Алты қабырғасы бар көпбұрыш. Дұрыс көп қырлылардың қасиеттері және олардың қолданылуы. Дұрыс көп қырлылардың қасиеттері

Көп қырлы жазық көпбұрыштармен шектелген дене. Көпбұрыштың элементтері болып табылады шыңдар , қабырғалар Және жиектер . Көп қырлы деп аталады дөңес , егер оның барлығы оның кез келген бетінің жазықтығының бір жағында жатса. Дұрыс беттері дұрыс көпбұрыштар болатын көпбұрыш болып табылады. Барлығы бес тұрақты дөңес көп қырлы бар, оларды алғаш рет біздің эрамызға дейінгі 5 – 4 ғасырларда өмір сүрген Платон зерттеп, сипаттаған. Сондықтан бұл көп қырлыларды « Платондық қатты заттар ».

1. Тетраэдр (тетраэдр – дұрыс үшбұрышты пирамида) – 4 төбесі, 4 беті – үшбұрыштар.

2. Гексаэдр (алтыбұрыш – текше) – 8 төбе, 6 бет – шаршы.

3. Октаэдр (октаэдр) – 6 төбе, 8 беті – үшбұрыш.

4. Икосаэдр (жиырма қырлы) - 12 төбе, 20 бет - үшбұрыш.

5. Додекаэдр (додекаэдр) - 20 төбе, 12 бет - бесбұрыш.

Дұрыс көпбұрышқа арналған Эйлер формуласы:

B + G – P =2

Қайда IN -көп қырлы төбелердің саны,

G -көп қырлы беттердің саны,

R -көпбұрыштың шеттерінің саны.

Дөңес көп қырлылардың алуан түрлілігінің ең үлкен практикалық қызығушылықтары:

1) призмалар – бүйір қырлары бір-біріне параллель, ал бүйір беттері параллелограмм болатын көп қырлы;

2) пирамидалар – бүйір қырлары бір нүктеде — шыңында қиылысатын көп қырлылар;

3) призматоидтер – параллель жазықтықта орналасқан және табандары деп аталатын кез келген екі көпбұрышпен шектелген көп қырлылар және төбелері табандарының төбелері болып табылатын үшбұрыштар немесе трапециялар (8.1-сурет).

Көп қырлы және оның кейбір түрлерінің анықтамаларын еске түсірейік.

Көп қырлы -бұл беті шектелген көпбұрыштардан тұратын шектелген дене. Дөңес көп қырлыоны шектейтін көпбұрыштардың әрқайсысының бір жағында жатыр. Көпбұрыштың бетіндегі көпбұрыш оның деп аталады жиегі.Беттердің жақтары деп аталады қабырғаларкөп қырлы, ал беттердің төбелері болады көпбұрыштың төбелері.

Ең қарапайым көп қырлылар - призмалар мен пирамидалар. Призмапризманың табандары деп аталатын екі беті тең және олардың сәйкес қабырғалары параллель, ал қалған беттері параллелограммдар болып табылатын полиэдр, олардың әрқайсысының табандарының сәйкес қабырғалары болып табылатын екі жағы бар.

Призма деп аталады Түзу,егер оның бүйір жиектері негізге перпендикуляр болса.

Түзу призма деп аталады дұрыс,егер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса.

Табаны параллелограмм болатын призманы параллелепипед деп атайды.

Параллелепипед деп аталады тікбұрышты,егер оның барлық беттері тіктөртбұрыштар болса.

Текше -Бұл тікбұрышты параллелепипед, оның барлық шеттері тең, яғни. барлық беттері төртбұрышты.

Мысалы, табаны квадраттар болатын көлбеу призманы бейнелейік.

Алдымен призманың төменгі негізін салайық (жоғарыдан бастауға болады). Параллельді жобалау ережелері бойынша ол бейнеленеді

ерікті параллелограмм А Б С Д(а-сурет). Призманың шеттері параллель болғандықтан, салынған параллелограммның төбелері арқылы өтетін параллель түзулерді саламыз және оларға тең кесінділерді саламыз. AA", BB", SS", BB"",ұзындығы ерікті. Нүктелерді тізбектей қосу А Б С Д»,төртбұрыш аламыз А Б С Д»призманың жоғарғы табанын бейнелейді. Мұны дәлелдеу қиын емес А Б С Д» -параллелограмм параллелограмға тең А Б С Джәне, демек, бізде табандары тең квадраттар, ал қалған беттері параллелограммдар болатын призманың кескіні бар.

Егер табандары шаршы болатын түзу призманы бейнелеу керек болса, онда б-суретте көрсетілгендей бұл призманың бүйір жиектерінің табанға перпендикуляр екенін көрсетуге болады.

Енді пирамиданы ұшақта қалай бейнелеуге болатынын білейік.

Пирамидабір беті (негізі деп аталады) көпбұрыштың қандай да бір түрі, ал қалған беттері (олар бүйірлік деп аталады) ортақ төбесі бар үшбұрыштар болып табылатын көп қырлы деп аталады.

Бүйірлік беттердің ортақ шыңы деп аталады жоғарғыпирамидалар. Пирамиданың төбесінен табанының жазықтығына түсірілген перпендикуляр, сонымен қатар осы перпендикулярдың ұзындығы деп аталады. биіктігіпирамидалар.

Ең қарапайым пирамида үшбұрышты пирамида – тетраэдр. Онда беттердің ең аз саны бар - тек төрт. Оның кез келген бетін тетраэдрді басқа пирамидалардан ерекшелендіретін негіз деп санауға болады.

пирамида деп аталады дұрыс,егер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса және биіктігі осы көпбұрыштың центрі арқылы өтетін болса.

Дұрыс пирамиданы бейнелеу үшін алдымен табанында жатқан дұрыс көпбұрышты сыз, ал оның центрі О нүктесі. . Содан кейін ОЖ тік сегментін салыңыз , пирамиданың биіктігін бейнелейді. ОЖ сегментінің вертикальдылығы сызбаның үлкен анықтығын қамтамасыз ететінін ескеріңіз. Соңында, S нүктесі негіздің барлық шыңдарымен қосылады.

Мысалы, негізі дұрыс алтыбұрыш болатын қалыпты пирамиданы бейнелеп көрейік.

Параллельді дизайн кезінде кәдімгі алтыбұрышты дұрыс бейнелеу үшін келесіге назар аудару керек. Болсын ABCDEF -тұрақты алтыбұрыш. Содан кейін БАРЛЫҚ -тіктөртбұрыш (сурет) және сондықтан параллельді жобалау кезінде ол ерікті параллелограмм ретінде бейнеленеді B"C"E"F".Диагональдан бері ADО нүктесі арқылы өтеді - полигон центрі ABCDEFжәне сегменттерге параллель КүнЖәне ЕФ және АҚ = OD,онда параллельді дизайнмен ол ерікті кесу арқылы бейнеленеді A «D»,нүктесі арқылы өтеді ТУРАЛЫ»параллельді B"C"Және E"F"және одан басқа, А"О" = 0"D".

Осылайша, алтыбұрышты пирамиданың негізін салу реті келесідей (сурет):

Ерікті параллелограмм сызыңыз B"C"E"F"және оның диагональдары; олардың қиылысу нүктесін белгілеңіз ТУРАЛЫ»;

- нүкте арқылы ТУРАЛЫ»параллель түзу сызыңыз B"C"(немесе E"F");

- құрастырылған түзудің еркін нүктесін таңдаңыз А"және нүктені белгілеңіз D"солай 0"D" = А"О"және нүктені қосыңыз А"нүктелермен IN"Және F"және нүкте D"нүктелермен МЕН»Және Е».

Пирамиданың құрылысын аяқтау үшін тік OS кесіндісін салыңыз (оның ұзындығы ерікті түрде таңдалады) және S нүктесін табанның барлық шыңдарына қосыңыз.

Көп қырлыларды қарастыруды аяқтай отырып, олардың Л.Эйлер белгілеген тағы бір қызықты қасиетін атап өтейік.

Эйлер теоремасы. Дөңес көпбұрыш берілсін және В - оның төбелерінің саны, P - қабырғалардың саны, Г - беттердің саны. Сонда кез келген дөңес көп қырлы үшін B + G - P == 2. Мысалы, кәдімгі алтыбұрышты пирамиданың 7 төбесі бар ( B = 7), 12 жиектер (P = 12) және 7 бет (G = 7). Сонда B + G - P = 7 - 12 + 7 = 2. Эйлер теоремасы негізінде дұрыс көп қырлылардың бес және тек бес түрі бар деп қорытынды жасауға болады, яғни. барлық беттері бірдей дұрыс көпбұрыштар және әр төбесінде жиектер саны бірдей болатын осындай дөңес көпбұрыштар. Бұл тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр (сурет).

Текше, шар, пирамида, цилиндр, конус – геометриялық денелер. Олардың ішінде көп қырлылар бар. Көп қырлыбеті шектеулі көпбұрыштардан тұратын геометриялық дене. Осы көпбұрыштардың әрқайсысы көпбұрыштың беті деп аталады, бұл көпбұрыштардың қабырғалары мен төбелері сәйкесінше көпбұрыштың шеттері мен төбелері болып табылады.

Көрші беттер арасындағы екібұрышты бұрыштар, яғни. ортақ жағы бар беттер - көпбұрыштың шеті - сондай-ақ көп қырлылардың екі қырлы ойлары.Көпбұрыштардың бұрыштары – дөңес көпбұрыштың беттері – болады көп қырлылардың жалпақ ойлары.Жазық және екі қырлы бұрыштардан басқа дөңес көпбұрышта да болады көп қырлы бұрыштар.Бұл бұрыштар ортақ төбесі бар беттерді құрайды.

Көп қырлылардың арасында бар призмаларЖәне пирамидалар.

Призма -— беті екі тең көпбұрыш пен табандарының әрқайсысына ортақ қабырғалары бар параллелограммдардан тұратын көпбұрыш.

Екі тең көпбұрыштар деп аталады себептері ggrizmg, ал параллелограммдар оның бүйірлікжиектер. Бүйірлік беттер қалыптасады бүйір бетіпризмалар. Негізінде жатпайтын жиектер деп аталады бүйір қабырғаларыпризмалар.

Призма деп аталады p-көмір,егер оның негіздері i-гон болса. Суретте. 24.6 төртбұрышты призманы көрсетеді ABCDA"B"C"D".

Призма деп аталады Түзу,егер оның бүйір беттері тіктөртбұрыштар болса (24.7-сурет).

Призма деп аталады дұрыс , егер ол түзу болса және табандары дұрыс көпбұрыштар болса.

Төртбұрышты призма деп аталады параллелепипед , егер оның табандары параллелограмм болса.

Параллелепипед деп аталады тікбұрышты,егер оның барлық беттері тіктөртбұрыштар болса.

Параллелепипедтің диагоналыоның қарама-қарсы төбелерін қосатын кесінді болып табылады. Параллелепипедтің төрт диагоналы бар.

Бұл дәлелдендіПараллелепипедтің диагональдары бір нүктеде қиылысады және осы нүкте арқылы екіге бөлінеді. Тік бұрышты параллелепипедтің диагональдары тең.

Пирамидакөпбұрыш болып табылады, оның беті көпбұрыш – пирамида табанынан және пирамиданың бүйір беттері деп аталатын ортақ төбесі бар үшбұрыштардан тұрады. Осы үшбұрыштардың ортақ төбесі деп аталады жоғарғыпирамидалар, жоғарыдан созылған қабырғалар, - бүйір қабырғаларыпирамидалар.

Пирамиданың төбесінен табанына түсірілген перпендикуляр, сондай-ақ осы перпендикулярдың ұзындығы деп аталады. биіктігіпирамидалар.

Ең қарапайым пирамида- үшбұрыштынемесе тетраэдр (24.8-сурет). Үшбұрышты пирамиданың ерекшелігі - кез келген бетті негіз ретінде қарастыруға болады.

пирамида деп аталады дұрыс,егер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса және барлық бүйір қырлары бір-біріне тең болса.

Біз ажыратуымыз керек екенін ескеріңіз дұрыс тетраэдр(яғни, барлық шеттері бір-біріне тең болатын тетраэдр) және тұрақты үшбұрышты пирамида(оның табанында дұрыс үшбұрыш жатыр, ал бүйір жиектері бір-біріне тең, бірақ олардың ұзындығы призманың негізі болып табылатын үшбұрыштың қабырғасының ұзындығынан өзгеше болуы мүмкін).

Айыру дөңесЖәне дөңес емескөп қырлы. Егер сіз дөңес геометриялық дене түсінігін қолдансаңыз, дөңес көпбұрышты анықтауға болады: көп қырлы деп аталады дөңес.егер ол дөңес фигура болса, яғни. оның кез келген екі нүктесімен бірге ол оларды қосатын сегментті де толығымен қамтиды.

Дөңес көпбұрышты басқаша анықтауға болады: көп қырлы деп аталады дөңес,егер ол оны шектейтін көпбұрыштардың әрқайсысының бір жағында толығымен жатса.

Бұл анықтамалар эквивалентті. Біз бұл фактіні дәлелдемейміз.

Осы уақытқа дейін қарастырылған көп қырлылардың барлығы дөңес болды (куб, параллелепипед, призма, пирамида, т.б.). Суретте көрсетілген көп қырлы. 24.9, дөңес емес.

Бұл дәлелдендідөңес көпбұрышта барлық беттер дөңес көпбұрыштар.

Бірнеше дөңес көп қырлыларды қарастырайық (24.1-кесте)

Бұл кестеден барлық қарастырылған дөңес көп қырлылар үшін B - P + теңдігі шығады Г= 2. Бұл кез келген дөңес көпбұрышқа да қатысты екені анықталды. Бұл қасиет алғаш рет Л.Эйлермен дәлелденіп, Эйлер теоремасы деп аталды.

Дөңес көп қырлы деп аталады дұрысегер оның беттері бірдей дұрыс көпбұрыштар болса және әр төбеде бірдей беттер жиналады.

Дөңес көп қырлы бұрыштың қасиетін пайдалана отырып, мұны дәлелдеуге болады Кәдімгі көп қырлылардың бес түрінен артық емес.

Шынында да, егер желдеткіш пен көпбұрыш дұрыс үшбұрыштар болса, онда 3, 4 және 5 бір төбеде жинақталады, өйткені 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Егер полифанның әрбір шыңында үш дұрыс үшбұрыштар жиналса, онда біз аламыз оң қолды тетраэдр,Фетик тілінен аударғанда «тетраэдр» дегенді білдіреді (24.10-сурет, A).

Егер көпбұрыштың әрбір төбесінде төрт дұрыс үшбұрыштар кездессе, онда біз аламыз октаэдр(24.10-сурет, V).Оның беті сегіз дұрыс үшбұрыштан тұрады.

Егер көпбұрыштың әрбір төбесінде бес дұрыс үшбұрыш жиналса, онда біз аламыз икосаэдр(24.10, г-сурет). Оның беті жиырма дұрыс үшбұрыштан тұрады.

Егер полифанның беттері квадрат болса, онда олардың тек үшеуі бір шыңға жақындай алады, өйткені 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдр(24.10-сурет, б).

Егер полифанның жиектері дұрыс бесбұрыштар болса, онда 108° 3 болғандықтан, тек фи бір төбеде жинақталады.< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдр(24.10-сурет, г).Оның беті он екі дұрыс бесбұрыштан тұрады.

Көпбұрыштың беттері алтыбұрышты немесе одан көп болуы мүмкін емес, өйткені алтыбұрыш үшін де 120° 3 = 360° болады.

Геометрияда үш өлшемді евклидтік кеңістікте дұрыс көп қырлылардың тура бес түрі бар екені дәлелденді.

Көпбұрыштың үлгісін жасау үшін оны жасау керек сканерлеу(дәлірек айтқанда, оның бетінің дамуы).

Көпбұрыштың дамуы - бұл көпбұрыштың бетін белгілі бір жиектермен кесіп, осы бетке кіретін барлық көпбұрыштар бір жазықтықта жататын етіп ашса алынатын жазықтықтағы фигура.

Полиэдрдің қай жиектерді кесетінімізге байланысты бірнеше түрлі дамуы мүмкін екенін ескеріңіз. 24.11-суретте кәдімгі төртбұрышты пирамиданың, яғни табанында төртбұрышты және барлық бүйір жиектері бір-біріне тең пирамиданың әртүрлі дамуы болып табылатын фигуралар көрсетілген.

Жазықтықтағы фигура дөңес көпбұрыштың дамуы болуы үшін ол көпбұрыштың ерекшеліктеріне байланысты бірқатар талаптарды қанағаттандыруы керек. Мысалы, суреттегі сандар. 24.12 дұрыс төртбұрышты пирамиданың дамуы емес: суретте көрсетілген. 24.12, А,жоғарғы жағында Мтөрт бет біріктіріледі, бұл қалыпты төртбұрышты пирамидада болмайды; және суретте көрсетілген суретте. 24.12, б,бүйір қабырғалары А БЖәне Күнтең емес.

Жалпы алғанда, полиэдрдің дамуын оның бетін тек шетінен ғана емес кесу арқылы алуға болады. Мұндай текшенің дамуының мысалы суретте көрсетілген. 24.13. Сондықтан, дәлірек айтқанда, көпбұрыштың дамуын осы көпбұрыштың бетін қабаттаспай жасауға болатын жазық көпбұрыш ретінде анықтауға болады.

Айналу денелері

Айналу денесіқандай да бір фигураның (әдетте жазық) түзу айналасында айналуы нәтижесінде алынған дене деп аталады. Бұл сызық деп аталады айналу осі.

Цилиндр- тіктөртбұрышты оның бір қабырғасын айналдыру нәтижесінде алынған эго денесі. Бұл жағдайда көрсетілген тарап болып табылады цилиндр осі.Суретте. 24.14 осі бар цилиндрді көрсетеді OO',тіктөртбұрышты айналдыру арқылы алынады АА"О"Отүзу сызықтың айналасында OO".Ұпайлар ТУРАЛЫЖәне ТУРАЛЫ»- цилиндр негіздерінің орталықтары.

Тіктөртбұрышты оның бір қабырғасын айналдыру нәтижесінде пайда болатын цилиндр деп аталады түзу дөңгелекцилиндр, өйткені оның табандары параллель жазықтықта орналасқан екі тең шеңбер, сондықтан шеңберлердің центрлерін қосатын кесінді осы жазықтықтарға перпендикуляр болады. Цилиндрдің бүйір бетін цилиндр осіне параллель тіктөртбұрыштың бүйір жағына тең сегменттер құрайды.

ТазартуОң жақ дөңгелек цилиндрдің бүйір беті, егер генератрица бойымен кесілген болса, тіктөртбұрыш болады, оның бір жағы генератрицаның ұзындығына, ал екіншісі базалық шеңбердің ұзындығына тең.

Конус- бұл тікбұрышты үшбұрыштың катеттердің бірінің айналасында айналуы нәтижесінде алынған дене.

Бұл жағдайда көрсетілген аяқ қозғалыссыз және шақырылады конустың осі.Суретте. 24.15-суретте осі SO бар конус көрсетілген, SOA тікбұрышты үшбұрышты O бұрышы S0 катетінің айналасында айналдыру арқылы алынған. S нүктесі деп аталады конустың ұшы, ОА- оның табанының радиусы.

Тік бұрышты үшбұрыштың бір катетінің айналасында айналуы нәтижесінде пайда болатын конус деп аталады түзу дөңгелек конусөйткені оның негізі шеңбер, ал оның төбесі осы шеңбердің ортасына проекцияланады. Конустың бүйір беті үшбұрыштың гипотенузасына тең кесінділерден тұрады, олардың айналуы кезінде конус пайда болады.

Егер конустың бүйір беті генатрикс бойымен кесілген болса, онда оны жазықтыққа «бүктеуге» болады. ТазартуОң жақ дөңгелек конустың бүйір беті генератрицаның ұзындығына тең радиусы бар дөңгелек сектор болып табылады.

Цилиндр, конус немесе кез келген басқа айналу денесі айналу осі бар жазықтықты қиып өткенде, ол шығады осьтік қима.Цилиндрдің осьтік қимасы тіктөртбұрыш, конустың осьтік қимасы тең қабырғалы үшбұрыш.

Доп- бұл жарты шеңбердің диаметрі айналасында айналуы нәтижесінде алынған дене. Суретте. 24.16 диаметрі бойынша жарты шеңберді айналдыру арқылы алынған шарды көрсетеді AA».Толық аялдама ТУРАЛЫшақырды доптың ортасы,ал шеңбердің радиусы – шардың радиусы.

Шардың беті деп аталады шар.Шарды жазықтыққа айналдыру мүмкін емес.

Шардың жазықтықтағы кез келген кесіндісі шеңбер болып табылады. Доптың көлденең қимасының радиусы, егер ұшақ доптың ортасынан өтетін болса, ең үлкен болады. Сондықтан шардың центрінен өтетін жазықтықтың кесіндісі деп аталады доптың үлкен шеңбері,және оны шектейтін шеңбер үлкен шеңбер.

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ДЕНЕЛЕРДІҢ ЖАЗАҚТАҒЫ БЕЙНЕСІ

Тегіс фигуралардан айырмашылығы, геометриялық денелерді, мысалы, қағаз парағында дәл бейнелеу мүмкін емес. Дегенмен, жазықтықтағы сызбалардың көмегімен кеңістіктік фигуралардың жеткілікті анық бейнесін алуға болады. Ол үшін мұндай фигураларды жазықтықта бейнелеудің арнайы әдістері қолданылады. Солардың бірі параллельді дизайн.

Жазықтық пен а қиылысатын түзу берілсін А.Кеңістіктегі түзуге жатпайтын еркін А нүктесін алайық А,және біз сізге жол көрсетеміз Xтікелей A",сызыққа параллель А(24.17-сурет). Түзу А"жазықтықты белгілі бір нүктеде қиып өтеді X",деп аталады Х нүктесінің а жазықтығына параллель проекциясы.

Егер А нүктесі түзудің бойында жатса А,содан кейін параллель проекциямен X"түзу болатын нүкте болып табылады Ажазықтықты қиып өтеді А.

Егер нүкте X a жазықтығына, содан кейін нүктеге жатады X"нүктесімен сәйкес келеді X.

Сонымен, егер а жазықтығы мен оны қиып өтетін түзу берілсе А.содан кейін әрбір нүкте Xкеңістікті бір нүктемен байланыстыруға болады А» – нүктенің параллель проекциясы X a жазықтығына (түзу сызыққа параллельді жобалағанда A).Ұшақ Ашақырды проекция жазықтығы.Сызық туралы Аолар үреді дейді дизайн бағыты - ggri ауыстыру тікелей Аоған параллель болатын кез келген басқа тікелей дизайн нәтижесі өзгермейді. Барлық түзулер түзуге параллель А,бірдей дизайн бағытын көрсетіңіз және түзу сызықпен бірге шақырылады Атүзу сызықтарды проекциялау.

Болжамсандар Фжиынтығын шақырыңыз F'барлық нүктелердің проекциясы. Әр нүктені картаға түсіру Xсандар Ф«оның параллель проекциясы нүкте болып табылады X"сандар F",шақырды параллельді дизайнсандар Ф(24.18-сурет).

Нақты объектінің параллель проекциясы оның көлеңкесінің күн сәулесінде тегіс бетке түсуі болып табылады, өйткені күн сәулелерін параллель деп санауға болады.

Параллельді дизайнның бірқатар қасиеттері бар, оларды білу геометриялық денелерді жазықтықта бейнелегенде қажет. Олардың дәлелдерін келтірмей, негізгілерін тұжырымдап көрейік.

24.1 теорема. Параллельді жобалау кезінде жобалық бағытқа параллель емес түзу сызықтар және оларда жатқан сегменттер үшін келесі қасиеттер қанағаттандырылады:

1) түзудің проекциясы – түзу, ал кесіндінің проекциясы – кесінді;

2) параллель түзулердің проекциялары параллель немесе сәйкес келеді;

3) бір түзуде немесе параллель түзулерде жатқан кесінділер проекцияларының ұзындықтарының қатынасы кесінділердің өздерінің ұзындықтарының қатынасына тең.

Бұл теоремадан мыналар шығады салдары:параллель проекциямен кесіндінің ортасы оның проекциясының ортасына проекцияланады.

Геометриялық денелерді жазықтықта бейнелегенде көрсетілген қасиеттердің орындалуын қамтамасыз ету қажет. Әйтпесе, бұл ерікті болуы мүмкін. Осылайша, параллель емес кесінділердің ұзындықтарының бұрыштары мен қатынасы ерікті түрде өзгеруі мүмкін, яғни, мысалы, параллель дизайндағы үшбұрыш ерікті үшбұрыш ретінде бейнеленген. Бірақ егер үшбұрыш теңбүйірлі болса, онда оның медианасының проекциясы үшбұрыштың төбесін қарама-қарсы қабырғасының ортасымен қосу керек.

Кеңістіктік денелерді жазықтықта бейнелеу кезінде тағы бір талапты сақтау керек - олар туралы дұрыс идея жасауға көмектесу.

Мысалы, табандары шаршы болатын көлбеу призманы бейнелеп көрейік.

Алдымен призманың төменгі негізін салайық (жоғарыдан бастауға болады). Параллельді жобалау ережелеріне сәйкес огго ABCD ерікті параллелограмм ретінде бейнеленеді (24.19, а-сурет). Призманың шеттері параллель болғандықтан, салынған параллелограммның төбелері арқылы өтетін параллель түзулер саламыз және олардың үстіне ұзындығы ерікті АА, BB', CC, DD кесінділерін саламыз.Нүктелерді қосу арқылы. A, B, C, D сериялары ", призманың жоғарғы табанын бейнелейтін A" B "C" D төртбұрышын аламыз. Оны дәлелдеу қиын емес. А Б С Д»- параллелограмм параллелограмға тең А Б С Джәне, демек, бізде табандары тең квадраттар, ал қалған беттері параллелограммдар болатын призманың кескіні бар.

Егер сізге табандары квадраттар болатын түзу призманы бейнелеу қажет болса, онда сіз бұл призманың бүйір жиектерінің табанға перпендикуляр екенін көрсете аласыз, бұл суретте көрсетілген. 24.19, б.

Сонымен қатар, суреттегі сурет. 24.19, бдұрыс призманың кескіні деп санауға болады, өйткені оның табаны шаршы - дұрыс төртбұрыш, сонымен қатар тікбұрышты параллелепипед, өйткені оның барлық беттері тіктөртбұрыштар.

Енді пирамиданы ұшақта қалай бейнелеуге болатынын білейік.

Дұрыс пирамиданы бейнелеу үшін алдымен табанында жатқан дұрыс көпбұрышты сал, ал оның центрі нүкте. ТУРАЛЫ.Содан кейін тік сегментті сызыңыз ОЖпирамиданың биіктігін бейнелейді. Сегменттің вертикалдығына назар аударыңыз ОЖсызбаның үлкен анықтығын қамтамасыз етеді. Соңында, S нүктесі негіздің барлық шыңдарымен қосылады.

Мысалы, негізі дұрыс алтыбұрыш болатын қалыпты пирамиданы бейнелеп көрейік.

Параллельді дизайн кезінде кәдімгі алтыбұрышты дұрыс бейнелеу үшін келесіге назар аудару керек. ABCDEF дұрыс алтыбұрыш болсын. Сонда ALLF тіктөртбұрыш (24.20-сурет) және, демек, параллельді жобалау кезінде ол B"C"E"F" ерікті параллелограмм ретінде бейнеленетін болады. AD диагоналы O нүктесі арқылы өтетіндіктен - ABCDEF көпбұрышының центрі және кесінділеріне параллель. BC және EF және AO = OD, онда параллельді дизайнмен ол еркін A «D» сегментімен ұсынылатын болады. , нүктесі арқылы өтеді ТУРАЛЫ»параллель B"C"Және E"F"және одан басқа, A"O" = O"D".

Сонымен, алтыбұрышты пирамиданың негізін салу реті келесідей (24.21-сурет):

§ ерікті параллелограммды бейнеле B"C"E"F"және оның диагональдары; олардың қиылысу нүктесін белгілеңіз O»;

§ нүкте арқылы ТУРАЛЫ»параллель түзу сызыңыз V'S"(немесе E"F');

§ құрастырылған түзудің еркін нүктесін таңдау А"және нүктені белгілеңіз D"солай O"D" = А"О"және нүктені қосыңыз А"нүктелермен IN"Және Ф", және нүкте D" - біргенүктелер МЕН»Және Е».

Пирамиданың құрылысын аяқтау үшін тік кесінді сызыңыз ОЖ(оның ұзындығы ерікті түрде таңдалады) және S нүктесін табанның барлық шыңдарына қосыңыз.

Параллель проекцияда шар радиусы бірдей шеңбер түрінде бейнеленген. Доптың бейнесін көрнекі ету үшін жазықтығы проекция жазықтығына перпендикуляр емес қандай да бір үлкен шеңбердің проекциясын салыңыз. Бұл проекция эллипс болады. Шардың ортасы осы эллипстің ортасымен бейнеленеді (24.22-сурет). Енді сәйкес тіректерді таба аламыз Нжәне S, оларды қосатын кесінді экваторлық жазықтыққа перпендикуляр болған жағдайда. Мұны істеу үшін нүкте арқылы ТУРАЛЫперпендикуляр түзу сызыңыз ABжәне С нүктесін белгілеңіз - бұл түзудің эллипспен қиылысуы; содан кейін С нүктесі арқылы экваторды бейнелейтін эллипске жанама саламыз. қашықтығы дәлелденді СМдоптың ортасынан полюстердің әрқайсысына дейінгі қашықтыққа тең. Сондықтан сегменттерді бір жаққа қою ҚОСУЛЫЖәне ОЖтең СМ,тіректерді аламыз Н және С.

Эллипсті тұрғызу әдістерінің бірін қарастырайық (ол қысу деп аталатын жазықтықты түрлендіруге негізделген): диаметрі бар шеңберді тұрғызып, диаметрге перпендикуляр хордаларды сызыңыз (24.23-сурет). Әрбір аккордтың жартысы екіге бөлінеді және алынған нүктелер тегіс қисық сызықпен біріктіріледі. Бұл қисық эллипс болып табылады, оның негізгі осі сегмент болып табылады AB,және центрі нүкте болып табылады ТУРАЛЫ.

Бұл әдістемені жазықтықта түзу дөңгелек цилиндрді (24.24-сурет) және түзу дөңгелек конусты (24.25-сурет) бейнелеу үшін қолдануға болады.

Тікелей дөңгелек конус осылай бейнеленген. Алдымен олар эллипс – негіз салады, содан кейін табанның центрі – нүктені табады ТУРАЛЫжәне перпендикуляр түзу кесіндісін сызыңыз ОЖол конустың биіктігін көрсетеді. S нүктесінен эллипске жанамалар тартылады (бұл «көзбен», сызғышты қолдану арқылы жасалады) және сегменттер таңдалады. SCЖәне SDбұл S нүктесінен жанама нүктелеріне дейінгі түзулер C және D.сегмент екенін ескеріңіз CDконус табанының диаметрімен сәйкес келмейді.

Полиэдрлер геометрияда көрнекті орын алып қана қоймайды, сонымен қатар әр адамның күнделікті өмірінде кездеседі. Сіріңке қорапшасынан бастап архитектуралық элементтерге дейін әртүрлі көпбұрыш түріндегі жасанды түрде жасалған тұрмыстық бұйымдарды айтпағанда, табиғатта текше (тұз), призма (кристалл), пирамида (шеелит), октаэдр (гауһар) түріндегі кристалдар да кездеседі. ), т.б. d.

Көп қырлы туралы түсінік, геометриядағы көп қырлы түрлері

Геометрия ғылым ретінде көлемдік денелердің сипаттамалары мен қасиеттерін зерттейтін стереометрия бөлімін қамтиды, олардың үш өлшемді кеңістікте жақтары «көп қырлы» деп аталатын шектеулі жазықтықтармен (беттер) қалыптасады. Беттердің саны мен пішіні бойынша ерекшеленетін көп қырлылардың ондаған түрлері бар.

Дегенмен, барлық көп қырлылардың ортақ қасиеттері бар:

1. Олардың барлығында 3 интегралды компонент бар: бет (көпбұрыштың беті), шың (беттердің түйіскен жерінде пайда болатын бұрыштар), жиек (фигураның жағы немесе екі беттің түйіскен жерінде пайда болған сегмент). ).
2. Көпбұрыштың әрбір шеті бір-біріне іргелес жатқан екі, тек екі бетті қосады.
3. Дөңес дегеніміз дененің беттердің бірі жатқан жазықтықтың тек бір жағында толығымен орналасуын білдіреді. Ереже көпбұрыштың барлық беттеріне қолданылады. Стереометрияда мұндай геометриялық фигураларды дөңес көп қырлы деп атайды. Ерекшелік - тұрақты көп қырлы геометриялық денелердің туындысы болып табылатын жұлдызды көп қырлылар.

Көп қырлыларды бөлуге болады:

1. Келесі кластардан тұратын дөңес көп қырлылардың түрлері: кәдімгі немесе классикалық (призма, пирамида, параллелепипед), тұрақты (платондық қатты денелер деп те аталады), жартылай тұрақты (басқа атауы - архимед қатты денелері).
2. Дөңес емес көп қырлылар (жұлдыз тәрізді).

Призма және оның қасиеттері

Стереометрия геометрияның бір саласы ретінде үш өлшемді фигуралардың қасиеттерін, көп қырлылардың түрлерін (олардың арасында призма) зерттейді. Призма - міндетті түрде параллель жазықтықта жатқан екі толық бірдей беттері (оларды табандар деп те аталады) және параллелограммдар түріндегі бүйір беттерінің n-ші саны болатын геометриялық дене. Өз кезегінде, призманың бірнеше сорттары бар, соның ішінде көп қырлы түрлері:

1. Параллелепипед, егер табаны параллелограмм болса – 2 жұп қарама-қарсы бұрыштары мен конгруентті қарама-қарсы қабырғалары бар екі жұп көпбұрыш түзіледі.
2. негізіне перпендикуляр қабырғалары бар.
3. жиектер мен негіз арасында жанама бұрыштардың (90-дан басқа) болуымен сипатталады.
4. Дұрыс призмаға тең бүйір беттер түріндегі табандар тән.

Призманың негізгі қасиеттері:

• Конгруентті негіздер.
• Призманың барлық шеттері тең және бір-біріне параллель.
• Барлық бүйір беттер параллелограмның пішініне ие.

Пирамида

Пирамида – бір табан мен бір нүктеде – шыңда қосылатын үшбұрышты беттердің n-ші санынан тұратын геометриялық дене. Айта кету керек, егер пирамиданың бүйір беттері міндетті түрде үшбұрыштармен бейнеленсе, онда негізде үшбұрышты көпбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш және т.б. ad infinitum болуы мүмкін. Бұл жағдайда пирамиданың атауы негізіндегі көпбұрышқа сәйкес келеді. Мысалы, пирамиданың табанында үшбұрыш болса - бұл төртбұрыш және т.б.

Пирамидалар конус тәрізді көп қырлы. Осы топтағы көп қырлылардың түрлеріне жоғарыда аталғандардан басқа келесі өкілдер де кіреді:

1. оның табанында дұрыс көпбұрыш бар және оның биіктігі табанына сызылған немесе айнала сызылған шеңбердің ортасына проекцияланады.
2. Тік бұрышты пирамида бүйір қырларының бірі негізді тік бұрышпен қиып өткенде пайда болады. Бұл жағдайда бұл жиекті пирамиданың биіктігі деп те атауға болады.

Пирамиданың қасиеттері:

• Егер пирамиданың барлық бүйір жиектері конгруентті болса (бір биіктікте), онда олардың барлығы табанмен бірдей бұрышта қиылысады, ал табанның айналасында центрі төбенің проекциясымен сәйкес келетін шеңбер салуға болады. пирамида.
• Егер пирамиданың табанында дұрыс көпбұрыш жатса, онда барлық бүйір жиектері сәйкес, ал беттері тең қабырғалы үшбұрыштар болады.

Тұрақты көпбұрыш: көп қырлылардың түрлері мен қасиеттері

Стереометрияда беттері абсолютті бірдей геометриялық денелер ерекше орын алады, олардың төбесінде шеттерінің саны бірдей. Бұл денелер платондық қатты денелер немесе дұрыс көп қырлы денелер деп аталады. Осы қасиеттерге ие көп қырлылардың тек бес түрі бар:

1. Тетраэдр.
2. Гексаэдр.
3. Октаэдр.
4. Додекаэдр.
5. Икосаэдр.

Тұрақты көп қырлылар өз атауын ежелгі грек философы Платонға байланысты, ол өз еңбектерінде осы геометриялық денелерді сипаттап, оларды табиғи элементтермен: жер, су, от, ауамен байланыстырады. Бесінші фигура Әлемнің құрылымына ұқсастықпен марапатталды. Оның пікірінше, табиғи элементтердің атомдары кәдімгі көп қырлы пішінде болады. Олардың ең қызықты қасиеті – симметриясының арқасында бұл геометриялық денелер ежелгі математиктер мен философтарды ғана емес, сонымен қатар барлық уақыттағы сәулетшілерді, суретшілерді және мүсіншілерді де қатты қызықтырды. Абсолютті симметриялы көп қырлылардың тек 5 түрінің болуы іргелі олжа болып саналды, олар тіпті құдайлық принциппен байланысты болды.

Гексаэдр және оның қасиеттері

Алтыбұрыш түрінде Платонның ізбасарлары жер атомдарының құрылымымен ұқсастықты қабылдады. Әрине, қазіргі уақытта бұл гипотеза толығымен жоққа шығарылды, бірақ бұл қазіргі замандағы қайраткерлердің эстетикасымен әйгілі қайраткерлердің санасын тартуға кедергі келтірмейді.

Геометрияда текше деп те аталатын гексаэдр параллелепипедтің ерекше жағдайы болып саналады, ол өз кезегінде призманың бір түрі болып табылады. Сәйкесінше, текшенің қасиеттері текшенің барлық беттері мен бұрыштары бір-біріне тең болатын жалғыз айырмашылықпен байланысты. Осыдан келесі қасиеттер шығады:

1. Кубтың барлық шеттері конгруентті және бір-біріне қатысты параллель жазықтықта жатады.
2. Барлық беттер конгруентті квадраттар (текшеде олардың 6-сы бар), олардың кез келгенін негіз ретінде алуға болады.
3. Барлық аралық бұрыштар 90-ға тең.
4. Әрбір шыңның шеттерінің саны бірдей, атап айтқанда 3.
5. Кубта симметрия центрі деп аталатын алты қырлы диагональдарының қиылысу нүктесінде қиылысатын 9 саны бар.

Тетраэдр

Тетраэдр - үшбұрыштар пішінді тең беттері бар тетраэдр, олардың әрқайсысының төбелері үш беттің қосылу нүктесі болып табылады.

Дұрыс тетраэдрдің қасиеттері:

1. Тетраэдрдің барлық беттері - бұл тетраэдрдің барлық беттері сәйкес келетінін білдіреді.
2. Негіз дұрыс геометриялық фигурамен бейнеленгендіктен, яғни оның қабырғалары тең, онда тетраэдрдің беттері бірдей бұрышқа жиналады, яғни барлық бұрыштары тең болады.
3. Әрбір төбедегі жазық бұрыштардың қосындысы 180-ге тең, өйткені барлық бұрыштары тең болғандықтан, дұрыс тетраэдрдің кез келген бұрышы 60-қа тең.
4. Әрбір төбе қарама-қарсы (ортоцентрлік) беттің биіктіктерінің қиылысу нүктесіне проекцияланады.

Октаэдр және оның қасиеттері

Тұрақты көп қырлылардың түрлерін сипаттағанда, көзбен көрнекі түрде негіздерде желімделген екі төртбұрышты дұрыс пирамидалар түрінде бейнелеуге болатын октаэдр сияқты объектіні атап өтуге болмайды.

Октаэдрдің қасиеттері:

1. Геометриялық дененің атының өзі оның беттерінің санын білдіреді. Октаэдр 8 конгруентті теңбүйірлі үшбұрыштан тұрады, олардың әрбір төбесінде беттерінің саны бірдей, атап айтқанда 4 біріктіріледі.
2. Октаэдрдің барлық беттері тең болғандықтан, оның интерфейстік бұрыштары да тең, олардың әрқайсысы 60-қа тең, ал кез келген төбенің жазық бұрыштарының қосындысы осылайша 240-қа тең.

Додекаэдр

Егер геометриялық дененің барлық беттерін дұрыс бесбұрыш деп елестетсек, онда додекаэдр – 12 көпбұрыш фигурасын аламыз.

Додекаэдрдің қасиеттері:

1. Әр шыңда үш бет қиылысады.
2. Барлық беттер бірдей және бірдей жиек ұзындығы, сондай-ақ бірдей аумақ бар.
3. Додекаэдрдің 15 осі мен симметрия жазықтығы бар және олардың кез келгені беттің төбесінен және оған қарама-қарсы жиектің ортасынан өтеді.

Икосаэдр

Додекаэдрден кем қызық емес, икосаэдр фигурасы 20 бірдей беті бар үш өлшемді геометриялық дене. Кәдімгі 20-эдронның қасиеттерінің арасында мыналарды атап өтуге болады:

1. Икосаэдрдің барлық беттері тең қабырғалы үшбұрыштар.
2. Көпбұрыштың әр төбесінде бес бет түйіседі, ал төбенің көршілес бұрыштарының қосындысы 300-ге тең.
3. Икосаэдр, додекаэдр сияқты, қарама-қарсы беттердің ортаңғы нүктелері арқылы өтетін 15 ось және симметрия жазықтығы бар.

Жартылайбұрышты көпбұрыштар

Платондық қатты денелерден басқа дөңес көп қырлылар тобына сонымен қатар кесілген дұрыс көп қырлылар болып табылатын архимед қатты денелері кіреді. Бұл топтағы көп қырлылардың түрлері келесі қасиеттерге ие:

1. Геометриялық денелердің бірнеше типті жұптық тең беттері болады, мысалы, кесілген тетраэдрдің қалыпты тетраэдр сияқты 8 беті бар, бірақ архимед денесі жағдайында 4 беті үшбұрышты, ал 4 - алтыбұрышты болады.
2. Бір төбенің барлық бұрыштары тең.

Көп қырлы жұлдыздар

Геометриялық денелердің көлемді емес түрлерінің өкілдері - беттері бір-бірімен қиылысатын жұлдызды көп қырлылар. Олар екі қалыпты үш өлшемді дененің қосылуы немесе олардың беттерінің ұзаруы нәтижесінде пайда болуы мүмкін.

Осылайша, мұндай жұлдызды көп қырлылар: октаэдрдің, додекаэдрдің, икосаэдрдің, кубоктаэдрдің, икозидодекаэдрдің жұлдызды түрлері деп аталады.

Тетраэдрежелгі грек тетраэдрінен аударылған. Бұл беттері бар ең қарапайым көпбұрыш.

Тетраэдрдің 4 беті, 4 төбесі және 6 қыры бар. Беттері тең қабырғалы үшбұрыштар. Әр шыңда үш бұрыш түйіседі. сомасыосы бұрыштардың әрбір шыңында 180º.



Октаэдр

Грек тілінен аударылған οκτάεδρον (οκτώ - “ сегіз"және έδρα -" негіз«) - сегіз қырлы көп қырлы. Дұрыс октаэдрдің беттері . Октаэдрдің 6 төбесі және 12 қыры бар. Әр шыңда 4 үшбұрыш түйіседі, сондықтан бұрыштардың қосындысыоктаэдрдің әрбір төбесінде 240°.

ТекшеЕжелгі грек тілінен аударылған κύβος2 немесе дұрыс алты қырлы(« тұрақты алтыбұрыш«ежелгі грек тілінен ἑξάς-» алты"және ἕδρα -" орындық, негіз") - бұл әр бетін бейнелейтін тұрақты көпбұрыш.

Бет жағындағы жақтардың саны- 4; беттердің жалпы саны – 6; шыңға іргелес жатқан жиектер саны – 3; шыңдардың жалпы саны – 8; қабырғалардың жалпы саны – 12. Бұрыштардың қосындысыәрбір шыңында 90º + 90º + 90º = 270º

Додекаэдрежелгі грек тілінен δώδεκα - « он екі"және εδρον -" жиегі" Додекаэдр оның беттері болып табылатын он екі дұрыс бесбұрыштан тұрады.

Додекаэдрдің әрбір шыңы төбе болып табылады. Осылайша, додекаэдрдің 12 беті (бесбұрышты), 30 қыры және 20 төбесі (әрқайсысында 3 жиегі біріктіріледі). Бұрыштардың қосындысыәрбір шыңында 108º + 108º + 108º = 324º

Икосаэдрежелгі грек тілінен εἴκοσι » жиырма»; ἕδρον « отыру», « негіз«- дұрыс дөңес көп қырлы, жиырмаэдр. 20 жақтың әрқайсысы тең қабырғалы үшбұрыш.

Жиектер саны - 30, шыңдар саны - 12. Икосаэдрде 59 жұлдыз бар. 1750 жылы Леонгард Эйлер алғаш рет кез келген дөңес көпбұрыштың төбелерінің (В), беттерінің (G) және шеттерінің (P) санын қарапайым қатынас арқылы байланыстыратын формуланы шығарды: B + G = P + 2.

1-кесте

Тұрақты көп қырлыЕжелгі заманнан бері олар ғалымдардың, сәулетшілердің және суретшілердің назарын аударды. Оларды осы көп қырлылардың сұлулығына, кемелдігіне және үйлесімділігіне таң қалдырды.

Леонардо да Винчи көп қырлылар теориясына тәнті болды және оларды жиі өз кенептерінде бейнеледі. Ол монах Лука Пачолидің кітабын суреттеген « Құдайлық пропорция туралы».

Геометрияға қызығушылық танытқан тағы бір танымал суретші Альбрехт Дюрер болды. Оның гравюрасында « Меланхолия«ол додекаэдрдің перспективалық бейнесін берді.

Неміс астрономы және математигі Иоганнес Кеплер өз жұмысында қалыпты көп қырлыларды пайдалана отырып, Күн жүйесінің планеталарының пішіндері мен өлшемдерін басқаратын принципті шығарды. Бұл модель үлгі алды» Ғарыш кубогы» Кеплер.

Сальвадор Далидің әйгілі картинасы » соңғы кешкі ас« тұрақты додекаэдрдің перспективалық бейнесін қамтиды.