វិធីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងកម្រិតអវិជ្ជមាន។ វិធីបង្កើនថាមពលអវិជ្ជមាន - ឧទាហរណ៍ដោយប្រើលេខធម្មតា។ បង្កើនលេខទៅជាថាមពលធម្មជាតិ

រូបមន្តសញ្ញាប័ត្រប្រើក្នុងដំណើរការកាត់បន្ថយ និងភាពសាមញ្ញ កន្សោមស្មុគស្មាញក្នុងការដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាព។

ចំនួន គគឺ ន- អំណាចនៃលេខមួយ។ កពេលណា​:

ប្រតិបត្តិការជាមួយសញ្ញាបត្រ។

1. គុណអំណាចនៃ គ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។សូចនាកររបស់ពួកគេបន្ថែម៖

ម·a n = a m + n ។

2. នៅពេលចែកដឺក្រេជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តរបស់វាត្រូវបានដក៖

3. អំណាចនៃផលិតផលនៃ 2 ឬ ច្រើនទៀតកត្តាគឺស្មើនឹងផលនៃអំណាចនៃកត្តាទាំងនេះ៖

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. កម្រិតនៃប្រភាគគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃដឺក្រេនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖

(a/b) n = a n / b n ។

5. ការបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពលមួយ និទស្សន្តត្រូវបានគុណ:

(a m) n = a m n ។

រូបមន្តនីមួយៗខាងលើគឺពិតក្នុងទិសដៅពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងច្រាសមកវិញ។

ឧទាហរណ៍. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ប្រតិបត្តិការជាមួយឫស។

1. ឫសគល់នៃផលនៃកត្តាជាច្រើនស្មើនឹងផលនៃឬសនៃកត្តាទាំងនេះ៖

2. ឫសនៃសមាមាត្រស្មើនឹងសមាមាត្រនៃភាគលាភ និងការបែងចែកឫស៖

3. ពេល​លើក​ឫស​ទៅ​ជា​អំណាច វា​គ្រប់គ្រាន់​ដើម្បី​បង្កើន​ចំនួន​រ៉ាឌីកាល់​ដល់​អំណាច​នេះ៖

4. ប្រសិនបើអ្នកបង្កើនកម្រិតនៃឫសនៅក្នុង នម្តងនិងក្នុងពេលតែមួយបង្កើតជា ន th power គឺជាលេខរ៉ាឌីកាល់ បន្ទាប់មកតម្លៃរបស់ root នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

5. ប្រសិនបើអ្នកកាត់បន្ថយកម្រិតនៃឫសនៅក្នុង នទាញយកឫសក្នុងពេលតែមួយ ន-th power នៃចំនួនរ៉ាឌីកាល់ បន្ទាប់មកតម្លៃនៃ root នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

សញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមាន។អំណាចនៃចំនួនជាក់លាក់ដែលមាននិទស្សន្តមិនវិជ្ជមាន (ចំនួនគត់) ត្រូវបានកំណត់ថាជាចំនួនមួយដែលបែងចែកដោយថាមពលនៃចំនួនដូចគ្នាជាមួយនឹងនិទស្សន្តស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតនៃនិទស្សន្តមិនវិជ្ជមាន៖

រូបមន្ត ម៖ a n = a m - nអាចត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែសម្រាប់ ម> នប៉ុន្តែក៏ជាមួយ ម< ន.

ឧទាហរណ៍. ក៤៖ ក ៧ = ក ៤ ដល់ ៧ = ក -៣.

ទៅរូបមន្ត ម៖ a n = a m - nបានក្លាយជាយុត្តិធម៌នៅពេលដែល m=n, វត្តមាននៃសូន្យដឺក្រេគឺត្រូវបានទាមទារ។

សញ្ញាប័ត្រដែលមានសន្ទស្សន៍សូន្យ។អំណាចនៃលេខណាមួយមិនស្មើនឹងសូន្យ ជាមួយនិទស្សន្តសូន្យគឺស្មើនឹងមួយ។

ឧទាហរណ៍. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ។ដើម្បីបង្កើនចំនួនពិត កដល់កម្រិត m/nអ្នកត្រូវដកឫស នកម្រិតនៃ ម- អំណាចនៃលេខនេះ។ ក.

លេខ​មួយ​បាន​លើក​ឡើង​ជា​អំណាចពួកគេហៅលេខដែលគុណដោយខ្លួនវាច្រើនដង។

ថាមពលនៃលេខដែលមានតម្លៃអវិជ្ជមាន (a - n) អាចត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នាទៅនឹងរបៀបដែលអំណាចនៃចំនួនដូចគ្នាជាមួយនឹងនិទស្សន្តវិជ្ជមានត្រូវបានកំណត់ (a n) . ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាក៏ទាមទារនិយមន័យបន្ថែមផងដែរ។ រូបមន្តត្រូវបានកំណត់ជា៖

a-n = (1/a n)

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចអវិជ្ជមាននៃលេខគឺស្រដៀងទៅនឹងអំណាចដែលមាននិទស្សន្តវិជ្ជមាន។ សមីការដែលបានបង្ហាញ ក m/a n= មួយ m-n ប្រហែលជាយុត្តិធម៌

« គ្មានកន្លែងណាទេ ដូចជានៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែរ តើភាពច្បាស់លាស់ និងភាពត្រឹមត្រូវនៃការសន្និដ្ឋានអាចឱ្យមនុស្សម្នាក់ពិបាកឆ្លើយដោយនិយាយជុំវិញសំណួរ».

A.D. Alexandrov

នៅ ន ច្រើនទៀត ម , និងជាមួយ ម ច្រើនទៀត ន . តោះមើលឧទាហរណ៍៖ 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

ដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់លេខដែលដើរតួជានិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ។ b=a(-n) . ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។ -n គឺជានិទស្សន្ត ខ - តម្លៃលេខដែលចង់បាន ក - មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេក្នុងទម្រង់នៃតម្លៃលេខធម្មជាតិ។ បន្ទាប់មកកំណត់ម៉ូឌុល ពោលគឺតម្លៃដាច់ខាត លេខអវិជ្ជមានដែលដើរតួជានិទស្សន្ត។ គណនាកម្រិតនៃលេខដែលផ្តល់ឲ្យទាក់ទងទៅនឹងចំនួនដាច់ខាត ជាសូចនាករ។ តម្លៃនៃសញ្ញាបត្រត្រូវបានរកឃើញដោយបែងចែកមួយដោយលេខលទ្ធផល។

អង្ករ។ ១

ពិចារណាអំណាចនៃលេខដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគអវិជ្ជមាន។ ចូរយើងស្រមៃថាលេខ a គឺជាលេខវិជ្ជមានណាមួយ លេខ ន និង ម - ចំនួនគត់។ តាមនិយមន័យ ក ដែលត្រូវបានលើកឡើងពីអំណាច - ស្មើនឹងមួយចែកដោយចំនួនដូចគ្នាជាមួយ សញ្ញាបត្រវិជ្ជមាន(រូបភាព​ទី 1)។ នៅពេលដែលអំណាចនៃលេខជាប្រភាគ នោះក្នុងករណីបែបនេះមានតែលេខដែលមាននិទស្សន្តវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានប្រើប្រាស់។

មានតម្លៃចងចាំថាសូន្យមិនអាចជានិទស្សន្តនៃលេខបានទេ (ច្បាប់នៃការបែងចែកដោយសូន្យ)។

ការរីករាលដាលនៃគោលគំនិតដូចជាលេខបានក្លាយជាឧបាយកលដូចជាការគណនារង្វាស់ ក៏ដូចជាការវិវឌ្ឍន៍នៃគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រ។ សេចក្តីណែនាំនៃតម្លៃអវិជ្ជមានគឺដោយសារតែការអភិវឌ្ឍនៃពិជគណិតដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដំណោះស្រាយទូទៅបញ្ហានព្វន្ធ ដោយមិនគិតពីអត្ថន័យជាក់លាក់របស់វា និងទិន្នន័យជាលេខដំបូង។ នៅប្រទេសឥណ្ឌា ត្រលប់ទៅសតវត្សទី 6-11 លេខអវិជ្ជមានត្រូវបានប្រើជាប្រព័ន្ធនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា ហើយត្រូវបានបកស្រាយតាមរបៀបដូចសព្វថ្ងៃនេះ។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រអ៊ឺរ៉ុប លេខអវិជ្ជមានបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ ដោយសារលោក R. Descartes ដែលបានផ្តល់ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃលេខអវិជ្ជមានជាទិសដៅនៃផ្នែក។ វាគឺជា Descartes ដែលស្នើឱ្យកំណត់លេខដែលលើកឡើងទៅជាអំណាច ដើម្បីបង្ហាញជារូបមន្តពីរជាន់។ មួយ n .

នៅក្នុងសម្ភារៈនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលថាតើថាមពលនៃលេខគឺជាអ្វី។ បន្ថែមពីលើនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន យើងនឹងបង្កើតនូវអ្វីដែលអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ ចំនួនគត់ និទស្សន្ត និងនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល។ ដូចរាល់ដង គំនិតទាំងអស់នឹងត្រូវបានបង្ហាញជាមួយនឹងបញ្ហាឧទាហរណ៍។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវចងចាំច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃគុណ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ជាមុនថាសម្រាប់ពេលនេះយើងនឹងយកចំនួនពិតជាមូលដ្ឋាន (តំណាងដោយអក្សរ a) និងលេខធម្មជាតិជាសូចនាករ (តំណាងដោយអក្សរ n) ។

និយមន័យ ១

អំណាចនៃចំនួន a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ n គឺជាផលគុណនៃកត្តាទី 9 ដែលនីមួយៗស្មើនឹងចំនួន a ។ សញ្ញាបត្រត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖ មួយ nហើយក្នុងទម្រង់រូបមន្ត សមាសភាពរបស់វាអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនិទស្សន្តគឺ 1 ហើយមូលដ្ឋានគឺ a នោះអំណាចដំបូងនៃ a ត្រូវបានសរសេរជា ក ១. ដោយសារ a គឺជាតម្លៃនៃកត្តា ហើយ 1 គឺជាចំនួនកត្តា យើងអាចសន្និដ្ឋានបាន។ a 1 = ក.

ជាទូទៅយើងអាចនិយាយបានថាសញ្ញាបត្រគឺជាទម្រង់ងាយស្រួលនៃការថត បរិមាណដ៏ច្រើន។កត្តាស្មើគ្នា។ ដូច្នេះកំណត់ត្រានៃទម្រង់ ៨ ៨ ៨ ៨អាចត្រូវបានខ្លីទៅ 8 4 . ដូចគ្នាដែរ ការងារមួយជួយយើងជៀសវាងការថត ចំនួន​ច្រើនលក្ខខណ្ឌ (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); យើងបានពិភាក្សារឿងនេះរួចហើយនៅក្នុងអត្ថបទដែលឧទ្ទិសដល់គុណនៃលេខធម្មជាតិ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីអានសញ្ញាប័ត្រឱ្យបានត្រឹមត្រូវ? ជម្រើសដែលទទួលយកជាទូទៅគឺ "a ទៅអំណាចនៃ n" ។ ឬអ្នកអាចនិយាយថា "អំណាចទី 1 នៃ" ឬ "អានុភាព" ។ ប្រសិនបើនិយាយនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលយើងជួបប្រទះធាតុ 8 12 យើងអាចអាន "8 ដល់អំណាចទី 12", "8 ដល់អំណាចនៃ 12" ឬ "អំណាចទី 12 នៃ 8" ។

អំណាចទីពីរនិងទីបីនៃលេខមានឈ្មោះផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ: ការ៉េនិងគូប។ ប្រសិនបើយើងឃើញអំណាចទីពីរ ឧទាហរណ៍ លេខ 7 (7 2) នោះយើងអាចនិយាយបានថា "7 squared" ឬ "square of the number 7"។ ដូចគ្នានេះដែរសញ្ញាបត្រទីបីត្រូវបានអានដូចនេះ: 5 3 - នេះគឺជា "គូបនៃលេខ 5" ឬ "5 cubed" ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកក៏អាចប្រើទម្រង់ស្តង់ដារ "ទៅថាមពលទីពីរ/ទីបី" នេះនឹងមិនខុសទេ។

ឧទាហរណ៍ ១

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ៖ សម្រាប់ 5 7 ប្រាំនឹងជាមូលដ្ឋាន ហើយប្រាំពីរនឹងជានិទស្សន្ត។

មូលដ្ឋានមិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់ទេ៖ សម្រាប់ដឺក្រេ (4 , 32) 9 មូលដ្ឋាននឹងជាប្រភាគ 4, 32 ហើយនិទស្សន្តនឹងមានប្រាំបួន។ យកចិត្តទុកដាក់លើវង់ក្រចក៖ ការសម្គាល់នេះត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់អំណាចទាំងអស់ដែលមូលដ្ឋានខុសគ្នាពីលេខធម្មជាតិ។

ឧទាហរណ៍៖ ១ ២ ៣, (- ៣) ១២, - ២ ៣ ៥ ២, ២, ៤ ៣៥ ៥, ៧ ៣។

តើវង់ក្រចកសម្រាប់អ្វី? ពួកគេជួយជៀសវាងកំហុសក្នុងការគណនា។ ឧបមាថាយើងមានធាតុពីរ៖ (− 2) 3 និង − 2 3 . ទីមួយនៃចំនួនទាំងនេះមានន័យថា លេខអវិជ្ជមាន ដកពីរ ឡើងដល់ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិនៃបី។ ទីពីរគឺជាលេខដែលត្រូវនឹងតម្លៃផ្ទុយនៃដឺក្រេ 2 3 .

ពេលខ្លះនៅក្នុងសៀវភៅអ្នកអាចរកឃើញអក្ខរាវិរុទ្ធខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចនៃអំណាចនៃលេខ - a^n(ដែល a គឺជាមូលដ្ឋាន ហើយ n គឺជានិទស្សន្ត) ។ នោះគឺ 4^9 គឺដូចគ្នានឹង 4 9 . ប្រសិនបើ n ជាលេខច្រើនខ្ទង់ វាត្រូវបានដាក់ក្នុងវង់ក្រចក។ ឧទាហរណ៍ 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងប្រើសញ្ញាណ មួយ nដូចធម្មតាជាង។

វាងាយស្រួលក្នុងការទាយពីរបៀបគណនាតម្លៃនៃនិទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិពីនិយមន័យរបស់វា៖ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវគុណចំនួន nth នៃដង។ យើងបានសរសេរបន្ថែមអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទមួយទៀត។

គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រគឺជាការបញ្ច្រាសនៃគំនិតគណិតវិទ្យាមួយផ្សេងទៀត - ឫសនៃចំនួនមួយ។ ប្រសិនបើយើងដឹងពីតម្លៃនៃថាមពល និងនិទស្សន្តនោះ យើងអាចគណនាមូលដ្ឋានរបស់វា។ សញ្ញាបត្រមានខ្លះ លក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់មានប្រយោជន៍សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលយើងបានពិភាក្សានៅក្នុងសម្ភារៈដាច់ដោយឡែកមួយ។

និទស្សន្តអាចរួមបញ្ចូលមិនត្រឹមតែចំនួនធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងតម្លៃចំនួនគត់ជាទូទៅ រួមទាំងលេខអវិជ្ជមាន និងលេខសូន្យ ព្រោះវាក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំចំនួនគត់ផងដែរ។

និយមន័យ ២

អំណាចនៃលេខដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់វិជ្ជមានអាចត្រូវបានតំណាងជារូបមន្ត៖ .

ក្នុងករណីនេះ n គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

ចូរយើងយល់ពីគំនិតនៃសូន្យដឺក្រេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន យើងប្រើវិធីសាស្រ្តដែលគិតគូរពីទ្រព្យសម្បត្តិកូតាសម្រាប់អំណាចដែលមានមូលដ្ឋានស្មើគ្នា។ វាត្រូវបានរៀបចំដូចនេះ៖

និយមន័យ ៣

សមភាព a m: a n = a m − nនឹងជាការពិតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖ m និង n គឺជាលេខធម្មជាតិ m< n , a ≠ 0 .

លក្ខខណ្ឌចុងក្រោយគឺសំខាន់ព្រោះវាជៀសវាងការបែងចែកដោយសូន្យ។ ប្រសិនបើតម្លៃនៃ m និង n ស្មើគ្នានោះយើងទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម: a n : a n = a n − n = a 0

ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នា a n: a n = 1 គឺជាកូតានៃចំនួនស្មើគ្នា មួយ nនិង ក. វាប្រែថាអំណាចសូន្យនៃលេខដែលមិនសូន្យគឺស្មើនឹងមួយ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភ័ស្តុតាងបែបនេះមិនអនុវត្តចំពោះសូន្យទៅថាមពលសូន្យទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវការទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចមួយទៀត - ទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានស្មើគ្នា។ វាមើលទៅដូចនេះ៖ a m · a n = a m + n .

ប្រសិនបើ n ស្មើនឹង 0 នោះ a m · a 0 = a m(សមភាពនេះក៏បង្ហាញឱ្យយើងឃើញដែរ។ a 0 = 1) ប៉ុន្តែប្រសិនបើ និងស្មើសូន្យ នោះសមភាពរបស់យើងមានទម្រង់ 0 m · 0 0 = 0 mវានឹងជាការពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ n ហើយវាមិនមានបញ្ហាអ្វីដែលពិតប្រាកដនៃតម្លៃនៃដឺក្រេគឺស្មើនឹង 0 0 នោះគឺវាអាចស្មើនឹងចំនួនណាមួយ ហើយវានឹងមិនប៉ះពាល់ដល់ភាពត្រឹមត្រូវនៃសមភាពនោះទេ។ ដូច្នេះកំណត់ចំណាំនៃទម្រង់ 0 0 មិនមានអត្ថន័យពិសេសរបស់វាទេ ហើយយើងនឹងមិនសន្មតថាវាទៅជាវាទេ។

ប្រសិនបើចង់បានវាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យវា។ a 0 = 1រួម​ជាមួយ​លក្ខណៈ​ដឺក្រេ​ (a m) n = a m nផ្តល់ថាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រមិនមែនជាសូន្យ។ ដូច្នេះអំណាចនៃលេខដែលមិនសូន្យជាមួយនិទស្សន្តសូន្យគឺមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដែលមានលេខជាក់លាក់៖ ដូច្នេះ, 5 0 - ឯកតា, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , និងតម្លៃ 0 0 មិនបានកំណត់។

បន្ទាប់​ពី​សូន្យ​ដឺក្រេ យើង​គ្រាន់​តែ​រក​ឱ្យ​ឃើញ​ថា​សញ្ញាបត្រ​អវិជ្ជមាន​គឺ​ជា​អ្វី។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវការទ្រព្យសម្បត្តិដូចគ្នានៃផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានស្មើគ្នាដែលយើងបានប្រើរួចហើយខាងលើ: a m · a n = a m + n ។

ចូរយើងណែនាំលក្ខខណ្ឌ៖ m = − n បន្ទាប់មក a មិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ។ វាធ្វើតាមនោះ។ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. វាប្រែថា a n និង a−nយើងមានលេខទៅវិញទៅមក។

ជាលទ្ធផល a ទៅថាមពលទាំងមូលអវិជ្ជមានគឺគ្មានអ្វីលើសពីប្រភាគ 1 a n ។

រូបមន្តនេះបញ្ជាក់ថាសម្រាប់សញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមានចំនួនគត់ លក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាទាំងអស់មានសុពលភាពដែលសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិមាន (ផ្តល់ថាមូលដ្ឋានមិនស្មើនឹងសូន្យ)។

ឧទាហរណ៍ ៣

អំណាច a ដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់អវិជ្ជមាន n អាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ 1 a n ។ ដូច្នេះ a - n = 1 a n ប្រធានបទ a ≠ 0និង n - ណាមួយ។ លេខធម្មជាតិ.

ចូរយើងបង្ហាញគំនិតរបស់យើងជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖

ឧទាហរណ៍ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

នៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយនៃកថាខណ្ឌ យើងនឹងព្យាយាមពណ៌នាអ្វីៗទាំងអស់ដែលបាននិយាយយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងរូបមន្តមួយ៖

និយមន័យ ៤

អំណាចនៃលេខដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ z គឺ៖ a z = a z, e ជាមួយ l និង z - ចំនួនគត់វិជ្ជមាន 1, z = 0 និង a ≠ 0, (សម្រាប់ z = 0 និង a = 0 លទ្ធផលគឺ 0 0 តម្លៃនៃកន្សោម 0 0 មិនត្រូវបានកំណត់ទេ) 1 a z ប្រសិនបើ និង z ជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន និង ≠ 0 (ប្រសិនបើ z ជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន និង a = 0 អ្នកទទួលបាន 0 z, egoz តម្លៃគឺមិនត្រូវបានកំណត់)

តើអ្វីទៅជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល?

យើងបានពិនិត្យករណីនៅពេលដែលនិទស្សន្តមានចំនួនគត់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកអាចលើកលេខទៅជាថាមពលមួយ ទោះបីជានិទស្សន្តរបស់វាមានលេខប្រភាគក៏ដោយ។ នេះ​គេ​ហៅថា​សញ្ញាបត្រ គ សូចនាករសមហេតុផល. នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងបង្ហាញថា វាមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាទៅនឹងអំណាចដទៃទៀត។

តើ​មាន​រឿង​អ្វី​កើតឡើង លេខសមហេតុផល? ពូជរបស់ពួកគេរួមមានទាំងទាំងមូលនិង លេខប្រភាគខណៈពេលដែលលេខប្រភាគអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគធម្មតា (ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន)។ ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យនៃអំណាចនៃចំនួន a ជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ m/n ដែល n ជាលេខធម្មជាតិ ហើយ m ជាចំនួនគត់។

យើងមានកម្រិតខ្លះជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ a m n ។ ដើម្បីឱ្យអំណាចអំណាចកាន់កាប់ទ្រព្យសម្បត្តិសមភាព a m n n = a m n · n = a m ត្រូវតែជាការពិត។

ដោយនិយមន័យនៃឫស n និងថា a m n n = a m យើងអាចទទួលយកលក្ខខណ្ឌ a m n = a m n ប្រសិនបើ m n មានន័យសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ m, n និង a ។

លក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់នឹងជាការពិតក្រោមលក្ខខណ្ឌ a m n = a m n ។

ការសន្និដ្ឋានចម្បងពីការវែកញែករបស់យើងគឺនេះ: អំណាចនៃចំនួនជាក់លាក់ a ដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ m / n គឺជាឫសទី n នៃលេខ a ដល់អំណាច m ។ នេះជាការពិត ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃ m, n និង a កន្សោម a m n នៅតែមានអត្ថន័យ។

1. យើងអាចកំណត់តម្លៃមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេ៖ ចូរយើងយក a ដែលសម្រាប់តម្លៃវិជ្ជមាននៃ m នឹងធំជាង ឬស្មើ 0 និងសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាន - តិចយ៉ាងតឹងរ៉ឹង (ចាប់តាំងពីសម្រាប់ m ≤ 0 យើង​ទទួល​បាន 0 មប៉ុន្តែសញ្ញាបត្របែបនេះមិនត្រូវបានកំណត់ទេ) ។ ក្នុងករណីនេះ និយមន័យនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

អំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ m/n សម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួន a គឺជាឫសទី n នៃថាមពល m ។ នេះអាចត្រូវបានបង្ហាញជារូបមន្ត៖

សម្រាប់ថាមពលដែលមានមូលដ្ឋានសូន្យ ការផ្តល់នេះក៏សមរម្យដែរ ប៉ុន្តែប្រសិនបើនិទស្សន្តរបស់វាគឺជាចំនួនវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

អំណាចដែលមានសូន្យមូលដ្ឋាន និងនិទស្សន្តវិជ្ជមានប្រភាគ m/n អាចត្រូវបានបង្ហាញជា

0 m n = 0 m n = 0 បានផ្តល់ m ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

សម្រាប់សមាមាត្រអវិជ្ជមាន m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ចូរយើងកត់សម្គាល់ចំណុចមួយ។ ដោយសារយើងណែនាំលក្ខខណ្ឌថា a ធំជាង ឬស្មើសូន្យ យើងបានបញ្ចប់ការបោះបង់ករណីមួយចំនួន។

កន្សោម a m n ពេលខ្លះនៅតែមានន័យសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមានមួយចំនួននៃ a និង m មួយចំនួន។ ដូចនេះ ធាតុដែលត្រឹមត្រូវគឺ (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 ដែលមូលដ្ឋានគឺអវិជ្ជមាន។

វិធីសាស្រ្តទីពីរគឺត្រូវពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានូវឫស a m n ជាមួយនឹងនិទស្សន្តគូ និងសេស។ បន្ទាប់មកយើងនឹងត្រូវណែនាំលក្ខខណ្ឌមួយបន្ថែមទៀត៖ ដឺក្រេ a ក្នុងនិទស្សន្តដែលមានប្រភាគធម្មតាដែលអាចកាត់បន្ថយបាន ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាដឺក្រេ a ក្នុងនិទស្សន្តដែលមានប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបានដែលត្រូវគ្នា។ ពេលក្រោយ យើងនឹងពន្យល់ពីមូលហេតុដែលយើងត្រូវការលក្ខខណ្ឌនេះ ហើយហេតុអ្វីវាសំខាន់ម៉្លេះ។ ដូច្នេះប្រសិនបើយើងមានសញ្ញាណ a m · k n · k នោះយើងអាចកាត់បន្ថយវាទៅជា m n និងធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញ។

ប្រសិនបើ n គឺជាលេខសេស ហើយតម្លៃនៃ m គឺវិជ្ជមាន ហើយ a គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន នោះ m n មានន័យ។ លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការមិនអវិជ្ជមានគឺចាំបាច់ព្រោះឫសនៃដឺក្រេគូមិនអាចស្រង់ចេញពីលេខអវិជ្ជមានបានទេ។ ប្រសិនបើតម្លៃ m គឺវិជ្ជមាន នោះ a អាចជាអវិជ្ជមាន និងសូន្យ ពីព្រោះ ឫសសេសអាចត្រូវបានយកចេញពីណាមួយ។ ចំនួនពិត.

ចូរផ្សំនិយមន័យខាងលើទាំងអស់នៅក្នុងធាតុមួយ៖

នៅទីនេះ m/n មានន័យថាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន m គឺជាចំនួនគត់ណាមួយ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

និយមន័យ ៥

សម្រាប់ប្រភាគដែលអាចកាត់បន្ថយបានធម្មតា m·k n·k សញ្ញាបត្រអាចត្រូវបានជំនួសដោយ m n ។

អំណាចនៃលេខ a ដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន m / n - អាចត្រូវបានបង្ហាញជា m n ក្នុងករណីដូចខាងក្រោមៈ - សម្រាប់ a ពិតប្រាកដ តម្លៃចំនួនគត់វិជ្ជមាន m និងតម្លៃធម្មជាតិសេស n ។ ឧទាហរណ៍៖ 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19 ។

ចំពោះ​ពិត​ដែល​មិន​មែន​សូន្យ​ទេ តម្លៃ​ចំនួន​គត់​អវិជ្ជមាន​នៃ m និង​តម្លៃ​សេស​នៃ n ឧទាហរណ៍ 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, ១) - ២ ៧

ចំពោះចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមាន a, ចំនួនគត់វិជ្ជមាន m និងសូម្បីតែ n ឧទាហរណ៍ 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18 ។

សម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន m និង គូ n ឧទាហរណ៍ 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, ។

ក្នុង​ករណី​តម្លៃ​ផ្សេង​ទៀត ដឺក្រេ​ដែល​មាន​និទស្សន្ត​ប្រភាគ​មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ទេ។ ឧទាហរណ៍នៃសញ្ញាបត្របែបនេះ៖ - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពន្យល់ពីសារៈសំខាន់នៃលក្ខខណ្ឌដែលបានពិភាក្សាខាងលើ៖ ហេតុអ្វីបានជាជំនួសប្រភាគជាមួយនឹងនិទស្សន្តដែលអាចកាត់បន្ថយបានជាមួយនឹងប្រភាគជាមួយនឹងនិទស្សន្តដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ ប្រសិនបើ​យើង​មិន​បាន​ធ្វើ​បែប​នេះ​ទេ នោះ​យើង​នឹង​មាន​ស្ថានភាព​ដូច​តទៅ​នេះ ពោល​គឺ 6/10 = 3/5 ។ បន្ទាប់មកវាគួរតែជាការពិត (-1) 6 10 = - 1 3 5 ប៉ុន្តែ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , និង (- 1) 3 5 = (-1) ) 3 5 = − 1 5 = − 1 5 5 = − 1 .

និយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគដែលយើងបានបង្ហាញដំបូងគឺងាយស្រួលប្រើក្នុងការអនុវត្តជាងទីពីរ ដូច្នេះយើងនឹងបន្តប្រើវា។

និយមន័យ ៦

ដូច្នេះអំណាចនៃចំនួនវិជ្ជមាន a ដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ m/n ត្រូវបានកំណត់ជា 0 m n = 0 m n = 0 ។ ក្នុងករណីអវិជ្ជមាន កសញ្ញាណ a m n មិនសមហេតុផលទេ។ អំណាចនៃសូន្យសម្រាប់និទស្សន្តប្រភាគវិជ្ជមាន m/nត្រូវបានកំណត់ជា 0 m n = 0 m n = 0 សម្រាប់និទស្សន្តប្រភាគអវិជ្ជមាន យើងមិនកំណត់កម្រិតសូន្យទេ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាន យើងកត់សំគាល់ថាសូចនាករប្រភាគណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរទាំងក្នុងទម្រង់ជាលេខចម្រុះ និងក្នុងទម្រង់ ទសភាគ: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

នៅពេលគណនា វាជាការប្រសើរក្នុងការជំនួសនិទស្សន្តដោយប្រភាគធម្មតា ហើយបន្ទាប់មកប្រើនិយមន័យនៃនិទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍ខាងលើយើងទទួលបាន៖

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

តើអ្វីជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផល និងពិតប្រាកដ?

តើលេខពិតជាអ្វី? សំណុំរបស់ពួកគេរួមមានទាំងលេខសមហេតុផល និងអសមហេតុផល។ ដូច្នេះ ដើម្បីយល់ថាតើសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តពិតប្រាកដជាអ្វី យើងត្រូវកំណត់ដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្ត និងនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល។ យើងបានរៀបរាប់អំពីហេតុផលខាងលើរួចហើយ។ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយសូចនាករមិនសមហេតុផលមួយជំហានម្តងៗ។

ឧទាហរណ៍ 5

ឧបមាថាយើងមានលេខមិនសមហេតុផល a និងលំដាប់នៃចំនួនទសភាគរបស់វា a 0 , a 1 , a 2 , ។ . . . ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកតម្លៃ a = 1.67175331 ។ . . , បន្ទាប់មក

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, ។ . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, ។ . .

យើងអាចភ្ជាប់លំដាប់នៃប្រមាណជាមួយលំដាប់នៃដឺក្រេ a 0 , a 1 , a 2 , ។ . . . ប្រសិនបើយើងចងចាំនូវអ្វីដែលយើងបាននិយាយកាលពីមុនអំពីការបង្កើនលេខទៅជាអំណាចសនិទាន នោះយើងអាចគណនាតម្លៃនៃអំណាចទាំងនេះដោយខ្លួនឯងបាន។

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍ a = 3បន្ទាប់មក a 0 = 3 1, 67, a 1 = 3 1, 6717, a 2 = 3 1, 671753, ។ . . ល។

លំដាប់នៃអំណាចអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាចំនួនដែលនឹងជាតម្លៃនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋាន a និងនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល a ។ ជាលទ្ធផល៖ សញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផលនៃទម្រង់ 3 1, 67175331។ . អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅលេខ 6, 27 ។

និយមន័យ ៧

អំណាចនៃចំនួនវិជ្ជមាន a ដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផល a ត្រូវបានសរសេរជា a . តម្លៃរបស់វាគឺដែនកំណត់នៃលំដាប់ a 0 , a 1 , a 2 , ។ . . ដែលជាកន្លែងដែល a 0 , a 1 , a 2 , ។ . . គឺជាចំនួនទសភាគបន្តបន្ទាប់គ្នានៃចំនួនមិនសមហេតុផល a ។ ដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានសូន្យក៏អាចត្រូវបានកំណត់សម្រាប់និទស្សន្តមិនសមហេតុផលវិជ្ជមាន ដោយ 0 a = 0 ដូច្នេះ 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0 ។ ប៉ុន្តែវាមិនអាចត្រូវបានធ្វើសម្រាប់អវិជ្ជមានទេព្រោះឧទាហរណ៍តម្លៃ 0 - 5, 0 - 2 πមិនត្រូវបានកំណត់។ ឯកតាដែលបានលើកឡើងទៅថាមពលមិនសមហេតុផលនៅតែជាឯកតា ជាឧទាហរណ៍ ហើយ 1 2, 1 5 ក្នុង 2 និង 1 - 5 នឹងស្មើនឹង 1 ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

នៅក្នុងអត្ថបទមុនមួយ យើងបានរៀបរាប់រួចហើយអំពីអំណាចនៃលេខ។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងព្យាយាមរុករកដំណើរការនៃការស្វែងរកអត្ថន័យរបស់វា។ និយាយតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រ យើងនឹងរកវិធីបង្កើនថាមពលឲ្យបានត្រឹមត្រូវ។ យើងនឹងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលដំណើរការនេះត្រូវបានអនុវត្ត ហើយក្នុងពេលតែមួយយើងនឹងប៉ះលើនិទស្សន្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់៖ ធម្មជាតិ មិនសមហេតុផល សនិទានភាព ចំនួនគត់។

ដូច្នេះ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ ហើយស្វែងយល់ថាតើវាមានន័យយ៉ាងណា៖

1. និយមន័យនៃគំនិត។
2. ការលើកកម្ពស់សិល្បៈអវិជ្ជមាន។
3. សូចនាករទាំងមូល។
4. ការបង្កើនលេខទៅជាថាមពលមិនសមហេតុផល។

នេះគឺជានិយមន័យដែលឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងត្រឹមត្រូវនូវអត្ថន័យ៖ "និទស្សន្តគឺជានិយមន័យនៃតម្លៃនៃអំណាចនៃចំនួនមួយ។

ដូច្នោះហើយការបង្កើនលេខ a នៅក្នុងសិល្បៈ។ r និងដំណើរការនៃការស្វែងរកតម្លៃនៃដឺក្រេ a ជាមួយនិទស្សន្ត r គឺជាគោលគំនិតដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើភារកិច្ចគឺដើម្បីគណនាតម្លៃនៃថាមពល (0.6)6″ នោះវាអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញទៅកន្សោម "បង្កើនលេខ 0.6 ដល់ថាមពល 6" ។

បន្ទាប់ពីនេះអ្នកអាចបន្តដោយផ្ទាល់ទៅច្បាប់សំណង់។

បង្កើនអំណាចអវិជ្ជមាន

ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់ អ្នកគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើខ្សែសង្វាក់នៃការបញ្ចេញមតិខាងក្រោម៖

110 = 0.1 = 1 * 10 ដក 1 tbsp ។

1100=0.01=1*10 ក្នុង​ដក 2 ដឺក្រេ

11000=0.0001=1*10 ក្នុងដក 3 st.,

110000=0.00001=1*10 ដល់ដក 4 ដឺក្រេ។

សូមអរគុណចំពោះឧទាហរណ៍ទាំងនេះ អ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់នូវសមត្ថភាពក្នុងការគណនា 10 ភ្លាមៗទៅថាមពលដកណាមួយ។ ចំពោះគោលបំណងនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីផ្លាស់ប្តូរសមាសធាតុទសភាគ៖

• 10 ទៅ -1 ដឺក្រេ - មុនពេលមួយមាន 1 សូន្យ;
• ក្នុង -3 - សូន្យបីមុនមួយ;
• នៅក្នុង -9 មានសូន្យ 9 ហើយដូច្នេះនៅលើ។

វាក៏ងាយស្រួលយល់ផងដែរពីដ្យាក្រាមនេះថាតើ 10 ដក 5 tbsp នឹងមានចំនួនប៉ុន្មាន។ -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

វិធីបង្កើនលេខទៅជាថាមពលធម្មជាតិ

ចងចាំនិយមន័យយើងយកទៅក្នុងគណនីថាលេខធម្មជាតិ a នៅក្នុងសិល្បៈ។ n ស្មើនឹងផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ ចូរយើងបង្ហាញ៖ (a*a*…a)n ដែល n ជាចំនួនលេខដែលត្រូវគុណ។ ដូច្នោះហើយ ដើម្បីលើកពី a ដល់ n វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផលិតផល ប្រភេទខាងក្រោម៖ a*a*…a ចែកនឹង n ដង។

ពីនេះវាក្លាយជាជាក់ស្តែង ការកើនឡើងដល់ធម្មជាតិ st ។ ពឹងផ្អែកលើសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តគុណ(សម្ភារៈនេះត្រូវបានគ្របដណ្តប់នៅក្នុងផ្នែកស្តីពីការគុណចំនួនពិត)។ តោះមើលបញ្ហា៖

លើក -2 ដល់ទី 4 ។

យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ។ ដូច្នោះហើយវគ្គនៃការសម្រេចចិត្តនឹងមានដូចខាងក្រោម: (-2) នៅក្នុងសិល្បៈ។ ៤ = (-២)*(-២)*(-២)*(-២)។ ឥឡូវនេះនៅសល់គឺត្រូវគុណចំនួនគត់៖ (-2)*(-2)*(-2)*(-2)។ យើងទទួលបាន 16 ។

ចម្លើយចំពោះបញ្ហា៖

(-២) ក្នុងសិល្បៈ។ ៤=១៦.

ឧទាហរណ៍៖

គណនាតម្លៃ៖ បីចំណុច ពីរ ទីប្រាំពីរ ការេ។

ឧទាហរណ៍នេះ។ស្មើនឹង​ផលិតផល​ខាងក្រោម៖ បី​ចំណុច​ពីរ​ប្រាំពីរ​គុណ​នឹង​បី​ចំណុច​ពីរ​ប្រាំពីរ។ ដោយរំលឹកពីរបៀបដែលលេខចម្រុះត្រូវបានគុណ យើងបញ្ចប់ការសាងសង់៖

• 3 ចំនុចទី 2 ទីប្រាំពីរគុណនឹងខ្លួនឯង;
• ស្មើនឹង 23 ទីប្រាំពីរ គុណនឹង 23 ទីប្រាំពីរ;
• ស្មើនឹង 529 សែសិបប្រាំបួន;
• យើងកាត់បន្ថយ ហើយយើងទទួលបាន 10 សាមសិបប្រាំបួនសែសិបប្រាំបួន។

ចម្លើយ៖ 10 39/49

ទាក់ទងនឹងបញ្ហានៃការបង្កើនទៅនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការគណនាចាប់ផ្តើមត្រូវបានអនុវត្តបន្ទាប់ពីការបញ្ចប់នៃការបង្គត់បឋមនៃមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេទៅខ្ទង់ណាមួយដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យទទួលបានតម្លៃជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍ យើង​ត្រូវ​ការ​ការ៉េ​លេខ P (pi)។

យើងចាប់ផ្តើមដោយបង្គត់ P ដល់រាប់រយ ហើយទទួលបាន៖

P ការេ = (3.14)2=9.8596 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងកាត់បន្ថយ P ដល់ដប់ពាន់ យើងទទួលបាន P = 3.14159 ។ បន្ទាប់មក squaring ផ្តល់លេខខុសគ្នាទាំងស្រុង៖ 9.8695877281 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់នៅទីនេះថានៅក្នុងបញ្ហាជាច្រើនមិនចាំបាច់បង្កើនចំនួនមិនសមហេតុផលដល់អំណាចទេ។ តាមក្បួនមួយ ចម្លើយត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងទម្រង់នៃដឺក្រេជាក់ស្តែង ឧទាហរណ៍ ឫសនៃ 6 ទៅអំណាចនៃ 3 ឬប្រសិនបើកន្សោមអនុញ្ញាត ការផ្លាស់ប្តូររបស់វាត្រូវបានអនុវត្ត: ឫសនៃ 5 ទៅ 7 ដឺក្រេ = 125 ឫសនៃ 5 ។

វិធីបង្កើនលេខទៅជាចំនួនគត់

ការរៀបចំពិជគណិតនេះគឺសមរម្យ ពិចារណាលើករណីដូចខាងក្រោមៈ

• សម្រាប់ចំនួនគត់;
• សម្រាប់សូចនាករសូន្យ;
• សម្រាប់និទស្សន្តចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

ដោយសារស្ទើរតែទាំងអស់នៅដដែល លេខវិជ្ជមានស្របពេលជាមួយនឹងម៉ាស់នៃចំនួនធម្មជាតិ បន្ទាប់មកការកំណត់វាទៅជាចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺជាដំណើរការដូចគ្នានឹងការកំណត់វានៅក្នុងសិល្បៈ។ ធម្មជាតិ។ យើងបានពិពណ៌នាអំពីដំណើរការនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។

ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពីការគណនា st ។ មោឃៈ យើងបានរកឃើញខាងលើរួចហើយ សូន្យដឺក្រេលេខ a អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​សម្រាប់​ណាមួយ​ដែល​មិន​មែន​សូន្យ a (ពិត) ខណៈ​ដែល a ក្នុង​សិល្បៈ។ 0 នឹងស្មើនឹង 1 ។

ដូច្នោះហើយ ការបង្កើនចំនួនពិតណាមួយដល់លេខសូន្យ។ នឹងផ្តល់ឱ្យមួយ។

ឧទាហរណ៍ 10 ក្នុង st. 0=1, (-3.65)0=1, និង 0 in st ។ 0 មិនអាចកំណត់បានទេ។

ដើម្បីបញ្ចប់ការបង្កើនទៅជាចំនួនគត់ វានៅតែត្រូវសម្រេចចិត្តលើជម្រើសសម្រាប់តម្លៃចំនួនគត់អវិជ្ជមាន។ យើងចាំថាសិល្បៈ។ ពី a ដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ -z នឹងត្រូវបានកំណត់ជាប្រភាគ។ ភាគបែងនៃប្រភាគគឺ st ។ ជាមួយទាំងមូល តម្លៃវិជ្ជមានអត្ថន័យដែលយើងបានរៀនស្វែងរករួចហើយ។ ឥឡូវនេះអ្វីៗដែលនៅសល់គឺត្រូវពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការសាងសង់។

ឧទាហរណ៍៖

គណនាតម្លៃនៃលេខ 2 cubed ជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់អវិជ្ជមាន។

ដំណើរការដំណោះស្រាយ៖

យោងតាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមាន យើងសម្គាល់ៈ ពីរដក 3 ដឺក្រេ។ ស្មើនឹងថាមពលមួយទៅពីរទៅថាមពលទីបី។

ភាគបែងត្រូវបានគណនាយ៉ាងសាមញ្ញ: ពីរគូប;

3 = 2*2*2=8.

ចម្លើយ៖ ពី 2 ទៅ ដក 3 សិល្បៈ។ = មួយភាគប្រាំបី។

វាច្បាស់ណាស់ថាលេខដែលមានថាមពលអាចត្រូវបានបន្ថែមដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀត។ ដោយបន្ថែមពួកវាម្តងមួយៗជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។.

ដូច្នេះផលបូកនៃ a 3 និង b 2 គឺ a 3 + b 2 ។
ផលបូកនៃ a 3 - b n និង h 5 -d 4 គឺ a 3 - b n + h 5 - d 4 ។

ហាងឆេង អំណាចស្មើគ្នានៃអថេរដូចគ្នាអាចត្រូវបានបន្ថែមឬដក។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2a 2 និង 3a 2 គឺស្មើនឹង 5a 2 ។

វាក៏ច្បាស់ដែរថា ប្រសិនបើអ្នកយកការ៉េពីរ a ឬបីការ៉េ a ឬប្រាំការ៉េ a ។

ប៉ុន្តែសញ្ញាបត្រ អថេរផ្សេងៗនិង កម្រិតផ្សេងៗ អថេរដូចគ្នាត្រូវតែត្រូវបានផ្សំដោយបន្ថែមពួកវាជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2 និង 3 គឺជាផលបូកនៃ 2 + a 3 ។

វាច្បាស់ណាស់ថាការេនៃ a និងគូបនៃ a គឺមិនស្មើនឹងពីរដងនៃការ៉េនៃ a ប៉ុន្តែទៅពីរដងនៃគូបនៃ a ។

ផលបូកនៃ 3 b n និង 3a 5 b 6 គឺ a 3 b n + 3a 5 b 6 ។

ដកអំណាចត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការបន្ថែម លើកលែងតែសញ្ញានៃអនុសញ្ញាត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរទៅតាមនោះ។

ឬ៖
2a 4 − (−6a 4) = 8a ៤
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

អំណាចគុណ

លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានគុណ ដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀត ដោយសរសេរពួកវាម្តងមួយៗ ដោយមាន ឬគ្មានសញ្ញាគុណរវាងពួកវា។

ដូច្នេះលទ្ធផលនៃគុណ 3 គុណនឹង b 2 គឺជា 3 b 2 ឬ aaabb ។

ឬ៖
x −3 ⋅ a m = a m x −3
3a 6 y 2 ⋅ (−2x) = −6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

លទ្ធផលនៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចត្រូវបានបញ្ជាដោយបន្ថែមអថេរដូចគ្នាបេះបិទ។
កន្សោមនឹងយកទម្រង់៖ a 5 b 5 y 3 ។

ដោយការប្រៀបធៀបលេខជាច្រើន (អថេរ) ជាមួយនឹងអំណាច យើងអាចឃើញថា ប្រសិនបើចំនួនទាំងពីរត្រូវបានគុណ នោះលទ្ធផលគឺជាចំនួន (អថេរ) ដែលមានថាមពលស្មើនឹង ចំនួនទឹកប្រាក់ដឺក្រេនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ។

នៅទីនេះ 5 គឺជាអំណាចនៃលទ្ធផលនៃគុណស្មើនឹង 2 + 3 ផលបូកនៃអំណាចនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a n .a m = a m + n ។

សម្រាប់ n មួយ a ត្រូវបានយកជាកត្តាជាច្រើនដងដូចជាអំណាចនៃ n;

ហើយ m ត្រូវបានយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលដឺក្រេ m គឺស្មើនឹង;

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល, អំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានគុណដោយបន្ថែមនិទស្សន្តនៃអំណាច។

ដូច្នេះ a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 ។ និង x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6 ។

ឬ៖
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

គុណ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x − y)។
ចម្លើយ៖ x 4 − y 4 ។
គុណ (x 3 + x − 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ។

ច្បាប់នេះក៏ពិតសម្រាប់លេខដែលមាននិទស្សន្ត អវិជ្ជមាន.

1. ដូច្នេះ a -2 .a -3 = a -5 . នេះអាចសរសេរជា (1/aa)។(1/aaa) = 1/aaaaa។

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

ប្រសិនបើ a + b ត្រូវបានគុណនឹង a - b នោះលទ្ធផលនឹងជា 2 - b 2៖ នោះគឺជា

លទ្ធផលនៃការគុណផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ ស្មើនឹងផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃការ៉េរបស់ពួកគេ។

ប្រសិនបើអ្នកគុណផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរដែលបានលើកឡើង ការ៉េលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះនៅក្នុង ទីបួនដឺក្រេ។

ដូចេនះ (a − y).(a + y) = a 2 − y 2 ។
(a 2 − y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 − y 4 ។
(a 4 − y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 − y 8 ។

ការបែងចែកដឺក្រេ

លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានបែងចែកដូចជាលេខផ្សេងទៀត ដោយដកពីភាគលាភ ឬដោយដាក់វាជាទម្រង់ប្រភាគ។

ដូច្នេះ a 3 b 2 ចែកនឹង b 2 គឺស្មើនឹង a 3 ។

ឬ៖
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

ការសរសេរ 5 ចែកនឹង 3 មើលទៅដូចជា $\frac(a^5)(a^3)$ ។ ប៉ុន្តែនេះគឺស្មើនឹង 2 ។ នៅក្នុងស៊េរីនៃលេខ
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4 ។
លេខណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀត ហើយនិទស្សន្តនឹងស្មើនឹង ភាពខុសគ្នាសូចនាករនៃលេខដែលអាចបែងចែកបាន។

នៅពេលបែងចែកដឺក្រេជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តរបស់ពួកគេត្រូវបានដក។.

ដូច្នេះ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 ។ នោះគឺ $\frac(yyy)(yy)=y$។

ហើយ n + 1: a = a n + 1-1 = a n ។ នោះគឺ $\frac(aa^n)(a) = a^n$ ។

ឬ៖
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

ច្បាប់ក៏ជាការពិតសម្រាប់លេខជាមួយ អវិជ្ជមានតម្លៃនៃដឺក្រេ។
លទ្ធផលនៃការបែងចែក a -5 ដោយ a -3 គឺ a -2 ។
ផងដែរ $\frac(1)(aaaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1)=\frac(aaa)(aaaaa)=\frac (1)(aa)$។

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ឬ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើមេគុណ និងការបែងចែកអំណាចឱ្យបានល្អ ព្រោះប្រតិបត្តិការបែបនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងពិជគណិត។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាមួយប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច

1. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តដោយ $\frac(5a^4)(3a^2)$ ចម្លើយ៖ $\frac(5a^2)(3)$។

2. បន្ថយនិទស្សន្តដោយ $\frac(6x^6)(3x^5)$ ។ ចម្លើយ៖ $\frac(2x)(1)$ ឬ 2x។

3. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត a 2 /a 3 និង a -3 /a -4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
a 2 .a -4 គឺជា -2 ជាភាគយកទីមួយ។
a 3 .a −3 គឺ a 0 = 1 ជាភាគយកទីពីរ។
a 3 .a -4 គឺ a -1 ដែលជាភាគយកទូទៅ។
បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ a -2 /a -1 និង 1/a -1 ។

4. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត 2a 4/5a 3 និង 2/a 4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
ចម្លើយ៖ 2a 3/5a 7 និង 5a 5/5a 7 ឬ 2a 3/5a 2 និង 5/5a 2 ។

5. គុណ (a 3 + b)/b 4 ដោយ (a − b)/3 ។

6. គុណ (a 5 + 1)/x 2 ដោយ (b 2 − 1)/(x + a)។

7. គុណ b 4 /a -2 ដោយ h -3 /x និង a n / y -3 ។

8. ចែក 4/y 3 ដោយ 3/y 2 ។ ចម្លើយ៖ a/y ។

9. ចែក (h 3 - 1)/d 4 ដោយ (d n + 1)/h ។