Бірдей түбірлерді көбейту. Түбір формулалары. Тамырлардың қасиеттері. Тамырларды қалай көбейтуге болады? Мысалдар

Сәлем, мысықтар! Өткен жолы біз тамырлардың не екенін егжей-тегжейлі талқыладық (егер есіңізде болмаса, мен оны оқуды ұсынамын). Бұл сабақтың негізгі түйіні: түбірлердің бір ғана әмбебап анықтамасы бар, оны білу керек. Қалғаны бос сөз және уақытты босқа өткізу.

Бүгін біз одан әрі жүреміз. Біз түбірлерді көбейтуді үйренеміз, көбейтуге байланысты кейбір есептерді зерттейміз (егер бұл есептер шешілмесе, олар емтиханда өлімге әкелуі мүмкін) және біз дұрыс жаттығамыз. Сондықтан попкорн жинаңыз, ыңғайлы болыңыз және бастайық. :)

Сіз де оны әлі тартпағансыз, солай ма?

Сабақ өте ұзақ болды, сондықтан мен оны екі бөлікке бөлдім:

1. Алдымен көбейту ережесін қарастырамыз. Қақпақ меңзеп тұрған сияқты: бұл екі тамыр бар кезде, олардың арасында «көбейту» белгісі бар - және біз онымен бірдеңе жасағымыз келеді.
2. Содан кейін қарама-қарсы жағдайды қарастырайық: бір үлкен түбір бар, бірақ біз оны екі қарапайым түбірдің туындысы ретінде көрсетуге ынталы едік. Бұл не үшін қажет, бұл бөлек сұрақ. Біз тек алгоритмді талдаймыз.

Бірден екінші бөлімге өтуді күте алмайтындар үшін қош келдіңіз. Қалғанын ретімен бастайық.

Көбейтудің негізгі ережесі

Ең қарапайым нәрседен бастайық - классикалық квадрат түбірлер. $\sqrt(a)$ және $\sqrt(b)$ деп белгіленгендер. Оларға бәрі анық:

Көбейту ережесі. Бірге көбейту үшін Шаршы түбірекінші жағынан, олардың радикалды өрнектерін көбейтіп, нәтижені жалпы радикалдың астына жазу керек:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Оң немесе сол жақтағы сандарға қосымша шектеулер қойылмайды: егер түбірлік факторлар бар болса, онда өнім де бар.

Мысалдар. Бірден сандары бар төрт мысалды қарастырайық:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \соңы(туралау)\]

Көріп отырғаныңыздай, бұл ереженің негізгі мағынасы иррационал өрнектерді жеңілдету болып табылады. Ал егер бірінші мысалда біз өзіміз 25 және 4 түбірлерін жаңа ережелерсіз шығаратын болсақ, онда жағдай қиындай түседі: $\sqrt(32)$ және $\sqrt(2)$ өздігінен қарастырылмайды, бірақ олардың көбейтіндісі толық квадрат болып шығады, сондықтан оның түбірі рационал санға тең.

Мен соңғы жолды ерекше атап өткім келеді. Мұнда екі радикалды өрнек те бөлшек болып табылады. Өнімнің арқасында көптеген факторлар жойылады және бүкіл өрнек барабар санға айналады.

Әрине, заттар әрқашан әдемі бола бермейді. Кейде тамырдың астында толық ақымақ болады - онымен не істеу керек және көбейтілгеннен кейін оны қалай өзгерту керектігі белгісіз. Біраз уақыттан кейін оқуды бастағанда иррационал теңдеулержәне теңсіздіктер, әдетте айнымалылар мен функциялардың барлық түрлері болады. Көбінесе проблемалық жазушылар сіз кейбір бас тартатын шарттарды немесе факторларды табатыныңызға сенеді, содан кейін мәселе бірнеше есе жеңілдетіледі.

Сонымен қатар, дәл екі тамырды көбейту мүлдем қажет емес. Бірден үш, төрт, тіпті он көбейтуге болады! Бұл ережені өзгертпейді. Қара:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \соңы(туралау)\]

Екінші мысалға тағы да шағын ескерту. Көріп отырғаныңыздай, түбірдің астындағы үшінші факторда ондық бөлшек бар - есептеулер процесінде біз оны қарапайымға ауыстырамыз, содан кейін бәрі оңай азайтылады. Сондықтан: Мен құтылуды өте ұсынамын ондық бөлшектеркез келген иррационал өрнектерде (яғни, кем дегенде бір радикалды таңбаны қамтитын). Бұл болашақта көп уақыт пен жүйкені үнемдейді.

Бірақ бұл лирикалық шегініс болды. Енді толығырақ қарастырайық жалпы жағдай- түбірлік көрсеткіште тек «классикалық» екі емес, ерікті $n$ саны болса.

Ерікті көрсеткіштің жағдайы

Сонымен, біз квадрат түбірлерді сұрыптадық. Текшелермен не істеу керек? Немесе $n$ ерікті дәрежелі түбірлері бар ма? Иә, бәрі бірдей. Ереже өзгеріссіз қалады:

$n$ дәрежелі екі түбірді көбейту үшін олардың радикалды өрнектерін көбейтіп, содан кейін нәтижені бір радикалдың астына жазу жеткілікті.

Жалпы, күрделі ештеңе жоқ. Есептеулер көлемі одан да көп болуы мүмкін. Бір-екі мысалды қарастырайық:

Мысалдар. Өнімдерді есептеңіз:

\[\бастау(туралау) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \оң))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \соңы(туралау)\]

Тағы да, екінші өрнекке назар аударыңыз. Біз текше түбірлерді көбейтеміз, ондық бөлшекті алып тастаймыз және бөлгіштегі 625 және 25 сандарының көбейтіндісін аламыз. үлкен сан- Жеке мен оның не екенін бірден есептей алмаймын.

Сондықтан, біз жай ғана алымдағы және бөлгіштегі нақты текшені оқшаулап алдық, содан кейін $n$-шы түбірдің негізгі қасиеттерінің бірін (немесе қаласаңыз, анықтамасын) қолдандық:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\сол| a\right|. \\ \соңы(туралау)\]

Мұндай «махинациялар» емтиханға көп уақытыңызды үнемдей алады немесе сынақ жұмысы, сондықтан есте сақтаңыз:

Радикалды өрнектерді пайдаланып сандарды көбейтуге асықпаңыз. Біріншіден, тексеріңіз: егер қандай да бір өрнектің дәл дәрежесі сонда «шифрланған» болса ше?

Бұл ескертудің айқындығына қарамастан, мен дайын емес студенттердің көпшілігі нақты дәрежелерді бос диапазонда көрмейтінін мойындауым керек. Оның орнына, олар бәрін бірден көбейтеді, содан кейін таң қалдырады: неге олар мұндай қатыгез сандарды алды? :)

Дегенмен, мұның бәрі қазір зерттейтінімізбен салыстырғанда нәресте әңгімесі.

Әртүрлі дәрежелі түбірлерді көбейту

Жарайды, енді біз бірдей көрсеткіштермен түбірлерді көбейте аламыз. Көрсеткіштер әртүрлі болса ше? Айталық, қарапайым $\sqrt(2)$-ды $\sqrt(23)$ сияқты ақымақтыққа қалай көбейтуге болады? Мұны істеу тіпті мүмкін бе?

Иә әрине аласыз. Барлығы осы формула бойынша орындалады:

Түбірлерді көбейту ережесі. $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$ көбейту үшін келесі түрлендіруді орындау жеткілікті:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Дегенмен, бұл формула тек егер радикалды өрнектер теріс емес. Бұл өте маңызды ескерту, біз сәл кейінірек ораламыз.

Әзірге бірнеше мысалды қарастырайық:

\[\бастау(туралау) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \соңы(туралау)\]

Көріп отырғаныңыздай, күрделі ештеңе жоқ. Енді теріс емес талап қайдан шыққанын және оны бұзатын болсақ не болатынын анықтайық. :)

Тамырларды көбейту оңай

Неліктен радикалды өрнектер теріс емес болуы керек?

Әрине, сіз мектеп мұғалімдері сияқты бола аласыз және ақылды көрінедіоқулықтан үзінді келтірейік:

Теріс еместік талабы жұп және тақ дәрежелі түбірлердің әртүрлі анықтамаларымен байланысты (сәйкесінше олардың анықтау облыстары да әртүрлі).

Ал, түсінікті болды ма? Өз басым осы сандырақты 8-сыныпта оқығанда мынаны түсіндім: «Негатив еместік талабы *#&^@(*#@^#)~% -мен байланысты» - қысқасы, мен Ол кезде ештеңе түсінбедім. :)

Енді мен бәрін қалыпты түрде түсіндіремін.

Алдымен жоғарыдағы көбейту формуласы қайдан шыққанын анықтайық. Ол үшін түбірдің бір маңызды қасиетін еске сала кетейін:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Басқаша айтқанда, біз радикалды өрнекті кез келгенге оңай көтере аламыз табиғи дәрежесі$k$ - бұл жағдайда түбірлік көрсеткішті бірдей дәрежеге көбейту керек болады. Сондықтан кез келген түбірлерді ортақ дәрежеге дейін оңай азайтып, содан кейін көбейтуге болады. Мұнда көбейту формуласы шығады:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n))))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Бірақ бұл формулалардың барлығын қолдануды күрт шектейтін бір мәселе бар. Бұл санды қарастырыңыз:

Жаңа берілген формула бойынша біз кез келген дәрежені қоса аламыз. $k=2$ қосып көрейік:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\сол(-5 \оң))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Біз минусты дәл алып тастадық, өйткені квадрат минусты күйдіреді (кез келген басқа жұп дәрежелер сияқты). Енді кері түрлендіруді орындайық: көрсеткіш пен қуаттағы екеуін «азайту». Өйткені, кез келген теңдікті солдан оңға да, оңнан солға қарай оқуға болады:

\[\бастау(туралау) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Оң жақ көрсеткі \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Оң жақ көрсеткі \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \соңы(туралау)\]

Бірақ содан кейін бұл қандай да бір ақымақтық болып шығады:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Бұл орын алмайды, себебі $\sqrt(-5) \lt 0$ және $\sqrt(5) \gt 0$. Бұл дегеніміз, тіпті күштер үшін және теріс сандарформуламыз енді жұмыс істемейді. Осыдан кейін бізде екі нұсқа бар:

1. Қабырғаға соғу және математиканың ақымақ ғылым екенін айту, мұнда «кейбір ережелер бар, бірақ олар нақты емес»;
2. Формула 100% жұмыс істейтін болады қосымша шектеулер енгізіңіз.

Бірінші нұсқада біз үнемі «жұмыс істемейтін» жағдайларды ұстауымыз керек - бұл қиын, көп уақытты қажет ететін және әдетте қиын. Сондықтан математиктер екінші нұсқаны таңдады. :)

Бірақ уайымдама! Іс жүзінде бұл шектеу есептеулерге ешқандай әсер етпейді, өйткені барлық сипатталған мәселелер тек тақ дәрежелі түбірлерге қатысты, ал олардан минустарды алуға болады.

Сондықтан, жалпы түбірлері бар барлық әрекеттерге қолданылатын тағы бір ережені тұжырымдаймыз:

Түбірлерді көбейтпес бұрын, радикалды өрнектердің теріс емес екеніне көз жеткізіңіз.

Мысал. $\sqrt(-5)$ санында түбір белгісінің астынан минусты алып тастауға болады - сонда бәрі қалыпты болады:

\[\бастау(туралау) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Оң жақ көрсеткі \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(туралау)\]

Сіз айырмашылықты сезінесіз бе? Егер сіз түбірдің астына минус қалдырсаңыз, онда радикалды өрнек төртбұрышты болғанда, ол жоғалып кетеді де, бос сөз басталады. Ал егер сіз алдымен минусты алып тастасаңыз, онда бетіңіз көгергенше квадратқа/жоюға болады - сан теріс болып қалады. :)

Осылайша, ең дұрыс және ең сенімді жолтүбірлерді көбейту келесідей:

1. Радикалдардан барлық негативтерді алып тастаңыз. Минустар тек тақ санды түбірлерде болады - оларды түбірдің алдына қоюға және қажет болған жағдайда азайтуға болады (мысалы, осы минустардың екеуі болса).
2. Бүгінгі сабақта жоғарыда талқыланған ережелер бойынша көбейтуді орындаңыз. Егер түбірлердің көрсеткіштері бірдей болса, біз радикалды өрнектерді жай ғана көбейтеміз. Ал егер олар әртүрлі болса, біз \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)) зұлым формуласын қолданамыз. ^(n) ))\].
3. 3. Нәтижеден және жақсы бағалардан ләззат алыңыз. :)

Енді не? Жаттығу жасаймыз ба?

1-мысал: Өрнекті жеңілдету:

\[\бастау(туралау) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \соңы(туралау)\]

Бұл ең қарапайым нұсқа: түбірлер бірдей және тақ, жалғыз мәселе - екінші фактор теріс. Біз бұл минусты суреттен шығарамыз, содан кейін бәрі оңай есептеледі.

2-мысал: Өрнекті жеңілдету:

\[\бастау(туралау) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))) \sqrt(((\left(((2)^(5)) \оң))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \оң))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( туралау)\]

Бұл жерде шығарылымның иррационал сан болып шыққаны көпшілікті шатастырады. Иә, солай болады: біз түбірден толық арыла алмадық, бірақ кем дегенде біз өрнекті айтарлықтай жеңілдеттік.

3-мысал: Өрнекті жеңілдету:

\[\бастау(туралау) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \оң))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Осы тапсырмаға назарларыңызды аударғым келеді. Мұнда екі нүкте бар:

1. Түбір нақты сан немесе қуат емес, $a$ айнымалысы. Бір қарағанда, бұл сәл әдеттен тыс, бірақ іс жүзінде шешу кезінде математикалық есептерКөбінесе айнымалылармен жұмыс істеуге тура келеді.
2. Соңында біз радикалды өрнектегі радикалды көрсеткіш пен дәрежені «төмендете» алдық. Бұл өте жиі орын алады. Бұл дегеніміз, егер сіз негізгі формуланы пайдаланбасаңыз, есептеулерді айтарлықтай жеңілдету мүмкін болды.

Мысалы, сіз мұны істей аласыз:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\соңы(туралау)\]

Шын мәнінде, барлық түрлендірулер тек екінші радикалмен орындалды. Ал егер сіз барлық аралық қадамдарды егжей-тегжейлі сипаттамасаңыз, онда соңында есептеулердің көлемі айтарлықтай азаяды.

Шын мәнінде, біз $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ мысалын шешкен кезде жоғарыда ұқсас тапсырмаға тап болдық. Енді оны әлдеқайда қарапайым жазуға болады:

\[\бастау(туралау) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \оң))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \оң))^(2))) =\sqrt(75). \соңы(туралау)\]

Ал, біз түбірлердің көбейтіндісін сұрыптадық. Енді кері операцияны қарастырайық: тамырдың астында өнім болған кезде не істеу керек?

Өрнекте квадрат түбірлердің болуы бөлу процесін қиындатады, бірақ бөлшектермен жұмыс істеуді әлдеқайда жеңілдететін ережелер бар.

Сіз үнемі есте ұстауыңыз керек жалғыз нәрсе- радикалды өрнектер радикалды өрнектерге, факторлар факторларға бөлінеді. Квадрат түбірлерді бөлу процесінде біз бөлшекті жеңілдетеміз. Сонымен қатар, түбір бөлгіште болуы мүмкін екенін еске түсіріңіз.

Yandex.RTB R-A-339285-1

1-әдіс. Радикалды өрнектерді бөлу

Әрекеттер алгоритмі:

Бөлшекті жаз

Егер өрнек бөлшек түрінде берілмесе, оны осылай жазу керек, өйткені квадрат түбірлерді бөлу принципін ұстану оңайырақ.

1-мысал

144 ÷ 36, бұл өрнек келесідей қайта жазылсын: 144 36

Бір түбір белгісін пайдаланыңыз

Егер алым мен бөлгіште де квадрат түбірлер болса, шешу процесін жеңілдету үшін олардың радикалды өрнектерін бір түбір белгісінің астына жазу керек.

Түбірлі өрнек (немесе сан) түбір белгісінің астындағы өрнек екенін еске саламыз.

2-мысал

144 36. Бұл өрнекті былай жазу керек: 144 36

Радикалды өрнектерді ажыратыңыз

Бір өрнекті екіншісіне бөліп, нәтижені түбір белгісінің астына жазыңыз.

3-мысал

144 36 = 4, бұл өрнекті былай жазайық: 144 36 = 4

Радикалды өрнекті жеңілдету (қажет болса)

Егер радикалды өрнек немесе факторлардың бірі болса тамаша шаршы, бұл өрнекті жеңілдетіңіз.

Еске салайық, тамаша квадрат дегеніміз кейбір бүтін санның квадраты болатын сан.

4-мысал

4 - мінсіз квадрат, өйткені 2 × 2 = 4. Сондықтан:

4 = 2 × 2 = 2. Сондықтан 144 36 = 4 = 2.

2-әдіс. Радикалды өрнекті көбейткіштерге бөлу

Әрекеттер алгоритмі:

Бөлшекті жаз

Өрнекті бөлшек түрінде қайта жазыңыз (егер ол осылай берілген болса). Бұл квадрат түбірлері бар өрнектерді бөлуді жеңілдетеді, әсіресе факторинг кезінде.

5-мысал

8 ÷ 36, оны осылай қайта жазыңыз 8 36

Радикалды өрнектердің әрқайсысын көбейткішпен көрсетіңіз

Түбір астындағы санды басқа бүтін сандар сияқты көбейтіңіз, тек түбір белгісінің астындағы көбейткіштерді жазыңыз.

6-мысал

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Бөлшектің алымы мен бөлімін ықшамдаңыз

Ол үшін түбір белгісінің астынан тамаша квадраттарды білдіретін факторларды алып тастаңыз. Осылайша, радикалды өрнектің факторы түбір белгісінің алдындағы факторға айналады.

7-мысал

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, ол келесідей: 8 36 = 2 2 6

Бөлгішті рационализациялау (түбірден құтылу)

Математикада түбірді бөлгіште қалдыру нашар форманың белгісі болып табылатын ережелер бар, яғни. тыйым салынған. Бөлгіште квадрат түбір болса, одан құтылыңыз.

Алым мен бөлгішті алып тастағыңыз келетін квадрат түбірге көбейтіңіз.

8-мысал

6 2 3 өрнегінде алым мен бөлгішті 3-ке көбейту керек, одан азайғышта құтылу керек:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Алынған өрнекті жеңілдету (қажет болса)

Егер алым мен бөлгіште азайтуға болатын және қажет сандар болса. Кез келген бөлшек сияқты өрнектерді жеңілдетіңіз.

9-мысал

2 6 1 3-ке жеңілдетеді; осылайша 2 2 6 1 2 3 = 2 3-ке жеңілдетеді

3-әдіс: Квадрат түбірлерді көбейткіштерге бөлу

Әрекеттер алгоритмі:

Факторларды жеңілдету

Еске салайық, факторлар түбір белгісінің алдындағы сандар. Факторларды жеңілдету үшін оларды бөлу немесе азайту қажет. Радикалды өрнектерге қол тигізбеңіз!

10-мысал

4 32 6 16 . Алдымен 4 6-ны азайтамыз: алымды да, азайғышты да 2-ге бөлеміз: 4 6 = 2 3.

Шаршы түбірлерді жеңілдету

Егер алым бөлгішке біркелкі бөлінсе, онда бөліңіз. Олай болмаса, басқалар сияқты радикалды өрнектерді жеңілдетіңіз.

11-мысал

32 саны 16-ға бөлінеді, демек: 32 16 = 2

Жеңілдетілген көбейткіштерді оңайлатылған түбірлерге көбейту

Ережені есте сақтаңыз: бөлгіште тамыр қалдырмаңыз. Сондықтан, біз жай ғана алым мен бөлгішті осы түбірге көбейтеміз.

12-мысал

2 3 × 2 = 2 2 3

Бөліндіні рационализациялау (бөлгіштегі түбірден құтылу)

13-мысал

4 3 2 7 . Бөлгіштегі түбірден құтылу үшін алым мен бөлгішті 7-ге көбейту керек.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

4-әдіс: квадрат түбірмен биномға бөлу

Әрекеттер алгоритмі:

Биномның бөлгіште тұрғанын анықтаңыз

Еске салайық, бином дегеніміз 2 мономді қамтитын өрнек. Бұл әдіс бөлгіште квадрат түбірі бар бином болған жағдайда ғана жұмыс істейді.

14-мысал

1 5 + 2 - екі моном болғандықтан, бөлгіште бином бар.

Биномның жалғаулық өрнегін табыңыз

Еске салайық, конъюгаттық бином бірдей мономдары бар бином, бірақ таңбалары қарама-қарсы. Өрнекті жеңілдету және бөлгіштегі түбірден құтылу үшін конъюгаттық биномдарды көбейту керек.

15-мысал

5 + 2 және 5 - 2 конъюгаттық биномдар.

Бөлгіштегі биномның конъюгаты болатын биномға алым мен бөлгішті көбейтіңіз

Бұл опция бөлгіштегі түбірден құтылуға көмектеседі, өйткені конъюгаттық биномдардың көбейтіндісі биномдардың әрбір мүшесінің квадраттарының айырмасына тең: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

16-мысал

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Бұдан былай шығады: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.

кеңес беру:

1. Аралас сандардың квадрат түбірлерімен жұмыс жасасаңыз, оларды бұрыс бөлшектерге түрлендіріңіз.
2. Бөлуден қосу мен азайтудың айырмашылығы мынада: бөлу жағдайында радикалды өрнектерді оңайлату ұсынылмайды (толық квадраттар есебінен).
3. Ешқашан (!) бөлгіште түбір қалдырмаңыз.
4. Түбірден бұрын ондық немесе аралас емес - оларды түрлендіру қажет жай бөлшек, содан кейін жеңілдетіңіз.
5. Бөлгіш екі мономның қосындысы ма, әлде айырмасы ма? Мұндай биномды оның қосылғыш биномына көбейтіп, бөлгіштегі түбірден құтыл.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Түбір формулалары. Квадрат түбірлердің қасиеттері.

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
Өте «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендер үшін)

Өткен сабақта квадрат түбір деген не екенін анықтадық. Олардың қайсысы бар екенін анықтаудың уақыты келді түбірлерге арналған формулаларнелер тамырлардың қасиеттері, және мұның бәрімен не істеуге болады.

Тамыр формулалары, тамырдың қасиеттері және тамырмен жұмыс істеу ережелері- бұл негізінен бірдей нәрсе. Шаршы түбірлер үшін таңқаларлық аз формулалар бар. Бұл мені әрине бақытты етеді! Дәлірек айтқанда, сіз көптеген түрлі формулаларды жаза аласыз, бірақ тамырлармен практикалық және сенімді жұмыс үшін тек үшеуі жеткілікті. Қалғанының бәрі осы үшеуінен шығады. Көптеген адамдар үш түбір формуласында шатастырса да, иә...

Ең қарапайымынан бастайық. Міне ол:

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)

Функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Дәреже формулаларықысқарту және жеңілдету процесінде қолданылады күрделі өрнектер, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде.

Сан вболып табылады n-санның дәрежесі аҚашан:

Дәрежелері бар амалдар.

1. c санының көбейтінділері бірдей негізолардың көрсеткіштері қосылады:

а м·a n = a m + n .

2. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлгенде олардың дәрежелері шегеріледі:

3. 2 немесе көбейтіндісінің қуаты Көбірекфакторлар осы факторлардың күштерінің көбейтіндісіне тең:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Бөлшектің дәрежесі дивиденд пен бөлгіштің дәрежелерінің қатынасына тең:

(a/b) n = a n /b n .

5. Дәрежені дәрежеге көтергенде, дәрежелер көбейтіледі:

(a m) n = a m n .

Жоғарыдағы әрбір формула солдан оңға және керісінше бағытта дұрыс.

Мысалы. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Түбірлермен операциялар.

1. Бірнеше факторлардың туындысының түбірі осы факторлардың түбірлерінің көбейтіндісіне тең:

2. Қатынас түбірі дивиденд пен түбірлердің бөлгішінің қатынасына тең:

3. Түбірді дәрежеге көтергенде, радикалды санды осы дәрежеге көтеру жеткілікті:

4. Егер сіз түбірдің дәрежесін арттырсаңыз nбір уақытта және бір уақытта салу n th дәрежесі радикалды сан болса, онда түбірдің мәні өзгермейді:

5. Түбірдің дәрежесін төмендетсеңіз nбір уақытта тамырды алыңыз nРадикалды санның -ші дәрежесі болса, онда түбірдің мәні өзгермейді:

Теріс көрсеткіші бар дәреже.Оң емес (бүтін) дәреже көрсеткіші бар белгілі бір санның дәрежесі оң емес көрсеткіштің абсолютті мәніне тең дәреже көрсеткіші бар сол санның дәрежесіне бөлінген бір санмен анықталады:

Формула а м:a n =a m - nүшін ғана емес қолдануға болады м> n, бірақ сонымен бірге м< n.

Мысалы. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Формулаға а м:a n =a m - nқашан әділетті болды m=n, нөлдік дәреженің болуы талап етіледі.

Нөлдік индексі бар дәреже.Нөлдік көрсеткіші бар нөлге тең емес кез келген санның дәрежесі бірге тең.

Мысалы. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Бөлшек көрсеткіші бар дәреже.Нақты санды көтеру үшін Адәрежесіне дейін м/н, түбірін шығарып алу керек nші дәрежесі м-осы санның дәрежесі А.

Түбірдің белгісі белгілі бір санның квадрат түбірі екені белгілі. Дегенмен, түбір белгісі тек алгебралық әрекетті білдірмейді, сонымен қатар ағаш өңдеу өнеркәсібінде - салыстырмалы өлшемдерді есептеуде қолданылады.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Егер сіз түбірлерді факторлармен немесе факторларсыз көбейтуді білгіңіз келсе, онда бұл мақала сізге арналған. Онда біз тамырларды көбейту әдістерін қарастырамыз:

• көбейткіштер жоқ;
• көбейткіштермен;
• әртүрлі көрсеткіштермен.

Көбейткішсіз түбірлерді көбейту әдісі

Әрекеттер алгоритмі:

Түбірде бірдей көрсеткіштер (градустар) бар екеніне көз жеткізіңіз. Еске салайық, дәреже түбір белгісінің үстінде сол жақта жазылған. Егер дәреже белгісі болмаса, бұл түбірдің квадрат екенін білдіреді, яғни. дәрежесі 2, ал оны 2 дәрежесі бар басқа түбірлерге көбейтуге болады.

Мысал

1-мысал: 18 × 2 = ?

2-мысал: 10 × 5 = ?

Мысал

1-мысал: 18 × 2 = 36

2-мысал: 10 × 5 = 50

3-мысал: 3 3 × 9 3 = 27 3

Радикалды өрнектерді жеңілдету.Түбірлерді бір-біріне көбейткенде, алынған радикалды өрнекті толық квадрат немесе текше арқылы санның (немесе өрнектің) көбейтіндісіне оңайлатуға болады:

Мысал

1-мысал: 36 = 6. 36 - алтының квадрат түбірі (6 × 6 = 36).

2-мысал: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2. 50 санын 25 пен 2-нің көбейтіндісіне бөлеміз. 25-тің түбірі 5-ке тең, сондықтан түбір белгісінің астынан 5-ті алып, өрнекті жеңілдетеміз.

3-мысал: 27 3 = 3. 27 санының текше түбірі 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Көрсеткіштерді факторлармен көбейту әдісі

Әрекеттер алгоритмі:

Көбейту факторлары.Көбейткіш – түбір белгісінің алдында келетін сан. Егер көбейткіш болмаса, ол әдепкі бойынша бір болып саналады. Әрі қарай факторларды көбейту керек:

Мысал

1-мысал: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3

2-мысал: 4 3 × 3 6 = 12? 4 × 3 = 12

Түбір белгісінің астындағы сандарды көбейту.Көбейткіштерді көбейткеннен кейін, түбір белгісінің астындағы сандарды көбейтуге болады:

Мысал

1-мысал: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

2-мысал: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Радикалды өрнекті жеңілдету.Әрі қарай, түбір белгісінің астындағы мәндерді жеңілдету керек - сәйкес сандарды түбір белгісінен тыс жылжыту керек. Осыдан кейін түбір белгісінің алдында пайда болатын сандар мен факторларды көбейту керек:

Мысал

1-мысал: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

2-мысал: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Әртүрлі дәрежелі түбірлерді көбейту әдісі

Әрекеттер алгоритмі:

Көрсеткіштердің ең кіші ортақ еселігін (LCM) табыңыз.Ең кіші ортақ еселік – екі көрсеткішке де бөлінетін ең кіші сан.

Мысал

Келесі өрнек үшін көрсеткіштердің LCM табу керек:

Көрсеткіштер 3 және 2. Бұл екі сан үшін ең кіші ортақ еселік 6 саны (ол 3-ке де, 2-ге де қалдықсыз бөлінеді). Түбірлерді көбейту үшін 6 көрсеткіші қажет.

Әрбір өрнекті жаңа дәреже көрсеткішімен жазыңыз:

LOC алу үшін көрсеткіштерді көбейту керек сандарды табыңыз.

5 3 өрнегінде 6 алу үшін 3-ті 2-ге көбейту керек. Ал 2 2 өрнекте – керісінше, 6 алу үшін 3-ке көбейту керек.

Түбір белгісінің астындағы санды алдыңғы қадамда табылған санға тең дәрежеге көтеріңіз. Бірінші өрнек үшін 5-ті 2-нің дәрежесіне, ал екіншісі үшін 2-ні 3-тің дәрежесіне көтеру керек:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Өрнекті дәрежеге көтеріп, нәтижені түбір белгісінің астына жазыңыз:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Түбір астындағы сандарды көбейту:

(8 × 25) 6

Нәтижені жазыңыз:

(8 × 25) 6 = 200 6

Мүмкіндігінше өрнекті жеңілдету керек, бірақ бұл жағдайда ол оңайлатылған жоқ.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз