Күрделі сандар

Қиял Және күрделі сандар. Абцисса және ордината

күрделі сан. Біріктірілген күрделі сандар.

Комплекс сандармен амалдар. Геометриялық

күрделі сандарды бейнелеу. Күрделі жазықтық.

Комплекс санның модулі және аргументі. Тригонометриялық

күрделі сан түрі. Кешенді операциялар

тригонометриялық формадағы сандар. Мойвр формуласы.

туралы негізгі мәліметтер ойдан шығарылған Және күрделі сандар «Елес және күрделі сандар» бөлімінде берілген. Жағдайға квадрат теңдеулерді шешу кезінде бұл жаңа типтегі сандар қажеттілігі туындадыD< 0 (здесь D– дискриминант квадрат теңдеу). Ұзақ уақытбұл сандар табылмады физикалық қолдану, сондықтан олар «ойдан шығарылған» сандар деп аталды. Дегенмен, қазір олар физиканың әртүрлі салаларында өте кең қолданылады.

және технология: электротехника, гидро- және аэродинамика, серпімділік теориясы және т.б.

Күрделі сандар түрінде жазылады:a+bi. Мұнда аЖәне б – нақты сандар , А мен – ойша бірлік, яғни. e. мен 2 = –1. Сан ашақырды абсцисса, а б – ординатакүрделі санa + bi.Екі күрделі санa+biЖәне а–би деп аталады конъюгаткүрделі сандар.

Негізгі келісімдер:

1. Нақты санАтүрінде де жазылуы мүмкінкүрделі сан:a+ 0 меннемесе а – 0 мен. Мысалы, 5 + 0 жазадыменжәне 5 – 0 менбірдей санды білдіреді 5 .

2. Күрделі сан 0 + бишақырды таза ойдан шығарылған саны. Жазбаби0 дегенді білдіреді + би.

3. Екі күрделі санa+bi Жәнеc + diтең деп есептеледі, егерa = cЖәне b = d. Әйтпесе күрделі сандар тең емес.

Қосу. Күрделі сандардың қосындысыa+biЖәне c + diкүрделі сан деп аталады (a+c ) + (b+d ) мен.Осылайша, қосқанда күрделі сандар, олардың абциссалары мен ординаталары бөлек қосылады.

Бұл анықтама кәдімгі көпмүшелермен амалдар ережелеріне сәйкес келеді.

Алу. Екі күрделі санның айырмасыa+bi(азайған) және c + di(алу) күрделі сан деп аталады (a–c ) + (б–д ) мен.

Осылайша, Екі күрделі санды азайтқанда олардың абциссалары мен ординаталары бөлек алынып тасталады.

Көбейту. Комплекс сандардың көбейтіндісіa+biЖәне c + di күрделі сан деп аталады:

(ac–bd ) + (ad+bc ) мен.Бұл анықтама екі талаптан туындайды:

1) сандар a+biЖәне c + diалгебралық сияқты көбейту керекбиномдар,

2) саны меннегізгі қасиеті бар:мен 2 = – 1.

МЫСАЛ ( a+ bi )(а–би) = а 2 +б 2 . Демек, жұмыс

екі конъюгаттық күрделі сан нақтыға тең

оң сан.

Бөлім. Күрделі санды бөлa+bi (бөлінетін) басқаc + di(бөлгіш) - үшінші санды табу дегенді білдіредіe + f i(чат), оны бөлгішке көбейткендеc + di, нәтижесінде дивиденд алынадыa + bi.

Егер бөлгіш нөл болмаса, бөлу әрқашан мүмкін.

МЫСАЛ Табу (8+мен ) : (2 – 3 мен) .

Шешуі.Бұл қатынасты бөлшек түрінде қайта жазайық:

Оның алымы мен бөлімін 2 + 3-ке көбейтумен

ЖӘНЕ Барлық түрлендірулерді орындағаннан кейін біз мыналарды аламыз:

Комплекс сандардың геометриялық кескіні. Нақты сандар сан түзуіндегі нүктелермен көрсетіледі:

Мәселе мынада А–3 санын, нүктені білдіредіБ– саны 2, және О- нөл. Керісінше, күрделі сандар нүктелермен көрсетіледі координаталық жазықтық. Ол үшін екі осьте бірдей масштабтары бар тікбұрышты (декарттық) координаталарды таңдаймыз. Содан кейін күрделі санa+bi нүкте арқылы бейнеленеді абсциссасы бар P а және ординатасы b (суретті қараңыз). Бұл координаттар жүйесі деп аталады күрделі жазықтық .

Модуль күрделі сан – вектордың ұзындығыОП, координатадағы күрделі санды бейнелейді ( жан-жақты) жазықтық. Комплекс санның модуліa+bi| белгілейді a+bi| немесе хат r

өтіңіз) сандар.

2. Комплекс сандарды көрсетудің алгебралық түрі

Күрделі саннемесе күрделі, тұратын сан болып табылады екі сан (бөліктер) – нақты және ойдан шығарылған.

Нағызкез келген оң немесе деп аталады теріс сан, мысалы, + 5, - 28 және т.б. Нақты санды «L» әрпімен белгілейік.

Қиялнақты санның көбейтіндісіне тең сан және Шаршы түбіртеріс бірліктен, мысалы, 8, - 20, т.б.

Теріс бірлік деп аталады ойдан шығарылған және «yot» әрпімен белгіленеді:

Ойша сандағы нақты санды «М» әрпімен белгілейік.

Сонда жорамал санды былай жазуға болады: j M. Бұл жағдайда күрделі А санын былай жазуға болады:

A = L + j M (2).

Күрделі санды (комплекс) жазудың бұл түрі, ол алгебралық қосындынақты және қиял бөліктері деп аталады алгебралық.

1-мысал.Нақты бөлігі 6-ға, ал жорамал бөлігі 15-ке тең комплексті алгебралық түрде көрсетіңіз.

Шешім. A = 6 +j 15.

Алгебралық формадан басқа, күрделі сан тағы үш санмен ұсынылуы мүмкін:

1. графикалық;

2. тригонометриялық;

3. индикативті.

Мұндай алуан түрлі формалар күрт есептеулерді жеңілдетеді синусоидалы шамалар және олардың графикалық көрінісі.

Графикалық, тригонометриялық және көрсеткішті кезекпен қарастырайық.

күрделі сандарды бейнелеудің жаңа формалары.

Күрделі сандарды бейнелеудің графикалық түрі

Күрделі сандарды графикалық бейнелеу үшін тікелей

көміртегі координаталар жүйесі. Кәдімгі (мектеп) координаталар жүйесінде оң немесе теріс мәндер «х» (абсцисса) және «у» (ординат) осьтері бойынша сызылады. шынайы сандар.

Символдық әдісте қабылданған координаттар жүйесінде «х» осі бойынша

нақты сандар кесінділер түрінде, ал елес сандар «y» осінің бойымен кескінделеді.

Күріш. 1. Комплекс сандарды графикалық бейнелеуге арналған координаттар жүйесі

Сондықтан х осін нақты шамалар осі деп атайды немесе қысқаша айтқанда, шынайы ось.

Ордината осін ойша шамалар осі немесе деп атайды ойдан шығарылған ось.

Күрделі сандар немесе шамалар бейнеленген жазықтықтың өзі (яғни, сызба жазықтығы) деп аталады. жан-жақты жазық.

Бұл жазықтықта A = L + j M комплекс саны А векторымен бейнеленеді

(2-сурет), оның нақты оське проекциясы оның нақты бөлігіне тең Re A = A" = L, ал қиял осіне проекциясы Im A = A" = M елестетілген бөлікке тең.

(Re – ағылшын тілінен алынған real – real, real, real, Im – ағылшын тілінен алынған imaginary – шынайы емес, елестетілген).

Күріш. 2. Комплекс санның графикалық көрінісі

Бұл жағдайда А санын былай жазуға болады

A = A" + A" = Re A + j Im A (3).

Күрделі жазықтықта А санының графикалық көрінісін пайдалана отырып, біз жаңа анықтамаларды енгіземіз және кейбір маңызды қатынастарды аламыз:

1. А векторының ұзындығы деп аталады модуль векторы және |А| арқылы белгіленеді.

Пифагор теоремасы бойынша

|А| = (4) .

2. А векторы мен нақты оң жартысы арқылы құрылған α бұрышы

ось деп аталады аргумент А векторы және оның тангенсі арқылы анықталады:

tg α = A" / A" = Im A / Re A (5).

Осылайша, күрделі санның графикалық көрінісі үшін

A = A" + A" вектор түрінде сізге қажет:

1. |А| векторының модулін табыңыз (4) формула бойынша;

2. (5) формула арқылы tan α векторының аргументін табыңыз;

3. α = arc tan α қатынасынан α бұрышын табыңыз;

4. j (x) координаталар жүйесінде көмекші сызыңыз

түзу және оның үстіне белгілі бір масштабта |А| векторының абсолютті мәніне тең кесінді саламыз.

2-мысал.А = 3 + j 4 комплекс санын графикалық түрде көрсетіңіз.

Күрделі сандар және
координат
ұшақ

Нақты сандар R жиынының геометриялық моделі сан сызығы болып табылады. Кез келген нақты сан бір нүктеге сәйкес келеді

қосулы
сан сызығы және түзудің кез келген нүктесі
тек біреуі сәйкес келеді
нақты сан!

Барлық нақты сандар жиынына сәйкес келетін сан сызығына тағы бір өлшем қосу арқылы - таза сандар жиынын қамтитын жол

Жиынға сәйкес сан жолына қосу арқылы
барлығы нақты сандартағы бір өлшем –
таза ойдан шығарылған сандар жиынын қамтитын түзу –
әрқайсысы болатын координаталық жазықтықты аламыз
a+bi комплекстік санын байланыстыруға болады
координаталық жазықтықтың (a; b) нүктесі.
i=0+1i (0;1) нүктесіне сәйкес келеді.
2+3i (2;3) нүктесіне сәйкес келеді
-i-4 (-4;-1) нүктесіне сәйкес келеді.
5=5+1i меланхолияға сәйкес келеді (5;0)

Жалғау амалының геометриялық мағынасы

! Жұптастыру операциясы осьтік
абсцисса осіне қатысты симметрия.
!! Бір-біріне жалғанған
күрделі сандар бір-бірінен бірдей қашықтықта орналасқан
шығу тегі.
!!! Векторлар бейнелейді
осіне бейім конъюгаттық сандар
абсцисса бірдей бұрышта, бірақ
қарама-қарсы жағында орналасқан
бұл ось.

Нақты сандар кескіні

Күрделі сандардың суреті

алгебралық
жол
Суреттер:
Күрделі сан
a+bi бейнеленген
жазықтық нүктесі
координаталарымен
(а;б)

Комплекс сандарды координаталық жазықтықта бейнелеу мысалдары

(Бізді қызықтырады
күрделі сандар
z=x+yi , ол үшін
x=-4. Бұл теңдеу
Түзу,
параллель ось
ординат)
сағ
X= - 4
Жарамды
бөлігі -4
0
X

Координаталық жазықтықта барлық комплекс сандар жиынын салыңыз, ол үшін:

Қиял бөлігі
біркелкі
бір мәнді
табиғи
саны
(Бізді қызықтырады
күрделі сандар
z=x+yi, ол үшін
y=2,4,6,8.
Геометриялық кескін
төрттен тұрады
түзу, параллель
x осі)
сағ
8
6
4
2
0
X

Күрделі санды көрсету екі нақты a, b санын – берілген күрделі санның нақты және жорамал бөліктерін көрсетуге тең. Бірақ реттелген сандар жұбы декарттық тілінде бейнеленген тікбұрышты жүйекоординаталары бар нүкте арқылы координаталар.Осылайша, бұл нүкте z комплекстік саны үшін кескін ретінде қызмет ете алады: комплекс сандар мен координаталық жазықтықтың нүктелері арасында бір-біріне сәйкестік орнатылады. Күрделі сандарды бейнелеу үшін координаталық жазықтықты пайдаланған кезде Ox осін әдетте нақты ось деп атайды (өйткені санның нақты бөлігі нүктенің абсциссасы ретінде қабылданады), ал Oy осі қиял осі болып табылады (ойдан алынған бөлік болғандықтан). Нүктенің ординатасы ретінде санның саны алынады). (a, b) нүктесімен берілген z күрделі саны осы нүктенің аффиксі деп аталады. Бұл жағдайда нақты сандар нақты осьте жатқан нүктелермен, ал барлық таза ойдан шығарылған сандар (a = 0 үшін) қиял осінде жатқан нүктелермен бейнеленеді. Нөл саны О нүктесімен берілген.

Суретте. Сандардың 8 суреті құрастырылған.

Екі күрделі конъюгаттық сан Ox осіне қатысты симметриялы нүктелермен берілген (8-суреттегі нүктелер).

Көбінесе күрделі санмен осы санды білдіретін М нүктесі ғана емес, сонымен қатар О-дан М-ге апаратын OM векторы (93-тармақты қараңыз); Санды вектор ретінде көрсету күрделі сандарды қосу және азайту әрекетін геометриялық түсіндіру тұрғысынан ыңғайлы.

Суретте. 9, а құрамдас сандардың қосындысын білдіретін вектор мүшелерін білдіретін векторларға салынған параллелограммның диагоналы ретінде алынатыны көрсетілген.

Бұл векторларды қосу ережесі параллелограмм ережесі ретінде белгілі (мысалы, физика курсындағы күштерді немесе жылдамдықтарды қосу үшін). Алуды қарама-қарсы вектормен қосуға келтіруге болады (9, б-сурет).

Белгілі болғандай (8-тармақ) жазықтықтағы нүктенің орнын оның полярлық координаталары арқылы да көрсетуге болады.Осылайша, күрделі сан – нүктенің аффиксі де тапсырма арқылы анықталады. 10 бір мезгілде күрделі санның модулі болатыны анық: санды білдіретін нүктенің полярлық радиусы осы санның модуліне тең.

М нүктесінің полярлық бұрышы осы нүктемен бейнеленген санның аргументі деп аталады. Күрделі санның аргументі (нүктенің полярлық бұрышы сияқты) екі жақты анықталмайды; егер оның мәндерінің бірі болса, онда оның барлық мәндері формуламен өрнектеледі

Аргументтің барлық мәндері таңбамен бірге белгіленеді.

Сонымен, кез келген күрделі санды нақты сандар жұбымен байланыстыруға болады: берілген санның модулі мен аргументі, ал аргумент екі жақты анықталады. Керісінше, ол берілген модуль мен аргументке сәйкес келеді жалғыз сан, берілген модулі және аргументі бар. Нөл санының ерекше қасиеттері бар: оның модулі нөлге тең және оның аргументіне нақты мән берілмейді.

Күрделі санның аргументін анықтауда бір мәнділікке қол жеткізу үшін аргумент мәндерінің бірін негізгі деп атауға келісуге болады. Ол белгімен белгіленеді. Әдетте, аргументтің негізгі мәні теңсіздіктерді қанағаттандыратын мән ретінде таңдалады.

(басқа жағдайларда теңсіздіктер).

Нақты және таза ойдан шығарылған сандардың аргументтерінің мәндеріне де назар аударайық:

Күрделі санның нақты және жорамал бөліктері (нүктенің декарттық координаталары ретінде) оның модулі және аргументі (нүктенің полярлық координаталары) арқылы (8.3) формулалар арқылы өрнектеледі:

ал күрделі санды келесі тригонометриялық түрде жазуға болады.