ផលបូកនៃការថយចុះរូបមន្តដំណើរការនព្វន្ធ។ ការវិវត្តនៃពិជគណិត។ ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិត - រូបមន្ត។ ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការវិវត្តនព្វន្ធ

មនុស្សមួយចំនួនចាត់ទុកពាក្យថា "វឌ្ឍនភាព" ដោយប្រយ័ត្នប្រយែង ជាពាក្យស្មុគ្រស្មាញបំផុតពីសាខានៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ទន្ទឹមនឹងនេះការវិវត្តនព្វន្ធសាមញ្ញបំផុតគឺជាការងាររបស់ម៉ែត្រតាក់ស៊ី (កន្លែងដែលពួកគេនៅតែមាន) ។ ហើយ​ការ​យល់​ពី​ខ្លឹមសារ (ហើយ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​មិន​មាន​អ្វី​សំខាន់​ជាង “ការ​យល់​ពី​ខ្លឹមសារ”) នៃ​លំដាប់​នព្វន្ធ​មិន​ពិបាក​នោះ​ទេ ដោយ​បាន​វិភាគ​គោល​គំនិត​បឋម​មួយ​ចំនួន។

លំដាប់លេខគណិតវិទ្យា

លំដាប់លេខជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីលេខ ដែលនីមួយៗមានលេខរៀងៗខ្លួន។

a 1 គឺជាសមាជិកដំបូងនៃលំដាប់;

និង 2 គឺជាពាក្យទីពីរនៃលំដាប់;

និង 7 គឺជាសមាជិកទីប្រាំពីរនៃលំដាប់;

និង n គឺជាសមាជិកទី 9 នៃលំដាប់;

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនសំណុំលេខ និងលេខណាមួយដែលចាប់អារម្មណ៍យើងទេ។ យើងនឹងផ្តោតការយកចិត្តទុកដាក់របស់យើងលើលំដាប់លេខដែលតម្លៃនៃពាក្យទី 9 ទាក់ទងទៅនឹងលេខធម្មតារបស់វាដោយទំនាក់ទំនងដែលអាចបង្កើតបានយ៉ាងច្បាស់តាមគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត: តម្លៃលេខនៃលេខ n គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃ n ។

a គឺជាតម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់លេខមួយ;

n គឺជាលេខស៊េរីរបស់វា;

f(n) គឺជាអនុគមន៍មួយ ដែលលេខធម្មតានៅក្នុងលំដាប់លេខ n គឺជាអាគុយម៉ង់។

និយមន័យ

ការវិវត្តនព្វន្ធជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខដែលពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗធំជាង (តិចជាង) ជាងលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។ រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃលំដាប់នព្វន្ធមានដូចខាងក្រោម៖

a n - តម្លៃនៃសមាជិកបច្ចុប្បន្ននៃដំណើរការនព្វន្ធ;

a n+1 - រូបមន្តនៃចំនួនបន្ទាប់;

ឃ - ភាពខុសគ្នា (ចំនួនជាក់លាក់) ។

វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថាប្រសិនបើភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន (d>0) នោះសមាជិកបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីដែលកំពុងពិចារណានឹងធំជាងលេខមុន ហើយការវិវត្តនព្វន្ធបែបនេះនឹងកើនឡើង។

នៅក្នុងក្រាហ្វខាងក្រោមវាងាយស្រួលក្នុងការមើលថាហេតុអ្វីបានជាលំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថា "ការកើនឡើង"។

ក្នុងករណីដែលភាពខុសគ្នាគឺអវិជ្ជមាន (ឃ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

តម្លៃសមាជិកដែលបានបញ្ជាក់

ពេលខ្លះវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យបំពានណាមួយ a n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយការគណនាតាមលំដាប់លំដោយនៃតម្លៃនៃសមាជិកទាំងអស់នៃដំណើរការនព្វន្ធដោយចាប់ផ្តើមពីទីមួយទៅមួយដែលអ្នកចង់បាន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផ្លូវនេះមិនតែងតែអាចទទួលយកបានទេ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យប្រាំពាន់ ឬប្រាំបីលាន។ ការគណនាបែបបុរាណនឹងចំណាយពេលច្រើន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការវិវត្តនព្វន្ធជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានសិក្សាដោយប្រើរូបមន្តជាក់លាក់។ វាក៏មានរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ផងដែរ៖ តម្លៃនៃពាក្យណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធអាចត្រូវបានកំណត់ជាផលបូកនៃពាក្យទីមួយនៃវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព គុណនឹងចំនួននៃពាក្យដែលចង់បាន កាត់បន្ថយដោយ មួយ។

រូបមន្តមានលក្ខណៈជាសកលសម្រាប់ការបង្កើន និងបន្ថយការវិវត្ត។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាតម្លៃនៃពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ

ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមនៃការស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

លក្ខខណ្ឌ៖ មានការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

ពាក្យដំបូងនៃលំដាប់គឺ 3;

ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខគឺ 1.2 ។

កិច្ចការ៖ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃ 214 លក្ខខណ្ឌ

ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងប្រើរូបមន្ត៖

a(n) = a1 + d(n-1)

ការជំនួសទិន្នន័យពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាទៅក្នុងកន្សោម យើងមាន៖

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

ចំលើយ៖ ឃ្លាទី ២១៤ នៃលំដាប់គឺស្មើនឹង ២៥៨.៦។

គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនៃការគណនានេះគឺជាក់ស្តែង - ដំណោះស្រាយទាំងមូលចំណាយពេលមិនលើសពី 2 បន្ទាត់។

ផលបូកនៃចំនួនលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ

ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងស៊េរីនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃតម្លៃនៃផ្នែកមួយចំនួនរបស់វា។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ វាក៏មិនចាំបាច់គណនាតម្លៃនៃពាក្យនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមវាឡើង។ វិធីសាស្ត្រនេះអាចអនុវត្តបាន ប្រសិនបើចំនួនពាក្យដែលផលបូកត្រូវរកគឺតូច។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀតវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើរូបមន្តខាងក្រោម។

ផលបូកនៃពាក្យនៃដំណើរការនព្វន្ធពី 1 ដល់ n គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យទីមួយ និង n គុណនឹងចំនួននៃពាក្យ n ហើយចែកនឹងពីរ។ ប្រសិនបើក្នុងរូបមន្តតម្លៃនៃពាក្យទី 9 ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមពីកថាខណ្ឌមុននៃអត្ថបទ យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍នៃការគណនា

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖

ពាក្យដំបូងនៃលំដាប់គឺសូន្យ;

ភាពខុសគ្នាគឺ 0.5 ។

បញ្ហាតម្រូវឱ្យកំណត់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីពី 56 ដល់ 101 ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់កំណត់ចំនួននៃដំណើរការ៖

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ដំបូងយើងកំណត់ផលបូកនៃតម្លៃនៃ 101 លក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពដោយជំនួសលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃបញ្ហារបស់យើងទៅក្នុងរូបមន្ត:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

ជាក់ស្តែង ដើម្បីស្វែងយល់ពីផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពពីលេខ 56 ដល់ 101 វាចាំបាច់ត្រូវដក S 55 ចេញពី S 101 ។

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ដូច្នេះផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធសម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះគឺ៖

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃការវិវត្តនព្វន្ធ

នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍នៃលំដាប់នព្វន្ធដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ - taximeter (ម៉ែត្រឡានតាក់ស៊ី)។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ។

ការឡើងជិះតាក់ស៊ី (ដែលរួមបញ្ចូលទាំងការធ្វើដំណើរ 3 គីឡូម៉ែត្រ) មានតម្លៃ 50 រូប្លិ៍។ គីឡូម៉ែត្របន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានបង់ក្នុងអត្រា 22 រូប្លិ / គីឡូម៉ែត្រ។ ចម្ងាយធ្វើដំណើរគឺ 30 គីឡូម៉ែត្រ។ គណនាតម្លៃនៃការធ្វើដំណើរ។

1. ចូរបោះបង់ចោល 3 គីឡូម៉ែត្រដំបូង តម្លៃដែលរួមបញ្ចូលក្នុងការចំណាយលើការចុះចត។

30 - 3 = 27 គ។

2. ការគណនាបន្ថែមទៀតគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីការញែកស៊េរីលេខនព្វន្ធនោះទេ។

លេខសមាជិក - ចំនួនគីឡូម៉ែត្រដែលបានធ្វើដំណើរ (ដកបីដំបូង) ។

តម្លៃនៃសមាជិកគឺជាផលបូក។

ពាក្យដំបូងក្នុងបញ្ហានេះនឹងស្មើនឹង 1 = 50 rubles ។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ d = 22 r ។

លេខដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺជាតម្លៃនៃ (27+1) នៃដំណាក់កាលនព្វន្ធ - ការអានម៉ែត្រនៅចុងបញ្ចប់នៃគីឡូម៉ែត្រទី 27 គឺ 27.999... = 28 គីឡូម៉ែត្រ។

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 − 1) = 644

ការគណនាទិន្នន័យប្រតិទិនសម្រាប់រយៈពេលវែងតាមអំពើចិត្តគឺផ្អែកលើរូបមន្តដែលពិពណ៌នាអំពីលំដាប់លេខជាក់លាក់។ នៅក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រ ប្រវែងនៃគន្លងគឺតាមធរណីមាត្រអាស្រ័យលើចម្ងាយនៃរាងកាយសេឡេស្ទាលទៅផ្កាយ។ លើសពីនេះទៀត ស៊េរីលេខផ្សេងៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយជោគជ័យក្នុងស្ថិតិ និងផ្នែកអនុវត្តផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។

ប្រភេទមួយទៀតនៃលំដាប់លេខគឺធរណីមាត្រ

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរកាន់តែច្រើនបើប្រៀបធៀបទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលនៅក្នុងនយោបាយ សង្គមវិទ្យា និងថ្នាំពេទ្យ ដើម្បីបង្ហាញពីល្បឿនខ្ពស់នៃការរីករាលដាលនៃបាតុភូតជាក់លាក់មួយ ឧទាហរណ៍ ជំងឺអំឡុងពេលមានការរាតត្បាតមួយ ពួកគេនិយាយថាដំណើរការនេះវិវត្តទៅជាដំណើរការធរណីមាត្រ។

ពាក្យទី N នៃស៊េរីលេខធរណីមាត្រខុសពីលេខមុន ដែលវាត្រូវបានគុណដោយចំនួនថេរមួយចំនួន - ភាគបែង ឧទាហរណ៍ ពាក្យទីមួយគឺ 1 ភាគបែងត្រូវគ្នានឹង 2 បន្ទាប់មក៖

n=1:1 ∙ 2 = 2

n=2:2 ∙ 2 = 4

n=3:4 ∙ 2 = 8

n=4:8 ∙ 2 = 16

n=5:16 ∙ 2 = 32,

b n - តម្លៃនៃពាក្យបច្ចុប្បន្ននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ;

b n+1 - រូបមន្តនៃពាក្យបន្ទាប់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ;

q គឺជាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ (ចំនួនថេរ)។

ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ នោះវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគូររូបភាពខុសគ្នាបន្តិច៖

ដូចនៅក្នុងករណីនព្វន្ធ ការវិវត្តធរណីមាត្រមានរូបមន្តសម្រាប់តម្លៃនៃពាក្យបំពាន។ ពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យទីមួយ ហើយភាគបែងនៃការវិវត្តទៅជាថាមពលនៃ n កាត់បន្ថយដោយមួយ:

ឧទាហរណ៍។ យើងមានការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រដោយពាក្យទីមួយស្មើនឹង 3 និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពស្មើនឹង 1.5 ។ ចូរយើងស្វែងរកពាក្យទី 5 នៃវឌ្ឍនភាព

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

ផលបូកនៃចំនួនពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យក៏ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តពិសេសផងដែរ។ ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងផលគុណនៃពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាព និងភាគបែងរបស់វា និងពាក្យទីមួយនៃវឌ្ឍនភាព ដែលបែងចែកដោយភាគបែងកាត់បន្ថយដោយមួយ:

ប្រសិនបើ b n ត្រូវបានជំនួសដោយប្រើរូបមន្តដែលបានពិភាក្សាខាងលើ តម្លៃនៃផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃស៊េរីលេខដែលកំពុងពិចារណានឹងមានទម្រង់៖

ឧទាហរណ៍។ ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រចាប់ផ្តើមដោយពាក្យទីមួយស្មើនឹង 1. ភាគបែងត្រូវបានកំណត់ជា 3. ចូរយើងស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យប្រាំបីដំបូង។

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ឧទាហរណ៍ លំដាប់ \(2\); \(5\); \(8\); \(ដប់មួយ\); \(14\)... គឺជាការវិវឌ្ឍនព្វន្ធ ពីព្រោះធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយបី (អាចទទួលបានពីធាតុមុនដោយបន្ថែមបី)៖

នៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនេះ ភាពខុសគ្នា \(d\) គឺវិជ្ជមាន (ស្មើនឹង \(3\)) ហើយដូច្នេះពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងពាក្យមុន។ ការវិវត្តបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង.

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ \(d\) ក៏អាចជាលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ \(16\); \(10\); \\(4\); \\(-២\); \(-8\)... ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព \(d\) គឺស្មើនឹងដកប្រាំមួយ។

ហើយក្នុងករណីនេះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនឹងតូចជាងធាតុមុន។ វឌ្ឍនភាពទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ថយចុះ.

សញ្ញាណនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

វឌ្ឍនភាពត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរឡាតាំងតូចមួយ។

លេខដែលបង្កើតជាវឌ្ឍនភាពត្រូវបានគេហៅថា សមាជិក(ឬធាតុ) ។

ពួកវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ ប៉ុន្តែមានលិបិក្រមលេខស្មើនឹងចំនួនធាតុតាមលំដាប់លំដោយ។

ឧទាហរណ៍ ដំណើរការនព្វន្ធ \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) មានធាតុ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតសម្រាប់ការវិវត្ត \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\)

ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការវិវត្តនព្វន្ធ

ជាគោលការណ៍ ព័ត៌មានដែលបានបង្ហាញខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់រួចហើយដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាការវិវត្តនព្វន្ធស្ទើរតែទាំងអស់ (រួមទាំងអ្វីដែលផ្តល់ជូននៅ OGE)។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=7; d=4\) ។ ស្វែងរក \(b_5\) ។
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \\(b_5=23\)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ពាក្យបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ \(62; 49; 36...\) ស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យអវិជ្ជមានដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។.
ដំណោះស្រាយ៖

	យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​ធាតុ​ដំបូង​នៃ​លំដាប់ ហើយ​ដឹង​ថា​វា​ជា​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ។ នោះគឺធាតុនីមួយៗខុសគ្នាពីអ្នកជិតខាងរបស់វាដោយលេខដូចគ្នា។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើមួយណាដោយដកលេខមុនចេញពីធាតុបន្ទាប់៖ \(d=49-62=-13\) ។
	ឥឡូវនេះយើងអាចស្តារការវិវត្តរបស់យើងទៅធាតុ (អវិជ្ជមានដំបូង) ដែលយើងត្រូវការ។
	រួចរាល់។ អ្នកអាចសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ \(-3\)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ដែលបានផ្ដល់ឱ្យធាតុជាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(...5; x; 10; 12.5...\) ស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុដែលបានកំណត់ដោយអក្សរ \(x\) ។
ដំណោះស្រាយ៖

	ដើម្បីស្វែងរក \(x\) យើងត្រូវដឹងថាតើធាតុបន្ទាប់ខុសគ្នាប៉ុន្មានពីធាតុមុន ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ។ ចូរយើងស្វែងរកវាពីធាតុជិតខាងដែលគេស្គាល់ពីរ៖ \(d=12.5-10=2.5\) ។
	ហើយឥឡូវនេះយើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួលនូវអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក៖ \(x=5+2.5=7.5\)។
	រួចរាល់។ អ្នកអាចសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ \(7,5\).

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖ \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖

	យើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ ប៉ុន្តែ​យើង​មិន​បាន​ដឹង​ពី​អត្ថន័យ​របស់​វា​ទេ យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​តែ​ធាតុ​ទីមួយ​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះដំបូងយើងគណនាតម្លៃម្តងមួយៗដោយប្រើអ្វីដែលផ្តល់ឱ្យយើង: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) ហើយដោយបានគណនាធាតុទាំងប្រាំមួយដែលយើងត្រូវការ យើងរកឃើញផលបូករបស់វា។
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	ចំនួនដែលត្រូវការត្រូវបានរកឃើញ។

ចម្លើយ៖ \\(S_6=9\) ។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\) ។ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \\ (d=7\) ។

រូបមន្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបញ្ហាជាច្រើនលើការវិវត្តនព្វន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយសាមញ្ញដោយការយល់ដឹងអំពីរឿងសំខាន់ - ថាការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃលេខហើយធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នេះត្រូវបានទទួលដោយការបន្ថែមលេខដូចគ្នាទៅនឹងលេខមុន (the ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ) ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ពេលខ្លះមានស្ថានភាពនៅពេលដែលការសម្រេចចិត្ត "បន្តទៅមុខ" គឺជាការរអាក់រអួលខ្លាំង។ ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃថាក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូង យើងត្រូវស្វែងរកមិនមែនធាតុទីប្រាំ \(b_5\) ប៉ុន្តែបីរយប៉ែតសិបប្រាំមួយ \(b_(386)\) ។ តើយើងគួរបន្ថែមបួន \(385\) ដងទេ? ឬស្រមៃថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ អ្នកត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃធាតុចិតសិបបីដំបូង។ អ្នកនឹងធុញទ្រាន់នឹងការរាប់ ...

ដូច្នេះហើយ ក្នុងករណីបែបនេះ ពួកគេមិនដោះស្រាយរឿង "លើក្បាល" ទេ ប៉ុន្តែប្រើរូបមន្តពិសេសដែលបានមកពីការវិវត្តនព្វន្ធ។ ហើយរូបមន្តសំខាន់ៗគឺរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃវឌ្ឍនភាព និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យទីមួយ។

រូបមន្តនៃពាក្យ \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\) ដែល \(a_1\) គឺជាពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។
\(n\) - ចំនួននៃធាតុដែលត្រូវការ;
\(a_n\) - រយៈពេលនៃដំណើរការជាមួយលេខ \(n\) ។

រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញយ៉ាងឆាប់រហ័សសូម្បីតែធាតុបីរយឬលានដោយដឹងតែធាតុទីមួយនិងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។

ឧទាហរណ៍។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖ \(b_1=-159\); \\ (d=8.2\) ។ ស្វែងរក \(b_(246)\) ។
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \(b_(246)=1850\) ។

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ៖ \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) ដែល

\(a_n\) - ពាក្យសង្ខេបចុងក្រោយ;

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(a_n=3.4n-0.6\) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ \(25\) ដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		ដើម្បីគណនាផលបូកនៃពាក្យម្ភៃប្រាំដំបូង យើងត្រូវដឹងពីតម្លៃនៃពាក្យទីមួយ និងម្ភៃប្រាំ។ ការវិវត្តរបស់យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 អាស្រ័យលើចំនួនរបស់វា (សម្រាប់ព័ត៌មានលម្អិតសូមមើល) ។ ចូរគណនាធាតុទីមួយដោយជំនួសធាតុមួយសម្រាប់ \(n\) ។
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		ឥឡូវ​យើង​រក​ពាក្យ​ទី​ម្ភៃ​ប្រាំ​ដោយ​ជំនួស​ម្ភៃ​ប្រាំ​ជំនួស​ឱ្យ \(n\) ។
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		ឥឡូវនេះយើងអាចគណនាចំនួនដែលត្រូវការបានយ៉ាងងាយស្រួល។
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		ចម្លើយគឺរួចរាល់។

ចម្លើយ៖ \(S_(25)=1090\) ។

សម្រាប់ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តមួយទៀត៖ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\) ជំនួសឱ្យ \(a_n\) ជំនួសរូបមន្តសម្រាប់វា \(a_n=a_1+(n-1)d\)។ យើង​ទទួល​បាន:

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ៖ \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) ដែល

\(S_n\) - ផលបូកដែលត្រូវការនៃធាតុដំបូង \(n\);
\(a_1\) - ពាក្យសង្ខេបដំបូង;
\\ (d\) - ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ;
\(n\) - ចំនួនធាតុសរុប។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យដំបូង \(33\)-ex នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(17\); \(15.5\); \(14\)...
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ \\(S_(33)=-231\) ។

បញ្ហាដំណើរការនព្វន្ធស្មុគស្មាញជាង

ឥឡូវនេះអ្នកមានព័ត៌មានទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាការវិវត្តនព្វន្ធស្ទើរតែទាំងអស់។ សូមបញ្ចប់ប្រធានបទដោយពិចារណាបញ្ហាដែលអ្នកមិនត្រឹមតែត្រូវអនុវត្តរូបមន្តប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងគិតបន្តិចទៀត (ក្នុងគណិតវិទ្យាវាអាចមានប្រយោជន៍ ☺)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌអវិជ្ជមានទាំងអស់នៃដំណើរការ៖ \(-19.3\); \\(-១៩\); \(-១៨.៧\)…
ដំណោះស្រាយ៖

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		ភារកិច្ចគឺស្រដៀងនឹងការងារមុន។ យើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយរឿងដូចគ្នា៖ ដំបូងយើងរកឃើញ \(d\) ។
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ឥឡូវនេះ ខ្ញុំចង់ជំនួស \(d\) ទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក... ហើយនៅទីនេះមានចំណុចតូចមួយលេចឡើង - យើងមិនដឹងទេ \(n\) ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងមិនដឹងថាត្រូវបន្ថែមលក្ខខណ្ឌប៉ុន្មាននោះទេ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងយល់? ចូរយើងគិត។ យើងនឹងបញ្ឈប់ការបន្ថែមធាតុនៅពេលដែលយើងឈានដល់ធាតុវិជ្ជមានដំបូង។ នោះគឺអ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួននៃធាតុនេះ។ យ៉ាងម៉េច? ចូរសរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាធាតុណាមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(a_n=a_1+(n-1)d\) សម្រាប់ករណីរបស់យើង។
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		យើងត្រូវការ \(a_n\) ដើម្បីក្លាយជាធំជាងសូន្យ។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើវានឹងមានអ្វីកើតឡើង។
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយ \(0.3\) ។
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		យើងផ្ទេរដកមួយដោយមិនភ្លេចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		តោះគណនា...
\(n>65,333…\)		...ហើយវាប្រែថាធាតុវិជ្ជមានដំបូងនឹងមានលេខ \(66\)។ ដូច្នោះហើយ អវិជ្ជមានចុងក្រោយមាន \(n=65\)។ ក្នុង​ករណី​នេះ សូម​ពិនិត្យ​មើល
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		ដូច្នេះយើងត្រូវបន្ថែមធាតុ \(65\) ដំបូង។
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		ចម្លើយគឺរួចរាល់។

ចម្លើយ៖ \(S_(65)=-630.5\) ។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖ \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)។ ស្វែងរកផលបូកពី \(26\)th ដល់ធាតុ \(42\) រួមបញ្ចូល។
ដំណោះស្រាយ៖

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ក្នុង​បញ្ហា​នេះ អ្នក​ក៏​ត្រូវ​រក​ផលបូក​នៃ​ធាតុ​ដែរ ប៉ុន្តែ​មិន​មែន​ចាប់​ពី​ដំបូង​ទេ ប៉ុន្តែ​ចាប់​ពី \(26\)th ។ ចំពោះករណីបែបនេះយើងមិនមានរូបមន្តទេ។ តើត្រូវសម្រេចចិត្តយ៉ាងដូចម្តេច? វាងាយស្រួល - ដើម្បីទទួលបានផលបូកពី \(26\)th ដល់ \(42\)th ដំបូងអ្នកត្រូវរកផលបូកពី \(1\)th ដល់ \(42\)th ហើយបន្ទាប់មកដក ពីវា ផលបូកពីទីមួយដល់ \(25\)th (មើលរូបភាព)។
	សម្រាប់ដំណើរការរបស់យើង \(a_1=-33\) និងភាពខុសគ្នា \(d=4\) (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ យើងបន្ថែមទាំងបួនទៅធាតុមុន ដើម្បីស្វែងរកធាតុបន្ទាប់)។ ដោយដឹងរឿងនេះ យើងរកឃើញផលបូកនៃធាតុ \(42\)-y ដំបូង។
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\\(\cdot 42=\) \\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \\(\cdot 42=2058\)	ឥឡូវនេះផលបូកនៃធាតុ \(25\) ដំបូង។
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	ហើយចុងក្រោយយើងគណនាចម្លើយ។
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

ចម្លើយ៖ \\ (S=1683\) ។

សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ មានរូបមន្តជាច្រើនទៀតដែលយើងមិនបានពិចារណាក្នុងអត្ថបទនេះ ដោយសារអត្ថប្រយោជន៍ជាក់ស្តែងទាបរបស់វា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយអ្នកអាចស្វែងរកពួកគេយ៉ាងងាយស្រួល។

នៅពេលសិក្សាពិជគណិតនៅអនុវិទ្យាល័យ (ថ្នាក់ទី 9) ប្រធានបទសំខាន់មួយគឺការសិក្សាអំពីលំដាប់លេខ ដែលរួមមានវឌ្ឍនភាព - ធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលការវិវត្តនព្វន្ធ និងឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ។

តើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វី?

ដើម្បីយល់ពីបញ្ហានេះ ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ការវិវត្តនៅក្នុងសំណួរ ក៏ដូចជាផ្តល់នូវរូបមន្តមូលដ្ឋានដែលនឹងត្រូវបានប្រើនៅពេលក្រោយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ការវិវត្តនព្វន្ធ ឬពិជគណិតគឺជាសំណុំនៃលេខសនិទានកម្មតាមលំដាប់ ដែលពាក្យនីមួយៗខុសគ្នាពីលេខមុនដោយតម្លៃថេរមួយចំនួន។ តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា។ នោះគឺការដឹងពីសមាជិកណាមួយនៃស៊េរីលេខដែលបានបញ្ជាទិញ និងភាពខុសគ្នា អ្នកអាចស្ដារឡើងវិញនូវដំណើរការនព្វន្ធទាំងមូល។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។ លំដាប់នៃលេខខាងក្រោមនឹងជាដំណើរការនព្វន្ធ៖ 4, 8, 12, 16, ... ចាប់តាំងពីភាពខុសគ្នាក្នុងករណីនេះគឺ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) ។ ប៉ុន្តែសំណុំនៃលេខ 3, 5, 8, 12, 17 មិនអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈប្រភេទនៃការវិវត្តដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណាទេព្រោះភាពខុសគ្នាសម្រាប់វាមិនមែនជាតម្លៃថេរ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ ១៧​-​១២)។

រូបមន្តសំខាន់ៗ

ឥឡូវ​នេះ​សូម​បង្ហាញ​រូបមន្ត​មូលដ្ឋាន​ដែល​នឹង​ត្រូវ​ការ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ដោយ​ប្រើ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា a n សមាជិកទី n នៃលំដាប់ដែល n គឺជាចំនួនគត់។ យើងសម្គាល់ភាពខុសគ្នាដោយអក្សរឡាតាំង ឃ។ បន្ទាប់មកកន្សោមខាងក្រោមមានសុពលភាព៖

1. ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យទី n រូបមន្តខាងក្រោមគឺសមរម្យ៖ a n = (n-1)*d+a 1 ។
2. ដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ៖ S n = (a n +a 1) * n/2 ។

ដើម្បីយល់ពីឧទាហរណ៍ណាមួយនៃការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៅថ្នាក់ទី 9 វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំរូបមន្តទាំងពីរនេះ ចាប់តាំងពីបញ្ហាណាមួយនៃប្រភេទដែលកំពុងពិចារណាគឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់របស់វា។ អ្នកគួរចងចាំផងដែរថាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត: d = a n - a n-1 ។

ឧទាហរណ៍ទី 1៖ ការស្វែងរកសមាជិកដែលមិនស្គាល់

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ និងរូបមន្តដែលត្រូវប្រើដើម្បីដោះស្រាយវា។

សូមឱ្យលំដាប់លេខ 10, 8, 6, 4, ... ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវស្វែងរកពាក្យប្រាំនៅក្នុងវា។

តាម​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​បញ្ហា វា​បាន​ធ្វើ​តាម​រួច​ហើយ​ដែល​ពាក្យ​ទាំង ៤ ដំបូង​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង។ ទីប្រាំអាចត្រូវបានកំណត់តាមពីរវិធី:

1. ដំបូងយើងគណនាភាពខុសគ្នា។ យើងមានៈ d = 8 − 10 = −2 ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចយកសមាជិកពីរនាក់ផ្សេងទៀតឈរក្បែរគ្នា។ ឧទាហរណ៍ d = 4 − 6 = −2 ។ ដោយសារគេដឹងថា d = a n - a n-1 បន្ទាប់មក d = a 5 - a 4 ដែលយើងទទួលបាន៖ a 5 = a 4 + d ។ យើងជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់៖ a 5 = 4 + (-2) = 2 ។
2. វិធីសាស្រ្តទីពីរក៏តម្រូវឱ្យមានចំនេះដឹងនៃភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តនៅក្នុងសំណួរដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់វាដូចដែលបានបង្ហាញខាងលើ (d = -2) ។ ដោយដឹងថាពាក្យទីមួយ a 1 = 10 យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់លេខ n នៃលំដាប់។ យើងមានៈ a n = (n − 1) * d + a 1 = (n − 1) * (−2) + 10 = 12 − 2 * n ។ ការជំនួស n = 5 ចូលទៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយយើងទទួលបាន: a 5 = 12-2 * 5 = 2 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដំណោះស្រាយទាំងពីរបាននាំឱ្យមានលទ្ធផលដូចគ្នា។ ចំណាំថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ d គឺជាតម្លៃអវិជ្ជមាន។ លំដាប់​បែប​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ការ​ថយ​ចុះ ព្រោះ​ពាក្យ​បន្ទាប់​នីមួយៗ​គឺ​តិច​ជាង​ពាក្យ​មុន។

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច​ សូម​ផ្តល់​ឧទាហរណ៍​មួយ​អំពី​របៀប

វាត្រូវបានគេដឹងថានៅក្នុងពាក្យទី 1 មួយចំនួនស្មើនឹង 6 ហើយពាក្យទី 7 ស្មើនឹង 18 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានិងស្ដារលំដាប់នេះទៅជាពាក្យទី 7 ។

ចូរប្រើរូបមន្តដើម្បីកំណត់ពាក្យដែលមិនស្គាល់៖ a n = (n − 1) * d + a 1 ។ ចូរជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌទៅក្នុងវា នោះគឺលេខ a 1 និង a 7 យើងមាន: 18 = 6 + 6 * ឃ។ ពីកន្សោមនេះអ្នកអាចគណនាភាពខុសគ្នាយ៉ាងងាយស្រួល: d = (18 - 6) /6 = 2. ដូច្នេះយើងបានឆ្លើយផ្នែកដំបូងនៃបញ្ហា។

ដើម្បីស្តារលំដាប់ទៅពាក្យទី 7 អ្នកគួរតែប្រើនិយមន័យនៃដំណើរការពិជគណិត ពោលគឺ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ជាដើម។ ជាលទ្ធផលយើងស្តារលំដាប់ទាំងមូលឡើងវិញ៖ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18 ។

ឧទាហរណ៍ទី 3៖ បង្កើតការវិវត្ត

សូមឱ្យបញ្ហាកាន់តែស្មុគស្មាញ។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ។ ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ លេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យឧទាហរណ៍ - 4 និង 5 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតការវិវត្តនៃពិជគណិត ដូច្នេះពាក្យបីទៀតត្រូវបានដាក់នៅចន្លោះទាំងនេះ។

មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហានេះ អ្នកត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងកាន់កាប់នៅក្នុងការវិវត្តនាពេលអនាគត។ ដោយសារវានឹងមានពាក្យបីបន្ថែមទៀតរវាងពួកវា បន្ទាប់មក 1 = -4 និង 5 = 5។ ដោយបានបង្កើតវាហើយ យើងបន្តទៅបញ្ហាដែលស្រដៀងនឹងពាក្យមុន។ ម្តងទៀតសម្រាប់ពាក្យទី 9 យើងប្រើរូបមន្តយើងទទួលបាន: a 5 = a 1 + 4 * d ។ ពីៈ d = (a 5 − a 1)/4 = (5 − (−4)) / 4 = 2.25 ។ អ្វី​ដែល​យើង​បាន​ទទួល​នៅ​ទី​នេះ​មិន​មែន​ជា​តម្លៃ​ចំនួន​គត់​នៃ​ភាព​ខុស​គ្នា​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​វា​ជា​លេខ​សនិទាន ដូច្នេះ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ដំណើរ​ការ​ពិជគណិត​នៅ​តែ​ដដែល។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្ថែមភាពខុសគ្នាដែលបានរកឃើញទៅ 1 និងស្ដារលក្ខខណ្ឌដែលបាត់នៃដំណើរការ។ យើងទទួលបាន៖ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5 ដែលស្របគ្នា។ ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ទី 4: ដំណាក់កាលដំបូងនៃការវិវត្ត

ចូរបន្តផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ។ នៅក្នុងបញ្ហាមុនទាំងអស់ លេខដំបូងនៃដំណើរការពិជគណិតត្រូវបានគេដឹង។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាបញ្ហានៃប្រភេទផ្សេងគ្នា៖ អនុញ្ញាតឱ្យលេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែល 15 = 50 និង 43 = 37 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកលេខមួយណាដែលលំដាប់នេះចាប់ផ្តើម។

រូបមន្តដែលបានប្រើរហូតមកដល់ពេលនេះសន្មតថាចំណេះដឹងនៃ 1 និង d ។ នៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា គ្មានអ្វីត្រូវបានគេដឹងអំពីលេខទាំងនេះទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ពាក្យនីមួយៗអំពីព័ត៌មានដែលអាចរកបាន៖ a 15 = a 1 + 14 * d និង a 43 = a 1 + 42 * d ។ យើងបានទទួលសមីការពីរដែលក្នុងនោះមាន 2 មិនស្គាល់បរិមាណ (a 1 និង d) ។ នេះមានន័យថាបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះគឺបង្ហាញ 1 ក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកប្រៀបធៀបកន្សោមលទ្ធផល។ សមីការទីមួយ៖ a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; សមីការទីពីរ៖ a 1 = a 43 – 42 * d = 37 – 42 * d ។ សមីការកន្សោមទាំងនេះយើងទទួលបាន: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, ភាពខុសគ្នា d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (មានតែ 3 ខ្ទង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ។

ដោយដឹងថា d អ្នកអាចប្រើកន្សោមណាមួយនៃ 2 ខាងលើសម្រាប់ 1 ។ ឧទាហរណ៍ដំបូង: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496 ។

ប្រសិនបើអ្នកមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន អ្នកអាចពិនិត្យមើលវា ឧទាហរណ៍ កំណត់ពាក្យទី 43 នៃការវិវត្តន៍ ដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ យើងទទួលបាន: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008 ។ កំហុសតូចមួយគឺដោយសារតែការពិតដែលថាការបង្គត់ទៅខ្ទង់ពាន់ត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា។

ឧទាហរណ៍លេខ ៥៖ ចំនួន

ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ជាច្រើនជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

សូម​ឱ្យ​ការ​វិវត្ត​ជា​លេខ​នៃ​ទម្រង់​ខាង​ក្រោម​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ៖ 1, 2, 3, 4, ... , ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាផលបូកនៃ 100 នៃលេខទាំងនេះ?

សូមអរគុណដល់ការអភិវឌ្ឍន៍នៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ វាអាចដោះស្រាយបញ្ហានេះបាន ពោលគឺបន្ថែមលេខទាំងអស់តាមលំដាប់លំដោយ ដែលកុំព្យូទ័រនឹងធ្វើភ្លាមៗនៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់ចុចគ្រាប់ចុចបញ្ចូល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយស្មារតី ប្រសិនបើអ្នកយកចិត្តទុកដាក់ថាលេខដែលបានបង្ហាញគឺជាការវិវត្តនៃពិជគណិត ហើយភាពខុសគ្នារបស់វាគឺស្មើនឹង 1។ ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក យើងទទួលបាន៖ S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050 ។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាបញ្ហានេះត្រូវបានគេហៅថា "Gaussian" ពីព្រោះនៅដើមសតវត្សទី 18 ជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីល្បាញដែលមានអាយុត្រឹមតែ 10 ឆ្នាំអាចដោះស្រាយវានៅក្នុងក្បាលរបស់គាត់ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទី។ ក្មេងប្រុសមិនបានដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែគាត់បានកត់សម្គាល់ឃើញថា ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមលេខនៅខាងចុងនៃលំដាប់ជាគូ អ្នកតែងតែទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា នោះគឺ 1+100 = 2+99 = 3 + 98 = ... ហើយចាប់តាំងពីផលបូកទាំងនេះនឹងពិតជា 50 (100 / 2) ដូច្នេះដើម្បីទទួលបានចម្លើយត្រឹមត្រូវ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណ 50 ដោយ 101 ។

ឧទាហរណ៍ទី ៦៖ ផលបូកនៃពាក្យពី n ដល់ m

ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយទៀតនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺដូចខាងក្រោម៖ ដែលបានផ្ដល់ជាស៊េរីលេខ៖ ៣, ៧, ១១, ១៥, ... អ្នកត្រូវស្វែងរកអ្វីដែលផលបូកនៃពាក្យរបស់វាពី ៨ ដល់ ១៤ នឹងស្មើនឹង។ .

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ ទីមួយនៃពួកគេពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកពាក្យដែលមិនស្គាល់ពី 8 ទៅ 14 ហើយបន្ទាប់មកបូកសរុបវាតាមលំដាប់លំដោយ។ ដោយសារមានលក្ខខណ្ឌតិចតួច វិធីសាស្ត្រនេះមិនពឹងផ្អែកលើកម្លាំងពលកម្មទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាត្រូវបានស្នើឱ្យដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រទីពីរដែលជាសកលជាង។

គំនិតនេះគឺដើម្បីទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតរវាងពាក្យ m និង n ដែល n > m ជាចំនួនគត់។ សម្រាប់ករណីទាំងពីរ យើងសរសេរកន្សោមពីរសម្រាប់ផលបូក៖

1. S m = m * (a m + a 1) / 2 ។
2. S n = n * (a n + a 1) / 2 ។

ចាប់តាំងពី n > m វាច្បាស់ណាស់ថាផលបូកទី 2 រួមបញ្ចូលទីមួយ។ ការសន្និដ្ឋានចុងក្រោយមានន័យថាប្រសិនបើយើងយកភាពខុសគ្នារវាងផលបូកទាំងនេះហើយបន្ថែមពាក្យ a m ទៅវា (ក្នុងករណីយកភាពខុសគ្នាវាត្រូវបានដកចេញពីផលបូក S n) យើងនឹងទទួលបានចម្លើយចាំបាច់ចំពោះបញ្ហា។ យើងមាន៖ S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ n និង m ទៅក្នុងកន្សោមនេះ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ S mn = a 1 * (n − m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n − m + 1) + d * n * (n − 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2 ។

រូបមន្តលទ្ធផលគឺពិបាកបន្តិច ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផលបូក S mn អាស្រ័យតែលើ n, m, a 1 និង d ប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ការជំនួសលេខទាំងនេះយើងទទួលបាន: S mn = 301 ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីដំណោះស្រាយខាងលើ បញ្ហាទាំងអស់គឺផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃការបញ្ចេញមតិសម្រាប់ពាក្យទី 1 និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសំណុំនៃពាក្យទីមួយ។ មុនពេលចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យអ្នកអានលក្ខខណ្ឌដោយប្រុងប្រយ័ត្ន យល់យ៉ាងច្បាស់អំពីអ្វីដែលអ្នកត្រូវស្វែងរក ហើយមានតែបន្ទាប់មកបន្តដំណោះស្រាយ។

គន្លឹះមួយទៀតគឺត្រូវខិតខំឱ្យមានភាពសាមញ្ញ ពោលគឺប្រសិនបើអ្នកអាចឆ្លើយសំណួរដោយមិនប្រើការគណនាគណិតវិទ្យាស្មុគ្រស្មាញ នោះអ្នកត្រូវធ្វើដូចនោះ ព្រោះក្នុងករណីនេះលទ្ធភាពនៃការធ្វើខុសគឺតិចជាង។ ឧទាហរណ៍ក្នុងឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលេខ 6 មួយអាចឈប់នៅរូបមន្ត S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m និង បែងចែកបញ្ហាទាំងមូលទៅជាកិច្ចការរងដាច់ដោយឡែក (ក្នុងករណីនេះដំបូងរកពាក្យ a n និង a m) ។

ប្រសិនបើអ្នកមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន វាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលវា ដូចដែលបានធ្វើរួចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងបានរកឃើញពីរបៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ។ បើ​អ្នក​យល់​វា​មិន​ពិបាក​នោះ​ទេ។

I.V. Yakovlev | សមា្ភារៈគណិតវិទ្យា | MathUs.ru

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាប្រភេទពិសេសនៃលំដាប់។ ដូច្នេះ មុននឹងកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ (ហើយបន្ទាប់មកធរណីមាត្រ) យើងត្រូវពិភាក្សាដោយសង្ខេបអំពីគោលគំនិតសំខាន់ៗនៃលំដាប់លេខ។

បន្តបន្ទាប់

ស្រមៃមើលឧបករណ៍នៅលើអេក្រង់ដែលលេខជាក់លាក់ត្រូវបានបង្ហាញមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀត។ ចូរនិយាយថា 2; ៧; ១៣; 1; ៦; 0; ៣; : : : សំណុំនៃលេខនេះគឺច្បាស់ណាស់ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់មួយ។

និយមន័យ។ លំដាប់លេខគឺជាសំណុំនៃលេខដែលលេខនីមួយៗអាចត្រូវបានកំណត់លេខតែមួយគត់ (ដែលភ្ជាប់ជាមួយលេខធម្មជាតិតែមួយ)1. លេខ n ត្រូវបានគេហៅថាពាក្យ n នៃលំដាប់។

ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ លេខទីមួយគឺ 2 នេះគឺជាសមាជិកដំបូងនៃលំដាប់ដែលអាចត្រូវបានតំណាងដោយ a1; លេខប្រាំមានលេខ 6 គឺជាឃ្លាទី 5 នៃលំដាប់ដែលអាចត្រូវបានតំណាងដោយ a5 ។ ជាទូទៅពាក្យទី 9 នៃលំដាប់ត្រូវបានតំណាងដោយ (ឬ bn, cn, ល។ ) ។

ស្ថានភាពងាយស្រួលបំផុតគឺនៅពេលដែលពាក្យទី n នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត an = 2n 3 បញ្ជាក់លំដាប់៖ 1; 1; ៣; ៥; ៧; : : : រូបមន្ត a = (1)n បញ្ជាក់លំដាប់: 1; 1; 1; 1; : ::

មិនមែនគ្រប់លេខទាំងអស់សុទ្ធតែជាលំដាប់ទេ។ ដូច្នេះផ្នែកមួយមិនមែនជាលំដាប់ទេ។ វាមានលេខ "ច្រើនពេក" ដែលត្រូវប្តូរលេខ។ សំណុំ R នៃចំនួនពិតទាំងអស់ក៏មិនមែនជាលំដាប់ដែរ។ ការពិតទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ៖ និយមន័យមូលដ្ឋាន

ឥឡូវ​នេះ យើង​ត្រៀម​ខ្លួន​ជា​ស្រេច​ក្នុង​ការ​កំណត់​វឌ្ឍនភាព​នព្វន្ធ។

និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ដែលពាក្យនីមួយៗ (ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យមុន និងចំនួនថេរមួយចំនួន (ហៅថាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ)។

ឧទាហរណ៍ លំដាប់ទី 2; ៥; ៨; ដប់មួយ; : : : គឺ​ជា​ការ​វិវឌ្ឍន៍​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ពាក្យ​ទី​មួយ​ 2 និង​ភាព​ខុស​គ្នា 3. លំដាប់​ទី 7; ២; ៣; ៨; : : : គឺ​ជា​ការ​វិវឌ្ឍន៍​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ពាក្យ​ទី​មួយ 7 និង​ភាព​ខុស​គ្នា 5. លំដាប់​ទី 3; ៣; ៣; : : : គឺជាដំណើរការនព្វន្ធដែលមានភាពខុសគ្នាស្មើនឹងសូន្យ។

និយមន័យសមមូល៖ លំដាប់ a ត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា +1 an ជាតម្លៃថេរ (ឯករាជ្យនៃ n) ។

ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើង ប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺវិជ្ជមាន ហើយការថយចុះប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។

1 ប៉ុន្តែនេះគឺជានិយមន័យដ៏ខ្លីជាងនេះ៖ លំដាប់គឺជាមុខងារដែលកំណត់លើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់នៃចំនួនពិតគឺជាអនុគមន៍ f: N ! រ.

តាមលំនាំដើម លំដាប់ត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្មានកំណត់ ពោលគឺមានលេខចំនួនគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់រំខានយើងដើម្បីពិចារណាលំដាប់កំណត់; តាមពិត លេខកំណត់ណាមួយអាចត្រូវបានគេហៅថាជាលំដាប់កំណត់។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់បញ្ចប់គឺ 1; ២; ៣; ៤; 5 មានប្រាំលេខ។

រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ

វាងាយស្រួលយល់ថាការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយលេខពីរ៖ ពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។ ដូច្នេះ សំណួរកើតឡើង៖ តើការដឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា ស្វែងរកពាក្យតាមអំពើចិត្តនៃដំណើរការនព្វន្ធដោយរបៀបណា?

វាមិនពិបាកក្នុងការទទួលបានរូបមន្តដែលត្រូវការសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យមួយ។

ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា ឃ. យើង​មាន:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
ជាពិសេសយើងសរសេរ៖
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ហើយឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថារូបមន្តសម្រាប់មួយគឺ:
an = a1 + (n 1)d:

បញ្ហា 1. នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ 2; ៥; ៨; ដប់មួយ; : : : រករូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 ហើយគណនាលេខមួយរយ។

ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមរូបមន្ត (១) យើងមាន៖

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299៖

ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ និងសម្រាប់ណាមួយ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ (ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ) គឺជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាងរបស់វា។

	ភស្តុតាង។ យើង​មាន:
	a n 1 + a n + 1		(មួយ ឃ) + (មួយ + ឃ)

ដែលជាអ្វីដែលត្រូវបានទាមទារ។

ជាទូទៅ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ បំពេញនូវសមភាព

a n = a n k + a n + k

សម្រាប់ n > 2 និង k ធម្មជាតិណាមួយ។< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

វាប្រែថារូបមន្ត (2) មិនត្រឹមតែបម្រើជាចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់លំដាប់ទៅជាការវិវត្តនព្វន្ធ។

សញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ប្រសិនបើសមភាព (2) រក្សាសម្រាប់ n > 2 ទាំងអស់ នោះលំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងសរសេររូបមន្ត (២) ឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

a n a n 1 = a n + 1 a n:

ពីនេះយើងអាចមើលឃើញថាភាពខុសគ្នា a +1 a មិនអាស្រ័យលើ n ហើយនេះមានន័យថាយ៉ាងជាក់លាក់ថាលំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្កើតជាទម្រង់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ។ ដើម្បីភាពងាយស្រួលយើងនឹងធ្វើវាសម្រាប់លេខបី (នេះគឺជាស្ថានភាពដែលជារឿយៗកើតឡើងនៅក្នុងបញ្ហា) ។

លក្ខណៈនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លេខបី a, b, c បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ 2b = a + c ។

បញ្ហា 2. (MSU, មហាវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ច, 2007) លេខបី 8x, 3 x2 និង 4 នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញបង្កើតជាការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ស្វែងរក x និងចង្អុលបង្ហាញភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធយើងមាន៖

2(3 x2) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

ប្រសិនបើ x = 1 នោះយើងទទួលបានការថយចុះនៃវឌ្ឍនភាពនៃ 8, 2, 4 ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 6 ។ ប្រសិនបើ x = 5 នោះយើងទទួលបានការកើនឡើងនៃ 40, 22, 4; ករណីនេះមិនសមរម្យទេ។

ចម្លើយ៖ x = 1 ភាពខុសគ្នាគឺ 6 ។

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ

មានរឿងព្រេងនិទានថា ថ្ងៃមួយ គ្រូប្រាប់ក្មេងៗឱ្យរកលេខបូកពីលេខ 1 ដល់លេខ 100 ហើយអង្គុយស្ងៀមអានកាសែត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មាននាទី ក្មេងប្រុសម្នាក់បាននិយាយថា គាត់បានដោះស្រាយបញ្ហានេះហើយ។ នេះគឺជា Carl Friedrich Gauss អាយុ 9 ឆ្នាំដែលក្រោយមកជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

គំនិតរបស់ Little Gauss មានដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យ

S = 1 + 2 + 3 + : : : : + 98 + 99 + 100៖

ចូរសរសេរចំនួននេះតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖

S = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

ហើយបន្ថែមរូបមន្តទាំងពីរនេះ៖

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ពាក្យនីមួយៗនៅក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹង 101 ហើយវាមាន 100 ពាក្យសរុប។

2S = 101 100 = 10100;

យើងប្រើគំនិតនេះដើម្បីទាញយករូបមន្តផលបូក

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

ការកែប្រែដ៏មានប្រយោជន៍នៃរូបមន្ត (3) ត្រូវបានទទួល ប្រសិនបើយើងជំនួសរូបមន្តនៃពាក្យ n = a1 + (n 1)d ទៅក្នុងវា៖

		2a1 + (n 1) ឃ

បញ្ហាទី 3. រកផលបូកនៃលេខបីខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលបែងចែកដោយ 13 ។

ដំណោះស្រាយ។ លេខបីខ្ទង់ដែលគុណនឹង 13 បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធដោយពាក្យទីមួយគឺ 104 ហើយភាពខុសគ្នាគឺ 13; វចនានុក្រមទី ៩ នៃវឌ្ឍនភាពនេះមានទម្រង់៖

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n៖

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើការវិវត្តរបស់យើងមានលក្ខខណ្ឌប៉ុន្មាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាព៖

មួយ 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; ន ៦ ៦៩៖

ដូច្នេះ មានសមាជិកចំនួន 69 នាក់នៅក្នុងដំណើរការរបស់យើង។ ដោយប្រើរូបមន្ត (4) យើងរកឃើញចំនួនដែលត្រូវការ៖

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2