ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការគណនាអថេរតាមអ៊ីនធឺណិតចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់។ ការរំពឹងទុកនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់

លក្ខណៈ​ជា​លេខ​មូលដ្ឋាន​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ​ដាច់​ពី​គ្នា និង​បន្ត៖ ការ​រំពឹង​ទុក​តាម​គណិតវិទ្យា ការ​បែក​ខ្ញែក និង​គម្លាត​ស្តង់ដារ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនិងឧទាហរណ៍របស់ពួកគេ។

ច្បាប់ចែកចាយ (មុខងារចែកចាយ និងស៊េរីចែកចាយ ឬដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ) ពិពណ៌នាទាំងស្រុងអំពីឥរិយាបថនៃអថេរចៃដន្យមួយ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួន វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីលក្ខណៈលេខមួយចំនួននៃតម្លៃដែលកំពុងសិក្សា (ឧទាហរណ៍ តម្លៃមធ្យមរបស់វា និងគម្លាតដែលអាចកើតមានពីវា) ដើម្បីឆ្លើយសំណួរដែលបានសួរ។ ចូរយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈលេខសំខាន់ៗនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។

និយមន័យ 7.1 ។ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកគឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានរបស់វា និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ៖

ម(X) = X 1 រ 1 + X 2 រ 2 + … + x p ទំ។(7.1)

ប្រសិនបើចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យគឺគ្មានកំណត់ នោះប្រសិនបើស៊េរីលទ្ធផលបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។

ចំណាំ ១.ពេលខ្លះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា ទម្ងន់មធ្យមចាប់តាំងពីវាគឺប្រហែលស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃដែលបានសង្កេតនៃអថេរចៃដន្យលើការពិសោធន៍មួយចំនួនធំ។

ចំណាំ ២.តាមនិយមន័យនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វាដូចខាងក្រោមថាតម្លៃរបស់វាគឺមិនតិចជាងតម្លៃតូចបំផុតដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យ ហើយមិនលើសពីធំបំផុត។

ចំណាំ ៣.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកគឺ មិនចៃដន្យ(ថេរ។ យើង​នឹង​ឃើញ​នៅ​ពេល​ក្រោយ​ថា​ដូចគ្នា​នេះ​គឺ​ជា​ការ​ពិត​សម្រាប់​អថេរ​ចៃដន្យ​បន្ត។

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យមួយ។ X- ចំនួនផ្នែកស្ដង់ដារក្នុងចំណោមផ្នែកចំនួនបីដែលបានជ្រើសរើសពីក្រុមនៃ 10 ផ្នែក រួមទាំងផ្នែកដែលមានបញ្ហាចំនួន 2 ។ តោះបង្កើតស៊េរីចែកចាយសម្រាប់ X. ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាវាធ្វើតាមនោះ។ Xអាចយកតម្លៃ 1, 2, 3. បន្ទាប់មក

ឧទាហរណ៍ 2. កំណត់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X- ចំនួននៃការបោះកាក់មុនពេលរូបរាងដំបូងនៃអាវធំ។ បរិមាណនេះអាចទទួលយកនូវចំនួនគ្មានកំណត់នៃតម្លៃ (សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានគឺជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ)។ ស៊េរីចែកចាយរបស់វាមានទម្រង់៖

X			…	ទំ	…
រ	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)ទំ	…

+ (នៅពេលគណនា រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ត្រូវបានប្រើពីរដង៖ , ពីណា ) ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។

1) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួនថេរគឺស្មើនឹងថេរខ្លួនវា:

ម(ជាមួយ) = ជាមួយ។(7.2)

ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើយើងពិចារណា ជាមួយជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកដែលយកតម្លៃតែមួយ ជាមួយជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ រ= 1 បន្ទាប់មក ម(ជាមួយ) = ជាមួយ?1 = ជាមួយ.

2) កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា:

ម(CX) = សង់​ទី​ម៉ែ​ត(X). (7.3)

ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ Xផ្តល់ដោយស៊េរីចែកចាយ

បន្ទាប់មក ម(CX) = Cx 1 រ 1 + Cx 2 រ 2 + … + Cx p ទំ = ជាមួយ(X 1 រ 1 + X 2 រ 2 + … + x p r ទំ) = សង់​ទី​ម៉ែ​ត(X).

និយមន័យ 7.2 ។អថេរចៃដន្យពីរត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យប្រសិនបើច្បាប់នៃការចែកចាយរបស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេមិនអាស្រ័យលើតម្លៃអ្វីដែលផ្សេងទៀតបានយក។ បើមិនដូច្នោះទេអថេរចៃដន្យ ពឹងផ្អែក.

និយមន័យ 7.3 ។តោះហៅ ផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ Xនិង យ អថេរចៃដន្យ XY, តម្លៃដែលអាចធ្វើបានគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ Xសម្រាប់តម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ យហើយប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃកត្តា។

3) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ:

ម(XY) = ម(X)ម(យ). (7.4)

ភស្តុតាង។ ដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញ យើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះករណីនៅពេល Xនិង យយកតែតម្លៃពីរដែលអាចធ្វើបាន៖

អាស្រ័យហេតុនេះ ម(XY) = x 1 y 1 ?ទំ 1 g 1 + x 2 y 1 ?ទំ 2 g 1 + x 1 y 2 ?ទំ 1 g 2 + x 2 y 2 ?ទំ 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 ទំ 1 + x 2 ទំ 2) + + y 2 g 2 (x 1 ទំ 1 + x 2 ទំ 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 ទំ 1 + x 2 ទំ 2) = ម(X)?ម(យ).

ចំណាំ ១.អ្នក​អាច​បង្ហាញ​លក្ខណៈ​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ​សម្រាប់​ចំនួន​ច្រើន​នៃ​តម្លៃ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន​នៃ​កត្តា។

ចំណាំ ២. Property 3 គឺពិតសម្រាប់ផលិតផលនៃចំនួនអថេរចៃដន្យឯករាជ្យណាមួយ ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ induction គណិតវិទ្យា។

និយមន័យ 7.4 ។ចូរយើងកំណត់ ផលបូកនៃអថេរចៃដន្យ Xនិង យ ជាអថេរចៃដន្យ X+Y, តម្លៃដែលអាចធ្វើបានគឺស្មើនឹងផលបូកនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននីមួយៗ Xជាមួយនឹងរាល់តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន យ; ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកបែបនេះគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃលក្ខខណ្ឌ (សម្រាប់អថេរចៃដន្យអាស្រ័យ - ផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃពាក្យមួយដោយប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃទីពីរ) ។

4) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យពីរ (អាស្រ័យ ឬឯករាជ្យ) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃពាក្យ៖

ម (X+Y) = ម (X) + ម (យ). (7.5)

ភស្តុតាង។

ចូរយើងពិចារណាម្តងទៀតនូវអថេរចៃដន្យដែលកំណត់ដោយស៊េរីចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ 3. បន្ទាប់មកតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន X+Yគឺ X 1 + នៅ 1 , X 1 + នៅ 2 , X 2 + នៅ 1 , X 2 + នៅ២. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេរៀងៗខ្លួន រ 11 , រ 12 , រ 21 និង រ២២. យើងនឹងរកឃើញ ម(X+យ) = (x 1 + y 1)ទំ 11 + (x 1 + y 2)ទំ 12 + (x 2 + y 1)ទំ 21 + (x 2 + y 2)ទំ 22 =

= x 1 (ទំ 11 + ទំ 12) + x 2 (ទំ 21 + ទំ 22) + y 1 (ទំ 11 + ទំ 21) + y 2 (ទំ 12 + ទំ 22).

ចូរយើងបញ្ជាក់ រ 11 + រ 22 = រ១. ជាការពិតព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ X+Yនឹងយកតម្លៃ X 1 + នៅ 1 ឬ X 1 + នៅ 2 និងប្រូបាប៊ីលីតេដែល រ 11 + រ 22 ស្របពេលជាមួយនឹងព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ X = X 1 (ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាគឺ រ១). វាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា ទំ 21 + ទំ 22 = រ 2 , ទំ 11 + ទំ 21 = g 1 , ទំ 12 + ទំ 22 = g២. មានន័យថា

ម(X+Y) = x 1 ទំ 1 + x 2 ទំ 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = ម (X) + ម (យ).

មតិយោបល់. ពីទ្រព្យសម្បត្តិ 4 វាធ្វើតាមថាផលបូកនៃចំនួនអថេរចៃដន្យណាមួយគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃលក្ខខណ្ឌ។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃចំនួនពិន្ទុដែលទទួលបាននៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ប្រាំ។

ចូរយើងស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួនពិន្ទុដែលរមៀលនៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់៖

ម(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ចំនួនដូចគ្នាគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួនពិន្ទុដែលរមៀលលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ណាមួយ។ ដូច្នេះដោយទ្រព្យ ៤ ម(X)=

ការបែកខ្ញែក.

ដើម្បីមានគំនិតអំពីឥរិយាបទនៃអថេរចៃដន្យ វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេក្នុងការដឹងតែការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យារបស់វាប៉ុណ្ណោះ។ ពិចារណាអថេរចៃដន្យពីរ៖ Xនិង យបញ្ជាក់ដោយស៊េរីចែកចាយនៃទម្រង់

X
រ	0,1	0,8	0,1

យ
ទំ	0,5	0,5

យើងនឹងរកឃើញ ម(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, ម(យ) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃបរិមាណទាំងពីរគឺស្មើគ្នា ប៉ុន្តែប្រសិនបើសម្រាប់ HM(X) ពិពណ៌នាយ៉ាងល្អិតល្អន់អំពីឥរិយាបទនៃអថេរចៃដន្យ ដែលជាតម្លៃដែលអាចទៅរួចបំផុតរបស់វា (ហើយតម្លៃដែលនៅសល់មិនខុសគ្នាច្រើនពី 50) បន្ទាប់មកតម្លៃ យដកចេញយ៉ាងសំខាន់ពី ម(យ) ដូច្នេះ រួមជាមួយនឹងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា វាគឺជាការចង់ដឹងថាតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យមួយមានគម្លាតពីវា។ ដើម្បីកំណត់លក្ខណៈសូចនាករនេះ ការបែកខ្ញែកត្រូវបានប្រើ។

និយមន័យ 7.5 ។ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ (បែកខ្ញែក)នៃអថេរចៃដន្យគឺជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា៖

ឃ(X) = ម (X-M(X))²។ (7.6)

ចូរយើងស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ X(ចំនួនផ្នែកស្តង់ដារក្នុងចំណោមអ្នកដែលបានជ្រើសរើស) ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 នៃការបង្រៀននេះ។ ចូរគណនាគម្លាតការេនៃតម្លៃនីមួយៗដែលអាចធ្វើបានពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា៖

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 − 2.4) 2 = 0.36 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

ចំណាំ ១.ក្នុង​ការ​កំណត់​ការ​បែក​ខ្ចាត់​ខ្ចាយ វា​មិន​មែន​ជា​គម្លាត​ពី​មធ្យម​ដែល​គេ​វាយ​តម្លៃ​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ការ៉េ​របស់​វា​។ នេះត្រូវបានធ្វើដូច្នេះថាគម្លាតនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នាមិនលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមក។

ចំណាំ ២.តាមនិយមន័យនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ វាដូចខាងក្រោមថាបរិមាណនេះយកតែតម្លៃមិនអវិជ្ជមាន។

ចំណាំ ៣.មានរូបមន្តសម្រាប់គណនាបំរែបំរួលដែលងាយស្រួលជាងសម្រាប់ការគណនា សុពលភាពត្រូវបានបញ្ជាក់ក្នុងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម៖

ទ្រឹស្តីបទ ៧.១.ឃ(X) = ម(X²) - ម²( X). (7.7)

ភស្តុតាង។

ការប្រើប្រាស់អ្វី ម(X) គឺជាតម្លៃថេរ ហើយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា យើងបំលែងរូបមន្ត (7.6) ទៅជាទម្រង់៖

ឃ(X) = ម(X-M(X))² = ម(X² - ២ X?M(X) + ម²( X)) = ម(X²) - ២ ម(X)?ម(X) + ម²( X) =

= ម(X²) - ២ ម²( X) + ម²( X) = ម(X²) - ម²( X) ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ Xនិង យបានពិភាក្សានៅដើមផ្នែកនេះ។ ម(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

ម(យ) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500។ ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យទីពីរគឺច្រើនពាន់ដងច្រើនជាងវ៉ារ្យង់ទីមួយ។ ដូច្នេះ សូម្បីតែមិនដឹងពីច្បាប់នៃការចែកចាយនៃបរិមាណទាំងនេះក៏ដោយ ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃការបែកខ្ញែកដែលគេស្គាល់ យើងអាចបញ្ជាក់បានថា Xគម្លាតតិចតួចពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា ខណៈពេលដែលសម្រាប់ យគម្លាតនេះគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែកខ្ញែក។

1) ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃថេរ ជាមួយស្មើនឹងសូន្យ៖

ឃ (គ) = 0. (7.8)

ភស្តុតាង។ ឃ(គ) = ម((សង់​ទី​ម៉ែ​ត(គ))²) = ម((ស៊ី-ស៊ី)²) = ម(0) = 0.

2) កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការ៉េវា:

ឃ(CX) = គ² ឃ(X). (7.9)

ភស្តុតាង។ ឃ(CX) = ម((CX-M(CX))²) = ម((CX-CM(X))²) = ម(គ²( X-M(X))²) =

= គ² ឃ(X).

3) វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួលរបស់វា៖

ឃ(X+Y) = ឃ(X) + ឃ(យ). (7.10)

ភស្តុតាង។ ឃ(X+Y) = ម(X² + 2 XY + យ²) - ( ម(X) + ម(យ))² = ម(X²) + 2 ម(X)ម(យ) +

+ ម(យ²) - ម²( X) - 2ម(X)ម(យ) - ម²( យ) = (ម(X²) - ម²( X)) + (ម(យ²) - ម²( យ)) = ឃ(X) + ឃ(យ).

កូរ៉ូឡារី ១.បំរែបំរួលនៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យដោយឯករាជ្យទៅវិញទៅមកជាច្រើនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួលរបស់វា។

កូរ៉ូឡារី ២.បំរែបំរួលនៃផលបូកនៃថេរ និងអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ។

4) ភាពខុសគ្នានៃភាពខុសគ្នារវាងអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃវ៉ារ្យង់របស់វា៖

ឃ(X-Y) = ឃ(X) + ឃ(យ). (7.11)

ភស្តុតាង។ ឃ(X-Y) = ឃ(X) + ឃ(-យ) = ឃ(X) + (-1)² ឃ(យ) = ឃ(X) + ឃ(X).

វ៉ារ្យង់ផ្តល់តម្លៃមធ្យមនៃគម្លាតការ៉េនៃអថេរចៃដន្យពីមធ្យម។ ដើម្បីវាយតម្លៃគម្លាតខ្លួនវា តម្លៃដែលហៅថាគម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានប្រើ។

និយមន័យ 7.6 ។គម្លាតស្តង់ដារσ អថេរចៃដន្យ Xត្រូវបានគេហៅថាឫសការ៉េនៃភាពខុសគ្នា៖

ឧទាហរណ៍។ ក្នុងឧទាហរណ៍មុន គម្លាតស្តង់ដារ Xនិង យគឺស្មើគ្នា

តម្លៃបុគ្គលនីមួយៗត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយមុខងារចែកចាយរបស់វា។ ដូចគ្នានេះផងដែរដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីលក្ខណៈលេខជាច្រើនដោយអរគុណដែលវាអាចបង្ហាញលក្ខណៈសំខាន់ៗនៃអថេរចៃដន្យក្នុងទម្រង់ខ្លី។

បរិមាណទាំងនេះរួមបញ្ចូលជាចម្បង តម្លៃរំពឹងទុកនិង ការបែកខ្ញែក .

តម្លៃរំពឹងទុក- តម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ តំណាងថាជា។

នៅក្នុងវិធីសាមញ្ញបំផុត ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X(w), ស្វែងរករបៀប អាំងតេក្រាលឡេបេសហ្គេសទាក់ទងនឹងរង្វាស់ប្រូបាប៊ីលីតេ រ ដើម ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ

អ្នកក៏អាចស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃផងដែរ។ អាំងតេក្រាល Lebesgueពី Xដោយការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ R Xបរិមាណ X:

តើសំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៅឯណា X.

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអនុគមន៍ពីអថេរចៃដន្យ Xបានរកឃើញតាមរយៈការចែកចាយ R X. ឧទាហរណ៍, ប្រសិនបើ X- អថេរចៃដន្យជាមួយតម្លៃក្នុង និង f(x)- មិនច្បាស់លាស់ បូរ៉ាល។មុខងារ X , នោះ៖

ប្រសិនបើ F(x)- មុខងារចែកចាយ Xបន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺអាចតំណាងបាន។ អាំងតេក្រាលLebesgue - Stieltjes (ឬ Riemann - Stieltjes):

ក្នុងករណីនេះភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ Xនៅ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ ( * ) ត្រូវគ្នាទៅនឹងភាពកំណត់នៃអាំងតេក្រាល

ក្នុងករណីជាក់លាក់ប្រសិនបើ Xមានការចែកចាយដាច់ពីគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេ x k, k=1, 2, . , និងប្រូបាប៊ីលីតេ, បន្ទាប់មក

ប្រសិនបើ Xមានការចែកចាយបន្តយ៉ាងពិតប្រាកដជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ p(x), នោះ។

ក្នុងករណីនេះ អត្ថិភាពនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺស្មើនឹងការបង្រួបបង្រួមដាច់ខាតនៃស៊េរី ឬអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ។

• ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងតម្លៃនេះ៖

គ- ថេរ;

• M=C.M[X]

• ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃតម្លៃដែលបានយកដោយចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖

• ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរដែលបានយកដោយចៃដន្យ = ផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖

M=M[X]+M[Y]

ប្រសិនបើ Xនិង យឯករាជ្យ។

ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។

លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ​ដាច់​ដោយ​ឡែក​: តម្លៃ​របស់​វា​ទាំង​អស់​អាច​ត្រូវ​បាន​ប្ដូរ​លេខ​ដោយ​លេខ​ធម្មជាតិ; កំណត់តម្លៃនីមួយៗនូវប្រូបាប៊ីលីតេមិនសូន្យ។

1. គុណគូម្តងមួយៗ៖ x ខ្ញុំនៅលើ ទំ.

2. បន្ថែមផលិតផលនៃគូនីមួយៗ x i p i.

ឧទាហរណ៍, សម្រាប់ ន = 4 :

មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកជាជំហានៗ វាកើនឡើងភ្លាមៗនៅចំណុចទាំងនោះ ដែលប្រូបាប៊ីលីតេមានសញ្ញាវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍៖ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដោយប្រើរូបមន្ត។

អថេរចៃដន្យ បន្ថែមពីលើច្បាប់ចែកចាយ ក៏អាចត្រូវបានពិពណ៌នាផងដែរ។ លក្ខណៈលេខ .

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M (x) នៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃមធ្យមរបស់វា។

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

កន្លែងណា – តម្លៃអថេរចៃដន្យ, ទំ ខ្ញុំ -ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ។

តោះពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖

1. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួនថេរគឺស្មើនឹងថេរខ្លួនវាផ្ទាល់

2. ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យត្រូវបានគុណដោយចំនួនជាក់លាក់ k នោះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានឹងត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា

M (kx) = kM (x)

3. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 − x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ x 1, x 2, … x n ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x − M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

ចូរយើងគណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាសម្រាប់អថេរចៃដន្យពីឧទាហរណ៍ទី 11 ។

M(x) = = .

ឧទាហរណ៍ 12 ។អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ x 1, x 2 ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយច្បាប់ចែកចាយ៖

x 1 តារាង 2

x 2 តារាងទី 3

តោះគណនា M (x 1) និង M (x 2)

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យទាំងពីរគឺដូចគ្នា - ពួកគេស្មើនឹងសូន្យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយធម្មជាតិនៃការចែកចាយរបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើតម្លៃនៃ x 1 ខុសគ្នាតិចតួចពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ នោះតម្លៃនៃ x 2 ខុសគ្នាក្នុងវិសាលភាពធំពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃគម្លាតបែបនេះមិនតូចទេ។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះបង្ហាញថា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ពីតម្លៃមធ្យមដែលគម្លាតពីវាកើតឡើង ទាំងតូច និងធំជាង។ ដូច្នេះ ដោយ​មាន​ភ្លៀង​ធ្លាក់​មធ្យម​ប្រចាំឆ្នាំ​ដូចគ្នា​ក្នុង​តំបន់​ពីរ វា​មិនអាច​និយាយបាន​ថា តំបន់​ទាំងនេះ​អំណោយផល​ស្មើគ្នា​សម្រាប់​ការងារ​កសិកម្ម។ ដូចគ្នានេះដែរ ដោយផ្អែកលើសូចនាករប្រាក់ខែជាមធ្យម វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការវិនិច្ឆ័យចំណែកនៃកម្មករដែលមានប្រាក់ខែខ្ពស់ និងទាប។ ដូច្នេះលក្ខណៈលេខត្រូវបានណែនាំ - ការបែកខ្ញែក D(x) , ដែលកំណត់កម្រិតនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យពីតម្លៃមធ្យមរបស់វា៖

ឃ (x) = M (x − M (x)) ២. (2)

ការបែកខ្ញែកគឺជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាតការ៉េនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក វ៉ារ្យ៉ង់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖

ឃ(x)= = (3)

ពីនិយមន័យនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយវាដូចខាងក្រោមថា D (x) 0 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក៖

1. វ៉ារ្យ៉ង់នៃថេរគឺសូន្យ

2. ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យត្រូវបានគុណដោយចំនួនជាក់លាក់ k នោះអថេរនឹងត្រូវបានគុណនឹងការេនៃចំនួននេះ

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យជាគូ x 1 , x 2 , … x n វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួល។

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

ចូរយើងគណនាបំរែបំរួលសម្រាប់អថេរចៃដន្យពីឧទាហរណ៍ ១១។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M (x) = 1. ដូច្នេះយោងទៅតាមរូបមន្ត (3) យើងមាន:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

ចំណាំថាវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគណនាបំរែបំរួល ប្រសិនបើអ្នកប្រើលក្ខណសម្បត្តិ 3៖

D (x) = M (x 2) – M 2 (x) ។

ចូរយើងគណនាបំរែបំរួលសម្រាប់អថេរចៃដន្យ x 1 , x 2 ពីឧទាហរណ៍ 12 ដោយប្រើរូបមន្តនេះ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យទាំងពីរគឺសូន្យ។

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

ឃ (x 2) = (−20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

តម្លៃវ៉ារ្យង់កាន់តែជិតដល់សូន្យ ការរីករាលដាលនៃអថេរចៃដន្យកាន់តែតូចដែលទាក់ទងទៅនឹងតម្លៃមធ្យម។

បរិមាណត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ. របៀបអថេរចៃដន្យ x ប្រភេទផ្តាច់មុខ Mdតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យដែលមានប្រូបាបខ្ពស់បំផុតត្រូវបានគេហៅថា។

របៀបអថេរចៃដន្យ x ប្រភេទបន្ត Mdជា​ចំនួន​ពិត​ដែល​កំណត់​ជា​ចំណុច​អតិបរមា​នៃ​ដង់ស៊ីតេ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ចែកចាយ f(x)។

មធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ x ប្រភេទបន្ត Mnគឺជាចំនួនពិតដែលបំពេញសមីការ

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺជាតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ។

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ៖

ឧទាហរណ៍។

X −4 6 ១០
р 0.2 0.3 0.5

ដំណោះស្រាយ៖ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃ X និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ៖

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6។

ដើម្បីគណនាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការគណនាក្នុង Excel (ជាពិសេសនៅពេលមានទិន្នន័យច្រើន) យើងស្នើឱ្យប្រើគំរូដែលត្រៀមរួចជាស្រេច ()។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយវាដោយខ្លួនឯង (អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ) ។
ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X ដែលផ្តល់ដោយច្បាប់ចែកចាយ៖

X 0.21 0.54 0.61
р 0.1 0.5 0.4

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោម។

Property 1. ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងថេរខ្លួនវា៖ M(C)=C ។

Property 2. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញជាសញ្ញានៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា៖ M(CX)=CM(X)។

Property 3. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យដោយឯករាជ្យទៅវិញទៅមកគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃកត្តា: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)* ។ ..*M (Xn)

Property 4. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃពាក្យ៖ M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn)

បញ្ហា 189. ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ Z ប្រសិនបើការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃ X និង Y ត្រូវបានគេស្គាល់៖ Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

ដំណោះស្រាយ៖ ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃពាក្យ កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា) យើងទទួលបាន M(Z )=M(X+2Y)=M(X)+M(2Y)=M(X)+2M(Y)= 5+2*3=11។

190. ការប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា បញ្ជាក់៖ ក) M(X − Y) = M(X) - M (Y); ខ) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាត X-M(X) គឺស្មើនឹងសូន្យ។

191. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X យកតម្លៃដែលអាចមានបី: x1= 4 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p1 = 0.5; xЗ = 6 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ P2 = 0.3 និង x3 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p3 ។ ស្វែងរក៖ x3 និង p3 ដោយដឹងថា M(X)=8 ។

192. បញ្ជីតម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃនេះ និងការ៉េរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរ៖ M(X) = 0.1 , M(X^2) = 0 ,9 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ p1, p2, p3 ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃ xi

194. បណ្តុំនៃ 10 ផ្នែកមានបីផ្នែកដែលមិនមានស្តង់ដារ។ ផ្នែកពីរត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X - ចំនួននៃផ្នែកមិនស្តង់ដារក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសពីរ។

196. ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដោយឡែក X-ចំនួននៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងប្រាំ ដែលក្នុងនោះចំនុចនីមួយៗនឹងលេចឡើងនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរ ប្រសិនបើចំនួនសរុបនៃការបោះគឺម្ភៃ។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយ binomial គឺស្មើនឹងចំនួននៃការសាកល្បងដែលគុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងមួយ៖

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X គឺជាតម្លៃមធ្យម។

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), កន្លែងណា គ= const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ Xនិង យឯករាជ្យ M(XY) = M(X) M(Y)

ការបែកខ្ញែក

ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានគេហៅថា

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) - អិម 2 (X).

ការបែកខ្ញែកគឺជារង្វាស់នៃគម្លាតនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យពីតម្លៃមធ្យមរបស់វា។

1. D(C) = 0

2. D(X+C) = D(X)

3. ឃ (CX) = គ 2 D(X), កន្លែងណា គ= const

4. សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

ឫសការ៉េនៃបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ .

@កិច្ចការ ៣៖ អនុញ្ញាតឱ្យអថេរ X យកតែតម្លៃពីរ (0 ឬ 1) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ q, ទំ, កន្លែងណា p + q = ១. ស្វែងរកការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យា។

ដំណោះស្រាយ៖

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – ទំ) 2 p + (0 – ទំ) 2 q = pq ។

@កិច្ចការ ៤៖ ការរំពឹងទុក និងការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ Xគឺស្មើនឹង 8. ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ៖ ក) X – ៤; ខ) ៣X–៤.

ដំណោះស្រាយ៖ M(X–4)=M(X)–4=8–4=4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X − 4) = 9D(X) = 72 ។

@កិច្ចការ ៥៖ ចំនួនសរុបនៃគ្រួសារមានការចែកចាយដូចខាងក្រោមតាមចំនួនកុមារ៖

x ខ្ញុំ	x ១	x ២
ទំ	0,1	ទំ២	0,4	0,35

កំណត់ x ១, x ២និង ទំ២ប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ M(X) = 2; D(X) = 0.9.

ដំណោះស្រាយ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេ p 2 គឺស្មើនឹង p 2 = 1 – 0.1 – 0.4 – 0.35 = 0.15 ។ x ដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការ៖ M(X) = x 1 ·0.1 + x 2 ·0.15 + 2·0.4 + 3·0.35 = 2; D(X) = · 0.1 + · 0.15 + 4 · 0.4 + 9 · 0.35 – 4 = 0.9 ។ x 1 = 0; x 2 = 1 ។

ចំនួនប្រជាជន និងគំរូ។ ការប៉ាន់ប្រមាណប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

ការសង្កេតជ្រើសរើស

ការសង្កេតស្ថិតិអាចត្រូវបានរៀបចំជាបន្ត ឬមិនបន្ត។ ការសង្កេតជាបន្តបន្ទាប់ពាក់ព័ន្ធនឹងការពិនិត្យមើលអង្គភាពទាំងអស់នៃចំនួនប្រជាជនដែលកំពុងសិក្សា (ចំនួនប្រជាជនទូទៅ)។ ចំនួនប្រជាជន នេះគឺជាសំណុំនៃបុគ្គល ឬនីតិបុគ្គលដែលអ្នកស្រាវជ្រាវសិក្សាតាមភារកិច្ចរបស់គាត់។ នេះ​ជា​ញឹកញាប់​មិន​អាច​សម្រេច​បាន​តាម​បែប​សេដ្ឋកិច្ច ហើយ​ពេល​ខ្លះ​មិន​អាច​ទៅ​រួច។ ក្នុងន័យនេះ មានតែផ្នែកមួយនៃប្រជាជនទូទៅប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសិក្សា - ចំនួនប្រជាជនគំរូ .

លទ្ធផលដែលទទួលបានពីប្រជាជនគំរូអាចពង្រីកដល់ប្រជាជនទូទៅ ប្រសិនបើគោលការណ៍ខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្ត៖

1. ចំនួនប្រជាជនគំរូត្រូវតែកំណត់ដោយចៃដន្យ។

2. ចំនួនឯកតាក្នុងចំនួនប្រជាជនគំរូត្រូវតែគ្រប់គ្រាន់។

3. ត្រូវតែផ្តល់ជូន តំណាង ( តំណាង) នៃគំរូ។ គំរូតំណាងគឺជាគំរូតូចជាង ប៉ុន្តែត្រឹមត្រូវនៃចំនួនប្រជាជនដែលវាមានបំណងឆ្លុះបញ្ចាំង។

ប្រភេទគំរូ

ប្រភេទគំរូខាងក្រោមត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្ត៖

ក) ចៃដន្យយ៉ាងតឹងរឹង ខ) មេកានិច គ) ធម្មតា ឃ) សៀរៀល ង) រួមបញ្ចូលគ្នា។

គំរូចៃដន្យត្រឹមត្រូវ។

នៅ គំរូចៃដន្យជាក់ស្តែង ការជ្រើសរើសឯកតាក្នុងចំនួនប្រជាជនគំរូត្រូវបានអនុវត្តដោយចៃដន្យ ឧទាហរណ៍ដោយការចាប់ឆ្នោត ឬប្រើម៉ាស៊ីនបង្កើតលេខចៃដន្យ។

គំរូអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតឬមិនធ្វើម្តងទៀត។ ក្នុងការយកគំរូឡើងវិញ ឯកតាដែលត្រូវបានយកជាគំរូត្រូវបានប្រគល់មកវិញ ហើយរក្សានូវឱកាសស្មើគ្នាក្នុងការយកគំរូម្តងទៀត។ នៅក្នុងគំរូដែលមិនច្រំដែល អង្គភាពប្រជាជនដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងគំរូមិនចូលរួមក្នុងគំរូនាពេលអនាគតទេ។

កំហុសដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសង្កេតគំរូដែលកើតឡើងដោយសារតែការពិតដែលថាចំនួនប្រជាជនគំរូមិនបង្កើតឡើងវិញទាំងស្រុងនូវចំនួនប្រជាជនទូទៅត្រូវបានគេហៅថា កំហុសស្តង់ដារ . ពួកគេតំណាងឱ្យភាពខុសគ្នានៃការ៉េមធ្យមរវាងតម្លៃនៃសូចនាករដែលទទួលបានពីគំរូនិងតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃសូចនាករនៃប្រជាជនទូទៅ។

រូបមន្តគណនាសម្រាប់កំហុសស្តង់ដារសម្រាប់ការយកគំរូម្តងហើយម្តងទៀតដោយចៃដន្យមានដូចខាងក្រោម៖ ដែលជាកន្លែងដែល S 2 គឺជាភាពខុសគ្នានៃចំនួនប្រជាជនគំរូ n/N –ការចែករំលែកគំរូ, n, ន- ចំនួនគ្រឿងក្នុងគំរូ និងប្រជាជនទូទៅ។ នៅ n = នកំហុសស្តង់ដារ m = 0 ។

គំរូមេកានិក

នៅ គំរូមេកានិច ចំនួនប្រជាជនត្រូវបានបែងចែកទៅជាចន្លោះស្មើគ្នា ហើយឯកតាមួយត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យពីចន្លោះនីមួយៗ។

ឧទាហរណ៍ ជាមួយនឹងអត្រាគំរូ 2% រាល់ឯកតាទី 50 ត្រូវបានជ្រើសរើសពីបញ្ជីប្រជាជន។

កំហុសស្ដង់ដារនៃគំរូមេកានិកត្រូវបានកំណត់ថាជាកំហុសនៃគំរូចៃដន្យពិតប្រាកដដែលមិនកើតឡើងដដែលៗ។

គំរូធម្មតា។

នៅ គំរូធម្មតា។ ប្រជាជនទូទៅត្រូវបានបែងចែកទៅជាក្រុមធម្មតាដូចគ្នា បន្ទាប់មកឯកតាត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យពីក្រុមនីមួយៗ។

សំណាកធម្មតាមួយត្រូវបានប្រើនៅក្នុងករណីនៃចំនួនប្រជាជនខុសគ្នា។ គំរូធម្មតាផ្តល់នូវលទ្ធផលត្រឹមត្រូវជាងមុន ព្រោះវាធានាបាននូវភាពជាតំណាង។

ឧទាហរណ៍ គ្រូបង្រៀន ក្នុងនាមជាប្រជាជនទូទៅ ត្រូវបានបែងចែកជាក្រុមតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដូចខាងក្រោមៈ ភេទ បទពិសោធន៍ គុណវុឌ្ឍិ ការអប់រំ សាលាទីក្រុង និងជនបទ។ល។

កំហុសស្តង់ដារនៃគំរូធម្មតាត្រូវបានកំណត់ថាជាកំហុសនៃគំរូចៃដន្យពិតប្រាកដ ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាតែមួយគត់ដែល ស ២ត្រូវបានជំនួសដោយមធ្យមភាគនៃបំរែបំរួលក្នុងក្រុម។

ការយកគំរូតាមស៊េរី

នៅ ការ​យក​គំរូ​តាម​សៀរៀល ប្រជាជនទូទៅត្រូវបានបែងចែកទៅជាក្រុមដាច់ដោយឡែក (ស៊េរី) បន្ទាប់មកក្រុមដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យត្រូវបានទទួលរងនូវការសង្កេតជាបន្តបន្ទាប់។

កំហុសស្តង់ដារនៃគំរូសៀរៀលត្រូវបានកំណត់ថាជាកំហុសនៃគំរូចៃដន្យពិតប្រាកដ ដោយភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺ ស ២ត្រូវបានជំនួសដោយមធ្យមភាគនៃភាពខុសគ្នារវាងក្រុម។

គំរូរួមបញ្ចូលគ្នា

គំរូរួមបញ្ចូលគ្នាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទគំរូពីរ ឬច្រើន។

ការប៉ាន់ស្មានចំណុច

គោលដៅចុងក្រោយនៃការសង្កេតគំរូគឺដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈនៃចំនួនប្រជាជន។ ដោយសារវាមិនអាចធ្វើបានដោយផ្ទាល់ លក្ខណៈនៃចំនួនប្រជាជនគំរូត្រូវបានពង្រីកដល់ប្រជាជនទូទៅ។

លទ្ធភាពជាមូលដ្ឋាននៃការកំណត់មធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនប្រជាជនពីទិន្នន័យនៃគំរូមធ្យមត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev. ជាមួយនឹងការពង្រីកគ្មានដែនកំណត់ នប្រូបាប៊ីលីតេដែលភាពខុសគ្នារវាងមធ្យមគំរូ និងមធ្យមទូទៅនឹងមានតិចតួចតាមអំពើចិត្តមានទំនោរទៅ 1 ។

នេះមានន័យថាលក្ខណៈនៃចំនួនប្រជាជនដែលមានភាពត្រឹមត្រូវនៃ . ការវាយតម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថា ចំណុច .

ការប៉ាន់ស្មានចន្លោះពេល

មូលដ្ឋាននៃការប៉ាន់ស្មានចន្លោះពេលគឺ ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល.

ការប៉ាន់ស្មានចន្លោះពេលអនុញ្ញាតឱ្យយើងឆ្លើយសំណួរ៖ ក្នុងចន្លោះពេលមួយណា និងប្រូបាប៊ីលីតេអ្វីដែលមិនស្គាល់ តម្លៃដែលចង់បាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំនួនប្រជាជនដែលមានទីតាំងនៅ?

ជាធម្មតាយើងនិយាយអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃទំនុកចិត្ត ទំ = 1 – a ដែលវានឹងស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេល – ឃ< < + D, где D = t cr m > 0 កំហុសរឹម គំរូ, a - កម្រិតសារៈសំខាន់ (ប្រូបាប៊ីលីតេដែលវិសមភាពនឹងមិនពិត) t cr- តម្លៃសំខាន់ដែលអាស្រ័យលើតម្លៃ ននិង ក. សម្រាប់គំរូតូចមួយ n< 30 t crត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​តម្លៃ​សំខាន់​នៃ Student t-distribution សម្រាប់​ការ​ធ្វើ​តេ​ស្ត​ពីរ​ខាង​ជាមួយ ន- 1 ដឺក្រេនៃសេរីភាពដែលមានសារៈសំខាន់កម្រិត a ( t cr(ន - 1, ក) ត្រូវបានរកឃើញពីតារាង “តម្លៃសំខាន់នៃការចែកចាយ t របស់សិស្ស” ឧបសម្ព័ន្ធទី 2)។ សម្រាប់ n > 30, t crគឺជាបរិមាណនៃច្បាប់ចែកចាយធម្មតា ( t crត្រូវបានរកឃើញពីតារាងតម្លៃនៃអនុគមន៍ Laplace F(t) = (1 – ក)/២ ជាអាគុយម៉ង់)។ នៅ p = 0.954 តម្លៃសំខាន់ t cr= 2 នៅ p = 0.997 តម្លៃសំខាន់ t cr= 3. នេះមានន័យថា កំហុសរឹមជាធម្មតាមានទំហំធំជាង 2-3 ដងនៃកំហុសស្តង់ដារ។

ដូច្នេះ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រគំរូគឺថា ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យស្ថិតិនៃផ្នែកតូចមួយនៃចំនួនប្រជាជន វាអាចរកឃើញចន្លោះពេលដែលជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃទំនុកចិត្ត។ ទំលក្ខណៈដែលចង់បានរបស់ប្រជាជនទូទៅត្រូវបានរកឃើញ (ចំនួនកម្មករជាមធ្យម ពិន្ទុមធ្យម ទិន្នផលមធ្យម គម្លាតស្តង់ដារ។ល។)។

@កិច្ចការ ១.ដើម្បីកំណត់ល្បឿននៃការទូទាត់ជាមួយម្ចាស់បំណុលនៃសហគ្រាសសាជីវកម្ម ធនាគារពាណិជ្ជបានធ្វើគំរូចៃដន្យនៃឯកសារបង់ប្រាក់ចំនួន 100 ដែលពេលវេលាជាមធ្យមសម្រាប់ការផ្ទេរ និងទទួលប្រាក់គឺ 22 ថ្ងៃ (= 22) ជាមួយនឹងគម្លាតស្តង់ដារនៃ 6 ។ ថ្ងៃ (S = 6) ។ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំ= 0.954 កំណត់កំហុសអតិបរមានៃមធ្យមភាគគំរូ និងចន្លោះពេលទំនុកចិត្តនៃរយៈពេលជាមធ្យមនៃការតាំងទីលំនៅរបស់សហគ្រាសនៃសាជីវកម្មនេះ។

ដំណោះស្រាយ៖ កំហុសរឹមនៃគំរូមធ្យមយោងទៅតាម(1)ស្មើនឹងឃ= 2· 0.6 = 1.2 ហើយចន្លោះពេលទំនុកចិត្តត្រូវបានកំណត់ជា (22 – 1.2; 22 + 1.2) i.e. (២០.៨; ២៣.២)។

§6.5 ការជាប់ទាក់ទងគ្នា និងតំរែតំរង់