Жауаптары:

Атауы жоқ

егер a^x=e^x*ln(a) екенін ескерсек, онда 0^0=1 (шек, x->0 үшін) шығады.
дегенмен «белгісіздік» жауабы да қолайлы

Математикадағы нөл бос емес, ол «ештеңеге» өте жақын сан, тек керісінше шексіздік сияқты

Жаз:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Бұл жағдайда біз нөлге бөлеміз және нақты сандар өрісіндегі бұл операция анықталмаған.

6 жыл бұрын

RPI.su - сұрақтар мен жауаптардың орыс тіліндегі ең үлкен базасы. Біздің жоба 2015 жылдың 30 сәуірінде жабылып, жойылған танымал otvety.google.ru сервисінің жалғасы ретінде жүзеге асырылды. Кез келген адам Интернет қауымдастығынан өз сұрағына жауапты білуі үшін пайдалы Google Answers қызметін қайта жаңғыртуды шештік.

Google Answers сайтына қосылған барлық сұрақтар осында көшіріліп, сақталған. Ескі пайдаланушы аттары да бұрын болған күйінде көрсетіледі. Сұрақ қою немесе басқаларға жауап беру үшін сізге қайта тіркелу қажет.

САЙТ ТУРАЛЫ кез келген сұрақтар бойынша (жарнама, ынтымақтастық, қызмет туралы кері байланыс) бізге хабарласу үшін мына мекенжайға жазыңыз: [электрондық пошта қорғалған]. Сайттағы барлық жалпы сұрақтарды ғана қойыңыз, оларға пошта арқылы жауап берілмейді.

Егер нөлдік дәрежеге көтерілсе, нөл неге тең болады?

Неліктен 0-дің дәрежесі 1-ге тең болады? Нөлдік дәрежеге көтерілген нөлден басқа кез келген сан бірге тең болады деген ереже бар: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Дегенмен, бұл неге солай? Санды натурал көрсеткішті дәрежеге көтергенде, оның өзіне қанша есе көбейтілгенін білдіреді: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Көрсеткіш 1-ге тең болғанда, құрылыс кезінде бір ғана фактор болады (егер біз факторлар туралы мүлде айта алатын болсақ), сондықтан салу нәтижесі тең болады қуат негізіне: 181 = 18; (–3,4)1 = –3,4 Бірақ бұл жағдайда нөлдік көрсеткіш ше? Нені немен көбейтеді? Басқа жолмен жүруге тырысайық. Екі градус болса, белгілі бірдей негіздер, бірақ дәрежелері әртүрлі болса, онда негізді бірдей қалдыруға болады, ал дәрежелерді бір-біріне қосуға болады (егер дәрежелер көбейтілсе), немесе дивидендтің көрсеткішінен бөлгіштің дәрежесін алуға болады (егер дәрежелер болса бөлінген): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Ал енді мына мысалды қарастырайық: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Негіздері бірдей дәрежелер қасиетін қолданбасақ және олардың пайда болу ретімен есептеулер жасамасақ ше? Осылайша, нөлдік көрсеткіш санның өзіне көбейтілмейтінін, бірақ өзіне бөлінгенін көрсететін сияқты. Осы жерден 00 өрнегі неге мағынасы жоқ екені белгілі болады. Ақыр соңында, сіз 0-ге бөле алмайсыз. Басқаша ойлауға болады. Егер, мысалы, 52 × 50 = 52+0 = 52 дәрежелерінің көбейтіндісі болса, 52 саны 1-ге көбейтілді деген қорытынды шығады. Демек, 50 = 1.

Дәрежелердің қасиеттерінен: a^n / a^m = a^(n-m) егер n=m болса, нәтиже табиғи түрде a=0 қоспағанда бір болады, бұл жағдайда (кез келген дәреже нөлге тең болатындықтан) келесіге бөлу нөл орын алады, сондықтан 0^0 жоқ

Әртүрлі тілдердегі бухгалтерлік есеп

Әлемнің танымал тілдеріндегі 0-ден 9-ға дейінгі сандар атаулары.

Тіл	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ағылшын	нөл	бір	екі	үш	төрт	бес	алты	Жеті	сегіз	тоғыз
болгар	нөл	бір нәрсе	екі	үш	төрт	үй жануары	полюс	дайындалып жатырмыз	осьтер	девет
венгр	нөл	мыс	кеттұ	гаром	неджи	от	қалпақ	het	nyolc	киленк
голланд	нөл	еен	тви	кептіру	vier	vijf	zes	жеті	ахт	неген
дат	нөл	kk	дейін	тре	өрт	әйел	секс	syv	отте	ни
испан	cero	uno	dos	трес	куатро	cinco	сейс	сиете	ocho	қарапайым
итальян	нөл	uno	мерзімі	тре	кваттро	cinque	sei	сетка	отто	қараша
литва	нөл	Веналар	ду	тырысады	кетури	пенки	ðði	septyni	aðtuoni	devyni
неміс	null	ein	zwei	дрей	vier	fünf	сех	сибен	ахт	неун
орыс	нөл	бір	екі	үш	төрт	бес	алты	Жеті	сегіз	тоғыз
поляк	нөл	jeden	два	trzy	cztery	пие	sze¶æ	сиедем	osiem	dziewiêæ
португал тілі	мм	dois	três	кватро	cinco	сейс	сете	ойто	қараша
француз	нөл	ун	декс	тройс	төртбұрыш	cinq	алты	қыркүйек	құт	neuf
чех	nula	джедна	dva	той	etyøi	пит	¹est	sedm	осм	девит
швед	жоқ	т.б	tva	тре	Fyra	әйел	жыныстық қатынас	сжу	атта	nio
эстон	null	uks	какс	колм	нели	viis	куус	сеитсе	kaheksa	üheksa

Санның теріс және нөлдік дәрежелері

Нөлдік, теріс және бөлшек дәрежелер

Нөлдік көрсеткіш

Берілген санды белгілі дәрежеге көтеру дегеніміз, оны көрсеткіште қанша бірлік болса, сонша көбейткішпен қайталау дегенді білдіреді.

Осы анықтамаға сәйкес өрнек: а 0 мағынасы жоқ. Бірақ бірдей санның дәрежелерін бөлу ережесі бөлгіштің көрсеткіші дивидендтің көрсеткішіне тең болған жағдайда да мағынаға ие болуы үшін анықтама енгізілді:

Кез келген санның нөлдік дәрежесі біреуге тең болады.

Теріс көрсеткіш

Өрнек a -m, өз алдына мағынасы жоқ. Бірақ бірдей санның дәрежелерін бөлу ережесі бөлушінің көрсеткіші дивидендтің көрсеткішінен үлкен болған жағдайда да жарамды болуы үшін анықтама енгізілді:

Мысал 1. Егер берілген сан 5 жүздік, 7 ондық, 2 бірлік және 9 жүздіктен тұрса, оны былай бейнелеуге болады:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Мысал 2. Егер берілген сан ондық, b бірлік, c ондық және d мыңнан тұратын болса, онда оны келесідей көрсетуге болады:

а× 10 1 + б× 10 0 + в× 10 -1 + г× 10 -3

Теріс дәрежелі дәрежелер бойынша әрекеттер

Бірдей санның дәрежелерін көбейткенде, дәрежелер қосылады.

Бірдей санның дәрежелерін бөлу кезінде бөлгіштің көрсеткіші дивидендтің көрсеткішінен шегеріледі.

Өнімді қуатқа көтеру үшін әрбір факторды осы қуатқа жеке көтеру жеткілікті:

Бөлшекті дәрежеге көтеру үшін бөлшектің екі мүшесін де осы дәрежеге жеке көтеру жеткілікті:

Дәреже басқа дәрежеге көтерілгенде, дәрежелер көбейтіледі.

Бөлшек көрсеткіш

Егер кеселігі емес n, содан кейін өрнек: мағынасы жоқ. Бірақ дәреженің түбірін шығару ережесі дәреженің кез келген мәні үшін орын алуы үшін анықтама енгізілді:

Жаңа таңбаны енгізудің арқасында түбірді шығаруды әрқашан экспоненциациямен ауыстыруға болады.

Бөлшек дәреже көрсеткіші бар дәрежелерге амалдар

Бөлшек дәрежелі дәрежелер бойынша әрекеттер бүтін дәрежелі дәрежелер үшін белгіленген ережелерге сәйкес орындалады.

Бұл ұсынысты дәлелдегенде, біз біріншіден, бөлімдердің мүшелері: және көрсеткіші ретінде қызмет ететін оң болады деп есептейміз.

Ерекше жағдайда nнемесе qбіріне тең болуы мүмкін.

Бірдей санның дәрежелерін көбейткенде бөлшек дәрежелер қосылады:

Бірдей санның дәрежелерін бөлшек дәрежелерімен бөлгенде бөлгіштің көрсеткіші дивидендтің дәрежесінен шегеріледі:

Бөлшек дәрежелердің дәрежесін басқа дәрежеге көтеру үшін дәрежелерді көбейту жеткілікті:

Бөлшек дәреженің түбірін алу үшін көрсеткішті түбірдің көрсеткішіне бөлу жеткілікті:

Іс-әрекет ережелері тек қатысты емес оңбөлшек көрсеткіштер, сонымен қатар теріс.

Нөл дәрежесіне көтерілген нөлден басқа кез келген сан бірге тең болады деген ереже бар:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Дегенмен, неге бұлай?
Санды натурал көрсеткішті дәрежеге көтергенде, оның өзіне өзі көрсеткіші қанша есе көбейтілгенін білдіреді:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Көрсеткіш 1-ге тең болғанда, құрылыс кезінде бір ғана фактор бар (егер бұл жерде факторлар туралы мүлдем айту мүмкін болса), сондықтан құрылыстың нәтижесі дәреженің негізіне тең болады:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Бірақ бұл жағдайда нөлдік көрсеткіш туралы не деуге болады? Нені немен көбейтеді?
Басқа жолмен жүруге тырысайық.

Неліктен 0-дің дәрежесі 1-ге тең болады?

Белгілі болғандай, егер екі дәреженің негіздері бірдей, бірақ дәрежелері әртүрлі болса, онда негізді бірдей қалдыруға болады, ал дәрежелерді бір-біріне қосуға болады (егер дәрежелер көбейтілсе), немесе бөлгіштің көрсеткіші дивидендтің көрсеткішінен шегеріледі (егер дәрежелер бөлінетін болса):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Енді мына мысалды қарастырайық:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Егер біз бір негізге ие өкілеттіктердің қасиетін қолданбасақ және есептерді олар пайда болған ретпен жүргізсек ше?
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Осылайша біз қалаған бірлікке ие болдық. Осылайша, нөлдік көрсеткіш санның өзіне көбейтілмейтінін, бірақ өзіне бөлінгенін көрсететін сияқты.
Осы жерден 0 0 өрнегі неге мағынасы жоқ екені белгілі болады. 0-ге бөлуге болмайды.

Бастапқы деңгей

Дәреже және оның қасиеттері. Кешенді нұсқаулық (2019)

Неліктен дәрежелер қажет? Олар сізге қайда керек болады? Неліктен оларды зерттеуге уақыт бөлу керек?

Дәрежелер туралы, олар не үшін қажет, біліміңізді қалай пайдалану керектігі туралы бәрін білу Күнделікті өміросы мақаланы оқыңыз.

Және, әрине, дәрежелер туралы білім сізді жақындатады сәтті аяқталуы OGE немесе Бірыңғай мемлекеттік емтихан және сіздің арманыңыздағы университетке түсу.

Кеттік... (Кеттік!)

Маңызды ескерту! Егер формулалардың орнына gobbledygook көрсеңіз, кэшті тазалаңыз. Ол үшін CTRL+F5 (Windows жүйесінде) немесе Cmd+R (Mac жүйесінде) пернелер тіркесімін басыңыз.

БАСТАПҚЫ ДЕҢГЕЙ

Дәрежеге шығару – қосу, алу, көбейту немесе бөлу сияқты математикалық операция.

Енді мен бәрін адам тілінде өте жақсы түсіндіремін қарапайым мысалдар. Абай бол. Мысалдар қарапайым, бірақ маңызды нәрселерді түсіндіреді.

Қосымшадан бастайық.

Мұнда түсіндіретін ештеңе жоқ. Сіз бәрін білесіз: біз сегіз адамбыз. Барлығында екі бөтелке кола бар. Қанша кола бар? Бұл дұрыс - 16 бөтелке.

Енді көбейту.

Коламен бірдей мысалды басқаша жазуға болады: . Математиктер айлакер және жалқау адамдар. Олар алдымен кейбір үлгілерді байқайды, содан кейін оларды тезірек «санау» әдісін анықтайды. Біздің жағдайда олар сегіз адамның әрқайсысында бірдей кола бөтелкелері бар екенін байқап, көбейту деп аталатын әдісті ойлап тапты. Келісіңіз, ол оңайырақ және жылдамырақ болып саналады.

Сонымен, тезірек, оңай және қатесіз санау үшін тек есте сақтау керек көбейту кестесі. Әрине, сіз бәрін баяу, қиынырақ және қателіктермен жасай аласыз! Бірақ…

Міне, көбейту кестесі. Қайталау.

Және тағы бір әдемі:

Жалқау математиктер тағы қандай ақылды санау амалдарын ойлап тапты? Оң - санды дәрежеге көтеру.

Санды дәрежеге көтеру

Егер санды өзіне бес есе көбейту керек болса, онда математиктер бұл санды бесінші дәрежеге дейін көтеру керек дейді. Мысалы, . Математиктер екіден бесінші дәрежеге дейін... Және олар осындай мәселелерді өз бастарында шешеді - тезірек, оңай және қатесіз.

Сізге қажет нәрсенің бәрі сандардың дәрежелер кестесінде ненің түсімен ерекшеленгенін есте сақтаңыз. Маған сеніңіз, бұл сіздің өміріңізді айтарлықтай жеңілдетеді.

Айтпақшы, неге екінші дәреже деп аталады? шаршысандар, ал үшінші - текше? Бұл нені білдіреді? Өте жақсы сұрақ. Енді сізде шаршылар да, текшелер де болады.

№1 өмірлік мысал

Санның квадратынан немесе екінші дәрежесінен бастайық.

Бір метрге бір метр болатын шаршы бассейнді елестетіп көріңіз. Бассейн сіздің саяжайыңызда. Күн ыстық, мен шынымен жүзгім келеді. Бірақ... бассейннің түбі жоқ! Бассейннің түбін плиткамен жабу керек. Сізге қанша плитка қажет? Мұны анықтау үшін сіз бассейннің төменгі бөлігін білуіңіз керек.

Бассейннің түбі метрлік текшелерден тұратынын саусағыңызбен көрсету арқылы жай ғана есептей аласыз. Егер сізде бір метрден бір метрге плиткалар болса, сізге бөліктер қажет болады. Бұл оңай... Бірақ мұндай плиткаларды қайдан көрдіңіз? Плитка см-мен см болуы мүмкін, содан кейін сізді «саусақпен санау» азаптайды. Содан кейін көбейту керек. Сонымен, бассейннің түбінің бір жағында біз тақтайшаларды (кесектер), ал екіншісінде де плиткаларды орналастырамыз. Көбейтіңіз және сіз плиткаларды аласыз ().

Бассейн түбінің ауданын анықтау үшін сол санды өзіне көбейткенімізді байқадыңыз ба? Бұл нені білдіреді? Бірдей санды көбейтіп жатқандықтан, біз «көрсеткіш» әдісін пайдалана аламыз. (Әрине, сізде тек екі сан болса, оларды әлі де көбейту немесе дәрежеге дейін көтеру керек. Бірақ егер сізде олар көп болса, онда оларды дәрежеге көтеру әлдеқайда оңай және есептеулерде қателер аз болады. Бірыңғай мемлекеттік емтихан үшін бұл өте маңызды).
Сонымен, екінші дәрежеге отыз () болады. Немесе отыз шаршы болады деп айта аламыз. Басқаша айтқанда, санның екінші дәрежесін әрқашан шаршы түрінде көрсетуге болады. Және керісінше, егер сіз шаршыны көрсеңіз, ол ӘРҚАШАН кейбір санның екінші дәрежесі болады. Шаршы – санның екінші дәрежесінің кескіні.

Нақты өмірлік мысал №2

Міне, сендерге тапсырма: санның квадратын пайдаланып шахмат тақтасында қанша шаршы бар екенін есепте... Ұяшықтардың бір жағында, екінші жағында да. Олардың санын есептеу үшін сегізді сегізге көбейту керек немесе... егер шахмат тақтасының қабырғасы бар шаршы екенін байқасаңыз, онда сегізді шаршыға алуға болады. Сіз ұяшықтарды аласыз. () Сонымен?

Нақты өмірден мысал №3

Енді текше немесе санның үшінші дәрежесі. Дәл сол бассейн. Бірақ қазір бұл бассейнге қанша су құйылуы керек екенін анықтау керек. Сізге көлемді есептеу керек. (Айтпақшы, көлем мен сұйықтық өлшенеді текше метр. Күтпеген, солай ма?) Бассейнді сызыңыз: метрді өлшейтін түбін және метр тереңдігін және сіздің бассейніңізге қанша текше метр болатынын санап көріңіз.

Тек саусағыңызды көрсетіңіз және санаңыз! Бір, екі, үш, төрт...жиырма екі, жиырма үш...Қанша алдың? Жоғалған жоқ па? Саусақпен санау қиын ба? Сондай-ақ! Математиктерден мысал алайық. Олар жалқау, сондықтан бассейннің көлемін есептеу үшін оның ұзындығын, енін және биіктігін бір-біріне көбейту керек екенін байқады. Біздің жағдайда бассейннің көлемі текшелерге тең болады... Оңай, солай ма?

Енді математиктердің қаншалықты жалқау және айлакер екенін елестетіп көріңіз, егер олар мұны да жеңілдетсе. Біз бәрін бір әрекетке қысқарттық. Олар ұзындықтың, ені мен биіктігінің тең екенін және сол санның өзінен-өзі көбейтілетінін байқады... Бұл нені білдіреді? Бұл сіздің дәрежеңізді пайдалана алатыныңызды білдіреді. Сонымен, бір рет саусақпен санаған нәрсені олар бір әрекетте жасайды: үш текше тең. Ол былай жазылған: .

Тек қалғаны дәрежелер кестесін есте сақтаңыз. Әрине, сіз математиктер сияқты жалқау және қу болмасаңыз. Егер сіз көп жұмыс істеп, қателескенді ұнатсаңыз, саусақпен санауды жалғастыра аласыз.

Ақырында сізді дипломдарды тастаушылар мен айлакер адамдар өздері шешу үшін ойлап тапқанына сендіру үшін өмірлік проблемалар, және сізге қиындық тудырмау үшін, міне, өмірден тағы бірнеше мысал.

№4 өмірлік мысал

Сізде миллион рубль бар. Әр жылдың басында сіз тапқан әрбір миллион үшін сіз тағы миллион табасыз. Яғни, әрбір миллион сізде әр жылдың басында екі есе болады. Бірнеше жылдан кейін сізде қанша ақша болады? Егер сіз қазір отырсаңыз және «саусақпен санасаңыз», бұл сіздің өте жақсы екеніңізді білдіреді еңбекқор адамжәне.. ақымақ. Бірақ сіз бір-екі секундта жауап бересіз, өйткені сіз ақылдысыз! Сонымен, бірінші жылы – екі екіге көбейтілді... екінші жылы – не болды, тағы екі, үшінші жылы... Тоқта! Сіз санның өзіне еселенгенін байқадыңыз. Демек, екіден бесінші дәреже - миллион! Енді елестетіп көріңізші, сізде жарыс өтіп жатыр және кім жылдам санай алады, сол миллиондарды алады... Сандардың күшін еске түсіру керек емес пе?

№5 өмірлік мысал

Сізде миллион бар. Әр жылдың басында сіз тапқан әрбір миллион үшін тағы екі табыс аласыз. Керемет емес пе? Әрбір миллион үш есе өседі. Бір жылда қанша ақшаңыз болады? Есептеп көрейік. Бірінші жыл - көбейтіңіз, содан кейін нәтиже басқа ... Бұл қазірдің өзінде қызықсыз, өйткені сіз бәрін түсіндіңіз: үш есе көбейтіледі. Сонымен төртінші дәрежеге миллионға тең. Сіз тек үштен төртінші дәрежеге дейін немесе екенін есте сақтауыңыз керек.

Енді сіз санды күшке көтеру арқылы өміріңізді айтарлықтай жеңілдететініңізді білесіз. Дәрежелермен не істей алатыныңызды және олар туралы не білуіңіз керек екенін толығырақ қарастырайық.

Терминдер мен ұғымдар... шатастырмас үшін

Сонымен, алдымен ұғымдарды анықтайық. Қалай ойлайсын, көрсеткіш дегеніміз не? Бұл өте қарапайым - бұл санның қуатының «жоғарғы жағында» тұрған сан. Ғылыми емес, бірақ түсінікті және есте сақтау оңай...

Ал, сонымен бірге, не мұндай дәреже негізі? Одан да қарапайым - бұл төменде, негізде орналасқан сан.

Міне жақсы өлшем үшін сызба.

Жақсы кіріңіз жалпы көрініс, жалпылау және жақсы есте сақтау үшін... Негізі “ ” және “ ” көрсеткіші бар дәреже “дәрежеге дейін” деп оқылады және келесідей жазылады:

Натурал көрсеткішті санның дәрежесі

Сіз қазірдің өзінде болжаған шығарсыз: өйткені көрсеткіш - натурал сан. Иә, бірақ бұл не натурал сан? Бастауыш! Натурал сандар дегеніміз - объектілерді тізімдеу кезінде санау кезінде қолданылатын сандар: бір, екі, үш... Біз объектілерді санағанда: «минус бес», «минус алты», «минус жеті» деп айтпаймыз. Біз сондай-ақ: «үштен бір» немесе «нөл бес ұпай» деп айтпаймыз. Бұл натурал сандар емес. Бұл қандай сандар деп ойлайсыңдар?

«Минус бес», «минус алты», «минус жеті» сияқты сандар жатады бүтін сандар.Жалпы бүтін сандарға барлық натурал сандар, натурал сандарға қарама-қарсы сандар (яғни минус таңбасымен алынған) және сан жатады. Нөлді түсіну оңай - бұл ештеңе болмаған кезде. Теріс («минус») сандар нені білдіреді? Бірақ олар ең алдымен қарыздарды көрсету үшін ойлап табылған: егер сіздің телефоныңызда рубльдегі теңгерім болса, бұл сіздің операторға рубль қарыз екеніңізді білдіреді.

Барлық бөлшектер рационал сандар. Қалай ойлайсыз, олар қалай пайда болды? Өте оңай. Бірнеше мың жыл бұрын біздің ата-бабаларымыз жетіспейтінін анықтады натурал сандарұзындықты, салмақты, ауданды және т.б. өлшеуге арналған. Және олар ойлап тапты рационал сандар... Қызық, солай емес пе?

Иррационал сандар да бар. Бұл қандай сандар? Қысқасы, бұл шексіз ондық бөлшек. Мысалы, шеңбердің шеңберін оның диаметріне бөлсеңіз, иррационал сан шығады.

Түйіндеме:

Көрсеткіші натурал сан (яғни бүтін және оң) болатын дәреже ұғымын анықтайық.

1. Бірінші дәрежеге дейінгі кез келген сан өзіне тең:
2. Санды квадраттау оны өзіне көбейтуді білдіреді:
3. Санды текшелеу оны өзіне үш есе көбейтуді білдіреді:

Анықтама.Нөмірді дейін көтеріңіз табиғи дәрежесі- санды өзіне көбейту дегенді білдіреді:
.

Дәрежелердің қасиеттері

Бұл қасиеттер қайдан пайда болды? Қазір көрсетемін.

Көрейік: бұл не Және ?

А- приорит:

Барлығы неше көбейткіш бар?

Бұл өте қарапайым: біз факторларға көбейткіштерді қостық, ал нәтиже көбейткіштер.

Бірақ анықтамасы бойынша бұл көрсеткіші бар санның дәрежесі, яғни: , бұл дәлелдеуді қажет етті.

Мысал: Өрнекті жеңілдету.

Шешімі:

Мысалы:Өрнекті жеңілдету.

Шешімі:Бұл біздің ережеде атап өту маңызды Міндетті түрдесол себептер болуы керек!
Сондықтан біз қуаттарды базамен біріктіреміз, бірақ ол бөлек фактор болып қалады:

тек күштердің өнімі үшін!

Ешбір жағдайда сіз оны жаза алмайсыз.

2. болды санның дәрежесі

Алдыңғы қасиет сияқты, дәреженің анықтамасына жүгінейік:

Көрсетілгендей, өрнек өзіне еселенген есе көбейтіледі, яғни анықтама бойынша бұл санның ші дәрежесі:

Негізінде, мұны «индикаторды жақшадан шығару» деп атауға болады. Бірақ сіз мұны ешқашан жасай алмайсыз:

Қысқартылған көбейту формулаларын еске түсірейік: біз неше рет жазғымыз келді?

Бірақ бұл шындыққа жанаспайды.

Теріс негізі бар қуат

Осы уақытқа дейін біз тек көрсеткіштің қандай болуы керектігін талқыладық.

Бірақ негіз не болуы керек?

өкілеттіктерінде табиғи көрсеткішнегізі болуы мүмкін кез келген сан. Шынында да, біз кез келген сандарды бір-біріне көбейте аламыз, олар оң, теріс немесе жұп болсын.

Ойланайық, қандай белгілердің («» немесе «») оң және теріс сандардың дәрежелері болады?

Мысалы, сан оң ба, теріс пе? А? ? Біріншісінде бәрі түсінікті: қанша оң сандарды бір-біріне көбейтсек те, нәтиже оң болады.

Бірақ теріс жақтары сәл қызықтырақ. 6-сыныптағы қарапайым ереже есімізде: «минус үшін минус плюс береді». Яғни, немесе. Бірақ көбейтсек, ол жұмыс істейді.

Төмендегі өрнектерде қандай белгі болатынын өзіңіз анықтаңыз:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Сіз басқардыңыз ба?

Міне, жауаптар: Алғашқы төрт мысалда бәрі түсінікті деп үміттенемін? Біз жай ғана негізге және көрсеткішке қарап, сәйкес ережені қолданамыз.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-мысалда) бәрі де көрінгендей қорқынышты емес: түптеп келгенде, базаның қандай екені маңызды емес - дәреже біркелкі, яғни нәтиже әрқашан оң болады.

Негізі нөлге тең болғаннан басқа. База тең емес, солай ма? Әлбетте, жоқ, өйткені (өйткені).

6-мысал) енді оңай емес!

Жаттығуға 6 мысал

Шешімді талдау 6 мысал

Егер сегізінші дәрежені елемейтін болсақ, мұнда нені көреміз? 7-сынып бағдарламасын еске түсірейік. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейтудің формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы! Біз алып жатырмыз:

Бөлгішке мұқият қарайық. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Шарттардың реті дұрыс емес. Егер олар кері қайтарылса, ереже қолданылуы мүмкін.

Бірақ мұны қалай жасауға болады? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.

Сиқырлы терминдер орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қолданылады: жақшадағы белгілерді оңай өзгерте аламыз.

Бірақ есте сақтау маңызды: барлық белгілер бір уақытта өзгереді!

Мысалға қайта оралайық:

Және тағы да формула:

Тұтаснатурал сандарды, олардың қарама-қарсы сандарын (яғни « » белгісімен алынған) және санды атаймыз.

оң бүтін сан, және бұл табиғидан еш айырмашылығы жоқ, сонда бәрі алдыңғы бөлімдегідей болады.

Енді жаңа істерді қарастырайық. тең көрсеткіштен бастайық.

Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең:

Әдеттегідей, өзімізден сұрап көрейік: неге бұлай?

Кейбір дәрежені негізбен қарастырайық. Мысалы, мынаны алып, көбейтіңіз:

Сонымен, біз санды көбейттік, және біз сол санды алдық - . Ештеңе өзгермес үшін қандай санға көбейту керек? Дәл солай. білдіреді.

Біз ерікті санмен де солай істей аламыз:

Ережені қайталайық:

Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең.

Бірақ көптеген ережелерден ерекшеліктер бар. Міне, ол да бар - бұл сан (негіз ретінде).

Бір жағынан, ол кез келген дәрежеге тең болуы керек – нөлді өзіне қанша көбейтсең де, бәрібір нөл шығады, бұл түсінікті. Бірақ екінші жағынан, нөлдік дәрежеге дейінгі кез келген сан сияқты, ол тең болуы керек. Сонда мұның қаншалықты рас? Математиктер араласпауға шешім қабылдады және нөлді нөлдік дәрежеге көтеруден бас тартты. Яғни, қазір біз оны нөлге бөліп қана қоймай, оны нөлдік дәрежеге дейін көтере алмаймыз.

Әрі қарай жүрейік. Натурал сандар мен сандардан басқа бүтін сандар теріс сандарды да қамтиды. Теріс дәреженің не екенін түсіну үшін соңғы рет әрекет етейік: кейбір қалыпты санды бірдей санға көбейтіңіз теріс дәрежесі:

Осы жерден сіз іздеген нәрсені білдіру оңай:

Енді алынған ережені ерікті дәрежеге дейін кеңейтейік:

Ендеше, ереже құрастырайық:

Теріс дәрежелі сан - сол санның кері мәні оң дәреже. Бірақ Негіз нөл болуы мүмкін емес:(себебі сіз бөлуге болмайды).

Жинақтау:

I. Өрнек жағдайда анықталмаған. Егер, онда.

II. Кез келген санның нөлдік дәрежесі біреуге тең: .

III. Теріс дәрежеге нөлге тең емес сан сол санның оң дәрежесіне кері сан болып табылады: .

Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:

Әдеттегідей, тәуелсіз шешімдерге мысалдар:

Мәселелерді тәуелсіз шешу үшін талдау:

Білемін, білемін, сандар қорқынышты, бірақ Бірыңғай мемлекеттік емтиханда сіз бәріне дайын болуыңыз керек! Осы мысалдарды шешіңіз немесе олардың шешімдерін талдаңыз, егер сіз оларды шеше алмасаңыз және емтиханда олармен оңай күресуді үйренесіз!

Көрсеткіш ретінде «қолайлы» сандар ауқымын кеңейтуді жалғастырайық.

Енді қарастырайық рационал сандар.Қандай сандар рационал деп аталады?

Жауап: бөлшек түрінде беруге болатын барлық нәрсе, мұндағы және бүтін сандар, және.

Оның не екенін түсіну үшін «бөлшек дәреже», бөлшекті қарастырыңыз:

Теңдеудің екі жағын да дәрежеге көтерейік:

Енді ережені еске түсірейік «дәрежеге дейін»:

Алу үшін қандай санды көбейту керек?

Бұл тұжырым – ші дәрежелі түбірдің анықтамасы.

Естеріңізге сала кетейін: санның () дәрежесінің түбірі дәрежеге көтерілгенде оған тең болатын сан.

Яғни, ші дәреженің түбірі дәрежеге көтерудің кері амалы: .

Солай екен. Әлбетте, бұл жеке оқиғакеңейтуге болады: .

Енді санауышты қосамыз: бұл не? Жауапты қуат-қуат ережесі арқылы алу оңай:

Бірақ негіз кез келген сан болуы мүмкін бе? Өйткені, түбірді барлық сандардан шығару мүмкін емес.

Ешбір!

Ережені еске түсірейік: жұп дәрежеге көтерілген кез келген сан оң сан болады. Яғни, теріс сандардан тіпті түбірлерді шығару мүмкін емес!

Бұл мұндай сандарды көтеру мүмкін емес дегенді білдіреді бөлшек қуатжұп бөлгішпен, яғни өрнек мағынасы жоқ.

Өрнек туралы не деуге болады?

Бірақ бұл жерде мәселе туындайды.

Санды басқа, қысқартылатын бөлшектер түрінде көрсетуге болады, мысалы, немесе.

Ал ол бар, бірақ жоқ екені белгілі болды, бірақ бұл бір санның екі түрлі жазбасы ғана.

Немесе басқа мысал: бір рет, содан кейін оны жазуға болады. Бірақ егер индикаторды басқаша жазсақ, біз қайтадан қиындыққа тап боламыз: (яғни, біз мүлдем басқа нәтиже алдық!).

Мұндай парадокстарды болдырмау үшін біз қарастырамыз бөлшек көрсеткіші бар тек оң базалық көрсеткіш.

Сонымен, егер:

• - натурал сан;
• - бүтін сан;

Мысалдар:

Рационал дәреже көрсеткіштері түбірлері бар өрнектерді түрлендіру үшін өте пайдалы, мысалы:

Жаттығуға 5 мысал

Тренингке 5 мысалды талдау

Енді ең қиыны келді. Енді оны анықтаймыз иррационал көрсеткішті дәреже.

Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері, қоспағанда, рационал көрсеткіші бар дәрежемен бірдей.

Өйткені, анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).

Табиғи, бүтін және рационал көрсеткішті дәрежелерді зерттеген кезде біз белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе неғұрлым таныс терминдермен сипаттама жасадық.

Мысалы, натурал көрсеткішті дәреже дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан;

...нөлдік дәрежеге дейінгі сан- бұл, бір рет өзіне көбейтілген сан сияқты, яғни олар оны көбейтуді әлі бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - сондықтан нәтиже тек белгілі бір «бос сан» болып табылады. , атап айтқанда сан;

...теріс бүтін дәрежесі- бұл қандай да бір «кері процесс» болған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.

Айтпақшы, ғылымда күрделі көрсеткішті дәреже жиі қолданылады, яғни көрсеткіш тіпті нақты сан да емес.

Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта осы жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.

СІЗДІҢ ҚАЙДА БАРАТЫНЫЗҒА СЕНІМДІМІЗ! (егер сіз осындай мысалдарды шешуді үйренсеңіз :))

Мысалы:

Өзіңіз шешіңіз:

Шешімдерді талдау:

1. Күшті күшке көтерудің әдеттегі ережесінен бастайық:

Енді көрсеткішке қараңыз. Ол саған ештеңені еске түсірмейді ме? Квадраттардың айырымын қысқартылған көбейту формуласын еске түсірейік:

Бұл жағдайда,

Анықталғандай:

Жауап: .

2. Көрсеткіштердегі бөлшектерді азайтамыз бірдей көрініс: екі ондық немесе екеуі де тұрақты. Біз, мысалы:

Жауабы: 16

3. Ерекше ештеңе жоқ, оны қолданайық қалыпты қасиеттердәрежелері:

АРТТЫҚ ДЕҢГЕЙ

Дәрежесін анықтау

Дәреже - пішіннің өрнегі: , мұндағы:

• — дәреже базасы;
• - көрсеткіш.

Табиғи көрсеткіші бар дәреже (n = 1, 2, 3,...)

Санды n натурал дәрежесіне көтеру санды өзіне есе көбейтуді білдіреді:

Бүтін көрсеткішті дәреже (0, ±1, ±2,...)

Көрсеткіш болса оң бүтін сансаны:

Құрылыс нөлдік дәрежеге дейін:

Өрнек белгісіз, өйткені, бір жағынан, кез келген дәрежеде бұл, ал екінші жағынан, кез келген ші дәрежелі сан осы.

Көрсеткіш болса теріс бүтін сансаны:

(себебі сіз бөлуге болмайды).

Нөлдер туралы тағы да: өрнек жағдайда анықталмаған. Егер, онда.

Мысалдар:

Рационал көрсеткішті қуат

• - натурал сан;
• - бүтін сан;

Мысалдар:

Дәрежелердің қасиеттері

Мәселені шешуді жеңілдету үшін түсінуге тырысайық: бұл қасиеттер қайдан пайда болды? Оларды дәлелдеп көрейік.

Көрейік: бұл не және?

А- приорит:

Сонымен, осы өрнектің оң жағында біз келесі өнімді аламыз:

Бірақ анықтамасы бойынша бұл көрсеткіші бар санның дәрежесі, яғни:

Q.E.D.

Мысал : Өрнекті жеңілдету.

Шешім : .

Мысал : Өрнекті жеңілдету.

Шешім : Біздің ережеде атап өту маңызды Міндетті түрдебірдей себептер болуы керек. Сондықтан біз қуаттарды базамен біріктіреміз, бірақ ол бөлек фактор болып қалады:

Тағы бір маңызды ескерту: бұл ереже - тек күштердің өнімі үшін!

Ешбір жағдайда сіз оны жаза алмайсыз.

Алдыңғы қасиет сияқты, дәреженің анықтамасына жүгінейік:

Бұл жұмысты былайша қайта топтастырайық:

Көрсетілгендей, өрнек өзіне еселенген есе көбейтіледі, яғни анықтама бойынша бұл санның ші дәрежесі:

Негізінде, мұны «индикаторды жақшадан шығару» деп атауға болады. Бірақ сіз мұны ешқашан жасай алмайсыз: !

Қысқартылған көбейту формулаларын еске түсірейік: біз неше рет жазғымыз келді? Бірақ бұл шындыққа жанаспайды.

Теріс негізі бар қуат.

Осы уақытқа дейін біз оның қандай болуы керектігін ғана талқыладық индексградус. Бірақ негіз не болуы керек? өкілеттіктерінде табиғи көрсеткіш негізі болуы мүмкін кез келген сан .

Шынында да, біз кез келген сандарды бір-біріне көбейте аламыз, олар оң, теріс немесе жұп болсын. Ойланайық, қандай белгілердің («» немесе «») оң және теріс сандардың дәрежелері болады?

Мысалы, сан оң ба, теріс пе? А? ?

Біріншісінде бәрі түсінікті: қанша оң сандарды бір-біріне көбейтсек те, нәтиже оң болады.

Бірақ теріс жақтары сәл қызықтырақ. 6-сыныптағы қарапайым ереже есімізде: «минус үшін минус плюс береді». Яғни, немесе. Бірақ () көбейтсек, - шығады.

Және т.б. ad infinitum: әрбір келесі көбейту кезінде белгі өзгереді. Біз мынаны тұжырымдай аламыз қарапайым ережелер:

1. тіптідәрежесі, - саны оң.
2. Теріс сан, салынған тақдәрежесі, - саны теріс.
3. Оң санкез келген дәрежеде оң сан болып табылады.
4. Кез келген дәрежедегі нөл нөлге тең.

Төмендегі өрнектерде қандай белгі болатынын өзіңіз анықтаңыз:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Сіз басқардыңыз ба? Міне, жауаптар:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Алғашқы төрт мысалда бәрі түсінікті деп үміттенемін? Біз жай ғана негізге және көрсеткішке қарап, сәйкес ережені қолданамыз.

5-мысалда) бәрі де көрінгендей қорқынышты емес: түптеп келгенде, базаның қандай екені маңызды емес - дәреже біркелкі, яғни нәтиже әрқашан оң болады. Негізі нөлге тең болғаннан басқа. База тең емес, солай ма? Әлбетте, жоқ, өйткені (өйткені).

6-мысал бұдан былай қарапайым емес. Мұнда қайсысы аз екенін анықтау керек: немесе? Соны еске түсірсек, бұл, демек, негіз екені белгілі болады нөлден аз. Яғни, 2-ережені қолданамыз: нәтиже теріс болады.

Біз тағы да дәреже анықтамасын қолданамыз:

Барлығы әдеттегідей - біз дәрежелердің анықтамасын жазып, оларды бір-біріне бөлеміз, жұптарға бөлеміз және аламыз:

Соңғы ережені қарастырмас бұрын, бірнеше мысалды шешейік.

Өрнектерді есептеңіз:

Шешімдер :

Егер сегізінші дәрежені елемейтін болсақ, мұнда нені көреміз? 7-сынып бағдарламасын еске түсірейік. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейтудің формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы!

Біз алып жатырмыз:

Бөлгішке мұқият қарайық. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Шарттардың реті дұрыс емес. Егер олар кері қайтарылса, 3-ереже қолданылуы мүмкін.Бірақ қалай? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.

Егер сіз оны көбейтсеңіз, ештеңе өзгермейді, солай емес пе? Бірақ қазір ол былай болып шықты:

Сиқырлы терминдер орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қолданылады: жақшадағы белгілерді оңай өзгерте аламыз. Бірақ есте сақтау маңызды: Барлық белгілер бір уақытта өзгереді!Бізге ұнамайтын бір ғана кемшілікті өзгерту арқылы оны алмастыра алмайсыз!

Мысалға қайта оралайық:

Және тағы да формула:

Енді соңғы ереже:

Оны қалай дәлелдейміз? Әрине, әдеттегідей: дәреже ұғымын кеңейтіп, оны жеңілдетейік:

Ал, енді жақшаларды ашайық. Барлығы неше әріп бар? көбейткіштер бойынша есе - бұл сізге нені еске түсіреді? Бұл операцияның анықтамасынан басқа ештеңе емес көбейту: Онда тек көбейткіштер болды. Яғни, бұл анықтама бойынша көрсеткіші бар санның дәрежесі:

Мысалы:

Иррационал көрсеткішті дәреже

Орташа деңгейге арналған дәрежелер туралы ақпаратқа қосымша, біз дәрежені иррационал көрсеткішпен талдаймыз. Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері рационал көрсеткіші бар дәрежеге дәл сәйкес келеді, оны қоспағанда - анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни , иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).

Табиғи, бүтін және рационал көрсеткішті дәрежелерді зерттеген кезде біз белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе неғұрлым таныс терминдермен сипаттама жасадық. Мысалы, натурал көрсеткішті дәреже дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан; нөлдік дәрежеге дейінгі сан - бұл өзіне бір рет көбейтілген сан, яғни олар оны көбейтуді әлі бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - сондықтан нәтиже тек белгілі бір «бос сан», атап айтқанда сан; бүтін теріс көрсеткіші бар дәреже - бұл қандай да бір «кері процесс» орын алған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.

Иррационал көрсеткіші бар дәрежені елестету өте қиын (4 өлшемді кеңістікті елестету қиын сияқты). Бұл математиктер дәреже ұғымын сандар кеңістігіне дейін кеңейту үшін жасаған таза математикалық нысан.

Айтпақшы, ғылымда күрделі көрсеткішті дәреже жиі қолданылады, яғни көрсеткіш тіпті нақты сан да емес. Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта осы жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.

Сонымен иррационал көрсеткішті көрсек не істейміз? Біз одан құтылуға тырысамыз! :)

Мысалы:

Өзіңіз шешіңіз:

1)

2)

3)

Жауаптары:

1. Квадраттардың айырмашылығы формуласын еске түсірейік. Жауап: .
2. Бөлшектерді бірдей пішінге келтіреміз: не ондық, не қарапайым екеуі де. Біз аламыз, мысалы: .
3. Ерекше ештеңе жоқ, біз дәрежелердің әдеттегі қасиеттерін қолданамыз:

БӨЛІМДІ ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Дәрежетүрінің өрнегі деп аталады: , мұндағы:

Бүтін көрсеткішті дәреже

көрсеткіші натурал сан болатын дәреже (яғни бүтін және оң).

Рационал көрсеткішті қуат

дәрежесі, көрсеткіші теріс және бөлшек сандар.

Иррационал көрсеткішті дәреже

көрсеткіші шексіз ондық бөлшек немесе түбір болатын дәреже.

Дәрежелердің қасиеттері

Дәрежелердің ерекшеліктері.

• Теріс сан көтерілді тіптідәрежесі, - саны оң.
• Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
• Кез келген дәрежедегі оң сан оң сан болып табылады.
• Нөл кез келген қуатқа тең.
• Кез келген санның нөлдік дәрежесі тең болады.

ЕНДІ СӨЗ СІЗДЕ...

Сізге мақала қалай ұнады? Сізге ұнады ма, ұнамады ма, төменге түсініктемелерде жазыңыз.

Бізге дәреже қасиеттерін пайдалану тәжірибеңіз туралы айтып беріңіз.

Мүмкін сізде сұрақтар бар. Немесе ұсыныстар.

Түсініктемелерде жазыңыз.

Ал емтихандарыңызға сәттілік!

С ДӘРЕЖЕСІ РАЦИОНАЛДЫҚ КӨРСЕТКІШ,

ҚУАТ ФУНКЦИЯСЫ IV

§ 71. Дәрежелері нөлдік және теріс дәрежелер

§ 69-да біз дәлелдедік (2-теореманы қараңыз) үшін t > б

(а =/= 0)

Бұл формуланы келесі жағдайға дейін кеңейтуді қалау өте табиғи Т < П . Бірақ содан кейін нөмір т - б теріс немесе нөлге тең болады. A. Біз осы уақытқа дейін тек табиғи дәрежелері бар дәрежелер туралы айттық. Осылайша, біз ғылыми дәрежелерді енгізу қажеттілігіне тап болдық нақты сандарнөлдік және теріс көрсеткіштермен.

Анықтама 1. Кез келген сан А , нөлге тең емес, нөлдік қуат бірге тең, яғни қашан А =/= 0

А 0 = 1. (1)

Мысалы, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. 0 санының нөлдік дәрежесі жоқ, яғни 0 0 өрнегі анықталмаған.

Анықтама 2. Егер А=/= 0 және Понда натурал сан

А - n = 1 /а n (2)

яғни теріс бүтін көрсеткіші нөлге тең емес кез келген санның дәрежесі бөлшекке тең, оның алымы бір, ал бөлгіші бірдей а санының дәрежесі, бірақ дәрежесі берілген дәрежеге қарама-қарсы. .

Мысалы,

Бұл анықтамаларды қабылдай отырып, қашан екенін дәлелдеуге болады а =/= 0, формула

кез келген натурал сандар үшін дұрыс Т Және n , және тек үшін емес t > б . Оны дәлелдеу үшін екі жағдайды қарастырумен шектелу жеткілікті: t = n Және Т< .п , жағдайдан бері m > n § 69-да талқыланған.

Болсын t = n ; Содан кейін . білдіреді, сол жақтеңдігі (3) 1-ге тең. Оң жағы at t = n айналады

А м - п = А n - n = А 0 .

Бірақ анықтамасы бойынша А 0 = 1. Сонымен (3) теңдіктің оң жағы да 1-ге тең. Демек, қашан t = n (3) формула дұрыс.

Енді солай делік Т< п . Бөлшектің алымы мен бөлімін бөліңіз А м , Біз алып жатырмыз:

Өйткені n > t , Бұл. Сондықтан . Теріс көрсеткіші бар қуат анықтамасын пайдаланып жаза аламыз .

Енді қашан , бұл дәлелдеуді қажет етті. Формула (3) енді кез келген натурал сандар үшін дәлелденді Т Және П .

Түсініктеме. Теріс дәрежелер бөлгішсіз бөлшектерді жазуға мүмкіндік береді. Мысалы,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; мүлде, а / б = а б - 1

Дегенмен, бұл белгілеу арқылы бөлшектер бүтін сандарға айналады деп ойламау керек. Мысалы, 3 - 1 - 1/3, 2 5 сияқты бөлшек - 1 - 2/5 сияқты бөлшек және т.б.

Жаттығулар

529. Есептеңіз:

530. Бөлінгіштері жоқ бөлшекті жаз:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Деректер ондық бөлшектерТеріс дәрежелерді пайдаланып бүтін өрнектер түрінде жазыңыз:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5