្នែក? ផ្លុំរោមភ្នែករបស់អ្នក? លើកនេះវឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើងដោយផ្ទាល់ក្នុងទម្រង់ លំដាប់។តើយើងអាចឃើញសមាជិកដំបូងទេ? យើងឃើញ! នេះគឺជាបីដង (b 1 = 3) ។ ចុះចំណែកវិញ? យើងមិនទាន់ឃើញទេ ប៉ុន្តែវាងាយស្រួលរាប់ណាស់។ ប្រាកដណាស់ បើអ្នកយល់...
ដូច្នេះយើងរាប់។ ដោយផ្ទាល់យោងទៅតាមអត្ថន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖ យើងយកពាក្យណាមួយរបស់វា (លើកលែងតែទីមួយ) ហើយបែងចែកដោយពាក្យមុន។
យ៉ាងហោចណាស់ដូចនេះ៖
q = 24/12 = 2
តើយើងដឹងអ្វីទៀត? យើងក៏ដឹងពីពាក្យខ្លះនៃការរីកចម្រើននេះដែរ ស្មើនឹង 768។ ក្រោមលេខមួយចំនួន n៖
b n = 768
យើងមិនដឹងលេខរបស់គាត់ទេ ប៉ុន្តែភារកិច្ចរបស់យើងគឺច្បាស់ណាស់ក្នុងការស្វែងរកគាត់។) ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរក។ យើងបានទាញយកទិន្នន័យចាំបាច់ទាំងអស់សម្រាប់ការជំនួសទៅក្នុងរូបមន្តរួចហើយ។ មិនស្គាល់ខ្លួនឯង។ )
នៅទីនេះយើងជំនួស៖
៧៦៨ = ៣ ២ន -1
ចូរយើងធ្វើបឋមសិក្សា - បែងចែកភាគីទាំងពីរដោយបីហើយសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ធម្មតា: មិនស្គាល់គឺនៅខាងឆ្វេងស្គាល់នៅខាងស្តាំ។
យើងទទួលបាន:
2 ន -1 = 256
នេះគឺជាសមីការគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ យើងត្រូវស្វែងរក "n" ។ មិនធម្មតាទេ? បាទ ខ្ញុំមិនប្រកែកទេ។ តាមពិតនេះគឺជារឿងសាមញ្ញបំផុត។ វាត្រូវបានគេហៅថាដូច្នេះដោយសារតែមិនស្គាល់ (ក្នុងករណីនេះវាគឺជាលេខ ន) ចំណាយក្នុង សូចនាករដឺក្រេ។
នៅដំណាក់កាលនៃការរៀនអំពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ (នេះគឺជាថ្នាក់ទីប្រាំបួន) ពួកគេមិនបង្រៀនអ្នកពីរបៀបដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលទេ បាទ... នេះជាប្រធានបទសម្រាប់វិទ្យាល័យ។ ប៉ុន្តែមិនមានអ្វីគួរឱ្យខ្លាចនោះទេ។ ទោះបីជាអ្នកមិនដឹងថាសមីការបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងណានោះ ចូរយើងព្យាយាមស្វែងរករបស់យើង។ នដឹកនាំដោយតក្កវិជ្ជាសាមញ្ញ និងសុភវិនិច្ឆ័យ។
តោះចាប់ផ្តើមនិយាយ។ នៅខាងឆ្វេងយើងមានដើមជ្រៃ ដល់កម្រិតជាក់លាក់មួយ។. យើងនៅមិនទាន់ដឹងថាកម្រិតនេះពិតជាកម្រិតណានោះទេ ប៉ុន្តែវាមិនគួរឲ្យខ្លាចនោះទេ។ ប៉ុន្តែយើងដឹងច្បាស់ថាសញ្ញាបត្រនេះស្មើនឹង 256! ដូច្នេះយើងចាំថាចំនួនពីរផ្តល់ឱ្យយើងដល់កម្រិតណា 256. តើអ្នកចាំទេ? បាទ! IN ទីប្រាំបីដឺក្រេ!
256 = 2 8
ប្រសិនបើអ្នកមិនចាំ ឬមានបញ្ហាក្នុងការទទួលស្គាល់ដឺក្រេ នោះក៏មិនអីដែរ៖ គ្រាន់តែបន្តការ៉េពីរ គូប ទីបួន ទីប្រាំ ជាដើម។ ការជ្រើសរើសតាមពិត ប៉ុន្តែនៅកម្រិតនេះនឹងដំណើរការបានល្អ។
វិធីមួយ ឬមធ្យោបាយផ្សេងទៀត យើងទទួលបាន៖
2 ន -1 = 2 8
ន-1 = 8
ន = 9
ដូច្នេះ ៧៦៨ ទីប្រាំបួនសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពរបស់យើង។ នោះហើយជាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។ )
ចម្លើយ៖ ៩
អ្វី? ធុញ? ធុញទ្រាន់នឹងសម្ភារៈបឋម? យល់ព្រម។ ហើយខ្ញុំផងដែរ។ ចូរផ្លាស់ទីទៅកម្រិតបន្ទាប់។ )
កិច្ចការកាន់តែស្មុគស្មាញ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកបន្ថែមទៀត។ ពិតជាមិនអស្ចារ្យនោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវការការងារបន្តិចបន្តួចដើម្បីទទួលបានចម្លើយ។
ឧទាហរណ៍មួយនេះ។
ស្វែងរកពាក្យទីពីរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ប្រសិនបើពាក្យទីបួនរបស់វាគឺ -24 ហើយពាក្យទីប្រាំពីររបស់វាគឺ 192។
នេះគឺជាប្រភេទបុរាណ។ ពាក្យពីរផ្សេងគ្នានៃការវិវត្តត្រូវបានគេដឹង ប៉ុន្តែពាក្យមួយទៀតត្រូវរកឃើញ។ ជាងនេះទៅទៀត សមាជិកទាំងអស់មិនមែនជាអ្នកជិតខាងទេ។ អ្វីដែលយល់ពីដំបូងបាទ ...
ដូចនៅក្នុង, ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះយើងនឹងពិចារណាវិធីសាស្រ្តពីរ។ វិធីសាស្រ្តដំបូងគឺសកល។ ពិជគណិត។ ដំណើរការដោយគ្មានកំហុសជាមួយទិន្នន័យប្រភពណាមួយ។ នោះហើយជាកន្លែងដែលយើងនឹងចាប់ផ្តើម។ )
យើងពិពណ៌នាពាក្យនីមួយៗតាមរូបមន្ត នសមាជិក!
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ មានតែពេលនេះទេដែលយើងកំពុងធ្វើការជាមួយ មួយទៀតរូបមន្តទូទៅ។ នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់។) ប៉ុន្តែខ្លឹមសារគឺដូចគ្នា៖ យើងយក និង ម្តងមួយៗយើងជំនួសទិន្នន័យដំបូងរបស់យើងទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ។ សម្រាប់សមាជិកម្នាក់ៗ - ផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។
សម្រាប់ពាក្យទីបួនយើងសរសេរ៖
ខ 4 = ខ 1 · q 3
-24 = ខ 1 · q 3
បរិភោគ។ សមីការមួយរួចរាល់ហើយ។
សម្រាប់ពាក្យទីប្រាំពីរយើងសរសេរ:
ខ 7 = ខ 1 · q 6
192 = ខ 1 · q 6
សរុបមក យើងទទួលបានសមីការពីរសម្រាប់ វឌ្ឍនភាពដូចគ្នា។ .
យើងប្រមូលផ្តុំប្រព័ន្ធពីពួកគេ៖
ថ្វីបើមានរូបរាងគួរឱ្យខ្លាចក៏ដោយ ប្រព័ន្ធនេះគឺសាមញ្ញណាស់។ ដំណោះស្រាយជាក់ស្តែងបំផុតគឺការជំនួសដ៏សាមញ្ញ។ យើងបង្ហាញ ខ 1 ពីសមីការខាងលើ ហើយជំនួសវាទៅជាសមីការខាងក្រោម៖
បន្ទាប់ពីធ្វើសមីការបាតបន្តិច (កាត់បន្ថយអំណាច និងចែកដោយ -២៤) យើងទទួលបាន៖
q 3 = -8
និយាយអីញ្ចឹង សមីការដូចគ្នានេះអាចមកដល់តាមរបៀបសាមញ្ញជាង! មួយណា? ឥឡូវនេះខ្ញុំនឹងបង្ហាញអ្នកនូវអាថ៌កំបាំងមួយទៀត ប៉ុន្តែស្រស់ស្អាតខ្លាំងណាស់ មធ្យោបាយដ៏មានឥទ្ធិពល និងមានប្រយោជន៍ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះ សមីការដែលរួមមាន ដំណើរការតែប៉ុណ្ណោះ។យ៉ាងហោចណាស់ក្នុងមួយ។ បានហៅ វិធីសាស្រ្តបែងចែកសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀត។
ដូច្នេះ យើងមានប្រព័ន្ធមុនយើង៖
នៅក្នុងសមីការទាំងពីរនៅខាងឆ្វេង - ការងារហើយនៅខាងស្តាំគឺគ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ។ នេះជាសញ្ញាល្អណាស់) ចូរយកវាមកចែកគ្នានិយាយថា សមីការខាងក្រោមដោយមួយខាងលើ! តើមានន័យយ៉ាងណា, តោះចែកសមីការមួយនឹងសមីការមួយទៀត?សាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងយកវា។ ខាងឆ្វេងសមីការមួយ (ទាបជាង) និង បែងចែកនាងនៅលើ ខាងឆ្វេងសមីការមួយទៀត (ខាងលើ) ។ ផ្នែកខាងស្តាំគឺស្រដៀងគ្នា៖ ផ្នែកខាងស្តាំសមីការមួយ។ បែងចែកនៅលើ ផ្នែកខាងស្តាំមួយទៀត។
ដំណើរការបែងចែកទាំងមូលមើលទៅដូចនេះ៖
ឥឡូវនេះកាត់បន្ថយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអាចកាត់បន្ថយបាន យើងទទួលបាន៖
q 3 = -8
តើវិធីនេះមានប្រយោជន៍អ្វី? បាទ/ចាស ពីព្រោះនៅក្នុងដំណើរការនៃការបែងចែកបែបនេះ អ្វីៗដែលមិនល្អ និងភាពរអាក់រអួលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយសុវត្ថិភាព ហើយសមីការគ្មានការបង្កគ្រោះថ្នាក់ទាំងស្រុងនៅតែមាន! នេះជាមូលហេតុដែលវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការមាន គុណយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ មិនមានគុណ - គ្មានអ្វីកាត់បន្ថយទេបាទ ...
ជាទូទៅ វិធីសាស្រ្តនេះ (ដូចជាវិធីសាស្រ្តមិនសំខាន់ផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធដោះស្រាយ) សូម្បីតែសមនឹងទទួលបានមេរៀនដាច់ដោយឡែកមួយ។ ខ្ញុំពិតជានឹងពិនិត្យមើលវាឱ្យកាន់តែលម្អិត។ ថ្ងៃណាមួយ…
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនមានបញ្ហាថាតើអ្នកដោះស្រាយប្រព័ន្ធយ៉ាងពិតប្រាកដនោះទេ ទោះក្នុងករណីណាក៏ដោយ ឥឡូវនេះយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល៖
q 3 = -8
គ្មានបញ្ហា៖ ស្រង់ឫសគូបចេញ ហើយអ្នករួចរាល់ហើយ!
សូមចំណាំថា មិនចាំបាច់ដាក់បូក/ដកនៅទីនេះទេ ពេលស្រង់ចេញ។ ឫសរបស់យើងគឺសេស (ទីបី) ដឺក្រេ។ ហើយចម្លើយក៏ដូចគ្នាដែរ បាទ)។
ដូច្នេះ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានរកឃើញ។ ដកពីរ។ អស្ចារ្យ! ដំណើរការកំពុងបន្ត។ )
សម្រាប់ពាក្យដំបូង (និយាយថាពីសមីការខាងលើ) យើងទទួលបាន:
អស្ចារ្យ! យើងស្គាល់ពាក្យដំបូង យើងស្គាល់ភាគបែង។ ហើយឥឡូវនេះយើងមានឱកាសស្វែងរកសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាព។ រួមទាំងទីពីរ។ )
សម្រាប់ពាក្យទីពីរអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់:
ខ 2 = ខ 1 · q= 3·(−2) = −6
ចម្លើយ៖ -៦
ដូច្នេះ យើងបានបំបែកវិធីសាស្ត្រពិជគណិតសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។ ពិបាក? មិនពិតទេ ខ្ញុំយល់ព្រម។ យូរហើយធុញទ្រាន់? ចាឬបាទវាច្បាស់លាស់ណាស់។ ប៉ុន្តែពេលខ្លះអ្នកអាចកាត់បន្ថយបរិមាណការងារយ៉ាងច្រើន។ សម្រាប់នេះមាន វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក។ចាស់ហើយស្គាល់យើង។ )
តោះគូរបញ្ហា!
បាទ! យ៉ាងពិតប្រាកដ។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងពណ៌នាការវិវត្តរបស់យើងនៅលើអ័ក្សលេខ។ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការធ្វើតាមអ្នកគ្រប់គ្រងទេ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការរក្សាចន្លោះពេលស្មើគ្នារវាងពាក្យ (ដែលតាមវិធីនេះនឹងមិនដូចគ្នាទេ ចាប់តាំងពីការវិវត្តជាធរណីមាត្រ!) ប៉ុន្តែគ្រាន់តែ តាមគ្រោងការណ៍តោះគូរលំដាប់របស់យើង។
ខ្ញុំទទួលបានវាដូចនេះ៖
ឥឡូវមើលរូបភាពហើយយល់។ តើកត្តាដូចគ្នាប៉ុន្មាន "q" ដាច់ដោយឡែក ទីបួននិង ទីប្រាំពីរសមាជិក? ត្រូវហើយ បី!
ដូច្នេះហើយ យើងមានសិទ្ធិសរសេរ៖
-24 ·q 3 = 192
ពីទីនេះឥឡូវនេះវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក q:
q 3 = -8
q = -2
ល្អណាស់ យើងមានភាគបែងនៅក្នុងហោប៉ៅរបស់យើង។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលរូបភាពម្តងទៀត: តើភាគបែងបែបនេះមានចំនួនប៉ុន្មាន ទីពីរនិង ទីបួនសមាជិក? ពីរ! ដូច្នេះ ដើម្បីកត់ត្រាការតភ្ជាប់រវាងពាក្យទាំងនេះ យើងនឹងសាងសង់ភាគបែង ការ៉េ.
ដូច្នេះយើងសរសេរ៖
ខ 2 · q 2 = -24 កន្លែងណា ខ 2 = -24/ q 2
យើងជំនួសភាគបែងដែលបានរកឃើញរបស់យើងទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ b 2 រាប់ និងទទួលបាន៖
ចម្លើយ៖ -៦
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនិងលឿនជាងតាមរយៈប្រព័ន្ធ។ លើសពីនេះទៅទៀត នៅទីនេះយើងមិនចាំបាច់រាប់ពាក្យដំបូងទាល់តែសោះ! ទាំងអស់។ )
នេះគឺជាវិធីសាមញ្ញ និងជាពន្លឺដែលមើលឃើញ។ ប៉ុន្តែវាក៏មានគុណវិបត្តិយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរផងដែរ។ តើអ្នកបានទាយទេ? បាទ! វាល្អសម្រាប់តែផ្នែកខ្លីៗនៃការវិវត្តន៍ប៉ុណ្ណោះ។ អ្នកទាំងឡាយណាដែលចម្ងាយរវាងសមាជិកនៃចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងគឺមិនធំខ្លាំងណាស់។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់ វាពិបាកក្នុងការគូររូបភាព បាទ... បន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយបញ្ហាដោយវិភាគតាមរយៈប្រព័ន្ធ។) ហើយប្រព័ន្ធគឺជារឿងសកល។ ពួកគេអាចគ្រប់គ្រងលេខណាមួយ។
ការប្រកួតប្រជែងវីរភាពមួយទៀត៖
ពាក្យទីពីរនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ 10 ច្រើនជាងពាក្យទីមួយ ហើយពាក្យទីបីគឺ 30 ច្រើនជាងទីពីរ។ ស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។
អីឡូវ? មិនមែនទាល់តែសោះ! ដូចគ្នាទាំងអស់។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងបកប្រែសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាទៅជាពិជគណិតសុទ្ធ។
1) យើងពិពណ៌នាពាក្យនីមួយៗតាមរូបមន្ត នសមាជិក!
ពកយទីពីរ៖ b 2 = b 1 q
ពកទី៣៖ b 3 = b 1 q 2
2) យើងសរសេរទំនាក់ទំនងរវាងសមាជិកពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។
យើងអានលក្ខខណ្ឌ៖ "រយៈពេលទីពីរនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ 10 ធំជាងទីមួយ។"ឈប់ទៅ នេះមានតម្លៃ!
ដូច្នេះយើងសរសេរ៖
ខ 2 = ខ 1 +10
ហើយយើងបកប្រែឃ្លានេះទៅជាគណិតវិទ្យាសុទ្ធ៖
ខ 3 = ខ 2 +30
យើងទទួលបានសមីការពីរ។ ចូរយើងបញ្ចូលពួកវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធមួយ៖
ប្រព័ន្ធមើលទៅសាមញ្ញ។ ប៉ុន្តែមានសន្ទស្សន៍ផ្សេងគ្នាច្រើនពេកសម្រាប់អក្សរ។ ចូរជំនួសពាក្យទីពីរ និងទីបី ការបញ្ចេញមតិរបស់ពួកគេតាមរយៈពាក្យទីមួយ និងភាគបែង! តើយើងលាបពណ៌វាឥតប្រយោជន៍ឬ?
យើងទទួលបាន:
ប៉ុន្តែប្រព័ន្ធបែបនេះលែងជាអំណោយទៀតហើយ បាទ... តើត្រូវដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយរបៀបណា? ជាអកុសលមិនមានអក្ខរាវិរុទ្ធសម្ងាត់ជាសកលសម្រាប់ការដោះស្រាយស្មុគស្មាញទេ។ មិនមែនលីនេអ៊ែរមិនមានប្រព័ន្ធនៅក្នុងគណិតវិទ្យាទេ ហើយក៏មិនអាចមានដែរ។ វាអស្ចារ្យណាស់! ប៉ុន្តែរឿងដំបូងដែលគួរគិតដល់អ្នកពេលព្យាយាមបំបែកគ្រាប់រឹងបែបនេះគឺត្រូវគិតចេញ ប៉ុន្តែតើសមីការមួយរបស់ប្រព័ន្ធមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដ៏ស្រស់ស្អាតដែលអនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍បង្ហាញអថេរមួយក្នុងន័យផ្សេងទៀតបានយ៉ាងងាយស្រួលទេ?
ចូរយើងដោះស្រាយវា។ សមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធគឺច្បាស់ជាងសាមញ្ញជាងទីពីរ។ យើងនឹងធ្វើទារុណកម្មគាត់ អ្វីមួយបង្ហាញតាមរយៈ អ្វីមួយ?ដោយសារយើងចង់ស្វែងរកភាគបែង qបន្ទាប់មក វានឹងមានប្រយោជន៍បំផុតសម្រាប់ពួកយើងក្នុងការបញ្ចេញមតិ ខ 1 តាមរយៈ q.
ដូច្នេះ ចូរយើងព្យាយាមធ្វើបែបបទនេះជាមួយសមីការដំបូងដោយប្រើពាក្យចាស់ល្អ៖
b 1 q = b 1 +10
b 1 q − b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
ទាំងអស់! ដូច្នេះយើងបានបង្ហាញ មិនចាំបាច់ផ្តល់ឱ្យយើងនូវអថេរ (b 1) តាមរយៈ ចាំបាច់(q) បាទ វាមិនមែនជាកន្សោមសាមញ្ញបំផុតដែលយើងទទួលបាននោះទេ។ ប្រភាគមួយចំនួន... ប៉ុន្តែប្រព័ន្ធរបស់យើងមានកម្រិតសមរម្យ បាទ។ )
ធម្មតា យើងដឹងពីអ្វីដែលត្រូវធ្វើ។
យើងសរសេរ ODZ (ចាំបាច់!) :
q ≠ ១
យើងគុណគ្រប់យ៉ាងដោយភាគបែង (q-1) ហើយលុបចោលប្រភាគទាំងអស់៖
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
យើងបែងចែកអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយដប់ បើកតង្កៀប ហើយប្រមូលអ្វីៗទាំងអស់ពីខាងឆ្វេង៖
q 2 – 4 q + 3 = 0
យើងដោះស្រាយលទ្ធផលហើយទទួលបានឫសពីរ៖
q 1 = 1
q 2 = 3
មានចម្លើយចុងក្រោយតែមួយគត់៖ q = 3 .
ចម្លើយ៖ ៣
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញផ្លូវដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាភាគច្រើនទាក់ទងនឹងរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺតែងតែដូចគ្នា: អាន ដោយយកចិត្តទុកដាក់លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា និងការប្រើរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 យើងបកប្រែព័ត៌មានមានប្រយោជន៍ទាំងអស់ទៅជាពិជគណិតសុទ្ធ។
ពោលគឺ៖
1) យើងពិពណ៌នាដោយឡែកពីគ្នានូវពាក្យនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងបញ្ហាដោយយោងតាមរូបមន្តនសមាជិកទី។
2) ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងបកប្រែការតភ្ជាប់រវាងសមាជិកទៅជាទម្រង់គណិតវិទ្យា។ យើងបង្កើតសមីការ ឬប្រព័ន្ធសមីការ។
3) យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលឬប្រព័ន្ធនៃសមីការស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមិនស្គាល់នៃការវិវត្ត។
4) ក្នុងករណីមានចម្លើយមិនច្បាស់លាស់ សូមអានដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលក្ខខណ្ឌការងារក្នុងការស្វែងរកព័ត៌មានបន្ថែម (ប្រសិនបើមាន)។ យើងក៏ពិនិត្យមើលការឆ្លើយតបដែលទទួលបានជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃ DL (ប្រសិនបើមាន)។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងរាយបញ្ជីបញ្ហាសំខាន់ៗដែលភាគច្រើននាំទៅរកកំហុសក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
1. នព្វន្ធបឋម។ ប្រតិបត្តិការជាមួយប្រភាគ និងលេខអវិជ្ជមាន។
2. ប្រសិនបើមានបញ្ហាយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមចំណុចទាំងបីនេះ នោះអ្នកនឹងធ្វើខុសដោយជៀសមិនរួចនៅក្នុងប្រធានបទនេះ។ ជាអកុសល... ដូច្នេះកុំខ្ជិល ហើយនិយាយឡើងវិញនូវអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។ ហើយធ្វើតាមតំណ - ទៅ។ ពេលខ្លះវាជួយ។ )
រូបមន្តដែលបានកែប្រែ និងកើតឡើងដដែលៗ។
ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលបញ្ហាប្រឡងធម្មតាមួយចំនួនដែលមានការបង្ហាញអំពីលក្ខខណ្ឌដែលមិនសូវស្គាល់។ បាទ បាទ អ្នកទាយវា! នេះ។ កែប្រែនិង កើតឡើងវិញ។រូបមន្តពាក្យទី។ យើងបានជួបប្រទះរូបមន្តបែបនេះរួចហើយ ហើយបានធ្វើការលើដំណើរការនព្វន្ធ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ។ ខ្លឹមសារគឺដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍បញ្ហានេះពី OGE៖
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត b n = ៣ ២ ន . ស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យទីមួយ និងទីបួនរបស់វា។
លើកនេះការវិវត្តមិនដូចធម្មតាសម្រាប់យើងទេ។ នៅក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តមួយចំនួន។ ដូច្នេះ អ្វី? រូបមន្តនេះគឺ រូបមន្តផងដែរ។នសមាជិក!អ្នក និងខ្ញុំដឹងថា រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 អាចត្រូវបានសរសេរទាំងទម្រង់ទូទៅ ដោយប្រើអក្សរ និងសម្រាប់ វឌ្ឍនភាពជាក់លាក់. ជាមួយ ជាក់លាក់ពាក្យទីមួយ និងភាគបែង។
ក្នុងករណីរបស់យើង តាមពិត យើងត្រូវបានផ្ដល់រូបមន្តពាក្យទូទៅសម្រាប់ការវិវត្តធរណីមាត្រជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រដូចខាងក្រោម៖
ខ 1 = 6
q = 2
ចូរពិនិត្យ?) ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ក្នុងទម្រង់ទូទៅ ហើយជំនួសវាទៅជា ខ 1 និង q. យើងទទួលបាន:
b n = ខ 1 · qn -1
b n= ៦ ២ន -1
យើងសម្រួលការប្រើប្រាស់កត្តា និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាច ហើយយើងទទួលបាន៖
b n= ៦ ២ន -1 = 3·2·2ន -1 = ៣ ២ន -1+1 = ៣ ២ន
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺយុត្តិធម៌។ ប៉ុន្តែគោលដៅរបស់យើងគឺមិនមែនដើម្បីបង្ហាញពីប្រភពនៃរូបមន្តជាក់លាក់នោះទេ។ នេះជាការបំប្លែងទំនុកច្រៀង។ សុទ្ធតែសម្រាប់ការយល់ដឹង។) គោលដៅរបស់យើងគឺដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាតាមរូបមន្តដែលបានផ្ដល់ឱ្យយើងក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ តើអ្នកទទួលបានវាទេ?) ដូច្នេះយើងធ្វើការជាមួយរូបមន្តដែលបានកែប្រែដោយផ្ទាល់។
យើងរាប់ពាក្យដំបូង។ ចូរជំនួស ន=1 ចូលទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ៖
ខ 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
ដូចនេះ។ និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំនឹងមិនខ្ជិលទេ ហើយជាថ្មីម្តងទៀត ទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះកំហុសធម្មតាជាមួយនឹងការគណនានៃពាក្យទីមួយ។ កុំមើលរូបមន្ត b n= ៣ ២ន, ប្រញាប់សរសេរភ្លាមថាពាក្យដំបូងគឺបី! នេះជាកំហុសធ្ងន់ធ្ងរ បាទ...)
សូមបន្ត។ ចូរជំនួស ន=4 ហើយរាប់ពាក្យទីបួន៖
ខ 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
ហើយចុងក្រោយយើងគណនាចំនួនដែលត្រូវការ៖
ខ 1 + ខ 4 = 6+48 = 54
ចម្លើយ៖ ៥៤
បញ្ហាមួយទៀត។
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖
ខ 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
ស្វែងរកពាក្យទីបួននៃវឌ្ឍនភាព។
នៅទីនេះ វឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តដដែលៗ។ មិនអីទេ) របៀបធ្វើការជាមួយរូបមន្តនេះ។ - យើងក៏ដឹងដែរ។
ដូច្នេះយើងធ្វើសកម្មភាព។ ម្តងមួយជំហាន។
1) រាប់ពីរ ជាប់គ្នា។សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។
ពាក្យទីមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើងរួចហើយ។ ដកប្រាំពីរ។ ប៉ុន្តែពាក្យបន្ទាប់ ទីពីរ អាចត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរូបមន្តកើតឡើងវិញ។ ប្រសិនបើអ្នកយល់ពីគោលការណ៍នៃប្រតិបត្តិការរបស់វា ពិតណាស់)។
ដូច្នេះយើងរាប់ពាក្យទីពីរ យោងទៅតាមអ្នកស្គាល់ដំបូង:
ខ 2 = 3 ខ 1 = 3·(−7) = −21
2) គណនាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព
ក៏មិនមានបញ្ហាដែរ។ ត្រង់មកចែកគ្នា។ ទីពីរ Dick លើ ដំបូង។
យើងទទួលបាន:
q = -21/(-7) = 3
3) សរសេររូបមន្តនth member ក្នុងទម្រង់ធម្មតា ហើយគណនាសមាជិកដែលត្រូវការ។
ដូច្នេះ យើងស្គាល់ពាក្យទីមួយ ហើយក៏ធ្វើភាគបែងដែរ។ ដូច្នេះយើងសរសេរ៖
b n= -7 · ៣ន -1
ខ 4 = -7 · ៣ ៣ = -7 · 27 = -189
ចម្លើយ៖ -១៨៩
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ការធ្វើការជាមួយរូបមន្តបែបនេះសម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺសំខាន់មិនខុសពីនោះសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធទេ។ វាមានសារៈសំខាន់តែមួយគត់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីខ្លឹមសារទូទៅ និងអត្ថន័យនៃរូបមន្តទាំងនេះ។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកក៏ត្រូវយល់ពីអត្ថន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ, បាទ។ ) ហើយបន្ទាប់មកវានឹងមិនមានកំហុសឆោតល្ងង់ទេ។
អញ្ចឹងតោះសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង?)
ភារកិច្ចជាមូលដ្ឋានខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការឡើងកំដៅផែនដី:
1. បានផ្តល់ការវិវត្តធរណីមាត្រដែលក្នុងនោះ ខ 1 = 243, ក q = -2/3 ។ ស្វែងរកពាក្យទី ៦ នៃវឌ្ឍនភាព។
2. ពាក្យទូទៅនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត b n = 5∙2 ន +1 . ស្វែងរកលេខនៃពាក្យបីខ្ទង់ចុងក្រោយនៃដំណើរការនេះ។
3. វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖
ខ 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំនៃវឌ្ឍនភាព។
ស្មុគស្មាញបន្តិច៖
4. ផ្ដល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖
ខ 1 =2048; q =-0,5
តើពាក្យអវិជ្ជមានទីប្រាំមួយស្មើនឹងអ្វី?
អ្វីដែលហាក់ដូចជាពិបាកខ្លាំងណាស់? មិនមែនទាល់តែសោះ។ តក្កវិជ្ជា និងការយល់ដឹងអំពីអត្ថន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនឹងជួយសង្រ្គោះអ្នក។ ជាការប្រសើរណាស់, រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n, ជាការពិតណាស់។
5. ពាក្យទីបីនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ -14 ហើយពាក្យទីប្រាំបីគឺ 112. ស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។
6. ផលបូកនៃពាក្យទីមួយនិងទីពីរនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ 75 ហើយផលបូកនៃពាក្យទីពីរនិងទីបីគឺ 150 ។ ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំមួយនៃការវិវត្ត។
ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 6; -៣៨៨៨; -1; ៨០០; -៣២; ៤៤៨.
នោះហើយជាស្ទើរតែទាំងអស់។ អ្វីដែលយើងត្រូវធ្វើគឺរៀនរាប់ ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្របាទរកឃើញ ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រនិងចំនួនទឹកប្រាក់របស់វា។ គួរឲ្យចាប់អារម្មណ៍ និងមិនធម្មតាមែន! បន្ថែមទៀតអំពីរឿងនេះនៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។ )
>> គណិតវិទ្យា៖ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ដើម្បីភាពងាយស្រួលរបស់អ្នកអាន កថាខណ្ឌនេះត្រូវបានសាងសង់យ៉ាងពិតប្រាកដស្របតាមផែនការដូចគ្នាដែលយើងបានអនុវត្តតាមក្នុងកថាខណ្ឌមុន។
1. គំនិតជាមូលដ្ឋាន។
និយមន័យ។លំដាប់លេខដែលសមាជិកទាំងអស់ខុសពី 0 ហើយសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺទទួលបានពីសមាជិកមុនដោយគុណវាដោយលេខដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ក្នុងករណីនេះលេខ 5 ត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
ដូច្នេះ ការវិវត្តធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ (b n) ដែលកំណត់ឡើងវិញដោយទំនាក់ទំនង
តើវាអាចមើលតាមលំដាប់លេខ និងកំណត់ថាតើវាជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែរឬទេ? អាច។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានគេជឿជាក់ថាសមាមាត្រនៃសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ទៅនឹងសមាជិកមុនគឺថេរ នោះអ្នកមានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ឧទាហរណ៍ ១.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3 ។
ឧទាហរណ៍ ២.
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលមាន
ឧទាហរណ៍ ៣.
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលមាន
ឧទាហរណ៍ 4 ។
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែល b 1 - 8, q = 1 ។
ចំណាំថាលំដាប់នេះក៏ជាដំណើរការនព្វន្ធ (សូមមើលឧទាហរណ៍ទី 3 ពី§ 15)។
ឧទាហរណ៍ 5 ។
2,-2,2,-2,2,-2.....
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែល b 1 = 2, q = −1 ។
ជាក់ស្តែង ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់កើនឡើងប្រសិនបើ b 1 > 0, q > 1 (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1) និងលំដាប់ថយចុះប្រសិនបើ b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
ដើម្បីបង្ហាញថាលំដាប់ (b n) គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ ពេលខ្លះការសម្គាល់ខាងក្រោមគឺងាយស្រួល៖
រូបតំណាងជំនួសឃ្លា "វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ" ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់មួយដែលចង់ដឹងចង់ឃើញហើយក្នុងពេលតែមួយទ្រព្យសម្បត្តិជាក់ស្តែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ:
ប្រសិនបើលំដាប់ 
គឺជាការរីកចម្រើនធរណីមាត្រ បន្ទាប់មកលំដាប់នៃការេ, i.e. 
គឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
នៅក្នុងការវិវត្តធរណីមាត្រទីពីរ ពាក្យទីមួយគឺស្មើ និងស្មើ q 2 ។
ប្រសិនបើនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ យើងបោះបង់លក្ខខណ្ឌទាំងអស់ដែលធ្វើតាម b n យើងទទួលបានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់ 
នៅក្នុងកថាខណ្ឌបន្ថែមទៀតនៃផ្នែកនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់បំផុតនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
2. រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
ពិចារណាពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ 
ភាគបែង q យើងមាន:
វាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាសម្រាប់លេខណាមួយ n សមភាពគឺពិត
នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
មតិយោបល់។
ប្រសិនបើអ្នកបានអានការកត់សម្គាល់សំខាន់ៗពីកថាខណ្ឌមុន ហើយបានយល់រួចហើយ សូមព្យាយាមបង្ហាញរូបមន្ត (1) ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ដូចដែលបានធ្វើសម្រាប់រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរយើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ
ហើយណែនាំសញ្ញាណ៖ យើងទទួលបាន y = mq 2 ឬ លម្អិតបន្ថែម 
អាគុយម៉ង់ x មាននៅក្នុងនិទស្សន្ត ដូច្នេះមុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ នេះមានន័យថាការវិវត្តធរណីមាត្រអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំ N នៃលេខធម្មជាតិ។ នៅក្នុងរូបភព។ 96a បង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ រូប។ 966 - ក្រាហ្វមុខងារ 
ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ យើងមានចំណុចដាច់ពីគ្នា (ជាមួយ abscissas x = 1, x = 2, x = 3 ។ ខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែមអំពីអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងក្រាហ្វរបស់វានឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 11 ។
ចូរយើងត្រឡប់ទៅឧទាហរណ៍ 1-5 ពីកថាខណ្ឌមុន។
១) ១, ៣, ៩, ២៧, ៨១, ... ។ នេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែល b 1 = 1, q = 3 ។ ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n 
2) 
នេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ ដែលតោះបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 
នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលមាន 
ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n 
៤) ៨, ៨, ៨, ..., ៨, ... ។ នេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែល b 1 = 8, q = 1 ។ ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n 
5) 2, −2, 2, −2, 2, −2,.... នេះគឺជាការវិវត្តធរណីមាត្រដែលក្នុងនោះ b 1 = 2, q = −1 ។ ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n 
ឧទាហរណ៍ ៦.
បានផ្តល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ ដំណោះស្រាយគឺផ្អែកលើរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ
ក) ការដាក់ n = 6 ក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ យើងទទួលបាន
ខ) យើងមាន
ចាប់តាំងពី 512 = 2 9 យើងទទួលបាន n − 1 = 9, n = 10 ។
ឃ) យើងមាន
ឧទាហរណ៍ ៧.
ភាពខុសគ្នារវាងពាក្យទីប្រាំពីរនិងទីប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ 48 ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទី 5 និងទី 6 នៃវឌ្ឍនភាពក៏មាន 48 ។ ស្វែងរកពាក្យទីដប់ពីរនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។
ដំណាក់កាលដំបូង។គូរគំរូគណិតវិទ្យា។
លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាអាចត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបដូចខាងក្រោម:
ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ យើងទទួលបាន៖
បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃបញ្ហា (b 7 - b 5 = 48) អាចត្រូវបានសរសេរជា
លក្ខខណ្ឌទីបីនៃបញ្ហា (b 5 + b 6 = 48) អាចត្រូវបានសរសេរជា
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរ b 1 និង q៖
ដែលរួមផ្សំជាមួយលក្ខខណ្ឌ 1) ដែលសរសេរខាងលើតំណាងឱ្យគំរូគណិតវិទ្យានៃបញ្ហា។
ដំណាក់កាលទីពីរ។
ធ្វើការជាមួយគំរូដែលបានចងក្រង។ សមីការផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖
(យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកន្សោមមិនសូន្យ b 1 q 4)។
ពីសមីការ q 2 − q − 2 = 0 យើងរកឃើញ q 1 = 2, q 2 = −1 ។ ការជំនួសតម្លៃ q = 2 ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន 
ការជំនួសតម្លៃ q = -1 ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន b 1 1 0 = 48; សមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ដូច្នេះ b 1 = 1, q = 2 - គូនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការដែលបានចងក្រង។
ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរការវិវត្តនៃធរណីមាត្រដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងបញ្ហា៖ 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ។
ដំណាក់កាលទីបី។
ចម្លើយចំពោះសំណួរបញ្ហា។ អ្នកត្រូវគណនា b 12 ។ យើងមាន
ចម្លើយ៖ ខ ១២ = ២០៤៨។
3. រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់។
អនុញ្ញាតឱ្យមានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់
ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ S n ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា i.e.
ចូរយើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកចំនួននេះ។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីសាមញ្ញបំផុតនៅពេលដែល q = 1 ។ បន្ទាប់មកការវិវត្តធរណីមាត្រ b 1 , b 2 , b 3 , ... , bn មានលេខ n ស្មើនឹង b 1 , i.e. វឌ្ឍនភាពមើលទៅដូចជា b 1, b 2, b 3, ..., b 4 ។ ផលបូកនៃលេខទាំងនេះគឺ nb 1 ។
ឥឡូវនេះ q = 1 ដើម្បីស្វែងរក S n យើងអនុវត្តបច្ចេកទេសសិប្បនិម្មិតមួយ៖ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួននៃកន្សោម S n q ។ យើងមាន:
នៅពេលអនុវត្តការបំប្លែងជាដំបូង យើងប្រើនិយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ យោងទៅតាម (សូមមើលបន្ទាត់ទីបីនៃហេតុផល); ទីពីរ ពួកគេបានបន្ថែម និងដក ដែលជាមូលហេតុដែលអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ ពិតណាស់មិនផ្លាស់ប្តូរ (សូមមើលបន្ទាត់ទីបួននៃហេតុផល); ទីបី យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖
ពីរូបមន្ត (១) យើងរកឃើញ៖
នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ (សម្រាប់ករណីនៅពេល q = 1) ។
ឧទាហរណ៍ ៨.
បានផ្តល់ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រកំណត់
ក) ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាព; ខ) ផលបូកនៃការ៉េនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា។
ខ) ខាងលើ (សូមមើលទំព័រ 132) យើងបានកត់សម្គាល់រួចហើយថា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានការ៉េ នោះយើងទទួលបានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ b 2 និងភាគបែង q 2។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងប្រាំមួយនៃការវិវត្តថ្មីនឹងត្រូវបានគណនាដោយ
ឧទាហរណ៍ ៩.
ស្វែងរកពាក្យទី 8 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែល
តាមការពិត យើងបានបង្ហាញឱ្យឃើញនូវទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។
លំដាប់លេខគឺជាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រ ប្រសិនបើការេនៃពាក្យនីមួយៗរបស់វា លើកលែងតែទ្រឹស្តីបទទីមួយ (និងចុងក្រោយ ក្នុងករណីលំដាប់កំណត់) គឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យមុន និងបន្ទាប់ ( លក្ខណៈលក្ខណៈនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ) ។
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រមិនមានសារៈសំខាន់តិចជាងនៅក្នុងគណិតវិទ្យាទេបើប្រៀបធៀបទៅនឹងនព្វន្ធ។ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់នៃលេខ b1, b2,..., b[n] ដែលពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានទទួលដោយការគុណលេខមុនដោយចំនួនថេរ។ លេខនេះដែលកំណត់លក្ខណៈអត្រានៃការលូតលាស់ ឬការថយចុះនៃដំណើរការ ត្រូវបានគេហៅថា ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនិងបញ្ជាក់
ដើម្បីបញ្ជាក់ទាំងស្រុងនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ បន្ថែមពីលើភាគបែង ចាំបាច់ត្រូវដឹង ឬកំណត់ពាក្យដំបូងរបស់វា។ សម្រាប់តម្លៃវិជ្ជមាននៃភាគបែង ការវិវឌ្ឍន៍គឺជាលំដាប់ម៉ូណូតូនិក ហើយប្រសិនបើលំដាប់នៃលេខនេះថយចុះដោយឯកតា ហើយប្រសិនបើវាកើនឡើងជាឯកតា។ ករណីនៅពេលដែលភាគបែងស្មើនឹងមួយ មិនត្រូវបានពិចារណាក្នុងការអនុវត្តទេ ដោយសារយើងមានលំដាប់នៃលេខដូចគ្នា ហើយការបូកសរុបរបស់ពួកគេមិនមានផលប្រយោជន៍ជាក់ស្តែងទេ។
ពាក្យទូទៅនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគណនាដោយរូបមន្ត
ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់ដោយរូបមន្ត
សូមក្រឡេកមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្របុរាណ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលសាមញ្ញបំផុតដើម្បីយល់។
ឧទាហរណ៍ 1. ពាក្យដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ 27 ហើយភាគបែងរបស់វាគឺ 1/3 ។ ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌបញ្ហាក្នុងទម្រង់
សម្រាប់ការគណនា យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ
ដោយផ្អែកលើវា យើងរកឃើញពាក្យមិនស្គាល់នៃការវិវត្ត
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការគណនាលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រមិនពិបាកទេ។ វឌ្ឍនភាពខ្លួនវានឹងមើលទៅដូចនេះ
ឧទាហរណ៍ 2. ពាក្យបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: 6; -១២; 24. រកភាគបែងនិងអាស័យដ្ឋានទីប្រាំពីររបស់វា។
ដំណោះស្រាយ៖ យើងគណនាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដោយផ្អែកលើនិយមន័យរបស់វា។
យើងទទួលបានដំណើរការធរណីមាត្រឆ្លាស់គ្នាដែលភាគបែងស្មើនឹង -2 ។ ពាក្យទីប្រាំពីរត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត
នេះដោះស្រាយបញ្ហា។
ឧទាហរណ៍ 3. វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌពីររបស់វា។ 
. ស្វែងរកពាក្យទីដប់នៃវឌ្ឍនភាព។
ដំណោះស្រាយ៖
ចូរយើងសរសេរតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើរូបមន្ត
យោងតាមច្បាប់ យើងត្រូវស្វែងរកភាគបែង ហើយបន្ទាប់មករកមើលតម្លៃដែលចង់បាន ប៉ុន្តែសម្រាប់ពាក្យទីដប់ យើងមាន
រូបមន្តដូចគ្នាអាចទទួលបានដោយផ្អែកលើឧបាយកលសាមញ្ញជាមួយនឹងទិន្នន័យបញ្ចូល។ ចែកពាក្យទីប្រាំមួយនៃស៊េរីដោយមួយទៀត ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន
ប្រសិនបើតម្លៃលទ្ធផលត្រូវបានគុណនឹងពាក្យទីប្រាំមួយ យើងទទួលបានភាគដប់
ដូច្នេះសម្រាប់បញ្ហាបែបនេះដោយប្រើការបំប្លែងសាមញ្ញក្នុងវិធីរហ័សអ្នកអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវ។
ឧទាហរណ៍ 4. ដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តដដែលៗ
ស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងផលបូកនៃពាក្យប្រាំមួយដំបូង។
ដំណោះស្រាយ៖
ចូរយើងសរសេរទិន្នន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់នៃប្រព័ន្ធសមីការ
បង្ហាញភាគបែងដោយបែងចែកសមីការទីពីរដោយទីមួយ
ចូរយើងស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពពីសមីការទីមួយ
ចូរយើងគណនាពាក្យទាំងប្រាំខាងក្រោម ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ
កំពុងផ្ទុក...
