ទ្រឹស្តីបទ និងឧទាហរណ៍ចំនួនបី។ ទ្រឹស្តីបទកំណត់

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រសិនបើ f(x) = ខ, នោះ។ f(x) = b+a(x) កន្លែងណា ក(x) - ព្រឹក នៅ x® ក.

ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) = ខ. ពិចារណាមុខងារ ក(x) = f(x) – ខហើយបង្ហាញវា។ ក(x) - ព្រឹក នៅ x® +¥ .

ពីនិយមន័យ f(x) = ខយើងមានវា " អ៊ី > 0 $x 0 "x > x 0 |f(x) – ខ| < អ៊ីប៉ុន្តែចាប់តាំងពី ក(x) = f(x) – ខ, ថា " អ៊ី > 0 $x 0 "x > x 0 |ក (x)| < អ៊ីដែលមានន័យថា ក(x) - ព្រឹក នៅ
x® +¥.

ដូច្នេះពីសមភាព ក(x) = f(x) – ខយើង​មាន f(x) = ខ+ ក(x) កន្លែងណា ក(x) - ព្រឹក នៅ x® +¥.

ទ្រឹស្តីបទ ២.ប្រសិនបើមុខងារ f(x) អាចត្រូវបានតំណាងដូចជា៖ f(x) = ខ+ ក(x) កន្លែងណា
ខ- ចំនួន, ក(x) - ព្រឹក មុខងារនៅ x® ក, នោះ។ f(x) = ខ.

ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) = ខ+ ក(x) កន្លែងណា ក(x) - ព្រឹក នៅ x® +¥, ឧ.

"អ៊ី > 0 $x 0 "x > x 0 |ក(x)| < អ៊ី. (*)

ប៉ុន្តែ ក(x) = f(x) – ខដូច្នេះ (*) អាចសរសេរដូចនេះ៖ " អ៊ី > 0 $x 0 "x > x 0 |f(x) – ខ| < អ៊ីដែលមានន័យថា៖ f(x) = ខ.

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមធ្វើឱ្យការស្វែងរកដែនកំណត់កាន់តែងាយស្រួល។

ទ្រឹស្តីបទ ៣. កំណត់លើផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃមុខងារពីរ ស្មើនឹងផលបូក(ភាពខុសគ្នា) រវាងដែនកំណត់របស់ពួកគេ i.e. ប្រសិនបើ

f 1 (x) = ខ 1 , f 2 (x) = ខ 2 បន្ទាប់មក ( f 1 (x) + f 2 (x)) = ខ 1 +ខ 2 , (f 1 (x) – f 2 (x)) = ខ 1 – ខ 2 .

ភស្តុតាង។ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ ១៖ f 1 (x) = ខ 1 + ក 1 (x), f 2 (x) = ខ 2 + ក 2 (x) កន្លែងណា ក 1 (x), ក 2 (x) - ព្រឹក នៅ x® ក, បន្ទាប់មក

f 1 (x) + f 2 (x) = (ខ 1 + ក 1 (x)) + (ខ 2 + ក 2 (x)) = (ខ 1 + ខ 2) + (ក 1 (x) + ក 2 (x)).

ប៉ុន្តែ ក 1 (x) + ក 2 (x) - ព្រឹក មុខងារនៅ x® ក(ជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ b.m.) ដូច្នេះពីសមភាព f 1 (x) + f 2 (x) = (ខ 1 + ខ 2) + (ក 1 (x) + ក 2 (x)) ដោយទ្រឹស្តីបទ 2 វាធ្វើតាមនោះ។

(f 1 (x) + f 2 (x)) = ខ 1 + ខ 2.

ភស្តុតាងសម្រាប់ភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ៤. ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់របស់ពួកគេ i.e. ប្រសិនបើ f 1 (x) = ខ 1 , f 2 (x) = ខ 2 បន្ទាប់មក ( f 1 (x) f 2 (x)) = ខ 1 × ខ 2 .

ភស្តុតាង។យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ១៖ f 1 (x) = ខ 1 + ក 1 (x), f 2 (x) = ខ 2 + ក 2 (x) កន្លែងណា ក 1 (x), ក 2 (x) - ព្រឹក នៅ x® ក, បន្ទាប់មក f 1 (x)× f 2 (x) = ខ 1 × ខ 2 + ខ 1 × ក 2 (x) + ខ 2 × ក 1 (x) + ក 1 (x)× ក 2 (x).

ផ្អែកលើ កូរ៉ូឡារី ២, ៣, ទ្រឹស្តីបទ ១ (វគ្គ ១.៦) មុខងារ ខ 1 × ក 2 (x), ខ 2 × ក 1 (x), ក 1 (x)× ក 2 (x) - ព្រឹក នៅ x® កនិង ក(x) = ខ 1 × ក 2 (x) + ខ 2 × ក 1 (x) + ក 1 (x)× ក 2 (x) - មិនចេះចប់ មុខងារតូចនៅ x® ក. ពីសមភាព f 1 (x) f 2 (x) = ខ 1 ខ 2 + ក(x) ដោយទ្រឹស្តីបទ 2 វាធ្វើតាមនោះ។
(f 1 (x)f 2 (x)) = ខ 1 ខ 2 .

កូរ៉ូឡារី ១. កត្តាថេរអាចត្រូវបានគេយកលើសពីសញ្ញាកំណត់, i.e.
(ជាមួយ× f(x)) = ជាមួយf(x) កន្លែងណា ជាមួយ- ចំនួនថេរ។

ភស្តុតាង។ គ f(x) = ជាមួយ f(x) = ជាមួយ f(x), ដោយសារតែ ជាមួយ= ជាមួយ។

កូរ៉ូឡារី ២. ប្រសិនបើ ន – លេខធម្មជាតិ, នោះ [( f(x))ន] = (f(x))ន.

ទ្រឹស្តីបទ ៥. ដែនកំណត់នៃប្រភាគគឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃភាគបែងដែលបែងចែកដោយដែនកំណត់នៃភាគបែង ផ្តល់ថាដែនកំណត់នៃភាគបែងមិនមែនជាសូន្យទេ។ បើមិនដូច្នោះទេប្រសិនបើ f 1 (x) = ខ 1 ,
f 2 (x) = ខ 2 និង ខ 2 ¹ 0 បន្ទាប់មក .

ភស្តុតាង។យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ១៖ f 1 (x) = ខ 1 + ក 1 (x), f 2 (x) = ខ 2 + ក 2 (x) កន្លែងណា ក 1 (x), ក 2 (x) - ព្រឹក នៅ x® ក, បន្ទាប់មក

ចូរយើងសម្គាល់ប្រភាគចុងក្រោយ ក(x) = បន្ទាប់មក + ក(x) វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញថា ក(x) - ព្រឹក នៅ x® ក. ជាការពិត ភាគយកនៃប្រភាគ
ខ 2 ក 1 (x) –ខ 1 ក 2 (x) - ព្រឹក នៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារគ្មានកំណត់ដែនកំណត់
(ខ 2 2 + ខ 2 ក 2 (x)) = ខ 2 2 ¹ 0 ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ 3, 4 ។ ដូច្នេះហើយគឺជាអនុគមន៍ដែលកំណត់នៅ x® ក(យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទទី 3 ផ្នែកទី 1.6) ។ មានន័យថា ក(x) - ព្រឹក នៅ x® ក(យោងតាមទ្រឹស្តីបទទី 4 ផ្នែកទី 1.6) ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចូរយើងពិចារណាអំពីការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទបង្ហាញឱ្យឃើញនៅពេលស្វែងរកដែនកំណត់។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃភាគយក និងភាគបែងជាមុនសិន។ យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់ 3 x= 3x= 3(–2) = –6, 1 = 1, ដូច្នេះ (3 x– 1) = –6 – 1 = –7 ។ ដូចគ្នាដែរ (៥–៤ x) = 5 – 4(–2) = 13. ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ ៥ យើងទទួលបាន៖

.

ទ្រឹស្តីបទ ៦. ប្រសិនបើ f(xមាន) និង f(x) ³ 0 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា xពីដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ បន្ទាប់មក f(x) ³ 0.

ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យ។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ដោយ​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​សន្មត​ថា​ f(x) = ខ< 0. Зафиксируем អ៊ី = –, អ៊ី> 0. តាមនិយមន័យនៃដែនកំណត់ដោយ អ៊ីវានឹងមាន x 0 ដូចនេះ " x > x 0 |f(x) – ខ| < អ៊ី, ពី​ទីនេះ b-e < f(x) < b+e. ប៉ុន្តែ អ៊ី= – ដូច្នេះ " x > x 0 f(x) < ខ -, f(x) < , т.е. f(x) < 0, что противоречит условию. ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់.

ទ្រឹស្តីបទ ៧. ប្រសិនបើ " x(f 1 (x) ³ f 2 (x)) និង f 1 (x), f 2 (x) មាន, បន្ទាប់មក
f 1 (x) ³ f 2 (x).

ភស្តុតាង។ពិចារណាមុខងារ ច(x) = f 1 (x) – f 2 (x) បន្ទាប់មក " x (ច(x) ³ 0) និង ច(x) មាន។ តាមទ្រឹស្តីបទ ៦៖ ច(x) ³ 0, ( f 1 (x) – f 2 (x)) ³ 0 ដូច្នេះ
f 1 (x) ³ f 2 (x). ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់.

ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់នៅចំណុចកំណត់ និងនៅគ្មានកំណត់ (ពីរចំហៀង និងម្ខាង) យោងតាម ​​Cauchy និង Heine ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនព្វន្ធត្រូវបានពិចារណា; ទ្រឹស្តីបទទាក់ទងនឹងវិសមភាព; លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបង្រួបបង្រួម Cauchy; ដែនកំណត់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ; លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារគ្មានកំណត់, ធំគ្មានកំណត់ និងមុខងារ monotonic ។ និយមន័យនៃមុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យមុខងារ

មុខងារ y = f (x)គឺជាច្បាប់ (ច្បាប់) ដែលយោងទៅតាមធាតុនីមួយៗ x នៃសំណុំ X ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយធាតុមួយ និងតែមួយ y នៃសំណុំ Y ។

ធាតុ x ∈ Xហៅ អាគុយម៉ង់មុខងារឬ អថេរឯករាជ្យ.
ធាតុ y ∈ យហៅ តម្លៃមុខងារឬ អថេរ​ពឹងផ្អែក.

សំណុំ X ត្រូវបានគេហៅថា ដែននៃមុខងារ.
សំណុំនៃធាតុ y ∈ យដែល​មាន​មុន​ក្នុង​សំណុំ X ត្រូវ​បាន​ហៅ តំបន់ឬសំណុំនៃតម្លៃមុខងារ.

មុខងារជាក់ស្តែងត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម)ប្រសិនបើមានលេខ M ដែលវិសមភាពមានសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា៖
.
មុខងារលេខត្រូវបានគេហៅថា មានកំណត់ប្រសិនបើមានលេខ M នោះសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា៖
.

គែមខាងលើឬ ត្រឹមត្រូវ។ ដែនកំណត់ខាងលើ មុខងារពិតត្រូវបានគេហៅថាលេខតូចបំផុតដែលកំណត់ជួរតម្លៃរបស់វាពីខាងលើ។ នោះ​គឺ​ជា​ចំនួន s ដែល​សម្រាប់​អ្នក​រាល់​គ្នា និង​សម្រាប់​ណា​មួយ មាន​អាគុយម៉ង់​ដែល​តម្លៃ​មុខងារ​លើស​ពី s′: ។
ព្រំដែនខាងលើនៃអនុគមន៍អាចត្រូវបានសម្គាល់ដូចខាងក្រោមៈ
.

រៀងៗខ្លួន គែមខាងក្រោមឬ ដែនកំណត់ទាបពិតប្រាកដមុខងារពិតត្រូវបានគេហៅថាចំនួនធំបំផុតដែលកំណត់ជួរតម្លៃរបស់វាពីខាងក្រោម។ នោះ​គឺ​ជា​លេខ i ដែល​សម្រាប់​អ្នក​រាល់​គ្នា និង​សម្រាប់​ណា​មួយ មាន​អាគុយម៉ង់​ដែល​តម្លៃ​មុខងារ​គឺ​តិច​ជាង i′: ។
អតិបរិមានៃអនុគមន៍មួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោមៈ
.

កំណត់ដែនកំណត់នៃមុខងារ

ការកំណត់ដែនកំណត់នៃមុខងារមួយយោងទៅតាម Cauchy

កម្រិតកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចបញ្ចប់

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចបញ្ចប់ ដោយមានករណីលើកលែងដែលអាចកើតមាននៃចំណុចខ្លួនឯង។ នៅចំណុចមួយប្រសិនបើមានរឿងបែបនេះ អាស្រ័យលើ ថាសម្រាប់ x ទាំងអស់ដែលវិសមភាពមាន
.
ដែនកំណត់នៃមុខងារមួយត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
.
ឬនៅ។

ដោយប្រើ និមិត្តសញ្ញាឡូជីខលអត្ថិភាព និងសកល និយមន័យនៃដែនកំណត់នៃមុខងារអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
.

ដែនកំណត់ម្ខាង។
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនៅចំណុចមួយ (ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង):
.
ដែនកំណត់ខាងស្តាំនៅចំណុចមួយ (ដែនកំណត់ខាងស្តាំ)៖
.
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនិងស្តាំត្រូវបានបញ្ជាក់ជាញឹកញាប់ដូចខាងក្រោម:
; .

ដែនកំណត់កំណត់នៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុចនៅភាពគ្មានកំណត់

ដែនកំណត់នៅចំនុចគ្មានកំណត់ត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។
.
.
.
ពួកគេត្រូវបានសំដៅជាញឹកញាប់ថាជា:
; ; .

ការប្រើប្រាស់គំនិតនៃសង្កាត់នៃចំណុចមួយ។

ប្រសិនបើយើងណែនាំពីគោលគំនិតនៃសង្កាត់ដែលបែកខ្ញែកនៃចំណុចមួយ នោះយើងអាចផ្តល់និយមន័យរួមនៃដែនកំណត់កំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំនុចកំណត់ និងឆ្ងាយគ្មានកំណត់៖
.
នៅទីនេះសម្រាប់ចំណុចបញ្ចប់
; ;
.
សង្កាត់ណាមួយនៅ Infinity ត្រូវបានវាយលុក៖
; ; .

ដែនកំណត់មុខងារគ្មានកំណត់

និយមន័យ
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ដែលមានការវាយដំមួយចំនួននៃចំណុចមួយ (កម្រិតកំណត់ ឬនៅកម្រិតគ្មានកំណត់)។ f (x)ជា x → x 0 ស្មើភាពគ្មានទីបញ្ចប់ប្រសិនបើសម្រាប់នរណាម្នាក់ តាមអំពើចិត្ត ចំនួន​ច្រើនម > 0 មានលេខ δ M > 0 អាស្រ័យលើ M ដែលសម្រាប់ x ទាំងអស់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ δ M - សង្កាត់នៃចំណុច៖ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
.
ដែនកំណត់គ្មានកំណត់ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
.
ឬនៅ។

ដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃមុខងារអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
.

អ្នកក៏អាចណែនាំនិយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃសញ្ញាជាក់លាក់ដែលស្មើនឹង និង៖
.
.

និយមន័យជាសកលនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ។

ដោយប្រើគោលគំនិតនៃសង្កាត់នៃចំណុចមួយ យើងអាចផ្តល់និយមន័យជាសកលនៃដែនកំណត់ដែលកំណត់ និងគ្មានកំណត់នៃមុខងារ ដែលអាចអនុវត្តបានទាំងកម្រិតកំណត់ (ពីរចំហៀង និងម្ខាង) និងចំណុចឆ្ងាយគ្មានកំណត់៖
.

ការកំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយដោយយោងទៅតាម Heine

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំ X មួយចំនួន: ។
លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុច៖
,
ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយបំប្លែងទៅជា x 0 :
,
ធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ X: ,
.

ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនេះដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកលភាវូបនីយកម្ម៖
.

ប្រសិនបើយើងយកសង្កាត់ខាងឆ្វេងនៃចំនុច x ជាសំណុំ X 0 បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់ខាងឆ្វេង។ ប្រសិន​បើ​វា​ជា​ដៃ​ស្តាំ នោះ​យើង​ទទួល​បាន​និយមន័យ​នៃ​ការ​កំណត់​ត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើយើងយកសង្កាត់នៃចំណុចមួយនៅ infinity ជាសំណុំ X យើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅ infinity ។

ទ្រឹស្តីបទ
និយមន័យ Cauchy និង Heine នៃដែនកំណត់នៃមុខងារគឺសមមូល។
ភស្តុតាង

លក្ខណៈសម្បត្តិ និងទ្រឹស្តីបទនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ។

លើសពីនេះ យើងសន្មត់ថាមុខងារដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ដែលត្រូវគ្នានៃចំណុច ដែលជាចំនួនកំណត់ ឬនិមិត្តសញ្ញាមួយ៖ . វាក៏អាចជាចំណុចកំណត់មួយចំហៀង ពោលគឺមានទម្រង់ ឬ . សង្កាត់​មាន​ពីរ​ជ្រុង​សម្រាប់​ដែនកំណត់​ម្ខាង និង​ម្ខាង​សម្រាប់​ដែនកំណត់​ម្ខាង។

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍ f (x)ផ្លាស់ប្តូរ (ឬធ្វើឱ្យមិនបានកំណត់) ចំនួនកំណត់នៃពិន្ទុ x 1, x 2, x 3, ... x nបន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរនេះនឹងមិនប៉ះពាល់ដល់អត្ថិភាព និងតម្លៃនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុច x 0 .

ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់ នោះមានសង្កាត់ដែលដាច់នៃចំនុច x 0 ដែលមុខងារ f (x)មានកំណត់៖
.

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមាននៅចំណុច x 0 ដែនកំណត់មិនសូន្យ៖
.
បន្ទាប់មក សម្រាប់លេខណាមួយ c ពីចន្លោះពេល វាមានសង្កាត់ដែលដាច់នៃចំនុច x 0 , ដើម្បី​អ្វី ,
, ប្រសិនបើ ;
, ប្រសិនបើ .

ប្រសិនបើ​នៅ​សង្កាត់​មួយ​ចំនួន​ដែល​ត្រូវ​បាន​វាយ​ដំ​នៃ​ចំណុច​នោះ​គឺ​ជា​ថេរ​នោះ​។

ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់ និង និងនៅលើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x 0
,
នោះ។

ប្រសិនបើ និងនៅលើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច
,
នោះ។
ជាពិសេសប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចមួយ។
,
បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និង ;
ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និង .

ប្រសិនបើ​នៅ​សង្កាត់​មួយ​ចំនួន​ដែល​ត្រូវ​បាន​វាយ​ប្រហារ​នៃ​ចំណុច x 0 :
,
ហើយមានកំណត់ (ឬគ្មានកំណត់នៃសញ្ញាជាក់លាក់) ដែនកំណត់ស្មើគ្នា៖
, នោះ។
.

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
msgstr "លក្ខណសម្បត្តិ​មូលដ្ឋាន​នៃ​កម្រិត​នៃ​អនុគមន៍ ។"

គុណលក្ខណៈនព្វន្ធនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ និងត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច។ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានដែនកំណត់ជាក់លាក់៖
និង។
ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ C ជាចំនួនថេរ នោះគឺជាលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មក
;
;
;
, ប្រសិនបើ .

បើអញ្ចឹង។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
"លក្ខណៈសម្បត្តិនព្វន្ធនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍" ។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ
ដើម្បី​ឱ្យ​អនុគមន៍​ដែល​បាន​កំណត់​នៅ​លើ​សង្កាត់​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​វាយ​ចេញ​ខ្លះ​នៃ​កម្រិត​កំណត់ ឬ​នៅ​ចំណុច infinity x 0 មានដែនកំណត់កំណត់នៅចំណុចនេះ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ ε ណាមួយ។ > 0 មាន​សង្កាត់​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​វាយ​ដំ​នៃ​ចំណុច x 0 ថាសម្រាប់ចំណុចណាមួយ និងពីសង្កាត់នេះ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
.

ដែនកំណត់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មានដែនកំណត់ និងគូសផែនទីសង្កាត់ដែលត្រូវបានវាយលុកនៃចំណុចមួយ ទៅកាន់សង្កាត់ដែលត្រូវបានដាល់នៃចំណុចមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅលើសង្កាត់នេះហើយមានដែនកំណត់លើវា។
នេះគឺជាចំណុចចុងក្រោយ ឬឆ្ងាយគ្មានកំណត់៖ អ្នកជិតខាង និងដែនកំណត់ដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេអាចមានទាំងសងខាង ឬម្ខាង។
បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយវាស្មើនឹង៖
.

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែលមុខងារមិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចមួយ ឬមានតម្លៃខុសពីដែនកំណត់។ ដើម្បីអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះ ត្រូវតែមានសង្កាត់ដែលដាច់ចេញពីចំណុច ដែលសំណុំនៃតម្លៃនៃអនុគមន៍មិនមានចំណុច៖
.

ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅចំណុច នោះសញ្ញាកំណត់អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍បន្ត៖
.
ខាងក្រោមនេះគឺជាទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នានឹងករណីនេះ។

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីដែនកំណត់នៃមុខងារបន្តនៃអនុគមន៍មួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យមានដែនកំណត់នៃមុខងារ g (ត)ជា t → t 0 ហើយវាស្មើនឹង x 0 :
.
នេះគឺជាចំណុច t 0 អាចមានកំណត់ ឬឆ្ងាយគ្មានកំណត់៖ .
ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x)គឺបន្តនៅចំណុច x 0 .
បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ f (g(t))ហើយវាស្មើនឹង f (x0):
.

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
"ដែនកំណត់និងភាពបន្តនៃមុខងារស្មុគស្មាញ" ។

មុខងារដ៏ធំគ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់

មុខងារគ្មានកំណត់

និយមន័យ
មុខងារមួយត្រូវបានគេនិយាយថាគ្មានកំណត់ប្រសិនបើ
.

ផលបូក ភាពខុសគ្នា និងផលិតផលនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍ infinitesimal at គឺជាអនុគមន៍ infinitesimal នៅ .

ផលិតផលនៃមុខងារកំណត់នៅ​សង្កាត់​មួយ​ចំនួន​ដែល​ត្រូវ​បាន​វាយ​លុក​នៃ​ចំណុច​ទៅ​ជា infinitesimal នៅ​គឺ​ជា​មុខងារ infinitesimal នៅ .

ដើម្បីឱ្យមុខងារមានកម្រិតកំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់
,
តើមុខងារគ្មានដែនកំណត់នៅឯណា។

"លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារគ្មានកំណត់" ។

មុខងារធំគ្មានកំណត់

និយមន័យ
មុខងារមួយត្រូវបានគេនិយាយថាមានទំហំធំគ្មានកំណត់ប្រសិនបើ
.

ផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ដែលមានព្រំដែន ស្ថិតនៅលើសង្កាត់ដែលដាច់មួយចំនួននៃចំណុច និងមុខងារធំគ្មានដែនកំណត់នៅ គឺជាមុខងារដ៏ធំគ្មានកំណត់នៅ .

ប្រសិនបើអនុគមន៍មានទំហំធំគ្មានកំណត់សម្រាប់ ហើយមុខងារត្រូវបានចងនៅលើសង្កាត់ដែលបាក់បែកមួយចំនួននៃចំណុចនោះ
.

ប្រសិនបើមុខងារនេះ ស្ថិតនៅលើសង្កាត់ដែលមានការវាយដំមួយចំនួន បំពេញវិសមភាព៖
,
ហើយមុខងារគឺគ្មានកំណត់នៅ៖
, និង (នៅលើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច), បន្ទាប់មក
.

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក
"លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារដ៏ធំគ្មានកំណត់" ។

ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ធំ និងគ្មានកំណត់

ពីលក្ខណសម្បត្តិពីមុនទាំងពីរ មានការភ្ជាប់គ្នារវាងមុខងារដ៏ធំ និងគ្មានកំណត់។

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយមានទំហំធំគ្មានដែនកំណត់ នោះមុខងារគឺគ្មានដែនកំណត់នៅ .

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយគឺគ្មានដែនកំណត់សម្រាប់ , ហើយ , នោះមុខងារគឺធំគ្មានដែនកំណត់សម្រាប់ .

ទំនាក់​ទំនង​រវាង​អនុគមន៍​ធំ​គ្មាន​ដែន​កំណត់​មួយ​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ជា​និមិត្ត​រូប៖
, .

ប្រសិនបើមុខងារ infinitesimal មានសញ្ញាជាក់លាក់មួយ នោះគឺវាវិជ្ជមាន (ឬអវិជ្ជមាន) លើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុចនោះ ការពិតនេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:
.
ដូចគ្នាដែរ ប្រសិនបើមុខងារដ៏ធំគ្មានកំណត់មានសញ្ញាជាក់លាក់មួយ នោះពួកគេសរសេរថា:
.

បន្ទាប់មកការតភ្ជាប់និមិត្តសញ្ញារវាង infinitesimals និង infinitely លក្ខណៈពិសេសដ៏អស្ចារ្យអាចត្រូវបានបន្ថែមដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ
, ,
, .

រូបមន្តបន្ថែមទាក់ទងនឹងនិមិត្តសញ្ញាគ្មានកំណត់អាចរកបាននៅលើទំព័រ
"ចំណុចនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ"

ដែនកំណត់នៃមុខងារ monotonic

និយមន័យ
មុខងារដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំមួយចំនួន ចំនួនពិត X ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងប្រសិនបើវិសមភាពខាងក្រោមមានដូចជា៖
.
ដូច្នោះហើយសម្រាប់ ថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹងបំពេញមុខងារនៃវិសមភាពខាងក្រោម៖
.
សម្រាប់ មិនថយចុះ:
.
សម្រាប់ មិនកើនឡើង:
.

វាធ្វើតាមថាមុខងារកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក៏មិនថយចុះដែរ។ មុខងារកាត់បន្ថយយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក៏មិនកើនឡើងដែរ។

មុខងារត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាប្រសិនបើវាមិនថយចុះ ឬមិនកើនឡើង។

ទ្រឹស្តីបទ
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមិនថយចុះនៅលើចន្លោះពេលដែល .
ប្រសិនបើវាត្រូវបានចងខាងលើដោយលេខ M: នោះមានដែនកំណត់កំណត់។ ប្រសិនបើមិនកំណត់ពីខាងលើទេនោះ .
ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់ពីខាងក្រោមដោយលេខ m: នោះមានដែនកំណត់កំណត់។ បើមិនកំណត់ពីខាងក្រោមទេ .

ប្រសិនបើចំនុច a និង b ស្ថិតក្នុងភាពគ្មានដែនកំណត់ នោះនៅក្នុងកន្សោម សញ្ញាកំណត់មានន័យថា .
ទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានបង្កើតឱ្យកាន់តែបង្រួម។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមិនថយចុះនៅលើចន្លោះពេលដែល . បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់ម្ខាងនៅចំណុច a និង b៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទស្រដៀងគ្នាសម្រាប់មុខងារមិនបង្កើន។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមិនកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលដែលជាកន្លែងដែល . បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់ម្ខាង៖
;
.

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ
"ដែនកំណត់នៃមុខងារ monotonic" ។

ឯកសារយោង៖
អិល.ឌី. Kudryavtsev ។ អញ្ចឹង ការវិភាគគណិតវិទ្យា. លេខ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 2003 ។
សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ នីកូលស្គី។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ភាគ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 1983 ។

ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានអំពីដែនកំណត់.

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់ក្នុងសមភាព) ។ប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចតម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) និង g(x) ស្របគ្នា នោះដែនកំណត់របស់វានៅចំណុចនេះគឺស្មើគ្នា៖

f(x)=g(x) => .

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីការឆ្លងដល់ដែនកំណត់ក្នុងវិសមភាព). ប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុចដែលវិសមភាព f(x)≤ g(x) មាន នោះវិសមភាពខាងក្រោមក៏ជាការពិតដែរ៖ .

ទ្រឹស្តីបទ. ដែនកំណត់នៃថេរគឺស្មើនឹងថេរខ្លួនវា: .

បណ្ឌិត វាត្រូវបានអនុវត្តនៅលើមូលដ្ឋាននៃនិយមន័យដែលជាកន្លែងដែលអ្នកអាចយកណាមួយ។ លេខវិជ្ជមាន. បន្ទាប់មកសម្រាប់.▲

ទ្រឹស្តីបទ (លើភាពប្លែកនៃដែនកំណត់) ។មុខងារមួយមិនអាចមានដែនកំណត់លើសពីមួយនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

បណ្ឌិត ចូរសន្មតថាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ និង . បន្ទាប់មកយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទអំពីការតភ្ជាប់រវាងដែនកំណត់និង BM:

- BM នៅ ,

- BM នៅ។ ដកសមភាពទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖

ដោយផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិ 1 នៃ BMF នេះគឺជា BM ។ ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ក្នុងសមភាពនេះ យើងទទួលបាន៖

,

ភាពផ្ទុយគ្នាត្រូវបានទទួល ដែលបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ។▲

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់កំណត់នៃមុខងារមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីព្រំដែនក្នុងស្រុក) ។សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់កំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ វាចាំបាច់ដែលថានៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ (លើកលែងតែចំណុចខ្លួនវា) មុខងារត្រូវបានកំណត់។

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីពាក្យដដែលៗក្នុងតំបន់ដោយមុខងារនៃលក្ខណសម្បត្តិនៃដែនកំណត់)។ដើម្បីឱ្យដែនកំណត់កំណត់មាននៅចំណុចមួយ វាចាំបាច់ដែលនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ (លើកលែងតែចំណុចនេះផ្ទាល់)។

លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់កំណត់នៃមុខងារមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីនព្វន្ធ). ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់សម្រាប់ និងបន្ទាប់មកសម្រាប់ផលបូក និងផលិតផលរបស់ពួកគេ វាក៏មានដែនកំណត់កំណត់ផងដែរ ហើយ៖

ប្រសិនបើ នោះមានដែនកំណត់កំណត់នៃកូតា៖

បណ្ឌិត ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបញ្ជាក់អំពីសមភាពទីពីរ។

សូមឱ្យមានដែនកំណត់កំណត់និង។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថាមានដែនកំណត់កំណត់ .

ដូច្នេះ​យើង​ត្រូវ​តែ​បញ្ជាក់​ថា​៖

ចូរ​យើង​យក​មួយ​តាម​អំពើ​ចិត្ត។ ចូរយើងស្វែងរកពីលក្ខខណ្ឌ i.e. សម្រាប់​ការ​នេះ : ។

ចូរយើងស្វែងរកពីលក្ខខណ្ឌ i.e. សម្រាប់​ការ​នេះ :

ដោយសារតែ សម្រាប់តាមលក្ខខណ្ឌមានដែនកំណត់កំណត់នៅក្នុង t. បន្ទាប់មកមុខងារនេះនឹងត្រូវបានចងនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃ t. (ដោយទ្រឹស្តីបទនៃព្រំដែនក្នុងតំបន់) i.e. - ថេរខ្លះ។

តោះដាក់ . សូមពិនិត្យមើលថានេះគឺជាអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក។ ពិតជា

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីមុខងារមធ្យម). អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មានដែនកំណត់កំណត់ក្នុង t. ស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃ t. លើកលែងតែចំណុចនេះ លក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត៖

. បន្ទាប់មកសម្រាប់ក៏មានដែនកំណត់កំណត់ក្នុង t ។ ស្មើនឹងតម្លៃនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ និង។

ទ្រឹស្តីបទ (អំពីដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ monotone bounded). ប្រសិនបើមុខងារ monotonically កើនឡើង (ថយចុះ) នៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់នៃ m និងត្រូវបានចងពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម) នោះវាមានដែនកំណត់ម្ខាងដែលត្រូវគ្នានៅចំណុចនេះ។

ការគណនាដែនកំណត់មុខងារ.

ទ្រឹស្តីបទនព្វន្ធអនុញ្ញាតឱ្យមិនត្រឹមតែបង្កើតការពិតនៃអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់កំណត់ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងគណនាវាផងដែរ។

ឧទាហរណ៍។ .

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីខ្លះ ទ្រឹស្តីបទនព្វន្ធមិនអាចអនុវត្តបានទេ។

, . ទ្រឹស្តីបទមិនអាចអនុវត្តបាន ទោះបី

ក្នុងករណីទាំងនេះយើងនិយាយថាមានភាពមិនច្បាស់លាស់។ ដើម្បីគណនាដែនកំណត់ វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងមុខងារដូចគ្នាបេះបិទ ដើម្បីឱ្យទ្រឹស្តីបទនព្វន្ធអាចអនុវត្តបាន (ឧ. ដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់)។

ស្ថានភាពខាងក្រោមត្រូវបានចាត់ទុកថាជាភាពមិនប្រាកដប្រជា៖

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ.

ទ្រឹស្តីបទ ១ (ទី១ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ) . ដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃស៊ីនុសនៃធ្នូគ្មានកំណត់ចំពោះធ្នូខ្លួនវា ដែលបង្ហាញជារ៉ាដ្យង់ គឺស្មើនឹងឯកភាព៖

បណ្ឌិត ពិចារណារង្វង់នៃកាំ R ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅចំនុច O. សូមជាមុនសិន។ តាមរូបភាពវាច្បាស់ណាស់។

;

;

ដូច្នេះ

បែងចែកភាគីទាំងពីរនៃការបញ្ចេញមតិនេះដោយ

> 0 យើងទទួលបាន៖

ឬ .

ការឆ្លងដល់ដែនកំណត់ក្នុងវិសមភាពនេះ យើងទទួលបាន៖ .

ដោយទ្រឹស្តីបទអនុគមន៍មធ្យម។

ការសន្និដ្ឋានដែលទទួលបាននឹងមានសុពលភាពផងដែរ (បញ្ជាក់វាដោយខ្លួនឯង)។▲

ផលវិបាក។ ; ; .

ទ្រឹស្តីបទ 2 (ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ). លំដាប់​លេខ​មួយ​មាន​កម្រិត​កំណត់​ស្មើ​នឹង​លេខ e៖

, ()

ផលវិបាក។ ; .

បញ្ហាជាច្រើនពីវិស័យរូបវិទ្យា ជីវវិទ្យា រូបវិទ្យានុយក្លេអ៊ែរ ប្រជាសាស្រ្ត ជាដើម ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលេខ e ។ ចូរយើងពិចារណាអំពីការអនុវត្តដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរនៅក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ច។

បញ្ហា​រួម​គ្នា​ជា​បន្តបន្ទាប់.

1. ចំណាប់អារម្មណ៍សាមញ្ញ. ប្រាក់សរុបត្រូវបានដាក់ក្នុងធនាគារដោយការប្រាក់។ ប្រចាំឆ្នាំ អត្រា​ការ​ប្រាក់គឺ p% ។ តើទំហំនៃការរួមចំណែក Q នឹងមានប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយ?

នៅពេលប្រើការប្រាក់សាមញ្ញ ចំនួនប្រាក់បញ្ញើកើនឡើងជារៀងរាល់ឆ្នាំដោយចំនួនដូចគ្នា។

ក្នុងមួយឆ្នាំបរិមាណនឹងមាន

ក្នុងរយៈពេលពីរឆ្នាំ៖

ក្នុង t ឆ្នាំ:

- រូបមន្តការប្រាក់សាមញ្ញ។

2. ការប្រាក់រួម. នៅពេលប្រើការប្រាក់រួម "ការប្រាក់លើការប្រាក់" ត្រូវបានគណនាពោលគឺឧ។ ទំហំនៃប្រាក់បញ្ញើកើនឡើងជារៀងរាល់ឆ្នាំដោយចំនួនដងដូចគ្នា៖

- រូបមន្តការប្រាក់រួម។

នៅក្នុងប្រតិបត្តិការហិរញ្ញវត្ថុ និងឥណទានជាក់ស្តែង ការប្រាក់បន្តបន្ទាប់បន្សំមិនត្រូវបានប្រើទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការគណនាប្រជាសាស្រ្ត ការវិនិយោគ និងការគណនាផ្សេងៗទៀត។

អនុញ្ញាតឱ្យ f(x)និង j(x)- មុខងារដែលមានដែនកំណត់ X® x 0(¥):

,

បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមអំពីដែនកំណត់រក្សា៖

1. មុខងារមួយមិនអាចមានដែនកំណត់លើសពីមួយ។

2. ដែនកំណត់នៃផលបូកពិជគណិតនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកដូចគ្នានៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ៖

3. ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ៖

ជាពិសេស កត្តាថេរអាចត្រូវបានគេយកលើសពីសញ្ញាកំណត់៖

4. ដែនកំណត់នៃ quotient នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹង quotient នៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ (ផ្តល់ថាដែនកំណត់នៃផ្នែកចែកមិនស្មើនឹងសូន្យ):

(B#0)

ឧទាហរណ៍ . គណនាដែនកំណត់ .

◄ ដែនកំណត់លើភាគបែង និងភាគបែងមាន ហើយដែនកំណត់លើភាគបែងមិនសូន្យទេ។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតា យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ . គណនា .

◄ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបែងចែកឯកជនមិនអាចអនុវត្តនៅទីនេះបានទេ ពីព្រោះ ភាគយក និងភាគបែងមិនមានកំណត់កំណត់ទេ។ យើង​មាន​ភាព​មិន​ប្រាកដ​ប្រជា។ ក្នុង​ករណី​បែប​នេះ ដើម្បី​បង្ហាញ​ភាព​មិន​ច្បាស់​លាស់ គួរ​បែងចែក​ភាគបែង​និង​ភាគបែង​ដោយ​អំណាច។ Xជាមួយនឹងពិន្ទុខ្ពស់បំផុត ហើយបន្ទាប់មកផ្លាស់ទីទៅដែនកំណត់៖

.

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង:

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ:

,

កន្លែងណា - លេខអយល័រ ដែលជាមូលដ្ឋានសម្រាប់លោការីតធម្មជាតិ។ ដែនកំណត់ចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ផ្សេងទៀត៖

,

.

ឧទាហរណ៍ . គណនា។

◄ ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់បែបនេះ ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានប្រើប្រាស់៖

ការបន្តនៃមុខងារ។

មុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា បន្តនៅចំណុច x 0ប្រសិនបើវាពេញចិត្ត តាមលក្ខខណ្ឌ:

1) វាត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច, i.e. មាន f(x 0);

2) វាមានដែនកំណត់មុខងារកំណត់នៅ X® x 0 ;

3) ដែនកំណត់នេះគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុច x 0,

ទាំងនោះ។

ឧទាហរណ៍នៅចំណុច x = 0 មុខងារមិនបន្ត (លក្ខខណ្ឌទី 1 ត្រូវបានបំពាន) ។

មុខងារ​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​កន្សោម​:

នៅចំណុច X= 0 មិនបន្តទេ ដោយសារអវត្ដមាននៃដែនកំណត់នៅ X® 0 ទោះបីជាមានដែនកំណត់នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ (សូមមើលរូប)។

ចំណុចត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបំបែក មុខងារប្រសិនបើមុខងារនេះនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនបន្ត។ មានចំណុចបំបែកពីរប្រភេទ។

ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទី 1៖ មានដែនកំណត់ផ្នែកម្ខាងកំណត់នៃមុខងារនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៅពេល X® x 0, មិនស្មើគ្នា។

X= 0 សម្រាប់មុខងារដែលបានពិភាក្សាខាងលើ .

ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទី 2៖ យ៉ាងហោចណាស់ដែនកំណត់ម្ខាងគឺស្មើនឹងគ្មានកំណត់ ឬមិនមាន។

ជាឧទាហរណ៍អ្នកអាចបញ្ជាក់ចំណុច X= 0 សម្រាប់មុខងារ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារបន្តនៅចំណុចមួយ៖

1. ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅចំណុចនោះ ផលបូក ផលិតផល និង កូតា () របស់ពួកគេ គឺជាមុខងារបន្តនៅចំណុច។

2. ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) គឺបន្តនៅចំណុច x 0និង f(x 0)> 0 បន្ទាប់មកមានសង្កាត់បែបនេះ x 0 ដែលក្នុងនោះ និង f(x)> 0.

3. ប្រសិនបើមុខងារ y = f(យូ) គឺបន្តនៅចំណុច u 0និង f(x 0)> 0 ហើយមុខងារបន្តនៅចំណុច x 0បន្ទាប់មកមុខងារស្មុគស្មាញ y = f[j(X)] គឺបន្តនៅចំណុច X 0 .

មុខងារ y = f(x) ត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅលើចន្លោះ X ប្រសិនបើវាបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលនេះ។

លក្ខណសម្បត្តិនៃមុខងារបន្តក្នុងចន្លោះពេល៖

1. ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) គឺបន្តនៅចន្លោះពេល [ ក, ខ] បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកំណត់នៅលើផ្នែកនេះ។

2. ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) គឺបន្តនៅចន្លោះពេល [ ក, ខ] វាឈានដល់ផ្នែកនេះ។ តម្លៃទាបបំផុត។ មនិង តម្លៃខ្ពស់បំផុតម.

3. ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) គឺបន្តនៅចន្លោះពេល [ ក, ខ] និងតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក f(a)និង f(b)មានសញ្ញាផ្ទុយ បន្ទាប់មកនៅខាងក្នុងផ្នែកមានចំណុចមួយ។ x Î ( ក, ខ) បែបនោះ។ f(x)=0 ។

មេរៀន ២.៧.២ “ដេរីវេ។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល"

សំណួរសិក្សា៖

1. ដេរីវេ

2. ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអថេរឯករាជ្យ ព្រោះថាចុងក្រោយនេះមានទំនោរទៅសូន្យ (ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមាន):

.

សញ្ញាណចម្លងផ្សេងទៀត៖ .

ភាពខុសគ្នាមុខងារគឺស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារនេះ។ ប្រសិនបើមុខងារមាននៅចំណុចមួយ។ xដេរីវេ (កំណត់) បន្ទាប់មកគេហៅថា ខុសគ្នានៅចំណុចនេះ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រដេរីវេ៖ ដេរីវេគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស គោនិងតង់ហ្សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ (សូមមើលរូប)។

អត្ថន័យមេកានិក៖ ដេរីវេនៃផ្លូវដែលទាក់ទងនឹងពេលវេលាគឺជាល្បឿននៃចំណុចមួយភ្លាមៗ i.e. .

ផលិតភាពការងារនៅពេលនេះ គឺជាដេរីវេនៃបរិមាណផលិតកម្មតាមពេលវេលា។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយ នោះវាបន្តនៅចំណុចនោះ។

ទ្រឹស្តីបទសន្ទនា ជាទូទៅនិយាយមិនពិត ពោលគឺឧ។ អនុគមន៍​បន្ត​ប្រហែល​ជា​មិន​អាច​ខុស​គ្នា​នៅ​ចំណុច​មួយ​ទេ ឧទាហរណ៍ មុខងារ​នៅ​ចំណុច​មួយ។

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា

1. ដេរីវេនៃថេរគឺសូន្យ, i.e. , កន្លែងណា ជាមួយ - const ។

2. ដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់គឺស្មើនឹង 1, i.e. .

3. ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍ផ្សេងគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកដូចគ្នានៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ i.e.