ឧទាហរណ៍សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកមិនលីនេអ៊ែរ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ

សៀវភៅនេះគឺជាការណែនាំអំពីទ្រឹស្តីវិភាគនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ហើយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការវិភាគនៃគំរូគណិតវិទ្យាដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ និងប្រព័ន្ធថាមវន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដរបស់ពួកគេ (អាំងតេក្រាល)។
មានបំណងសម្រាប់និស្សិតថ្នាក់បរិញ្ញាបត្រ និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សា និងអ្នកស្រាវជ្រាវដែលចាប់អារម្មណ៍លើគំរូគណិតវិទ្យាដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ទ្រឹស្ដីនៃសូលីតុន វិធីសាស្រ្តក្នុងការសាងសង់ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ទ្រឹស្ដីនៃសមីការ Painlevé និង analogues ខ្ពស់របស់ពួកគេ។

សមីការ Korteweg-de Vries សម្រាប់ពណ៌នាអំពីរលកទឹក។
បាតុភូតនៃការសាយភាយរលកនៅលើផ្ទៃទឹកបានទាក់ទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកស្រាវជ្រាវជាយូរមកហើយ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃរលកដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាអាចសង្កេតឃើញកាលពីកុមារភាព ហើយដែលជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញជាផ្នែកនៃវគ្គសិក្សារូបវិទ្យារបស់សាលា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះគឺជាប្រភេទរលកដ៏ស្មុគស្មាញ។ ដូចដែល Richard Feynman បាននិយាយថា “វាពិបាកក្នុងការគិតពីឧទាហរណ៍ដ៏អកុសលសម្រាប់ការបង្ហាញរលក ពីព្រោះរលកទាំងនេះមិនស្រដៀងនឹងសំឡេង ឬពន្លឺទាល់តែសោះ។ ការលំបាកទាំងអស់ដែលអាចមាននៅក្នុងរលកបានប្រមូលផ្តុំនៅទីនេះ” ។

ប្រសិនបើយើងពិចារណាអាងទឹកដែលពោរពេញទៅដោយទឹក ហើយបង្កើតការរំខានខ្លះៗលើផ្ទៃរបស់វា នោះរលកនឹងចាប់ផ្តើមសាយភាយតាមផ្ទៃទឹក។ ការកើតឡើងរបស់ពួកគេត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាភាគល្អិតរាវដែលមានទីតាំងនៅជិតការធ្លាក់ទឹកចិត្តនៅពេលដែលបង្កើតការរំខាននឹងមានទំនោរទៅបំពេញការធ្លាក់ទឹកចិត្តដែលស្ថិតនៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃទំនាញផែនដី។ ការអភិវឌ្ឍន៍នៃបាតុភូតនេះតាមពេលវេលានឹងនាំទៅដល់ការសាយភាយនៃរលកនៅលើទឹក។ ភាគល្អិតរាវនៅក្នុងរលកបែបនេះមិនផ្លាស់ទីឡើងលើចុះក្រោមទេ ប៉ុន្តែប្រហែលជារង្វង់ ដូច្នេះរលកនៅលើទឹកមិនបណ្តោយ ឬឆ្លងកាត់ទេ។ ពួកគេហាក់ដូចជាល្បាយទាំងពីរ។ ជាមួយនឹងជម្រៅ កាំនៃរង្វង់ដែលភាគល្អិតនៃសារធាតុរាវផ្លាស់ទីថយចុះរហូតដល់វាស្មើនឹងសូន្យ។

ប្រសិនបើយើងវិភាគល្បឿននៃការសាយភាយនៃរលកនៅលើទឹក វាប្រែថាវាអាស្រ័យលើទំហំរបស់វា។ ល្បឿននៃរលកវែងគឺសមាមាត្រទៅនឹងឫសការ៉េនៃការបង្កើនល្បឿននៃទំនាញ គុណនឹងផលបូកនៃទំហំរលក និងជម្រៅនៃអាង។ មូលហេតុនៃរលកបែបនេះគឺទំនាញផែនដី។

មាតិកា
បុព្វកថា ៩
ជំពូកទី 1. គំរូគណិតវិទ្យាដែលមិនមានបណ្តាញ 13
1.1 សមីការ Korteweg-de Vries សម្រាប់ពណ៌នាអំពីរលកទឹក 13
១.២ ដំណោះស្រាយសាមញ្ញបំផុតចំពោះសមីការ Korteweg-de Vries ២៣
1.3 គំរូសម្រាប់ការពិពណ៌នាការរំខាននៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នៃម៉ាស់ដូចគ្នា 26
1.4 ដំណោះស្រាយសាមញ្ញបំផុតនៃសមីការ Korteweg - de Vries ដែលបានកែប្រែ 32
១.៥ ដំណាក់កាល និងល្បឿនជាក្រុមនៃរលក ៣៥
1.6 សមីការ Schrödinger Nonlinear សម្រាប់ស្រោមសំបុត្ររលក 39
1.7 រលកទោលដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ Schrödinger ដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ និងក្រុម soliton 42
1.8 សមីការ Sin-Gordon សម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ទីលំនៅនៅក្នុងរឹង 44
1.9 ដំណោះស្រាយសាមញ្ញបំផុតនៃសមីការស៊ីនុស-ហ្គរដុន និងសមីការសូលីតុន topological 48
1.10 សមីការដឹកជញ្ជូនមិនលីនេអ៊ែរ និងសមីការប៊ឺហ្គឺ 51
1.11 ម៉ូដែល Henon-Heiles 57
១.១២ ប្រព័ន្ធ Lorentz ៦០
1.13 បញ្ហា និងលំហាត់សម្រាប់ជំពូកទី 1 68
ជំពូកទី 2. លក្ខណៈសម្បត្តិវិភាគនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា 71
2.1 ការចាត់ថ្នាក់នៃចំនុចឯកវចនៈនៃអនុគមន៍នៃអថេរស្មុគស្មាញ 71
២.២ ថេរ និងផ្លាស់ទីចំណុចឯកវចនៈ ៧៤
2.3 សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងចំណុចឯកវចនៈផ្លាស់ទីសំខាន់ 76
2.4 បញ្ហាកំពូលរបស់ Kovalevskaya 82
2.5 និយមន័យនៃទ្រព្យសម្បត្តិ Painlevé និងសមីការ Painlevé 85
2.6 សមីការ Painlevé ទីពីរសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីវាលអគ្គិសនីនៅក្នុងឌីអេមឌុចទ័រ 87
2.7 ក្បួនដោះស្រាយ Kovalevskaya សម្រាប់ការវិភាគសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល 91
2.8 តំណាងក្នុងតំបន់នៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការប្រភេទ Painlevé 96
2.9 វិធីសាស្រ្ត Painlevé សម្រាប់ការវិភាគសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល 100
2.10 ការពឹងផ្អែកឆ្លងដែននៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ Painlevé ដំបូង 106
2.11 ភាពមិនចុះសម្រុងនៃសមីការ Painlevé 111
2.12 ការបំប្លែង Bäcklund សម្រាប់ដំណោះស្រាយនៃសមីការ Painlevé ទីពីរ 113
2.13 ដំណោះស្រាយសមហេតុផល និងពិសេសនៃសមីការ Painlevé ទីពីរ 114
2.14 សមីការ Painlevé ដាច់ពីគ្នា 116
2.15 ដំណោះស្រាយ Asymptotic នៃសមីការ Painlevé ទីមួយ និងទីពីរ 118
2.16 តំណាងលីនេអ៊ែរនៃសមីការ Painlevé 120
2.17 Comte - Fordy - ក្បួនដោះស្រាយជ្រើសរើសសម្រាប់សមីការសាកល្បងសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិ Painlevé 122
2.18 ឧទាហរណ៏នៃការវិភាគសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Painlevé perturbation 125
2.19 ការធ្វើតេស្ត Painlevé សម្រាប់ប្រព័ន្ធ Henon-Heiles នៃសមីការ 128
2.20 ករណីដែលអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងពិតប្រាកដនៃប្រព័ន្ធ Lorentz 131
2.21 បញ្ហា និងលំហាត់សម្រាប់ជំពូកទី 2 135
ជំពូកទី 3. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមីការដេរីវេផ្នែកក្រៅបណ្តាញ 138
៣.១ ប្រព័ន្ធរួមបញ្ចូលគ្នា ១៣៨
3.2 Cole - ការបំប្លែង Hopf សម្រាប់សមីការ Burgers 141
3.3 ការបំប្លែង Miura និងគូ Lax សម្រាប់សមីការ Corte-vega - de Vries 144
3.4 ច្បាប់អភិរក្សសម្រាប់សមីការ Korteweg-de Vries 146
3.5 Bäcklund ផែនទី និងការបំប្លែង 149
3.6 ការបំប្លែង Bäcklund សម្រាប់សមីការ sin-Gordon 151
3.7 ការបំប្លែង Bäcklund សម្រាប់សមីការ Korteweg-de Vries 153
3.8 គ្រួសារនៃសមីការ Korteweg-de Vries 155
៣.៩ សមីការគ្រួសារ AKNS ១៥៧
3.10 ការធ្វើតេស្ត Ablowitz-Ramani-Sigur សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ 160
3.11 វិធីសាស្រ្ត Weiss-Tabor-Carnevale សម្រាប់ការវិភាគនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ 163
3.12 ការវិភាគ Painlevé នៃសមីការ Burgers ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ VTK 165
3.13 ការវិភាគនៃសមីការ Korteweg - de Vries 168
3.14 ការសាងសង់គូ Lax សម្រាប់សមីការ Korteweg - de Vries ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ VTC 169
3.15 ការវិភាគនៃសមីការ Korteweg - de Vries ដែលបានកែប្រែ 171
3.16 ការពង្រីកដែលកាត់ចេញជាផែនទីនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ 172
3.17 Invariant Painlevé analysis ១៧៤
3.18 ការអនុវត្តការវិភាគ Painlevé invariant ដើម្បីស្វែងរកគូ Lax 176
៣.១៩ ទំនាក់ទំនងរវាងសមីការមិនលីនេអ៊ែរដែលអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងពិតប្រាកដ ១៧៩
៣.២០ សមីការគ្រួសារប៊ឺហ្គឺ ១៨៧
3.21 បញ្ហា និងលំហាត់សម្រាប់ជំពូកទី 3 189
ជំពូកទី 4. ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនបណ្តាញ 193
4.1 ការ​អនុវត្ត​ការ​ពង្រីក​កាត់​ដើម្បី​បង្កើត​ដំណោះស្រាយ​មួយ​ផ្នែក​នៃ​សមីការ​មិន​អាច​បញ្ចូល​គ្នា 193
4.2 ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃសមីការ Burgers-Huxley 197
4.3 ដំណោះស្រាយផ្នែកនៃ Burgers - Korteweg - de Vries សមីការ 205
4.4 រលកទោលដែលបានពិពណ៌នាដោយសមីការ Kuramoto-Sivashinsky 208
4.5 រលក Cnoidal ពិពណ៌នាដោយសមីការ Kuramoto-Sivashinsky 215
4.6 ដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការរលកមិនមែនលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីប្រាំសាមញ្ញបំផុត 217
4.7 ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីប្រាំសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីរលកទឹក 220
4.8 ដំណោះស្រាយនៃសមីការ Korteweg-de Vries លំដាប់ទីប្រាំនៅក្នុងអថេររលកធ្វើដំណើរ 230
4.9 ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃគំរូ Henon - Heiles 235
4.10 វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយសមហេតុផលចំពោះសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរដែលអាចដោះស្រាយបានពិតប្រាកដមួយចំនួន 237
4.11 បញ្ហា និងលំហាត់សម្រាប់ជំពូកទី 4 241
ជំពូកទី 5. អាណាឡូកខ្ពស់នៃសមភាពការឈឺចាប់ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ 244
5.1 ការវិភាគសមីការលំដាប់ទីបួនសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិ Painlevé 244
5.2 សមីការលំដាប់ទីបួនដែលឆ្លងកាត់ការធ្វើតេស្ត Painlevé 251
5.3 Transcendent ដែលកំណត់ដោយសមីការលំដាប់ទីបួនដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ 253
5.4 តំណាងមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការលំដាប់ទីបួន 258
៥.៥ លក្ខណៈសម្បត្តិ asymptotic នៃសមីការឆ្លងដែននៃលំដាប់ទី៤ ២៦៤
5.6 គ្រួសារនៃសមីការជាមួយនឹងដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ transcendental 266
5.7 Lax pairs សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីបួន 271
5.8 ទូទៅនៃសមីការ Painlevé 277
5.9 ការបំប្លែង Bäcklund សម្រាប់ analogues ខ្ពស់នៃសមីការ Painlevé 284
5.10 ដំណោះស្រាយសមហេតុផល និងពិសេសនៃ analogues ខ្ពស់នៃសមីការ Painlevé 291
5.11 សមីការដាច់ពីគ្នាដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង analogues ខ្ពស់នៃសមីការ Painlevé 295
5.12 បញ្ហា និងលំហាត់សម្រាប់ជំពូកទី 5 304
ជំពូកទី 6. វិធីសាស្រ្តបញ្ហាបញ្ច្រាស និងវិធីសាស្ត្រ HIROTA សម្រាប់ការដោះស្រាយ KORTEWEG - DE Vries សមីការ 306
6.1 បញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការ Korteweg-de Vries 306
6.2 បញ្ហាខ្ចាត់ខ្ចាយដោយផ្ទាល់ 307
6.3 ទម្រង់អាំងតេក្រាលនៃសមីការ Schrödinger ស្ថានី 313
6.4 លក្ខណៈសម្បត្តិវិភាគនៃអំព្លីទីត 315
6.5 Gelfand - Levitan - Marchenko សមីការ 318
6.6 ការរួមបញ្ចូលនៃសមីការ Korteweg-de Vries ដោយវិធីសាស្រ្ដបញ្ហាការខ្ចាត់ខ្ចាយបញ្ច្រាស 321
6.7 ដំណោះស្រាយនៃសមីការ Korteweg-de Vries ក្នុងករណីសក្តានុពលដែលមិនឆ្លុះបញ្ចាំង 323
6.8 ប្រតិបត្តិករ Hirota និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា 326
6.9 ការស្វែងរកដំណោះស្រាយ soliton នៃសមីការ Korteweg-de Vries ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Hirota 327
6.10 វិធីសាស្ត្រ Hirota សម្រាប់សមីការ Korteweg-de Vries ដែលបានកែប្រែ 331
6.11 បញ្ហា និងលំហាត់សម្រាប់ជំពូកទី 6 333
អក្សរសិល្ប៍ ៣៣៧
សន្ទស្សន៍ប្រធានបទ។

នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៃរូបវិទ្យា វាមិនអាចបង្កើតទំនាក់ទំនងដោយផ្ទាល់រវាងបរិមាណដែលពិពណ៌នាអំពីដំណើរការនោះទេ។ ប៉ុន្តែវាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានសមភាពដែលមានដេរីវេនៃមុខងារដែលកំពុងសិក្សា។ នេះជារបៀបដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលកើតឡើង និងតម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយពួកវាដើម្បីស្វែងរកមុខងារមិនស្គាល់មួយ។

អត្ថបទនេះត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់អ្នកដែលប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមុខងារមិនស្គាល់គឺជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ ទ្រឹស្ដីនេះត្រូវបានរៀបចំឡើងតាមរបៀបដែលចំណេះដឹងសូន្យនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល អ្នកអាចទប់ទល់នឹងកិច្ចការរបស់អ្នក។

ប្រភេទនីមួយៗនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយជាមួយនឹងការពន្យល់លម្អិត និងដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាធម្មតា។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺកំណត់ប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃបញ្ហារបស់អ្នក ស្វែងរកឧទាហរណ៍ដែលបានវិភាគស្រដៀងគ្នា និងអនុវត្តសកម្មភាពស្រដៀងគ្នា។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយជោគជ័យ អ្នកក៏នឹងត្រូវការសមត្ថភាពក្នុងការស្វែងរកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណ (អាំងតេក្រាលមិនកំណត់) នៃមុខងារផ្សេងៗ។ បើចាំបាច់ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកមើលផ្នែក។

ដំបូង យើងនឹងពិចារណាអំពីប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតានៃលំដាប់ទីមួយដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយទាក់ទងទៅនឹងដេរីវេ បន្ទាប់មកយើងនឹងបន្តទៅ ODE លំដាប់ទីពីរ បន្ទាប់មកយើងនឹងរស់នៅលើសមីការលំដាប់ខ្ពស់ជាង និងបញ្ចប់ដោយប្រព័ន្ធនៃ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

សូមចាំថាប្រសិនបើ y ជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ x ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយសាមញ្ញបំផុតនៃទម្រង់។

ចូរសរសេរឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការបញ្ជាពីចម្ងាយបែបនេះ .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល អាចត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយ f(x) ។ ក្នុងករណីនេះ យើងមកដល់សមីការដែលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើមសម្រាប់ f(x) ≠ 0 ។ ឧទាហរណ៍នៃ ODEs បែបនេះគឺ .

ប្រសិនបើមានតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x ដែលមុខងារ f(x) និង g(x) រលាយក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះ ដំណោះស្រាយបន្ថែមនឹងលេចឡើង។ ដំណោះស្រាយបន្ថែមចំពោះសមីការ x ដែលបានផ្តល់គឺជាមុខងារណាមួយដែលបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបែបនេះរួមមាន:

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

LDE ដែលមានមេគុណថេរ គឺជាប្រភេទទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេមិនពិបាកជាពិសេសទេ។ ទីមួយ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈត្រូវបានរកឃើញ . សម្រាប់ p និង q ផ្សេងគ្នា ករណីបីគឺអាចធ្វើទៅបាន៖ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈអាចពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា ពិត និងស្របគ្នា។ ឬបន្សំស្មុគស្មាញ។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃឫសនៃសមីការលក្ខណៈ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានសរសេរជា , ឬ ឬរៀងៗខ្លួន។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈរបស់វាគឺ k 1 = −3 និង k 2 = 0 ។ ឫសគឺពិត និងខុសគ្នា ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE ដែលមានមេគុណថេរមានទម្រង់


សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LDDE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ y ត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LDDE ដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ inhomogeneous ដើម នោះគឺ . កថាខណ្ឌមុនត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ហើយដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់សម្រាប់ទម្រង់ជាក់លាក់នៃអនុគមន៍ f(x) នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដើម ឬដោយវិធីសាស្ត្រនៃការផ្លាស់ប្តូរថេរតាមអំពើចិត្ត។

ជាឧទាហរណ៍នៃ LDE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ យើងផ្តល់ឱ្យ


ដើម្បីយល់ពីទ្រឹស្តី និងស្គាល់ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ជូនអ្នកនៅលើទំព័រលីនេអ៊ែរ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរដែលមិនដូចគ្នាជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ (LODE) និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរ (LNDEs) នៃលំដាប់ទីពីរ។

ករណីពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនេះគឺ LODE និង LDDE ដែលមានមេគុណថេរ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE នៅលើផ្នែកជាក់លាក់មួយត្រូវបានតំណាងដោយការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពីរ y 1 និង y 2 នៃសមីការនេះ ពោលគឺ .

ការលំបាកចម្បងគឺច្បាស់លាស់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនេះ។ ជាធម្មតា ដំណោះស្រាយពិសេសត្រូវបានជ្រើសរើសពីប្រព័ន្ធខាងក្រោមនៃមុខងារឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ៖


ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយពិសេសមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះទេ។

ឧទាហរណ៍នៃ LOD គឺ .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LDDE ត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ជាកន្លែងដែលដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LDDE ដែលត្រូវគ្នា និងជាដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម។ យើងគ្រាន់តែនិយាយអំពីការស្វែងរកវា ប៉ុន្តែវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ឧទាហរណ៍នៃ LNDU អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលអនុញ្ញាតឱ្យកាត់បន្ថយតាមលំដាប់លំដោយ។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលមិនមានមុខងារដែលចង់បាន និងដេរីវេរបស់វារហូតដល់លំដាប់ k-1 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា n-k ដោយជំនួស .

ក្នុងករណីនេះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើមនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា . បន្ទាប់ពីរកឃើញដំណោះស្រាយរបស់វា p(x) វានៅតែត្រូវត្រលប់ទៅការជំនួស ហើយកំណត់មុខងារមិនស្គាល់ y ។

ឧទាហរណ៍សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល បន្ទាប់ពីការជំនួស វានឹងក្លាយជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន ហើយលំដាប់របស់វានឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយពីទីបីទៅទីមួយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល- សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីទ្រឹស្តី និងវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការដែលមានមុខងារដែលចង់បាន និងដេរីវេរបស់វានៃលំដាប់ផ្សេងៗនៃអាគុយម៉ង់មួយ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា) ឬអាគុយម៉ង់ជាច្រើន (សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក)។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្ត ជាពិសេសដើម្បីពិពណ៌នាអំពីដំណើរការបណ្តោះអាសន្ន។

ទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល- មុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដែលទាក់ទងនឹងការសិក្សាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងបញ្ហាពាក់ព័ន្ធ។ លទ្ធផលរបស់ពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិជាច្រើន ជាពិសេសយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងរូបវិទ្យា។

និយាយដោយសាមញ្ញថា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាសមីការដែលបរិមាណដែលមិនស្គាល់គឺជាមុខងារជាក់លាក់មួយ។ លើសពីនេះទៅទៀត សមីការខ្លួនវាមិនត្រឹមតែពាក់ព័ន្ធនឹងមុខងារដែលមិនស្គាល់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននិស្សន្ទវត្ថុផ្សេងៗរបស់វាផងដែរ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលពណ៌នាអំពីទំនាក់ទំនងរវាងមុខងារមិនស្គាល់ និងដេរីវេរបស់វា។ ទំនាក់ទំនងបែបនេះត្រូវបានស្វែងរកក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃចំណេះដឹង៖ មេកានិច រូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា ជីវវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច។ល។

មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាំងតេក្រាលគឺស្មុគស្មាញជាង។

ដំបូង សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបានកើតចេញពីបញ្ហានៅក្នុងមេកានិចដែលពាក់ព័ន្ធនឹងកូអរដោណេនៃរូបកាយ ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿនរបស់ពួកគេ ដែលចាត់ទុកថាជាមុខងារនៃពេលវេលា។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា រួមបញ្ចូលគ្នានៅក្នុង quadraturesប្រសិនបើភារកិច្ចនៃការស្វែងរកការតភ្ជាប់ទាំងអស់អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាចំនួនកំណត់នៃអាំងតេក្រាលនៃមុខងារដែលគេស្គាល់ និងប្រតិបត្តិការពិជគណិតសាមញ្ញ។

រឿង

លោក Leonard Euler

Joseph-Louis Lagrange

Pierre-Simon Laplace

Joseph Liouville

Henri Poincaré

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយញូតុន (1642-1727) ។ ញូតុនបានចាត់ទុកការប្រឌិតនេះមានសារៈសំខាន់ណាស់ ដែលគាត់បានអ៊ិនគ្រីបវាក្នុងទម្រង់ជាអាណាក្រាម អត្ថន័យនៃពាក្យទំនើបអាចបង្ហាញដោយសេរីដូចខាងក្រោម៖ "ច្បាប់នៃធម្មជាតិត្រូវបានបង្ហាញដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល"។

សមិទ្ធិផលនៃការវិភាគសំខាន់របស់ញូតុនគឺការពង្រីកមុខងារគ្រប់ប្រភេទទៅជាស៊េរីថាមពល (អត្ថន័យនៃ anagram ទីពីររបស់ញូតុន គឺថា ដើម្បីដោះស្រាយសមីការណាមួយ អ្នកត្រូវជំនួសស៊េរីទៅក្នុងសមីការ និងសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រដូចគ្នា)។ សារៈសំខាន់ជាពិសេសនៅទីនេះគឺរូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុនដែលគាត់បានរកឃើញ (ជាការពិតណាស់ មិនត្រឹមតែជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ដែលរូបមន្តត្រូវបានគេស្គាល់ជាឧទាហរណ៍ដោយ Viète (1540-1603) ប៉ុន្តែសំខាន់បំផុតផងដែរជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ និងអវិជ្ជមាន។ ) ញូតុនបានពង្រីកមុខងារបឋមទាំងអស់ទៅជា "ស៊េរី Taylor ។ មួយភាគបួននៃមួយម៉ោង។”

ញូតុនបានចង្អុលបង្ហាញថាមេគុណនៃស៊េរីរបស់គាត់គឺសមាមាត្រទៅនឹងដេរីវេបន្តបន្ទាប់នៃអនុគមន៍ ប៉ុន្តែមិនបានរស់នៅលើរឿងនេះឱ្យបានលម្អិតទេ ដោយសារគាត់ជឿជាក់យ៉ាងត្រឹមត្រូវថាវាងាយស្រួលជាងក្នុងការអនុវត្តការគណនាទាំងអស់ក្នុងការវិភាគដោយមិនប្រើភាពខុសគ្នាច្រើន ប៉ុន្តែ ដោយការគណនាលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃស៊េរី។ សម្រាប់ញូតុន ការភ្ជាប់រវាងមេគុណនៃស៊េរី និងដេរីវេទីវ័រ គឺជាមធ្យោបាយនៃការគណនានិស្សន្ទវត្ថុច្រើនជាងមធ្យោបាយនៃការបង្កើតស៊េរី។ សមិទ្ធិផលដ៏សំខាន់បំផុតមួយរបស់ញូវតុនគឺទ្រឹស្តីរបស់គាត់អំពីប្រព័ន្ធព្រះអាទិត្យដែលបានកំណត់នៅក្នុង "គោលការណ៍គណិតវិទ្យានៃទស្សនវិជ្ជាធម្មជាតិ" ("ព្រីនស៊ីភីៀ") ដោយគ្មានជំនួយពីការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ជាទូទៅគេជឿថាញូតុនបានរកឃើញច្បាប់ទំនាញសកលតាមរយៈការវិភាគរបស់គាត់។ តាមពិតញូតុន (1680) បានត្រឹមតែបង្ហាញរាងអេលីបនៃគន្លងនៅក្នុងវាលដ៏គួរឱ្យទាក់ទាញមួយយោងទៅតាមច្បាប់ការ៉េបញ្ច្រាស៖ ច្បាប់នេះត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញចំពោះញូតុនដោយ Hooke (1635-1703) ហើយប្រហែលជាទាយដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។

ក្នុងចំណោមស្នាដៃដ៏ច្រើននៃសតវត្សទី 18 ស្តីពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ស្នាដៃរបស់ អយល័រ (១៧០៧-១៧៨៣) និង ឡាហ្គែន (១៧៣៦-១៨១៣) លេចធ្លោ។ នៅក្នុងស្នាដៃទាំងនេះ ទ្រឹស្តីនៃលំយោលតូចៗត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូង ហើយដូច្នេះទ្រឹស្តីនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ នៅតាមផ្លូវ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (eigenvalues ​​និងវ៉ិចទ័រនៅក្នុងករណី n-dimensional) បានកើតឡើង។ សមីការលក្ខណៈនៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅជាយូរយារណាស់មកហើយ ព្រោះវាមកពីសមីការដែលលោកិយ (ទាក់ទងនឹងអាយុ ពោលគឺយឺតបើធៀបនឹងចលនាប្រចាំឆ្នាំ) ការរំខាននៃគន្លងរបស់ភពត្រូវបានកំណត់ដោយយោងទៅតាមទ្រឹស្តីរបស់ Lagrange នៃលំយោលតូច។ បន្ទាប់ពី Newton, Laplace និង Lagrange និងក្រោយមក Gauss (1777-1855) ក៏បានបង្កើតវិធីសាស្រ្តនៃទ្រឹស្តីរំខាន។

នៅពេលដែលភាពមិនអាចដោះស្រាយបាននៃសមីការពិជគណិតក្នុងរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានបញ្ជាក់ Joseph Liouville (1809-1882) បានបង្កើតទ្រឹស្តីស្រដៀងគ្នាមួយសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដោយបង្កើតភាពមិនអាចទៅរួចនៃការដោះស្រាយសមីការមួយចំនួន (ជាពិសេសបុរាណដូចជាសមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរ) មុខងារ និងបួនជ្រុង។ ក្រោយមក Sophus Lie (1842-1899) ការវិភាគសំណួរនៃការរួមបញ្ចូលសមីការនៅក្នុង quadratures បានមកដល់តម្រូវការដើម្បីសិក្សានៅក្នុងក្រុមលម្អិតនៃ dipheomorphisms (ដែលក្រោយមកបានទទួលឈ្មោះក្រុមកុហក) - ដូច្នេះនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមួយ ក្នុងចំណោមផ្នែកដែលមានប្រយោជន៍បំផុតនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើបបានកើតមានឡើង ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណួរខុសគ្នាទាំងស្រុង (ភូតកុហកត្រូវបានពិចារណាពីមុនដោយ Simeon-Denis Poisson (1781-1840) និងជាពិសេស Carl Gustav Jacob Jacobi (1804) ។ -១៨៥១)។

ដំណាក់កាលថ្មីមួយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការងាររបស់ Henri Poincaré (1854-1912) ដែលជា "ទ្រឹស្តីគុណភាពនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល" ដែលគាត់បានបង្កើត រួមជាមួយនឹងទ្រឹស្ដីមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ ដែលនាំទៅដល់មូលដ្ឋានគ្រឹះ។ នៃ topology ទំនើប។ ទ្រឹស្ដីគុណភាពនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឬដូចដែលវាត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញយ ទ្រឹស្ដីនៃប្រព័ន្ធថាមវន្ត ឥឡូវនេះកំពុងអភិវឌ្ឍយ៉ាងសកម្មបំផុត និងមានកម្មវិធីដ៏សំខាន់បំផុតនៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។- ទាំងនេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ ច (t, x, x ", x "",..., x(ន)) = 0 , កន្លែងណា x = x (t) - មុខងារមិនស្គាល់ (អាចជាមុខងារវ៉ិចទ័រ ក្នុងករណីនេះពួកគេច្រើនតែនិយាយអំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល) អាស្រ័យលើអថេរពេលវេលា t, បឋមមានន័យថាភាពខុសគ្នាដោយគោរព t. ចំនួន នត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយ (ឬដំណោះស្រាយ) ទៅនឹងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាមុខងារមួយដែលត្រូវបានបែងចែក n ដង និងបំពេញសមីការនៅគ្រប់ចំណុចនៃដែននិយមន័យរបស់វា។ ជាធម្មតាមានមុខងារបែបនេះជាច្រើនប្រភេទ ហើយដើម្បីជ្រើសរើសលទ្ធផលណាមួយ អ្នកត្រូវដាក់លក្ខខណ្ឌបន្ថែមលើវា៖ ឧទាហរណ៍ តម្រូវឱ្យការសម្រេចចិត្តយកតម្លៃជាក់លាក់មួយនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ។

បញ្ហាចម្បង និងលទ្ធផលនៃទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖ អត្ថិភាពនិងភាពប្លែកនៃដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាផ្សេងៗសម្រាប់ ODEs វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយ ODEs សាមញ្ញ ការសិក្សាគុណភាពនៃដំណោះស្រាយចំពោះ ODEs ដោយមិនស្វែងរកទម្រង់ច្បាស់លាស់របស់ពួកគេ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកគឺជាសមីការដែលមានមុខងារមិនស្គាល់នៃអថេរជាច្រើន និងដេរីវេដោយផ្នែករបស់វា។

ទម្រង់ទូទៅនៃសមីការបែបនេះអាចត្រូវបានតំណាងដូចជា៖

,

តើអថេរឯករាជ្យនៅឯណា ហើយជាមុខងារនៃអថេរទាំងនេះ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonlinear គឺជាសាខានៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីទ្រឹស្តី និងវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការ nonlinear ដែលមានអនុគមន៍ដែលចង់បាន និងដេរីវេរបស់វានៃលំដាប់ផ្សេងៗនៃអាគុយម៉ង់មួយ (សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរធម្មតា) ឬអាគុយម៉ង់ជាច្រើន (សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរ)។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្ត ជាពិសេសដើម្បីពិពណ៌នាអំពីដំណើរការបណ្តោះអាសន្ន។

ទ្រឹស្ដីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonlinear គឺជាសាខានៃគណិតវិទ្យាដែលទាក់ទងនឹងការសិក្សានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងបញ្ហាពាក់ព័ន្ធ។ លទ្ធផលរបស់ពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិជាច្រើន៖ មេកានិច រូបវិទ្យា ភាពធន់នឹងកំដៅ អុបទិក។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonlinear គឺជាសមីការដែលបរិមាណមិនស្គាល់គឺជាមុខងារមួយ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខ្លួនវាពាក់ព័ន្ធនឹងមិនត្រឹមតែមុខងារមិនស្គាល់មួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននិស្សន្ទវត្ថុផ្សេងៗរបស់វាក្នុងទម្រង់មិនលីនេអ៊ែរផងដែរ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonlinear ពិពណ៌នាអំពីទំនាក់ទំនងរវាងមុខងារមិនស្គាល់ និងដេរីវេរបស់វា។ ទំនាក់ទំនងបែបនេះត្រូវបានស្វែងរកក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃចំណេះដឹង៖ មេកានិច រូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា ជីវវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច។ល។

មានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរធម្មតា និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរ កើតចេញពីបញ្ហានៃមេកានិកដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងកូអរដោនេនៃរូបកាយ ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿនរបស់ពួកគេ ដែលចាត់ទុកថាជាមុខងារនៃពេលវេលា។

ឧទាហរណ៍

• ច្បាប់ទីពីររបស់ញូតុនអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

,

កន្លែងណា ម- ម៉ាសរាងកាយ, x- សំរបសំរួលរបស់វា ច (x, t) - កម្លាំងធ្វើសកម្មភាពលើរាងកាយដោយកូអរដោនេ xនៅចំណុចមួយក្នុងពេលវេលា t. ដំណោះស្រាយរបស់វាគឺគន្លងនៃរាងកាយក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងដែលបានបញ្ជាក់។

• រំញ័រនៃខ្សែអក្សរត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ

,

កន្លែងណា យូ = យូ (x, t) - ការផ្លាតខ្សែអក្សរនៅចំណុចមួយជាមួយកូអរដោណេ xនៅចំណុចមួយក្នុងពេលវេលា t, ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃខ្សែអក្សរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាសមីការដែលពាក់ព័ន្ធនឹងអនុគមន៍ និងមួយ ឬច្រើននៃដេរីវេរបស់វា។ នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងភាគច្រើន មុខងារតំណាងឱ្យបរិមាណរូបវន្ត និស្សន្ទវត្ថុត្រូវគ្នាទៅនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណទាំងនេះ ហើយសមីការកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងពួកវា។

អត្ថបទនេះពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រភេទមួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា ដំណោះស្រាយដែលអាចសរសេរជាទម្រង់ មុខងារបឋមនោះគឺ ពហុនាម អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និងត្រីកោណមាត្រ ក៏ដូចជាមុខងារបញ្ច្រាសរបស់វា។ សមីការទាំងនេះជាច្រើនកើតឡើងក្នុងជីវិតពិត ទោះបីជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលភាគច្រើនមិនអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រទាំងនេះក៏ដោយ ហើយសម្រាប់ពួកគេ ចម្លើយត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់មុខងារពិសេស ឬស៊េរីថាមពល ឬត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រលេខ។

ដើម្បីយល់ពីអត្ថបទនេះ អ្នកត្រូវតែស្ទាត់ជំនាញក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល ព្រមទាំងមានការយល់ដឹងខ្លះៗអំពីនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក។ វាត្រូវបានណែនាំផងដែរឱ្យដឹងពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ជាពិសេសសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ ទោះបីជាចំណេះដឹងនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាលគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយវាក៏ដោយ។

ព័ត៌មានបឋម

• សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានការចាត់ថ្នាក់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ អត្ថបទនេះនិយាយអំពី សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។នោះគឺអំពីសមីការដែលរួមបញ្ចូលមុខងារនៃអថេរមួយ និងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាគឺងាយស្រួលយល់ និងដោះស្រាយជាង សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកដែលរួមបញ្ចូលមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ អត្ថបទនេះមិនពិភាក្សាអំពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែកទេ ដោយសារវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់ដោយទម្រង់ជាក់លាក់របស់វា។
  • ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
  • ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\ផ្នែក y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• បញ្ជាទិញនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ដោយលំដាប់នៃដេរីវេទីវេទីខ្ពស់បំផុតដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការនេះ។ ទីមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាខាងលើគឺជាសមីការលំដាប់ទីមួយ ចំណែកឯសមីការទីពីរគឺជាសមីការលំដាប់ទីពីរ។ សញ្ញាបត្រនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាអំណាចខ្ពស់បំផុត ដែលលក្ខខណ្ឌមួយនៃសមីការនេះត្រូវបានលើកឡើង។
  • ឧទាហរណ៍ សមីការខាងក្រោមគឺជាលំដាប់ទីបី និងសញ្ញាបត្រទីពីរ។
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)))^(3)y)((\mathrm (d))x^(3)))\ ស្តាំ)^(2)+(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=0)
• សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរក្នុងករណីដែលមុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់របស់វាស្ថិតនៅក្នុងដឺក្រេទីមួយ។ បើមិនដូច្នោះទេសមីការគឺ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonlinear. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរគឺគួរឱ្យកត់សម្គាល់ដែលដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្កើតបន្សំលីនេអ៊ែរដែលនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។
  • ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ។
    • d y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+p(x)y=q(x) )
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+by=0)
  • ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ។ សមីការទីមួយគឺមិនមែនលីនេអ៊ែរ ដោយសារពាក្យស៊ីនុស។
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta)((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d))x)((\mathrm (d))t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• ការសម្រេចចិត្តទូទៅសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាមិនមានតែមួយទេ វារួមបញ្ចូល ថេរសមាហរណកម្មដោយបំពាន. ក្នុងករណីភាគច្រើន ចំនួននៃថេរបំពានគឺស្មើនឹងលំដាប់នៃសមីការ។ នៅក្នុងការអនុវត្តតម្លៃនៃថេរទាំងនេះត្រូវបានកំណត់ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលផ្តល់ឱ្យ លក្ខខណ្ឌដំបូង, នោះគឺយោងទៅតាមតម្លៃនៃអនុគមន៍និងដេរីវេរបស់វានៅ x = 0. (\displaystyle x=0.)ចំនួននៃលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរក ដំណោះស្រាយឯកជនសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ក្នុងករណីភាគច្រើនក៏ស្មើនឹងលំដាប់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។
  • ជាឧទាហរណ៍ អត្ថបទនេះនឹងពិនិត្យមើលការដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម។ នេះគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរ។ ដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាមានអថេរបំពានពីរ។ ដើម្បីស្វែងរកថេរទាំងនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការដឹងពីលក្ខខណ្ឌដំបូងនៅ x (0) (\ រចនាប័ទ្ម x(0))និង x ′ (0) ។ (\displaystyle x"(0))ជាធម្មតាលក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានបញ្ជាក់នៅចំណុច x = 0 , (\ រចនាប័ទ្ម x = 0,)ទោះបីជាវាមិនចាំបាច់ក៏ដោយ។ អត្ថបទនេះក៏នឹងពិភាក្សាផងដែរអំពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់សម្រាប់លក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

ជំហាន

ផ្នែកទី 1

សមីការលំដាប់ទីមួយ

នៅពេលប្រើប្រាស់សេវាកម្មនេះ ព័ត៌មានមួយចំនួនអាចត្រូវបានផ្ទេរទៅ YouTube ។

ទំព័រនេះត្រូវបានគេមើល 69,354 ដង។

តើអត្ថបទនេះមានប្រយោជន៍ទេ?

យើងបន្តទៅពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកលំដាប់ទីមួយក្នុងករណីទូទៅ។ ដូចទៅនឹងសមីការលីនេអ៊ែរដែលបានពិភាក្សាខាងលើ យើងនឹងសន្មត់ថាមានតែអថេរឯករាជ្យពីរប៉ុណ្ណោះ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកលំដាប់ទីមួយសម្រាប់មុខងារនៃអថេរឯករាជ្យពីរគឺ

ចូរយើងពន្យល់ពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃសមីការសរសេរជាមុនសិន។ នៅចំណុចថេរណាមួយ សមីការ (59) តំណាងឱ្យទំនាក់ទំនងរវាង ពោលគឺទំនាក់ទំនងរវាងកូស៊ីនុសទិសនៃធម្មតាទៅផ្ទៃ។ ធម្មតា​ដែល​បំពេញ​ទំនាក់ទំនង​នេះ​បង្កើត​ជា​ផ្ទៃ​រាង​សាជី​ជាក់លាក់​ជាមួយ​នឹង​កំពូល។ យន្តហោះ​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​និង​កាត់​កែង​ទៅ​ម៉ាស៊ីន​បង្កើត​កោណ​នេះ​តំណាង​ឱ្យ​ទីតាំង​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន

យន្តហោះតង់សង់នៅចំណុចថេរមួយទៅផ្ទៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវការ។ ក្រុមគ្រួសារនៃយន្តហោះនេះ ក៏ដូចជាក្រុមគ្រួសារនៃធម្មតាដែលបង្កើតជាកោណនឹងអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។ ស្រោមសំបុត្រនៃគ្រួសារនៃយន្តហោះនេះនឹងតំណាងឱ្យកោណថ្មីមួយដែលយើងនឹងហៅថាកោណ T. សមីការ (59) គឺស្មើនឹងការបញ្ជាក់កោណ T នៅចំណុចនីមួយៗក្នុងលំហ ហើយផ្ទៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បាននៃសមីការ (59) ត្រូវតែ មានទ្រព្យសម្បត្តិដែលនៅចំណុចនីមួយៗរបស់វា យន្តហោះតង់សង់ត្រូវប៉ះកោណ T ដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចនេះ។

ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃម៉ាស៊ីនភ្លើងនៃកោណ T នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរ និង q ជាមុខងារនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយចំនួន a សមីការពេញចិត្ត (59) នៅចំណុចថេរ។ កោណ T គឺជាស្រោមសំបុត្រនៃគ្រួសារយន្តហោះមួយ៖

ភាពខុសគ្នាដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a យើងទទួលបានសមីការបន្ថែម

ភាពខុសគ្នានៃទំនាក់ទំនង (59) ទាក់ទងនឹង a យើងទទួលបាន

នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងសន្មត់ថាសម្រាប់តម្លៃដែលបានពិចារណានៃអថេរ ពួកវាមិនរលាយបាត់ក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះទេ ពោលគឺការលើកលែងតែមួយគត់នឹងជាករណីនៃដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការ (59)។ ដោយសន្មត់ថា - ហើយមិនអាចស្មើសូន្យក្នុងពេលតែមួយបានទេ យើងទទួលបានពីសមីការដូចគ្នា (61) និង (62)

ហើយទីបំផុតសមីការ (60) ទីបំផុតផ្តល់ឱ្យយើងនូវសមីការនៃម៉ាស៊ីនភ្លើងនៃកោណ:

ដើម្បីទទួលបានម៉ាស៊ីនភ្លើងផ្សេងគ្នានៃកោណ T យើងត្រូវជំនួសតម្លៃផ្សេងគ្នាសម្រាប់ q ទៅក្នុងភាគបែង ទំនាក់ទំនងពេញចិត្ត (59) នៅចំណុចថេរ។

ក្នុងករណីសមីការលីនេអ៊ែរ (2) យើងមាននៅចំនុចនីមួយៗមានទិសដៅជាក់លាក់មួយ ហើយប្លង់តង់សង់ទៅផ្ទៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវការគួរតែមានទិសដៅនេះ។ ក្នុងករណីនេះយើងមាននៅចំណុចនីមួយៗ ជំនួសឱ្យទិសដៅជាក់លាក់មួយ។ កោណមួយ ហើយប្លង់តង់សង់ទៅផ្ទៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បានគួរតែប៉ះកោណនេះ។ ដូច្នេះយើងមិនអាចបង្កើតខ្សែកោងលក្ខណៈដោយផ្ទាល់សម្រាប់សមីការមិនលីនេអ៊ែរ (59) តាមរបៀបដូចដែលយើងបានធ្វើសម្រាប់សមីការលីនេអ៊ែរ (2) ដែលមាន វាលជាក់លាក់នៃទិសដៅ។ ក្នុងករណីនេះ ជំនួសឱ្យវាលនៃទិសដៅ យើងមានវាលនៃកោណ T. ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងនឹងបង្ហាញថា ដោយមានផ្ទៃអាំងតេក្រាលនៃសមីការ (59) យើងអាចគ្របដណ្តប់វាជាមួយនឹងបន្ទាត់ដែលស្រដៀងទៅនឹងបន្ទាត់លក្ខណៈ។ នៃសមីការលីនេអ៊ែរ (2) ។ ជាការពិតណាស់ នៅចំណុចនីមួយៗនៃផ្ទៃអាំងតេក្រាល យន្តហោះតង់សង់ត្រូវប៉ះកោណ T ដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចនេះ ហើយដូច្នេះ ត្រូវតែមានធាតុមួយនៃការបង្កើតនៃកោណនេះ តាមបណ្តោយដែលវាប៉ះកោណ។ ម៉ាស៊ីនភ្លើងទាំងនេះនៃកោណ T នៅចំណុចផ្សេងៗនៃផ្ទៃបង្កើតនៅលើផ្ទៃអាំងតេក្រាលនៃវាលទិសដៅមួយចំនួន ហើយដោយហេតុនេះ ការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយដែលត្រូវគ្នានឹងវាលនៃទិសដៅនេះ យើងគ្របដណ្តប់លើផ្ទៃរបស់យើងជាមួយនឹងក្រុមនៃខ្សែកោង T អាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។ កូស៊ីនុសទិសនៃវាលទិសដៅដែលបានរៀបរាប់ត្រូវតែសមាមាត្រទៅនឹងភាគបែងនៃសមីការ (64) ដែលនិង q ត្រូវបានកំណត់ដោយផ្ទាល់ពីសមីការនៃផ្ទៃអាំងតេក្រាលដែលកំពុងពិចារណា។ ដូច្នេះ តាមបណ្តោយបន្ទាត់ដែលបានរៀបរាប់គ្របដណ្តប់លើផ្ទៃអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ទំនាក់ទំនងត្រូវតែពេញចិត្ត

ដើម្បីស្វែងរកបន្ទាត់ដែលបានរៀបរាប់នៅលើផ្ទៃអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការរួមបញ្ចូលសមីការលំដាប់ទីមួយ

ជាងនេះទៅទៀត ភាគបែងនៃប្រភាគដែលសរសេរមានតែអថេរ x និង y ប៉ុណ្ណោះ ចាប់តាំងពីអនុគមន៍ a និងដេរីវេផ្នែកខ្លះរបស់វា និង q នៅលើផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាមុខងារនៃ x និង y ។ ការរួមបញ្ចូលសមីការ (67) និងការប្រើសមីការផ្ទៃយើងទទួលបានបន្ទាត់ដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (66) មានអត្ថន័យជាក់លាក់សម្រាប់តែជម្រើសជាក់លាក់នៃផ្ទៃអាំងតេក្រាល និង . ការដឹងពីផ្ទៃអាំងតេក្រាលផ្តល់ឱ្យយើងនិង q ជាមុខងារនៃ . ឥឡូវនេះយើងនឹងបន្ថែមប្រព័ន្ធសមីការ (66) ជាមួយនឹងសមីការពីរបន្ថែមទៀតដែលមានឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដូច្នេះយើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃផ្ទៃអាំងតេក្រាលនៃសមីការ (59)។ ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ និង t ដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍ និង៖

ហើយអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីដេរីវេនៃផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (59) ទាក់ទងនឹង៖

ការបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (55) ទាក់ទងទៅនឹង x និង y ទាំងស្រុង យើងទទួលបាន

ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងច្បាស់ជាមាន

ពីសមីការសរសេរវាភ្លាមៗតាមនោះ។

ដូច្នេះហើយ យើងអាចបន្ថែមសមីការពីរចុងក្រោយទៅសមីការ (66) ហើយដូច្នេះទទួលបានប្រព័ន្ធខាងក្រោមនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រាំជាមួយនឹងមុខងារប្រាំនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រជំនួយ