Кез келген сандар сияқты логарифмдерді де қосуға, азайтуға және түрлендіруге болады. Бірақ логарифмдер дәл қарапайым сандар емес болғандықтан, мұнда шақырылатын ережелер бар негізгі қасиеттері.
Бұл ережелерді білу өте маңызды - оларсыз ешқандай маңызды логарифмдік мәселені шешу мүмкін емес. Сонымен қатар, олардың саны өте аз - бәрін бір күнде үйренуге болады. Ендеше, бастайық.
Логарифмдерді қосу және азайту
Негіздері бірдей екі логарифмді қарастырайық: log а xжәне журнал а ж... Содан кейін оларды қосуға және азайтуға болады, және:
- журнал а x+ журнал а ж= журнал а (x · ж);
- журнал а x- журнал а ж= журнал а (x : ж).
Сонымен, логарифмдердің қосындысы көбейтіндінің логарифміне тең, ал айырма бөлігінің логарифміне тең. Назар аударыңыз, мұнда негізгі мәселе - бірдей негіздер... Себептер әртүрлі болса, бұл ережелер жұмыс істемейді!
Бұл формулалар логарифмдік өрнекті оның жеке бөліктері есептелмегенде де есептеуге көмектеседі («Логарифм дегеніміз не» сабағын қараңыз). Мысалдарға қараңыз - және қараңыз:
Журнал 6 4 + журнал 6 9.
Логарифмдердің негіздері бірдей болғандықтан, біз қосынды формуласын қолданамыз:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 2 48 - log 2 3.
Негіздер бірдей, біз айырмашылық формуласын қолданамыз:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 3 135 - log 3 5.
Тағы да негіздер бірдей, сондықтан бізде:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Көріп отырғаныңыздай, бастапқы өрнектер бөлек есептелмейтін «жаман» логарифмдерден тұрады. Бірақ түрлендірулерден кейін әбден қалыпты сандар алынады. Көптеген сынақтар осы фактіге негізделген. Бірақ емтиханда қандай бақылау - мұндай өрнектер барлық байыптылықпен (кейде - іс жүзінде өзгермейді) ұсынылады.
Логарифмадан дәреже көрсеткішін алып тастау
Енді тапсырманы сәл күрделендірейік. Логарифмнің негізі немесе аргументі дәрежеге негізделген болса ше? Сонда осы дәреженің көрсеткішін логарифмнің таңбасынан келесі ережелер бойынша шығаруға болады:
Соңғы ереже алғашқы екеуіне сәйкес келетінін көру оңай. Бірақ бәрібір есте сақтау жақсы - кейбір жағдайларда бұл есептеу көлемін айтарлықтай азайтады.
Әрине, егер логарифмнің ODV сақталса, бұл ережелердің бәрі мағынасы бар: а > 0, а ≠ 1, x> 0. Және тағы бір нәрсе: барлық формулаларды солдан оңға қарай ғана емес, сонымен қатар керісінше қолдануды үйреніңіз, яғни. логарифмнің таңбасының алдындағы сандарды логарифмнің өзіне енгізуге болады. Бұл ең жиі талап етілетін нәрсе.
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 7 49 6.
Бірінші формуланы пайдаланып дәлелдегі дәрежеден құтылайық:
журнал 7 49 6 = 6 журнал 7 49 = 6 2 = 12
Тапсырма. Өрнектің мағынасын табыңыз:
[Сурет тақырыбы]
Бөлгіште негізі және аргументі дәл дәрежелер болатын логарифм бар екенін ескеріңіз: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Бізде бар:
[Сурет тақырыбы] Менің ойымша, соңғы мысал кейбір түсініктемелерді қажет етеді. Логарифмдер қайда жоғалып кетті? Соңғы сәтке дейін біз тек бөлгішпен жұмыс істейміз. Біз сол жерде тұрған логарифмнің негізі мен аргументін градус түрінде ұсынып, көрсеткіштерді шығардық – біз «үш қабатты» бөлшекті алдық.
Енді негізгі бөлшекті қарастырайық. Алым мен бөлгіште бірдей сан бар: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 болғандықтан, бөлшекті жоюға болады - бөлгіш 2/4 болып қалады. Арифметика ережелері бойынша төртті алымға көшіруге болады, ол орындалды. Нәтиже келесідей болды: 2.
Жаңа іргетасқа көшу
Логарифмдерді қосу және азайту ережелері туралы айта отырып, мен олардың тек бірдей негіздер үшін жұмыс істейтінін ерекше атап өттім. Себептер әртүрлі болса ше? Егер олар бірдей санның дәл дәрежелері болмаса ше?
Жаңа іргетасқа көшу формулалары көмекке келеді. Оларды теорема түрінде тұжырымдаймыз:
Логарифм лог берілсін а x... Содан кейін кез келген сан үшін всолай в> 0 және в≠ 1, теңдік дұрыс:
[Сурет тақырыбы]
Атап айтқанда, қойсақ в = x, Біз алып жатырмыз:
[Сурет тақырыбы]
Екінші формуладан логарифмнің негізі мен аргументін ауыстыруға болатыны шығады, бірақ бұл жағдайда бүкіл өрнек «кері» болады, яғни. логарифм бөлгіште пайда болады.
Бұл формулалар әдеттегі сандық өрнектерде сирек кездеседі. Олардың қаншалықты ыңғайлы екенін логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде ғана бағалауға болады.
Дегенмен, жаңа іргетасқа көшуден басқа, әдетте шешілмейтін міндеттер бар. Осылардың бірнешеуін қарастырыңыз:
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 5 16 log 2 25.
Екі логарифмнің аргументтері дәл дәрежелерді қамтитынын ескеріңіз. Көрсеткіштерді шығарайық: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Енді екінші логарифмді «аударайық»:
[Сурет тақырыбы]Көбейткіштердің ауыстырылуынан көбейтінді өзгермейтіндіктен, біз төрт пен екіні тыныштықпен көбейттік, содан кейін логарифмдермен айналыстық.
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 9 100 · lg 3.
Бірінші логарифмнің негізі мен аргументі дәл градус болып табылады. Мұны жазып, көрсеткіштерден арылайық:
[Сурет тақырыбы]Енді жаңа негізге көшу арқылы ондық логарифмадан құтылайық:
[Сурет тақырыбы]Негізгі логарифмдік сәйкестік
Көбінесе шешу процесінде санды берілген негізге логарифм ретінде көрсету талап етіледі. Бұл жағдайда формулалар бізге көмектеседі:
Бірінші жағдайда сан nаргументтегі дәреженің көрсеткішіне айналады. Сан nмүлдем кез келген нәрсе болуы мүмкін, өйткені бұл тек логарифмнің мәні.
Екінші формула шын мәнінде қайталанған анықтама болып табылады. Ол былай деп аталады: негізгі логарифмдік сәйкестік.
Шынында да, саны болса не болады бсаны соншалықты күшке босы дәрежеде нөмірді береді а? Дұрыс: сіз дәл осы нөмірді аласыз а... Осы абзацты қайтадан мұқият оқып шығыңыз - көптеген адамдар оған «ілулі».
Жаңа негізге өту формулалары сияқты, негізгі логарифмдік сәйкестік кейде жалғыз мүмкін шешім болып табылады.
Тапсырма. Өрнектің мағынасын табыңыз:
[Сурет тақырыбы]
Log 25 64 = log 5 8 - жай ғана квадратты негізден және логарифм аргументінен жылжытқанына назар аударыңыз. Дәрежелерді бірдей негізге көбейту ережелерін ескере отырып, біз мынаны аламыз:
[Сурет тақырыбы]Егер біреу білмесе, бұл емтиханнан нақты мәселе болды :)
Логарифмдік бірлік және логарифмдік нөл
Қорытындылай келе, мен қасиеттер деп атауға болмайтын екі сәйкестікті беремін - дәлірек айтқанда, олар логарифмді анықтаудың салдары. Олар үнемі мәселелерде кездеседі және таңқаларлық, тіпті «озық» студенттерге де қиындықтар туғызады.
- журнал а а= 1 - логарифмдік бірлік. Бір рет және мәңгі есте сақтаңыз: кез келген негізге логарифм аосы базадан бірге тең.
- журнал а 1 = 0 - логарифмдік нөл. Негіз акез келген болуы мүмкін, бірақ аргумент біреу болса, логарифм нөлге тең! Себебі а 0 = 1 - анықтаманың тікелей салдары.
Міне, барлық қасиеттер. Міндетті түрде оларды іс жүзінде қолдануды үйреніңіз! Сабақтың басында көшірме парағын жүктеп алыңыз, оны басып шығарыңыз және есептерді шешіңіз.
Санның логарифмі Н себеппен а көрсеткіші деп аталады X соған салғыңыз келеді а нөмірін алу үшін Н
Солай болған жағдайда 
,
,
Логарифмнің анықтамасынан шығатыны 
, яғни.
- бұл теңдік негізгі логарифмдік сәйкестік болып табылады.
10 негізі логарифмдер ондық логарифмдер деп аталады. Орнына 
жазу 
.
Негізге логарифмдер e
табиғи деп аталады және белгіленеді 
.
Логарифмдердің негізгі қасиеттері.
Кез келген негіз үшін бірдің логарифмі нөлге тең
Көбейтіндінің логарифмі факторлардың логарифмдерінің қосындысына тең.
3) Бөлімнің логарифмі логарифмдердің айырмасына тең
Фактор 
базадағы логарифмдерден өту модулі деп аталады а
негізіндегі логарифмдерге б
.
2-5 қасиеттерді пайдалана отырып, күрделі өрнектің логарифмін логарифмдер үстіндегі қарапайым арифметикалық амалдар нәтижесіне келтіруге болады.
Мысалы, 
Логарифмнің мұндай түрлендірулері логарифм деп аталады. Логарифмге кері түрлендірулер потенциация деп аталады.
2-тарау. Жоғары математика элементтері.
1. Шектер
Функция шегі 
шекті А саны, егер, сияқты xx
0
әрбір алдын ала белгіленген 
, мұндай сан бар 
сол бір рет 
, содан кейін 
.
Шегі бар функция одан шексіз аз мөлшерде ерекшеленеді: 
, қай жерде b.m.v., яғни. 
.
Мысал. Функцияны қарастырыңыз 
.
Талпынған кезде 
, функциясы ж
нөлге ұмтылады: 
1.1. Шектер туралы негізгі теоремалар.
Тұрақты шаманың шегі осы тұрақты шамаға тең
.
Функциялардың шекті санының қосындысының (айырымы) шегі осы функциялардың шектерінің қосындысына (айырымы) тең.
Функциялардың шекті санының көбейтіндісінің шегі осы функциялардың шектерінің көбейтіндісіне тең.
Екі функцияның бөлгіш шегі нөлге тең болмаса, осы функциялардың шектерінің бөліміне тең.
Керемет шектеулер
,
, қайда 
1.2. Шекті есептеу мысалдары
Дегенмен, барлық шектеулерді есептеу оңай емес. Көбінесе шекті есептеу түрдегі белгісіздікті ашуға дейін төмендейді: 
немесе .
.
2. Функцияның туындысы
Бізге функция болсын 
сегментте үздіксіз 
.
Аргумент 
біраз өсім алды 
... Содан кейін функция өсім алады 
.
Аргумент мәні 
функция мәніне сәйкес келеді 
.
Аргумент мәні 
функциясының мәніне сәйкес келеді.
Демек, .
Осы қатынастың шегін -де табайық 
... Егер бұл шектеу болса, онда ол осы функцияның туындысы деп аталады.
Анықтама 3 Осы функцияның туындысы 
аргумент бойынша 
аргумент өсімі ерікті түрде нөлге ұмтылған кезде функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының шегі деп аталады.
Функцияның туындысы 
келесідей белгіленуі мүмкін:
;
;
;
.
Анықтама 4 Функцияның туындысын табу операциясы деп аталады дифференциация.
2.1. Туындының механикалық мағынасы.
Қандай да бір қатты дененің немесе материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысын қарастырайық.
Бір уақытта рұқсат етіңіз 
қозғалатын нүкте 
қашықтықта болды 
бастапқы позициядан 
.
Белгілі бір уақыттан кейін 
ол қашықтыққа жылжыды 
... Қатынас 
=
- материалдық нүктенің орташа жылдамдығы 
... Осыны ескере отырып, осы қатынастың шегін табайық 
.
Демек, материалдық нүктенің лездік қозғалыс жылдамдығын анықтау уақыт бойынша жолдың туындысын табуға дейін қысқарады.
2.2. Туынды геометриялық шама
Бізде графикалық түрде берілген функция бар делік 
.
Күріш. 1. Туындының геометриялық мағынасы
Егер 
содан кейін көрсетіңіз 
, нүктеге жақындай отырып, қисық бойымен қозғалады 
.
Демек 
, яғни. аргументтің мәні берілген туындының мәні 
осьтің оң бағыты берілген нүктедегі жанама жасаған бұрыштың тангенсіне сандық түрде тең 
.
2.3. Дифференциалдау үшін негізгі формулалар кестесі.
Қуат функциясы
|
|
|
|
|
|
|
Көрсеткіштік функция
|
|
|
|
|
Логарифмдік функция
|
|
|
|
|
Тригонометриялық функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кері тригонометриялық функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Дифференциация ережелері.
Алады 
Функциялар қосындысының (айырымы) туындысы
Екі функцияның туындысының туындысы
Екі функцияның бөліндісінің туындысы
2.5. Күрделі функциядан алынған.
Функция берілсін 
ретінде көрсетуге болатындай
және 
айнымалы 
онда аралық аргумент болып табылады 
Күрделі функцияның туындысы осы функцияның аралық аргументке қатысты туындысының х-ке қатысты аралық аргументтің туындысына көбейтіндісіне тең.
1-мысал. 
2-мысал. 
3. Дифференциалдық функция.
Бар болсын 
кейбір сегментте дифференциалданады 
оны жібер сағ
бұл функцияның туындысы бар
,
сосын жаза аламыз
(1),
қайда 
- шексіз аз мән,
бастап 
Барлық теңдік мүшелерін (1) көбейту 
Бізде бар:
Қайда 
- bm.v. жоғары тәртіп.
Шамасы 
функцияның дифференциалы деп аталады 
және белгіленеді 
.
3.1. Дифференциалдың геометриялық мәні.
Функция берілсін 
.
2-сурет. Дифференциалдың геометриялық мағынасы.
.
Әлбетте, функцияның дифференциалы 
осы нүктедегі жанама ординатасының өсіміне тең.
3.2. Әртүрлі ретті туындылар және дифференциалдар.
Бар болса 
, содан кейін 
бірінші туынды деп аталады.
Бірінші туындының туындысы екінші ретті туынды деп аталады және жазылады 
.
Функцияның n-ші ретті туындысы 
(n-1) -ші ретті туынды деп аталады және жазылады:
.
Функция дифференциалының дифференциалын екінші дифференциал немесе екінші ретті дифференциал деп атайды.
.
.
3.3 Дифференциалдау арқылы биологиялық есептерді шығару.
1-тапсырма. Зерттеулер микроорганизмдер колониясының өсуі заңға бағынатынын көрсетті 
, қайда Н
- микроорганизмдердің саны (мыңмен), т
– Уақыт (күн).
б) Осы кезеңде колонияның көлемі арта ма, әлде азая ма?
Жауап. Колония көлемі өседі.
Тапсырма 2. Патогендік бактериялардың құрамын бақылау үшін көлдегі су кезеңді түрде тексеріледі. қарсы т сынақтан кейін күн өткеннен кейін бактериялардың концентрациясы арақатынасы бойынша анықталады
.
Көлге бактериялардың минималды концентрациясы қашан келеді және онда жүзуге болады?
ШЕШІМ Функция туындысы нөлге тең болғанда макс немесе мин мәнге жетеді.
,
6 күннен кейін макс немесе мин болатынын анықтайық. Ол үшін екінші туындыны аламыз.
Жауап: 6 күннен кейін бактериялардың ең аз концентрациясы болады.
a (a>0, a 1-ге тең емес) негізіне оң b санының логарифмі ac = b болатындай c саны: log ab = c ⇔ ac = b (a> 0, a ≠ 1, b) > 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp
Назар аударыңыз: оң емес санның логарифмі анықталмаған. Сонымен қатар, логарифмнің негізі 1-ге тең емес оң сан болуы керек. Мысалы, егер біз -2-нің квадратын алсақ, 4 санын аламыз, бірақ бұл 4-тің -2 негізіне логарифм 2 дегенді білдірмейді. .
Негізгі логарифмдік сәйкестік
a log a b = b (a> 0, a ≠ 1) (2)Бұл формуланың оң және сол жақтарын анықтау облыстарының әртүрлі болуы маңызды. Сол жағы тек b> 0, a> 0 және a ≠ 1 үшін анықталады. Оң жағы кез келген b үшін анықталған және а-ға мүлде тәуелді емес. Осылайша, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде негізгі логарифмдік «тұлғаны» қолдану GDV-нің өзгеруіне әкелуі мүмкін.
Логарифмді анықтаудың екі айқын салдары
log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a> 0, a ≠ 1) (4)
Шынында да, а санын бірінші дәрежеге көтергенде, біз бірдей сан аламыз, ал нөлдік дәрежеге көтергенде, біз бір сан аламыз.
Көбейтіндінің логарифмі және бөліндінің логарифмі
log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (5)Log a b c = log a b - log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (6)
Мен мектеп оқушыларын логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде бұл формулаларды ойланбай қолданудан сақтандырғым келеді. Оларды «солдан оңға қарай» пайдаланғанда ODZ тарылады, ал логарифмдердің қосындысынан немесе айырмасынан көбейтіндінің немесе үлестің логарифміне өткенде, ОДВ кеңейеді.
Шынында да, log a (f (x) g (x)) өрнегі екі жағдайда анықталады: екі функция да қатаң оң болғанда немесе f (x) және g (x) екеуі де нөлден кіші болғанда.
Бұл өрнекті log a f (x) + log a g (x) қосындысына түрлендіре отырып, біз тек f (x)> 0 және g (x)> 0 болған жағдаймен шектелуіміз керек. Рұқсат етілген мәндер диапазонының тарылуы бар және бұл мүлдем қолайсыз, өйткені бұл шешімдердің жоғалуына әкелуі мүмкін. Ұқсас мәселе (6) формула үшін де бар.
Дәрежені логарифм таңбасының сыртында көрсетуге болады
log a b p = p log a b (a> 0, a ≠ 1, b> 0) (7)Мен тағы да дәлдікке шақырғым келеді. Келесі мысалды қарастырыңыз:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Теңдіктің сол жағы f (x) нөлден басқа барлық мәндер үшін анықталғаны анық. Оң жағы тек f (x)> 0 үшін! Логарифмнің дәрежесін алып, біз қайтадан ОДВ-ны тарылтамыз. Кері процедура жарамды мәндер ауқымын кеңейтеді. Бұл ескертулердің барлығы тек 2-дәрежеге ғана емес, сонымен қатар кез келген біркелкі дәрежеге де қатысты.
Жаңа базаға көшу формуласы
log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1) (8)Бұл түрлендіру кезінде ODV өзгермейтін сирек жағдай. Егер c түбірін орынды таңдаған болсаңыз (оң және 1-ге тең емес), жаңа түбір формуласына көшу толығымен қауіпсіз.
Жаңа с негізі ретінде b санын таңдасақ, (8) формуланың маңызды ерекше жағдайын аламыз:
Log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) (9)
Логарифмдермен бірнеше қарапайым мысалдар
Мысал 1. Есептеңіз: lg2 + lg50.
Шешім. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Логарифмдердің қосындысы формуласын (5) және ондық логарифмнің анықтамасын қолдандық.
2-мысал. Есептеңіз: lg125 / lg5.
Шешім. lg125 / lg5 = log 5 125 = 3. Жаңа негізге (8) өту үшін формуланы қолдандық.
Логарифмдерге қатысты формулалар кестесі
| a log a b = b (a> 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a> 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) |
| log a b c = log a b - log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) |
| log a b p = p log a b (a> 0, a ≠ 1, b> 0) |
| log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) |
Оның анықтамасынан туындады. Сонымен, санның логарифмі бсебеппен асанды көтеру керек дәрежесінің көрсеткіші ретінде анықталады анөмірін алу үшін б(Тек оң сандарда логарифм болады).
Бұл тұжырымнан есеп шығады x = log a b, теңдеуді шешуге тең a x = b.Мысалы, журнал 2 8 = 3себебі 8 = 2 3 ... Логарифмнің тұжырымдалуы, егер екенін дәлелдеуге мүмкіндік береді b = a c, содан кейін санның логарифмі бсебеппен атең бірге... Логарифмдерді қабылдау тақырыбы да санның дәрежесі тақырыбымен тығыз байланысты екені анық.
Логарифмдермен, кез келген сандар сияқты, сіз жасай аласыз қосу, азайту амалдарыжәне барлық мүмкін жолмен түрлендіру. Бірақ логарифмдер өте қарапайым сандар емес болғандықтан, мұнда арнайы ережелер қолданылады, олар аталады негізгі қасиеттері.
Логарифмдерді қосу және азайту.
Негіздері бірдей екі логарифмді алайық: x журналыжәне log a y... Содан кейін жою және қосу және азайту амалдарын орындауға болады:
log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).
журнал а(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = x журналы 1 + x журналы 2 + x журналы 3 + ... + log a x k.
бастап үлестік логарифм теоремасылогарифмнің тағы бір қасиетін алуға болады. Ол журналға белгілі а 1 = 0, сондықтан
журнал а 1 /б= журнал а 1 - журнал а б= - журнал а б.
Сонымен теңдік орын алады:
log a 1 / b = - log a b.
Өзара кері екі санның логарифмдерібірдей негізде бір-бірінен тек белгісі бойынша ерекшеленетін болады. Сонымен:
Log 3 9 = - log 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.
Логарифмдерді қосу және азайту
Логарифмдердің негізгі қасиеттері
Кез келген сандар сияқты логарифмдерді де қосуға, азайтуға және түрлендіруге болады. Бірақ логарифмдер дәл қарапайым сандар емес болғандықтан, мұнда шақырылатын ережелер бар негізгі қасиеттері.
Бұл ережелерді білу өте маңызды - оларсыз ешқандай маңызды логарифмдік мәселені шешу мүмкін емес. Сонымен қатар, олардың саны өте аз - бәрін бір күнде үйренуге болады. Ендеше, бастайық.
Негіздері бірдей екі логарифмді қарастырайық: log а хжәне журнал а ж... Содан кейін оларды қосуға және азайтуға болады, және:
1.log a x + log a y = log a (x y);
2.log a x - log a y = log a (x: y).
Сонымен, логарифмдердің қосындысы көбейтіндінің логарифміне тең, ал айырма бөлігінің логарифміне тең. Назар аударыңыз, мұнда негізгі мәселе - бірдей негіздер... Себептер әртүрлі болса, бұл ережелер жұмыс істемейді!
Бұл формулалар логарифмдік өрнекті оның жеке бөліктері есептелмегенде де есептеуге көмектеседі («Логарифм дегеніміз не» сабағын қараңыз). Мысалдарға қараңыз - және қараңыз:
Өрнектің мағынасын табыңыз: журнал 6 4 + журнал 6 9.
Логарифмдердің негіздері бірдей болғандықтан, біз қосынды формуласын қолданамыз:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Өрнектің мағынасын табыңыз: журнал 2 48 - журнал 2 3.
Негіздер бірдей, біз айырмашылық формуласын қолданамыз:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Өрнектің мағынасын табыңыз: журнал 3 135 - журнал 3 5.
Тағы да негіздер бірдей, сондықтан бізде:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Көріп отырғаныңыздай, бастапқы өрнектер бөлек есептелмейтін «жаман» логарифмдерден тұрады. Бірақ түрлендірулерден кейін әбден қалыпты сандар алынады. Көптеген сынақтар осы фактіге негізделген. Бірақ емтиханда қандай бақылау - мұндай өрнектер барлық байыптылықпен (кейде - іс жүзінде өзгермейді) ұсынылады.
Енді тапсырманы сәл күрделендірейік. Логарифмнің негізі немесе аргументі дәрежеге негізделген болса ше? Сонда осы дәреженің көрсеткішін логарифмнің таңбасынан келесі ережелер бойынша шығаруға болады:
1.лог a x n = nЖурнал а х;
3. 
Соңғы ереже алғашқы екеуіне сәйкес келетінін көру оңай. Бірақ бәрібір есте сақтау жақсы - кейбір жағдайларда бұл есептеу көлемін айтарлықтай азайтады.
Әрине, егер логарифмнің ODV сақталса, бұл ережелердің бәрі мағынасы бар: а > 0, а ≠ 1, x> 0. Және тағы бір нәрсе: барлық формулаларды солдан оңға қарай ғана емес, сонымен қатар керісінше қолдануды үйреніңіз, яғни. логарифмнің таңбасының алдындағы сандарды логарифмнің өзіне енгізуге болады. Бұл ең жиі талап етілетін нәрсе.
Өрнектің мағынасын табыңыз: журнал 7 49 6.
Бірінші формуланы пайдаланып дәлелдегі дәрежеден құтылайық:
журнал 7 49 6 = 6 журнал 7 49 = 6 2 = 12
Өрнектің мағынасын табыңыз:
Бөлгіште негізі мен аргументі дәл дәрежелер болатын логарифм бар екенін ескеріңіз: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Бізде бар:
Менің ойымша, соңғы мысал кейбір түсініктемелерді қажет етеді. Логарифмдер қайда жоғалып кетті? Соңғы сәтке дейін біз тек бөлгішпен жұмыс істейміз. Біз сол жерде тұрған логарифмнің негізі мен аргументін градус түрінде ұсынып, көрсеткіштерді шығардық – біз «үш қабатты» бөлшекті алдық.
Жүктелуде...
