Евклид алгоритмібүтін сандар жұбының ең үлкен ортақ бөлгішін (GCD) табуға арналған алгоритм.
Ең үлкен ортақ бөлгіш (GCD)екі санды қалдықсыз бөлетін және өзі берілген екі санның кез келген басқа бөлгішіне қалдықсыз бөлінетін сан. Қарапайым тілмен айтқанда, бұл gcd ізделетін екі санды қалдықсыз бөлуге болатын ең үлкен сан.
Бөлу арқылы GCD табу алгоритмі
- Үлкен санды кіші санға бөліңіз.
- Егер ол қалдықсыз бөлінсе, онда кішірек сан GCD болады (циклдан шығу керек).
- Егер қалдық болса, үлкен санды бөлімнің қалған бөлігімен ауыстырыңыз.
- 1-тармаққа көшейік.
Мысалы:
30 және 18 үшін gcd табыңыз.
30/18 = 1 (қалған 12)
18/12 = 1 (қалған 6)
12/6 = 2 (қалғаны 0)
Соңы: GCD - 6-ның бөлгіші.
GCD(30, 18) = 6
a = 50 b = 130, ал a != 0 және b != 0 : егер a > b: a = a % b басқа : b = b % a басып шығару (a + b)
Циклде бөлудің қалған бөлігі a немесе b айнымалысына жазылады. Айнымалылардың кем дегенде біреуі нөлге тең болғанда цикл аяқталады. Бұл екіншісінде gcd бар екенін білдіреді. Дегенмен, нақты қайсысы екенін білмейміз. Сондықтан GCD үшін біз осы айнымалылардың қосындысын табамыз. Айнымалылардың бірі нөлге тең болғандықтан, ол нәтижеге әсер етпейді.
GCD-ны азайту арқылы табу алгоритмі
- Үлкен саннан кіші санды алып тастаңыз.
- Егер нәтиже 0 болса, бұл сандар бір-біріне тең және GCD (циклдан шығу керек) дегенді білдіреді.
- Егер азайтудың нәтижесі 0-ге тең болмаса, онда үлкен санды азайтудың нәтижесімен ауыстырыңыз.
- 1-тармаққа көшейік.
Мысалы:
30 және 18 үшін gcd табыңыз.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Соңы: GCD минуенд немесе субтрахенд болып табылады.
GCD(30, 18) = 6
a = 50 b = 130, ал a != b: егер a > b: a = a - b басқа : b = b - a басып шығару (a)
Ежелгі заманнан бері сандармен жұмыс екі түрлі салаға бөлінген: бірі сандардың қасиеттеріне тікелей қатысты, екіншісі санау техникасымен байланысты. Көптеген елдерде «арифметика» деп әдетте бұл соңғы саланы білдіреді, ол сөзсіз математиканың ең көне саласы болып табылады.
Ежелгі калькуляторлар үшін ең үлкен қиындық бөлшектермен жұмыс істеу болса керек. Мұны Ахмес папирусынан (Ринд папирусы деп те атайды), шамамен б.з.б. шамамен 1650 жылдарға жататын математикаға арналған ежелгі египеттік шығармадан көруге болады. Папируста айтылған 2/3 бөлігін қоспағанда, барлық бөлшектердің алымдары 1-ге тең. Бөлшектерді өңдеудің қиындығы ежелгі вавилондық сына жазу тақталарын зерттеу кезінде де байқалады. Ежелгі мысырлықтар да, вавилондықтар да абакустың қандай да бір түрін қолданып есептеулер жүргізген көрінеді. Сандар туралы ғылым ежелгі гректер арасында Пифагордан басталып, біздің эрамызға дейінгі 530 жылдар шамасында айтарлықтай дамыды. Есептеу технологиясының өзіне келетін болсақ, гректер бұл салада әлдеқайда аз жұмыс істеді.
Кейінгі римдіктер, керісінше, сандар ғылымына іс жүзінде ешқандай үлес қосқан жоқ, бірақ қарқынды дамып келе жатқан өндіріс пен сауданың қажеттіліктеріне сүйене отырып, олар абакты санау құралы ретінде жетілдірді. Үнді арифметикасының шығу тегі туралы өте аз мәлімет бар. Үндістандық позициялық жүйе оған нөлді қосу арқылы жетілдірілгеннен кейін жазылған сандар амалдарының теориясы мен тәжірибесіне қатысты кейінгі бірнеше еңбектер ғана жетті. Бұл дәл қашан болғанын біз нақты білмейміз, бірақ дәл сол кезде біздің ең көп таралған арифметикалық алгоритмдеріміздің негізі қаланды.
Үнді санау жүйесі мен алғашқы арифметикалық алгоритмдерді арабтар алды. Ең ерте сақталған араб арифметика оқулығын әл-Хорезми шамамен 825 жылы жазған. Ол үнді цифрларын кеңінен қолданады және түсіндіреді. Бұл оқулық кейін латын тіліне аударылып, Батыс Еуропа елдеріне айтарлықтай әсер етті. Әл-Хорезми есімінің бұрмаланған нұсқасы бізге грек сөзімен араласқан «алгоризм» сөзінде жетті. аритмос«алгоритм» терминіне айналды.
Үнді-араб арифметикасы Батыс Еуропада негізінен Л.Фибоначчи еңбегінің арқасында белгілі болды. Абакус кітабы (Либер абаци, 1202). Абацистік әдіс кем дегенде қосу және көбейту үшін біздің позициялық жүйемізді қолдануға ұқсас жеңілдетулерді ұсынды. Абацистер нөлдік және арабша бөлу және квадрат түбір алу әдісін қолданатын алгоритмдермен ауыстырылды. Авторы бізге белгісіз алғашқы арифметика оқулықтарының бірі 1478 жылы Тревизода (Италия) басылып шықты.Онда сауда операцияларын жасау кезіндегі есептеулер қарастырылды. Бұл оқулық кейіннен шыққан көптеген арифметика оқулықтарының ізашары болды. 17 ғасырдың басына дейін. Еуропада үш жүзден астам осындай оқулықтар шығарылды. Осы уақыт ішінде арифметикалық алгоритмдер айтарлықтай жетілдірілді. 16-17 ғасырларда. Арифметикалық амалдардың символдары пайда болды, мысалы, =, +, -, ґ, ё және .
Арифметикалық есептеулерді механикаландыру.
Қоғам дамыған сайын тезірек және дәлірек есептеулер қажет болды. Бұл қажеттілік төрт керемет өнертабысты тудырды: үнді-араб сандары, ондық сандар, логарифмдер және қазіргі заманғы есептеу машиналары.
Шындығында, ең қарапайым есептеу құралдары қазіргі арифметика пайда болғанға дейін болған, өйткені ежелгі уақытта абакуспен қарапайым арифметикалық амалдар орындалатын (Ресейде бұл мақсат үшін абакустар қолданылған). Ең қарапайым заманауи есептеуіш құрылғыны слайд ережесі деп санауға болады, ол бірінің бойымен сырғыған екі логарифмдік шкаладан тұрады, ол шкалалардың сегменттерін қосу және азайту арқылы көбейтуге және бөлуге мүмкіндік береді. Б.Паскаль (1642 ж.) алғашқы механикалық қосу машинасын жасаушы болып саналады. Кейінірек сол ғасырда Германияда Г.Лейбниц (1671) және Англияда С.Мореланд (1673) көбейтуді орындауға арналған машиналарды ойлап тапты. Бұл машиналар 20 ғасырдағы үстелдік есептеу құрылғыларының (арифмометрлердің) предшественниктері болды, бұл қосу, алу, көбейту және бөлу амалдарын жылдам және дәл орындауға мүмкіндік берді.
1812 жылы ағылшын математигі К.Бэббидж математикалық кестелерді есептейтін машинаның конструкциясын жасай бастады. Жоба бойынша жұмыс ұзақ жылдар бойы жалғасқанымен, ол аяқталмай қалды. Соған қарамастан, Бэббидждің жобасы қазіргі заманғы электронды есептеуіш машиналарды құруға ынталандыру болды, оның алғашқы үлгілері шамамен 1944 жылы пайда болды. Бұл машиналардың жылдамдығы таңқаларлық болды: олардың көмегімен бірнеше минуттар немесе сағаттар арқылы бұрын талап етілетін мәселелерді шешуге болады. көптеген жылдар бойы үздіксіз есептеулер, тіпті қосу машиналарын пайдалану кезінде де.
Оң бүтін сандар.
Болсын АЖәне Бортақ элементтері жоқ екі ақырлы жиындар және рұқсат Ақамтиды nэлементтері, және Бқамтиды мэлементтері. Содан кейін көп С, жиындардың барлық элементтерінен тұрады АЖәне Б, бірге алынған, бар соңғы жиын, айталық: сэлементтері. Мысалы, егер Аэлементтерден тұрады ( а, б, в), бір топ IN– элементтерден ( x, ж), содан кейін жиын S=A+Bжәне элементтерден тұрады ( а, б, в, x, ж). Сан сшақырды сомасысандар nЖәне м, және біз оны былай жазамыз: s = n + m. Бұл жазбада сандар nЖәне мдеп аталады шарттар, қосындыны табу операциясы – қосу. «+» операция белгісі «плюс» ретінде оқылады. Бір топ П, жиыннан бірінші элемент таңдалған барлық реттелген жұптардан тұрады А, ал екіншісі жинақтан Б, - бұл, айталық: бэлементтері. Мысалы, егер бұрынғыдай А = {а, б, в}, Б = {x, ж), Бұл P=AґБ = {(а,x), (а,ж), (б,x), (б,ж), (в,x), (в,ж)). Сан бшақырды жұмыссандар аЖәне б, және біз оны былай жазамыз: p = aґбнемесе p = a×b. Сандар аЖәне бшығармада олар деп аталады көбейткіштер, өнімді табу операциясы – көбейту. Операция таңбасы ґ «көбейтінді» ретінде оқылады.
Бұл анықтамалардан бүтін сандарды қосу мен көбейтудің келесі негізгі заңдары шығатынын көрсетуге болады:
- ауыспалы қосу заңы: a + b = b + a;
– ассоциативті қосу заңы: а + (б + в) = (а + б) + в;
– ауыстырмалы көбейту заңы: аґb = bґа;
– көбейтудің ассоциациялық заңы: аґ(бґв) = (аґб)ґв;
таралу заңы: аґ(б + в)= (аґб) + (аґв).
Егер аЖәне б– екі натурал сан және натурал сан болса в, солай a = b + c, сосын айтамыз аКөбірек б(бұл былай жазылған: a>b), немесе не бАздау а(бұл былай жазылған: б). Кез келген екі сан үшін аЖәне бүш қатынастың біреуі орындалады: не a = b, немесе a>b, немесе а.
Алғашқы екі іргелі заң екі немесе одан да көп мүшелердің қосындысы олардың қалай топтастырылғанына немесе қандай ретпен орналасатынына байланысты емес екенін айтады. Сол сияқты үшінші және төртінші заңдардан екі немесе одан да көп факторлардың туындысы факторлардың қалай топтастырылғанына немесе олардың реті қандай болатынына байланысты емес екендігі шығады. Бұл фактілер қосу мен көбейтудің «коммутативтілік пен ассоциацияның жалпыланған заңдары» ретінде белгілі. Олардан шығатыны, бірнеше мүшелердің қосындысын немесе бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісін жазғанда мүшелер мен көбейткіштердің реті маңызды емес және жақшаларды алып тастауға болады.
Атап айтқанда, қайталанған сома a + a + ... + aбастап nшарттары тең nґа. Қайталанатын жұмыс аґаґ ... ґабастап nфакторларды белгілеуге келістік а п; саны ашақырды негізі, және саны n – қайталанатын өнім көрсеткіші, қайталанатын жұмыстың өзі – n-ші дәрежесандар а. Бұл анықтамалар көрсеткіш үшін келесі негізгі заңдарды белгілеуге мүмкіндік береді:
Анықтамалардың тағы бір маңызды салдары: аґ1 = акез келген бүтін сан үшін а, және 1 - бұл қасиетке ие жалғыз бүтін сан. 1 саны аталады бірлік.
Бүтін сандардың бөлгіштері.
Егер а, б, в– бүтін сандар және аґb = c, Бұл аЖәне бсанның бөлгіштері в. Өйткені аґ1 = акез келген бүтін сан үшін а, біз 1 кез келген бүтін санның бөлгіші және кез келген бүтін сан өзінің бөлгіші деген қорытындыға келеміз. Кез келген бүтін бөлгіш а, 1-ден басқа немесе а, атын алды дұрыс бөлгішсандар а.
1-ден басқа және өз бөлгіштері жоқ кез келген бүтін сан деп аталады жай сан. (Жай санға мысал 7 саны.) Өзінің бөлгіштері бар натурал сан деп аталады. құрама сан. (Мысалы, 6 саны құрама, өйткені 2 саны 6-ға бөледі.) Жоғарыда айтылғандардан барлық бүтін сандар жиыны үш класқа бөлінгені шығады: бір, жай сандар және құрама сандар.
Сандар теориясында «кез келген бүтін санды жай сандардың көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады, ал көбейткіштер ретіне дейін мұндай ұсыну бірегей болады» деген өте маңызды теорема бар. Бұл теорема «арифметиканың негізгі теоремасы» ретінде белгілі. Ол жай сандар «құрылыс блоктары» ретінде қызмет ететінін көрсетеді, олардың ішінен біреуден басқа барлық бүтін сандарды көбейту арқылы құрастыруға болады.
Егер белгілі бір бүтін сандар жиыны берілсе, онда осы жиынға кіретін әрбір санның бөлгіші болып табылатын ең үлкен бүтін сан деп аталады. ең үлкен ортақ бөлгішберілген сандар жиыны; Бөлгіші берілген жиынның әрбір саны болатын ең кіші бүтін сан деп аталады ең кіші ортақ еселіксандар жиыны берілген. Сонымен, 12, 18 және 30 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 6. Бірдей сандардың ең кіші ортақ еселігі 180. Екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгіші болса аЖәне б 1-ге тең болса, онда сандар аЖәне бдеп аталады өзара негізгі. Мысалы, 8 және 9 сандары салыстырмалы жай сандар, бірақ олардың ешқайсысы да жай емес.
Оң рационал сандар.
Көріп отырғанымыздай, бүтін сандар объектілердің ақырлы жиындарын санау процесінде пайда болатын абстракциялар болып табылады. Дегенмен, күнделікті өмірдің қажеттіліктері үшін бүтін сандар жеткіліксіз. Мысалы, үстелдің үстіңгі тақтайының ұзындығын өлшегенде қабылданған өлшем бірлігі тым үлкен болуы мүмкін және өлшенген ұзындыққа бірнеше рет сәйкес келмеуі мүмкін. Осындай қиындықты жеңу үшін, деп аталатындардың көмегімен. бөлшек(яғни, сөзбе-сөз «сынған») сандар, ұзындықтың кішірек бірлігі енгізіледі. Егер г– кейбір бүтін сан, содан кейін бөлшек бірлік 1/ гмүлкімен анықталады гґ1/г= 1 және егер nонда бүтін сан болады nґ1/гбіз оны жай ғана деп жазамыз n/г. Бұл жаңа сандар «жай» немесе «жай» бөлшектер деп аталады. Бүтін сан nшақырды алымбөлшектер мен сандар г – бөлгіш. Бөлгіш бірлік қанша тең үлеске бөлінгенін, ал алым қанша осындай үлестің алынғанын көрсетеді. Егер n d, бөлшек дұрыс деп аталады; егер n = dнемесе n>d, онда ол дұрыс емес. Бүтін сандар бөлгіші 1 болатын бөлшектер ретінде қарастырылады; мысалы, 2 = 2/1.
Бөлшектен бері n/гбөлудің нәтижесі деп түсінуге болады nбірлікке гБөлшектері тең және сол бөліктердің бірін алатын болса, бөлшекті екі бүтін санның «бөлімше» немесе «қатысы» ретінде қарастыруға болады. nЖәне г, және бөлшек сызығын бөлу белгісі ретінде түсініңіз. Сондықтан, әдетте, бөлшектер (бөлшектердің ерекше жағдайы ретінде бүтін сандарды қоса алғанда) деп аталады рационалдысандар (латын тілінен қатынас – қатынас).
Екі бөлшек n/гЖәне ( кґn)/(кґг), Қайда к– бүтін санды тең деп санауға болады; мысалы, 4/6 = 2/3. (Мұнда n = 2, г= 3 және к= 2.) Бұл «бөлшектің негізгі қасиеті» ретінде белгілі: бөлшектің алымы мен бөлімін бірдей санға көбейткенде (немесе бөлгенде) кез келген бөлшектің мәні өзгермейді. Бұдан шығатыны, кез келген бөлшекті екі салыстырмалы жай санның қатынасы ретінде жазуға болады.
Жоғарыда ұсынылған бөлшекті түсіндіруден екі бөлшектің қосындысы ретінде де шығады n/гЖәне м/гБөлгіші бірдей болса, бөлшекті алу керек ( n + м)/г. Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосқанда, алдымен бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, бірдей (ортақ) бөлгіші бар эквивалентті бөлшектерге айналдыру керек. Мысалы, n 1 /г 1 = (n 1 H г 2)/(г 1 H г 2) және n 2 /г 2 = (n 2 H г 1)/(г 1 H г 2) қайдан
Мұны басқаша жасауға болады және алдымен ең кіші ортақ еселікті табуға болады, айталық м, бөлгіштер г 1 және г 2. Содан кейін бүтін сандар бар к 1 және к 2, солай m = k 1 H г 1 = k 2 H г 2 және біз аламыз:
Бұл әдіс арқылы сан мәдетте шақырылады ең кіші ортақ бөлгішекі бөлшек. Бұл екі нәтиже бөлшектердің теңдігінің анықтамасы бойынша эквивалентті.
Екі бөлшектің көбейтіндісі n 1 /г 1 және n 2 /г 2 бөлшекке тең қабылданады ( n 1 H n 2)/(г 1 H г 2).
Бүтін сандар үшін жоғарыда берілген сегіз негізгі заң, егер, астында болса да жарамды а, б, верікті оң рационал сандарды түсіну. Сондай-ақ, екі оң рационал сан берілсе n 1 /г 1 және n 2 /г 2, содан кейін біз айтамыз n 1 /г 1 > n 2 /г 2 егер және тек егер n 1 H г 2 > n 2 H г 1 .
Оң нақты сандар.
Сызық кесінділерінің ұзындығын өлшеу үшін сандарды пайдалану кез келген екі берілген сызық сегменті үшін екенін болжайды ABЖәне CDқандай да бір сегмент болуы керек УК, мүмкін өте кішкентай, оны сегменттердің әрқайсысында бүтін сан рет кейінге қалдыруға болады ABЖәне CD. Ұзындықтың мұндай ортақ бірлігі болса УКбар, содан кейін сегменттер ABЖәне CDпропорционалды деп аталады. Ежелгі дәуірде пифагорлықтар салыстыруға келмейтін түзу сегменттердің бар екендігі туралы білетін. Классикалық мысал - шаршының қабырғасы және оның диагоналы. Егер шаршының қабырғасын ұзындық бірлігі ретінде алсақ, онда осы шаршының диагоналінің өлшемі бола алатын рационал сан жоқ. Сіз мұны қарама-қайшылық арқылы дәлелдей аласыз. Шынында да, рационал сан делік n/гдиагоналдың өлшемі болып табылады. Бірақ содан кейін сегмент 1/ гкейінге қалдыруға болады nбір рет диагональ бойынша және гшаршының диагоналы мен бүйірінің өлшемсіздігіне қарамастан, шаршы жағындағы рет. Демек, ұзындық бірлігін таңдауға қарамастан, барлық сызық кесінділерінің рационал сандармен өрнектелетін ұзындықтары бола бермейді. Барлық сызық кесінділері қандай да бір ұзындық бірлігімен өлшенуі үшін санау жүйесін таңдалған ұзындық бірлігіне сәйкес келмейтін сызық кесінділерінің ұзындықтарын өлшеу нәтижелерін көрсететін сандарды қамтитындай кеңейту керек. Бұл жаңа сандар оң деп аталады қисынсызсандар. Соңғысы оң рационал сандармен бірге кеңірек сандар жиынын құрайды, олардың элементтері оң деп аталады. жарамдысандар.
Егер НЕМЕСЕ– нүктеден шығатын көлденең жарты сызық О, У– көрсетіңіз НЕМЕСЕ, шығу тегінен басқа О, Және OUбірлік сегмент ретінде таңдалады, содан кейін әрбір нүкте Пжарты сызықта НЕМЕСЕбір оң нақты санмен байланыстыруға болады б, кесіндінің ұзындығын өрнектейді ОП. Осылайша оң нақты сандар мен басқа нүктелер арасында жеке сәйкестікті орнатамыз О, жарты сызықта НЕМЕСЕ. Егер бЖәне q– нүктелерге сәйкес екі оң нақты сан ПЖәне Qқосулы НЕМЕСЕ, содан кейін жазамыз p>q,p = qнемесе p нүктенің орналасуына байланысты Пнүктенің оң жағында Qқосулы НЕМЕСЕ, сәйкес келеді Qнемесе сол жағында орналасқан Q.
Оң иррационал сандарды енгізу арифметиканың қолдану аясын едәуір кеңейтті. Мысалы, егер а– кез келген оң нақты сан және nкез келген бүтін сан болса, онда бір ғана оң нақты сан болады б, солай bn=a. Бұл сан бтүбір деп аталады nші дәрежесі ажәне оның контурындағы таңба латын әрпіне ұқсайтындай жазылады r, одан латын сөзі басталады түбір(түбір) және деп аталады радикалды. Мұны көрсетуге болады
Бұл қатынастар радикалдардың негізгі қасиеттері ретінде белгілі.
Практикалық тұрғыдан кез келген оң иррационал санды оң рационал санмен қалағандай дәлдікпен жуықтауға болатыны өте маңызды. Бұл дегеніміз, егер rоң иррационал сан және eерікті шағын оң рационал сан болса, онда оң рационал сандарды табуға болады аЖәне б, солай а және б. Мысалы, сан иррационал. Егер сіз таңдасаңыз e= 0,01, содан кейін ; таңдасаңыз e= 0,001, онда .
Үнді-араб санау жүйесі.
Арифметиканың алгоритмдері немесе есептеу схемалары қолданылатын санау жүйесіне байланысты. Мысалы, римдік санау жүйесі үшін ойлап табылған есептеу әдістері қазіргі үнді-араб жүйесі үшін ойлап табылған алгоритмдерден өзгеше болуы мүмкін екені анық. Сонымен қатар, кейбір санау жүйелері арифметикалық алгоритмдерді құру үшін мүлдем жарамсыз болуы мүмкін. Тарихи деректер көрсеткендей, үнді-араб сандарды белгілеу жүйесі қабылданғанға дейін «қарындаш пен қағаз» арқылы сандарды қосу, азайту, көбейту және бөлуді жеңілдететін алгоритмдер мүлдем болмаған. Үнді-араб жүйесі өмір сүрген ұзақ жылдар ішінде оған арнайы бейімделген көптеген алгоритмдік процедуралар әзірленді, сондықтан біздің қазіргі алгоритмдер тұтас бір даму және жетілдіру дәуірінің жемісі болды.
Үнді-араб санау жүйесінде санды білдіретін әрбір жазба сандар деп аталатын 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 он негізгі белгілердің жиынтығы болып табылады. Мысалы, төрт жүз жиырма үш санының үнді-арабша белгіленуі 423 цифрларының тізбегі формасын алады. Санның үнді-арабша белгілеуіндегі цифрдың мағынасы оның орнымен немесе орнымен анықталады. осы белгіні құрайтын цифрлар тізбегінде. Біз келтірген мысалда 4 саны төрт жүздік, 2 саны екі ондық, 3 саны үш бірлікті білдіреді. Бос орындарды толтыру үшін қолданылатын 0 (нөл) саны өте маңызды рөл атқарады; мысалы, 403 жазбасы төрт жүз үш санын білдіреді, яғни. ондағандары жоқ. Егер а, б, в, г, eжеке сандарды білдіреді, содан кейін үнді-араб жүйесінде abcdeбүтін санның аббревиатурасын білдіреді
Әрбір бүтін сан пішіндегі бірегей көріністі қабылдайтындықтан
Қайда nбүтін сан болып табылады және а 0 , а 1 ,..., а п- сандар, біз берілген санау жүйесінде әрбір бүтін санды бірегей түрде көрсетуге болады деген қорытындыға келеміз.
Үнді-араб санау жүйесі бүтін сандарды ғана емес, кез келген оң нақты сандарды да қысқа жазуға мүмкіндік береді. 10 белгісін енгізейік - n 1/10 үшін n, Қайда n– ерікті натурал сан. Содан кейін, көрсетілгендей, кез келген оң нақты санды формада және бірегей түрде көрсетуге болады
Бұл жазбаны сандар тізбегі ретінде жазу арқылы қысуға болады
ондық бөлшек деп аталатын белгі қайда орналасқан а 0 және б 1 саны 10 санының теріс күші қай жерде басталатынын көрсетеді (кейбір елдерде бұл мақсат үшін нүкте қолданылады). Оң нақты санды жазудың бұл әдісі ондық кеңейту деп аталады, ал оның ондық ұлғаюы түрінде берілген бөлшек деп аталады. ондық.
Оң рационал сан үшін ондық бөлшектен кейінгі ондық кеңейту не үзілетінін (мысалы, 7/4 = 1,75) немесе қайталанатынын (мысалы, 6577/1980 = 3,32171717...) көрсетуге болады. Егер сан иррационал болса, онда оның ондық кеңеюі үзілмейді және қайталанбайды. Егер иррационал санның ондық ұлғаюы қандай да бір ондық бөлшекте үзілсе, оның рационал жуықтауын аламыз. Ондық бөлшектің оң жағында біз ондық кеңейтуді аяқтайтын белгі неғұрлым алыс орналасса, соғұрлым ұтымды жуықтау жақсы болады (қате соғұрлым азырақ).
Үнді-араб жүйесінде сан он негізгі цифрдың көмегімен жазылады, оның мағынасы олардың орнына немесе санның жазылуындағы орнына байланысты (цифрдың мәні цифрдың көбейтіндісіне тең және кейбір қуаты 10). Сондықтан мұндай жүйе ондық позициялық жүйе деп аталады. Позициялық санау жүйелері арифметикалық алгоритмдерді құру үшін өте ыңғайлы, сондықтан әр түрлі елдерде жеке сандарды белгілеу үшін әртүрлі таңбалар пайдаланылуы мүмкін болса да, үнді-араб санау жүйесі қазіргі әлемде өте кең таралған.
Сан есімдері.
Үнді-араб жүйесіндегі сандар атаулары белгілі бір ережелерді сақтайды. Сандарды атаудың ең кең тараған тәсілі – сан алдымен оңнан солға қарай үш цифрдан тұратын топтарға бөлінеді. Бұл топтар «кезеңдер» деп аталады. Бірінші кезең «бірліктер» кезеңі деп аталады, екіншісі - «мыңдықтардың» кезеңі, үшінші - «миллиондар» кезеңі және т.б., келесі мысалда көрсетілген:
Әрбір нүкте үш таңбалы сан сияқты оқылады. Мысалы, 962 кезең «тоғыз жүз алпыс екі» деп оқылады. Бірнеше нүктеден тұратын санды оқу үшін әр кезеңдегі цифрлар тобы ең сол жақтан бастап, солдан оңға қарай ретімен оқылады; Әр топтың соңынан мезгіл аты жазылады. Мысалы, жоғарыдағы сан «жетпіс үш триллион сегіз жүз қырық екі миллиард тоғыз жүз алпыс екі миллион бес жүз отыз екі мың жеті жүз тоқсан сегіз» деп жазылған. Бүтін сандарды оқу және жазу кезінде әдетте «және» жалғауы пайдаланылмайтынын ескеріңіз. Бірлік санатының атауы көрсетілмейді. Триллиондардан кейін квадриллиондар, квинтилиондар, секстильиондар, септилиондар, октиллиондар, аллиондар емес және дециллиондар келеді. Әрбір кезең алдыңғысынан 1000 есе үлкен мәнге ие.
Үнді-араб жүйесінде ондық бөлшектің оң жағындағы сандарды оқу үшін келесі процедураны орындау әдеттегідей. Мұнда позициялар (солдан оңға қарай ретімен): «ондық», «жүздік», «мыңдық», «он мыңнан» т.б. Тиісті ондық бөлшек ондық бөлшектен кейінгі цифрлар бүтін санды құрайтындай оқылады, одан кейін оң жақтағы соңғы цифрдың орнының аты жазылады. Мысалы, 0,752 «жеті жүз елу екі мыңдық» деп оқылады. Аралас ондық бөлшек бүтін сандарды атау ережесін тиісті ондықтарды атау ережесімен біріктіру арқылы оқылады. Мысалы, 632.752 «алты жүз отыз екі бес бестен жеті жүз елу екі мыңдық» деп жазылған. Ондық бөлшек алдындағы «бүтін сандар» сөзіне назар аударыңыз. Соңғы жылдары ондық сандар барған сайын қарапайым оқылады, мысалы, 3,782 «үш нүкте жеті жүз сексен екі».
Қосу.
Енді біз бастауыш мектепте оқытылатын арифметикалық алгоритмдерді талдауға дайынбыз. Бұл алгоритмдер ондық кеңейту ретінде жазылған оң нақты сандармен операцияларды қарастырады. Біз қарапайым қосу және көбейту кестелерін жатқа үйрендік деп есептейміз.
Қосу есебін қарастырыңыз: 279,8 + 5,632 + 27,54 есептеңіз:
Алдымен 10 санының бірдей дәрежелерін қорытындылаймыз. 19Х10 –1 саны үлестіру заңы бойынша 9Х10 –1 және 10Х10 –1 = 1 болып бөлінеді. Бірлікті солға жылжытып, оны 21-ге қосамыз, ол 22 береді. Өз кезегінде біз 22 санын 2-ге бөлеміз және 20 = 2H10. Біз 2Н10 санын солға жылжытамыз және оны 9Н10-ға қосамыз, бұл 11Н10 береді. Соңында 11Н10-ды 1Н10 және 10Н10 = 1Н10 2-ге бөлеміз, 1Н10 2-ні солға жылжытамыз және оны 2H10 2-ге қосамыз, бұл 3H10 2 береді. Соңғы қорытынды 312,972 болып шықты.
Орындалған есептеулерді мектепте оқытылатын қосу алгоритмінің мысалы ретінде қолдана отырып, ықшам түрде беруге болатыны анық. Ол үшін барлық үш санды бірінің астына ондық бөлшектер бір вертикальда болатындай етіп жазамыз:
Оң жақтан бастап, 10 –3 коэффициенттерінің қосындысы 2-ге тең екенін анықтаймыз, оны жолдың астындағы сәйкес бағанға жазамыз. 10 –2 коэффициенттерінің қосындысы 7-ге тең, ол да жолдың астындағы сәйкес бағанға жазылады. 10 –1 үшін коэффициенттердің қосындысы 19. Жолдың астына 9 санын жазып, 1-ді алдыңғы бағанға жылжытамыз, онда бірліктер бар. Осы бірлікті ескере отырып, осы бағандағы коэффициенттің қосындысы 22-ге тең болады. Жолдың астына бір екі деп жазып, екіншісін ондықтар орналасқан алдыңғы бағанға жылжытамыз. Тасымалданған екеуін ескере отырып, бұл бағандағы коэффициенттердің қосындысы 11-ге тең. Бір бірлік жолдың астына жазамыз, ал екіншісін алдыңғы бағанға ауыстырамыз, онда жүздеген. Бұл бағандағы коэффициенттердің қосындысы 3-ке тең болып шығады, оны жолдың астына жазамыз. Қажетті сома – 312,972.
Алу.
Алу – қосуға кері. Егер үш оң нақты сан болса а, б, восылайша өзара байланысты a+b=c, содан кейін жазамыз a = c – b, мұндағы «-» таңбасы «минус» ретінде оқылады. Санды табу абелгілі сандар бойынша бЖәне в«алу» деп аталады. Сан вминуенд, нөмір деп аталады б– «алуға болатын» және сан а- «айырмашылық». Біз оң нақты сандармен айналысатындықтан, шарт қанағаттандырылуы керек c > b.
Алып тастаудың мысалын қарастырайық: 453,87 – 82,94 есептеңіз.
Ең алдымен, қажет болса, сол жақтан бірлік алып, минуэндтің кеңеюін оның кез келген 10 дәрежесі үшін коэффициенті сол қуат үшін шегерім коэффициентінен үлкен болатындай етіп түрлендіреміз. 4H10 2-ден біз 1H10 2 = 10H10 қарызға аламыз, кеңейтудегі келесі терминге соңғы санды қосамыз, ол 15H10 береді; сол сияқты, біз 1Х10 0 немесе 10Ч10 –1 қарызға аламыз және бұл санды кеңейтудің соңғы мерзіміне қосамыз. Осыдан кейін біз 10 санының бірдей дәрежелері үшін коэффициенттерді алып тастауға және 370,93 айырмасын оңай табуға мүмкіндік аламыз.
Алу амалдарының жазбасы неғұрлым қысылған түрде ұсынылуы мүмкін және сіз мектепте оқыған азайту алгоритмінің мысалын ала аласыз. Минуендтің астына азайтуды олардың ондық бөлшектері бір вертикальда болатындай етіп жазамыз. Оң жақтан бастап, 10 –2 коэффициенттерінің айырмасы 3-ке тең екенін анықтаймыз және бұл санды жолдың астына сол бағанға жазамыз. Сол жақтағы келесі бағанда 8-ден 9-ды азайта алмайтындықтан, минуендтің бірлік позициясындағы үшеуін екіге ауыстырамыз және ондық позициясындағы 8 санын 18 деп есептейміз. 18-ден 9-ды азайтқаннан кейін 9-ды аламыз, т.б. ., яғни.
Көбейту.
Алдымен деп аталатынды қарастырайық «қысқа» көбейту – оң нақты санды бір таңбалы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сандарының біріне көбейту, мысалы, 32,67ґ4. Үлестірмелілік заңын, сондай-ақ көбейтудің ассоциациялық және коммутативтілік заңдарын пайдалана отырып, біз көбейткіштерді бөліктерге бөліп, оларды ыңғайлырақ орналастыру мүмкіндігін аламыз. Мысалы,
Бұл есептеулерді былайша ықшам жазуға болады:
Қысу процесін жалғастыруға болады. Көрсетілгендей 32,67 көбейтіндісінің астына 4 коэффициентін жазамыз:
4ґ7 = 28 болғандықтан, жолдың астына 8 санын жазып, көбейтіндінің 6 санының үстіне 2 санын қоямыз. Әрі қарай, 4ґ6 = 24, ол оң жақтағы бағаннан не тасымалданатынын ескере отырып, 26 береді. Біз жолдың астына 6 санын жазамыз, ал көбейтіндінің 2 санының үстіне 2 жазамыз. Содан кейін біз 4ґ2 = 8 аламыз, ол тасымалданған екеуімен бірге 10 береді. Біз сызықтың астындағы 0 санына, ал көбейткіштің 3 санының үстіндегі таңбаға қол қоямыз. Ақырында, 4ґ3 = 12, ол аударылған бірлікті ескере отырып, 13 береді; Жолдың астында 13 саны жазылған. Ондық бөлшекті қойып, біз жауапты аламыз: көбейтінді 130,68-ге тең.
«Ұзын» көбейту – бұл жай ғана қайта-қайта қайталанатын «қысқа» көбейту. Мысалы, 32,67 санын 72,4 санына көбейтуді қарастырайық. Көрсетілгендей көбейткішті көбейткіштің астына орналастырайық:
Оңнан солға қысқаша көбейту арқылы біз 13,068-тің бірінші бөлігін, 65.34-тің екіншісін және 2286.9-ның үшінші бөлігін аламыз. Бөлу заңы бойынша табу керек өнім осы жартылай көбейтінділердің қосындысы немесе 2365,308. Жазбаша белгілерде ішінара көбейтінділердегі ондық белгі көрсетілмейді, бірақ олар толық өнімді алу үшін қорытындылау үшін «қадамдар» бойынша дұрыс орналасуы керек. Көбейтіндідегі ондық таңбалардың саны көбейткіш пен көбейткіштегі ондық таңбалар санының қосындысына тең.
Бөлім.
Бөлу – көбейтуге кері операция; көбейту қайталанатын қосуды алмастыратыны сияқты, бөлу де қайталанатын азайтуды ауыстырады. Мысалы, мына сұрақты қарастырайық: 3 саны 14 санында неше рет бар? 14-тен 3-ті алу операциясын қайталай отырып, біз 3-тің 14-ке төрт рет «кіретінін», ал 2 санының «қалатынын», яғни.
14 саны шақырылады бөлінетін, 3 саны – бөлгіш, саны 4 – жекежәне №2 – қалғаны. Алынған қатынасты келесідей сөзбен көрсетуге болады:
дивиденд = (бөлгіш ґ бөлшегі) + қалдық,
0 Ј қалдық
3-ті қайта-қайта шегеру арқылы 1400-нің 3-ке бөлінген бөлігі мен қалдығын табу көп уақыт пен күш жұмсайды. Алдымен 1400-ден 300-ді, содан кейін қалдықтан 30-ды, ең соңында 3-ті алып тастасақ, процедураны айтарлықтай жылдамдатуға болады. 300-ді төрт рет алып тастағаннан кейін 200 қалдығы шығады; 200-ден 30-ды алты рет азайтқаннан кейін қалдық 20 болады; ақырында, 20-дан 3-ті алты рет азайтқаннан кейін, қалған 2-ні аламыз. Сондықтан,
Табылатын үлес және қалдық сәйкесінше 466 және 2. Есептеулерді келесідей ұйымдастыруға, содан кейін дәйекті түрде қысуға болады:
Жоғарыда келтірілген пайымдаулар дивиденд пен бөлгіш ондық жүйеде көрсетілген кез келген оң нақты сандар болса қолданылады. Мұны 817.65е23.7 мысалында көрсетейік.
Біріншіден, бөлгішті ондық бөлшекті жылжыту арқылы бүтін санға түрлендіру керек. Бұл жағдайда дивидендтің ондық нүктесі бірдей ондық таңбалар санына ауыстырылады. Бөлгіш пен дивиденд төменде көрсетілгендей реттелген:
Бөлгішке бөлетін дивидендтің бірінші бөлігі 817 үш таңбалы санда неше есе бөлгіш бар екенін анықтайық. Ол үш есе болады деп есептелетіндіктен, 237-ні 3-ке көбейтіп, 817-ден 711-нің көбейтіндісін шегереміз. 106-ның айырмасы бөлгіштен аз. Бұл 237 санының сынақ дивидендінде үш реттен көп емес екенін білдіреді. Көлденең сызықтың астындағы 2 санының бөлгішінің астында жазылған 3 саны - табу керек болатын бөлгіштің бірінші цифры. Дивидендтің келесі цифрын төмен жылжытқаннан кейін біз келесі сынақ дивидендін 1066 аламыз және 237 бөлгіші 1066 санына қанша рет сәйкес келетінін анықтауымыз керек; 4 рет айтайық. Бөлінгішті 4-ке көбейтіп, 948 көбейтіндісін аламыз, оны 1066-дан шегереміз; айырмашылық 118 болып шығады, бұл бөліндінің келесі цифры 4-ке тең. Содан кейін дивидендтің келесі цифрын алып тастап, жоғарыда сипатталған процедураны толығымен қайталаймыз. Бұл жолы 1185 сынақ дивиденді 237-ге дәл (қалдықсыз) бөлінетіні белгілі болды (бөлудің қалған бөлігі ақырында 0 болады). Бөлімде ондық үтірмен бөлгенде, олар дивидендте бөлінген цифрлар санымен бірдей (ондық бөлшекті бұрын жылжытқанымызды есте сақтаңыз), біз жауап аламыз: бөлім 34,5-ке тең.
Бөлшектер.
Бөлшектермен есептеулерге қосу, алу, көбейту және бөлу, сонымен қатар күрделі бөлшектерді оңайлату жатады.
Бөлгіші бірдей бөлшектерді қосу алымдарды қосу арқылы орындалады, мысалы,
1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.
Бөлшектердің бөлгіштері әртүрлі болса, оларды алдымен ортақ бөлгішке келтіру керек, яғни. бөлгіштері бірдей бөлшектерге түрлендіру. Ол үшін ең кіші ортақ бөлгішті табамыз (берілген бөлгіштердің әрқайсысының ең кіші еселігі). Мысалы, 2/3, 1/6 және 3/5 қосқанда ең кіші ортақ бөлгіш 30 болады:
Қорытындылай келе, біз аламыз
20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.
Бөлшектерді азайту оларды қосу сияқты орындалады. Егер бөлгіштер бірдей болса, онда азайту алымдарды азайтуға келеді: 10/13 – 2/13 = 8/13; Бөлшектердің бөлгіштері әртүрлі болса, алдымен оларды ортақ бөлгішке келтіру керек:
7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.
Бөлшектерді көбейту кезінде олардың алымдары мен бөлгіштері бөлек көбейтіледі. Мысалы,
5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.
Бір бөлшекті екіншісіне бөлу үшін бірінші бөлшекті (дивиденд) екіншісінің (бөлгіштің) кері бөлігіне көбейту керек (кері бөлшекті алу үшін бастапқы бөлшектің алымы мен бөлімін ауыстыру керек), яғни. ( n 1 /г 1)е( n 2 /г 2) = (n 1 H г 2)/(г 1 H n 2). Мысалы,
3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.
Аралас сан – 4 + 2/3 немесе 10 – 1/8 сияқты бүтін сан мен бөлшектің қосындысы (немесе айырмасы). Натурал санды бөлгіші 1 болатын бөлшек ретінде қарастыруға болатындықтан, аралас сан екі бөлшектің қосындысынан (немесе айырмасынан) басқа ештеңе емес. Мысалы,
4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.
Күрделі бөлшек дегеніміз не алымында, не бөлгішінде, не алымында және бөлгішінде бөлшек бар бөлшек. Бұл бөлшекті жай бөлшекке түрлендіруге болады:
Шаршы түбір.
Егер n r, солай r 2 = n. Сан rшақырды шаршы түбірбастап nжәне тағайындалады. Мектепте шаршы түбірлерді екі жолмен алуды үйретеді.
Бірінші әдіс неғұрлым танымал, себебі ол қарапайым және қолдануға оңай; осы әдісті қолданатын есептеулер жұмыс үстелі калькуляторында оңай орындалады және текше түбірлер мен жоғары түбірлер жағдайына жалпыланады. Әдіс мынаған негізделген, егер r 1 – тамырға жақындау, содан кейін r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – түбірдің дәлірек жуықтауы.
1 мен 100 арасындағы кейбір санның квадрат түбірін есептеу арқылы процедураны көрейік, айталық 40. 6 2 = 36 және 7 2 = 49 болғандықтан, 6 бүтін сандарға ең жақсы жуықтау деген қорытындыға келеміз. Дәлірек жуықтау 6-дан төмендегідей алынады. 40-ты 6-ға бөлгенде 6,6 шығады (бірінші ондық белгіге дейін дөңгелектенеді) тіптіондық сандар). -ге екінші жуықтауды алу үшін біз 6 және 6,6 екі санын орта есеппен аламыз және 6,3 аламыз. Процедураны қайталай отырып, біз одан да жақсырақ жуықтау аламыз. 40-ты 6,3-ке бөлсек, 6,350 санын табамыз, ал үшінші жуықтау (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325 болып шығады. Тағы бір қайталау 40е6,325 = 6,3241106 береді, ал төртінші жуықтау (1/2)(6,325 + 6,3241106) = 6,3245553 болып шығады. Процесс қалағанша жалғасуы мүмкін. Жалпы алғанда, әрбір келесі жуықтау алдыңғыға қарағанда екі есе көп сандарды қамтуы мүмкін. Сонымен, біздің мысалда бірінші жуықтауда, яғни 6 бүтін санда бір ғана цифр бар болғандықтан, біз екінші жуықтауда екі, үшіншіде төрт, төртіншіде сегізді сақтай аламыз.
Егер нөмір n 1 мен 100 арасында жатпайды, онда алдымен бөлу (немесе көбейту) керек. n 100-дің кейбір дәрежесіне, айталық, үшін к-ші көбейтінді 1-ден 100-ге дейінгі аралықта болуы үшін. Содан кейін көбейтіндінің квадрат түбірі 1-ден 10-ға дейінгі аралықта болады және оны шығарғаннан кейін алынған санды 10-ға көбейтеміз (немесе бөлеміз). к, қажетті квадрат түбірін табыңыз. Мысалы, егер n= 400000, содан кейін біз бірінші бөлу 400000 100 2 және біз 1-ден 100-ге дейінгі аралықта жатқан 40 санын аламыз. Жоғарыда көрсетілгендей, ол шамамен 6,3245553-ке тең. Көбейтубұл санды 10 2-ге көбейтсек, біз шамамен мән ретінде 632,45553 аламыз, ал 0,63245553 саны жуық мән ретінде қызмет етеді.
Жоғарыда аталған процедуралардың екіншісі алгебралық сәйкестікке негізделген ( а + б) 2 = а 2 + (2а + б)б. Әрбір қадамда квадрат түбірдің бұрыннан алынған бөлігі ретінде қабылданады а, және әлі анықтауды қажет ететін бөлікке арналған б.
Текше түбірі.
Оң нақты санның текше түбірін шығару үшін квадрат түбірді шығаруға ұқсас алгоритмдер бар. Мысалы, санның текше түбірін табу үшін n, алдымен түбірді қандай да бір санмен жақындатамыз r 1 . Содан кейін біз дәлірек жуықтауды жасаймыз r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), бұл өз кезегінде дәлірек жақындауға жол береді r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) т.б. Түбірдің барған сайын дәл жақындауын құру процедурасы шексіз жалғасуы мүмкін.
Мысалы, 1 мен 1000 арасындағы санның текше түбірін есептей отырып, 200 санын айтайық. 5 3 = 125 және 6 3 = 216 болғандықтан, 6 саны 200-дің текше түбіріне ең жақын бүтін сан деген қорытындыға келеміз. Сондықтан біз таңдаймыз r 1 = 6 және ретімен есептеңіз r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Әрбір жуықтауда үшіншіден бастап алдыңғы жуықтаудағы таңбалар санынан екі есе кем таңбалар санын сақтауға рұқсат етіледі. Егер текше түбірін шығарғыңыз келетін сан 1 мен 1000 арасында болмаса, алдымен оны бірнешеге бөлу (немесе көбейту) керек, мысалы: к th, 1000 санының қуаты және осылайша оны қажетті сандар диапазонына келтіріңіз. Жаңадан алынған санның текше түбірі 1-ден 10-ға дейінгі аралықта жатыр. Оны есептегеннен кейін оны 10-ға көбейту (немесе бөлу) керек. кбастапқы санның текше түбірін алу үшін.
Оң нақты санның текше түбірін табудың екінші, күрделірек алгоритмі алгебралық сәйкестікті пайдалануға негізделген ( а + б) 3 = а 3 + (3а 2 + 3аб + б 2)б. Қазіргі уақытта текше түбірлерді, сондай-ақ жоғары дәрежелі түбірлерді алу алгоритмдері орта мектепте оқытылмайды, өйткені оларды логарифмдер немесе алгебралық әдістер арқылы табу оңайырақ.
Евклид алгоритмі.
Бұл алгоритм ұсынылған БасталуыЕвклид (шамамен б.з.б. 300 ж.). Ол екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін есептеу үшін қолданылады. Оң сандар жағдайы үшін ол процедуралық ереже ретінде тұжырымдалады: «Берілген екі санның үлкенін кішісіне бөліңіз. Содан кейін бөлгішті қалдыққа бөліңіз және соңғы бөлгіш соңғы қалдыққа біркелкі бөлінгенше осылай жалғастырыңыз. Бөлінгіштердің соңғысы берілген екі санның ең үлкен ортақ бөлгіші болады».
Сандық мысал ретінде екі бүтін 3132 және 7200 сандарын қарастырайық. Бұл жағдайда алгоритм келесі қадамдарға дейін төмендейді:
Ең үлкен ортақ бөлгіш соңғы бөлгішпен бірдей – 36 саны. Түсіндіру қарапайым. Біздің мысалда біз соңғы жолдан 36 саны 288 санын бөлетінін көреміз. Соңғы жолдан 36 саны 324-ті бөлетіні шығады. Сонымен қатардан жолға қарай 36 саны 936-ны бөлетініне көз жеткіздік. , 3132 және 7200 Енді біз 36 саны 3132 және 7200 сандарының ортақ бөлгіші екенін айтамыз. g 3132 және 7200 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші g 3132 мен 7200-ді бөледі, бірінші жолдан келесідей шығады g 936-ны бөледі. Екінші жолдан біз мынаны қорытындылаймыз g 324-ті бөледі. Сонымен қатардан жолға төмен қарай отырып, біз бұған сенімдіміз g 288 мен 36-ны бөледі. Ал 36 саны 3132 және 7200 сандарының ортақ бөлгіші болғандықтан және олардың ең үлкен ортақ бөлгішіне бөлінетіндіктен, 36 саны осы ең үлкен ортақ бөлгіш деген қорытындыға келеміз.
Емтихан.
Арифметикалық есептеулер үнемі назар аударуды қажет етеді, сондықтан қателіктерге бейім. Сондықтан есептеу нәтижелерін тексеру өте маңызды.
1. Сандар бағанының қосылуын бағандағы сандарды алдымен жоғарыдан төменге, содан кейін төменнен жоғарыға қосу арқылы тексеруге болады. Бұл тексеру әдісінің негіздемесі қосудың ауыстырымдылық және ассоциациялық заңы болып табылады.
2. Азайтуды азайту арқылы айырманы қосу арқылы тексеріледі - минуенд алынуы керек. Бұл тексеру әдісінің негіздемесі азайту операциясының анықтамасы болып табылады.
3. Көбейтіндіні көбейткіш пен көбейтіндіні қайта орналастыру арқылы тексеруге болады. Бұл тексеру әдісінің негіздемесі ауыстырмалы көбейту заңы болып табылады. Көбейтіндіні (немесе көбейтіндіні) екі мүшеге бөлу, екі бөлек көбейту амалын орындау және алынған көбейтінділерді қосу арқылы көбейтуді тексеруге болады - сіз бастапқы өнімді алуыңыз керек.
4. Бөлуді тексеру үшін бөліндіні бөлгішке көбейтіп, қалдықты көбейтіндіге қосу керек. Сіз дивиденд алуыңыз керек. Бұл тексеру әдісінің негіздемесі бөлу операциясының анықтамасы болып табылады.
5. Шаршы (немесе текше) түбірді алудың дұрыстығын тексеру алынған санды квадраттау (немесе текше) арқылы көтеруден тұрады - бастапқы санды алу керек.
Бүтін сандарды қосу немесе көбейтуді тексерудің өте қарапайым және өте сенімді әдісі деп аталатынға өтуді білдіретін әдіс болып табылады. «Салыстыру модулі 9». Санды 9-ға бөлгенде жазу үшін қолданылатын цифрлардың қосындысының қалдығын «артық» деп атаймыз. Содан кейін «артық» туралы екі теореманы тұжырымдауға болады: «бүтін сандардың қосындысының артықшылығы мүшелердің артықтарының қосындысының артықшылығына тең» және «екі бүтін санның көбейтіндісінің артығы тең олардың шамадан тыс өнімінің асып кетуі». Төменде осы теоремаға негізделген тексеру мысалдары берілген:
Салыстыру 9 модуліне көшу әдісін басқа арифметикалық алгоритмдерді тестілеу кезінде де қолдануға болады. Әрине, мұндай тексеру қате емес, өйткені «артықтармен» жұмыс істеу де қателіктерге ұшырайды, бірақ мұндай жағдай екіталай.
Қызығушылық.
Пайыз – бөлгіші 100 болатын бөлшек; Проценттерді үш жолмен жазуға болады: бөлшек түрінде, ондық бөлшек түрінде немесе % арнайы пайыздық белгіні пайдалану. Мысалы, 7 пайызды 7/100, 0,07 немесе 7% деп жазуға болады.
Пайыздық есептің ең көп тараған түріне келесі мысал келтіруге болады: «82-нің 17% табыңыз». Бұл мәселені шешу үшін сіз 0,17ґ82 = 13,94 өнімді есептеуіңіз керек. Осы түрдегі өнімдерде 0,17 мөлшерлеме деп аталады, 82 - базалық, 13,94 - пайызбен көрсетілген үлес. Аталған үш шама бір-бірімен қатынас арқылы байланысады
Rate ґ базасы = пайыздық үлес.
Кез келген екі шама белгілі болса, үшіншісін осы қатынас бойынша анықтауға болады. Тиісінше, біз «пайызбен» есептердің үш түрін аламыз.
1-мысал. Бұл мектепте оқитын оқушылар саны 351-ден 396-ға дейін өсті. Бұл сан қанша пайызға өсті?
Өсім 396 – 351 = 45 адамды құрады. 45/351 бөлігін пайызбен жазсақ, 45/351 = 0,128 = 12,8% аламыз.
2-мысал. Сату кезіндегі дүкендегі хабарландыруда «барлық тауарларға 25% жеңілдік» делінген. Әдетте 3,60 долларға сатылатын заттың сату бағасы қандай?
3,60 доллар бағасының 25%-ға төмендеуі 0,25-3,60 = $0,90 төмендеуін білдіреді; сондықтан сату кезінде заттың бағасы $3,60 – $0,90 = $2,70 болады.
3-мысал. Банкке жылдық 5%-бен салынған ақша жылына 40 доллар пайда әкелді. Банкке қандай сома салынды?
Соманың 5% -ы 40 доллар болғандықтан, яғни. 5/100 ґ сомасы = $40, немесе 1/100 ґ сомасы = 8 доллар, жалпы сома 800 доллар.
Болжалды сандар арифметикасы.
Есептеулерде қолданылатын көптеген сандар өлшемдерден немесе бағалаулардан туындайды, сондықтан тек жуықтау деп санауға болады. Болжалды сандармен жүргізілген есептеулердің нәтижесі тек шамамен алынған сан болуы мүмкін екені анық. Мысалы, есептегіш бетінің өлшемдері келесі нәтижелерді берді делік (метрдің оннан бір бөлігіне дейін дөңгелектенген): ені 1,2 м, ұзындығы 3,1 м; Есептегіштің ауданы 1,2ґ3,1 = 3,72 м2 деп айтуға болады. Алайда, іс жүзінде ақпарат соншалықты сенімді емес. 1,2 м мәні ені өлшемінің 1,15 және 1,25 м аралығында екенін және 3,1 ұзындығының өлшемі 3,05 және 3,15 м аралығында екенін көрсететіндіктен, есептегіш алаңы туралы біз тек 1,15ґ3,05 артық болуы керек деп айта аламыз. = 3,5075, бірақ 1,25ґ3,15 = 3,9375-тен аз. Сондықтан есептегіштің ауданы туралы сұраққа жалғыз ақылға қонымды жауап - бұл шамамен 3,7 м 2 деп айту.
Енді 3,73 м, 52,1 м және 0,282 м жуық өлшемдердің нәтижелерін қосу мәселесін қарастырайық.Қарапайым қосындысы 56,112 м.Бірақ, алдыңғы есептегідей, сенімді түрде айтуға болатын нәрсенің барлығы шынайы қосынды болып табылады. 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 м-ден үлкен және 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 м-ден кем болуы керек.Осылайша, сұраққа бірден-бір орынды жауап қосынды шамамен 56-ға тең деп айтуға болады.1.
Жоғарыдағы екі мысал шамамен сандармен жұмыс істеу кезінде пайдалы болатын кейбір ережелерді көрсетеді. Сандарды дөңгелектеудің әртүрлі тәсілдері бар. Олардың бірі - санның төменгі сандарын тастау. Сонымен қатар, егер лақтырылатын бірінші сан бестен көп болса, онда соңғы қалған цифрды бір көбейту керек, егер аз болса, қалған бөліктің соңғы саны өзгеріссіз қалады.
Егер тасталатын бірінші сан дәл бес болса, онда сақталатын соңғы сан тақ болса, біреуге көбейтіледі, ал жұп болса, өзгеріссіз қалады. Мысалы, жүздікке дейін дөңгелектеу кезінде 3.14159;17.7682; 28 999; 0,00234; 7,235 және 7,325 сандары 3,14-ке айналады; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 және 7.32.
Дөңгелектеудің тағы бір әдісі мәнді сандар түсінігімен байланысты және санды машинамен жазу кезінде қолданылады. Болжалды санның мәнді цифрлары оның ондық белгілеуіндегі солдан оңға қарай ретімен бірінші нөлден басқа цифрдан басталып, қатеге сәйкес ондық таңбаның орнында тұрған цифрмен аяқталатын цифрлар болып табылады. Мысалы, 12.1 жуық санының мәнді цифрлары 1, 2, 1 сандары; шамамен саны 0,072 – 7, 2 сандары; жүздікке дейін жазылған шамамен 82000 саны 8, 2, 0.
Енді біз жоғарыда аталған шамамен сандармен жұмыс істеудің екі ережесін тұжырымдаймыз.
Шамамен сандарды қосу және азайту кезінде әрбір санды дәлдігі ең аз санның соңғы цифрынан кейінгі цифрға дейін дөңгелектеу керек, ал алынған қосынды мен айырманы ең аз дәл сан сияқты цифрлар санына дейін дөңгелектеу керек. Шамамен сандарды көбейту және бөлу кезінде әрбір санды ең аз мәнді санның соңғы маңызды цифрынан кейінгі белгіге дейін дөңгелектеу керек, ал көбейтінді мен бөлікті ең аз дәл сан белгілі болса, бірдей дәлдікпен дөңгелектеу керек.
Бұрын қарастырылған мәселелерге оралсақ, біз мынаны аламыз:
1,2ґ3,1 = 3,72 м 2 » 3,7 м 2
3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 м 2 "56,1 м,
мұндағы « белгісі «шамамен тең» дегенді білдіреді.
Кейбір арифметикалық оқулықтар есептеу кезінде қажетсіз белгілерді болдырмауға мүмкіндік беретін жуық сандармен жұмыс істеу алгоритмдерін ұсынады. Сонымен қатар, олар деп аталатын пайдаланады. шамамен сандарды жазу, яғни. кез келген сан (1-ден 10-ға дейінгі аралықтағы сан) ґ (10-ның дәрежесі) түрінде көрсетіледі, мұнда бірінші фактор санның маңызды сандарын ғана қамтиды. Мысалы, жүз км дәлдікке дейін дөңгелектенген 82000 км 8,20ґ10 4 км, ал 0,00702 см 7,02ґ10 –3 см деп жазылады.
Математикалық кестелердегі, тригонометриялық немесе логарифмдік кестелердегі сандар жуықтап, белгілі бір белгілермен жазылады. Мұндай кестелермен жұмыс істеу кезінде сіз шамамен сандармен есептеу ережелерін сақтауыңыз керек.
Логарифмдер.
17 ғасырдың басына қарай. Қолданбалы есептеу есептерінің күрделілігі соншалықты өсті, тым көп еңбек пен уақыттың арқасында оларды «қолмен» шешу мүмкін болмады. Бақытымызға орай, 17 ғасырдың басында Дж. Непье уақытында ойлап тапты. логарифмдер туындаған мәселені шешуге мүмкіндік берді. Логарифмдердің теориясы мен қолданылуы ЛОГАРИФМ арнайы мақаласында егжей-тегжейлі сипатталғандықтан, біз тек ең қажетті ақпаратпен шектелеміз.
Көрсетуге болады, егер nоң нақты сан болса, онда бірегей оң нақты сан болады x, осылайша 10 x = n. Сан xдеп аталады (тұрақты немесе ондық) логарифмсандар n; шартты түрде былай жазылады: x=журнал n. Сонымен, логарифм көрсеткіш болып табылады, ал дәрежелермен амалдар заңдарынан мыналар шығады:
Логарифмдердің дәл осы қасиеттері олардың арифметикада кеңінен қолданылуын түсіндіреді. Бірінші және екінші қасиеттер кез келген көбейту және бөлу есебін қосу және азайтудың қарапайым есебіне келтіруге мүмкіндік береді. Үшінші және төртінші қасиеттер дәрежеге шығаруды және түбір алуды әлдеқайда қарапайым операцияларға дейін азайтуға мүмкіндік береді: көбейту және бөлу.
Логарифмдерді қолдануға ыңғайлы болу үшін олардың кестелері құрастырылды. Ондық логарифмдердің кестесін құрастыру үшін 1-ден 10-ға дейінгі сандардың логарифмдерін ғана қосу жеткілікті. Мысалы, 247,6 = 10 2 ґ2,476 болғандықтан, бізде: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476, ал 0,02476 = 10 –2 ґ2,476, содан кейін log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. 1 мен 10 арасындағы санның ондық логарифмі 0 мен 1 арасында болатынын және ондық бөлшек ретінде жазылатынын ескеріңіз. Бұдан кез келген санның ондық логарифмі логарифмнің сипаттамасы деп аталатын бүтін санның және логарифмнің мантиссасы деп аталатын ондық бөлшектің қосындысы болатыны шығады. Кез келген санның логарифмінің сипаттамасын «ақылда» табуға болады; Мантиссаны логарифм кестелері арқылы табу керек. Мысалы, кестелерден log2,476 = 0,39375, демек log247,63 = 2,39375 екенін табамыз. Егер логарифмнің сипаттамасы теріс болса (сан бірден кіші болса), онда оны екі натурал санның айырмасы ретінде көрсету ыңғайлы, мысалы, log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. келесі мысалдар бұл техниканы түсіндіреді.
Әдебиет:
Ежелгі дәуірден 19 ғасырдың басына дейінгі математика тарихы., том. 1–3. М., 1970–1972 жж.
Серре Дж.-П. Арифметика курсы. М., 1972 ж
Нечаев В.И. Сандық жүйелер. М., 1975 ж
Даан-Дальмедико А., Пейфер Дж . Жолдар мен лабиринттер. Математика тарихының эсселері. М., 1986 ж
Энглер Е. Бастауыш математика. М., 1987 ж
Евклид алгоритмі
Ең үлкен ортақ бөлгіш
Мына есепті қарастырайық: екі натурал санның ең үлкен ортақ бөлгішін (ЖБ) анықтау программасын жазу керек.
Математиканы еске түсірейік. Екі натурал санның ең үлкен ортақ бөлгіші олар біркелкі бөлінетін ең үлкен натурал сан болып табылады. Мысалы, 12 және 18 сандарының ортақ көбейткіштері бар: 2, 3, 6. Ең үлкен ортақ көбейткіш 6 саны. Бұл былай жазылады:
GCD(12, 18) = 6.
Бастапқы деректерді M u N деп белгілейік. Есептің қойылымы келесідей:
Берілген:М, Н
Табу: GCD(M, N).
Бұл жағдайда қосымша математикалық формализация қажет емес. Есепті құрастырудың өзі формальды математикалық сипатқа ие. M және N мәндерінен GCD(M, N) есептеу формуласы жоқ. Бірақ көп уақыт бұрын, компьютерлер пайда болғанға дейін, бұл мәселені шешудің алгоритмдік әдісі белгілі болды. деп аталады Евклид алгоритмі .
Евклид алгоритмінің идеясы
Бұл алгоритмнің идеясы егер M>N болса, онда деген қасиетке негізделген
GCD(M, N) = GCD(M - N, N).
Басқаша айтқанда, екі натурал санның gcd мәні олардың оң айырмасының (олардың айырмасының модулі) және кіші санның gcd-іне тең.
Бұл қасиетті дәлелдеу оңай. M u N (M> N) санының ортақ бөлгіші K болсын. Бұл M = mK, N = nK дегенді білдіреді, мұндағы m, n - натурал сандар, ал m > n. Сонда M - N = K(m - n), бұл K санының M - N санының бөлгіші екенін білдіреді. Бұл M және N сандарының барлық ортақ бөлгіштері олардың M - N айырмасының, соның ішінде ең үлкенінің бөлгіштері екенін білдіреді. ортақ бөлгіш.
Екінші айқын қасиет:
GCD(M, M) = M.
«Қолмен» санау үшін Евклид алгоритмі келесідей көрінеді:
1) егер сандар тең болса, онда олардың кез келгенін жауап ретінде қабылдаңыз, әйтпесе алгоритмді орындауды жалғастырыңыз;
2) үлкен санды үлкен және кіші сандардың айырмасына ауыстыру;
3) 1-қадамға оралу.
Бұл алгоритмді M=32, N=24 мысалында қарастырайық:
Алгоритм құрылымы кірістірілген тармақталуы бар while циклі болып табылады. Цикл M және N мәндері бір-біріне тең болғанша қайталанады. Тармақталғанда екі мәннің үлкені олардың айырмашылығымен ауыстырылады.
Енді M = 32, N = 24 бастапқы мәндері үшін алгоритмнің бақылау кестесін қараңыз.
| Қадам | Операция | М | Н | Шарт |
| 1 | енгізу М | 32 | ||
| 2 | N енгізу | 24 | ||
| 3 | M¹N | 32 жоқ 24, иә | ||
| 4 | М>Н | 32>24, иә | ||
| 5 | М:=М-Н | 8 | ||
| 6 | M¹N | 8¹24, иә | ||
| 7 | М>Н | 8>24, жоқ | ||
| 8 | N:=N-M | 16 | ||
| 9 | M¹N | 8¹16, иә | ||
| 10 | М>Н | 8>16, жоқ | ||
| 11 | N:=N-M | 8 | ||
| 12 | M¹N | 8¹8, жоқ | ||
| 13 | түйреуіш М | 8 | ||
| 14 | Соңы |
Ақырында нәтиже дұрыс болды.
AY және Паскаль тіліндегі бағдарлама
Алгоритмді AY тілінде, ал программаны Паскаль тілінде жазайық.
Сұрақтар мен тапсырмалар
1. Компьютерде Evklid бағдарламасын іске қосыңыз. Оны M = 32, N = 24 мәндері бойынша тексеріңіз; М = 696, N = 234.
2. Мына формула бойынша үш санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу программасын жазыңыз:
GCD(A, B, C) = GCD(GCD(A, B), C).
3. Формула арқылы екі санның ең кіші ортақ еселігін (LCM) табу программасын жазыңыз:
A × B = GCD(A, B) × GCD(A, B).
Бұл мақала туралы ең үлкен ортақ бөлгішті табу (GCD)екі немесе одан да көп сандар. Алдымен Евклид алгоритмін қарастырайық, ол екі санның gcd-ін табуға мүмкіндік береді. Осыдан кейін біз сандардың gcd мәнін олардың жалпы жай көбейткіштерінің көбейтіндісі ретінде есептеуге мүмкіндік беретін әдіске тоқталамыз. Әрі қарай, біз үш немесе одан да көп сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін табуды қарастырамыз, сонымен қатар теріс сандардың gcd-ін есептеуге мысалдар келтіреміз.
Бетті шарлау.
GCD табудың евклидтік алгоритмі
Назар аударыңыз, егер біз басынан бастап жай сандар кестесіне жүгінген болсақ, 661 және 113 сандары жай сандар екенін анықтаған болар едік, олардан олардың ең үлкен ортақ бөлгіші 1 екенін бірден айта аламыз.
Жауап:
GCD(661, 113)=1 .
Сандарды жай көбейткіштерге бөлу арқылы GCD табу
GCD табудың басқа жолын қарастырайық. Ең үлкен ортақ бөлгішті сандарды жай көбейткіштерге бөлу арқылы табуға болады. Ережені құрастырайық: a және b екі оң бүтін сандарының gcd мәні a және b сандарының жай көбейткіштерінде табылған барлық жалпы жай көбейткіштердің көбейтіндісіне тең..
GCD табу ережесін түсіндіру үшін мысал келтірейік. 220 және 600 сандарының жай көбейткіштерге жіктелуін білейік, олар 220=2·2·5·11 және 600=2·2·2·3·5·5 пішініне ие. 220 және 600 сандарын көбейткіштерге бөлуге қатысатын жалпы жай көбейткіштер 2, 2 және 5 болып табылады. Демек, GCD(220, 600)=2·2·5=20.
Сонымен, а және b сандарын жай көбейткіштерге бөліп, олардың барлық ортақ көбейткіштерінің көбейтіндісін тапсақ, онда бұл а және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табады.
Келтірілген ережеге сәйкес GCD табудың мысалын қарастырайық.
Мысал.
72 және 96 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз.
Шешім.
72 және 96 сандарын жай көбейткіштерге қосайық: 
Яғни, 72=2·2·2·3·3 және 96=2·2·2·2·2·3. Жалпы жай көбейткіштер 2, 2, 2 және 3. Сонымен, GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.
Жауап:
GCD(72, 96)=24 .
Осы тармақты қорытындылай келе, GCD табу үшін жоғарыда аталған ереженің жарамдылығы ең үлкен ортақ бөлгіштің қасиетінен туындайтынын атап өтеміз, онда GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), мұндағы m - кез келген натурал сан.
Үш немесе одан да көп сандардың gcd мәнін табу
Үш немесе одан да көп сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін табуды екі санның gcd-ін ретімен табуға дейін азайтуға болады. Біз бұл туралы GCD қасиеттерін зерттегенде айттық. Онда біз теореманы тұжырымдап, дәлелдедік: a 1, a 2, ..., a k бірнеше сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші d k санына тең, оны ретімен GCD(a 1, a 2)=d 2 есептеу арқылы табамыз. , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.
Мысалдың шешіміне қарап, бірнеше санның gcd табу процесі қалай болатынын көрейік.
Мысал.
78, 294, 570 және 36 төрт санының ең үлкен ортақ көбейткішін табыңыз.
Шешім.
Бұл мысалда a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Алдымен Евклид алгоритмін қолданып, алғашқы екі 78 және 294 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші d 2-ні анықтаймыз. Бөлу кезінде 294 = 78 3 + 60 теңдіктерін аламыз; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 және 18=6·3. Осылайша, d 2 =GCD(78, 294)=6.
Енді есептеп көрейік d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Евклид алгоритмін қайта қолданайық: 570=6·95, демек, d 3 = GCD(6, 570)=6.
Есептеу қалды d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). 36 саны 6-ға бөлінетіндіктен, d 4 = GCD(6, 36) = 6 болады.
Сонымен, берілген төрт санның ең үлкен ортақ бөлгіші d 4 =6, яғни gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Жауап:
GCD(78, 294, 570, 36)=6 .
Сандарды жай көбейткіштерге бөлу сонымен қатар үш немесе одан да көп сандардың gcd мәнін есептеуге мүмкіндік береді. Бұл жағдайда ең үлкен ортақ бөлгіш берілген сандардың барлық ортақ жай көбейткіштерінің көбейтіндісі ретінде табылады.
Мысал.
Алдыңғы мысалдағы сандардың gcd мәнін олардың жай көбейткіштерге бөлу арқылы есептеңіз.
Шешім.
78, 294, 570 және 36 сандарын жай көбейткіштерге қосайық, 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 шығады. ·3· 3. Осы төрт санның ортақ жай көбейткіштері 2 және 3 сандары. Демек, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Мысал арқылы осы алгоритмді қарастырайық. Біз табамыз
1-қадам. Түбір астындағы санды екі таңбалы беттерге бөлеміз (оңнан солға):
2-қадам. Бірінші беттің квадрат түбірін аламыз, яғни 65 санынан біз 8 санын аламыз. Бірінші беттің астына 8 санының квадратын жазып, шегереміз. Қалғанға екінші бетті (59) тағайындаймыз:
(159 саны бірінші қалдық).
3-қадам. Табылған түбірді екі еселеп, нәтижені сол жаққа жазамыз:
4-қадам. Қалдықта оң жақтағы бір цифрды бөлеміз (159), ал сол жақта ондықтар санын аламыз (ол 15-ке тең). Содан кейін біз 15-ті түбірдің бірінші цифрын екі есе бөлеміз, яғни 16-ға бөлеміз, өйткені 15 16-ға бөлінбейтіндіктен, бөлім нөлге тең болады, біз оны түбірдің екінші цифры ретінде жазамыз. Сонымен, бөлікте біз 80 санын алдық, біз оны қайтадан екі еселеп, келесі жиекті алып тастаймыз
(15 901 саны екінші қалдық).
5-ші қадам. Екінші қалдыққа оң жақтан бір цифрды бөліп, алынған 1590 санын 160-қа бөлеміз. Нәтижені (9 санын) түбірдің үшінші цифры ретінде жазып, оны 160 санына қосамыз. Алынған 1609 санын көбейтеміз. 9 және келесі қалдықты табыңыз (1420):
Кейіннен әрекеттер алгоритмде көрсетілген реттілікпен орындалады (түбірді қажетті дәлдік дәрежесімен шығаруға болады).
Түсініктеме. Егер радикалды өрнек ондық – бөлшек болса, онда оның бүтін бөлігі оңнан солға қарай екі цифрдың жиектеріне, бөлшек бөлігі – солдан оңға қарай екі цифрдың жиектеріне бөлінеді және көрсетілген алгоритм бойынша түбір алынады.
ДИДАКТИКАЛЫҚ МАТЕРИАЛ
1. Санның квадрат түбірін ал: а) 32; б) 32,45; в) 249,5; г) 0,9511.
Жүктелуде...
