Тригонометрияның негізгі формулалары. Тригонометриялық теңдеулер

Жасыратыны жоқ, кез келген дерлік мәселені шешу процесіндегі сәттілік немесе сәтсіздік негізінен берілген теңдеудің түрін дұрыс анықтауға, сондай-ақ оны шешудің барлық кезеңдерінің ретін дұрыс жаңғыртуға байланысты. Алайда тригонометриялық теңдеулер жағдайында теңдеудің тригонометриялық екендігін анықтау мүлде қиын емес. Бірақ дұрыс жауапқа әкелетін әрекеттер тізбегін анықтау барысында біз белгілі бір қиындықтарға тап болуымыз мүмкін. Тригонометриялық теңдеулерді ең басынан бастап қалай дұрыс шешуге болатынын анықтайық.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу

Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін келесі тармақтарды орындау қажет:

• Біз теңдеуімізге енгізілген барлық функцияларды «бірдей бұрыштарға» азайтамыз;
• Берілген теңдеуді «бірдей функцияларға» келтіру керек;
• Берілген теңдеудің сол жағын көбейткіштерге немесе басқа қажетті компоненттерге бөлеміз.

Әдістері

1-әдіс.Мұндай теңдеулерді екі кезеңде шешу керек. Біріншіден, теңдеуді оның қарапайым (жеңілдетілген) түрін алу үшін түрлендіреміз. Теңдеу: Cosx = a, Sinx = a және соған ұқсас теңдеулер қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп аталады. Екінші кезең – алынған ең қарапайым теңдеуді шешу. Айта кету керек, ең қарапайым теңдеуді алгебралық әдіс арқылы шешуге болады, бұл бізге мектептегі алгебра курсынан белгілі. Оны алмастыру және ауыспалы ауыстыру әдісі деп те атайды. Қысқарту формулаларын қолдана отырып, алдымен түрлендіру керек, содан кейін алмастыру керек, содан кейін түбірлерді табу керек.

Әрі қарай, біз теңдеуді ықтимал факторларға көбейтуіміз керек; ол үшін барлық мүшелерді солға жылжытуымыз керек, содан кейін оны көбейткіштерге бөлуге болады. Енді бұл теңдеуді барлық мүшелері бірдей дәрежеге тең, ал косинус пен синусының бұрыштары бірдей болатын біртекті теңдеуге келтіру керек.

Тригонометриялық теңдеулерді шешпес бұрын, оның мүшелерін оң жағынан алып, сол жағына жылжыту керек, содан кейін жақшаның ішінен барлық ортақ бөлгіштерді шығару керек. Жақшалар мен көбейткіштерді нөлге теңестіреміз. Біздің теңестірілген жақшалар дәрежесі төмендетілген біртекті теңдеуді білдіреді, оны sin (cos) арқылы ең жоғары дәрежеге бөлу керек. Енді танға қатысты алынған алгебралық теңдеуді шешеміз.

2-әдіс. Тригонометриялық теңдеуді шешуге болатын тағы бір әдіс – жарты бұрышқа өту. Мысалы, теңдеуді шешеміз: 3sinx-5cosx=7.

Жарты бұрышқа өту керек, біздің жағдайда ол: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2).Одан кейін барлық мүшелерді бір бөлікке қысқартамыз (ыңғайлы болу үшін дұрысын таңдаған дұрыс) және теңдеуді шешуге кірісеміз.

Қажет болса, қосалқы бұрышты енгізуге болады. Бұл sin (a) немесе cos (a) бүтін мәнін ауыстыру қажет болған жағдайда орындалады және «a» таңбасы тек көмекші бұрыш ретінде әрекет етеді.

Қосылатын өнім

Қосындыны көбейту арқылы тригонометриялық теңдеулерді қалай шешуге болады? Мұндай теңдеулерді шешу үшін өнімді қосындыға түрлендіру деп аталатын әдісті де қолдануға болады. Бұл жағдайда теңдеуге сәйкес формулаларды қолдану қажет.

Мысалы, бізде мына теңдеу бар: 2sinx * sin3x= сos4x

Бұл мәселені сол жағын қосындыға түрлендіру арқылы шешуіміз керек, атап айтқанда:

сos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Егер жоғарыда аталған әдістер жарамсыз болса және сіз қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу жолын әлі де білмесеңіз, басқа әдісті қолдануға болады - әмбебап ауыстыру. Оны өрнекті түрлендіру және алмастыру үшін пайдалануға болады. Мысалы: Cos(x/2)=u. Енді теңдеуді қолданыстағы u параметрімен шешуге болады. Қажетті нәтижені алғаннан кейін, бұл мәнді керісінше түрлендіруді ұмытпаңыз.

Көптеген «тәжірибелі» студенттер адамдарға онлайн режимінде теңдеулерді шешуді сұрауға кеңес береді. Тригонометриялық теңдеуді онлайн қалай шешуге болады, сіз сұрайсыз. Мәселені онлайн режимінде шешу үшін сіз тиісті тақырыптар бойынша форумдарға бара аласыз, олар сізге кеңес беру немесе мәселені шешуде көмектесе алады. Бірақ мұны өз бетімен жасауға тырысқан дұрыс.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу дағдылары мен дағдылары өте маңызды және пайдалы. Олардың дамуы сізден айтарлықтай күш-жігерді қажет етеді. Осындай теңдеулерді шешумен физиканың, стереометрияның және т.б көптеген есептер байланысты. Ал мұндай есептерді шешу процесінің өзі тригонометрия элементтерін оқу барысында меңгерілетін дағдылар мен білімдердің болуын болжайды.

Тригонометриялық формулаларды меңгерту

Теңдеуді шешу барысында тригонометриядан кез келген формуланы қолдану қажеттілігі туындауы мүмкін. Сіз, әрине, оны оқулықтарыңыз бен парақтарыңыздан іздей бастай аласыз. Ал егер бұл формулалар сіздің басыңызда сақталса, сіз қажетті ақпаратты іздеуге уақыт жоғалтпай, жүйкеңізді сақтап қана қоймай, тапсырмаңызды айтарлықтай жеңілдетесіз. Осылайша, сіз мәселені шешудің ең ұтымды жолын ойлау мүмкіндігіне ие боласыз.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу туралы түсінік.

• Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін оны бір немесе бірнеше негізгі тригонометриялық теңдеулерге түрлендіру керек. Тригонометриялық теңдеуді шешу ең соңында төрт негізгі тригонометриялық теңдеуді шешуге келеді.

Негізгі тригонометриялық теңдеулерді шешу.

• Негізгі тригонометриялық теңдеулердің 4 түрі бар:
• sin x = a; cos x = a
• күңгірт x = a; ctg x = a
• Негізгі тригонометриялық теңдеулерді шешу бірлік шеңбердегі әртүрлі х позицияларын қарауды, сондай-ақ түрлендіру кестесін (немесе калькуляторды) пайдалануды қамтиды.
• 1-мысал. sin x = 0,866. Түрлендіру кестесін (немесе калькуляторды) пайдалану арқылы сіз мына жауап аласыз: x = π/3. Бірлік шеңбері басқа жауап береді: 2π/3. Есіңізде болсын: барлық тригонометриялық функциялар мерзімді, яғни олардың мәндері қайталанады. Мысалы, sin x пен cos x периодтылығы 2πn, tg x пен ctg x периодтылығы πn. Сондықтан жауап былай жазылады:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• 2-мысал. cos x = -1/2. Түрлендіру кестесін (немесе калькуляторды) пайдалану арқылы сіз мына жауап аласыз: x = 2π/3. Бірлік шеңбері басқа жауап береді: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Мысал 3. tg (x - π/4) = 0.
• Жауабы: x = π/4 + πn.
• 4-мысал. ctg 2x = 1,732.
• Жауабы: x = π/12 + πn.

Тригонометриялық теңдеулерді шешуде қолданылатын түрлендірулер.

• Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру үшін алгебралық түрлендірулер (көбейткіштерге бөлу, біртекті мүшелерді азайту және т.б.) және тригонометриялық сәйкестіктер қолданылады.
• 5-мысал: Тригонометриялық сәйкестіктерді пайдалана отырып, sin x + sin 2x + sin 3x = 0 теңдеуі 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 теңдеуіне түрлендіріледі. Осылайша, келесі негізгі тригонометриялық теңдеулер шешу керек: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Белгілі функция мәндерін пайдаланып бұрыштарды табу.

  • Тригонометриялық теңдеулерді шешуді үйрену алдында белгілі функция мәндерін пайдаланып бұрыштарды табуды үйрену керек. Мұны түрлендіру кестесі немесе калькулятор арқылы жасауға болады.
  • Мысалы: cos x = 0,732. Калькулятор x = 42,95 градус жауабын береді. Бірлік шеңбер қосымша бұрыштар береді, олардың косинусы да 0,732.

• Шешімді бірлік шеңберіне қойыңыз.

  • Тригонометриялық теңдеудің шешімдерін бірлік шеңберіне салуға болады. Бірлік шеңбердегі тригонометриялық теңдеудің шешімдері дұрыс көпбұрыштың төбелері болып табылады.
  • Мысал: Бірлік шеңбердегі x = π/3 + πn/2 шешімдері шаршының төбелерін көрсетеді.
  • Мысал: Бірлік шеңбердегі x = π/4 + πn/3 шешімдері дұрыс алтыбұрыштың төбелерін көрсетеді.

• Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері.

  • Егер берілген тригонометриялық теңдеуде бір ғана тригонометриялық функция болса, сол теңдеуді негізгі тригонометриялық теңдеу ретінде шешіңіз. Егер берілген теңдеу екі немесе одан да көп тригонометриялық функцияларды қамтитын болса, онда мұндай теңдеуді шешудің 2 әдісі бар (оны түрлендіру мүмкіндігіне байланысты).
    • 1-әдіс.
  • Бұл теңдеуді келесі түрдегі теңдеуге түрлендіріңіз: f(x)*g(x)*h(x) = 0, мұндағы f(x), g(x), h(x) - негізгі тригонометриялық теңдеулер.
  • Мысал 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Шешім. sin 2x = 2*sin x*cos x қос бұрыш формуласын пайдаланып, sin 2x орнына ауыстырыңыз.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Енді екі негізгі тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: cos x = 0 және (sin x + 1) = 0.
  • 7-мысал. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Шешуі: Тригонометриялық сәйкестіктерді пайдаланып, бұл теңдеуді келесі түрдегі теңдеуге түрлендіріңіз: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Енді екі негізгі тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: cos 2x = 0 және (2cos x + 1) = 0.
  • Мысал 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Шешуі: Тригонометриялық сәйкестіктерді пайдаланып, бұл теңдеуді келесі түрдегі теңдеуге түрлендіріңіз: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Енді екі негізгі тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: cos 2x = 0 және (2sin x + 1) = 0 .
    • 2-әдіс.
  • Берілген тригонометриялық теңдеуді тек бір тригонометриялық функциясы бар теңдеуге айналдырыңыз. Содан кейін бұл тригонометриялық функцияны белгісіз біреумен ауыстырыңыз, мысалы, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, т.б.).
  • 9-мысал. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
  • Шешім. Бұл теңдеуде (cos^2 x) орнына (1 - sin^2 x) (тұлғаға сәйкес) қойыңыз. Трансформацияланған теңдеу:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x орнын t-мен ауыстырыңыз. Енді теңдеу келесідей болады: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Бұл екі түбірі бар квадрат теңдеу: t1 = -1 және t2 = 9/5. Екінші түбір t2 функция ауқымын қанағаттандырмайды (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • 10-мысал. тг x + 2 тг^2 x = ctg x + 2
  • Шешім. tg x-ті t-мен ауыстырыңыз. Бастапқы теңдеуді келесідей қайта жазыңыз: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Енді t табыңыз, содан кейін t = tan x үшін х табыңыз.

Көпті шешкенде математикалық есептер, әсіресе 10-сыныпқа дейін орын алатын, мақсатқа жетелейтін орындалатын әрекеттердің реті нақты белгіленген. Мұндай есептерге, мысалы, сызықтық және квадрат теңдеулер, сызықтық және квадраттық теңсіздіктер, бөлшек теңдеулер және квадраттыққа келтіретін теңдеулер жатады. Көрсетілген есептердің әрқайсысын сәтті шешу принципі келесідей: сіз шешетін мәселенің түрін белгілеуіңіз керек, қажетті нәтижеге әкелетін әрекеттердің қажетті тізбегін есте сақтаңыз, яғни. жауап беріп, мына қадамдарды орындаңыз.

Белгілі бір мәселені шешудегі сәттілік немесе сәтсіздік, негізінен, шешілетін теңдеу түрі қаншалықты дұрыс анықталғанына, оны шешудің барлық кезеңдерінің тізбегі қаншалықты дұрыс жаңғыртылғанына байланысты екені анық. Әрине, бұл жағдайда бірдей түрлендірулер мен есептеулерді орындау дағдылары болуы керек.

Жағдай басқаша тригонометриялық теңдеулер.Теңдеудің тригонометриялық екенін анықтау қиын емес. Дұрыс жауапқа әкелетін әрекеттер тізбегін анықтау кезінде қиындықтар туындайды.

Теңдеудің пайда болуына қарай оның түрін анықтау кейде қиынға соғады. Ал теңдеудің түрін білмей, бірнеше ондаған тригонометриялық формулалардың ішінен дұрысын таңдау мүмкін емес.

Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін мына әрекеттерді орындау керек:

1. теңдеудегі барлық функцияларды «бір бұрыштарға» келтіру;
2. теңдеуді «бірдей функцияларға» келтіру;
3. теңдеудің сол жағын көбейткіштер және т.б.

қарастырайық тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері.

I. Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіру

Шешу диаграммасы

1-қадам.Тригонометриялық функцияны белгілі құрамдас бөліктері арқылы өрнектеңіз.

2-қадам.Формулалар арқылы функция аргументін табыңыз:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

күңгірт x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3-қадам.Белгісіз айнымалыны табыңыз.

Мысал.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шешім.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Жауабы: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Айнымалы ауыстыру

Шешу диаграммасы

1-қадам.Тригонометриялық функциялардың біріне қатысты теңдеуді алгебралық түрге келтіріңіз.

2-қадам.Алынған функцияны t айнымалысы арқылы белгілеңіз (қажет болса t бойынша шектеулер енгізіңіз).

3-қадам.Алынған алгебралық теңдеуді жазып, шешіңіз.

4-қадам.Кері ауыстыруды жасаңыз.

5-қадам.Ең қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешіңіз.

Мысал.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Шешім.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t болсын, мұндағы |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 немесе e = -3/2, |t| шартын қанағаттандырмайды ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Жауабы: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Теңдеу ретін қысқарту әдісі

Шешу диаграммасы

1-қадам.Дәрежені азайту формуласын пайдаланып, бұл теңдеуді сызықтық теңдеумен ауыстырыңыз:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2-қадам.Алынған теңдеуді I және II әдістер арқылы шешіңіз.

Мысал.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шешім.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Жауабы: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Біртекті теңдеулер

Шешу диаграммасы

1-қадам.Бұл теңдеуді пішінге келтіріңіз

а) a sin x + b cos x = 0 (бірінші дәрежелі біртекті теңдеу)

немесе көрініске

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (екінші дәрежелі біртекті теңдеу).

2-қадам.Теңдеудің екі жағын да бөліңіз

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

және tan x теңдеуін алыңыз:

а) күйген x + b = 0;

б) а 2 x + b арктан x + c = 0.

3-қадам.Белгілі әдістер арқылы теңдеуді шешіңіз.

Мысал.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Шешім.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) тг 2 x + 3тг x – 4 = 0.

3) Онда tg x = t болсын

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 немесе t = -4, бұл білдіреді

tg x = 1 немесе tg x = -4.

Бірінші теңдеуден x = π/4 + πn, n Є Z; екінші теңдеуден x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Жауабы: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометриялық формулалар арқылы теңдеуді түрлендіру әдісі

Шешу диаграммасы

1-қадам.Барлық мүмкін болатын тригонометриялық формулаларды пайдалана отырып, бұл теңдеуді I, II, III, IV әдістермен шешілетін теңдеуге келтіріңіз.

2-қадам.Алынған теңдеуді белгілі әдістер арқылы шешіңіз.

Мысал.

күнә х + күнә 2х + күнә 3х = 0.

Шешім.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 немесе 2cos x + 1 = 0;

Бірінші теңдеуден 2x = π/2 + πn, n Є Z; екінші теңдеуден cos x = -1/2.

Бізде x = π/4 + πn/2, n Є Z; екінші теңдеуден x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Нәтижесінде x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Жауабы: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу қабілеті мен дағдысы өте жоғары маңызды, олардың дамуы оқушы тарапынан да, мұғалім тарапынан да айтарлықтай күш-жігерді қажет етеді.

Стереометрияның, физиканың т.б көптеген есептері тригонометриялық теңдеулерді шешумен байланысты.Мұндай есептерді шығару процесі тригонометрия элементтерін оқу арқылы алынатын көптеген білімдер мен дағдыларды қамтиды.

Тригонометриялық теңдеулер математиканы оқыту процесінде және жалпы тұлғаны дамытуда маңызды орын алады.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма? Тригонометриялық теңдеулерді шешуді білмейсіз бе?
Тәрбиешіден көмек алу үшін -.
Бірінші сабақ тегін!

blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.

Тригонометрияның негізгі формулаларын - синус пен косинус квадраттарының қосындысын, синус пен косинус арқылы жанаманың өрнектелуін және т.б. білуді талап етеді. Оларды ұмытып кеткен немесе білмейтіндер үшін «» мақаласын оқуды ұсынамыз.
Сонымен, біз негізгі тригонометриялық формулаларды білеміз, оларды практикада қолданудың уақыты келді. Тригонометриялық теңдеулерді шешудұрыс тәсілмен, бұл, мысалы, Рубик текшесін шешу сияқты өте қызықты әрекет.

Атаудың өзіне қарап, тригонометриялық теңдеу белгісіз тригонометриялық функцияның белгісі астында болатын теңдеу екені анық.
Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп аталатындар бар. Міне, олар келесідей: sinx = a, cos x = a, tan x = a. қарастырайық мұндай тригонометриялық теңдеулерді қалай шешуге болады, түсінікті болу үшін біз бұрыннан таныс тригонометриялық шеңберді қолданамыз.

sinx = a

cos x = a

күңгірт x = a

төсек x = a

Кез келген тригонометриялық теңдеу екі кезеңде шешіледі: теңдеуді оның қарапайым түріне келтіреміз, содан кейін оны қарапайым тригонометриялық теңдеу ретінде шешеміз.
Тригонометриялық теңдеулерді шешудің 7 негізгі әдісі бар.

1. Айнымалы алмастыру және алмастыру әдісі

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Төмендету формулаларын қолданып, мынаны аламыз:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Кәдімгі квадрат теңдеуді жеңілдету және алу үшін cos(x + /6) у-мен ауыстырыңыз:

2ж 2 – 3ж + 1 + 0

Түбірлері у 1 = 1, у 2 = 1/2

Енді кері ретпен жүрейік

Табылған у мәндерін ауыстырамыз және екі жауап нұсқасын аламыз:

2. Тригонометриялық теңдеулерді көбейткіштерге бөлу арқылы шешу

sin x + cos x = 1 теңдеуін қалай шешуге болады?

Оң жақта 0 қалуы үшін барлығын солға жылжытайық:

sin x + cos x – 1 = 0

Теңдеуді жеңілдету үшін жоғарыда қарастырылған сәйкестендірулерді қолданайық:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

көбейткіштерге жіктейік:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Біз екі теңдеу аламыз

3. Біртекті теңдеуге келтіру

Теңдеу синус пен косинусқа қатысты біртекті болады, егер оның барлық мүшелері бірдей бұрыштың бірдей дәрежедегі синусы мен косинусына қатысты болса. Біртекті теңдеуді шешу үшін келесі әрекеттерді орындаңыз:

а) оның барлық мүшелерін сол жаққа ауыстыру;

б) барлық ортақ факторларды жақшадан шығару;

в) барлық көбейткіштер мен жақшаларды 0-ге теңестіру;

г) жақшаның ішінде төменгі дәрежелі біртекті теңдеу алынады, ол өз кезегінде жоғары дәрежелі синусқа немесе косинусқа бөлінеді;

д) тг үшін алынған теңдеуді шеш.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 теңдеуін шешіңіз.

sin 2 x + cos 2 x = 1 формуласын қолданып, оң жақтағы ашық екеуінен құтылайық:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x-ке бөлу:

тг 2 x + 4 тг x + 3 = 0

x-ті у-мен ауыстырыңыз және квадрат теңдеуді алыңыз:

y 2 + 4y +3 = 0, оның түбірлері у 1 =1, у 2 = 3

Осы жерден бастапқы теңдеудің екі шешімін табамыз:

x 2 = арктан 3 + k

4. Жарты бұрышқа көшу арқылы теңдеулерді шешу

3sin x – 5cos x = 7 теңдеуін шешіңіз

x/2-ге көшейік:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Барлығын солға жылжытайық:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)-ге бөлу:

тг 2 (х/2) – 3тг(х/2) + 6 = 0

5. Көмекші бұрышпен таныстыру

Қарастыру үшін мына түрдегі теңдеуді алайық: a sin x + b cos x = c,

мұндағы a, b, c - кейбір ерікті коэффициенттер, ал х - белгісіз.

Теңдеудің екі жағын келесіге бөлейік:



Енді теңдеудің коэффициенттері, тригонометриялық формулаларға сәйкес, sin және cos қасиеттеріне ие, атап айтқанда: олардың модулі 1-ден көп емес және квадраттардың қосындысы = 1. Оларды сәйкесінше cos және sin деп белгілейік, мұндағы - бұл көмекші бұрыш деп аталады. Сонда теңдеу келесідей болады:

cos * sin x + sin * cos x = C

немесе sin(x + ) = C

Бұл ең қарапайым тригонометриялық теңдеудің шешімі

x = (-1) k * arcsin C - + k, мұндағы



Айта кету керек, cos және sin белгілері бір-бірін алмастырады.

sin 3x – cos 3x = 1 теңдеуін шешіңіз

Бұл теңдеудегі коэффициенттер:

a =, b = -1, сондықтан екі жағын = 2-ге бөліңіз

Негізгі тригонометриялық функциялар - синус, косинус, тангенс және котангенс арасындағы байланыстар берілген. тригонометриялық формулалар. Тригонометриялық функциялар арасында өте көп байланыс болғандықтан, бұл тригонометриялық формулалардың көптігін түсіндіреді. Кейбір формулалар бір бұрыштың тригонометриялық функцияларын байланыстырады, басқалары - еселік бұрыштың функциялары, басқалары - градусты азайтуға мүмкіндік береді, төртінші - барлық функцияларды жарты бұрыштың тангенсі арқылы өрнектейді және т.б.

Бұл мақалада біз тригонометрия есептерінің басым көпшілігін шешуге жеткілікті болатын барлық негізгі тригонометриялық формулаларды ретімен келтіреміз. Есте сақтауға және қолдануға ыңғайлы болу үшін біз оларды мақсаты бойынша топтастырып, кестелерге енгіземіз.

Бетті шарлау.

Негізгі тригонометриялық сәйкестіктер

Негізгі тригонометриялық сәйкестіктербір бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі арасындағы байланысты анықтау. Олар синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамасынан, сонымен қатар бірлік шеңбер ұғымынан шығады. Олар бір тригонометриялық функцияны кез келген басқасымен өрнектеуге мүмкіндік береді.

Осы тригонометрия формулаларының егжей-тегжейлі сипаттамасы, олардың алынуы және қолдану мысалдары үшін мақаланы қараңыз.

Қысқарту формулалары

Қысқарту формулаларысинус, косинус, тангенс және котангенс қасиеттерінен шығады, яғни олар тригонометриялық функциялардың периодтылық қасиетін, симметрия қасиетін, сондай-ақ берілген бұрышпен ығысу қасиетін көрсетеді. Бұл тригонометриялық формулалар ерікті бұрыштармен жұмыс істеуден нөлден 90 градусқа дейінгі бұрыштармен жұмыс істеуге көшуге мүмкіндік береді.

Бұл формулалардың негіздемесін, оларды есте сақтаудың мнемоникалық ережесін және оларды қолдану мысалдарын мақалада зерделеуге болады.

Қосу формулалары

Тригонометриялық қосу формулаларыЕкі бұрыштың қосындысының немесе айырмасының тригонометриялық функциялары сол бұрыштардың тригонометриялық функциялары арқылы қалай өрнектелетінін көрсетіңіз. Бұл формулалар келесі тригонометриялық формулаларды шығаруға негіз болады.

Формулалар қос, үш және т.б. бұрыш

Формулалар қос, үш және т.б. бұрыш (оларды бірнеше бұрыш формулалары деп те атайды) қос, үш және т.б. тригонометриялық функциялардың қалай орындалатынын көрсетеді. бұрыштар () бір бұрыштың тригонометриялық функцияларымен өрнектеледі. Олардың шығарылуы қосу формулаларына негізделген.

Толық ақпарат қос, үш және т.б. үшін мақала формулаларында жинақталған. бұрыш

Жартылай бұрыш формулалары

Жартылай бұрыш формулаларыжарты бұрыштың тригонометриялық функциялары бүтін бұрыштың косинусымен қалай өрнектелетінін көрсетіңіз. Бұл тригонометриялық формулалар қос бұрышты формулалардан шығады.

Олардың қорытындысы мен қолдану мысалдарын мақаладан табуға болады.

Дәрежені төмендету формулалары

Дәрежелерді азайтуға арналған тригонометриялық формулаларолар тригонометриялық функциялардың табиғи қуаттарынан бірінші дәрежелі, бірақ көп бұрыштағы синустар мен косинустарға ауысуды жеңілдетуге арналған. Басқаша айтқанда, олар тригонометриялық функциялардың қуаттарын біріншіге дейін азайтуға мүмкіндік береді.

Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырмасының формулалары

Негізгі мақсаты тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырмасының формулаларытригонометриялық өрнектерді жеңілдету кезінде өте пайдалы функциялардың туындысына өту болып табылады. Бұл формулалар тригонометриялық теңдеулерді шешуде де кеңінен қолданылады, өйткені олар синустар мен косинустардың қосындысы мен айырмасын көбейтуге мүмкіндік береді.

Синустардың, косинустардың және синусының косинус бойынша көбейтіндісінің формулалары

Тригонометриялық функциялардың туындысынан қосындыға немесе айырымға көшу синустар, косинустар және синустар косинусқа көбейтіндісінің формулалары арқылы жүзеге асырылады.

Башмаков М.И.Алгебра және талдау бастаулары: Оқулық. 10-11 сыныптар үшін. орт. мектеп - 3-ші басылым. – М.: Білім, 1993. – 351 б.: сырқат. - ISBN 5-09-004617-4.

Алгебражәне талдаудың басы: Прок. 10-11 сыныптар үшін. жалпы білім беру мекемелер / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын және т.б.; Ред. А.Н.Колмогоров.- 14-бас.- М.: Білім, 2004.- 384 б.: ауру.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (техникалық оқу орындарына түсетіндерге арналған оқу құралы): Прок. жәрдемақы.- М.; Жоғарырақ мектеп, 1984.-351 б., сырқат.

cleverstudent авторлық құқық

Барлық құқықтар сақталған.
Авторлық құқық туралы заңмен қорғалған. www.сайтының ешбір бөлігін, оның ішінде ішкі материалдар мен сыртқы түрін авторлық құқық иесінің алдын ала жазбаша рұқсатынсыз кез келген нысанда көшіруге немесе пайдалануға болмайды.