ប្រភេទនៃ induction គណិតវិទ្យា។ ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលើការបែងចែកលេខធម្មជាតិ

Savelyeva Ekaterina

ឯកសារពិភាក្សាអំពីការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាការបែងចែក និងការបូកសរុបស៊េរី។ ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការបញ្ជាក់វិសមភាព និងការដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រត្រូវបានពិចារណា។ ការងារត្រូវបានបង្ហាញជាមួយបទបង្ហាញ។

ទាញយក៖

មើលជាមុន៖

ក្រសួងវិទ្យាសាស្ត្រនិងអប់រំនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី

ស្ថាប័នអប់រំរបស់រដ្ឋ

មធ្យម សាលាដ៏ទូលំទូលាយ № 618

វគ្គសិក្សា៖ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ

ប្រធានបទនៃការងារគម្រោង

"វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា និងការអនុវត្តន៍របស់វាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា"

ការងារបានបញ្ចប់: Savelyeva E, ថ្នាក់ 11B

អ្នកគ្រប់គ្រង ៖ Makarova T.P. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា អនុវិទ្យាល័យលេខ ៦១៨

1 ។ សេចក្ដីណែនាំ។

2.Method of mathematical induction ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។

3. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងការបូកសរុបនៃស៊េរី។

4. ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងភស្តុតាងនៃវិសមភាព។

5. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រ។

6. បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ។

សេចក្តីផ្តើម

មូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាណាមួយគឺវិធីសាស្ត្រដកយក និងអាំងឌុចទ័ណ្ឌ។ វិធីសាស្រ្តកាត់កងនៃហេតុផលគឺការវែកញែកពីទូទៅទៅជាក់លាក់, i.e. ការវែកញែក ចំណុចចាប់ផ្តើម ដែលជាលទ្ធផលទូទៅ ហើយចំណុចចុងក្រោយ គឺជាលទ្ធផលជាក់លាក់។ Induction ត្រូវបានប្រើនៅពេលផ្លាស់ប្តូរពីលទ្ធផលជាក់លាក់ទៅលទ្ធផលទូទៅ i.e. គឺផ្ទុយពីវិធីសាស្ត្រដក។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងវឌ្ឍនភាព។ ជាលទ្ធផលយើងចាប់ផ្តើមពីបាត ការគិតឡូជីខលយើងមកខ្ពស់បំផុត។ មនុស្សតែងតែខិតខំដើម្បីភាពជឿនលឿន សម្រាប់សមត្ថភាពក្នុងការអភិវឌ្ឍគំនិតរបស់គាត់ប្រកបដោយតក្កវិជ្ជា ដែលមានន័យថា ធម្មជាតិបានកំណត់គាត់ឱ្យគិតដោយឥរិយាបទ។ ទោះបីជាវិសាលភាពនៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបានកើនឡើងក៏ដោយ កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាគាត់ត្រូវបានផ្តល់ពេលវេលាតិចតួច ប៉ុន្តែវាពិតជាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការអាចគិតដោយប្រយោលបាន។ ការអនុវត្តគោលការណ៍នេះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា និងទ្រឹស្តីបទបង្ហាញគឺស្មើរនឹងការពិចារណាក្នុងការអនុវត្តសាលានៃគោលការណ៍គណិតវិទ្យាផ្សេងទៀត៖ មិនរាប់បញ្ចូល កណ្តាល ការដាក់បញ្ចូល-មិនរាប់បញ្ចូល ឌីរីចឡេត ជាដើម។ អរូបីនេះមានបញ្ហាមកពីផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា ដែលក្នុងនោះ ឧបករណ៍សំខាន់គឺវិធីសាស្រ្តប្រើប្រាស់នៃ induction គណិតវិទ្យា។ និយាយអំពីសារៈសំខាន់នៃវិធីសាស្រ្តនេះ A.N. Kolmogorov បានកត់សម្គាល់ថា "ការយល់ដឹងនិងសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យល្អ។ភាពចាស់ទុំ ដែលចាំបាច់បំផុតសម្រាប់គណិតវិទូ”។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលក្នុងន័យទូលំទូលាយរបស់វាមាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរពីការសង្កេតជាក់លាក់ទៅជាសកល គំរូទូទៅ ឬការបង្កើតទូទៅ។ នៅក្នុងការបកស្រាយនេះ វិធីសាស្រ្តគឺជាការពិតណាស់ វិធីសាស្រ្តសំខាន់នៃការស្រាវជ្រាវនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិពិសោធន៍ណាមួយ។

សកម្មភាពរបស់មនុស្ស។ វិធីសាស្ត្រ (គោលការណ៍) នៃ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា​ក្នុង​ទម្រង់​សាមញ្ញ​បំផុត​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​នៅ​ពេល​ដែល​វា​ចាំបាច់​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ជាក់លាក់​មួយ​សម្រាប់​ទាំងអស់គ្នា។ លេខធម្មជាតិ.

កិច្ចការទី 1. នៅក្នុងអត្ថបទរបស់គាត់ "របៀបដែលខ្ញុំក្លាយជាអ្នកគណិតវិទ្យា" A.N. Kolmogorov សរសេរថា: "ខ្ញុំបានរៀនពីសេចក្តីអំណរនៃ "ការរកឃើញ" គណិតវិទ្យាដំបូងដោយបានកត់សម្គាល់គំរូមួយនៅអាយុប្រាំឬប្រាំមួយឆ្នាំ។

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 = 3 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 ហើយដូច្នេះនៅលើ។

សាលាបានបោះពុម្ពទស្សនាវដ្តី "ស្វានិទាឃរដូវ" ។ នៅក្នុងនោះ ការរកឃើញរបស់ខ្ញុំត្រូវបានបោះពុម្ព...”

យើងមិនដឹងថាតើភស្តុតាងប្រភេទណាដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិនេះទេ ប៉ុន្តែវាចាប់ផ្តើមដោយការសង្កេតឯកជន។ សម្មតិកម្មខ្លួនឯងដែលប្រហែលជាកើតឡើងបន្ទាប់ពីការរកឃើញនៃសមភាពផ្នែកទាំងនេះគឺរូបមន្ត

1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2

ពិតសម្រាប់លេខណាមួយ។ n = 1, 2, 3, ...

ដើម្បីបញ្ជាក់សម្មតិកម្មនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបង្កើតការពិតពីរ។ ទីមួយសម្រាប់ n = 1 (និងសូម្បីតែសម្រាប់ n = ២, ៣, ៤) សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលចង់បានគឺពិត។ ទីពីរ ឧបមាថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាការពិតសម្រាប់ p = k, ហើយ​យើង​នឹង​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​បន្ទាប់​មក​វា​ក៏​ជា​ការ​ពិត​សម្រាប់​ n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k − 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + ១) = (k + I) ២.

នេះមានន័យថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវបានបង្ហាញគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ n: សម្រាប់ n = 1 វាជាការពិត (នេះត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់) ហើយដោយសារតែការពិតទីពីរ - សម្រាប់ n = 2, wherece សម្រាប់ n = ៣ (ព្រោះហេតុដូចគ្នា, ទី២) ។ល។

កិច្ចការទី 2. ពិចារណាថាអាចធ្វើទៅបានទាំងអស់។ ប្រភាគទូទៅជាមួយភាគយក 1 និងណាមួយ (ចំនួនគត់វិជ្ជមាន)

(នាម) ភាគបែង : បញ្ជាក់​ថា​សម្រាប់​ណា​មួយទំ > 3 យើងអាចតំណាងឱ្យឯកតាជាផលបូកទំ ប្រភាគផ្សេងៗគ្នានៃប្រភេទនេះ។

ដំណោះស្រាយ, ចូរយើងពិនិត្យមើលសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាមុនសិន n = 3; យើង​មាន:

ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាមូលដ្ឋានគឺពេញចិត្ត

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​សន្មត​ថា​សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ដែល​យើង​ចាប់​អារម្មណ៍​គឺ​ពិត​សម្រាប់​ចំនួន​មួយ​ចំនួនទៅ, ហើយ​បញ្ជាក់​ថា​វា​ក៏​ពិត​សម្រាប់​លេខ​ដែល​តាម​ពី​ក្រោយ​វា​ដែរ។ទៅ + 1. ម្យ៉ាងទៀត ឧបមាថាមានតំណាង

ដែល k ពាក្យ និងភាគបែងទាំងអស់គឺខុសគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកយើងអាចទទួលបានតំណាងនៃឯកភាពជាផលបូកពីទៅ + 1 ប្រភាគ ប្រភេទដែលចង់បាន. យើងនឹងសន្មត់ថាប្រភាគមានការថយចុះ ពោលគឺភាគបែង (ក្នុងតំណាងនៃឯកតាដោយផលបូកទៅ ពាក្យ) កើនឡើងពីឆ្វេងទៅស្តាំដូច្នេះធ - ធំបំផុតនៃភាគបែង។ យើងនឹងទទួលបានតំណាងដែលយើងត្រូវការក្នុងទម្រង់ជាផលបូក(ទៅ + 1) ប្រភាគ ប្រសិនបើយើងបំបែកប្រភាគមួយ ឧទាហរណ៍ ប្រភាគចុងក្រោយជាពីរ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយសារតែ

ហើយ​ដូច្នេះ

លើសពីនេះទៀត ប្រភាគទាំងអស់នៅតែខុសគ្នា ចាប់តាំងពីធ គឺជាភាគបែងធំបំផុត t + 1 > t និង

t (t + 1) > t ។

ដូច្នេះយើងបានបង្កើត៖

1. ជាមួយ n = 3 សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិត;

1. ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺជាការពិតទៅ,
   បន្ទាប់មកវាក៏ជាការពិតសម្រាប់ k + ១.

នៅលើមូលដ្ឋាននេះ យើងអាចអះអាងថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅក្នុងសំណួរគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខបី។ លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត ភស្តុតាង​ខាង​លើ​ក៏​បង្កប់​ន័យ​អំពី​ក្បួន​ដោះស្រាយ​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ភាគ​ថាស​ដែល​ត្រូវ​ការ​នៃ​ការ​រួបរួម។ (តើនេះជាក្បួនដោះស្រាយអ្វី? ស្រមៃមើលលេខ 1 ជាផលបូកនៃពាក្យ 4, 5, 7 ដោយខ្លួនឯង)។

ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​មុន​ពីរ​ជំហាន​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ។ ជំហានដំបូងត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាន ការចាប់ផ្តើម, ទីពីរ -ប្រសព្វ inductiveឬជំហាននៃការបញ្ចូល។ ជំហានទីពីរគឺសំខាន់បំផុត ហើយវាពាក់ព័ន្ធនឹងការសន្មត់មួយ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតនៅពេលដែល n = k) និងការសន្និដ្ឋាន (សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតនៅពេលដែល n = k + 1) ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ n ខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ induction ។គ្រោងការណ៍ឡូជីខលនេះ (បច្ចេកទេស) ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅក្នុងសំណួរគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ (ឬសម្រាប់ទាំងអស់ដោយចាប់ផ្តើមពីមួយចំនួន) ចាប់តាំងពីទាំងមូលដ្ឋាននិងការផ្លាស់ប្តូរមានសុពលភាពត្រូវបានគេហៅថាគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា,នៅលើដែល វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺផ្អែកលើ។ពាក្យ "ការបញ្ចូល" ខ្លួនវាមកពីពាក្យឡាតាំងការបញ្ចូល (ការណែនាំ) ដែលមានន័យថាការផ្លាស់ប្តូរពីចំណេះដឹងតែមួយអំពីវត្ថុបុគ្គលនៃថ្នាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ការសន្និដ្ឋានទូទៅអំពីមុខវិជ្ជាទាំងអស់នៃថ្នាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលជាវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយនៃការយល់ដឹង។

គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាយ៉ាងជាក់លាក់នៅក្នុងទម្រង់ពីរជំហានដែលធ្លាប់ស្គាល់បានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូងនៅក្នុងឆ្នាំ 1654 នៅក្នុង "Treatise on the Arithmetic Triangle" របស់ Blaise Pascal ដែលវិធីសាមញ្ញក្នុងការគណនាចំនួនបន្សំ (មេគុណ binomial) ត្រូវបានបង្ហាញដោយការបញ្ចូល។ D. Polya ដកស្រង់ B. Pascal នៅក្នុងសៀវភៅជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតង្កៀបការ៉េ:

“ទោះបីជាសំណើនៅក្នុងសំណួរ [រូបមន្តច្បាស់លាស់សម្រាប់មេគុណទ្វេគុណ] មានករណីពិសេសរាប់មិនអស់ក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ភស្តុតាងដ៏ខ្លីមួយសម្រាប់វា ដោយផ្អែកលើលេម៉ាម៉ាពីរ។

លេម៉ាទី១ បញ្ជាក់ថា ការសន្មត់គឺពិតសម្រាប់ហេតុផល - នេះគឺជាក់ស្តែង។ [នៅទំ = 1 រូបមន្តច្បាស់លាស់គឺត្រឹមត្រូវ...]

លេម៉ាទី 2 ចែងដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើការសន្មត់របស់យើងជាការពិតសម្រាប់មូលដ្ឋានបំពាន [សម្រាប់ r arbitrary] នោះវានឹងជាការពិតសម្រាប់ហេតុផលខាងក្រោម [សម្រាប់ n + 1] ។

ពីចំនុចទាំងពីរនេះ វាចាំបាច់ថាការស្នើសុំមានសុពលភាពសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ទំ. ពិត​មែន​ដោយ​គុណធម៌​ទី ១ វា​ជា​ការ​ពិតទំ = 1; ដូច្នេះ ដោយ​គុណធម៌​នៃ​ឧបាទានក្ខន្ធ​ទី ២ នេះ​ជា​ការ​ពិតទំ = 2; ដូច្នេះ ម្តងទៀត ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាទី ទីពីរ វាមានសុពលភាពសម្រាប់ n = 3 ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានកំណត់។

បញ្ហាទី 3. ប៉មនៃល្បែងផ្គុំរូបហាណូយមានកំណាត់បី។ នៅលើកំណាត់មួយមានពីរ៉ាមីតមួយ (រូបភាពទី 1) ដែលមានចិញ្ចៀនជាច្រើនដែលមានអង្កត់ផ្ចិតខុសៗគ្នា បន្ថយពីបាតទៅកំពូល។

រូប ១

ពីរ៉ាមីតនេះត្រូវតែរំកិលទៅខ្សែម្ខាងទៀត ដោយផ្លាស់ទីតែចិញ្ចៀនមួយដងប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនត្រូវដាក់ចិញ្ចៀនធំជាងនៅលើចិញ្ចៀនតូចជាងនោះទេ។ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើបែបនេះ?

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះយើងត្រូវឆ្លើយសំណួរ៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតដែលមានទំ ចិញ្ចៀនដែលមានអង្កត់ផ្ចិតខុសៗគ្នា ពីដំបងមួយទៅដំបងមួយទៀត អនុវត្តតាមច្បាប់នៃហ្គេម? ឥឡូវនេះ យើងមាន ដូចដែលពួកគេនិយាយ កំណត់បញ្ហា (លេខធម្មជាតិមួយត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងពិចារណាភី) ហើយវាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

1. មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ នៅពេលដែល n = 1 អ្វីៗគឺច្បាស់ណាស់ ព្រោះថាពីរ៉ាមីតនៃចិញ្ចៀនមួយអាចផ្លាស់ទីទៅដំបងណាមួយ។
2. ជំហាន​បញ្ចូល​។ ចូរសន្មតថាយើងអាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតណាមួយជាមួយនឹងចំនួនចិញ្ចៀន p = k ។
   អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកយើងអាចផ្លាស់ទី pyra midka ពី n = k + 1 ។

ពីរ៉ាមីតពីទៅ ចិញ្ចៀនដែលដេកនៅលើធំបំផុត(ទៅ + 1)-th ring, យើងអាច, យោងទៅតាមការសន្មត់, ផ្លាស់ទីវាទៅដំបងផ្សេងទៀត។ តោះ​ធ្វើ​វា។ គ្មានចលនា(ទៅ + ចិញ្ចៀនទី 1 នឹងមិនរារាំងយើងពីការអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយចលនាទេព្រោះវាធំជាងគេ។ បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីទៅ ចិញ្ចៀន សូមផ្លាស់ទីមួយដ៏ធំបំផុតនេះ។(ទៅ + 1) ចិញ្ចៀននៅលើដំបងដែលនៅសល់។ ហើយបន្ទាប់មកម្តងទៀត យើងអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយចលនាដែលគេស្គាល់ដោយយើងដោយការសន្មត់បញ្ចូលទៅ រំកិល​វា​ទៅ​កាន់​ដំបង​ដោយ​ដាក់​នៅ​ខាង​ក្រោម(ទៅ + 1) ចិញ្ចៀន។ ដូច្នេះប្រសិនបើយើងដឹងពីរបៀបផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតជាមួយទៅ ចិញ្ចៀនបន្ទាប់មកយើងដឹងពីរបៀបដើម្បីផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតនិងជាមួយទៅ +ចិញ្ចៀន១វង់។ ដូច្នេះយោងទៅតាមគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា វាតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតដែលមាន n ចិញ្ចៀនដែល n > 1 ។

វិធីសាស្រ្ត induction គណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា អ្នកអាចបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងៗទាក់ទងនឹងការបែងចែកលេខធម្មជាតិ។

បញ្ហា ៤ . ប្រសិនបើ n គឺជាលេខធម្មជាតិ នោះលេខគឺស្មើ។

នៅពេលដែល n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិត៖ - លេខគូ។ ចូរសន្មតថាវាជាលេខគូ។ ដោយសារ 2k គឺជាលេខគូ នោះវាស្មើ។ ដូច្នេះ parity ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ឱ្យ​ឃើញ​សម្រាប់ n=1, parity ត្រូវ​បាន​កាត់​ចេញ​ពី parity នេះ​មាន​ន័យ​ថា​វា​គឺ​សូម្បី​តែ​សម្រាប់​តម្លៃ​ធម្មជាតិ​ទាំងអស់​នៃ n ។

បញ្ហា 3. បង្ហាញថាលេខ Z 3 + 3 - 26n - 27 ជាមួយនឹងធម្មជាតិបំពាន n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានសល់។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ជា​បឋម​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ជំនួយ​ថា ៣ 3n+3 - 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ដោយគ្មានពេលដែលនៅសល់ n > 0 ។

1. មូលដ្ឋាន induction ។ សម្រាប់ n = 0 យើងមាន: 3 3 - 1 = 26 - បែងចែកដោយ 26 ។

ជំហាន​បញ្ចូល​។ ឧបមាថា ៣ 3n+3 - 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 នៅពេល n = k, និង ចូរយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍នឹងជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1. ចាប់តាំងពី 3

បន្ទាប់មកពីសម្មតិកម្មប្រឌិតយើងសន្និដ្ឋានថាលេខ 3 3k + 6 - 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ។

ឥឡូវ​នេះ យើង​នឹង​បញ្ជាក់​ពី​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍​ដែល​បាន​បង្កើត​ឡើង​ក្នុង​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍​បញ្ហា។ ហើយម្តងទៀតដោយការបញ្ចូល។

1. មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅពេលណា n = 1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត: ​​ចាប់តាំងពី 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. ជំហាន​បញ្ចូល​។ ចូរសន្មតថានៅពេលណា p = k
   កន្សោម 3 3k + 3 - 26k - 27 ចែកនឹង 26 2 ដោយគ្មាននៅសល់ ហើយបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1,
   នោះគឺលេខនោះ។

ចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានដាន។ នៅក្នុងផលបូកចុងក្រោយ ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 . ទីមួយគឺដោយសារតែយើងបានបង្ហាញថាកន្សោមនៅក្នុងវង់ក្រចកត្រូវបានបែងចែកដោយ 26; ទីពីរគឺដោយសម្មតិកម្មនៃការបញ្ចូល។ ដោយគុណធម៌នៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលចង់បានត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុង។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងការបូកសរុបនៃស៊េរី។

កិច្ចការទី 5 ។ បង្ហាញរូបមន្ត

N គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅពេលដែល n=1 ភាគីទាំងពីរនៃសមភាពប្រែទៅជាមួយ ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីមួយនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត។

ចូរសន្មតថារូបមន្តគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n=k, i.e.

ចូរបន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ និងបំប្លែងផ្នែកខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

ដូច្នេះពីការពិតដែលថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n = k វាធ្វើតាមថាវាក៏ពិតសម្រាប់ n = k + 1 ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក៏ពេញចិត្តផងដែរ។ រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។

កិច្ចការ 6. លេខពីរត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារ: 1,1 ។ ដោយការបញ្ចូលផលបូករបស់ពួកគេនៅចន្លោះលេខ យើងទទួលបានលេខ 1, 2, 1។ ធ្វើប្រតិបត្តិការនេះម្តងទៀត យើងទទួលបានលេខ 1, 3, 2, 3, 1។ បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការបី លេខនឹងជា 1, 4, 3 , 5, 2, 5, 3, 4, 1. តើអ្វីនឹងជាផលបូកនៃលេខទាំងអស់នៅលើក្តារបន្ទាប់ពី 100 ប្រតិបត្តិការ?

ដំណោះស្រាយ។ ធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាង 100 ប្រតិបត្តិការនឹងជាការងារដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងលើកម្លាំងពលកម្ម និងចំណាយពេលច្រើន។ នេះមានន័យថាយើងត្រូវព្យាយាមស្វែងរករូបមន្តទូទៅមួយចំនួនសម្រាប់ផលបូក Sលេខបន្ទាប់ពី n ប្រតិបត្តិការ។ តោះមើលតារាង៖

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់គំរូណាមួយនៅទីនេះទេ? ប្រសិនបើមិនមានទេ អ្នកអាចចាត់វិធានការមួយជំហានទៀត៖ បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការចំនួនបួនវានឹងមានលេខ

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

ផលបូកដែល S 4 ស្មើនឹង 82 ។

តាមពិតទៅ អ្នកមិនអាចសរសេរលេខបានទេ ប៉ុន្តែភ្លាមៗត្រូវនិយាយពីរបៀបដែលផលបូកនឹងផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់ពីបន្ថែមលេខថ្មី។ ចូរឱ្យផលបូកស្មើនឹង 5។ តើវានឹងក្លាយទៅជាអ្វីនៅពេលបន្ថែមលេខថ្មី? ចូរបែងចែកលេខថ្មីនីមួយៗទៅជាផលបូកនៃចំនួនចាស់ទាំងពីរ។ ឧទាហរណ៍ពី 1, 3, 2, 3, 1 យើងទៅ 1,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

នោះគឺលេខចាស់នីមួយៗ (លើកលែងតែឯកតាខ្លាំងទាំងពីរ) ឥឡូវនេះត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងផលបូកបីដង ដូច្នេះផលបូកថ្មីគឺស្មើនឹង 3S - 2 (ដក 2 ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីដែលបាត់)។ ដូច្នេះ ស 5 = 3S 4 - 2 = 244 ហើយជាទូទៅ

តើ​វា​គឺជា​អ្វី រូបមន្តទូទៅ? ប្រសិនបើវាមិនមែនសម្រាប់ការដកនៃពីរឯកតាទេ រាល់ពេលដែលផលបូកនឹងកើនឡើងបីដង ដូចជានៅក្នុងអំណាចនៃបី (1, 3, 9, 27, 81, 243, ... )។ ហើយ​លេខ​របស់​យើង​ដូច​ដែល​យើង​អាច​ឃើញ​ឥឡូវ​នេះ​គឺ​មួយ​ទៀត។ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានសន្មត់ថា

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ព្យាយាម​បញ្ជាក់​វា​ដោយ​ការ​ណែនាំ។

មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ សូមមើលតារាង (សម្រាប់ n = 0, 1, 2, 3) ។

ជំហាន​បញ្ចូល​។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។

អញ្ចឹង ចូរយើងបញ្ជាក់ S k + 1 = Z k + 1 + 1 ។

ពិតជា

ដូច្នេះរូបមន្តរបស់យើងត្រូវបានបញ្ជាក់។ វាបង្ហាញថាបន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការមួយរយផលបូកនៃលេខទាំងអស់នៅលើក្តារនឹងស្មើនឹង 3 100 + 1.

ចូរយើងពិចារណាមួយ។ ឧទាហរណ៍ដ៏អស្ចារ្យការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ដែលដំបូងអ្នកត្រូវណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រធម្មជាតិពីរ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តការបញ្ចូលលើផលបូករបស់វា។

កិច្ចការ 7. បញ្ជាក់ថាប្រសិនបើ= 2, x 2 = 3 និងសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ទំ > 3 ទំនាក់ទំនង

x p = 3x p − 1 − 2x p − 2 ,

នោះ។

2 ទំ - 1 + 1, p = 1, 2, 3, ...

ដំណោះស្រាយ។ ចំណាំថានៅក្នុងបញ្ហានេះ លំដាប់លេខដើម(x ទំ) ត្រូវបានកំណត់ដោយ induction ចាប់តាំងពីលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់របស់យើង លើកលែងតែពីរដំបូងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ inductive ពោលគឺតាមរយៈពាក្យមុន។ ដូច្នេះលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាកើតឡើងវិញ, ហើយក្នុងករណីរបស់យើង លំដាប់នេះត្រូវបានកំណត់ (ដោយបញ្ជាក់ពាក្យពីរដំបូងរបស់វា) តាមរបៀបតែមួយគត់។

មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ វារួមបញ្ចូលទាំងការពិនិត្យមើលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីរ: ពេលណា n = 1 និង n = 2.V ក្នុងករណីទាំងពីរ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតតាមលក្ខខណ្ឌ។

ជំហាន​បញ្ចូល​។ ចូរសន្មតថាសម្រាប់ n = k − 1 និង n = k សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបំពេញ នោះគឺ

បន្ទាប់មកអនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n = k + 1. យើងមាន៖

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2+1 ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

កិច្ចការ ៨. បង្ហាញថាចំនួនធម្មជាតិណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលំដាប់បន្តនៃលេខ Fibonacci៖

សម្រាប់ k > 2 ។

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ n - លេខធម្មជាតិ។ យើងនឹងអនុវត្តការណែនាំនៅលើទំ.

មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ នៅពេលដែល n = សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទី 1 គឺពិតព្រោះថាខ្លួនវាគឺជាលេខ Fibonacci ។

ជំហាន​បញ្ចូល​។ ឧបមាថាលេខធម្មជាតិទាំងអស់តិចជាងលេខមួយចំនួន P អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលំដាប់ Fibonacci ។ យើងនឹងរកឃើញ ចំនួនធំបំផុត Fibonacciហ្វីត មិនខ្ពស់ជាងទំ; ដូច្នេះ F t p និង F t +1 > p ។

ដោយសារតែ

តាមសម្មតិកម្មនៃសេចក្តីផ្តើម លេខ n- F t អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូក 5 នៃពាក្យផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលំដាប់ Fibonacci ហើយពីវិសមភាពចុងក្រោយវាកើតឡើងថាលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃលំដាប់ Fibonacci ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងផលបូក 8 គឺតិចជាង F t ។ ដូច្នេះការពង្រីកចំនួន n = 8 + F t បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍​នៃ​ការ​អនុវត្ត​វិធីសាស្ត្រ​នៃ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា​ដើម្បី​បញ្ជាក់​វិសមភាព។

កិច្ចការ ៩. (វិសមភាពរបស់ Bernoulli ។ )បញ្ជាក់ថាពេលណា x > -1, x 0 និងសម្រាប់ចំនួនគត់ n > ២ វិសមភាពគឺពិត

(1 + x) n > 1 + xn ។

ដំណោះស្រាយ។ យើង​នឹង​អនុវត្ត​ភស្តុតាង​ម្តងទៀត​ដោយ​ការ​ណែនាំ។

1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n = 2. ជាការពិត

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x ។

2. ជំហាន Induction ។ ចូរសន្មតថាសម្រាប់លេខ p = k សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺជាការពិត

(1 + x) k > 1 + xk,

កន្លែងដែល k > 2. ចូរយើងបង្ហាញវាសម្រាប់ n = k + 1 ។ យើងមាន: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx)(1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x ។

ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងអាចអះអាងថា វិសមភាពរបស់ Bernoulli គឺជាការពិតសម្រាប់អ្វីទាំងអស់។ n > ២.

នៅក្នុងបរិបទនៃបញ្ហាដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ច្បាប់ទូទៅដែលត្រូវតែបញ្ជាក់គឺមិនតែងតែត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងច្បាស់នោះទេ។ ពេលខ្លះវាចាំបាច់ដោយការសង្កេតករណីជាក់លាក់ដើម្បីរកឱ្យឃើញដំបូង (ទាយ) ដែល ច្បាប់ទូទៅពួកគេផ្តល់ឱ្យ ហើយមានតែបន្ទាប់មកបង្ហាញសម្មតិកម្មដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ លើសពីនេះទៀតអថេរអាំងឌុចស្យុងអាចត្រូវបានបិទបាំងហើយមុននឹងដោះស្រាយបញ្ហាវាចាំបាច់ត្រូវកំណត់លើប៉ារ៉ាម៉ែត្រអ្វីដែលការបញ្ចូលនឹងត្រូវបានអនុវត្ត។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាកិច្ចការខាងក្រោម។

បញ្ហា 10. បញ្ជាក់

នៅក្រោមធម្មជាតិណាមួយ។ n > 1 ។

ដំណោះស្រាយ, ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញវិសមភាពនេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា។

មូលដ្ឋាននៃការចាប់ផ្តើមអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួល: 1+

ដោយសម្មតិកម្មនៃការបញ្ចូល

ហើយវានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីបញ្ជាក់

ប្រសិនបើ​យើង​ប្រើ​សម្មតិកម្ម​អាំងឌុច​ទ័​រ នោះ​យើង​នឹង​ប្រកែក​

ថ្វីបើសមភាពនេះជាការពិតក៏ដោយ វាមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានោះទេ។

ចូរយើងព្យាយាមបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខ្លាំងជាងតម្រូវការនៅក្នុងបញ្ហាដើម។ មានន័យថា យើងនឹងបញ្ជាក់

វាហាក់ដូចជាថាការបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះដោយការបញ្ចូលគឺជាបញ្ហាគ្មានសង្ឃឹម។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅពេលដែល n = 1 យើងមាន: សេចក្តីថ្លែងការគឺពិត។ ដើម្បីបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃជំហាន inductive អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មតថា

ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងបញ្ជាក់

ពិតជា

ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្ហាញឱ្យឃើញនូវសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏រឹងមាំមួយ ដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមាននៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហានោះកើតឡើងភ្លាមៗ។

រឿងដែលណែនាំនៅទីនេះគឺថា ទោះបីជាយើងត្រូវបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខ្លាំងជាងតម្រូវការក្នុងបញ្ហាក៏ដោយ យើងអាចប្រើការសន្មត់ខ្លាំងជាងនៅក្នុងជំហានណែនាំ។ នេះពន្យល់ថាការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃគោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យាមិនតែងតែនាំទៅរកគោលដៅនោះទេ។

ស្ថានភាពដែលកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានគេហៅថាភាពផ្ទុយគ្នារបស់អ្នកបង្កើត។ភាពផ្ទុយស្រឡះខ្លួនវាគឺថាផែនការស្មុគ្រស្មាញកាន់តែច្រើនអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយ ជោគជ័យ​ដ៏​អស្ចារ្យប្រសិនបើពួកគេផ្អែកលើការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីខ្លឹមសារនៃបញ្ហានេះ។

បញ្ហា 11. បង្ហាញថា 2 m + n − 2 m សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ។

ដំណោះស្រាយ។ នៅទីនេះយើងមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រពីរ។ ដូច្នេះអ្នកអាចព្យាយាមអនុវត្តអ្វីដែលគេហៅថាអាំងតង់ស៊ីតេទ្វេ( induction induction ) ។

យើងនឹងធ្វើការវែកញែកដោយហេតុផលទំ.

1. មូលដ្ឋាន​នៃ​ការ​បញ្ចូល​តាម​កថាខណ្ឌ។នៅពេលដែល n = 1 ត្រូវតែពិនិត្យមើលវា។ 2 t ~ 1 > t ។ ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​វិសមភាព​នេះ យើង​ប្រើ​ការ​ណែនាំធ.

ក) មូលដ្ឋាន Induction យោងតាមអ្វីដែលគេហៅថានៅពេលដែល t = 1 ប្រតិបត្តិ
សមភាពដែលអាចទទួលយកបាន។

ខ) ជំហាន induction យោងទៅតាមអ្វីដែលគេហៅថាចូរសន្មតថានៅពេលណា t = k សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺជាការពិត 2 k ~ 1 > k ។ បន្ទាប់មករហូតដល់
អនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ក៏នឹងជាការពិតផងដែរ។ t = k + 1 ។
យើង​មាន:

ជាមួយនឹងធម្មជាតិ។

ដូច្នេះ វិសមភាព 2 អនុវត្តនៅក្នុងធម្មជាតិណាមួយ។ធ.

2. ជំហាន Induction យោងតាមធាតុ។តោះជ្រើសរើស និងជួសជុលលេខធម្មជាតិមួយចំនួនធ. ចូរសន្មតថានៅពេលណា n = ខ្ញុំ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត (សម្រាប់ថេរ t) នោះគឺ 2 t +1 ~ 2 > t1, ហើយ​យើង​នឹង​បញ្ជាក់​ថា បន្ទាប់​មក​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ក៏​នឹង​ក្លាយ​ជា​ការពិត​ផងដែរ​ n = l + 1 ។
យើង​មាន:

សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ។

អាស្រ័យហេតុនេះ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា (ដោយទំ) សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺពិតសម្រាប់ណាមួយ។ទំ និងសម្រាប់ថេរណាមួយ។ធ. ដូច្នេះ វិសមភាពនេះ មានសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ។

បញ្ហា 12. អនុញ្ញាតឱ្យ m, n និង k គឺជាលេខធម្មជាតិ និង t > ទំ។ តើលេខទាំងពីរមួយណាធំជាង៖

នៅក្នុងរាល់ការបញ្ចេញមតិទៅ សញ្ញា ឫស​ការេ, t និង p ឆ្លាស់គ្នា។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបង្ហាញសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជំនួយជាមុនសិន។

លេម៉ា។ សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ t និង p (t > p) និងមិនអវិជ្ជមាន (មិនចាំបាច់ទាំងមូល) X វិសមភាពគឺជាការពិត

ភស្តុតាង។ ពិចារណាពីវិសមភាព

វិសមភាពនេះគឺជាការពិត ដោយសារកត្តាទាំងពីរនៅខាងឆ្វេងគឺវិជ្ជមាន។ ការពង្រីកតង្កៀប និងការផ្លាស់ប្តូរ យើងទទួលបាន៖

ដោយយកឫសការ៉េនៃភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបានសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់លេម៉ា។ ដូច្នេះ លេម៉ា ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅការដោះស្រាយបញ្ហា។ ចូរយើងសម្គាល់លេខដំបូងនៃលេខទាំងនេះដោយក និងទីពីរ - ឆ្លងកាត់ b k ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ក នៅក្រោមធម្មជាតិណាមួយ។ទៅ។ យើង​នឹង​អនុវត្ត​ភ័ស្តុតាង​ដោយ​ប្រើ​វិធីសាស្ត្រ​នៃ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា​ដោយ​ឡែក​សម្រាប់​គូ និង​សេសទៅ។

មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ ពេល k = 1 យើងមានវិសមភាព

y [t > y/n យុត្តិធម៍ដោយសារការពិត t > ទំ។ នៅពេលដែល k = 2 តម្រូវការត្រូវបានទទួលពី lemma ដែលបានបញ្ជាក់ដោយការជំនួស x = 0 ។

ជំហាន​បញ្ចូល​។ ឧបមាថាសម្រាប់អ្នកខ្លះ k វិសមភាព a > b k យុត្តិធម៌។ ចូរយើងបញ្ជាក់

ពីការសន្មត់នៃអាំងឌុចស្យុង និងឯកតាឫសការ៉េ យើងមាន៖

ម្យ៉ាងវិញទៀត ពីលេម៉ាដែលបង្ហាញឱ្យឃើញ វាធ្វើតាមនោះ។

រួមបញ្ចូលគ្នានូវវិសមភាពពីរចុងក្រោយ យើងទទួលបាន៖

យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។

បញ្ហា ១៣. (វិសមភាពរបស់ Cauchy ។ )បញ្ជាក់ថាសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ...,មួយទំ វិសមភាពគឺជាការពិត

ដំណោះស្រាយ។ សម្រាប់ n = 2 វិសមភាព

យើងនឹងសន្មត់ថា មធ្យមនព្វន្ធ និងមធ្យមធរណីមាត្រ (សម្រាប់លេខពីរ) ត្រូវបានគេស្គាល់។ អនុញ្ញាតឱ្យ n=2, ក = 1, 2, 3, ... ហើយដំបូងអនុវត្តការបញ្ចូលនៅលើទៅ។ មូលដ្ឋាននៃការបង្កើតនេះកើតឡើងដោយសន្មត់ថាវិសមភាពដែលត្រូវការត្រូវបានបង្កើតឡើងរួចហើយ n = 2, ចូរយើងបង្ហាញវាសម្រាប់ទំ = ២. យើងមាន (អនុវត្តវិសមភាពសម្រាប់លេខពីរ)៖

ដូច្នេះដោយសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័

ដូច្នេះ តាមរយៈការបញ្ជូលគ្នាលើ k យើងបានបង្ហាញពីវិសមភាពសម្រាប់ទាំងអស់គ្នាទំ ៩ ជាអំណាចពីរ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ពីវិសមភាពសម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀត។ទំ អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើ "ការបញ្ឆេះចុះក្រោម" មានន័យថា យើងនឹងបង្ហាញឱ្យឃើញថា ប្រសិនបើវិសមភាពនេះរក្សាដោយបំពានមិនអវិជ្ជមាន។ទំ លេខ បន្ទាប់មកវាក៏ជាការពិតសម្រាប់(ទំ - ថ្ងៃទី 1 ។ ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់នេះយើងកត់សំគាល់ថាយោងទៅតាមការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើងសម្រាប់ទំ លេខ​ដែល​មាន​វិសមភាព

នោះគឺ a g + a 2 + ... + a n _ x > (n − 1)A ។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរទៅជាទំ - 1 យើងទទួលបានវិសមភាពដែលត្រូវការ។

ដូច្នេះ ជាដំបូង យើងបានកំណត់ថា វិសមភាពមានសម្រាប់ចំនួនគ្មានកំណត់នៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន P ហើយបន្ទាប់មកបង្ហាញថា វិសមភាពនេះ រក្សាទំ លេខ បន្ទាប់មកវាក៏ជាការពិតសម្រាប់(ទំ - ១) លេខ។ ពីនេះឥឡូវនេះយើងសន្និដ្ឋានថាវិសមភាពរបស់ Cauty ទទួលបានសម្រាប់សំណុំទំ លេខដែលមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់ណាមួយ។ n = 2, 3, 4, ...

បញ្ហា 14. (D. Uspensky ។ ) សម្រាប់ត្រីកោណ ABC ដែលមុំ = CAB, = CBA មានភាពសមហេតុផល មានវិសមភាព

ដំណោះស្រាយ។ មុំ និងអាចទទួលយកបាន ហើយនេះ (តាមនិយមន័យ) មានន័យថាមុំទាំងនេះមានរង្វាស់ទូទៅ ដែល = p, = (p, q គឺជាលេខធម្មជាតិ coprime) ។

ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ហើយអនុវត្តវាតាមរយៈផលបូក p = p + q លេខចម្លងធម្មជាតិ..

មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ សម្រាប់ p + q = 2 យើងមាន៖ p = 1 និង q = 1។ បន្ទាប់មក ត្រីកោណ ABC គឺជា isosceles ហើយវិសមភាពចាំបាច់គឺជាក់ស្តែង៖ ពួកគេធ្វើតាមពីវិសមភាពត្រីកោណ

ជំហាន​បញ្ចូល​។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងសន្មត់ថា វិសមភាពចាំបាច់ត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ p + q = 2, 3, ..., k − 1 ដែល k > 2. ចូរយើងបង្ហាញថាវិសមភាពក៏មានសុពលភាពផងដែរ។ p + q = k ។

អនុញ្ញាតឱ្យ ABC — ត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ, មួយ​ណា> 2. បន្ទាប់មកភាគី AC និង BC មិនអាចស្មើគ្នា៖ អនុញ្ញាតឱ្យ AC > BC ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងសាងសង់ដូចក្នុងរូបភាពទី 2 ត្រីកោណ isosceles ABC; យើង​មាន:

AC = DC និង AD = AB + BD ដូច្នេះ

2AC > AB + BD (1)

ឥឡូវពិចារណាត្រីកោណ BDC, មុំរបស់ពួកគេក៏ស្របគ្នាដែរ៖

DСВ = (q - р), ВDC = ទំ។

អង្ករ។ ២

សម្រាប់​ត្រីកោណ​នេះ សម្មតិកម្ម​អាំងឌុច​យក​បាន​ហើយ ដូច្នេះ

(2)

បន្ថែម (1) និង (2) យើងមាន:

2AC+BD>

ហើយ​ដូច្នេះ

ពីត្រីកោណដូចគ្នា។វីប៊ីអេស តាមសម្មតិកម្មនៃសេចក្តីផ្តើម យើងសន្និដ្ឋានថា

ដោយពិចារណាលើវិសមភាពពីមុនយើងសន្និដ្ឋាន

ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរអាំងឌុចស្យុងត្រូវបានទទួល ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាកើតឡើងពីគោលការណ៍នៃអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា។

មតិយោបល់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហានៅតែមានសុពលភាព ទោះបីជាក្នុងករណីដែលមុំ a និង p មិនសមហេតុផលក៏ដោយ។ ផ្អែកលើការពិចារណានៅក្នុង ករណីទូទៅយើង​ត្រូវ​អនុវត្ត​គោលការណ៍​គណិតវិទ្យា​ដ៏​សំខាន់​មួយ​ទៀត​រួច​ហើយ គឺ​គោលការណ៍​នៃ​ការ​បន្ត។

បញ្ហា 15. បន្ទាត់ត្រង់ជាច្រើនបែងចែកយន្តហោះទៅជាផ្នែក។ បង្ហាញថាអ្នកអាចដាក់ពណ៌ផ្នែកទាំងនេះជាពណ៌ស

និង​ពណ៌​ខ្មៅ ដូច្នេះ​ផ្នែក​នៅ​ជាប់​គ្នា​ដែល​មាន​ផ្នែក​ព្រំដែន​រួម​មាន ពណ៌ផ្សេងគ្នា(ដូចក្នុងរូបភាពទី 3 ជាមួយ n = 4) ។

រូបភាពទី 3

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើអាំងឌុចស្យុងលើចំនួនបន្ទាត់។ ដូច្នេះអនុញ្ញាតឱ្យទំ - ចំនួនបន្ទាត់ដែលបែងចែកយន្តហោះរបស់យើងជាផ្នែកៗ n > 1 ។

មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ ប្រសិនបើមានបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ(ទំ = 1) បន្ទាប់មកវាបែងចែកយន្តហោះជាពីរពាក់កណ្តាលយន្តហោះ ដែលមួយអាចដាក់ពណ៌បាន។ ពណ៌សហើយទីពីរជាពណ៌ខ្មៅ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺត្រឹមត្រូវ។

ជំហាន​បញ្ចូល​។ ដើម្បីធ្វើឱ្យភស្តុតាងនៃការផ្លាស់ប្តូរ inductive កាន់តែច្បាស់ សូមពិចារណាពីដំណើរការនៃការបន្ថែមបន្ទាត់ថ្មីមួយ។ ប្រសិនបើយើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ទីពីរ(ទំ= 2) បន្ទាប់មកយើងទទួលបានបួនផ្នែកដែលអាចត្រូវបានពណ៌តាមតម្រូវការដោយគូរជ្រុងផ្ទុយពណ៌ដូចគ្នា។ សូមមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ទីបី។ វានឹងបែងចែកផ្នែកខ្លះនៃ "ចាស់" ខណៈពេលដែលផ្នែកថ្មីនៃព្រំដែននឹងលេចឡើងនៅផ្នែកទាំងពីរដែលមានពណ៌ដូចគ្នា (រូបភាព 4) ។

អង្ករ។ ៤

តោះបន្តដូចខាងក្រោម៖នៅម្ខាងពីបន្ទាត់ត្រង់ថ្មីយើងនឹងផ្លាស់ប្តូរពណ៌ - យើងនឹងធ្វើឱ្យសខ្មៅនិងច្រាសមកវិញ; ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងមិនជួសជុលផ្នែកទាំងនោះដែលនៅម្ខាងទៀតនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះទេ (រូបភាពទី 5)។ បន្ទាប់មកពណ៌ថ្មីនេះនឹងបំពេញតម្រូវការចាំបាច់: នៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់វាត្រូវបានជំនួសរួចហើយ (ប៉ុន្តែមានពណ៌ផ្សេងគ្នា) ហើយនៅម្ខាងទៀតវាជាអ្វីដែលត្រូវការ។ ដើម្បីឱ្យផ្នែកដែលមានព្រំប្រទល់រួមដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ដែលគូរត្រូវបានលាបពណ៌ខុសៗគ្នា យើងលាបពណ៌ផ្នែកទាំងនោះតែនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះប៉ុណ្ណោះ។

រូប ៥

សូម​ឱ្យ​យើង​ឥឡូវ​នេះ​បង្ហាញ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ inductive ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មតថាសម្រាប់អ្នកខ្លះp = kសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺជាការពិត ពោលគឺគ្រប់ផ្នែកទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលវាត្រូវបានបែងចែកដោយទាំងនេះទៅត្រង់ អ្នកអាចលាបពណ៌ស និងខ្មៅ ដើម្បីឱ្យផ្នែកដែលនៅជាប់គ្នាមានពណ៌ផ្សេងគ្នា។ ចូរយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកមានពណ៌បែបនេះសម្រាប់ទំ= ទៅ+ 1 ដោយផ្ទាល់។ ចូរយើងបន្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីនៃការផ្លាស់ប្តូរពីពីរខ្សែទៅបី។ តោះគូរលើយន្តហោះទៅត្រង់ បន្ទាប់មកដោយសម្មតិកម្មចាប់ផ្តើម "ផែនទី" លទ្ធផលអាចត្រូវបានពណ៌តាមរបៀបដែលចង់បាន។ ឥឡូវនេះសូមអនុវត្ត(ទៅ+ 1) បន្ទាត់ត្រង់ ហើយនៅម្ខាងរបស់វា យើងប្តូរពណ៌ទៅផ្ទុយ។ ដូច្នេះ​ឥឡូវនេះ(ទៅ+ 1) បន្ទាត់ត្រង់បំបែកតំបន់នៃពណ៌ផ្សេងគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែងខណៈពេលដែលផ្នែក "ចាស់" ដូចដែលយើងបានឃើញរួចហើយនៅតែមានពណ៌ត្រឹមត្រូវ។ យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

កិច្ចការ16. នៅលើគែមនៃវាលខ្សាច់មានការផ្គត់ផ្គង់ប្រេងសាំងដ៏ច្រើន និងរថយន្តដែលនៅពេលចាក់សាំងពេញអាចធ្វើដំណើរបាន 50 គីឡូម៉ែត្រ។ មានកំប៉ុងក្នុងបរិមាណមិនកំណត់ ដែលអ្នកអាចចាក់សាំងចេញពីធុងហ្គាសរថយន្តរបស់អ្នក ហើយទុកវាទុកសម្រាប់ទុកនៅកន្លែងណាមួយក្នុងវាលខ្សាច់។ បញ្ជាក់​ថា​រថយន្ត​អាច​ធ្វើ​ដំណើរ​បាន​ចម្ងាយ​ចំនួន​គត់​លើស​ពី 50 គីឡូម៉ែត្រ។ អ្នក​មិន​ត្រូវ​បាន​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​យក​កំប៉ុង​សាំង​ទេ អ្នក​អាច​យក​ធុង​ទទេ​ក្នុង​បរិមាណ​ណា​ក៏​បាន​។

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងព្យាយាមបញ្ជាក់ដោយការណែនាំនៅលើPដែលរថយន្តអាចបើកទៅឆ្ងាយទំគីឡូម៉ែត្រពីគែមវាលខ្សាច់។ នៅទំ= 50 ត្រូវបានគេស្គាល់។ អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវអនុវត្តជំហានណែនាំ និងពន្យល់ពីរបៀបទៅទីនោះp = k+ 1 គីឡូម៉ែត្រ បើគេដឹងp = kអ្នកអាចបើកបរបានរាប់គីឡូម៉ែត្រ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅទីនេះយើងជួបប្រទះការលំបាកមួយ: បន្ទាប់ពីយើងបានឆ្លងកាត់ទៅគីឡូម៉ែត្រ ប្រហែលជាមិនមានសាំងគ្រប់គ្រាន់ទេ សូម្បីតែសម្រាប់ ផ្លូវត្រឡប់មកវិញ(មិននិយាយអំពីការផ្ទុក) ។ ហើយក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយគឺដើម្បីពង្រឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ (ភាពផ្ទុយគ្នារបស់អ្នកបង្កើត) ។ យើងនឹងបង្ហាញថាអ្នកមិនត្រឹមតែអាចបើកបរប៉ុណ្ណោះទេទំគីឡូម៉ែត្រ ប៉ុន្តែ​ក៏​ត្រូវ​ធ្វើ​ការ​ផ្គត់ផ្គង់​សាំង​ច្រើន​តាម​អំពើ​ចិត្ត​នៅ​ចំណុច​មួយ​ពី​ចម្ងាយទំគីឡូម៉ែត្រពីគែមវាលខ្សាច់ ដោយមកដល់ចំណុចនេះបន្ទាប់ពីការបញ្ចប់នៃការដឹកជញ្ជូន។

មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង។ទុក​មួយ​ឯកតា​នៃ​សាំង​ជា​បរិមាណ​សាំង​ដែល​តម្រូវ​ឱ្យ​ធ្វើ​ដំណើរ​មួយ​គីឡូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់មកការធ្វើដំណើរចម្ងាយ 1 គីឡូម៉ែត្រទៅខាងក្រោយ ត្រូវការប្រេងសាំងចំនួន 2 គ្រឿង ដូច្នេះយើងអាចទុកសាំងចំនួន 48 គ្រឿងក្នុងកន្លែងស្តុកទុកមួយគីឡូម៉ែត្រពីគែម ហើយត្រលប់មកវិញសម្រាប់ផ្នែកថ្មី។ ដូច្នេះ ការធ្វើដំណើរជាច្រើនដងទៅកាន់កន្លែងផ្ទុក យើងអាចធ្វើការស្តុកទុកគ្រប់ទំហំដែលយើងត្រូវការ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ ដើម្បីបង្កើតទុនបម្រុងចំនួន ៤៨ យូនីត យើងប្រើប្រាស់ប្រេងសាំងចំនួន ៥០ យូនីត។

ជំហាន​បញ្ចូល​។ចូរសន្មតថានៅចម្ងាយទំ= ទៅពីគែមនៃវាលខ្សាច់ អ្នកអាចស្តុកទុកនូវបរិមាណប្រេងសាំងណាមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតកន្លែងផ្ទុកនៅចម្ងាយp = k+ 1 គីឡូម៉ែត្រ​ជាមួយ​នឹង​ការ​បម្រុង​ទុក​នៃ​ប្រេងសាំង​ដែល​បាន​បញ្ជាក់​ជា​មុន​និង​បញ្ចប់​នៅ​កន្លែង​ផ្ទុក​នេះ​នៅ​ចុង​បញ្ចប់​នៃ​ការ​ដឹក​ជញ្ជូន​។ ដោយសារតែនៅចំណុចទំ= ទៅមានការផ្គត់ផ្គង់ប្រេងសាំងគ្មានដែនកំណត់ បន្ទាប់មក (យោងតាមមូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង) យើងអាចឈានដល់ចំណុចមួយក្នុងការធ្វើដំណើរជាច្រើនp = k+ 1 ធ្វើនៅចំណុចទំ= ទៅ4- 1 ស្តុកគ្រប់ទំហំតាមតម្រូវការ។

ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅជាងនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាឥឡូវនេះ កើតឡើងពីគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ជាពិសេស តាមរយៈការសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ខ្ញុំបានបង្កើនចំនេះដឹងរបស់ខ្ញុំនៅក្នុងផ្នែកគណិតវិទ្យានេះ ហើយក៏បានរៀនដោះស្រាយបញ្ហាដែលពីមុនហួសពីកម្លាំងរបស់ខ្ញុំផងដែរ។

ភាគច្រើនទាំងនេះគឺជាកិច្ចការឡូជីខល និងកម្សាន្ត ពោលគឺឧ។ គ្រាន់តែអ្នកដែលបង្កើនចំណាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យាខ្លួនឯងជាវិទ្យាសាស្ត្រ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះក្លាយជាសកម្មភាពកម្សាន្តមួយ ហើយអាចទាក់ទាញមនុស្សចង់ដឹងចង់ឃើញកាន់តែច្រើនចូលទៅក្នុង labyrinth គណិតវិទ្យា។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ នេះគឺជាមូលដ្ឋាននៃវិទ្យាសាស្ត្រណាមួយ។

បន្តសិក្សាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ខ្ញុំនឹងព្យាយាមរៀនពីរបៀបអនុវត្តវាមិនត្រឹមតែក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា និងជីវិតខ្លួនឯងផងដែរ។

អក្សរសាស្ត្រ

1.Vulenkin ការណែនាំ។ បន្សំ។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់គ្រូ។ អិម, ការត្រាស់ដឹង,

១៩៧៦.-៤៨ ទំ។

2. Golovina L.I., Yaglom I.M. ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ។ - M. : រដ្ឋ។ បោះពុម្ពផ្សាយ លីត្រ - ឆ្នាំ 1956 - S.I00 ។ សៀវភៅណែនាំអំពីគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកចូលសាកលវិទ្យាល័យ / Ed ។ Yakovleva G.N. វិទ្យាសាស្ត្រ។ -១៩៨១។ - P.47-51 ។

៣.Golovina L.I., Yaglom I.M. ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ។ —
M.: Nauka, 1961. - (ការបង្រៀនដ៏ពេញនិយមលើគណិតវិទ្យា។)

4. I.T.Demidov, A.N.Kolmogorov, S.I.Schvartsburg, O.S.Ivashev-Musatov, B.E.Weitz ។ ការបង្រៀន/ "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ 1975 ។

5.R. Courant, G. Robbins "តើគណិតវិទ្យាជាអ្វី?" ជំពូកទី 1 § 2

6.Popa D. គណិតវិទ្យា និងហេតុផលដែលអាចទុកចិត្តបាន។ - M,: Nauka, 1975 ។

7.Popa D. ការរកឃើញគណិតវិទ្យា។ - M. : Nauka, 1976 ។

8. Rubanov I.S. How to teach the method of mathematical induction / សាលាគណិតវិទ្យា. - ន. - 1996. - P.14-20 ។

9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom IM. លើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M.: Nauka, 1977. - (ការបង្រៀនដ៏ពេញនិយមលើគណិតវិទ្យា។)

10.Solominsky I.S. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : វិទ្យាសាស្ត្រ។

៦៣ ស.

11.Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. អំពីការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : វិទ្យាសាស្ត្រ។ - 1967. - P.7-59 ។

១២.http://w.wikimedia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

វិធីសាស្រ្តភស្តុតាងដោយផ្អែកលើ axiom 4 របស់ Peano ត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិគណិតវិទ្យាជាច្រើន និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងៗ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)ជាមួយនឹងការប្រែប្រួលធម្មជាតិ នពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតដែលថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = កវាដូចខាងក្រោមថាវាជាការពិតសម្រាប់ កាលបរិច្ឆេទបន្ទាប់ n=k,បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន) ន.

ភស្តុតាង. ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ មសំណុំ​នៃ​ចំនួន​ទាំង​នោះ ហើយ​មាន​តែ​លេខ​ធម្មជាតិ​ដែល​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​នេះ​ប៉ុណ្ណោះ។ ក(ន)ពិត។ បន្ទាប់មកតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ យើងមាន៖ ១) ១ ម; 2) គីឡូម៉ែតkម. ពីទីនេះដោយផ្អែកលើ axiom 4 យើងសន្និដ្ឋាន ម =ន, i.e. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)ពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

វិធីសាស្រ្តភស្តុតាងផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេហៅថា ដោយវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា,ហើយ axiom គឺជា axiom នៃ induction ។ ភស្តុតាងនេះមានពីរផ្នែក៖

1) បញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)ពិតសម្រាប់ n= ក(1);

2) សន្មតថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)ពិតសម្រាប់ n = កហើយដោយផ្អែកលើការសន្មត់នេះ បង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នោះ។ A(n)ពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e. ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាការពិត ក(k) ក(k+ 1).

ប្រសិនបើ ក( 1) ក(k) A(k + 1) - សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ពិត​បន្ទាប់​មក​ពួក​គេ​សន្និដ្ឋាន​ថា​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​នោះ​ A(n)ពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអាចចាប់ផ្តើមមិនត្រឹមតែជាមួយនឹងការបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n= 1, ប៉ុន្តែក៏មកពីលេខធម្មជាតិណាមួយ។ ម. ក្នុងករណីនេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)នឹងត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់។ nm.

បញ្ហា៖ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ សមភាព 1 + 3 + 5 … + (2 ន- 1) = ន.

ដំណោះស្រាយ។សមភាព 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = នគឺ​ជា​រូបមន្ត​ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​រក​ផល​បូក​នៃ​លេខ​សេស​ធម្មជាតិ​ជាប់​គ្នា​ដំបូង។ ឧទាហរណ៍ 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (ផលបូកមាន 4 លក្ខខណ្ឌ) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (ផលបូកមាន 6 លក្ខខណ្ឌ); ប្រសិនបើផលបូកនេះមាន 20 លក្ខខណ្ឌនៃប្រភេទដែលបានចង្អុលបង្ហាញ នោះវាស្មើនឹង 20 = 400 ។ល។ ដោយបានបង្ហាញពីការពិតនៃសមភាពនេះ យើងនឹងអាចស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនពាក្យណាមួយនៃប្រភេទដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្ត។

1) អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់ការពិតនៃសមភាពនេះសម្រាប់ n= 1. ពេលណា n= 1 ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពមានពាក្យមួយស្មើនឹង 1 ផ្នែកខាងស្តាំស្មើនឹង 1=1។ ចាប់តាំងពី 1=1 បន្ទាប់មកសម្រាប់ n= 1 សមភាពនេះជាការពិត។

2) ឧបមាថាសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់ n = ក, i.e. នោះ ១ + ៣ + ៥ + … + (២ k- 1) = kដោយផ្អែកលើការសន្មត់នេះ យើងបង្ហាញថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e. ១ + ៣ + ៥ + … + (២ k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

ចូរយើងពិចារណា ខាងឆ្វេងសមភាពចុងក្រោយ។

តាមការសន្មត ផលបូកនៃទីមួយ kលក្ខខណ្ឌគឺស្មើនឹង kហើយដូច្នេះ ១ + ៣ + ៥ + … + (២ k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. កន្សោម k+ 2k + 1 គឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងកន្សោម ( k + 1).

ដូច្នេះការពិតនៃសមភាពនេះសម្រាប់ n = k + 1 ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដូច្នេះសមភាពនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតរបស់វាសម្រាប់ n = កត្រូវតែជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1.

នេះបង្ហាញថាសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា អ្នកអាចបញ្ជាក់ការពិតនៃការមិនត្រឹមតែសមភាពប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានវិសមភាពផងដែរ។

កិច្ចការ។ បញ្ជាក់​ថា កន្លែង​ណា ន.

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងពិនិត្យមើលការពិតនៃវិសមភាពនៅ n= 1. យើងមាន - វិសមភាពពិត។

ចូរយើងសន្មតថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ n = k,ទាំងនោះ។ - វិសមភាពពិត។ ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយផ្អែកលើការសន្មត់ថាវាក៏ជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e. (*).

ចូរយើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (*) ដោយពិចារណាថា ៖ .

ប៉ុន្តែ , ដែលមានន័យថា .

ដូច្នេះ វិសមភាពនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ n= 1, និង, ពីការពិតដែលថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់មួយចំនួន n= kយើងបានរកឃើញថាវាជាការពិតសម្រាប់ n= k + 1.

ដូច្នេះដោយប្រើ axiom 4 យើងបានបង្ហាញថាវិសមភាពនេះគឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

កិច្ចការ។ បង្ហាញថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងពិនិត្យមើលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅពេលដែល n=១- សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។

ចូរយើងសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ n = ក:. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញ, ការប្រើប្រាស់នេះ, ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅពេលដែល n = k + 1: .

ចូរបំប្លែងកន្សោម៖ . ចូរយើងស្វែងរកភាពខុសគ្នា kនិង k+ 1 សមាជិក។ ប្រសិនបើវាបង្ហាញថាភាពខុសគ្នាលទ្ធផលគឺជាពហុគុណនៃ 7 ហើយដោយការសន្មត់ថាផ្នែករងត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 នោះ minuend ក៏ជាពហុគុណនៃ 7៖

ផលិតផលគឺជាពហុគុណនៃ 7 ដូច្នេះ និង .

ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតរបស់វាសម្រាប់ n = កត្រូវតែជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1.

នេះបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។

កិច្ចការ។ បញ្ជាក់ថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន 2 សេចក្តីថ្លែងការណ៍ (7-1)24 គឺពិត។

ដំណោះស្រាយ។ 1) ចូរយើងពិនិត្យមើលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅពេលដែល ន= 2: - សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។

ការពិពណ៌នាគន្ថនិទ្ទេស៖ Badanin A.S., Sizova M. Yu. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលើការបែងចែកលេខធម្មជាតិ // អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រវ័យក្មេង។ 2015. លេខ 2 ។ ទំ. ៨៤-៨៦..០២.២០១៩)។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា Olympiads ច្រើនតែមានបញ្ហាពិបាកដើម្បីបញ្ជាក់ការបែងចែកលេខធម្មជាតិ។ សិស្សសាលាប្រឈមមុខនឹងបញ្ហា: របៀបស្វែងរកសកល វិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ?

វាប្រែថាបញ្ហាភាគច្រើនក្នុងការបង្ហាញពីការបែងចែកអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ប៉ុន្តែសៀវភៅសិក្សារបស់សាលាយកចិត្តទុកដាក់តិចតួចបំផុតចំពោះវិធីសាស្ត្រនេះ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ការពិពណ៌នាទ្រឹស្តីសង្ខេបត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយបញ្ហាជាច្រើនត្រូវបានវិភាគ។

យើងរកឃើញវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ។ នៅពេលព្រឹកព្រលឹមនៃទ្រឹស្ដីលេខ គណិតវិទូបានរកឃើញការពិតជាច្រើនដោយប្រយោល៖ L. Euler និង K. Gauss ពេលខ្លះបានពិចារណាឧទាហរណ៍រាប់ពាន់ មុននឹងកត់សម្គាល់គំរូលេខ ហើយជឿលើវា។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានោះ ពួកគេបានយល់ពីរបៀបដែលសម្មតិកម្មបញ្ឆោតដែលបានឆ្លងកាត់ការសាកល្បង "ចុងក្រោយ" អាចជា។ ដើម្បីផ្លាស់ទីដោយ inductive ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានផ្ទៀងផ្ទាត់សម្រាប់សំណុំរងកំណត់ទៅសេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់សំណុំគ្មានដែនកំណត់ទាំងមូល ភស្តុតាងគឺត្រូវបានទាមទារ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Blaise Pascal ដែលបានរកឃើញក្បួនដោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកសញ្ញានៃការបែងចែកចំនួនគត់ដោយចំនួនគត់ផ្សេងទៀត (សន្ធិសញ្ញា "នៅលើធម្មជាតិនៃការបែងចែកលេខ") ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់ដោយហេតុផលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ ឬការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលចាប់ផ្តើមពីចំនួនជាក់លាក់ n ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាដើម្បីបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយដោយប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាមានបួនដំណាក់កាល (រូបភាពទី 1)៖

អង្ករ។ 1. គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា

1. មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង . ពួកគេពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិតូចបំផុតដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍សមហេតុផល។

2. សម្មតិកម្មអាំងឌុចស្យុង . យើងសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ k ។

3. ការផ្លាស់ប្តូរអាំងឌុចស្យុង . យើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ k+1។

4. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន . ប្រសិនបើភ័ស្តុតាងបែបនេះត្រូវបានបញ្ចប់ នោះដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វាអាចត្រូវបានអះអាងថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។

ចូរយើងពិចារណាអំពីការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើតគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃការបង្ហាញពីការបែងចែកនៃចំនួនធម្មជាតិ។

ឧទាហរណ៍ ១. បង្ហាញថាលេខ 5 គឺជាពហុគុណនៃ 19 ដែល n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ភស្តុតាង៖

1) ចូរយើងពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: លេខ = 19 គឺជាពហុគុណនៃ 19 ។

2) សូមឱ្យរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, ឧ. លេខគឺជាពហុគុណនៃ 19 ។

វាគឺជាពហុគុណនៃ 19 ។ ជាការពិត ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ដោយសារការសន្មត់ (2); ពាក្យទីពីរក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ព្រោះវាមានកត្តានៃ 19 ។

ឧទាហរណ៍ ២.បង្ហាញថាផលបូកនៃគូបនៃលេខធម្មជាតិបីជាប់គ្នាគឺអាចបែងចែកដោយ 9 ។

ភស្តុតាង៖

ចូរយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ "សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n កន្សោម n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។

1) ចូរយើងពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1 + 8 + 27 = 36 គុណនៃ 9 ។

2) សូមឱ្យរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, i.e. k 3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។

3) ចូរយើងបង្ហាញថារូបមន្តក៏ពិតសម្រាប់ n = k + 1 ពោលគឺ (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។ (k + 1) 3 +(k+2)3 +(k+3)3 =(k+1)3 +(k+2)3+k 3+9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1)3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3)។

កន្សោម​លទ្ធផល​មាន​ពាក្យ​ពីរ ដែល​នីមួយៗ​ចែក​នឹង ៩ ដូច្នេះ​ផលបូក​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៩។

4) លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត ដូច្នេះប្រយោគគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ ៣.បង្ហាញថាសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n លេខ 3 2n + 1 +2 n + 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ។

ភស្តុតាង៖

1) សូមពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 = 35, 35 គឺជាពហុគុណនៃ 7 ។

2) សូមអោយរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, i.e. 3 2 k +1 +2 k +2 ចែកនឹង 7 ។

3) ចូរយើងបង្ហាញថារូបមន្តក៏ជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e.

3 2(k +1)+1 +2(k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2)·9–7·2 k +2 .T ។ k (3 2 k +1 +2 k +2) 9 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 និង 7 2 k +2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 បន្ទាប់មកភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបែងចែកដោយ 7 ។

4) លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត ដូច្នេះប្រយោគគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

បញ្ហាភ័ស្តុតាងជាច្រើននៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកលេខធម្មជាតិអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សូម្បីតែមនុស្សម្នាក់អាចនិយាយបានថាការដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះគឺមានក្បួនដោះស្រាយទាំងស្រុង វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្ត 4 ជំហានជាមូលដ្ឋាន។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តនេះមិនអាចត្រូវបានគេហៅថាជាសកលបានទេព្រោះវាមានគុណវិបត្តិផងដែរ: ដំបូងវាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តែលើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះហើយទីពីរវាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់អថេរតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតឡូជីខល និងវប្បធម៌គណិតវិទ្យា វិធីសាស្រ្តនេះគឺជាឧបករណ៍ចាំបាច់មួយ ពីព្រោះគណិតវិទូជនជាតិរុស្សីដ៏ឆ្នើម A.N. Kolmogorov បាននិយាយថា “ការយល់ដឹង និងសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបានត្រឹមត្រូវគឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដ៏ល្អនៃកាលកំណត់តក្កវិជ្ជា ដែលពិតជាមាន។ ចាំបាច់សម្រាប់គណិតវិទូ”។

អក្សរសិល្ប៍៖

1. Vilenkin N. Ya. Induction ។ បន្សំ។ - M. : ការអប់រំ, 1976. - 48 ទំ។

2. Genkin L. នៅលើ induction គណិតវិទ្យា។ - M. , 1962. - 36 ទំ។

3. Solominsky I. S. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : Nauka, 1974. - 63 ទំ។

4. Sharygin I.F. វគ្គសិក្សាស្រេចចិត្តក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី១០។ មធ្យមសិក្សា - M. : ការអប់រំ, 1989. - 252 ទំ។

5. Shen A. ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : MTsNMO, 2007. - 32 ទំ។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា, បញ្ជាក់ថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នសមភាពខាងក្រោមមានសុពលភាព៖
ក) ;
ខ) .

ដំណោះស្រាយ។

ក) ពេលណា ន= 1 សមភាពគឺពិត។ សន្មតថាសុពលភាពនៃសមភាពនៅ នអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញសុពលភាពរបស់វាសូម្បីតែនៅពេល ន+ 1. ជាការពិត

Q.E.D.

ខ) ពេលណា ន= 1 សុពលភាពនៃសមភាពគឺជាក់ស្តែង។ ពីការសន្មតនៃសុពលភាពរបស់វានៅ នគួរ

ផ្តល់សមភាព 1 + 2 + ... + ន = ន(ន+ 1)/2 យើងទទួលបាន

1 3 + 2 3 + ... + ន 3 + (ន + 1) 3 = (1 + 2 + ... + ន + (ន + 1)) 2 ,

i.e. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ក៏ពិតនៅពេលដែល ន + 1.

ឧទាហរណ៍ ១.បញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោម

កន្លែងណា នអំពី ន.

ដំណោះស្រាយ។ក) ពេលណា ន= 1 សមភាពនឹងយកទម្រង់ 1=1 ដូច្នេះ ទំ(1) គឺពិត។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាពនេះគឺជាការពិត នោះគឺវាកាន់

. ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យ (បញ្ជាក់) នោះ។ទំ(ន+ ១) នោះគឺ ពិត។ ចាប់តាំងពី (ដោយប្រើសម្មតិកម្មចាប់ផ្តើម)យើងទទួលបាននោះគឺ ទំ(ន+ ១) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។

ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា សមភាពដើមមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ចំណាំ ២.ឧទាហរណ៍នេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយខុសគ្នា។ ជាការពិតណាស់ ផលបូកគឺ 1 + 2 + 3 + ... + នគឺជាផលបូកនៃទីមួយ នសមាជិក វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធជាមួយសមាជិកដំបូង ក 1 = 1 និងភាពខុសគ្នា ឃ= 1. ដោយ​គុណ​នៃ​រូបមន្ត​ដ៏​ល្បី , យើង​ទទួល​បាន

ខ) ពេលណា ន= 1 សមភាពនឹងយកទម្រង់៖ 2 1 - 1 = 1 2 ឬ 1 = 1 នោះគឺ ទំ(1) គឺពិត។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាព

1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) = ន 2 ហើយបញ្ជាក់ថាវាកើតឡើងទំ(ន + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) + (2(ន + 1) - 1) = (ន+ 1) 2 ឬ 1 + 3 + 5 + ... + (2 ន - 1) + (2ន + 1) = (ន + 1) 2 .

ដោយ​ប្រើ​សម្មតិកម្ម​ការ​បញ្ចូល យើង​ទទួល​បាន។

1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) + (2ន + 1) = ន 2 + (2ន + 1) = (ន + 1) 2 .

ដូច្នេះ ទំ(ន+ 1) គឺពិត ហើយដូច្នេះ សមភាពដែលត្រូវការត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាំ ៣.ឧទាហរណ៍នេះអាចដោះស្រាយបាន (ស្រដៀងនឹងអត្ថបទមុន) ដោយមិនចាំបាច់ប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើតគណិតវិទ្យា។

គ) ពេលណា ន= 1 សមភាពគឺពិត៖ 1=1 ។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាពគឺជាការពិត

ហើយបង្ហាញវា។ នោះគឺការពិតទំ(ន) បង្កប់ន័យការពិតទំ(ន+ ១). ពិតជានិងចាប់តាំងពី 2 ន 2 + 7 ន + 6 = (2 ន + 3)(ន+ 2) យើងទទួលបាន ដូច្នេះហើយ សមភាពដើមមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ន.

ឃ) ពេលណា ន= 1 សមភាពគឺពិត៖ 1=1 ។ ចូរយើងសន្មតថាវាកើតឡើង

ហើយយើងនឹងបញ្ជាក់

ពិតជា

ង) ការអនុម័ត ទំ(១) ពិត៖ ២=២។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាព

គឺជាការពិត ហើយយើងនឹងបញ្ជាក់ថា វាបង្កប់ន័យសមភាពពិតជា

អាស្រ័យហេតុនេះ សមភាពដើមមានសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

f) ទំ(១) ពិត៖ 1/3 = 1/3 ។ សូមឱ្យមានភាពស្មើគ្នា ទំ(ន):

. ចូរយើងបង្ហាញថាសមភាពចុងក្រោយបង្កប់ន័យដូចខាងក្រោមៈ

ជាការពិតពិចារណា ទំ(ន) កាន់ យើងទទួលបាន

ដូច្នេះសមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។

g) ពេលណា ន= 1 យើងមាន ក + ខ = ខ + កដូច្នេះសមភាពគឺយុត្តិធម៌។

សូមអោយរូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុនមានសុពលភាពសម្រាប់ ន = kនោះគឺ

បន្ទាប់មក ការប្រើប្រាស់សមភាពយើង​ទទួល​បាន

ឧទាហរណ៍ ២.បង្ហាញវិសមភាព

ក) វិសមភាព Bernoulli៖ (1 + ក) ន ≥ 1 + ន a , a > -1, នអំពី ន.

ខ) x 1 + x 2 + ... + x ន ≥ ន, ប្រសិនបើ x 1 x 2 · ... · x ន= 1 និង x ខ្ញុំ > 0, .

គ) វិសមភាពរបស់ Cauchy ទាក់ទងនឹងមធ្យមនព្វន្ធ និងមធ្យមធរណីមាត្រ កន្លែងណា x ខ្ញុំ > 0, , ន ≥ 2.

ឃ) បាប ២ ន a + cos ២ ន a ≤ 1, នអំពី ន.

ង)

f) ២ ន > ន 3 , នអំពី ន, ន ≥ 10.

ដំណោះស្រាយ។ក) ពេលណា ន= 1 យើងទទួលបានវិសមភាពពិត

1 + a ≥ 1 + a ។ ចូរយើងសន្មតថាមានវិសមភាព

(1 + ក) ន ≥ 1 + នក

(1)

ហើយយើងនឹងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាកើតឡើង(1 + ក) ន + 1 ≥ 1 + (ន+ ១) ក.

ជាការពិត ចាប់តាំងពី a > -1 បង្កប់ន័យ a + 1 > 0 បន្ទាប់មកគុណទាំងសងខាងនៃវិសមភាព (1) ដោយ (a + 1) យើងទទួលបាន

(1 + ក) ន(1 + ក) ≥ (1 + ន a)(1+a) ឬ (1+a) ន + 1 ≥ 1 + (ន+ 1) ក + ន a 2 ចាប់តាំងពី ន a 2 ≥ 0 ដូច្នេះ(1 + ក) ន + 1 ≥ 1 + (ន+ 1) ក + ន a 2 ≥ 1 + ( ន+ ១) ក.

ដូច្នេះប្រសិនបើ ទំ(ន) គឺជាការពិត ទំ(ន+ 1) គឺជាការពិត ដូច្នេះយោងទៅតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វិសមភាពរបស់ Bernoulli គឺពិត។

ខ) ពេលណា ន= 1 យើងទទួលបាន x 1 = 1 ហើយដូច្នេះ x 1 ≥ 1 នោះគឺ ទំ(១) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ ទំ(ន) គឺជាការពិត នោះគឺប្រសិនបើ adica x 1 ,x 2 ,...,x ន - នលេខវិជ្ជមានដែលផលិតផលស្មើនឹងមួយ, x 1 x 2 ·... · x ន= 1, និង x 1 + x 2 + ... + x ន ≥ ន.

ចូរយើងបង្ហាញថាប្រយោគនេះរួមបញ្ចូលការពិតដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើ x 1 ,x 2 ,...,x ន ,x ន+1 - (ន+ 1) លេខវិជ្ជមាន x 1 x 2 ·... · x ន · x ន+1 = 1 បន្ទាប់មក x 1 + x 2 + ... + x ន + x ន + 1 ≥ន + 1.

ពិចារណាករណីពីរខាងក្រោម៖

1) x 1 = x 2 = ... = x ន = x ន+1 = 1. បន្ទាប់មកផលបូកនៃលេខទាំងនេះគឺ ( ន+ 1) ហើយវិសមភាពដែលត្រូវការគឺពេញចិត្ត។

2) យ៉ាងហោចណាស់លេខមួយខុសពីលេខមួយ អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍ លើស​ពី​មួយ. បន្ទាប់មកចាប់តាំងពី x 1 x 2 · ... · x ន · x ន+ 1 = 1 យ៉ាងហោចណាស់មានលេខមួយទៀតខុសពីលេខមួយ (កាន់តែច្បាស់ តិចជាងមួយ)។ អនុញ្ញាតឱ្យ x ន+ 1 > 1 និង x ន < 1. Рассмотрим នលេខវិជ្ជមាន

x 1 ,x 2 ,...,x ន-1 ,(x ន · x ន+1). ផលិតផលនៃលេខទាំងនេះគឺស្មើនឹងមួយ ហើយយោងទៅតាមសម្មតិកម្ម។ x 1 + x 2 + ... + x ន-1 + x ន x ន + 1 ≥ ន. វិសមភាពចុងក្រោយត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ x 1 + x 2 + ... + x ន-1 + x ន x ន+1 + x ន + x ន+1 ≥ ន + x ន + x ន+1 ឬ x 1 + x 2 + ... + x ន-1 + x ន + x ន+1 ≥ ន + x ន + x ន+1 - x ន x ន+1 .

ដោយសារតែ

(1 - x ន)(x ន+1 - 1) > 0 បន្ទាប់មក ន + x ន + x ន+1 - x ន x ន+1 = ន + 1 + x ន+1 (1 - x ន) - 1 + x ន =
= ន + 1 + x ន+1 (1 - x ន) - (1 - x ន) = ន + 1 + (1 - x ន)(x ន+1 - 1) ≥ ន+ 1. ដូច្នេះ x 1 + x 2 + ... + x ន + x ន+1 ≥ ន+1 នោះគឺប្រសិនបើ ទំ(ន) គឺជាការពិតទំ(ន+ 1) យុត្តិធម៌។ វិសមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាំ ៤.សញ្ញាស្មើគ្នាមាន if និង only if x 1 = x 2 = ... = x ន = 1.

គ) អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 ,x 2 ,...,x ន- បំពាន លេខវិជ្ជមាន. សូមពិចារណាដូចខាងក្រោម នលេខវិជ្ជមាន៖

ដោយសារតែផលិតផលរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងមួយ: យោងតាមវិសមភាពដែលបានបញ្ជាក់ពីមុន ខ) វាធ្វើតាមនោះ។កន្លែងណា

ចំណាំ ៥.សមភាព​មាន​តែ​ប្រសិន​បើ​ x 1 = x 2 = ... = x ន .

ឃ) ទំ(1) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រឹមត្រូវ៖ sin 2 a + cos 2 a = 1. ចូរយើងសន្មត់ថា ទំ(ន) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត៖

បាប ២ ន a + cos ២ ន a ≤ 1 និងបង្ហាញពីអ្វីដែលកើតឡើងទំ(ន+ ១). ពិតជាអំពើបាប 2 ( ន+ 1) a + cos 2( ន+ ១) ក = បាប ២ ន a sin 2 a + cos 2 ន a cos 2 ក< sin 2ន a + cos ២ ន a ≤ 1 (ប្រសិនបើ sin 2 a ≤ 1 បន្ទាប់មក cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1 បន្ទាប់មក sin 2 a < 1). Таким образом, для любого នអំពី នបាប ២ ន a + cos 2 ន ≤ 1 និងសញ្ញាសមភាពត្រូវបានសម្រេចបានតែនៅពេលន = 1.

ង) ពេលណា ន= ១ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត៖ ១< 3 / 2 .

ចូរសន្មតថា ហើយយើងនឹងបញ្ជាក់

ដោយសារតែ
ពិចារណា ទំ(ន), យើង​ទទួល​បាន

f) ពិចារណាលើការកត់សម្គាល់ 1 សូមពិនិត្យមើល ទំ(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000 ដូច្នេះ សម្រាប់ ន= 10 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។ ឧបមាថា ២ ន > ន 3 (ន> 10) ហើយបញ្ជាក់ ទំ(ន+ ១) នោះគឺ ២ ន+1 > (ន + 1) 3 .

ចាប់​តាំង​ពី​ពេល​ដែល ន> 10 យើងមានឬ , ធ្វើតាមនោះ។

2ន 3 > ន 3 + 3ន 2 + 3ន+ 1 ឬ ន 3 > 3ន 2 + 3ន + 1. ដោយ​មាន​វិសមភាព (២ ន > ន 3) យើងទទួលបាន 2 ន+1 = 2 ន· 2 = 2 ន + 2 ន > ន 3 + ន 3 > ន 3 + 3ន 2 + 3ន + 1 = (ន + 1) 3 .

ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នអំពី ន, ន≥ 10 យើងមាន 2 ន > ន 3 .

ឧទាហរណ៍ ៣.បញ្ជាក់វាសម្រាប់នរណាម្នាក់ នអំពី ន

ដំណោះស្រាយ។ក) ទំ(1) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត (0 ចែកនឹង 6) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ ទំ(ន) គឺយុត្តិធម៌ ន(2ន 2 - 3ន + 1) = ន(ន - 1)(2ន- 1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6. ចូរយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាកើតឡើង ទំ(ន+ ១) ពោលគឺ ( ន + 1)ន(2ន+ 1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6. ជាការពិតណាស់ចាប់តាំងពី

និងរបៀប ន(ន - 1)(2 ន- ១) និង ៦ ន 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេគឺន(ន + 1)(2 ន+ ១) ចែកនឹង ៦។

ដូច្នេះ ទំ(ន+ 1) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ ហើយដូច្នេះ ន(2ន 2 - 3ន+ 1) បែងចែកដោយ 6 សម្រាប់ណាមួយ។ នអំពី ន.

ខ) តោះពិនិត្យមើល ទំ(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11 ដូច្នេះ ទំ(១) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ។ គួរ​បញ្ជាក់​ថា បើ ៦ ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១ ចែកនឹង ១១ ( ទំ(ន)) បន្ទាប់មក ៦ ២ ន + 3 ន+2 + 3 នក៏បែងចែកដោយ 11 ( ទំ(ន+ ១))។ ជាការពិតណាស់ចាប់តាំងពី

6 2ន + 3 ន+2 + 3 ន = 6 2ន-2+2 + 3 ន+1+1 + 3 ន−1+1 = = 6 2 6 ២ ន-២+៣ ៣ ន+1+3 ៣ ន-1=3·(6 ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១) + ៣៣ ៦ ២ ន-២ និងដូច ៦ ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១ និង ៣៣ ៦ ២ ន-2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេគឺ 6 2ន + 3 ន+2 + 3 ន ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបញ្ជាក់។ ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ

ឧទាហរណ៍ 4 ។គណនាផ្នែកខាងត្រឹមត្រូវ ២ ន- ត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ រ.