ចំនួនជម្រើសសម្រាប់ជ្រើសរើសលេខកូដត្រឹមត្រូវ។ រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃ combinatorics ។ Combinatorics: រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរ, ការដាក់

ក្នុង​អត្ថបទ​នេះ យើង​នឹង​និយាយ​អំពី​ផ្នែក​ពិសេស​នៃ​គណិតវិទ្យា​ដែល​គេ​ហៅ​ថា combinatorics ។ រូបមន្ត ច្បាប់ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា - អ្នកអាចរកឃើញទាំងអស់នេះនៅទីនេះដោយអានអត្ថបទដល់ទីបញ្ចប់។

ដូច្នេះតើផ្នែកនេះជាអ្វី? Combinatorics ដោះស្រាយបញ្ហានៃការរាប់វត្ថុណាមួយ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីនេះ វត្ថុទាំងនោះមិនមែនជាផ្លែព្រូន ផ្លែពែរ ឬផ្លែប៉ោមទេ ប៉ុន្តែជារបស់ផ្សេងទៀត។ Combinatorics ជួយយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ឧទាហរណ៍នៅពេលលេងបៀ - តើអ្វីជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលគូប្រជែងមានសន្លឹកបៀ? ឬឧទាហរណ៍នេះ៖ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកនឹងទទួលបានពណ៌សពីថង់ថ្មម៉ាបចំនួនម្ភៃ? វាគឺសម្រាប់បញ្ហាប្រភេទនេះដែលយើងត្រូវដឹងយ៉ាងហោចណាស់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃផ្នែកគណិតវិទ្យានេះ។

ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធរួមបញ្ចូលគ្នា

ដោយពិចារណាលើបញ្ហានៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងរូបមន្តនៃ combinatorics យើងមិនអាចជួយបានក្រៅពីយកចិត្តទុកដាក់លើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបន្សំ។ ពួកវាមិនត្រឹមតែប្រើសម្រាប់បង្កើតទេ ប៉ុន្តែក៏ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ផ្សេងៗផងដែរ។ ឧទាហរណ៍នៃគំរូបែបនេះគឺ៖

• កន្លែងស្នាក់នៅ;
• ការរៀបចំឡើងវិញ;
• ការរួមបញ្ចូលគ្នា;
• សមាសភាពលេខ;
• ការបំបែកលេខមួយ។

យើងនឹងនិយាយអំពីបីដំបូងក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀតនៅពេលក្រោយ ប៉ុន្តែយើងនឹងយកចិត្តទុកដាក់លើការតែងនិពន្ធ និងការបែងចែកនៅក្នុងផ្នែកនេះ។ នៅពេលពួកគេនិយាយអំពីសមាសភាពនៃចំនួនជាក់លាក់មួយ (ឧទាហរណ៍ a) ពួកគេមានន័យថាតំណាងឱ្យលេខ a ជាផលបូកលំដាប់នៃលេខវិជ្ជមានជាក់លាក់។ ហើយភាគថាសគឺជាផលបូកដែលមិនមានលំដាប់។

ផ្នែក

មុនពេលយើងផ្លាស់ទីដោយផ្ទាល់ទៅរូបមន្តនៃ combinatorics និងការពិចារណានៃបញ្ហា វាគឺមានតំលៃយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថា combinatorics ដូចជាសាខាផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យាមានផ្នែករងរបស់ខ្លួន។ ទាំងនេះ​រួម​បញ្ចូល​ទាំង:

• លេខរៀង;
• រចនាសម្ព័ន្ធ;
• ខ្លាំង;
• ទ្រឹស្តី Ramsey;
• ប្រូបាប៊ីលីតេ;
• topological;
• អចិន្ត្រៃយ៍។

ក្នុងករណីដំបូងយើងកំពុងនិយាយអំពី combinatorics គណនា បញ្ហាពិចារណាលើការរាប់ឬរាប់នៃការកំណត់ផ្សេងគ្នាដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយធាតុនៃសំណុំ។ តាមក្បួនមួយ ការរឹតបន្តឹងមួយចំនួនត្រូវបានដាក់លើសំណុំទាំងនេះ (ភាពខុសប្លែកគ្នា ភាពមិនអាចបែងចែកបាន លទ្ធភាពនៃការផ្ទួនគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ)។ ហើយចំនួននៃការកំណត់ទាំងនេះត្រូវបានគណនាដោយប្រើច្បាប់នៃការបូក ឬគុណ ដែលយើងនឹងនិយាយអំពីបន្តិចក្រោយមក។ ការផ្សំរចនាសម្ព័ន្ធរួមមានទ្រឹស្ដីនៃក្រាហ្វ និងម៉ាទ្រីស។ ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហា combinatorics ខ្លាំងបំផុត គឺជាទំហំធំបំផុតនៃក្រាហ្វដែលបំពេញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោម... នៅក្នុងកថាខណ្ឌទីបួន យើងបានលើកឡើងពីទ្រឹស្តី Ramsey ដែលសិក្សាអំពីវត្តមាននៃរចនាសម្ព័ន្ធធម្មតានៅក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធចៃដន្យ។ Probabilistic combinatorics អាចឆ្លើយសំណួរ - តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យមានទ្រព្យសម្បត្តិជាក់លាក់។ ដូចដែលអ្នកអាចទាយបាន ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ topological អនុវត្តវិធីសាស្រ្តក្នុង topology ។ ហើយចុងក្រោយ ចំណុចទីប្រាំពីរ - infinitary combinatorics សិក្សាពីការអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត combinatorics ទៅជាសំណុំគ្មានកំណត់។

ច្បាប់បន្ថែម

ក្នុងចំណោមរូបមន្តផ្សំគ្នា អ្នកអាចរកឃើញរូបមន្តសាមញ្ញៗ ដែលយើងធ្លាប់ស្គាល់ជាយូរមកហើយ។ ឧទាហរណ៍មួយគឺច្បាប់បូក។ ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់សកម្មភាពពីរ (C និង E) ប្រសិនបើពួកវាផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក សកម្មភាព C អាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីជាច្រើន (ឧទាហរណ៍ a) ហើយសកម្មភាព E អាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធី b បន្ទាប់មកណាមួយនៃពួកគេ ( C ឬ E) អាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធី a + b ។

តាមទ្រឹស្តី នេះពិតជាពិបាកយល់ណាស់ យើងនឹងព្យាយាមបង្ហាញចំណុចទាំងមូលដោយប្រើឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ។ ចូរ​យក​ចំនួន​សិស្ស​ជា​មធ្យម​ក្នុង​ថ្នាក់​មួយ - ចូរ​និយាយ​ថា​វា​មាន​ម្ភៃ​ប្រាំ។ ក្នុង​នោះ​មាន​ក្មេង​ស្រី​១៥​នាក់ និង​ប្រុស​១០​នាក់។ មនុស្ស​ម្នាក់​ដែល​ទទួល​ភារកិច្ច​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ឱ្យ​ទៅ​ថ្នាក់​នីមួយៗ​ជា​រៀង​រាល់​ថ្ងៃ។ តើមានវិធីប៉ុន្មានយ៉ាងក្នុងការតែងតាំងអ្នកត្រួតពិនិត្យថ្នាក់ថ្ងៃនេះ? ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាគឺសាមញ្ញណាស់ យើងនឹងងាកទៅរកច្បាប់បន្ថែម។ អត្ថបទ​នៃ​បញ្ហា​នេះ​មិន​បាន​ចែង​ថា​មាន​តែ​ប្រុស​ឬ​ស្រី​ទេ​ដែល​អាច​បំពេញ​កាតព្វកិច្ច​បាន​។ ដូច្នេះ​ហើយ វា​អាច​ជា​ក្មេង​ស្រី​ណា​ម្នាក់​ក្នុង​ចំណោម​ក្មេង​ស្រី​ទាំង​ដប់ប្រាំ​នាក់ ឬ​ក្មេង​ប្រុស​ណា​ម្នាក់​ក្នុង​ចំណោម​ក្មេង​ប្រុស​ដប់​នាក់។ ការអនុវត្តច្បាប់បូក យើងទទួលបានឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយដែលសិស្សសាលាបឋមសិក្សាអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល៖ 15 + 10។ បន្ទាប់ពីរាប់រួច យើងទទួលបានចម្លើយ៖ ម្ភៃប្រាំ។ នោះគឺមានតែវិធីម្ភៃប្រាំប៉ុណ្ណោះក្នុងការចាត់ថ្នាក់លើកាតព្វកិច្ចសម្រាប់ថ្ងៃនេះ។

ក្បួនគុណ

រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃ combinatorics រួមបញ្ចូលផងដែរនូវក្បួនគុណ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រឹស្តី។ ឧបមាថាយើងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពជាច្រើន (ក)៖ សកម្មភាពទីមួយត្រូវបានអនុវត្តក្នុង ១ វិធី ទីពីរ - ក្នុង ២ វិធី ទីបី - ក្នុង ៣ វិធី ហើយបន្តរហូតដល់សកម្មភាពចុងក្រោយអនុវត្តជា ៣ វិធី។ បន្ទាប់មកសកម្មភាពទាំងអស់នេះ (ដែលយើងមានសរុប) អាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធី N ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនា N មិនស្គាល់? រូបមន្តនឹងជួយយើងជាមួយនេះ: N = c1 * c2 * c3 *…* ca ។

ជាថ្មីម្តងទៀត គ្មានអ្វីច្បាស់លាស់នៅក្នុងទ្រឹស្ដី ដូច្នេះសូមបន្តទៅពិចារណាឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃការអនុវត្តច្បាប់គុណ។ ចូរយើងយកថ្នាក់ដូចគ្នាចំនួនម្ភៃប្រាំនាក់ដែលក្នុងនោះមានក្មេងស្រីដប់ប្រាំនាក់និងក្មេងប្រុសដប់នាក់។ មានតែលើកនេះទេដែលយើងត្រូវជ្រើសរើសមនុស្សពីរនាក់នៅលើកាតព្វកិច្ច។ ពួកគេអាចគ្រាន់តែជាក្មេងប្រុស ឬក្មេងស្រី ឬក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រី។ ចូរបន្តទៅដំណោះស្រាយបឋមនៃបញ្ហា។ យើងជ្រើសរើសមនុស្សដំបូងដែលបំពេញកាតព្វកិច្ច ដូចដែលយើងបានសម្រេចចិត្តក្នុងកថាខណ្ឌចុងក្រោយ យើងទទួលបានជម្រើសម្ភៃប្រាំ។ អ្នក​ទីពីរ​ដែល​ទទួល​បន្ទុក​អាច​ជា​មនុស្ស​ណា​មួយ​ដែល​នៅ​សេសសល់។ យើងមានសិស្សចំនួន 25 នាក់ យើងជ្រើសរើសម្នាក់ ដែលមានន័យថា អ្នកទីពីរដែលបំពេញកាតព្វកិច្ចអាចជាមនុស្ស 24 នាក់ដែលនៅសល់។ ជាចុងក្រោយ យើងអនុវត្តច្បាប់គុណ ហើយរកឃើញថា មន្ត្រីពីររូបដែលជាប់កាតព្វកិច្ចអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធីប្រាំមួយរយ។ យើងទទួលបានលេខនេះដោយគុណម្ភៃប្រាំ និងម្ភៃបួន។

ការរៀបចំឡើងវិញ

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលរូបមន្តផ្សំមួយទៀត។ នៅក្នុងផ្នែកនៃអត្ថបទនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីការផ្លាស់ប្តូរ។ យើងស្នើឱ្យពិចារណាបញ្ហាភ្លាមៗដោយប្រើឧទាហរណ៍។ ចូរយកបាល់ប៊ីយ៉ា យើងមានលេខរៀងទី យើងត្រូវរាប់ថាតើមានជម្រើសប៉ុន្មានដើម្បីរៀបចំពួកវាជាជួរ ពោលគឺបង្កើតសំណុំតាមលំដាប់។

ចូរចាប់ផ្តើម ប្រសិនបើយើងមិនមានបាល់ទេនោះ យើងក៏មានជម្រើសសូន្យសម្រាប់ការដាក់ផងដែរ។ ហើយប្រសិនបើយើងមានបាល់មួយ នោះការរៀបចំក៏ដូចគ្នាដែរ (តាមគណិតវិទ្យានេះអាចសរសេរដូចខាងក្រោមៈ P1 = 1)។ បាល់ទាំងពីរអាចត្រូវបានដាក់តាមវិធីពីរផ្សេងគ្នា: 1,2 និង 2,1 ។ ដូច្នេះ P2 = 2. បាល់បីអាចត្រូវបានរៀបចំជាប្រាំមួយវិធី (P3 = 6): 1,2,3; ១,៣,២; ២,១,៣; ២,៣,១; ៣,២,១; ៣,១,២. ចុះ​បើ​មិន​មាន​បី​គ្រាប់​ទេ ប៉ុន្តែ​ដប់ ឬ​ដប់​ប្រាំ? វានឹងចំណាយពេលយូរណាស់ក្នុងការរាយបញ្ជីជម្រើសដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ បន្ទាប់មក combinatorics មករកជំនួយរបស់យើង។ រូបមន្ត​បំប្លែង​នឹង​ជួយ​យើង​រក​ចម្លើយ​ចំពោះ​សំណួរ​ដែល​យើង​ចាប់​អារម្មណ៍។ Pn = n * P (n-1) ។ ប្រសិនបើយើងព្យាយាមធ្វើឱ្យរូបមន្តសាមញ្ញ យើងទទួលបាន៖ Pn = n* (n − 1) *…* 2 * 1. ហើយនេះគឺជាផលគុណនៃលេខធម្មជាតិដំបូង។ លេខ​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា factorial ហើយ​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ថា n!

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហា។ ជារៀងរាល់ព្រឹក ទីប្រឹក្សាតម្រង់ជួរក្រុមរបស់គាត់ (ម្ភៃនាក់)។ មានមិត្តល្អបំផុតបីនាក់នៅក្នុងក្រុម - Kostya, Sasha និង Lesha ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលពួកគេនឹងឈរក្បែរគ្នា? ដើម្បីស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរ អ្នកត្រូវបែងចែកប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផល "ល្អ" ដោយចំនួនលទ្ធផលសរុប។ ចំនួនសរុបនៃការផ្លាស់ប្តូរគឺ 20! = 2.5 លានលាន។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរាប់ចំនួនលទ្ធផល "ល្អ"? ចូរសន្មតថា Kostya, Sasha និង Lesha គឺជាកំពូលបុរសតែមួយ។ បន្ទាប់មកយើងមានតែដប់ប្រាំបីមុខវិជ្ជាប៉ុណ្ណោះ។ ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរក្នុងករណីនេះគឺ 18 = 6.5 quadrillion ។ ជាមួយនឹងអ្វីៗទាំងអស់នេះ Kostya, Sasha និង Lesha អាចផ្លាស់ទីដោយបំពានក្នុងចំណោមពួកគេនៅក្នុងបីដែលមិនអាចបំបែកបានរបស់ពួកគេ ហើយនោះជា 3 ទៀត! = 6 ជម្រើស។ នេះមានន័យថាយើងមានការរៀបចំ "ល្អ" ចំនួន 18 សរុប! *៣! អ្វីដែលយើងត្រូវធ្វើគឺស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន: (18! * 3!) / 20! ដែលស្មើនឹងប្រហែល 0.016 ។ ប្រសិនបើបំប្លែងទៅជាភាគរយ វាប្រែទៅជាត្រឹមតែ 1.6% ប៉ុណ្ណោះ។

កន្លែងស្នាក់នៅ

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលរូបមន្តផ្សំសំខាន់ និងចាំបាច់មួយទៀត។ ការដាក់គឺជាបញ្ហាបន្ទាប់របស់យើង ដែលយើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យពិចារណានៅក្នុងផ្នែកនៃអត្ថបទនេះ។ យើងទៅរកផលវិបាក។ ឧបមាថាយើងចង់ពិចារណាការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមាន មិនមែនមកពីសំណុំទាំងមូល (n) ប៉ុន្តែមកពីមួយតូចជាង (m) ។ នោះគឺយើងកំពុងពិចារណាការផ្លាស់ប្តូរធាតុ n ដោយ m ។

រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃ combinatorics មិនគួរត្រូវបានទន្ទេញចាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវយល់។ ទោះបីជាពួកវាកាន់តែស្មុគស្មាញក៏ដោយព្រោះយើងមិនមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយប៉ុន្តែមានពីរ។ ឧបមាថា m = 1 បន្ទាប់មក A = 1, m = 2 បន្ទាប់មក A = n * (n − 1) ។ ប្រសិនបើ​យើង​ធ្វើ​ឱ្យ​រូបមន្ត​កាន់តែ​សាមញ្ញ ហើយ​ប្តូរ​ទៅ​សញ្ញាណ​ដោយ​ប្រើ​ហ្វាក់តូរីយ៉ែល យើង​នឹង​ទទួល​បាន​រូបមន្ត laconic ទាំងស្រុង៖ A = n! / (ន-ម) !

បន្សំ

យើងបានពិនិត្យមើលរូបមន្តផ្សំមូលដ្ឋានស្ទើរតែទាំងអស់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃការពិចារណាលើវគ្គសិក្សានៃបន្សំមូលដ្ឋាន - ស្គាល់បន្សំ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងជ្រើសរើសធាតុ m ពី n ដែលយើងមាន ហើយយើងនឹងជ្រើសរើសអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។ តើ​វា​ខុស​គ្នា​យ៉ាង​ណា​ពី​ការ​ដាក់? យើងនឹងមិនគិតពីការបញ្ជាទិញទេ។ សំណុំ​ដែល​មិន​បាន​បញ្ជា​ទិញ​នេះ​នឹង​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំសញ្ញាណសំគាល់ភ្លាមៗ: C. យើងយកការដាក់ m balls ចេញពី n ។ យើងឈប់យកចិត្តទុកដាក់លើការបញ្ជាទិញ ហើយបញ្ចប់ដោយការផ្សំម្តងហើយម្តងទៀត។ ដើម្បី​ទទួល​បាន​ចំនួន​បន្សំ យើង​ត្រូវ​បែងចែក​ចំនួន​កន្លែង​ដោយ​ម៉ែត្រ! (m Factorial) ។ នោះគឺ C = A / m! ដូច្នេះមានតែវិធីមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះក្នុងការជ្រើសរើសពីបាល់ n ដែលស្មើនឹងចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសស្ទើរតែទាំងអស់។ មានការបញ្ចេញមតិឡូជីខលសម្រាប់រឿងនេះ: ការជ្រើសរើសតិចតួចគឺដូចគ្នានឹងការចោលអ្វីៗស្ទើរតែទាំងអស់។ វាក៏សំខាន់ផងដែរក្នុងការនិយាយនៅចំណុចនេះថាចំនួនអតិបរមានៃបន្សំអាចត្រូវបានសម្រេចនៅពេលព្យាយាមជ្រើសរើសពាក់កណ្តាលនៃធាតុ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីជ្រើសរើសរូបមន្តដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា?

យើងបានពិនិត្យលម្អិតអំពីរូបមន្តមូលដ្ឋាននៃ combinatorics: ការដាក់ ការបំប្លែង និងការបញ្ចូលគ្នា។ ឥឡូវនេះភារកិច្ចរបស់យើងគឺជួយសម្រួលដល់ការជ្រើសរើសរូបមន្តចាំបាច់សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាបន្សំ។ អ្នកអាចប្រើគ្រោងការណ៍ដ៏សាមញ្ញដូចខាងក្រោមៈ

1. សួរខ្លួនឯង៖ តើលំដាប់ដែលធាតុត្រូវយកមកពិចារណាក្នុងអត្ថបទនៃបញ្ហាឬទេ?
2. ប្រសិនបើចម្លើយគឺទេ បន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តផ្សំ (C = n! / (m! * (n - m)!)) ។
3. ប្រសិនបើចម្លើយគឺទេ នោះសំណួរមួយទៀតត្រូវឆ្លើយ៖ តើធាតុទាំងអស់រួមបញ្ចូលក្នុងបន្សំដែរឬទេ?
4. ប្រសិនបើចម្លើយគឺបាទ/ចាស ចូរប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរ (P=n!)។
5. ប្រសិនបើចម្លើយគឺទេ បន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តដាក់ (A=n!/(n-m)!)។

ឧទាហរណ៍

យើងបានពិនិត្យមើលធាតុនៃបន្សំ រូបមន្ត និងបញ្ហាមួយចំនួនទៀត។ ឥឡូវ​យើង​បន្ត​ពិចារណា​ពី​បញ្ហា​ពិត។ ស្រមៃថាអ្នកមានផ្លែគីវី ទឹកក្រូច និងចេកមួយនៅពីមុខអ្នក។

សំណួរទី១៖ តើគេអាចរៀបចំឡើងវិញបានប៉ុន្មានវិធី? ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរ: P = 3! = 6 វិធី។

សំណួរទី ២៖ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសផ្លែឈើមួយតាមរបៀបប៉ុន្មាន? នេះច្បាស់ណាស់ យើងមានជម្រើសតែបីប៉ុណ្ណោះ គឺជ្រើសរើស គីវី ក្រូច ឬចេក ប៉ុន្តែតោះអនុវត្តរូបមន្តផ្សំ៖ C=3! / (2! * 1!) = 3 ។

សំណួរទី ៣៖ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសផ្លែឈើពីរតាមរបៀបប៉ុន្មាន? តើយើងមានជម្រើសអ្វីខ្លះ? គីវី និងទឹកក្រូច; គីវី និងចេក; ផ្លែក្រូច និងចេក។ នោះ​គឺ​មាន​ជម្រើស​បី​ប៉ុន្តែ​នេះ​ជា​ការ​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ពិនិត្យ​មើល​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​រួម​គ្នា​: C = 3 ! / (1! * 2!) = 3

សំណួរទី៤៖ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសផ្លែឈើបីប្រភេទដោយរបៀបណា? ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមានវិធីតែមួយគត់ដើម្បីជ្រើសរើសផ្លែឈើបី: យក kiwi ក្រូចនិងចេក។ គ = ៣! / (0! * 3!) = 1 ។

សំណួរទីប្រាំ៖ តើអ្នកអាចជ្រើសរើសយ៉ាងហោចណាស់មួយផ្លែតាមវិធីប៉ុន្មាន? លក្ខខណ្ឌនេះមានន័យថាយើងអាចយកផ្លែឈើមួយ ពីរ ឬទាំងបី។ ដូច្នេះយើងបន្ថែម C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7 ។ នោះគឺយើងមានវិធីប្រាំពីរដើម្បីយកផ្លែឈើយ៉ាងហោចណាស់មួយពីតុ។

Combinatorics គឺជាសាខានៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាសំណួរអំពីចំនួនបន្សំផ្សេងៗគ្នា ដែលស្ថិតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃ combinatorics មានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ពីព្រោះ វាគឺជាពួកគេដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាចំនួនដែលអាចធ្វើទៅបានជាមូលដ្ឋាននៃសេណារីយ៉ូផ្សេងៗគ្នាសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍព្រឹត្តិការណ៍។

រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃ combinatorics

សូមឱ្យមានក្រុម k ហើយក្រុម i-th មានធាតុ n ។ តោះជ្រើសរើសធាតុមួយពីក្រុមនីមួយៗ។ បន្ទាប់មកចំនួនសរុប N នៃវិធីដែលជម្រើសបែបនេះអាចត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនង N = 1 * n 2 * n 3 * ... * n k ។

ឧទាហរណ៍ ១.ចូរយើងពន្យល់ពីច្បាប់នេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយ។ សូមឱ្យមានពីរក្រុមនៃធាតុហើយក្រុមទីមួយមានធាតុ n 1 និងទីពីរ - នៃធាតុ n 2 ។ តើ​ធាតុ​មួយ​គូ​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ចេញ​ពី​ក្រុម​ទាំង​ពីរ​នេះ​បាន​ប៉ុន្មាន​គូ​ផ្សេង​គ្នា ដែល​ថា​គូ​មាន​ធាតុ​មួយ​ពី​ក្រុម​នីមួយៗ? ចូរនិយាយថាយើងបានយកធាតុទីមួយពីក្រុមទីមួយហើយដោយមិនផ្លាស់ប្តូរវាឆ្លងកាត់គ្រប់គូដែលអាចធ្វើបានដោយផ្លាស់ប្តូរតែធាតុពីក្រុមទីពីរប៉ុណ្ណោះ។ វាអាចមាន n 2 គូសម្រាប់ធាតុនេះ។ បន្ទាប់មកយើងយកធាតុទីពីរពីក្រុមទីមួយហើយក៏បង្កើតគូដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់សម្រាប់វា។ វាក៏នឹងមាន n 2 គូបែបនេះផងដែរ។ ដោយសារ​តែ​មាន​ធាតុ n 1 ក្នុង​ក្រុម​ទីមួយ ជម្រើស​សរុប​ដែល​អាច​នឹង​មាន​នឹង​មាន n 1 * n 2 ។

ឧទាហរណ៍ ២.តើលេខគូបីខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានពីខ្ទង់ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 បើអាចធ្វើម្តងទៀតបាន?
ដំណោះស្រាយ៖ n 1 = 6 (ព្រោះអ្នកអាចយកលេខណាមួយពី 1, 2, 3, 4, 5, 6 ជាខ្ទង់ទីមួយ), n 2 = 7 (ព្រោះអ្នកអាចយកលេខណាមួយពី 0 ជាខ្ទង់ទីពីរ , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 = 4 (ចាប់តាំងពីលេខណាមួយពី 0, 2, 4, 6 អាចត្រូវបានយកជាខ្ទង់ទីបី) ។
ដូច្នេះ N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168 ។

ក្នុងករណីនៅពេលដែលក្រុមទាំងអស់មានចំនួនដូចគ្នានៃធាតុ, i.e. n 1 = n 2 =...n k =n យើងអាចសន្មត់ថាការជ្រើសរើសនីមួយៗត្រូវបានបង្កើតឡើងពីក្រុមដូចគ្នា ហើយធាតុបន្ទាប់ពីការជ្រើសរើសត្រូវបានត្រលប់ទៅក្រុមវិញ។ បន្ទាប់មកចំនួននៃវិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសទាំងអស់គឺ n k ។ វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសនេះនៅក្នុង combinatorics ត្រូវបានគេហៅថា គំរូជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ។

ឧទាហរណ៍ ៣.តើ​លេខ​បួន​ខ្ទង់​អាច​បង្កើត​បាន​ប៉ុន្មាន​ខ្ទង់​ពី​ខ្ទង់ ១, ៥, ៦, ៧, ៨?
ដំណោះស្រាយ។សម្រាប់ខ្ទង់នីមួយៗនៃលេខបួនខ្ទង់មានលទ្ធភាពប្រាំ ដែលមានន័យថា N=5*5*5*5=5 4=625។

ពិចារណាសំណុំដែលមានធាតុ n ។ នៅក្នុង combinatorics សំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថា ប្រជាជនទូទៅ.

ចំនួននៃការដាក់ធាតុ n ដោយ m

និយមន័យ ១.កន្លែងស្នាក់នៅពី នធាតុដោយ មនៅក្នុង combinatorics ណាមួយ។ សំណុំដែលបានបញ្ជាទិញពី មធាតុផ្សេងៗដែលបានជ្រើសរើសពីប្រជាជននៅក្នុង នធាតុ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។ការរៀបចំផ្សេងគ្នានៃធាតុបី (1, 2, 3) ដោយពីរនឹងជាសំណុំ (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , ២). កន្លែងដាក់អាចខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកទាំងនៅក្នុងធាតុ និងតាមលំដាប់របស់វា។

ចំនួននៃការដាក់នៅក្នុង combinatorics ត្រូវបានតាងដោយ A n m ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

មតិយោបល់៖ n!=1*2*3*...*n (អាន៖ “en factorial”) លើសពីនេះ វាត្រូវបានសន្មត់ថា 0!=1។

ឧទាហរណ៍ 5. តើ​មាន​លេខ​ពីរ​ខ្ទង់​ប៉ុន្មាន​ដែល​ខ្ទង់​ដប់ និង​លេខ​ខ្ទង់​ខុស​គ្នា​និង​លេខ​សេស?
ដំណោះស្រាយ៖ដោយសារតែ ប្រសិនបើមានលេខសេសចំនួន 5 គឺ 1, 3, 5, 7, 9 នោះកិច្ចការនេះចុះមកដើម្បីជ្រើសរើស និងដាក់លេខពីរក្នុងចំណោមប្រាំខ្ទង់ផ្សេងគ្នានៅក្នុងមុខតំណែងពីរផ្សេងគ្នាពោលគឺឧ។ លេខដែលបានចង្អុលបង្ហាញនឹងមានៈ

និយមន័យ 2. បន្សំពី នធាតុដោយ មនៅក្នុង combinatorics ណាមួយ។ សំណុំ unorderedពី មធាតុផ្សេងៗដែលបានជ្រើសរើសពីប្រជាជននៅក្នុង នធាតុ។

ឧទាហរណ៍ ៦. សម្រាប់សំណុំ (1, 2, 3) បន្សំគឺ (1, 2), (1, 3), (2, 3) ។

ចំនួនបន្សំនៃធាតុ n, m នីមួយៗ

ចំនួនបន្សំត្រូវបានតាងដោយ C n m ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ ៧.តើ​អ្នក​អាន​អាច​ជ្រើសរើស​សៀវភៅ​ពីរ​ក្បាល​ក្នុង​ចំណោម​ប្រាំមួយ​ក្បាល​ដែល​មាន​ក្នុង​វិធី​ប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ៖ចំនួននៃវិធីសាស្រ្តគឺស្មើនឹងចំនួននៃបន្សំនៃប្រាំមួយសៀវភៅពីរ, i.e. ស្មើ៖

ការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ n

និយមន័យ 3. Permutationពី នធាតុត្រូវបានគេហៅថាណាមួយ។ សំណុំដែលបានបញ្ជាទិញធាតុទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍ ៧ ក.ការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃសំណុំដែលមានធាតុបី (1, 2, 3) គឺ: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2) ។

ចំនួននៃការបំប្លែងផ្សេងៗនៃធាតុ n ត្រូវបានតាងដោយ P n ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត P n = n !

ឧទាហរណ៍ ៨.តើសៀវភៅប្រាំពីរក្បាលដោយអ្នកនិពន្ធផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានរៀបចំក្នុងជួរមួយនៅលើធ្នើបានប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ៖បញ្ហា​នេះ​គឺ​អំពី​ចំនួន​នៃ​ការ​កែប្រែ​សៀវភៅ​ចំនួន​ប្រាំពីរ​ផ្សេង​គ្នា។ មាន P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 វិធីក្នុងការរៀបចំសៀវភៅ។

ការពិភាក្សា។យើងឃើញថាចំនួនបន្សំដែលអាចធ្វើបានអាចត្រូវបានគណនាដោយយោងទៅតាមច្បាប់ផ្សេងៗគ្នា (ការផ្លាស់ប្តូរ បន្សំ ការដាក់) ហើយលទ្ធផលនឹងខុសគ្នា ពីព្រោះ គោលការណ៍គណនា និងរូបមន្តខ្លួនឯងគឺខុសគ្នា។ សម្លឹងមើលនិយមន័យដោយប្រុងប្រយ័ត្ន អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថាលទ្ធផលអាស្រ័យលើកត្តាជាច្រើនក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

ទីមួយ ពីចំនួនធាតុដែលយើងអាចបញ្ចូលគ្នានូវសំណុំរបស់វា (ចំនួនសរុបនៃធាតុមានទំហំប៉ុនណា)។

ទីពីរ លទ្ធផលគឺអាស្រ័យលើទំហំនៃសំណុំនៃធាតុដែលយើងត្រូវការ។

ជាចុងក្រោយ វាជាការសំខាន់ដែលត្រូវដឹងថាតើលំដាប់នៃធាតុនៅក្នុងសំណុំមានសារៈសំខាន់សម្រាប់យើងដែរឬទេ។ ចូរយើងពន្យល់ពីកត្តាចុងក្រោយដោយប្រើឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៩.មានមនុស្ស 20 នាក់មានវត្តមាននៅក្នុងកិច្ចប្រជុំមាតាបិតា។ តើ​មាន​ជម្រើស​ខុស​គ្នា​ប៉ុន្មាន​សម្រាប់​សមាសភាព​គណៈកម្មាធិកា​មេ​ដឹកនាំ​ ប្រសិនបើវា​ត្រូវ​រួម​បញ្ចូល​មនុស្ស 5 នាក់?
ដំណោះស្រាយ៖ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ យើង​មិន​ចាប់​អារម្មណ៍​នឹង​លំដាប់​នៃ​ឈ្មោះ​ក្នុង​បញ្ជី​គណៈកម្មាធិការ​ទេ។ ប្រសិនបើជាលទ្ធផល មនុស្សដូចគ្នាប្រែក្លាយជាផ្នែកមួយនៃវា នោះនៅក្នុងន័យសម្រាប់យើង នេះគឺជាជម្រើសដូចគ្នា។ ដូច្នេះយើងអាចប្រើរូបមន្តដើម្បីគណនាលេខ បន្សំនៃ 20 ធាតុ 5 គ្នា។

អ្វីៗនឹងមានភាពខុសប្លែកគ្នា ប្រសិនបើសមាជិកគណៈកម្មាធិការនីមួយៗទទួលខុសត្រូវដំបូងចំពោះផ្នែកជាក់លាក់នៃការងារ។ បន្ទាប់​មក​ដោយ​មាន​សមាសភាព​ក្នុង​បញ្ជី​ដូច​គ្នា​នៃ​គណៈកម្មាធិកា​រ ប្រហែល​ជា​មាន​ចំនួន​៥​ក្នុង​នោះ! ជម្រើស ការផ្លាស់ប្តូររឿងនោះ។ ចំនួននៃជម្រើសផ្សេងគ្នា (ទាំងនៅក្នុងសមាសភាព និងតំបន់នៃការទទួលខុសត្រូវ) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងករណីនេះដោយលេខ កន្លែងនៃ 20 ធាតុ 5 គ្នា។

ភារកិច្ចសាកល្បងខ្លួនឯង
1. តើលេខគូបីខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានខ្ទង់ពីខ្ទង់ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 បើអាចធ្វើម្តងទៀតបាន?

2. តើមានលេខប្រាំខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលអានដូចគ្នាពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេង?

3. មានដប់មុខវិជ្ជាក្នុងថ្នាក់ និងប្រាំមេរៀនក្នុងមួយថ្ងៃ។ តើអ្នកអាចបង្កើតកាលវិភាគសម្រាប់មួយថ្ងៃតាមរបៀបប៉ុន្មាន?

4. តើប្រតិភូ 4 នាក់អាចត្រូវបានជ្រើសរើសសម្រាប់សន្និសិទតាមរបៀបប៉ុន្មានប្រសិនបើមានមនុស្ស 20 នាក់នៅក្នុងក្រុម?

5. តើសំបុត្រប្រាំបីផ្សេងគ្នាអាចដាក់ក្នុងស្រោមសំបុត្រចំនួនប្រាំបីផ្សេងគ្នាបានយ៉ាងដូចម្តេច ប្រសិនបើសំបុត្រតែមួយត្រូវបានដាក់ក្នុងស្រោមសំបុត្រនីមួយៗ?

គណៈកម្មាការមួយមានគណិតវិទូពីរនាក់ និងសេដ្ឋវិទូប្រាំមួយរូប គួរតែមានគណិតវិទូបីរូប និងសេដ្ឋវិទូដប់រូប។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?

ចំនួនបន្សំ

បន្សំពី នដោយ kហៅថាសំណុំ kធាតុដែលបានជ្រើសរើសពីទិន្នន័យ នធាតុ។ សំណុំ​ដែល​ខុស​គ្នា​តែ​តាម​លំដាប់​នៃ​ធាតុ​ប៉ុណ្ណោះ (ប៉ុន្តែ​មិន​មែន​ក្នុង​សមាសភាព) ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ដូចគ្នា​បេះបិទ ហេតុ​នេះ​ហើយ​បាន​ជា​ការ​ផ្សំ​ខុស​គ្នា​ពី​កន្លែង​ដាក់។

រូបមន្តច្បាស់លាស់

ចំនួនបន្សំនៃ នដោយ k ស្មើនឹងមេគុណ binomial

សម្រាប់តម្លៃថេរ នបង្កើតមុខងារនៃចំនួនបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗពី នដោយ kគឺ៖

មុខងារបង្កើតពីរវិមាត្រនៃចំនួនបន្សំជាមួយពាក្យដដែលៗគឺ៖

តំណភ្ជាប់

• R. Stanleyការគណនាបន្សំ។ - M. : Mir, ឆ្នាំ 1990 ។
• គណនាចំនួនបន្សំតាមអ៊ីនធឺណិត

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

សូមមើលអ្វីដែល "ចំនួនបន្សំ" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

70 ចិតសិប 67 68 69 70 71 72 73 40 50 60 70 80 90 100 កត្តា: 2×5×7 កំណត់ចំណាំរ៉ូម៉ាំង: LXX Binary: 100 0110 ... Wikipedia

លេខពន្លឺ ជាលេខតាមលក្ខខណ្ឌដែលបង្ហាញតែពីខាងក្រៅ លក្ខខណ្ឌអំឡុងពេលថតរូប (ជាធម្មតាពន្លឺនៃវត្ថុ និងពន្លឺនៃសម្ភារៈថតរូបដែលបានប្រើ)។ តម្លៃណាមួយនៃ E. h. អាចត្រូវបានជ្រើសរើសច្រើនដង។ បន្សំ​ចំនួន​ជំរៅ ...... វចនានុក្រមពហុបច្ចេកទេស សព្វវចនាធិប្បាយធំ

ទម្រង់នៃលេខដែលបែងចែកវត្ថុពីរ ទាំងទាក់ទងនឹងវត្ថុតែមួយ និងទាក់ទងនឹងវត្ថុជាច្រើន។ ទម្រង់នេះមិនមាននៅក្នុងភាសារុស្ស៊ីសម័យទំនើបទេ ប៉ុន្តែសំណល់នៃឥទ្ធិពលរបស់វានៅតែមាន។ ដូច្នេះ បន្សំនៃតារាងពីរ (cf. ពហុវចនៈ ...... វចនានុក្រមនៃពាក្យភាសា

គណិតវិទ្យាបន្សំ, គណិតសាស្ត្រផ្សំ, សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការជ្រើសរើស និងការរៀបចំធាតុនៃចំនួនជាក់លាក់ ជាធម្មតាកំណត់កំណត់ដោយអនុលោមតាមវិធានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្បួននីមួយៗកំណត់វិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់ ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

នៅក្នុង combinatorics ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ by គឺជាសំណុំនៃធាតុដែលបានជ្រើសរើសពីសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលមានធាតុផ្សេងគ្នា។ សំណុំ​ដែល​ខុស​គ្នា​តែ​តាម​លំដាប់​នៃ​ធាតុ​ប៉ុណ្ណោះ (ប៉ុន្តែ​មិន​មាន​ក្នុង​សមាសភាព) ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ដូចគ្នា​បេះបិទ បន្សំ​ទាំង​នេះ ... ... វិគីភីឌា

ចូល​រួម​ក្នុង​ការ​សិក្សា​នូវ​ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​កើត​ឡើង​ដោយ​មិន​ដឹង​ច្បាស់។ វាអនុញ្ញាតឱ្យយើងវិនិច្ឆ័យភាពសមហេតុសមផលនៃការរំពឹងទុកនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនបើប្រៀបធៀបទៅនឹងការផ្សេងទៀត ទោះបីជាការចាត់តាំងតម្លៃជាលេខទៅនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ច្រើនតែមិនចាំបាច់ ...... សព្វវចនាធិប្បាយរបស់ Collier

1) ដូចគ្នានឹងការវិភាគបន្សំគណិតវិទ្យា។ 2) ផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាបឋមដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការសិក្សានៃចំនួននៃបន្សំដែលស្ថិតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ដែលអាចត្រូវបានផ្សំចេញពីសំណុំកំណត់នៃវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

- (ភាសាក្រិក paradoxos ដែលមិននឹកស្មានដល់, ចម្លែក) ក្នុងន័យទូលំទូលាយ: សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីការទទួលយកជាទូទៅ, គំនិតដែលបានបង្កើតឡើង, ការបដិសេធនៃអ្វីដែលហាក់ដូចជា "ត្រឹមត្រូវដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ"; ក្នុងន័យតូចចង្អៀត សេចក្តីថ្លែងការណ៍ប្រឆាំងពីរសម្រាប់ ...... សព្វវចនាធិប្បាយទស្សនវិជ្ជា

- (ឬគោលការណ៍នៃការរាប់បញ្ចូល និងការមិនរាប់បញ្ចូល) រូបមន្តផ្សំដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ cardinality នៃសហជីពនៃចំនួនកំណត់កំណត់ដែលក្នុងករណីទូទៅអាចប្រសព្វគ្នាទៅវិញទៅមក ... វិគីភីឌា

ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាទាក់ទងនឹងការកំណត់ចំនួននៃវិធីផ្សេងគ្នានៃការចែកចាយវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមលំដាប់ដែលគេស្គាល់; មានសារៈសំខាន់ជាពិសេសនៅក្នុងទ្រឹស្តីសមីការ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ការងារសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទនេះគឺ ...... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ F.A. Brockhaus និង I.A. អេហ្វរ៉ុន

សៀវភៅ

• លេខវាសនា។ ហោរាសាស្ត្រ ភាពឆបគ្នា។ បំណងប្រាថ្នា។ ចំណង់ចំណូលចិត្ត។ រវើរវាយ (ចំនួនភាគ៖ 3), Mayer Maxim ។ លេខវាសនា។ របៀបបង្កើតការព្យាករណ៍លេខរៀងបុគ្គល។ Numerology គឺជាប្រព័ន្ធ Esoteric បុរាណបំផុត។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវពេលវេលានៃការកើតឡើងរបស់វា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុង…

ពេលខ្លះយើងជ្រើសរើសពីមនុស្សជាច្រើន ដោយមិនគិតពីការបញ្ជាទិញ. ជម្រើសនេះត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូលគ្នា . ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកលេងបៀ អ្នកដឹងថាក្នុងស្ថានភាពភាគច្រើន លំដាប់ដែលអ្នកកាន់សន្លឹកបៀមិនសំខាន់ទេ។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកបន្សំទាំងអស់នៃអក្សរ 3 ដែលយកចេញពីសំណុំនៃ 5 អក្សរ (A, B, C, D, E) ។

ដំណោះស្រាយបន្សំទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម៖
(A, B, C), (A, B, D),
(A, B, E), (A, C, D),
(A, C, E), (A, D, E),
(B, C, D), (B, C, E),
(B, D, E), (C, D, E) ។
មាន 10 បន្សំនៃអក្សរបីដែលត្រូវបានជ្រើសរើសពីអក្សរប្រាំ។

នៅពេលដែលយើងរកឃើញបន្សំទាំងអស់ពីសំណុំដែលមានវត្ថុ 5 ប្រសិនបើយើងយកវត្ថុ 3 ក្នុងពេលតែមួយ យើងរកឃើញសំណុំរង 3 ធាតុទាំងអស់។ ក្នុងករណីនេះលំដាប់នៃវត្ថុមិនត្រូវបានពិចារណាទេ។ បន្ទាប់មក
(A, C, B) ហៅថាសំណុំដូចគ្នា (A, B, C) ។

សំណុំរង
សំណុំ A គឺជាសំណុំរងនៃ B ដែលមានន័យថា A គឺជាសំណុំរងនៃ និង/ឬដូចគ្នានឹង B ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃ A គឺជាធាតុនៃ B ។

ធាតុនៃសំណុំរងមិនត្រូវបានតម្រៀបទេ។ នៅពេលបន្សំត្រូវបានពិចារណា លំដាប់មិនត្រូវបានពិចារណាទេ!

បន្សំ
ការរួមបញ្ចូលគ្នា, មានវត្ថុ k គឺជាសំណុំរងដែលមានវត្ថុ k ។

យើងចង់សរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាចំនួនបន្សំនៃវត្ថុ n ប្រសិនបើវត្ថុ k ត្រូវបានគេយកក្នុងពេលតែមួយ។

ការរចនាបន្សំ
ចំនួននៃបន្សំនៃវត្ថុ n ប្រសិនបើវត្ថុ k ត្រូវបានគេយកក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះត្រូវបានតំណាង n C k ។

យើងហៅ n C k ចំនួននៃការផ្សំ . យើងចង់សរសេររូបមន្តទូទៅសម្រាប់ n C k សម្រាប់ k ≤ n ។ ដំបូងវាជាការពិតដែល n C n = 1 ពីព្រោះសំណុំដែលមានធាតុ n មានសំណុំរងតែមួយជាមួយធាតុ n ដែលជាសំណុំខ្លួនវាផ្ទាល់។ ទីពីរ n C 1 = n ពីព្រោះសំណុំដែលមានធាតុ n មានតែ n រងដែលមានធាតុ 1 នីមួយៗ។ ចុងក្រោយ n C 0 = 1 ព្រោះសំណុំដែលមានធាតុ n មានសំណុំរងតែមួយដែលមានធាតុ 0 នោះគឺជាសំណុំទទេ ∅ ។ ដើម្បីមើលបន្សំផ្សេងទៀត សូមត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍ទី 1 ហើយប្រៀបធៀបចំនួនបន្សំជាមួយនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរ។

សូមចំណាំថាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ 3 នីមួយៗមាន 6 ឬ 3 !, permutations ។
៣! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5 ។ ៤. ៣,
ដូច្នេះ
.
ជាទូទៅចំនួនបន្សំនៃធាតុ k ដែលបានជ្រើសរើសពីវត្ថុ n ការបំប្លែង C k ដងនៃធាតុទាំងនេះ k! ត្រូវតែស្មើនឹងចំនួននៃការបំប្លែងធាតុ n ដោយធាតុ k៖
ក !. n C k = n P k
n C k = n P k/k !
n C k = (1/k!) ។ n P k
n C k =

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវត្ថុ k ពីវត្ថុ n
ចំនួនសរុបនៃបន្សំនៃធាតុ k ពីវត្ថុ n ត្រូវបានតាងដោយ n C k កំណត់ដោយ
(1) n C k = ,
ឬ
(2) n C k =

ប្រភេទមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ n C k គឺ មេគុណ binomial . ហេតុផលសម្រាប់វាក្យសព្ទនេះនឹងច្បាស់នៅខាងក្រោម។

មេគុណប៊ីណូមីន

ឧទាហរណ៍ ២គណនាដោយប្រើរូបមន្ត (1) និង (2) ។

ដំណោះស្រាយ
ក) យោងតាម ​​(១)
.
ខ) យោងតាម ​​(២)

សូមចងចាំថា n/k មិនមានន័យទេ។

ឧទាហរណ៍ ៣គណនា និង។

ដំណោះស្រាយយើងប្រើរូបមន្ត (1) សម្រាប់កន្សោមទីមួយ និងរូបមន្ត (2) សម្រាប់ទីពីរ។ បន្ទាប់មក
,
ដោយប្រើ (1), និង
,
ដោយប្រើរូបមន្ត (2) ។

ចំណាំ​ថា
,
ហើយការប្រើលទ្ធផលនៃឧទាហរណ៍ទី 2 ផ្តល់ឱ្យយើង
.
វាធ្វើតាមថាចំនួននៃធាតុរង 5 នៃសំណុំនៃធាតុ 7 គឺដូចគ្នានឹងចំនួននៃធាតុរង 2 នៃសំណុំនៃធាតុ 7 ។ នៅពេលដែលធាតុ 5 ត្រូវបានជ្រើសរើសពីសំណុំ វាមិនរួមបញ្ចូលធាតុ 2 ទេ។ ដើម្បីមើលរឿងនេះ សូមពិចារណាលើសំណុំ (A, B, C, D, E, F, G)៖


ជាទូទៅយើងមានដូចខាងក្រោម។ លទ្ធផលនេះផ្តល់នូវវិធីជំនួសដើម្បីគណនាបន្សំ។

សំណុំរងនៃទំហំ k និងទំហំ
និង n C k = n C n-k
ចំនួននៃសំណុំរងនៃទំហំ k នៃសំណុំជាមួយវត្ថុ n គឺដូចគ្នាទៅនឹងចំនួននៃសំណុំរងនៃទំហំ n - k ចំនួននៃបន្សំនៃវត្ថុ k ពីសំណុំនៃវត្ថុ n គឺដូចគ្នាទៅនឹងចំនួននៃបន្សំនៃ n វត្ថុដែលបានយកក្នុងពេលតែមួយ។

ឥឡូវនេះយើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយបន្សំ។

ឧទាហរណ៍ 4 ឆ្នោតមីឈីហ្គែន។ ឆ្នោតពីរដងប្រចាំសប្តាហ៍របស់ Michigan WINFALL មាន Jackpot យ៉ាងហោចណាស់ 2 លានដុល្លារ។ សម្រាប់មួយដុល្លារ អ្នកលេងអាចកាត់ចេញនូវលេខ 6 ណាមួយពីលេខ 1 ដល់លេខ 49។ ប្រសិនបើលេខទាំងនេះត្រូវគ្នានឹងលេខដែលបានចាប់នៅក្នុងឆ្នោត នោះអ្នកលេងនឹងឈ្នះ។ (

កន្លែងទីមួយក្នុងជួរដេកអាចជាធាតុ N ណាមួយ ដូច្នេះមានជម្រើស N ។ នៅក្នុងកន្លែងទីពីរ - ណាមួយលើកលែងតែមួយដែលបានប្រើរួចហើយសម្រាប់កន្លែងដំបូង។ ដូច្នេះសម្រាប់ជម្រើស N នីមួយៗដែលបានរកឃើញរួចហើយ មានជម្រើសទីពីរ (N - 1) ហើយចំនួនសរុបនៃបន្សំក្លាយជា N * (N - 1) ។
ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់ធាតុដែលនៅសល់នៃស៊េរី។ សម្រាប់កន្លែងចុងក្រោយ នៅសល់ជម្រើសតែមួយគត់ - ធាតុចុងក្រោយដែលនៅសល់។ សម្រាប់ការបញ្ចប់ចុងក្រោយមានជម្រើសពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើ។
ដូច្នេះ សម្រាប់ស៊េរីនៃធាតុដែលមិនកើតឡើងដដែលៗ N ការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមានគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួនគត់ទាំងអស់ចាប់ពី 1 ដល់ N ។ ផលិតផលនេះត្រូវបានគេហៅថា N និង N! (អាន "en factorial") ។

ក្នុងករណីមុន ចំនួនធាតុដែលអាចធ្វើបាន និងចំនួនកន្លែងក្នុងជួរដេកស្របគ្នា ហើយចំនួនរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង N. ប៉ុន្តែស្ថានភាពមួយគឺអាចធ្វើទៅបាននៅពេលដែលមានកន្លែងតិចជាងនៅក្នុងជួរដេកជាងមានធាតុដែលអាចធ្វើបាន។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតចំនួននៃធាតុនៅក្នុងគំរូគឺស្មើនឹងចំនួនជាក់លាក់ M និង M< N. В этом случае задача определения возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
ជាដំបូង អ្នកប្រហែលជាត្រូវរាប់ចំនួនសរុបនៃវិធីដែលអាចធ្វើទៅបានដែលធាតុ M ចេញពី N អាចត្រូវបានរៀបចំជាជួរ។
ទីពីរ អ្នកស្រាវជ្រាវអាចចាប់អារម្មណ៍លើចំនួនវិធីដែលធាតុ M អាចត្រូវបានជ្រើសរើសពី N. ក្នុងករណីនេះ លំដាប់នៃធាតុមិនសំខាន់ទៀតទេ ប៉ុន្តែជម្រើសទាំងពីរត្រូវតែខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ . វិធីសាស្រ្តបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាបន្សំ។

ដើម្បីស្វែងរកចំនួននៃការដាក់ធាតុ M ចេញពី N អ្នកអាចងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រនៃការវែកញែកដូចគ្នានឹងករណីនៃការបំប្លែង។ វានៅតែអាចមានធាតុ N នៅកន្លែងដំបូង N - 1 នៅក្នុងកន្លែងទីពីរ។ល។ ប៉ុន្តែសម្រាប់កន្លែងចុងក្រោយចំនួនជម្រើសដែលអាចធ្វើបានគឺមិនស្មើនឹងមួយប៉ុន្តែ (N - M + 1) ចាប់តាំងពីពេលដែលការដាក់ត្រូវបានបញ្ចប់វានឹងនៅតែមាន (N - M) ធាតុដែលមិនប្រើ។
ដូច្នេះចំនួននៃការដាក់ធាតុ M ពី N គឺស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនគត់ពី (N - M + 1) ដល់ N ឬ អ្វីដូចគ្នា កូតា N!/(N - M)!។

ជាក់ស្តែង ចំនួននៃបន្សំនៃធាតុ M ពី N នឹងតិចជាងចំនួនកន្លែងដាក់។ សម្រាប់រាល់ការផ្សំដែលអាចធ្វើបានមាន M! ទីតាំងដែលអាចធ្វើបានអាស្រ័យលើលំដាប់នៃធាតុនៃការរួមបញ្ចូលគ្នានេះ។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកបរិមាណនេះ អ្នកត្រូវបែងចែកចំនួននៃការដាក់ធាតុ M ពី N ដោយ N ! និយាយម្យ៉ាងទៀតចំនួនបន្សំនៃធាតុ M ពី N គឺស្មើនឹង N!/(M!*(N - M)!) ។

ប្រភព៖

• ចំនួននៃការផ្សំ

រោងចក្រលេខធម្មជាតិគឺជាផលនៃលេខធម្មជាតិពីមុនទាំងអស់ រួមទាំងលេខខ្លួនឯងផងដែរ។ រោងចក្រសូន្យស្មើនឹងមួយ។ វាហាក់ដូចជាថាការគណនាហ្វាតូរីយ៉ែលនៃលេខគឺសាមញ្ញណាស់ - គ្រាន់តែគុណលេខធម្មជាតិទាំងអស់មិនលើសពីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តម្លៃនៃហ្វាក់តូរីសកើនឡើងយ៉ាងលឿន ដែលម៉ាស៊ីនគិតលេខមួយចំនួនមិនអាចទប់ទល់នឹងកិច្ចការនេះបានទេ។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ

• ម៉ាស៊ីនគិតលេខ, កុំព្យូទ័រ

សេចក្តីណែនាំ

ដើម្បីគណនាហ្វាក់តូរីសនៃចំនួនធម្មជាតិ គុណទាំងអស់ មិនត្រូវលើសពីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ។ លេខនីមួយៗត្រូវបានរាប់តែម្តងប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុង​ទម្រង់​រូបមន្ត​នេះ​អាច​សរសេរ​បាន​ដូច​តទៅ៖ ន! = 1*2*3*4*5*…*(n-2)*(n-1)*n ដែល n ជាចំនួនធម្មជាតិដែលកត្តាត្រូវគណនា។
0! ត្រូវបានគេយកទៅស្មើនឹងមួយ (0!=1)។ នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់កើនឡើង តម្លៃនៃហ្វាក់តូរីសកើនឡើងយ៉ាងលឿន ដូច្នេះ ធម្មតា (គណនេយ្យ) មួយរួចហើយសម្រាប់ហ្វាក់តូរីយ៉ែលនៃ 15 អាចផ្តល់កំហុសជំនួសឱ្យ លទ្ធផល។

ដើម្បីគណនាហ្វាក់តូរីយ៉ែលនៃចំនួនធម្មជាតិដ៏ធំ សូមយកម៉ាស៊ីនគណនាវិស្វកម្ម។ នោះគឺម៉ាស៊ីនគិតលេខបែបនេះនៅលើក្តារចុចមាននិមិត្តសញ្ញានៃអនុគមន៍គណិតវិទ្យា (cos, sin, √)។ វាយលេខដើមទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខ ហើយបន្ទាប់មកចុចប៊ូតុង Factorial ។ ជាធម្មតាប៊ូតុងមួយដូចជា "n!" ឬស្រដៀងគ្នា (ជំនួសឱ្យ "n" វាអាចមាន "N" ឬ "x" ប៉ុន្តែសញ្ញាឧទាន "!
សម្រាប់តម្លៃធំនៃអាគុយម៉ង់ លទ្ធផលគណនាចាប់ផ្តើមបង្ហាញក្នុងទម្រង់ "និទស្សន្ត" (អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល)។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ហ្វាក់តូរីយ៉ែល 50 នឹងត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់៖ 3.0414093201713378043612608166065e+64 (ឬស្រដៀងគ្នា)។ ដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលនៃការគណនាក្នុងទម្រង់ធម្មតា សូមបន្ថែមលេខសូន្យទៅលេខដែលបង្ហាញនៅពីមុខនិមិត្តសញ្ញា “e” ដូចដែលបានចង្អុលបង្ហាញបន្ទាប់ពី “e+” (ប្រសិនបើមានចន្លោះគ្រប់គ្រាន់)។