កិច្ចការទី 1 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណុះគ្រាប់ពូជស្រូវសាលីគឺ 0.9 ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមគ្រាប់ពូជបួនដែលបានសាបព្រោះយ៉ាងហោចណាស់បីនឹងពន្លក?
ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ ក- ពី 4 គ្រាប់ យ៉ាងហោចណាស់ 3 គ្រាប់នឹងពន្លក; ព្រឹត្តិការណ៍ IN- ពី 4 គ្រាប់ 3 គ្រាប់នឹងពន្លក; ព្រឹត្តិការណ៍ ជាមួយ- ពី ៤ គ្រាប់ ៤ គ្រាប់នឹងពន្លក។ ដោយទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ
ប្រូបាប៊ីលីតេ 
និង 
យើងកំណត់ដោយរូបមន្តរបស់ Bernoulli ដែលត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងករណីដូចខាងក្រោម។ សូមឱ្យស៊េរីត្រូវបានប្រារព្ធឡើង ទំការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ ក្នុងអំឡុងពេលនីមួយៗដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងគឺថេរ និងស្មើ រហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះមិនកើតឡើងគឺស្មើនឹង 
. បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍ កវ ទំការធ្វើតេស្តនឹងបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដ 
ដង គណនាដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli
,
កន្លែងណា 
- ចំនួននៃបន្សំ ទំធាតុដោយ 
. បន្ទាប់មក
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ
កិច្ចការទី 2 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណុះគ្រាប់ពូជស្រូវសាលីគឺ 0.9 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមគ្រាប់ពូជ 400 គ្រាប់ដែលបានសាបព្រោះ 350 គ្រាប់នឹងពន្លក។
ដំណោះស្រាយ។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ 
ការប្រើរូបមន្តរបស់ Bernoulli គឺពិបាកដោយសារតែភាពស្មុគស្មាញនៃការគណនា។ ដូច្នេះ យើងអនុវត្តរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែលដែលបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានរបស់ Laplace៖
,
កន្លែងណា 
និង 
.
ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ បន្ទាប់មក
.
យើងរកឃើញពីតារាងទី 1 នៃឧបសម្ព័ន្ធ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង
កិច្ចការទី 3 ។គ្រាប់ពូជស្រូវសាលីមានស្មៅ 0.02% ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាប្រសិនបើគ្រាប់ពូជចំនួន 10,000 ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនោះ គ្រាប់ពូជស្មៅចំនួន 6 នឹងត្រូវបានរកឃើញ?
ដំណោះស្រាយ។ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានរបស់ Laplace ដោយសារតែប្រូបាប៊ីលីតេទាប 
នាំទៅរកគម្លាតយ៉ាងសំខាន់នៃប្រូបាប៊ីលីតេពីតម្លៃពិតប្រាកដ 
. ដូច្នេះតម្លៃតូច រដើម្បីគណនា 
អនុវត្តរូបមន្ត Asymptotic Poisson
, កន្លែងណា។
រូបមន្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេល 
, និងតិច រនិងច្រើនទៀត ទំលទ្ធផលកាន់តែត្រឹមត្រូវ។
យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា 
;
. បន្ទាប់មក
កិច្ចការទី 4 ។ភាគរយដំណុះនៃគ្រាប់ពូជស្រូវសាលីគឺ 90% ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគ្រាប់ពូជដែលសាបព្រោះក្នុងចំណោម 500 គ្រាប់ ពី 400 ទៅ 440 គ្រាប់នឹងពន្លក។
ដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង កនៅក្នុងគ្នា ទំការធ្វើតេស្តគឺថេរនិងស្មើគ្នា របន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ 
ព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ កនៅក្នុងការធ្វើតេស្តបែបនេះនឹងមានមិនតិចទេ។ 
ម្តង និងមិនមានទៀតទេ 
ដងកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលរបស់ Laplace ដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖
, កន្លែងណា
, 
.
មុខងារ 
ហៅថាមុខងារ Laplace ។ ឧបសម្ព័ន្ធ (តារាងទី 2) ផ្តល់តម្លៃនៃអនុគមន៍នេះសម្រាប់ 
. នៅ 
មុខងារ 
. នៅ តម្លៃអវិជ្ជមាន Xដោយសារតែភាពចម្លែកនៃមុខងារ Laplace 
. ដោយប្រើមុខងារ Laplace យើងមាន៖
យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃភារកិច្ច។ ដោយប្រើរូបមន្តខាងលើយើងរកឃើញ 
និង 
:
កិច្ចការទី 5 ។ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ X:
ស្វែងរក៖ 1) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា; 2) ការបែកខ្ញែក; 3) គម្លាតស្តង់ដារ។
ដំណោះស្រាយ។ 1) ប្រសិនបើច្បាប់នៃការចែកចាយផ្តាច់មុខ អថេរចៃដន្យផ្តល់ឱ្យដោយតារាង
|
| ||||||
នៅកន្លែងដែលបន្ទាត់ទីមួយមានតម្លៃនៃអថេរ x ហើយបន្ទាត់ទីពីរមានប្រូបាបនៃតម្លៃទាំងនេះ នោះការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត
2) ភាពខុសគ្នា 
អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xហៅ តម្លៃរំពឹងទុកការេនៃគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យមួយពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា i.e.
តម្លៃនេះកំណត់លក្ខណៈនៃតម្លៃរំពឹងទុកជាមធ្យមនៃគម្លាតការេ Xពី 
. ពីរូបមន្តចុងក្រោយដែលយើងមាន
ភាពប្រែប្រួល 
អាចត្រូវបានរកឃើញតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត ដោយផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមរបស់វា៖ ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ 
ស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃអថេរចៃដន្យ Xនិងការ៉េនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ 
នោះគឺ
ដើម្បីគណនា 
ចូរយើងបង្កើតច្បាប់នៃការចែកចាយបរិមាណដូចខាងក្រោម 
:
3) សម្រាប់លក្ខណៈនៃការខ្ចាត់ខ្ចាយ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យជុំវិញតម្លៃមធ្យមរបស់វា គម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានណែនាំ 
អថេរចៃដន្យ Xស្មើនឹងឫសការ៉េនៃបំរែបំរួល 
នោះគឺ
.
ពីរូបមន្តនេះយើងមាន៖ 
កិច្ចការទី 6 ។អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ Xផ្តល់ដោយអនុគមន៍ចែកចាយបន្ត
ស្វែងរក៖ 1) មុខងារចែកចាយឌីផេរ៉ង់ស្យែល 
; 2) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា 
; 3) ភាពខុសគ្នា 
.
ដំណោះស្រាយ។ 1) មុខងារចែកចាយឌីផេរ៉ង់ស្យែល 
អថេរចៃដន្យបន្ត Xត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ចែកចាយបន្ត 
នោះគឺ
.
មុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលស្វែងរកមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
2) ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យបន្ត Xផ្តល់ដោយមុខងារ 
បន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
ចាប់តាំងពីមុខងារ 
នៅ 
និងនៅ 
គឺស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកពីរូបមន្តចុងក្រោយដែលយើងមាន
.
3) ភាពខុសគ្នា 
យើងនឹងកំណត់ដោយរូបមន្ត
កិច្ចការទី 7 ។ប្រវែងនៃផ្នែកគឺជាអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃ 40 មម និងគម្លាតស្តង់ដារនៃ 3 មម។ ស្វែងរក៖ 1) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រវែងនៃផ្នែកដែលបានយកតាមអំពើចិត្តនឹងមានច្រើនជាង 34 មម និងតិចជាង 43 មម; 2) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រវែងនៃផ្នែកនឹងខុសពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាមិនលើសពី 1.5 មីលីម៉ែត្រ។
ដំណោះស្រាយ។ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ X- ប្រវែងនៃផ្នែក។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ Xផ្តល់ដោយមុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល 
បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ Xនឹងយកតម្លៃដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក 
, ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
.
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃវិសមភាពដ៏តឹងរឹង 
ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តដូចគ្នា។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ Xត្រូវបានចែកចាយទៅតាមច្បាប់ធម្មតា។
, (1)
កន្លែងណា 
- មុខងារ Laplace 
.
នៅក្នុងបញ្ហា។ បន្ទាប់មក
2) យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា, ដែលជាកន្លែងដែល 
. ជំនួស (1) យើងមាន
. (2)
ពីរូបមន្ត (2) យើងមាន។
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X គឺជាតម្លៃមធ្យម។
1. M(C) = C
2. M(CX) = CM(X), កន្លែងណា គ= const
3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)
4. ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ Xនិង យឯករាជ្យ M(XY) = M(X) M(Y)
ការបែកខ្ញែក
ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានគេហៅថា
D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) - អិម 2 (X).
ការបែកខ្ញែកគឺជារង្វាស់នៃគម្លាតនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យពីតម្លៃមធ្យមរបស់វា។
1. D(C) = 0
2. D(X+C) = D(X)
3. ឃ(CX) = គ 2 D(X), កន្លែងណា គ= const
4. សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ
D(X ± Y) = D(X) + D(Y)
5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)
ឫសការេពីភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានគេហៅថាគម្លាតស្តង់ដារ 
.
@កិច្ចការ ៣៖ អនុញ្ញាតឱ្យអថេរ X យកតែតម្លៃពីរ (0 ឬ 1) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ q, ទំ, កន្លែងណា p + q = ១. ស្វែងរកការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យា។
ដំណោះស្រាយ៖
M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – ទំ) 2 p + (0 – ទំ) 2 q = pq ។
@កិច្ចការ ៤៖ ការរំពឹងទុក និងការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ Xគឺស្មើនឹង 8. ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ៖ ក) X – ៤; ខ) ៣X–៤.
ដំណោះស្រាយ៖ M(X–4)=M(X)–4=8–4=4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X − 4) = 9D(X) = 72 ។
@កិច្ចការ ៥៖ ចំនួនសរុបនៃគ្រួសារមានការចែកចាយដូចខាងក្រោមតាមចំនួនកុមារ៖
| x ខ្ញុំ | x ១ | x ២ | ||
| ទំ | 0,1 | ទំ ២ | 0,4 | 0,35 |
កំណត់ x ១, x ២និង ទំ ២ប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ M(X) = 2; D(X) = 0.9.
ដំណោះស្រាយ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេ p 2 ស្មើនឹង p 2 = 1 – 0.1 – 0.4 – 0.35 = 0.15 ។ x ដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការ៖ M(X) = x 1 ·0.1 + x 2 ·0.15 + 2·0.4 + 3·0.35 = 2; D(X) = · 0.1 + · 0.15 + 4 · 0.4 + 9 · 0.35 – 4 = 0.9 ។ x 1 = 0; x 2 = 1 ។
ចំនួនប្រជាជន និងគំរូ។ ការប៉ាន់ប្រមាណប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ការសង្កេតជ្រើសរើស
ការសង្កេតស្ថិតិអាចត្រូវបានរៀបចំជាបន្ត ឬមិនបន្ត។ ការសង្កេតជាបន្តបន្ទាប់ពាក់ព័ន្ធនឹងការពិនិត្យមើលអង្គភាពទាំងអស់នៃចំនួនប្រជាជនដែលកំពុងសិក្សា (ចំនួនប្រជាជនទូទៅ)។ ចំនួនប្រជាជន គឺជាសំណុំនៃរូបវន្ត ឬ នីតិបុគ្គលដែលអ្នកស្រាវជ្រាវសិក្សាតាមភារកិច្ចរបស់គាត់។ នេះជាញឹកញាប់មិនអាចសម្រេចបានតាមបែបសេដ្ឋកិច្ច ហើយពេលខ្លះមិនអាចទៅរួច។ ក្នុងន័យនេះ មានតែផ្នែកមួយនៃប្រជាជនទូទៅប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសិក្សា - ចំនួនប្រជាជនគំរូ .
លទ្ធផលដែលទទួលបានពីប្រជាជនគំរូអាចពង្រីកដល់ប្រជាជនទូទៅ ប្រសិនបើគោលការណ៍ខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្ត៖
1. ចំនួនប្រជាជនគំរូត្រូវតែកំណត់ដោយចៃដន្យ។
2. ចំនួនឯកតានៅក្នុងចំនួនប្រជាជនគំរូត្រូវតែគ្រប់គ្រាន់។
3. ត្រូវតែផ្តល់ជូន តំណាង ( តំណាង) នៃគំរូ។ គំរូតំណាងគឺជាគំរូតូចជាង ប៉ុន្តែត្រឹមត្រូវនៃចំនួនប្រជាជនដែលវាមានបំណងឆ្លុះបញ្ចាំង។
ប្រភេទគំរូ
ប្រភេទគំរូខាងក្រោមត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្ត៖
ក) ចៃដន្យយ៉ាងតឹងរឹង ខ) មេកានិច គ) ធម្មតា ឃ) សៀរៀល ង) រួមបញ្ចូលគ្នា។
គំរូចៃដន្យត្រឹមត្រូវ។
នៅ គំរូចៃដន្យជាក់ស្តែង ការជ្រើសរើសឯកតាក្នុងចំនួនប្រជាជនគំរូត្រូវបានអនុវត្តដោយចៃដន្យ ឧទាហរណ៍ដោយការចាប់ឆ្នោត ឬប្រើម៉ាស៊ីនបង្កើតលេខចៃដន្យ។
គំរូអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតឬមិនធ្វើម្តងទៀត។ នៅក្នុងការយកគំរូឡើងវិញ ឯកតាដែលត្រូវបានយកជាគំរូត្រូវបានត្រឡប់មកវិញ ហើយរក្សានូវឱកាសស្មើគ្នាក្នុងការយកគំរូម្តងទៀត។ នៅក្នុងគំរូដែលមិនច្រំដែល អង្គភាពប្រជាជនដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងគំរូមិនចូលរួមក្នុងគំរូនាពេលអនាគតទេ។
កំហុសដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសង្កេតគំរូដែលកើតឡើងដោយសារតែការពិតដែលថាចំនួនប្រជាជនគំរូមិនបង្កើតឡើងវិញទាំងស្រុងនូវចំនួនប្រជាជនទូទៅត្រូវបានគេហៅថា កំហុសស្តង់ដារ . ពួកវាតំណាងឱ្យភាពខុសគ្នានៃការ៉េមធ្យមរវាងតម្លៃនៃសូចនាករដែលទទួលបានពីគំរូ និងតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃសូចនាករនៃប្រជាជនទូទៅ។
រូបមន្តគណនាសម្រាប់កំហុសស្តង់ដារសម្រាប់ការយកគំរូម្តងហើយម្តងទៀតដោយចៃដន្យមានដូចខាងក្រោម៖ 
ដែលជាកន្លែងដែល S 2 គឺជាភាពខុសគ្នានៃចំនួនប្រជាជនគំរូ n/N –ការចែករំលែកគំរូ, n, ន- ចំនួនគ្រឿងក្នុងគំរូ និងប្រជាជនទូទៅ។ នៅ n = នកំហុសស្តង់ដារ m = 0 ។
គំរូមេកានិក
នៅ គំរូមេកានិច ចំនួនប្រជាជនត្រូវបានបែងចែកទៅជាចន្លោះពេលស្មើគ្នា ហើយឯកតាមួយត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យពីចន្លោះនីមួយៗ។
ជាឧទាហរណ៍ ជាមួយនឹងអត្រាគំរូ 2% រាល់ឯកតាទី 50 ត្រូវបានជ្រើសរើសពីបញ្ជីប្រជាជន។
កំហុសស្ដង់ដារនៃគំរូមេកានិកត្រូវបានកំណត់ថាជាកំហុសនៃគំរូចៃដន្យពិតប្រាកដដែលមិនកើតឡើងដដែលៗ។
គំរូធម្មតា។
នៅ គំរូធម្មតា។ ប្រជាជនទូទៅត្រូវបានបែងចែកទៅជាក្រុមធម្មតាដូចគ្នា បន្ទាប់មកឯកតាត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យពីក្រុមនីមួយៗ។
សំណាកធម្មតាមួយត្រូវបានប្រើនៅក្នុងករណីនៃចំនួនប្រជាជនខុសគ្នា។ គំរូធម្មតាផ្តល់ឱ្យកាន់តែច្រើន លទ្ធផលត្រឹមត្រូវ។ដោយសារតែតំណាងត្រូវបានធានា។
ឧទាហរណ៍ គ្រូបង្រៀនជាប្រជាជនទូទៅត្រូវបានបែងចែកជាក្រុមតាម សញ្ញាខាងក្រោម៖ ភេទ បទពិសោធន៍ គុណវុឌ្ឍិ ការអប់រំ ទីក្រុង និង សាលាជនបទល។
កំហុសស្តង់ដារនៃគំរូធម្មតាត្រូវបានកំណត់ថាជាកំហុសនៃគំរូចៃដន្យពិតប្រាកដ ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាតែមួយគត់ដែល ស ២ត្រូវបានជំនួសដោយមធ្យមភាគនៃបំរែបំរួលក្នុងក្រុម។
ការយកគំរូតាមស៊េរី
នៅ ការយកគំរូតាមសៀរៀល ប្រជាជនទូទៅត្រូវបានបែងចែកទៅជាក្រុមដាច់ដោយឡែក (ស៊េរី) បន្ទាប់មកក្រុមដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យត្រូវបានទទួលរងនូវការសង្កេតជាបន្តបន្ទាប់។
កំហុសស្តង់ដារនៃគំរូសៀរៀលត្រូវបានកំណត់ថាជាកំហុសនៃគំរូចៃដន្យពិតប្រាកដ ដោយភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺ ស ២ត្រូវបានជំនួសដោយមធ្យមភាគនៃភាពខុសគ្នារវាងក្រុម។
គំរូរួមបញ្ចូលគ្នា
គំរូរួមបញ្ចូលគ្នាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទគំរូពីរ ឬច្រើន។
ការប៉ាន់ស្មានចំណុច
គោលដៅចុងក្រោយនៃការសង្កេតគំរូគឺដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈនៃចំនួនប្រជាជន។ ដោយសារវាមិនអាចធ្វើបានដោយផ្ទាល់ លក្ខណៈនៃចំនួនប្រជាជនគំរូត្រូវបានពង្រីកដល់ប្រជាជនទូទៅ។
លទ្ធភាពជាមូលដ្ឋាននៃការកំណត់មធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនប្រជាជនពីទិន្នន័យនៃគំរូមធ្យមត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev. ជាមួយនឹងការពង្រីកគ្មានដែនកំណត់ នប្រូបាប៊ីលីតេដែលភាពខុសគ្នារវាងមធ្យមគំរូ និងមធ្យមទូទៅនឹងមានតិចតួចតាមអំពើចិត្តមានទំនោរទៅ 1 ។
នេះមានន័យថាលក្ខណៈនៃចំនួនប្រជាជនដែលមានភាពត្រឹមត្រូវនៃ . ការវាយតម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថា ចំណុច .
ការប៉ាន់ស្មានចន្លោះពេល
មូលដ្ឋាននៃការប៉ាន់ស្មានចន្លោះពេលគឺ ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល.
ការប៉ាន់ស្មានចន្លោះពេលអនុញ្ញាតឱ្យយើងឆ្លើយសំណួរ: ក្នុងចន្លោះពេលមួយណា ហើយជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេអ្វីដែលមិនស្គាល់ តម្លៃដែលចង់បាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំនួនប្រជាជនដែលមានទីតាំងនៅ?
ជាធម្មតាយើងនិយាយអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃទំនុកចិត្ត ទំ = 1 – a ដែលវានឹងស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេល – ឃ< < + D, где D = t cr m > 0 កំហុសរឹម គំរូ, a - កម្រិតសារៈសំខាន់ (ប្រូបាប៊ីលីតេដែលវិសមភាពនឹងមិនពិត) t cr- តម្លៃសំខាន់ដែលអាស្រ័យលើតម្លៃ ននិង ក. សម្រាប់គំរូតូចមួយ n< 30 t crត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើតម្លៃសំខាន់នៃ Student t-distribution សម្រាប់ការធ្វើតេស្តពីរខាងជាមួយ ន- 1 ដឺក្រេនៃសេរីភាពដែលមានសារៈសំខាន់កម្រិត a ( t cr(ន - 1, ក) ត្រូវបានរកឃើញពីតារាង “តម្លៃសំខាន់នៃការចែកចាយ t របស់សិស្ស” ឧបសម្ព័ន្ធទី 2)។ សម្រាប់ n > 30, t crគឺជាបរិមាណនៃច្បាប់ចែកចាយធម្មតា ( t crត្រូវបានរកឃើញពីតារាងតម្លៃនៃអនុគមន៍ Laplace F(t) = (1 – ក)/២ ជាអាគុយម៉ង់)។ នៅ p = 0.954 តម្លៃសំខាន់ t cr= 2 នៅ p = 0.997 តម្លៃសំខាន់ t cr= 3. នេះមានន័យថាកំហុសរឹមជាធម្មតាមានទំហំធំជាង 2-3 ដងនៃកំហុសស្តង់ដារ។
ដូច្នេះ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តគំរូគឺថា ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យស្ថិតិនៃផ្នែកតូចមួយនៃចំនួនប្រជាជន វាអាចរកឃើញចន្លោះពេលដែលជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃទំនុកចិត្ត។ ទំលក្ខណៈដែលចង់បានរបស់មនុស្សទូទៅត្រូវបានរកឃើញ ( ចំនួនមធ្យមកម្មករ ពិន្ទុមធ្យម ទិន្នផលមធ្យម គម្លាតស្តង់ដារ។ល។)
@កិច្ចការ ១.ដើម្បីកំណត់ល្បឿននៃការទូទាត់ជាមួយម្ចាស់បំណុលនៃសហគ្រាសសាជីវកម្មនៅក្នុង ធនាគារពាណិជ្ជគំរូចៃដន្យនៃឯកសារបង់ប្រាក់ចំនួន 100 ត្រូវបានអនុវត្ត ដែលពេលវេលាជាមធ្យមសម្រាប់ការផ្ទេរ និងទទួលប្រាក់ប្រែទៅជា 22 ថ្ងៃ (= 22) ជាមួយនឹងគម្លាតស្តង់ដារ 6 ថ្ងៃ (S = 6) ។ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំ= 0.954 កំណត់កំហុសអតិបរមានៃមធ្យមគំរូ និងចន្លោះពេលទំនុកចិត្ត រយៈពេលមធ្យមការតាំងទីលំនៅរបស់សហគ្រាសនៃសាជីវកម្មនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖ កំហុសរឹមនៃគំរូមធ្យមយោងទៅតាម(1)ស្មើនឹងឃ= 2· 0.6 = 1.2 ហើយចន្លោះពេលទំនុកចិត្តត្រូវបានកំណត់ជា (22 – 1.2; 22 + 1.2) i.e. (២០.៨; ២៣.២)។
§6.5 ការជាប់ទាក់ទងគ្នា និងតំរែតំរង់
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា (តម្លៃមធ្យម) នៃអថេរចៃដន្យ X ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេដាច់ពីគ្នាគឺលេខ m = M[X]=∑x i p i ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។
គោលបំណងនៃសេវាកម្ម. ការប្រើប្រាស់សេវាកម្មអនឡាញ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានគណនា(សូមមើលឧទាហរណ៍) ។ លើសពីនេះទៀតក្រាហ្វនៃមុខងារចែកចាយ F(X) ត្រូវបានគ្រោងទុក។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ
- តម្លៃរំពឹងទុក តម្លៃថេរស្មើនឹងខ្លួនវា៖ M[C]=C, C ជាថេរ;
- M=C M[X]
- ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖ M=M[X]+M[Y]
- ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖ M = M[X] M[Y] ប្រសិនបើ X និង Y គឺឯករាជ្យ។
លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក
- ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃថេរគឺសូន្យ៖ D(c)=0។
- កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីក្រោមសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការការ៉េវា៖ D(k*X)= k 2 D(X) ។
- ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X និង Y គឺឯករាជ្យ នោះវ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួល៖ D(X+Y)=D(X)+D(Y)។
- ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X និង Y គឺអាស្រ័យ៖ D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- រូបមន្តគណនាខាងក្រោមមានសុពលភាពសម្រាប់ការបែកខ្ញែក៖
D(X)=M(X 2)-(M(X)) ២
ឧទាហរណ៍។ ការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរ X និង Y ត្រូវបានគេស្គាល់៖ M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ Z=9X-8Y+7 ។
ដំណោះស្រាយ។ ផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖ M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = ២៣.
ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែកខ្ញែក៖ D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖ តម្លៃរបស់វាទាំងអស់អាចត្រូវបានប្តូរលេខ លេខធម្មជាតិ; កំណត់តម្លៃនីមួយៗនូវប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមែនជាសូន្យ។- យើងគុណគូមួយដោយមួយ: x i ដោយ p i ។
- បន្ថែមផលិតផលនៃគូនីមួយៗ x i p i ។
ឧទាហរណ៍សម្រាប់ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
ឧទាហរណ៍លេខ 1 ។
| x ខ្ញុំ | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| ទំ | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
យើងរកឃើញការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដោយប្រើរូបមន្ត m = ∑x i p i ។
ការរំពឹងទុក M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
យើងរកឃើញបំរែបំរួលដោយប្រើរូបមន្ត d = ∑x 2 i p i − M[x] 2 ។
ភាពខុសគ្នា D[X].
D[X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
គម្លាតស្តង់ដារ σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
ឧទាហរណ៍លេខ 2 ។ អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមានស៊េរីចែកចាយដូចខាងក្រោមៈ
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| រ | ក | 0,32 | 2ក | 0,41 | 0,03 |
ដំណោះស្រាយ។ តម្លៃនៃ a ត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនង៖ Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 ឬ 0.24 = 3 a ពីកន្លែងដែល a = 0.08
ឧទាហរណ៍លេខ 3 ។ កំណត់ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ប្រសិនបើវ៉ារ្យង់របស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ និង x 1
p 1 = 0.3; p 2 = 0.3; p 3 = 0.1; p 4 = 0.3
d(x)=12.96
ដំណោះស្រាយ។
នៅទីនេះអ្នកត្រូវបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកវ៉ារ្យង់ d(x)៖
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
ដែលការរំពឹងទុក m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
សម្រាប់ទិន្នន័យរបស់យើង។
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3*0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
ឬ -9/100 (x 2 -20x+96)=0
ដូច្នោះហើយ យើងត្រូវស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ ហើយវានឹងមានពីរ។
x 3 = 8, x 3 = 12
ជ្រើសរើសមួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ x 1
ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0.3; p 2 = 0.3; p 3 = 0.1; p 4 = 0.3
ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាផ្នែកពិសេសនៃគណិតវិទ្យា ដែលត្រូវបានសិក្សាដោយសិស្សនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សាតែប៉ុណ្ណោះ។ តើអ្នកចូលចិត្តការគណនា និងរូបមន្តទេ? តើអ្នកខ្លាចការរំពឹងទុកនៃការស្គាល់ការចែកចាយធម្មតា ការបញ្ចូលក្រុម ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកទេ? បន្ទាប់មកប្រធានបទនេះនឹងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់អ្នក។ ចូរយើងស្គាល់គំនិតជាមូលដ្ឋានសំខាន់ៗមួយចំនួននៃផ្នែកវិទ្យាសាស្ត្រនេះ។
ចូរយើងចងចាំមូលដ្ឋានគ្រឹះ
ទោះបីជាអ្នកចងចាំគោលគំនិតសាមញ្ញបំផុតនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេក៏ដោយ កុំធ្វេសប្រហែសកថាខណ្ឌទីមួយនៃអត្ថបទ។ ចំនុចនោះគឺថា បើគ្មានការយល់ដឹងច្បាស់លាស់អំពីមូលដ្ឋាន អ្នកនឹងមិនអាចធ្វើការជាមួយរូបមន្តដែលបានពិភាក្សាខាងក្រោមបានទេ។
ដូច្នេះ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យខ្លះកើតឡើង ការពិសោធន៍ខ្លះ។ ជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពដែលយើងធ្វើ យើងអាចទទួលបានលទ្ធផលជាច្រើន ដោយខ្លះកើតឡើងញឹកញាប់ជាង ខ្លះទៀតមិនសូវជាញឹកញាប់។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយគឺជាសមាមាត្រនៃចំនួននៃលទ្ធផលដែលទទួលបានពិតប្រាកដនៃប្រភេទមួយទៅនឹងចំនួនសរុបដែលអាចធ្វើទៅបាន។ មានតែការដឹងពីនិយមន័យបុរាណនៃគោលគំនិតនេះប៉ុណ្ណោះ ទើបអ្នកអាចចាប់ផ្តើមសិក្សាពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់។
មធ្យម
ត្រលប់មកសាលាវិញ កំឡុងពេលរៀនគណិតវិទ្យា អ្នកចាប់ផ្តើមធ្វើការជាមួយមធ្យមនព្វន្ធ។ គំនិតនេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដូច្នេះហើយមិនអាចមិនអើពើបានទេ។ រឿងចំបងសម្រាប់យើងនៅពេលនេះគឺថាយើងនឹងជួបប្រទះវានៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យមួយ។
យើងមានលំដាប់លេខ ហើយចង់រកមធ្យមនព្វន្ធ។ អ្វីទាំងអស់ដែលត្រូវការពីយើងគឺត្រូវបូកសរុបនូវអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលមាន ហើយបែងចែកដោយចំនួនធាតុនៅក្នុងលំដាប់។ ឲ្យយើងមានលេខពី ១ ដល់ ៩ ផលបូកនៃធាតុនឹងស្មើនឹង ៤៥ ហើយយើងនឹងចែកតម្លៃនេះនឹង ៩ ចម្លើយ៖ - ៥.
ការបែកខ្ញែក
នៅក្នុងពាក្យវិទ្យាសាស្រ្ត ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយគឺជាការ៉េមធ្យមនៃគម្លាតនៃតម្លៃដែលទទួលបាននៃលក្ខណៈពីមធ្យមនព្វន្ធ។ វាត្រូវបានតាងដោយអក្សរឡាតាំង D. តើត្រូវការអ្វីខ្លះដើម្បីគណនាវា? សម្រាប់ធាតុនីមួយៗនៃលំដាប់ យើងគណនាភាពខុសគ្នារវាងលេខដែលមានស្រាប់ និងមធ្យមនព្វន្ធ និងការ៉េ។ វានឹងមានតម្លៃច្រើនដូចដែលអាចមានលទ្ធផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលយើងកំពុងពិចារណា។ បន្ទាប់យើងសង្ខេបអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលទទួលបានហើយបែងចែកដោយចំនួនធាតុនៅក្នុងលំដាប់។ ប្រសិនបើយើងមានលទ្ធផលដែលអាចមាន 5 នោះចែកនឹងប្រាំ។
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយក៏មានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលចាំបាច់ត្រូវចងចាំដើម្បីប្រើនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលបង្កើនអថេរចៃដន្យដោយ X ដង បំរែបំរួលកើនឡើងដោយ X ដងការ៉េ (ឧទាហរណ៍ X * X) ។ វាមិនដែលតិចជាងសូន្យ និងមិនអាស្រ័យលើការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃឡើងលើ ឬចុះក្រោមដោយបរិមាណស្មើគ្នា។ លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ការសាកល្បងឯករាជ្យ ភាពខុសគ្នានៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការប្រែប្រួល។
ឥឡូវនេះ យើងពិតជាត្រូវពិចារណាឧទាហរណ៍នៃភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។
ឧបមាថាយើងបានដំណើរការការពិសោធន៍ចំនួន 21 ហើយទទួលបានលទ្ធផល 7 ផ្សេងៗគ្នា។ យើងសង្កេតមើលពួកគេម្នាក់ៗ ១, ២, ២, ៣, ៤, ៤ និង ៥ ដងរៀងៗខ្លួន។ តើភាពខុសគ្នានឹងស្មើនឹងអ្វី?
ដំបូងយើងគណនាមធ្យមនព្វន្ធ៖ ផលបូកនៃធាតុគឺ 21. ចែកវាដោយ 7 ទទួលបាន 3. ឥឡូវដកលេខ 3 ចេញពីលេខនីមួយៗក្នុងលំដាប់ដើម ការ៉េតម្លៃនីមួយៗ ហើយបន្ថែមលទ្ធផលជាមួយគ្នា។ លទ្ធផលគឺ 12។ ឥឡូវនេះអ្វីដែលយើងត្រូវធ្វើគឺចែកលេខដោយចំនួនធាតុ ហើយវានឹងហាក់បីដូចជានោះហើយជាទាំងអស់។ ប៉ុន្តែមានការចាប់! តោះពិភាក្សាគ្នា។
អាស្រ័យលើចំនួននៃការពិសោធន៍
វាប្រែថានៅពេលគណនាបំរែបំរួល ភាគបែងអាចមានលេខមួយក្នុងចំណោមលេខពីរ៖ ទាំង N ឬ N-1 ។ នៅទីនេះ N គឺជាចំនួននៃការពិសោធន៍ដែលបានអនុវត្ត ឬចំនួនធាតុនៅក្នុងលំដាប់ (ដែលសំខាន់គឺដូចគ្នា)។ តើនេះអាស្រ័យលើអ្វី?
ប្រសិនបើចំនួនតេស្តត្រូវបានវាស់ជារាប់រយ នោះយើងត្រូវដាក់ N ក្នុងភាគបែង ប្រសិនបើជាឯកតា បន្ទាប់មក N-1។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានសម្រេចចិត្តគូសព្រំដែនជានិមិត្តរូប៖ ថ្ងៃនេះវាឆ្លងកាត់លេខ 30។ ប្រសិនបើយើងធ្វើការពិសោធន៍តិចជាង 30 នោះយើងនឹងបែងចែកបរិមាណដោយ N-1 ហើយប្រសិនបើច្រើនបន្ទាប់មកដោយ N ។
កិច្ចការ
សូមត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍របស់យើងនៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃភាពខុសប្លែកគ្នានិងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ យើងទទួលបានលេខមធ្យម 12 ដែលចាំបាច់ត្រូវបែងចែកដោយ N ឬ N-1 ។ ចាប់តាំងពីយើងបានធ្វើការពិសោធន៍ចំនួន 21 ដែលតិចជាង 30 យើងនឹងជ្រើសរើសជម្រើសទីពីរ។ ដូច្នេះចម្លើយគឺ៖ វ៉ារ្យ៉ង់គឺ 12/2 = 2 ។
តម្លៃរំពឹងទុក
ចូរយើងបន្តទៅគំនិតទីពីរ ដែលយើងត្រូវពិចារណាក្នុងអត្ថបទនេះ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមលទ្ធផលដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ថាតម្លៃដែលទទួលបានក៏ដូចជាលទ្ធផលនៃការគណនាវ៉ារ្យង់ត្រូវបានទទួលតែម្តងគត់សម្រាប់បញ្ហាទាំងមូលមិនថាលទ្ធផលប៉ុន្មានត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងវា។
រូបមន្តសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺសាមញ្ញណាស់៖ យើងយកលទ្ធផល គុណវាដោយប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា បន្ថែមដូចគ្នាសម្រាប់លទ្ធផលទីពីរ ទីបី។ល។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនេះមិនពិបាកគណនាទេ។ ឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃតម្លៃដែលរំពឹងទុកគឺស្មើនឹងតម្លៃរំពឹងទុកនៃផលបូក។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ការងារ។ មិនមែនគ្រប់បរិមាណនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើប្រតិបត្តិការសាមញ្ញបែបនេះទេ។ ចូរយកបញ្ហាមកគណនាអត្ថន័យនៃគោលគំនិតពីរដែលយើងបានសិក្សាក្នុងពេលតែមួយ។ ក្រៅពីនេះ យើងត្រូវបានបំបែរអារម្មណ៍ដោយទ្រឹស្តី - ដល់ពេលអនុវត្តហើយ។
ឧទាហរណ៍មួយទៀត
យើងបានដំណើរការការសាកល្បងចំនួន 50 ហើយទទួលបានលទ្ធផល 10 ប្រភេទ - លេខពី 0 ដល់ 9 - លេចឡើងក្នុងភាគរយផ្សេងៗគ្នា។ ទាំងនេះគឺរៀងៗខ្លួន៖ 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. សូមចាំថាដើម្បីទទួលបានប្រូបាប៊ីលីតេ អ្នកត្រូវបែងចែកតម្លៃភាគរយដោយ 100។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន 0.02; 0.1 ។ល។ ចូរយើងបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ និងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
យើងគណនាមធ្យមនព្វន្ធដោយប្រើរូបមន្តដែលយើងចងចាំពីបឋមសិក្សា៖ ៥០/១០ = ៥។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបំប្លែងប្រូបាប៊ីលីតេទៅជាចំនួនលទ្ធផល "ជាបំណែកៗ" ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការរាប់។ យើងទទួលបាន 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 និង 9 សូមមើលពីរបៀបធ្វើវាដោយប្រើធាតុទីមួយជាឧទាហរណ៍: 1 - 5 = (-4) ។ បន្ទាប់៖ (-4) * (-4) = 16. សម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀត ធ្វើប្រតិបត្តិការទាំងនេះដោយខ្លួនឯង។ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងបានត្រឹមត្រូវ នោះបន្ទាប់ពីបន្ថែមវាទាំងអស់ អ្នកនឹងទទួលបាន 90។
ចូរបន្តគណនាបំរែបំរួល និងតម្លៃរំពឹងទុកដោយបែងចែក 90 ដោយ N. ហេតុអ្វីបានជាយើងជ្រើសរើស N ជាជាង N-1? ត្រឹមត្រូវ ពីព្រោះចំនួននៃការពិសោធន៍ដែលបានអនុវត្តលើសពី 30។ ដូច្នេះ៖ 90/10 = 9. យើងទទួលបានភាពខុសគ្នា។ ប្រសិនបើអ្នកទទួលបានលេខផ្សេង កុំអស់សង្ឃឹម។ ភាគច្រើនទំនងជាអ្នកបានធ្វើកំហុសសាមញ្ញក្នុងការគណនា។ ពិនិត្យមើលឡើងវិញនូវអ្វីដែលអ្នកបានសរសេរ ហើយអ្វីៗទាំងអស់ប្រហែលជានឹងកើតឡើង។
ជាចុងក្រោយ សូមចងចាំរូបមន្តសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ យើងនឹងមិនផ្តល់ការគណនាទាំងអស់ទេ យើងនឹងសរសេរតែចម្លើយដែលអ្នកអាចពិនិត្យជាមួយបន្ទាប់ពីបំពេញគ្រប់នីតិវិធីដែលត្រូវការ។ តម្លៃរំពឹងទុកនឹងមាន 5.48 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរំលឹកពីរបៀបអនុវត្តប្រតិបត្តិការដោយប្រើធាតុដំបូងជាឧទាហរណ៍: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងគ្រាន់តែគុណតម្លៃលទ្ធផលដោយប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។
គម្លាត
គោលគំនិតមួយទៀតដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺ គម្លាតស្តង់ដារ។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំង sd ឬដោយអក្សរតូចក្រិក "sigma" ។ គោលគំនិតនេះបង្ហាញថាតើតម្លៃជាមធ្យមខុសគ្នាប៉ុន្មានពីលក្ខណៈកណ្តាល។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា អ្នកត្រូវគណនាឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់។
ប្រសិនបើអ្នកគូរក្រាហ្វចែកចាយធម្មតា ហើយចង់ឃើញគម្លាតការ៉េដោយផ្ទាល់នៅលើវា នេះអាចត្រូវបានធ្វើក្នុងដំណាក់កាលជាច្រើន។ យកពាក់កណ្តាលនៃរូបភាពទៅខាងឆ្វេង ឬស្តាំនៃរបៀប (តម្លៃកណ្តាល) គូរកាត់កែងទៅអ័ក្សផ្តេក ដូច្នេះតំបន់នៃតួលេខលទ្ធផលគឺស្មើគ្នា។ ទំហំនៃផ្នែករវាងពាក់កណ្តាលនៃការចែកចាយ និងការព្យាករលទ្ធផលទៅលើអ័ក្សផ្ដេកនឹងតំណាងឱ្យគម្លាតស្តង់ដារ។
កម្មវិធី
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីការពិពណ៌នានៃរូបមន្ត និងឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញ ការគណនាវ៉ារ្យង់ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាមិនមែនជានីតិវិធីសាមញ្ញបំផុតតាមទស្សនៈនព្វន្ធនោះទេ។ ដើម្បីកុំឱ្យខ្ជះខ្ជាយពេលវេលា វាសមហេតុផលក្នុងការប្រើកម្មវិធីដែលប្រើក្នុងគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា - វាត្រូវបានគេហៅថា "R" ។ វាមានមុខងារដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាតម្លៃសម្រាប់គោលគំនិតជាច្រើនពីស្ថិតិ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។
ឧទាហរណ៍ អ្នកបញ្ជាក់វ៉ិចទ័រនៃតម្លៃ។ នេះត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោម: វ៉ិចទ័រ<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
ទីបំផុត
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺគ្មានការដែលវាពិបាកក្នុងការគណនាអ្វីនៅពេលអនាគត។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាសំខាន់នៃការបង្រៀននៅសាកលវិទ្យាល័យ ពួកគេត្រូវបានពិភាក្សារួចហើយនៅក្នុងខែដំបូងនៃការសិក្សាមុខវិជ្ជានេះ។ វាច្បាស់ណាស់ដោយសារតែខ្វះការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតសាមញ្ញទាំងនេះ និងអសមត្ថភាពក្នុងការគណនាវា ដែលសិស្សជាច្រើនចាប់ផ្តើមធ្លាក់ពីក្រោយកម្មវិធីភ្លាមៗ ហើយក្រោយមកទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់មិនល្អនៅចុងបញ្ចប់នៃវគ្គ ដែលធ្វើឲ្យពួកគេបាត់បង់អាហារូបករណ៍។
អនុវត្តយ៉ាងហោចណាស់មួយសប្តាហ៍កន្លះម៉ោងក្នុងមួយថ្ងៃ ដោះស្រាយកិច្ចការដែលស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ បន្ទាប់មក លើការធ្វើតេស្តណាមួយនៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ អ្នកនឹងអាចទប់ទល់នឹងឧទាហរណ៍ដោយគ្មានគន្លឹះបន្ថែម និងសន្លឹកបន្លំ។
ដូចដែលបានដឹងរួចមកហើយ ច្បាប់ចែកចាយកំណត់លក្ខណៈអថេរចៃដន្យទាំងស្រុង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ជារឿយៗច្បាប់នៃការចែកចាយមិនត្រូវបានគេដឹងទេ ហើយគេត្រូវកំណត់ខ្លួនឯងចំពោះព័ត៌មានតិច។ ពេលខ្លះវាកាន់តែមានផលចំណេញក្នុងការប្រើលេខដែលពណ៌នាអថេរចៃដន្យសរុប។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ។លក្ខណៈលេខសំខាន់មួយគឺការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ដូចដែលនឹងបង្ហាញខាងក្រោម គឺប្រហែលស្មើនឹងតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើគេដឹងថាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃចំនួនពិន្ទុដែលស៊ុតបញ្ចូលទីបានដោយអ្នកបាញ់ទីមួយគឺធំជាងអ្នកបាញ់ទីពីរ នោះជាមធ្យមអ្នកបាញ់ទីមួយទទួលបានពិន្ទុច្រើនជាងអ្នកបាញ់ទីពីរ ហើយដូច្នេះ បាញ់បានល្អជាង។ ជាងទីពីរ។ ទោះបីជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាផ្តល់ព័ត៌មានតិចជាងច្រើនអំពីអថេរចៃដន្យជាងច្បាប់នៃការចែកចាយរបស់វាក៏ដោយ ចំណេះដឹងនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដូចខាងលើ និងកត្តាជាច្រើនទៀត។
§ 2. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។
អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ X អាចយកតម្លៃតែប៉ុណ្ណោះ X 1 , X 2 , ..., X ទំ , ប្រូបាប៊ីលីតេដែលស្មើគ្នារៀងៗខ្លួន រ 1 , រ 2 , . . ., រ ទំ . បន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ម(X) អថេរចៃដន្យ X ត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព
ម(X) = X 1 រ 1 + X 2 រ 2 + … + x ន ទំ ន .
ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X យកសំណុំនៃតម្លៃដែលអាចរាប់បាន បន្ទាប់មក
ម(X)=
ជាងនេះទៅទៀត ការរំពឹងទុកខាងគណិតវិទ្យាមាន ប្រសិនបើស៊េរីនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមភាពបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។
មតិយោបល់។ ពីនិយមន័យវាដូចខាងក្រោមថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកគឺជាបរិមាណមិនចៃដន្យ (ថេរ) ។ យើងណែនាំអ្នកឱ្យចងចាំសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ព្រោះវានឹងត្រូវបានប្រើច្រើនដងនៅពេលក្រោយ។ វានឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅពេលក្រោយថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យជាបន្តគឺជាតម្លៃថេរផងដែរ។
ឧទាហរណ៍ ១.ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X, ដឹងពីច្បាប់នៃការចែកចាយរបស់វា៖
ដំណោះស្រាយ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលត្រូវការគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ៖
ម(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ កនៅក្នុងការសាកល្បងមួយ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ កស្មើនឹង រ.
ដំណោះស្រាយ។ តម្លៃចៃដន្យ X - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កនៅក្នុងការសាកល្បងមួយ - អាចយកតែតម្លៃពីរប៉ុណ្ណោះ៖ X 1 = 1 (ព្រឹត្តិការណ៍ កបានកើតឡើង) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ រនិង X 2 = 0 (ព្រឹត្តិការណ៍ កមិនបានកើតឡើង) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ q= 1 -រ.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលត្រូវការ
ម(X)= 1* ទំ+ 0* q= ទំ
ដូច្នេះ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយនៅក្នុងការសាកល្បងមួយគឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ។លទ្ធផលនេះនឹងត្រូវបានប្រើខាងក្រោម។
§ 3. Probabilistic អត្ថន័យនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផលិត ទំការធ្វើតេស្តដែលអថេរចៃដន្យ X ទទួលយក ធ 1 តម្លៃដង X 1 , ធ 2 តម្លៃដង X 2 ,...,ម k តម្លៃដង x k , និង ធ 1 + ធ 2 +…+t ទៅ = ទំ។បន្ទាប់មកផលបូកនៃតម្លៃទាំងអស់ដែលបានយក X, ស្មើនឹង
X 1 ធ 1 + X 2 ធ 2 + ... + X ទៅ ធ ទៅ .
ចូរយើងស្វែងរកមធ្យមនព្វន្ធ 
តម្លៃទាំងអស់ដែលទទួលយកដោយអថេរចៃដន្យ ដែលយើងបែងចែកផលបូកដែលបានរកឃើញដោយចំនួនសរុបនៃការធ្វើតេស្ត៖
=
(X 1 ធ 1
+
X 2 ធ 2 +
... +
X ទៅ ធ ទៅ)/P,
=
X 1
(ម 1 /
ន)
+
X 2
(ម 2 /
ន)
+ ... +
X ទៅ
(ធ ទៅ / ទំ).
(*)
សង្កេតឃើញថាអាកប្បកិរិយា ម 1 / ន- ប្រេកង់ដែលទាក់ទង វ 1 តម្លៃ X 1 , ម 2 / ន - ប្រេកង់ដែលទាក់ទង វ 2 តម្លៃ X 2 ល។ យើងសរសេរទំនាក់ទំនង (*) ដូចនេះ៖
=X 1
វ 1
+
x 2 វ 2
+ ..
. + X ទៅ វ k .
(**)
ចូរយើងសន្មត់ថាចំនួននៃការធ្វើតេស្តគឺធំល្មម។ បន្ទាប់មកប្រេកង់ដែលទាក់ទងគឺប្រហែលស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង (វានឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងជំពូកទី IX, § 6)៖
វ 1
ទំ 1 ,
វ 2
ទំ 2 ,
…,
វ k
ទំ k .
ការជំនួសប្រេកង់ដែលទាក់ទងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងទំនាក់ទំនង (**) យើងទទួលបាន
x 1 ទំ 1
+
X 2 រ 2
+ … +
X ទៅ រ ទៅ .
ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែលនេះគឺ ម(X). ដូច្នេះ
ម(X).
អត្ថន័យប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលដែលទទួលបានមានដូចខាងក្រោម៖ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺប្រហាក់ប្រហែល(ភាពត្រឹមត្រូវកាន់តែច្រើន ចំនួនតេស្តកាន់តែច្រើន) មធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃដែលបានសង្កេតនៃអថេរចៃដន្យមួយ។
ចំណាំ 1. វាងាយយល់ថាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺធំជាងតម្លៃតូចបំផុត និងតិចជាងតម្លៃធំបំផុតដែលអាចធ្វើបាន។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតនៅលើបន្ទាត់លេខតម្លៃដែលអាចធ្វើបានមានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ ក្នុងន័យនេះ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាកំណត់លក្ខណៈទីតាំងនៃការចែកចាយ ហើយដូច្នេះត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ មជ្ឈមណ្ឌលចែកចាយ។
ពាក្យនេះត្រូវបានខ្ចីពីមេកានិច: ប្រសិនបើមហាជន រ 1 , រ 2 , ... , រ ទំដែលមានទីតាំងនៅចំណុច abscissa x 1 ,
X 2 ,
...,
X ន, និង 
បន្ទាប់មក abscissa នៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញផែនដី
x គ =
.
ពិចារណា
=
ម
(X)
និង 
យើងទទួលបាន ម(X)= x ជាមួយ .
ដូច្នេះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺ abscissa នៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃប្រព័ន្ធមួយ abscissas ដែលស្មើនឹងតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យ ហើយម៉ាស់គឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។
ចំណាំ 2. ប្រភពដើមនៃពាក្យ "ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា" ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងរយៈពេលដំបូងនៃការចាប់ផ្តើមនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ (សតវត្សទី XVI - XVII) នៅពេលដែលវិសាលភាពនៃកម្មវិធីរបស់វាត្រូវបានកំណត់ចំពោះល្បែង។ អ្នកលេងចាប់អារម្មណ៍លើតម្លៃមធ្យមនៃការឈ្នះដែលរំពឹងទុក ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃការឈ្នះ។
កំពុងផ្ទុក...
