Бірде мен полярлық зерттеушілер сандарды санауды және жазуды үйреткен чукчалар туралы айтатын қайғылы оқиғаны оқыдым. Сандардың сиқыры оны таң қалдырғаны сонша, ол полярлық зерттеушілер сыйға тартқан дәптерге бірінен бастап әлемдегі барлық сандарды қатарынан жазуды ұйғарды. Чукча өзінің барлық істерінен бас тартады, тіпті өз әйелімен де сөйлесуді тоқтатады, енді итбалық пен итбалық іздемейді, бірақ бәрін жазып, дәптерге сандарды жазады .... Осылайша бір жыл өтеді. Соңында дәптер бітеді және чукча барлық сандардың аз ғана бөлігін жаза алғанын түсінеді. Ол ащы жылап, үмітсіз балықшының қарапайым өмірін қайта бастау үшін сызылған дәптерін өртеп жіберді, енді сандардың жұмбақ шексіздігі туралы ойламайды ...
Біз бұл чукчаның ерлігін қайталамаймыз және ең үлкен санды табуға тырысамыз, өйткені кез келген сан одан да көп санды алу үшін тек біреуін қосу керек. Өзімізге ұқсас болса да, бірақ басқа сұрақ қоялық: өз атауы бар сандардың қайсысы ең үлкен?
Әлбетте, сандардың өзі шексіз болғанымен, олардың көп жалқы есімдері жоқ, өйткені олардың көпшілігі кішірек сандардан тұратын атаулармен қанағаттанады. Мәселен, мысалы, 1 және 100 сандарының өз атаулары бар «бір» және «жүз», ал 101 санының атауы қазірдің өзінде күрделі («жүз бір»). Адамзат өз атымен марапаттаған шекті сандар жиынында ең үлкен сан болуы керек екені анық. Бірақ ол қалай аталады және ол неге тең? Оны анықтауға және табуға тырысайық, сайып келгенде, бұл ең үлкен сан!
|
«Қысқа» және «ұзын» шкала
Үлкен сандарды қазіргі атау жүйесінің тарихы 15 ғасырдың ортасынан басталады, Италияда мың шаршы үшін «миллион» (сөзбе-сөз – үлкен мың), миллион үшін «бимиллион» сөздерін қолдана бастады. шаршы және миллион текше үшін «триллион». Біз бұл жүйе туралы француз математигі Николас Чукенің (шамамен 1450 - 1500 ж.) арқасында білеміз: «Сандар туралы ғылым» (Triparty en la Science des nombres, 1484) трактатында ол бұл идеяны дамытып, одан әрі пайдалануды ұсынды. Латын кардинал сандары (кестені қараңыз), оларды «-миллион» соңына қосады. Осылайша, Шукеттің «бимиллоны» миллиардқа, «триллион» триллионға, ал төртінші дәрежедегі миллион «квадриллионға» айналды.
Шуке жүйесінде миллионнан миллиардқа дейінгі 10 9 санының өз атауы жоқ және жай ғана «мың миллион» деп аталды, сол сияқты 10 15 «мың миллиард», 10 21 - « мың триллион» және т.б. Бұл өте ыңғайлы болмады, ал 1549 жылы француз жазушысы және ғалымы Жак Пелетье дю Ман (1517-1582) осындай «аралық» сандарды бірдей латын префикстерін, бірақ «-million» аяқталуымен атауды ұсынды. Сонымен, 10 9 «миллиард», 10 15 - «бильярд», 10 21 - «триллион» деп атала бастады.
Suke-Peletier жүйесі бірте-бірте танымал болды және бүкіл Еуропада қолданыла бастады. Алайда 17 ғасырда күтпеген мәселе туындады. Кейбір ғалымдар қандай да бір себептермен шатастырып, 10 9 санын «миллиард» немесе «мың миллион» емес, «миллиард» деп атайтын болды. Көп ұзамай бұл қате тез тарады және парадоксалды жағдай туындады - «миллиард» бір мезгілде «миллиард» (10 9) және «миллион» (10 18) сөздерінің синониміне айналды.
Бұл шатасу жеткілікті ұзаққа созылды және Америка Құрама Штаттарының үлкен сандарды атаудың өзіндік жүйесін құруына әкелді. Американдық жүйеге сәйкес, сандардың атаулары Шуке жүйесіндегідей құрастырылған - латын префиксі және «illion» аяқталуы. Дегенмен, бұл сандардың шамасы әртүрлі. Егер Шуке жүйесінде «миллион» аяқталатын атаулар миллион градусқа тең сандарды қабылдаса, американдық жүйеде «-миллион» аяқталуы мыңдық градусқа ие болды. Яғни, мың миллион (1000 3 = 10 9) «миллиард», 1000 4 (10 12) - «триллион», 1000 5 (10 15) - «квадриллион» т.б деп атала бастады.
Үлкен сандарды атаудың ескі жүйесі консервативті Ұлыбританияда қолданыла берді және оны француз Шукет пен Пелетье ойлап тапқанына қарамастан, бүкіл әлемде «британдық» деп атала бастады. Алайда, 1970 жылдары Ұлыбритания ресми түрде «американдық жүйеге» көшті, бұл бір жүйені американдық, ал екіншісін британдық деп атау біршама оғаш болды. Нәтижесінде американдық жүйе қазір әдетте «қысқа шкала», ал британдық жүйе немесе Шуке-Пелетье жүйесі «ұзын шкала» деп аталады.
Шатасып кетпеу үшін аралық нәтижені қорытындылайық:
|
Қысқаша атау шкаласы қазір Америка Құрама Штаттарында, Ұлыбританияда, Канадада, Ирландияда, Австралияда, Бразилияда және Пуэрто-Рикода қолданылады. Ресей, Дания, Түркия және Болгария да қысқа шкала қолданады, тек 10 9 саны «миллиард» емес, «миллиард» деп аталады. Дегенмен, ұзақ шкала қазіргі уақытта басқа елдердің көпшілігінде қолданылуын жалғастыруда.
Бір қызығы, біздің елде қысқа шкалаға түпкілікті көшу 20 ғасырдың екінші жартысында ғана болды. Мысалы, тіпті Яков Исидорович Перельман (1882-1942) өзінің «Көңілді арифметикасында» КСРО-да екі шкаланың параллель болуын айтады. Қысқа шкала, Перельманның пікірінше, күнделікті өмірде және қаржылық есептерде, ал ұзын шкала астрономия мен физика бойынша ғылыми кітаптарда қолданылған. Алайда, қазір Ресейде ұзын шкала қолдану дұрыс емес, дегенмен ондағы сандар үлкен болып шықты.
Бірақ ең үлкен санды іздеуге қайта оралыңыз. Дециллионнан кейін сан атаулары префикстерді біріктіру арқылы алынады. Дециллион, он екідециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, сегіздециллион, новемдециллион, т.б сандар осылай алынады. Дегенмен, бұл атаулар бізге енді қызық емес, өйткені біз өзіміздің құрама емес атаумен ең үлкен санды табуға келістік.
Егер латын грамматикасына жүгінетін болсақ, римдіктерде оннан асатын сандарды білдіретін күрделі емес үш атау ғана болғанын көреміз: viginti - «жиырма», centum - «жүз» және mille - «мың». «Мыңнан» асатын сандар үшін римдіктердің өз атаулары болған жоқ. Мысалы, римдіктер миллионды (1 000 000) «decies centena milia», яғни «он есе жүз мың» деп атаған. Шукке ережесіне сәйкес, осы қалған үш латын цифры бізге «вигинтилион», «центиллион» және «миллион» сияқты сандарға атау береді.
Сонымен, біз «қысқа шкалада» өз атауы бар және кіші сандардың құрамдас бөлігі болып табылмайтын максималды сан «миллион» (10 3003) екенін білдік. Егер сандарды атаудың «ұзын шкаласы» Ресейде қабылданған болса, онда өз атауы бар ең үлкен сан «миллиард» болады (10 6003).
Дегенмен, одан да үлкен сандар үшін атаулар бар.
Жүйеден тыс сандар
Кейбір сандар латын префикстерін қолданатын атау жүйесімен ешқандай байланыссыз өз атауына ие. Ал мұндай сандар өте көп. Сіз, мысалы, нөмірді есте сақтай аласыз e, «пи» саны, ондық, аңның саны және т.б. Дегенмен, бізді қазір үлкен сандар қызықтыратындықтан, біз миллионнан асатын өздерінің құрама емес атауы бар сандарды ғана қарастырамыз.
Ресейде 17 ғасырға дейін сандарды атаудың өзіндік жүйесі қолданылды. Он мыңдықтарды «қараңғылық», жүз мыңдықтарды «легиондар», миллиондарды «леодра», он миллиондарды «қарғалар», жүздеген миллиондарды «палубалар» деп атады. Бұл жүздеген миллионға дейінгі санауды «кішкентай санау» деп атады, ал кейбір қолжазбаларда авторлар «ұлы санауды» да қарастырды, онда бірдей атаулар үлкен сандар үшін қолданылған, бірақ басқа мағынада. Демек, «қараңғылық» он мың емес, мың мың (10 6), «легион» – солардың қараңғылығы (10 12); «Леодр» - легиондар легионы (10 24), «қарға» - леодр леодр (10 48). Қандай да бір себептермен, ұлы славян шотындағы «палуба» «қарғалардың қарғалары» (10 96) емес, тек он «қарғалар», яғни 10 49 деп аталды (кестені қараңыз).
|
10 100 санының да өз аты бар және оны тоғыз жасар бала ойлап тапқан. Және бұл осылай болды. 1938 жылы американдық математик Эдвард Каснер (1878-1955) екі жиенімен саябақта серуендеп, олармен үлкен сандарды талқылады. Әңгіме барысында өздерінің аты жоқ жүз нөлі бар сан туралы әңгімелесті. Жиендерінің бірі, тоғыз жасар Милтон Сиротт нөмірді «googol» деп атауды ұсынды. 1940 жылы Эдвард Каснер Джеймс Ньюманмен бірге «Математика және қиял» ғылыми-көпшілік кітабын жазды, онда ол математика әуесқойларына гуголдардың саны туралы айтып берді. Google 1990 жылдардың аяғында оның атымен аталған Google іздеу жүйесінің арқасында одан да көп атақ алды.
Гуголдан да көп санның атауы 1950 жылы информатиканың атасы Клод Элвуд Шеннонның (1916-2001) арқасында пайда болды. Ол өзінің «Компьютерді шахмат ойнауға бағдарламалау» атты мақаласында шахмат ойынының мүмкін болатын нұсқаларының санын бағалауға тырысты. Оның айтуынша, әрбір ойын орта есеппен 40 жүріске созылады және әр жүрісте ойыншы орта есеппен 30 нұсқаның ішінен таңдау жасайды, бұл ойынның 900 40 (шамамен 10 118-ге тең) нұсқасына сәйкес келеді. Бұл жұмыс кеңінен танымал болды және бұл сан «Шеннон саны» деп аталды.
Біздің эрамызға дейінгі 100 жылға жататын атақты буддистік трактат Джайна Сутрада «асанхея» саны 10 140-қа тең кездеседі. Бұл сан нирванаға жету үшін қажетті ғарыштық циклдер санына тең деп есептеледі.
Тоғыз жасар Милтон Сиротта математика тарихына гугол санын ойлап тапқаны үшін ғана емес, сонымен бірге басқа сан – googolplex-ті ұсынғаны үшін де кірді, ол гугол қуатының 10-ға тең. , яғни нөлдердің гуголі бар біреуі.
Гуголплекстен үлкенірек екі санды оңтүстік африкалық математик Стэнли Скевес (1899-1988) Риман гипотезасын дәлелдеу кезінде ұсынған. Кейінірек «бірінші Skuse нөмірі» ретінде белгілі болған бірінші нөмір eдәрежеде eдәрежеде e 79-шы билікке, яғни e e e 79 = 10 10 8.85.10 33. Дегенмен, «екінші Skewes саны» одан да үлкен және 10 10 10 1000 құрайды.
Дәрежелерде дәрежелер неғұрлым көп болса, оқу кезінде сандарды жазу және олардың мағынасын түсіну қиынырақ болатыны анық. Сонымен қатар, мұндай сандарды (және олар, айтпақшы, бұрыннан ойлап тапқан), дәрежелердің дәрежесі параққа сәйкес келмейтін кезде ойлап табуға болады. Иә, қандай бет! Олар тіпті бүкіл Әлемнің көлеміндей кітапқа сыймайды! Бұл жағдайда мұндай сандарды қалай жазуға болады деген сұрақ туындайды. Мәселе, бақытымызға орай, шешіледі және математиктер мұндай сандарды жазудың бірнеше принциптерін әзірледі. Рас, бұл мәселені қойған әрбір математик өзінің жазу тәсілін ойлап тапты, бұл үлкен сандарды жазудың бір-бірімен байланысты емес бірнеше тәсілдерінің болуына әкелді – бұл Кнут, Конуэй, Штайнхаус және т.б. белгілеулер. Бізге енді осы мәселені шешуге тура келеді. олардың кейбіреулері.
Басқа белгілер
1938 жылы, тоғыз жасар Милтон Сиротта googol және googolplex сандарын ойлап тапқан жылы Польшада Уго Дионизи Штайнхаус (1887-1972) жазған қызықты математика, Математикалық калейдоскоп туралы кітап жарық көрді. Бұл кітап өте танымал болды, көптеген басылымдардан өтті және көптеген тілдерге, соның ішінде ағылшын және орыс тілдеріне аударылды. Онда Штайнхаус үлкен сандарды талқылай отырып, оларды үш геометриялық фигураны – үшбұрышты, шаршыны және шеңберді пайдаланып жазудың қарапайым әдісін ұсынады:
«Нүшбұрышта «білдіреді» n n»,
« nшаршы «мағынасы» n v nүшбұрыштар»,
« nшеңберде «білдіреді» n v nшаршылар».
Жазудың бұл тәсілін түсіндіре отырып, Штайнхаус шеңберде 2-ге тең «мега» санын шығарады және оның «шаршыдағы» 256-ға немесе 256 үшбұрышта 256-ға тең екенін көрсетеді. Оны есептеу үшін 256-ны 256-ның дәрежесіне дейін көтеру керек, нәтижесінде алынған 3.2.10 616 санын 3.2.10 616 дәрежесіне дейін көтеру керек, содан кейін алынған санды алынған санның дәрежесіне дейін көтеру және т.б. жалпы қуаты 256 есе. Мысалы, MS Windows жүйесіндегі калькулятор тіпті екі үшбұрышта 256 толып кетуіне байланысты есептей алмайды. Шамамен бұл үлкен сан 10 10 2,10 619.
«Мега» санын анықтай отырып, Штайнхаус оқырмандарды шеңбердегі 3-ке тең басқа санды - «мезондарды» өз бетінше бағалауға шақырады. Кітаптың басқа басылымында Штайнхаус Медзонның орнына одан да жоғары санды - шеңбердегі 10-ға тең «мегистонды» бағалауды ұсынады. Штайнхаустың артынан мен оқырмандарға осы мәтіннен уақытша алшақтап, олардың орасан зор мәнін сезіну үшін осы сандарды кәдімгі дәрежелерді пайдаланып өздері жазуға тырысуды ұсынамын.
Дегенмен, b үшін атаулар бар Ожоғары сандар. Сонымен, канадалық математик Лео Мозер (Лео Мозер, 1921-1970) Штайнхаус белгісін өзгертті, ол егер сандарды көптеген үлкен мегистондарды жазу қажет болса, онда қиындықтар мен ыңғайсыздықтар туындайтынымен шектелді, өйткені көптеген шеңберлер. бірінің ішіне бірін салу керек еді. Мозер шеңберлерді емес, шаршылардан кейін бесбұрыштарды, содан кейін алтыбұрыштарды және т.б. салуды ұсынды. Ол сондай-ақ күрделі сызбаларды сызбай-ақ сандарды жазуға болатындай етіп, осы көпбұрыштар үшін ресми белгілерді ұсынды. Мозердің белгілеуі келесідей:
« nүшбұрыш «= n n = n;
« nшаршы "= n = « n v nүшбұрыштар «= nn;
« nбесбұрышта «= n = « n v nшаршылар "= nn;
« n v k + 1-gon "= n[к+1] = " n v n к-gons "= n[к]n.
Сонымен, Мозердің белгілеуіне сәйкес, Штайнхаус «мега» 2, «мезон» 3, ал «мегистон» 10 деп жазылған. Сонымен қатар, Лео Мозер қабырғаларының саны мегаға тең көпбұрышты шақыруды ұсынды - «мегагон». Және ол «мегадағы 2» санын, яғни 2 санын ұсынды. Бұл сан Мозер саны немесе жай ғана «Мозер» деген атпен белгілі болды.
Бірақ тіпті Мозер ең үлкен сан емес. Сонымен, математикалық дәлелдеуге қолданылған ең үлкен сан - «Грэм саны». Бұл санды алғаш рет американдық математик Рональд Грэм 1977 жылы Рэмси теориясындағы бір бағалауды дәлелдеу кезінде, атап айтқанда белгілі бір өлшемдердің өлшемдерін есептеу кезінде қолданған. n-өлшемді бихроматикалық гиперкубтар. Грэмдің саны Мартин Гарднердің 1989 жылы жарияланған «Пенроуз мозаикасынан сенімді шифрларға дейін» кітабындағы ол туралы әңгімеден кейін ғана танымал болды.
Грэм санының қаншалықты үлкен екенін түсіндіру үшін 1976 жылы Дональд Кнут енгізген үлкен сандарды жазудың басқа әдісін түсіндіру керек. Американдық профессор Дональд Кнут супердереже тұжырымдамасын ойлап тапты, ол жоғары бағытталған көрсеткілермен жазуды ұсынды:
Менің ойымша, бәрі түсінікті, сондықтан Грэмдің нөміріне оралайық. Рональд Грэм G-сандары деп аталатындарды ұсынды:
Мұнда G 64 саны және Грэм саны деп аталады (ол көбінесе жай G ретінде белгіленеді). Бұл сан математикалық дәлелдеуге қолданылатын әлемдегі ең белгілі сан, тіпті Гиннестің рекордтар кітабына енді.
Және соңында
Осы мақаланы жазғаннан кейін мен өз нөмірімді шығаруға азғырылмай тұра алмаймын. Бұл нөмір аталсын " стасплекс«Және G 100 санына тең болады. Оны жаттап алыңыз және балаларыңыз әлемдегі ең үлкен сан қандай деп сұрағанда, бұл сан шақырылғанын айтыңыз стасплекс.
Серіктестер жаңалықтары
Сіз бір миллионда қанша нөл бар екенін ойлап көрдіңіз бе? Бұл өте қарапайым сұрақ. Ал миллиард немесе триллион ше? Тоғыз нөлі бар бір (1 000 000 000) - сан қалай аталады?
Сандардың қысқаша тізімі және олардың сандық белгіленуі
- Он (1 нөл).
- Жүз (2 нөл).
- Мың (3 нөл).
- Он мың (4 нөл).
- Жүз мың (5 нөл).
- Миллион (6 нөл).
- Миллиард (9 нөл).
- Триллион (12 нөл).
- Квадриллион (15 нөл).
- Квинтиллон (18 нөл).
- Секстилион (21 нөл).
- Септиллон (24 нөл).
- Сегіздік (27 нөл).
- Ноналион (30 нөл).
- Декалион (33 нөл).
Нөлдерді топтастыру
1 000 000 000 - 9 нөлі бар сан қалай аталады? Бұл миллиард. Ыңғайлы болу үшін үлкен сандарды бір-бірінен бос орын немесе үтір немесе нүкте сияқты тыныс белгілері арқылы бөлінген үш жиынға топтау әдеттегідей.
Бұл сандық мәнді оқуды және түсінуді жеңілдету үшін жасалады. Мысалы, 1 000 000 000 саны қалай аталады? Бұл пішінде аздап көрінуге, санауға тұрарлық. Ал егер сіз 1 000 000 000 деп жазсаңыз, онда тапсырма бірден көрнекі түрде оңайырақ болады, сондықтан нөлдерді емес, нөлдердің үш есесін санау керек.
Нөлдері өте көп сандар
Ең танымалдары миллион және миллиард (1 000 000 000). 100 нөлі бар сан қалай аталады? Бұл гуголь фигурасы, оны Милтон Сиротта деп те атайды. Бұл өте үлкен сома. Бұл сан көп деп ойлайсыз ба? Сонда googolplex, артынан нөлден тұратын гуголь туралы не деуге болады? Бұл санның үлкендігі сонша, оның мағынасын табу қиын. Шындығында, шексіз ғаламдағы атомдардың санын санаудан басқа, мұндай алыптардың қажеті жоқ.
1 миллиард көп пе?
Өлшеудің екі шкаласы бар - қысқа және ұзын. Дүние жүзінде ғылым мен қаржы саласында 1 млрд 1000 млн. Бұл қысқаша ауқымда. Оған сәйкес, бұл 9 нөлі бар сан.
Сондай-ақ кейбір Еуропа елдерінде, соның ішінде Францияда қолданылатын және бұрын Ұлыбританияда (1971 жылға дейін) қолданылған, миллиард 1 миллион миллион, яғни бір және 12 нөл болатын ұзын шкала бар. Бұл градация ұзақ мерзімді шкала деп те аталады. Қысқа шкала қазір қаржылық және ғылыми мәселелерде басым.
Швед, дат, португал, испан, итальян, голланд, норвег, поляк, неміс сияқты кейбір еуропалық тілдер бұл жүйеде миллиард (немесе миллиард) атауларды пайдаланады. Орыс тілінде 9 нөлі бар сан мың миллионның қысқа шкаласы үшін де сипатталады, ал триллион миллион миллион. Бұл қажетсіз шатасулардың алдын алады.
Әңгімелесу опциялары
Орыс тілінде ауызекі сөйлеу тілінде 1917 жылғы оқиғалардан кейін – Ұлы Октябрь революциясы – және 1920 жылдардың басындағы гиперинфляция кезеңі. 1 миллиард рубль «Лимард» деп аталды. Ал 1990-шы жылдары миллиардқа «қарбыз» деген жаңа жаргон сөз пайда болды, миллион «лимон» деп аталды.
«Миллиард» сөзі қазір халықаралық деңгейде қолданылады. Бұл натурал сан, ондық жүйеде 10 9 (бір және 9 нөл) түрінде берілген. Сондай-ақ Ресей мен ТМД елдерінде қолданылмаған миллиард деген тағы бір атау бар.
Миллиард = миллиард?
Миллиард сияқты сөз миллиардты белгілеу үшін «қысқа шкала» негізге алынған мемлекеттерде ғана қолданылады. Бұл Ресей Федерациясы, Ұлыбритания және Солтүстік Ирландия Біріккен Корольдігі, АҚШ, Канада, Грекия және Түркия сияқты елдер. Басқа елдерде миллиард термині 10 12 санын, яғни бір және 12 нөлді білдіреді. Ресейді қоса алғанда, «қысқа масштабты» елдерде бұл көрсеткіш 1 трлн.
Мұндай шатасу Францияда алгебра сияқты ғылым қалыптасып жатқан кезде пайда болды. Бастапқыда миллиардта 12 нөл болды. Алайда, 1558 жылы арифметика бойынша негізгі оқулық (Транчан) пайда болғаннан кейін бәрі өзгерді, мұнда миллиард қазірдің өзінде 9 нөлден тұратын сан (мың миллион).
Келесі бірнеше ғасырлар бойы бұл екі ұғым бір-бірімен тең дәрежеде қолданылды. 20 ғасырдың ортасында, дәлірек айтқанда, 1948 жылы Франция ұзақ масштабты санау жүйесіне көшті. Осыған байланысты, бір кездері француздардан алынған қысқа шкала бүгінде олар қолданатын шкаладан әлі де ерекшеленеді.
Тарихи тұрғыдан Ұлыбритания ұзақ мерзімді миллиардты пайдаланды, бірақ 1974 жылдан бастап Ұлыбританияның ресми статистикасы қысқа мерзімді шкаланы қолданды. 1950 жылдардан бастап қысқа мерзімді шкала техникалық жазу мен журналистика салаларында көбірек қолданыла бастады, дегенмен ұзақ мерзімді шкала әлі де сақталды.
Бізді күн сайын сансыз әртүрлі сандар қоршайды. Әрине, көптеген адамдар кем дегенде бір рет қандай сан ең үлкен болып саналады деп ойлады. Балаға бұл миллион деп жай ғана айта аласыз, бірақ ересектер миллионнан кейінгі басқа сандар екенін жақсы біледі. Мысалы, санға әр кезде тек біреуін қосу керек, ол барған сайын көбейе береді - бұл ad infinitum болады. Бірақ атаулары бар сандарды бөліп алсаңыз, әлемдегі ең үлкен санның қалай аталатынын білуге болады.
Сан есімдерінің пайда болуы: қандай әдістер қолданылады?
Бүгінгі таңда 2 жүйе бар, оған сәйкес сандар атаулары беріледі - американдық және ағылшын. Біріншісі өте қарапайым, ал екіншісі бүкіл әлемде кең таралған. Американдық осындай үлкен сандарға атау беруге мүмкіндік береді: алдымен латын тіліндегі реттік көрсеткіш көрсетіледі, содан кейін «illion» жұрнағы қосылады (мұндағы ерекшелік - миллион, мың дегенді білдіреді). Бұл жүйені американдықтар, француздар, канадалықтар пайдаланады, біздің елде де қолданылады.
Ағылшын тілі Англия мен Испанияда кеңінен қолданылады. Оған сәйкес сандар былайша аталады: латын тіліндегі сан «плюс» «illion» жұрнағымен, ал келесі (мың есе үлкен) сан «плюс» «иллиард» болып табылады. Мысалы, алдымен триллион, одан кейін триллион, одан кейін квадриллион және т.б.
Сонымен, әртүрлі жүйелердегі бірдей сан әртүрлі мағынаны білдіруі мүмкін, мысалы, ағылшын жүйесіндегі американдық миллиард миллиард деп аталады.
Жүйеден тыс сандар
Белгілі жүйелер бойынша жазылатын сандардан басқа (жоғарыда) жүйелі емес сандар да бар. Олардың өз атаулары бар, оларда латын префикстері жоқ.
Сіз оларды сансыз деп аталатын санмен қарастыра бастай аласыз. Ол жүз жүздік (10000) ретінде анықталады. Бірақ өз мақсатына сай бұл сөз қолданылмайды, бірақ сансыздың көрсеткіші ретінде қолданылады. Тіпті Даль сөздігі мұндай санның анықтамасын береді.
Сансыз саннан кейінгі келесісі 100-дің 10-ын білдіретін гуголь. Бұл атауды алғаш рет 1938 жылы Америкадан келген математик Э.Каснер қолданды, бұл атауды оның жиені ойлап тапқанын атап өтті.
Google (іздеу жүйесі) өз атауын googol құрметіне алды. Сонда гуголь нөлдері бар 1-ца (1010100) гуголплекс - бұл атауды Каснер де ойлап тапты.
Гуголплекспен салыстырғанда одан да үлкені - жай сандар туралы Римман болжамын дәлелдеуде Скузе ұсынған Skuse саны (e-ден e-ден e79 дәрежесіне дейін). Басқа Skuse нөмірі бар, бірақ ол Римман гипотезасы дұрыс болмаған кезде қолданылады. Олардың қайсысы көбірек екенін айту қиын, әсіресе үлкен дәрежеде. Дегенмен, бұл сан, оның «үлкендігіне» қарамастан, өз атаулары бар барлық сандардың көпшілігі деп санауға болмайды.
Әлемдегі ең үлкен сандар арасында көшбасшы - Грэм саны (G64). Математика ғылымы саласында алғаш рет дәлелдеу жұмыстарын жүргізген ол болды (1977).
Мұндай санға келетін болсақ, сіз Кнут жасаған арнайы 64 деңгейлі жүйесіз жасай алмайтыныңызды білуіңіз керек - мұның себебі G санының бихроматикалық гиперкубтармен байланысы. Қамшы жоғары дәрежені ойлап тапты және оның жазбаларын жасауды ыңғайлы ету үшін ол жоғары көрсеткілерді пайдалануды ұсынды. Осылайша біз әлемдегі ең үлкен санның атын білдік. Айта кетейік, бұл G нөмірі әйгілі рекордтар кітабының беттеріне енген.
Ерте ме, кеш пе, бәрі ең көп сан деген сұрақпен қиналады. Баланың сұрағына миллионмен жауап беруге болады. Келесі не? триллион. Ал одан әрі? Шын мәнінде, ең үлкен сандар дегеніміз не деген сұраққа жауап қарапайым. Ең үлкен санға тек біреуін қосу керек, себебі ол енді ең үлкен болмайды. Бұл процедураны шексіз жалғастыруға болады. Анау. бұл әлемдегі ең үлкен сан емес пе? Бұл шексіздік пе?
Ал егер сіз сұрақ қойсаңыз: бар ең үлкен сан қандай және оның өз атауы қалай? Енді бәріміз білеміз ...
Сандарды атаудың екі жүйесі бар - американдық және ағылшын.
Американдық жүйе өте қарапайым. Үлкен сандардың барлық атаулары былайша құрастырылған: басында латынша реттік сан, ал соңында оған миллион жұрнағы жалғанады. Ерекшелік - мың санының атауы болып табылатын «миллион» атауы (лат. мың) және өсу жұрнағы-миллион (кестені қараңыз). Сандар осылай алынады - триллион, квадриллион, квинтилион, секстильон, септильон, октиллион, ниллион және дециллион. Американдық жүйе АҚШ, Канада, Франция және Ресейде қолданылады. Американдық жүйеде жазылған сандағы нөлдердің санын қарапайым 3 x + 3 формуласы арқылы білуге болады (мұндағы x - латын саны).
Ағылшынша атау жүйесі әлемде ең кең таралған. Ол, мысалы, Ұлыбритания мен Испанияда, сондай-ақ бұрынғы ағылшын және испан колонияларының көпшілігінде қолданылады. Бұл жүйедегі сан атаулары былай құрастырылған: осылайша: миллион жұрнағы латын цифрына қосылады, келесі сан (1000 есе үлкен) принцип бойынша құрастырылады - сол латын цифры, бірақ жұрнағы -миллиард. Яғни, ағылшын жүйесінде триллионнан кейін триллион, содан кейін ғана квадриллион, одан кейін квадриллион, т.б. Осылайша, ағылшын және американдық жүйелердегі квадриллион мүлдем басқа сандар! Ағылшын тілінде жазылған және миллион жұрнағымен аяқталатын сандағы нөлдер санын 6 x + 3 (мұндағы x - латын цифры) формуласы бойынша және осымен аяқталатын сандар үшін 6 x + 6 формуласы бойынша білуге болады. -миллиард.
Ағылшын жүйесінен орыс тіліне миллиард (10 9) саны ғана өтті, оны американдықтар деп атағанымыз дұрысырақ болар еді – миллиард, өйткені бұл американдық жүйе біздің елімізде қабылданған. Бірақ біздің елде кім ережеге сай бір нәрсені жасайды! 😉 Айтпақшы, кейде триллион сөзі орыс тілінде де қолданылады (Google немесе Яндекс-тен іздеу арқылы өзіңіз көре аласыз) және бұл, шамасы, 1000 триллион, т.б. квадриллион.
Американдық немесе ағылшындық жүйеге сәйкес латын префикстерін пайдаланып жазылған сандардан басқа, жүйеден тыс сандар деп аталатындар да белгілі, яғни. ешбір латын префиксі жоқ өз атаулары бар сандар. Мұндай бірнеше сандар бар, бірақ мен олар туралы сәл кейінірек толығырақ айтатын боламын.
Латын цифрларын қолданып жазуға қайта оралайық. Олар сандарды шексіздікке дейін жаза алатын сияқты көрінеді, бірақ бұл мүлдем дұрыс емес. Мұның себебін түсіндірейін. Алдымен 1-ден 10 33-ке дейінгі сандар қалай аталатынын көрейік:
Сонымен, енді не болады деген сұрақ туындайды. Дециллионның артында не жатыр? Негізінде, әрине, префикстерді біріктіру арқылы мұндай құбыжықтарды генерациялауға болады: andecillion, duoddecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion және novemdecillion, бірақ олар қазірдің өзінде күрделі атаулар боламыз. сандарға қызығушылық танытты. Сондықтан, осы жүйеге сәйкес, жоғарыда айтылғандардан басқа, сіз әлі де тек үш атауды ала аласыз - вигинтилион (лат. вигинти- жиырма), центиллион (лат. жүз- жүз) және миллион (лат. мың- бір мың). Римдіктерде сандардың мыңнан астам өз атаулары болған жоқ (мыңнан жоғары барлық сандар құрама болды). Мысалы, римдіктер миллионды (1 000 000) деп атаған. centena milia шешеді, яғни «он жүз мың». Ал енді, шын мәнінде, кесте:
Осылайша, мұндай жүйе бойынша сан 10 3003-тен үлкен, оның өзіндік, күрделі емес атауы болады, оны алу мүмкін емес! Бірақ соған қарамастан миллионнан астам сандар белгілі - бұл жүйеден тыс сандар. Соңында олар туралы айтып берейік.
Мұндай ең кіші сан – сансыз сан (тіпті Даль сөздігінде де бар), бұл жүз жүздік дегенді білдіреді, яғни 10 000 – мүлде белгілі бір санды білдірмейді, бірақ бір нәрсенің саналмайтын, саналмайтын жиынтығы. Сансыз сөз еуропалық тілдерге Ежелгі Египеттен енген деп саналады.
Бұл санның шығу тегі туралы әртүрлі пікірлер бар. Кейбіреулер оны Мысырда пайда болған деп есептесе, басқалары тек Ежелгі Грецияда туған деп есептейді. Шындығында солай болсын, бірақ көптеген адамдар гректердің арқасында атақ алды. Myriad 10 000-ға арналған атау болды, бірақ он мыңнан асатын сандар үшін атаулар болмады. Алайда, «Псаммит» жазбасында (яғни құмның есебі) Архимед ерікті түрде үлкен сандарды жүйелі түрде қалай құрастыруға және атауға болатынын көрсетті. Атап айтқанда, көкнәр тұқымына 10 000 (сансыз) құм түйіршіктерін сала отырып, ол Ғаламда (диаметрі Жердің сансыз диаметрін құрайтын шар) 1063 құм түйірінен аспайтынын (біздің жазуымызда) табады. Көрінетін Әлемдегі атомдар санының қазіргі заманғы есептеулері 1067 санына әкелетіні қызық (бар болғаны бірнеше есе көп). Архимед сандарға келесі атауларды ұсынды:
1 сансыз = 104.
1 d-сансыз = сансыз сансыз = 108.
1 үш мыңдық = екі мыңдаған екі мыңдық = 1016.
1 тетра-мириад = үш-мыңсыз үш-мыңсыз = 1032.
және т.б.
Гуголь (ағылшын тілінен шыққан googol) - оннан жүздік дәрежеге дейінгі сан, яғни бірден кейін жүз нөл. Гуголь туралы алғаш рет 1938 жылы американдық математик Эдвард Каснер Scripta Mathematica журналының қаңтардағы санындағы «Математикадағы жаңа есімдер» мақаласында жазылған. Оның айтуынша, оның тоғыз жасар жиені Милтон Сиротта көп нөмірді «гоогол» деп атауды ұсынған. Бұл нөмір оның атымен аталған Google іздеу жүйесінің арқасында танымал болды. «Google» сауда белгісі, ал googol — сан екенін ескеріңіз.
Эдвард Каснер.
Интернетте сіз Googol әлемдегі ең үлкен сан екенін жиі айта аласыз, бірақ бұл олай емес ...
Біздің дәуірімізге дейінгі 100 жылдарға жататын әйгілі буддистік трактат Джайна Сутрада асанхея саны (Ч. asenci- сансыз), 10 140-қа тең. Бұл сан нирванаға жету үшін қажетті ғарыштық циклдер санына тең деп есептеледі.
Googolplex (ағыл. googolplex) - сонымен қатар Каснер мен оның жиені ойлап тапқан сан және гуголі нөлден тұратын бір, яғни 10 10100 дегенді білдіреді. Каснердің өзі бұл «ашуды» былай сипаттайды:
Даналық сөздерді балалар кем дегенде ғалымдар сияқты жиі айтады. «Гоогол» атауын бала (доктор Каснердің тоғыз жасар жиені) ойлап тапты, оған өте үлкен санның, атап айтқанда, өзінен кейін жүз нөлі бар 1-дің есімін ойлап табуды сұрады. бұл санның шексіз емес екеніне сенімді, сондықтан оның аты болуы керек екеніне сенімді болды.Ол «googol» дегенді ұсына отырып, бұдан да үлкенірек санға атау берді: «Googolplex.» Гуголплекс әлдеқайда үлкен googol, бірақ әлі де шектеулі, өйткені бұл атауды ойлап тапқан адам тез атап өтті.
Математика және қиял(1940) Каснер және Джеймс Р. Ньюман.
Googolplex санынан да үлкенірек, Skewes «санын 1933 жылы Скевес ұсынған (Skewes. Дж. Лондон математикасы. Сок. 8, 277-283, 1933.) жай сандарға қатысты Риман болжамын дәлелдеуде. Ол білдіреді eдәрежеде eдәрежеде e 79-шы дәрежеге, яғни eee79. Кейінірек, Riele (te Riele, H. J. J. «Айырмашылық белгісі туралы П(x) -Li (x). Математика. Есептеу. 48, 323-328, 1987) Skewes санын ee27 / 4 дейін азайтты, бұл шамамен 8,18510370. Өйткені Скузенің санының мәні санға байланысты екені анық e, онда ол бүтін сан емес, сондықтан біз оны қарастырмаймыз, әйтпесе басқа натурал емес сандарды - pi, e және т.б. еске түсіруге тура келеді.
Бірақ математикада Sk2 деп белгіленген екінші Skuse саны бар екенін атап өткен жөн, ол бірінші Skuse санынан (Sk1) үлкенірек. Екінші Скузе санын сол мақалада Риман гипотезасы дұрыс емес санды белгілеу үшін Дж.Скузе енгізген. Sk2 101010103-ке тең, ол 1010101000.
Түсінгеніңіздей, дәрежелер саны неғұрлым көп болса, сандардың қайсысы үлкен екенін түсіну қиынырақ. Мысалы, Skuse сандарына қарап, арнайы есептеулерсіз бұл екі санның қайсысы үлкен екенін түсіну мүмкін емес. Осылайша, өте үлкен сандар үшін қуаттарды пайдалану ыңғайсыз болады. Сонымен қатар, сіз мұндай сандарды (және олар бұрыннан ойлап тапқан) дәрежелердің дәрежесі параққа сәйкес келмеген кезде ойлай аласыз. Иә, қандай бет! Олар тіпті бүкіл Әлемнің көлеміндей кітапқа да сыймайды! Бұл жағдайда оларды қалай жазу керек деген сұрақ туындайды. Мәселе, сіз түсінгеніңіздей, шешілетін және математиктер мұндай сандарды жазудың бірнеше принциптерін әзірледі. Рас, бұл мәселені қойған әрбір математик өзінің жазу тәсілін ойлап тапты, бұл сандарды жазудың бірнеше байланыссыз тәсілдерінің болуына әкелді - бұл Кнут, Конвей, Штайнхаус және т.б.
Гюго Штайнхаустың (Х. Штайнхаус) белгілеуін қарастырайық. Математикалық суреттер, 3-ші басылым. 1983), бұл өте қарапайым. Стейн Хаус геометриялық фигуралардың – үшбұрыштың, шаршының және шеңбердің ішіне үлкен сандарды жазуды ұсынды:
Штайнхаус екі жаңа супер-үлкен нөмірді ойлап тапты. Ол Мега санын және Мегистон санын атады.
Математик Лео Мозер Стенхаустың белгілеуін жетілдірді, ол мегистоннан әлдеқайда үлкен сандарды жазу қажет болса, қиындықтар мен ыңғайсыздықтар туындады, өйткені көптеген шеңберлерді бірінің ішіне бірінің ішіне салу керек болды. Мозер шеңберлерді емес, шаршылардан кейін бесбұрыштарды, содан кейін алтыбұрыштарды және т.б. салуды ұсынды. Ол сондай-ақ күрделі сызбаларды сызбай-ақ сандарды жазуға болатындай етіп, осы көпбұрыштар үшін ресми белгілерді ұсынды. Мозердің белгілеуі келесідей:
- n[к+1] = "n v n к-gons "= n[к]n.
Сонымен, Мозердің белгілеуіне сәйкес, Стейнхаус мегасы 2, ал мегистон 10 деп жазылған.Сонымен қатар, Лео Мозер қабырғаларының саны мегаға тең көпбұрышты - мегагон деп атауды ұсынды. Және ол «Мегагондағы 2» санын, яғни 2 санын ұсынды. Бұл сан Мозер саны (Мозер саны) немесе жай ғана мозер ретінде белгілі болды.
Бірақ Мозер де ең үлкен сан емес. Математикалық дәлелдеуде бұрыннан қолданылған ең үлкен сан – Грэм саны ретінде белгілі шекті шама, алғаш рет 1977 жылы Рэмси теориясында бір бағалауды дәлелдеу үшін қолданылған. Ол бихроматикалық гиперкубтармен байланысты және 64 деңгейлі арнайы жүйесіз өрнектелмейді. Кнут 1976 жылы енгізген арнайы математикалық таңбалар.
Өкінішке орай, Кнут белгілеуімен жазылған санды Мозер жүйесіне аудару мүмкін емес. Сондықтан бұл жүйені де түсіндіруге тура келеді. Негізінде, бұл туралы да күрделі ештеңе жоқ. Дональд Кнут (иә, иә, бұл «Бағдарламалау өнері» кітабын жазған және TeX редакторын жасаған сол Кнут) супердереже тұжырымдамасын ойлап тапты, ол жоғары бағытталған көрсеткілермен жазуды ұсынды:
Жалпы, бұл келесідей көрінеді:
Менің ойымша, бәрі түсінікті, сондықтан Грэмдің нөміріне оралайық. Грэм G сандары деп аталатындарды ұсынды:
G63 саны Грэм саны ретінде белгілі болды (ол жиі жай G ретінде белгіленеді). Бұл сан әлемдегі белгілі ең үлкен сан және тіпті Гиннестің рекордтар кітабына енгізілген.
Сонда Грэм санынан үлкен сандар бар ма? Әрине, Грэм саны + 1. Бастау үшін маңызды санға келетін болсақ ... математиканың (атап айтқанда, комбинаторика деп аталатын сала) және информатиканың кейбір шайтандық күрделі салалары бар, оларда сандар жұп болады. Грэм санынан үлкенірек кездеседі. Бірақ біз ақылға қонымды және түсінікті түрде түсіндіруге болатын шегіне жеттік.
көздері http://ctac.livejournal.com/23807.html
http://www.uznayvse.ru/interesting-facts/samoe-bolshoe-chislo.html
http://www.vokrugsveta.ru/quiz/310/
https://masterok.livejournal.com/4481720.html
Таңғажайып, керемет үлкен сандар бар, тіпті оларды жазу үшін бүкіл ғалам қажет. Бірақ, міне, сізді шынымен есінен шығаратын нәрсе ... бұл ақылға сыймайтын үлкен сандардың кейбірі әлемді түсіну үшін өте маңызды.
Мен «әлемдегі ең үлкен сан» дегенде, мен шынымен ең үлкенін айтқым келеді маңыздысан, қандай да бір жолмен пайдалы болуы мүмкін ең үлкен сан. Бұл атаққа көптеген үміткерлер бар, бірақ мен сізге бірден ескертемін: мұның бәрін түсінуге тырысқанда, сіздің ойыңыздан шығу қаупі бар. Сонымен қатар, тым көп математикамен сізде аз қызық болады.
Googol және googolplex
Эдвард Каснер
Біз екі саннан бастай аламыз, сіз бұрын-соңды естіген ең үлкен сандар және бұл шын мәнінде ағылшын тіліндегі анықтамаларды жалпы қабылдаған екі ең үлкен сан. (Сіз қалағандай үлкен сандарды белгілеу үшін қолданылатын жеткілікті дәл номенклатура бар, бірақ бұл екі сан қазір сөздіктерде кездеспейді.) Google, өйткені ол әлемге әйгілі болды (қателері бар болса да, ескеріңіз. шын мәнінде бұл googol) Google түрінде, 1920 жылы балаларды үлкен сандарға қызықтыру тәсілі ретінде дүниеге келген.
Осы мақсатта Эдвард Каснер (суретте) өзінің екі жиені Милтон мен Эдвин Сиротты Нью-Джерси Палисадтары арқылы серуендеуге апарды. Ол оларды кез келген идеяларды ұсынуға шақырды, содан кейін тоғыз жасар Милтон «googol» ұсынды. Оның бұл сөзді қайдан алғаны белгісіз, бірақ Каснер осылай шешті 
немесе бірлік артында жүз нөл бар сан бұдан былай googol деп аталады.
Бірақ жас Милтон мұнымен тоқтап қалмады, ол одан да көп санды, гуголплексті ұсынды. Бұл Милтонның пікірінше, бірінші орында 1, одан кейін шаршағанша жазуға болатын сонша нөл болатын сан. Бұл идея қызықты болғанымен, Каснер ресми анықтама қажет деп шешті. Ол өзінің 1940 жылы шыққан «Математика және қиял» кітабында түсіндіргендей, Милтонның анықтамасы кездейсоқ әзілкеш Альберт Эйнштейннен жоғары математик болуы мүмкін деген қауіпті мүмкіндікті ашық қалдырады, өйткені оның төзімділігі жоғары.
Сонымен Каснер googolplex тең болады деп шешті, немесе 1, содан кейін нөлдердің гуголь. Әйтпесе, біз басқа сандармен жұмыс істейтіндерге ұқсас белгілерде googolplex деп айтамыз. Мұның қаншалықты таң қалдыратынын көрсету үшін Карл Саган бір рет googolplex-тің барлық нөлдерін жазу физикалық мүмкін емес екенін атап өтті, өйткені ғаламда орын жеткіліксіз. Егер сіз бақыланатын Әлемнің бүкіл көлемін шамамен 1,5 микрон болатын ұсақ шаң бөлшектерімен толтырсаңыз, онда бұл бөлшектерді орналастырудың әртүрлі тәсілдерінің саны шамамен бір гуголплекске тең болады.
Лингвистикалық тұрғыдан алғанда, googol және googolplex ең үлкен екі маңызды сан болуы мүмкін (кем дегенде ағылшын тілінде), бірақ біз қазір анықтайтынымыздай, «маңыздылықты» анықтаудың шексіз көптеген жолдары бар.
Шынайы әлем
Егер біз ең үлкен мәнді сан туралы айтатын болсақ, бұл шын мәнінде әлемдегі нақты мәні бар ең үлкен санды табу керек дегенді білдіретін орынды дәлел бар. Біз қазіргі уақытта шамамен 6 920 миллион адам тұратын қазіргі халық санынан бастауға болады. 2010 жылы әлемдік ЖІӨ шамамен 61,96 миллиард долларға бағаланды, бірақ адам ағзасын құрайтын шамамен 100 триллион жасушамен салыстырғанда екі сан да мардымсыз. Әрине, бұл сандардың ешқайсысы, әдетте, шамамен тең деп есептелетін Әлемдегі бөлшектердің жалпы санымен салыстыра алмайды және бұл санның көптігі сонша, тілімізде сәйкес сөз жоқ.
Біз сандарды үлкейтіп, өлшем жүйелерімен аздап ойнай аламыз. Сонымен, Күннің тоннадағы массасы фунтпен салыстырғанда аз болады. Мұны істеудің тамаша тәсілі - физика заңдары жарамды болып қалатын мүмкін болатын ең кіші өлшем бірліктері болып табылатын Планк жүйесін пайдалану. Мысалы, Планк заманындағы ғаламның жасы шамамен. Үлкен жарылыстан кейінгі Планк уақытының бірінші бірлігіне оралсақ, сол кезде ғаламның тығыздығы қандай болғанын көреміз. Барған сайын көбейіп бара жатырмыз, бірақ гуголға әлі жеткен жоқпыз.
Кез келген нақты әлем қолданбасы бар ең үлкен сан - немесе, бұл жағдайда, нақты әлем қолданбасы - көп ғаламдағы ғаламдар санының ең соңғы бағалауларының бірі болуы мүмкін. Бұл санның үлкендігі сонша, адам миы осы әртүрлі ғаламдардың бәрін қабылдай алмайды, өйткені ми тек шамамен конфигурацияларға қабілетті. Шындығында, бұл сан, мүмкін, егер сіз көп әлем идеясын есепке алмасаңыз, кез келген практикалық мағынасы бар ең үлкен сан болуы мүмкін. Дегенмен, ол жерде әлі де әлдеқайда көп сандар жасырынып жатыр. Бірақ оларды табу үшін біз таза математика саласына баруымыз керек және жай сандардан жақсы бастама жоқ.
Мерсенн жайлайды
Қиындықтың бір бөлігі «маңызды» санның жақсы анықтамасын табу болып табылады. Оның бір жолы - жай және құрама сандар тұрғысынан ойлау. Жай сан, мектеп математикасынан есіңізде болса керек, тек өзіне ғана бөлінетін кез келген натурал сан (бірге тең емес ескертпе). Сонымен, және - жай сандар, және және - құрама сандар. Бұл кез келген құрама санды ең соңында оның жай бөлгіштерімен көрсетуге болатындығын білдіреді. Белгілі бір мағынада, айталық, сан маңыздырақ, өйткені оны кіші сандардың көбейтіндісі арқылы білдірудің ешқандай жолы жоқ.
Әлбетте, біз сәл әрі қарай жүре аламыз. мысалы, бұл шын мәнінде қарапайым, яғни біздің сандар туралы біліміміз санмен шектелетін гипотетикалық әлемде математик әлі де санды көрсете алады. Бірақ келесі сан қазірдің өзінде жай сан, яғни оны білдірудің жалғыз жолы - оның бар екендігі туралы тікелей білу. Бұл ең үлкен белгілі жай сандар маңызды рөл атқарады дегенді білдіреді, бірақ айталық, googol - бұл ақыр соңында жай ғана сандар жиыны болып табылады және олардың арасында көбейтіледі - іс жүзінде жоқ. Жай сандар негізінен кездейсоқ болғандықтан, керемет үлкен санның шын мәнінде жай болатынын болжаудың белгілі жолы жоқ. Осы күнге дейін жаңа жай сандарды табу қиын.
Ежелгі грек математиктерінде жай сандар ұғымы кем дегенде біздің эрамызға дейінгі 500 жылы болған, ал 2000 жылдан кейін адамдар қандай сандарды тек шамамен 750-ге дейін ғана білетін. мұны іс жүзінде қолданбаңыз. Бұл сандар Мерсен сандары ретінде белгілі және 17 ғасырдағы француз ғалымы Марина Мерсеннің атымен аталған. Идея өте қарапайым: Мерсенна саны пішіннің кез келген саны болып табылады. Мәселен, мысалы, бұл сан жай сан, үшін де солай.
Mersenne жай сандарын анықтау кез келген басқа қарапайым түрлерге қарағанда әлдеқайда жылдам және оңайырақ және компьютерлер соңғы алты онжылдықта оларды табу үшін көп жұмыс жасады. 1952 жылға дейін белгілі ең үлкен жай сан сан – цифрлары бар сан болды. Сол жылы компьютер санның жай екенін есептеді және бұл сан сандардан тұрады, бұл оны гуголдан әлдеқайда үлкен етеді.
Содан бері компьютерлер іздеуде болды және Мерсеннаның n-ші саны қазіргі уақытта адамзатқа белгілі ең үлкен жай сан болып табылады. 2008 жылы ашылған бұл – миллионға жуық цифры бар сан. Бұл кез келген кішірек сандармен өрнектелмейтін ең үлкен белгілі сан және одан да үлкен Mersenne санын табуға көмектескіңіз келсе, сіз (және сіздің компьютеріңіз) әрқашан http: //www.mersenne мекенжайында іздеуге қосыла аласыз. org /.
Скузе нөмірі
Стэнли Скевес
Жай сандарға қайта оралайық. Жоғарыда айтқанымдай, олар өздерін түбегейлі қате ұстанады, яғни келесі премьердің қандай болатынын болжау мүмкін емес. Математиктер болашақ жай сандарды болжаудың қандай да бір тәсілін ойлап табу үшін, тіпті кейбір түсініксіз жолмен де кейбір фантастикалық өлшемдерге жүгінуге мәжбүр болды. Бұл әрекеттердің ең сәттісі 18 ғасырдың аяғында аты аңызға айналған математик Карл Фридрих Гаусс ойлап тапқан негізгі санау функциясы болса керек.
Мен сізге анағұрлым күрделі математиканы сақтаймын - қалай болғанда да, бізде әлі көп нәрсе бар - бірақ функцияның мәні мынада: кез келген бүтін сан үшін сіз қанша жай сандар аз екенін есептей аласыз. Мысалы, егер, функциясы жай сандар болуы керек деп болжайды, егер - жай сандар, аз, ал егер болса, онда жай сандар аз болады.
Жай сандардың орналасуы шын мәнінде тұрақты емес және бұл жай сандардың нақты санының жуықтауы ғана. Шын мәнінде, біз жай сандар, аз, жай сандар және жай сандар бар екенін білеміз. Әрине, бұл өте жақсы баға, бірақ бұл әрқашан тек бағалау ... және, дәлірек айтқанда, жоғары баға.
Бұрынғы барлық белгілі жағдайларда, жай санақ функциясы азырақ сандардың нақты санын сәл асыра көрсетеді. Бір кездері математиктер әрқашан осылай болады деп ойлады, бұл, әрине, кейбір елестетпейтін үлкен сандарға қатысты, бірақ 1914 жылы Джон Эдензор Литтлвуд кейбір белгісіз, елестетуге келмейтін үлкен сан үшін бұл функция аз жай сандарды шығара бастайтынын дәлелдеді және онда ол жоғарғы шекара мен төменгі шекара арасында шексіз көп ауысады.
Аң аулау жарыстардың басталу нүктесінде болды, және осында Стэнли Скевес пайда болды (суретті қараңыз). 1933 жылы ол жай сандар санын жақындататын функция алдымен кіші мән бергенде жоғарғы шекара сан болатынын дәлелдеді. Бұл санның шын мәнінде нені білдіретінін тіпті абстрактілі мағынада да түсіну қиын, және осы тұрғыдан алғанда, бұл маңызды математикалық дәлелдеуге қолданылған ең үлкен сан болды. Содан бері математиктер жоғарғы шекті салыстырмалы түрде аз санға дейін азайта алды, бірақ бастапқы сан Skuse саны ретінде белгілі болып қалды.
Сонымен, тіпті құдіретті гуголплексті ергежейлі ететін сан қаншалықты үлкен? «Қызық және қызықты сандар пингвин сөздігінде» Дэвид Уэллс Харди математикінің Скузе санының өлшемін түсінуінің бір әдісін сипаттайды:
«Харди бұл «математикадағы белгілі бір мақсатқа қызмет еткен ең үлкен сан» деп ойлады және егер сіз ғаламдағы барлық бөлшектермен шахмат ойнасаңыз, бір қадам екі бөлшекті ауыстыру болады және ойын аяқталады деп ұсынды. сол позиция үшінші рет қайталанатын болса, онда барлық ықтимал ойындардың саны шамамен Скузенің санына тең болады.''
Жалғастырмас бұрын соңғы бір нәрсе: біз екі Skuse санының кішісі туралы сөйлестік. Математик 1955 жылы тапқан тағы бір Скузе нөмірі бар. Бірінші сан Риман гипотезасы деп аталатын болжамның ақиқаттығына негізделеді - бұл математиканың ерекше қиын гипотезасы, ол жай сандарға қатысты дәлелденбеген, өте пайдалы болып қала береді. Дегенмен, Риман гипотезасы жалған болса, Скузе секірістердің бастапқы нүктесі дейін өсетінін анықтады.
Маңызды мәселе
Тіпті Скузенің саны да кішкентай болып көрінетін санға келмес бұрын, біз масштаб туралы аздап айтуымыз керек, өйткені әйтпесе қайда баратынымызды болжауға мүмкіндік жоқ. Алдымен санды алайық - бұл кішкентай сан, сондықтан адамдар оның нені білдіретінін интуитивті түрде түсіне алады. Бұл сипаттамаға сәйкес келетін сандар өте аз, өйткені алтыдан үлкен сандар бөлек сандар болуды тоқтатып, «бірнеше», «көп» және т.б.
Енді алайық, яғни. ... Біз интуитивті түрде санай алмасақ та, оның не екенін түсіну, оның не екенін елестету өте оңай. Әзірше бәрі жақсы. Бірақ біз барсақ не болады? Ол тең, немесе. Біз бұл құндылықты елестетуден өте алыспыз, басқалар сияқты өте үлкен - біз миллионға жуық жерде жеке бөліктерді түсіну қабілетін жоғалтамыз. (Рас, кез келген нәрсені миллионға дейін санау өте көп уақытты қажет етеді, бірақ бастысы, біз бұл санды әлі де қабылдай аламыз.)
Дегенмен, біз елестете алмасақ та, біз 7,6 миллиардтың не екенін, ең болмағанда, оны АҚШ-тың ЖІӨ сияқты нәрсемен салыстыра отырып, жалпы мағынада түсіне аламыз. Біз интуициядан бейнелеуге және қарапайым түсінуге көштік, бірақ кем дегенде санның не екенін түсінуде әлі де олқылықтар бар. Баспалдақпен бір қадам жоғары көтерілген сайын бұл өзгереді.
Ол үшін Дональд Кнут енгізген, көрсеткі белгісі деп аталатын белгіге өту керек. Бұл белгілеулерде оны былай жазуға болады. Содан кейін біз барған кезде, біз алатын сан тең болады. Бұл жалпы үштік бар жерде тең. Біз қазірдің өзінде айтылған барлық басқа сандардан айтарлықтай және шынымен де асып түстік. Өйткені, олардың ең үлкенінің өзінде көрсеткіштер қатарында небәрі үш-төрт термин болған. Мысалы, тіпті Skuse супер-саны «тек» болып табылады - тіпті базасы да, көрсеткіштері де әлдеқайда үлкен екеніне байланысты түзетілген болса да, ол миллиардтаған мүшесі бар сандық мұнараның өлшемімен салыстырғанда мүлдем ештеңе емес.
Әлбетте, мұндай орасан зор сандарды түсінуге мүмкіндік жоқ ... бірақ олардың жасалу процесін әлі де түсінуге болады. Біз миллиардтаған үштіктер бар қуаттар мұнарасы беретін нақты санды түсіне алмадық, бірақ біз негізінен көптеген мүшелері бар мұндай мұнараны елестете аламыз және шын мәнінде лайықты суперкомпьютер мұндай мұнараларды жадта сақтай алады, тіпті егер ол болса да. олардың нақты мәндерін есептей алмайды. ...
Бұл барған сайын абстрактілі болып келеді, бірақ ол одан сайын нашарлайды. Сіз бұл экспоненттік ұзындығы болатын күштер мұнарасы деп ойлауыңыз мүмкін (сонымен қатар, осы жазбаның алдыңғы нұсқасында мен дәл осындай қателік жібердім), бірақ бұл қарапайым. Басқаша айтқанда, сізде элементтерден тұратын үштік қуат мұнарасының нақты мәнін есептеу мүмкіндігі бар деп елестетіп көріңіз, содан кейін сіз сол мәнді алып, оның ішінде соншалықты көп жаңа мұнара жасадыңыз ... ол береді.
Бұл процесті әрбір келесі санмен қайталаңыз ( Ескерту.оң жақтан бастап) бір рет жасағанша, содан кейін сіз оны аласыз. Бұл өте үлкен сан, бірақ бәрі өте баяу орындалса, оны алудың қадамдары түсінікті болып көрінеді. Біз енді санды түсіне алмаймыз немесе оны алу процедурасын елестете алмаймыз, бірақ, кем дегенде, біз негізгі алгоритмді жеткілікті ұзақ уақыт ішінде ғана түсінеміз.
Енді оны шынымен жарып жіберуге ақыл дайындап көрейік.
Грэм саны (Грэм)
Рональд Грэм
Гиннестің рекордтар кітабына математикалық дәлелдеуге қолданылған ең үлкен сан ретінде кіретін Грэм нөмірін осылай аласыз. Оның қаншалықты керемет екенін елестету мүлдем мүмкін емес және оның нақты не екенін түсіндіру де қиын. Негізінде, Грэм саны үш өлшемнен жоғары теориялық геометриялық фигуралар болып табылатын гиперкубтармен жұмыс істегенде пайда болады. Математик Рональд Грэм (суретті қараңыз) гиперкубтың кейбір қасиеттерінің қандай өлшемдердің ең аз санында тұрақты болатынын білгісі келді. (Мұндай түсініксіз түсініктеме үшін кешірім сұраймын, бірақ мен оны дәлірек ету үшін математикадан кем дегенде екі дәрежені аяқтауымыз керек екеніне сенімдімін.)
Кез келген жағдайда, Грэм саны өлшемдердің осы ең аз санының жоғарғы шегі болып табылады. Сонымен, бұл жоғарғы шекара қаншалықты үлкен? Біз оны алу алгоритмін анық түсінбейтін сонша үлкен санға оралайық. Енді тағы бір деңгейге көтерілудің орнына, біз бірінші және соңғы үш арасындағы көрсеткілердің санын санаймыз. Қазір біз бұл санның не екенін, тіпті оны есептеу үшін не істеу керектігін түсінбейміз.
Енді біз бұл процесті бір рет қайталаймыз ( Ескерту.әрбір келесі қадамда біз алдыңғы қадамда алынған санға тең көрсеткілер санын жазамыз).
Бұл, ханымдар мен мырзалар, бұл Грэмдің саны, ол адам түсінетін нүктеден жоғарырақ. Сіз елестете алатын кез келген саннан әлдеқайда үлкен бұл сан - сіз елестете алатын кез келген шексіздіктен әлдеқайда көп - ол тіпті ең дерексіз сипаттамаға да қарсы.
Бірақ бұл жерде біртүрлі нәрсе бар. Грэм саны негізінен үш есе көбейтілгендіктен, біз оның кейбір қасиеттерін нақты есептемей-ақ білеміз. Біз оны жазу үшін бүкіл ғаламды пайдаланған күннің өзінде біз білетін кез келген белгілеу арқылы Грэм санын көрсете алмаймыз, бірақ мен сізге дәл қазір Грэм санының соңғы он екі цифрын айта аламын:. Және бұл бәрі емес: біз кем дегенде Грэм санының соңғы сандарын білеміз.
Әрине, бұл сан бастапқы Грэм мәселесінде тек жоғарғы шекара екенін есте ұстаған жөн. Қажетті сипатты орындау үшін қажетті өлшемдердің нақты саны әлдеқайда аз болуы мүмкін. Шын мәнінде, 1980-ші жылдардан бастап, осы саладағы көптеген сарапшылардың пікірінше, өлшемдердің саны тек алты ғана деп есептелді - біз оны интуитивті түрде түсінуге болатын соншалықты аз сан. Содан бері төменгі шекара ұлғайтылды, бірақ әлі де Грэм мәселесінің шешімі Грэм саны сияқты үлкен санның жанында орналаспауының өте жақсы мүмкіндігі бар.
Шексіздікке
Сонда Грэм санынан үлкен сандар бар ма? Әрине, жаңадан бастағандар үшін Грэм саны бар. Айтарлықтай санға келетін болсақ... жақсы, математиканың (атап айтқанда, комбинаторика деп аталатын сала) және информатиканың кейбір шайтандай күрделі салалары бар, оларда Грэм санынан да үлкен сандар кездеседі. Бірақ біз ақылға қонымды түсіндіре алатын нәрсенің шегіне жеттік. Одан әрі қарай жүруге жеткілікті абайсыз адамдар үшін әрі қарай оқу сіздің тәуекеліңізге байланысты ұсынылады.
Енді Дуглас Рэйге қатысты таңғажайып дәйексөз ( Ескерту.Шынымды айтсам, бұл өте күлкілі естіледі):
«Мен сол жерде, қараңғыда, ақыл шамы беретін кішкене жарық нүктесінің артында жасырынып жатқан белгісіз сандар шоғырларын көремін. Олар бір-бірімен сыбырласады; кім білсін, қыршын. Бәлкім, олар бізді өздерінің кішкентай інілерін санамызбен жаулап алғанымыз үшін онша ұнатпайтын шығар. Немесе, мүмкін, олар жай ғана бір мағыналы сандық өмір салтын жүргізеді, біздің түсінігімізден тыс ''.
Жүктелуде...
