- Жүйелер м сызықтық теңдеулербірге nбелгісіз.
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу- бұл сандар жиыны ( x 1 , x 2 , …, x n), жүйенің әрбір теңдеуіне ауыстырған кезде дұрыс теңдік алынады.
Қайда a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— жүйелік коэффициенттер;
b i , i = 1, …, m- бос мүшелер;
x j , j = 1, …, n- белгісіз.
Жоғарыдағы жүйені матрицалық түрде жазуға болады: A X = B,
қайда ( А|Б) жүйенің негізгі матрицасы болып табылады;
А— кеңейтілген жүйе матрицасы;
X— белгісіздер бағаны;
Б— бос мүшелер бағаны.
Егер матрица Бонда ∅ нөлдік матрица емес бұл жүйесызықтық теңдеулер біртекті емес деп аталады.
Егер матрица Б= ∅ болса, онда бұл сызықтық теңдеулер жүйесі біртекті деп аталады. Біртекті жүйенің әрқашан нөлдік (тривиальды) шешімі болады: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Сызықтық теңдеулердің бірлескен жүйесішешімі бар сызықтық теңдеулер жүйесі болып табылады.
Сызықтық теңдеулер жүйесі сәйкес келмейтіншешілмейтін сызықтық теңдеулер жүйесі болып табылады.
Белгілі бір сызықтық теңдеулер жүйесібірегей шешімі бар сызықтық теңдеулер жүйесі болып табылады.
Анықталмаған сызықтық теңдеулер жүйесіШешімдерінің шексіз саны бар сызықтық теңдеулер жүйесі болып табылады. - n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесі
Егер белгісіздер саны теңдеулер санына тең болса, онда матрица квадрат болады. Матрицаның анықтаушысы сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі анықтаушысы деп аталады және Δ белгісімен белгіленеді.
Крамер әдісіжүйелерді шешуге арналған nбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз.
Крамер ережесі.
Егер сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі анықтаушысы нөлге тең болмаса, онда жүйе дәйекті және анықталған болады және жалғыз шешім Крамер формулалары арқылы есептеледі:
мұндағы Δ i – жүйенің негізгі анықтауышынан Δ ауыстыру арқылы алынған анықтауыштар. мен th бағанынан бос мүшелер бағанына. . - n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесі
Кронеккер – Капелли теоремасы.
Берілген сызықтық теңдеулер жүйесі дәйекті болуы үшін жүйелік матрицаның дәрежесі жүйенің кеңейтілген матрицасының рангіне тең болуы қажет және жеткілікті, диагностика(Α) = диагностика(Α|B).
Егер қоңырау(Α) ≠ қоңырау(Α|B), онда жүйеде шешімдер жоқ екені анық.
Егер диагностика(Α) = диагностика(Α|B), онда екі жағдай мүмкін:
1) дәреже(Α) = n(белгісіздер саны) - шешім бірегей және оны Крамер формулалары арқылы алуға болады;
2) дәреже (Α)< n - Шешімдер шексіз көп. - Гаусс әдісісызықтық теңдеулер жүйесін шешуге арналған
Кеңейтілген матрицаны құрайық ( А|Б) белгісіздер мен оң жақтардың коэффициенттерінен берілген жүйенің.
Гаусс әдісі немесе белгісіздерді жою әдісі кеңейтілген матрицаны азайтудан тұрады ( А|Б) диагональды түрге (жоғарғы үшбұрышты пішінге) жолдар арқылы элементар түрлендірулерді қолдану. Теңдеулер жүйесіне оралсақ, барлық белгісіздер анықталады.
TO элементарлық түрлендірулержолдардың үстінде мыналар бар:
1) екі жолды ауыстырыңыз;
2) жолды 0-ден басқа санға көбейту;
3) ерікті санға көбейтілген жолға басқа жолды қосу;
4) нөлдік сызықты шығару.
Диагональды түрге келтірілген кеңейтілген матрица берілгенге эквивалентті сызықтық жүйеге сәйкес келеді, оның шешімі қиындық тудырмайды. . - Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі.
Біртекті жүйенің формасы бар:
соған сәйкес келеді матрицалық теңдеу A X = 0.
1) Біртекті жүйе әрқашан сәйкес келеді, өйткені r(A) = r(A|B), әрқашан нөлдік шешім бар (0, 0, …, 0).
2) Біртекті жүйенің нөлдік емес шешімі болуы үшін қажет және жеткілікті r = r(A)< n , ол Δ = 0-ге тең.
3) Егер r< n , онда анық Δ = 0, сонда бос белгісіздер пайда болады c 1 , c 2 , …, c n-r, жүйенің тривиальды емес шешімдері бар және олардың шексіз көптігі бар.
4) Жалпы шешім Xсағ r< n матрицалық түрде келесідей жазуға болады:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
шешімдер қайда X 1, X 2, …, X n-rшешімдердің іргелі жүйесін құрайды.
5) Шешімдердің іргелі жүйесін мына жерден алуға болады жалпы шешімбіртекті жүйе:
,
егер параметр мәндерін ретімен (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) тең етіп орнатсақ.
Шешімдердің іргелі жүйесі тұрғысынан жалпы шешімнің кеңеюііргелі жүйеге жататын шешімдердің сызықтық комбинациясы түріндегі жалпы шешімнің жазбасы болып табылады.
Теорема. Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесінің нөлдік емес шешімі болуы үшін Δ ≠ 0 болуы қажет және жеткілікті.
Демек, анықтауыш Δ ≠ 0 болса, жүйенің бірегей шешімі болады.
Егер Δ ≠ 0 болса, онда сызықтық біртекті теңдеулер жүйесі шешімдерінің шексіз санына ие болады.
Теорема. Біртекті жүйенің нөлге тең емес шешімі болуы үшін бұл қажет және жеткілікті r(A)< n .
Дәлелдеу:
1) rартық болуы мүмкін емес n(матрицаның рангі бағандар немесе жолдар санынан аспайды);
2) r< n , өйткені Егер r = n, онда жүйенің негізгі анықтаушысы Δ ≠ 0 және Крамер формулалары бойынша бірегей тривиальды шешім бар. x 1 = x 2 = … = x n = 0, бұл шартқа қайшы келеді. білдіреді, r(A)< n .
Салдары. Біртекті жүйе үшін nбар сызықтық теңдеулер nбелгісіздердің нөлдік емес шешімі болды, Δ = 0 болуы қажет және жеткілікті.
Жауап: Крамер әдісі сызықтық теңдеулер жүйесін шешуде анықтауыштарды қолдануға негізделген. Бұл шешім процесін айтарлықтай жылдамдатады.
Анықтама. Белгісіз коэффициенттерден тұратын анықтауыш жүйенің анықтауышы деп аталады және (дельта) белгіленеді.
Детерминанттар
сәйкес белгісіздердің коэффициенттерін бос мүшелермен ауыстыру арқылы алынады:
;
.
Белгісіздерді табу үшін Крамер формулалары:
.
және мәндерін табу тек қана мүмкін болады
Бұл тұжырым келесі теоремадан туындайды.
Крамер теоремасы. Жүйенің анықтауышы нөлге тең емес болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесінің бір бірегей шешімі бар, ал белгісізі анықтауыштардың қатынасына тең болады. Бөлгіште жүйенің анықтауышы болады, ал алымда осы белгісіздің коэффициенттерін бос мүшелермен ауыстыру арқылы жүйенің анықтауышынан алынған анықтауыш болады. Бұл теорема кез келген ретті сызықтық теңдеулер жүйесіне қатысты.
Мысал 1. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз:
Крамер теоремасы бойынша бізде:
Сонымен, (2) жүйенің шешімі:
9.жиындардағы амалдар. Виен диаграммалары.
Эйлер-Венн диаграммалары жиындардың геометриялық кескіндері болып табылады. Диаграмманың құрылысы әмбебап U жиынын бейнелейтін үлкен тіктөртбұрышты, ал оның ішінде жиындарды бейнелейтін шеңберлерді (немесе кейбір басқа жабық фигураларды) салудан тұрады. Фигуралар ең көп қиылысуы керек жалпы жағдайтапсырмада талап етіледі және сәйкес таңбалануы керек. Диаграмманың әртүрлі аймақтарының ішінде жатқан нүктелерді сәйкес жиындардың элементтері ретінде қарастыруға болады. Құрылған диаграмма арқылы жаңадан пайда болған жиындарды көрсету үшін белгілі бір аумақтарды көлеңкелеуге болады.
Жиын операциялары бұрыннан барлардан жаңа жиындарды алу үшін қарастырылады.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі — А, В жиындарының кем дегенде біреуіне жататын барлық элементтерден тұратын жиын (1-сурет):
Анықтама. А және В жиындарының қиылысы - бұл А жиынына да, В жиынына да бір уақытта жататын барлық элементтерден және тек сол элементтерден тұратын жиын (2-сурет):
Анықтама. А және В жиындарының айырмашылығы - В құрамында жоқ барлық және тек А элементтерінің жиыны (3-сурет):
Анықтама. А және В жиындарының симметриялық айырмасы - бұл жиындардың тек А жиынына немесе тек В жиынына жататын элементтерінің жиыны (4-сурет):
11. бейнелеу (функция), анықтау облысы, салыстыру кезіндегі жиындардың кескіндері, функция мәндерінің жиыны және оның графигі.
Жауап: E жиынынан F жиынына салыстыру немесе F-дегі мәндері бар E-де анықталған функция әрбір элементке белгілі бір элемент тағайындайтын f ережесі немесе заңы болып табылады.
Элемент тәуелсіз элемент немесе f функциясының аргументі, элемент f функциясының мәні немесе кескін деп аталады; бұл жағдайда элемент элементтің алдын ала кескіні деп аталады.
Салыстыру (функция) әдетте f әрпімен немесе таңбамен белгіленеді, бұл f E жиынын Fмен салыстыратынын көрсетеді. Белгі x элементінің f(x) элементіне сәйкес келетінін көрсететін белгі де қолданылады. Кейде сәйкестік заңы бар теңдік арқылы функцияны анықтау ыңғайлы. Мысалы, «f функциясы теңдікпен анықталады» деп айтуға болады. Егер «y» F жиынының элементтерінің жалпы атауы болса, яғни F = (y), онда салыстыру y = f(x) теңдігі ретінде жазылады және бұл салыстыру нақты көрсетілген деп айтамыз.
2. Берілген картадағы жиынның кескіні және кері бейнесі
Карта мен жиын берілсін.
Әрқайсысы f салыстыру астындағы D элементінің кем дегенде бір элементінің бейнесі болып табылатын F-тен элементтер жиыны D жиынының кескіні деп аталады және f(D) арқылы белгіленеді.
Әлбетте, .
Енді жиын берілсін.
, болатындай элементтер жиыны f салыстыру астындағы Y жиынының кері кескіні деп аталады және f -1 (Y) арқылы белгіленеді.
Егер, онда. Әрқайсысы үшін f -1 (y) жиыны ең көбі бір элементтен тұратын болса, онда f E-ден F-ге бір-бір салыстыру деп аталады. Дегенмен, f-ның бір-бір салыстыруын анықтауға болады. Е жиынын F.
Дисплей деп аталады:
Егер , немесе f(x) = y теңдеуінің ең көбі бір шешімі болса, инъекциялық (немесе инъекция немесе E жиынын F ішіне бір-бірден салыстыру);
Егер f(E) = F және f(x) = y теңдеуінің кем дегенде бір шешімі болса, суръективті (немесе сюръекция немесе E жиынын F-ге түсіру);
Биективті (немесе бижекция немесе Е жиынын F-ге бір-бірден салыстыру), егер ол инъекциялық және сюрьективті болса немесе f(x) = y теңдеуінің бір және жалғыз шешімі болса.
3. Карталардың суперпозициясы. Кері, параметрлік және жасырын салыстыру
1) және болсын. болғандықтан, g салыстыру әрбір элементке белгілі бір элементті тағайындайды.
Осылайша, әрбір элемент ереже арқылы тағайындалады
Бұл жаңа картаны анықтайды (немесе жаңа мүмкіндік), біз оны салыстыру композициясы немесе салыстырулардың суперпозициясы немесе күрделі бейнелеу деп атаймыз.
2) Биективті бейнелеу және F = (y) болсын. f биективтілігіне байланысты әрқайсысы х бірлік кескініне сәйкес келеді, біз оны f -1 (y) деп белгілейміз және f(x) = y. Осылайша, f бейнелеуге кері функция немесе f функциясының кері функциясы деп аталатын кескіндеу анықталады.
Әлбетте, f салыстыру f -1 салыстыруға кері. Сондықтан f және f -1 салыстырулары өзара кері деп аталады. Олар үшін қарым-қатынастар жарамды
және осы салыстырулардың кем дегенде біреуі, мысалы, биективті. Содан кейін кері бейнелеу бар, бұл дегеніміз - .
Осы жолмен анықталған салыстыру салыстырулар арқылы параметрлік түрде анықталған деп аталады; ал бастап айнымалысы параметр деп аталады.
4) Жиында нөл элементі бар жиында салыстыру анықталсын. Әрбір тіркелген теңдеу үшін бірегей шешімі бар жиындар бар деп есептейік. Содан кейін E жиынында әрқайсысына берілген x үшін теңдеудің шешімі болатын мәнді тағайындайтын салыстыруды анықтауға болады.
Осылайша анықталған картаға қатысты
теңдеу арқылы жанама түрде беріледі деп айтылады.
5) Салыстыруды салыстырудың жалғасы деп атайды, ал g - f, егер және болса, салыстырудың шектеуі.
Жиынға салыстыруды шектеу кейде таңбамен белгіленеді.
6) Дисплей графы – жиын
Бұл түсінікті.
12. монотонды функциялар. Кері функция, болмыс теоремасы. y=arcsinx y=arcos x x функциялары мен графиктері.
Жауабы: Монотонды функция деп өсімі таңбасын өзгертпейтін функцияны айтады, яғни ол әрқашан теріс емес немесе әрқашан оң емес функция. Егер қосымша өсу нөлге тең болмаса, онда функция қатаң монотонды деп аталады.
Интервалда анықталған f(x) функциясы болсын
содан кейін олар сегментте айтады
Бұл анықтама мен сегменттің толған-толмау анықтамасы арасындағы айырмашылыққа назар аударыңыз
Әдетте, кері функция туралы айтқанда, олар х-ті у-мен, у-ді х(x "y)-мен ауыстырады және y=f (-1) (x) деп жазады. Бастапқы f(x) функциясы мен кері f (-1) (x) функциясы қатынасты қанағаттандыратыны анық.
f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.
Бастапқы және кері функциялардың графиктері бір-бірінен бірінші ширектің биссектрисасына қатысты айна бейнесі арқылы алынады.
Теорема. f(x) функциясы анықталған, үзіліссіз және аралықта қатаң монотонды өсетін (кемімелі) болсын. Сонда кесіндіде кері функция f (-1) (x) анықталады, ол да үздіксіз және қатаң монотонды түрде өседі (кемітеді).
Дәлелдеу.
f(x) қатаң монотонды өсетін жағдай үшін теореманы дәлелдейміз.
1. Кері функцияның болуы.
Теореманың шарттары бойынша f(x) үзіліссіз болғандықтан, алдыңғы теорема бойынша кесінді толығымен толтырылады. Бұл дегеніміз.
x бірегей екенін дәлелдейік. Шынында да, егер x’>x алсақ, онда f(x’)>f(x)=y, демек f(x’)>y. Егер біз x'' алсақ 2. Кері функцияның монотондылығы. Кәдімгі x «y ауыстыруын жасап, y= f (-1) (x) деп жазайық. Бұл x=f(y) дегенді білдіреді. x 1 >x 2 болсын. Содан кейін: y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1) y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2) y 1 және y 2 арасында қандай байланыс бар? Мүмкін нұсқаларды тексеріп көрейік. а) y 1 ә) y 1 = y 2? Бірақ содан кейін f(y 1)=f(y 2) және x 1 =x 2 және бізде x 1 >x 2 болды. c) Жалғыз опция қалды - y 1 >y 2, яғни. Бірақ содан кейін f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), және бұл f (-1) (...) қатаң монотонды түрде өсетінін білдіреді. 3. Кері функцияның үзіліссіздігі. Өйткені кері функцияның мәндері бүкіл сегментті толтырады, содан кейін алдыңғы теорема бойынша f (-1) (...) үздіксіз болады.< <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);"> <="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">
<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> 13.функциялардың құрамы. Элементарлы функциялар. y=arctg x, y = arcctg x функциялары, олардың қасиеттері мен графиктері. Жауап: Математикада функциялардың құрамы (функциялардың суперпозициясы) деп бір функцияның екіншісінің нәтижесіне қолданылуын айтады. G және F функцияларының құрамы әдетте G∘F деп белгіленеді, ол G функциясының F функциясының нәтижесіне қолданылуын білдіреді. F:X→Y және G:F(X)⊂Y→Z екі функция болсын. Сонда олардың құрамы теңдікпен анықталатын G∘F:X→Z функциясы болады: (G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X. Элементар функциялар - бұл арифметикалық амалдардың шектеулі санын және келесі негізгі элементар функциялардан құрамдарды пайдаланып алуға болатын функциялар: Әрбір элементар функцияны формуламен, яғни қолданылатын амалдарға сәйкес келетін белгілердің соңғы санының жиынымен көрсетуге болады. Барлық элементар функциялар анықтау облысында үздіксіз болады. Кейде негізгі элементар функцияларға гиперболалық және кері гиперболалық функциялар да жатады, дегенмен оларды жоғарыда аталған негізгі элементар функциялар арқылы көрсетуге болады. <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> Екінші ретті анықтауыш
және ережеге сәйкес есептеледі Сандар Үшінші ретті анықтауыш ұғымы да осылай енгізіледі. Үшінші ретті анықтауыш
таңбамен бейнеленетін сан болып табылады және ережеге сәйкес есептеледі Элементтер арқылы құрылған диагональ Теңдіктің (1) оң жағындағы қандай өнімдер « белгісімен алынғанын есте сақтау үшін 4-ші, 5-ші және т.б. қатарлардың анықтауыш ұғымын енгізуге болады. Кәмелетке толмаған
Алгебралық толықтауыш
Анықтауыштардың қасиеттері. Анықтауыштың жолдары мен бағандары ауыстырылса, оның мәні өзгермейді. Қарастырылып отырған операция транспозиция деп аталады. Мүлік 1 анықтауыштың жолдары мен бағандарының теңдігін белгілейді. 1-тапсырма.Детерминанттарды есептеңіз: 2-тапсырма.Детерминанттарды бірінші бағанның элементтеріне бөлу арқылы есептеңіз: 1)
3-тапсырма.Табу 1)
мен) Екі белгісізі бар екі сызықты біртекті емес теңдеулер жүйесі белгілейік а) Жүйенің анықтауышы болса б) Жүйенің анықтауышы болса 1)
2) анықтауыштардың ең болмағанда біреуі болса II) Үш айнымалысы бар екі сызықты біртекті теңдеулер жүйесі сызықтық теңдеу деп аталады біртекті
, егер бұл теңдеудің бос мүшесі нөлге тең болса. ал егер б) шарт болса III) Үш белгісізі бар үш сызықты біртекті емес теңдеулер жүйесі: Негізгі анықтауышты құрастырып есептейік ал егер б) Егер 1)
2) анықтауыштардың ең болмағанда біреуі IV) Үш белгісізі бар үш сызықты біртекті теңдеулер жүйесі: Бұл жүйе әрқашан дәйекті, өйткені оның нөлдік шешімі бар. а) Жүйенің анықтауышы болса б) Егер 4-тапсырма.Теңдеулер жүйесін шешу Шешім.Жүйенің анықтауышын есептейік Өйткені 5-тапсырма.Теңдеулер жүйесін шешу Шешім.Жүйенің детерминантын есептейік: Демек, біртекті теңдеулер жүйесінің нөлдік емес шешімдері шексіз көп. Алғашқы екі теңдеу жүйесін шешеміз (үшінші теңдеу – олардың нәтижесі): Айнымалыны жылжытайық Осы жерден (1) формулаларды қолданып аламыз Өз бетінше шешілетін мәселелер 6-тапсырма.Теңдеулер жүйесінің анықтауыштарын пайдаланып шешу: 1)
2)
3)
4) 5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Матрица - сандардан тұратын төртбұрышты кесте. 2 ретті квадрат матрица берілсін: Берілген матрицаға сәйкес келетін 2 ретті анықтауыш (немесе анықтауыш) сан болып табылады Матрицаға сәйкес 3-ші ретті анықтауыш (немесе анықтауыш) сан болып табылады 1-мысал: және матрицаларының анықтауыштарын табыңыз Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі 3 белгісізі бар 3 сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін Жүйені (1) матрицалық-векторлық түрде жазуға болады мұндағы А – коэффициент матрицасы B – кеңейтілген матрица X – қажетті құрамдас вектор; Екі белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін: Екі және үш белгісіздері бар сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер формулалары арқылы шешуді қарастырайық. Теорема 1. Егер жүйенің негізгі анықтаушысы нөлден өзгеше болса, онда жүйенің шешімі бар және бірегей. Жүйенің шешімі мына формулалармен анықталады: мұндағы x1, x2 теңдеулер жүйесінің түбірлері, Жүйенің негізгі анықтауыштары х1, х2 көмекші анықтауыштар. Көмекші квалификациялар: Крамер әдісімен үш белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесін шешу. Үш белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін: Теорема 2. Егер жүйенің негізгі анықтаушысы нөлден өзгеше болса, онда жүйенің шешімі бар, және бірегей. Жүйенің шешімі мына формулалармен анықталады: мұндағы x1, x2, x3 теңдеулер жүйесінің түбірлері, Жүйенің негізгі анықтаушысы, x1, x2, x3 көмекші анықтауыштар. Жүйенің негізгі детерминанты анықталады: Көмекші квалификациялар: 1. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері 1.1. Матрица және екінші ретті анықтауыш туралы түсінік
m ерікті саны бар тікбұрышты сандар кестесі жолдар мен бағандардың ерікті саны матрица деп аталады. Белгілеу үшін матрицалар қос тік жолақтарды немесе дөңгелектерді пайдаланады жақшалар. Мысалы: 28 20 18 28 20 18 Егер матрицаның жолдарының саны оның бағандарының санына сәйкес келсе, онда матрица шаршы деп аталады. Матрицаны құрайтын сандар оны атайды элементтері. Төрт элементтен тұратын шаршы матрицаны қарастырайық: (3.1) матрицаға сәйкес екінші ретті анықтауыш, --ға тең сан және таңбамен белгіленеді Сонымен, анықтама бойынша Берілген анықтауыштың матрицасын құрайтын элементтер әдетте болады осы анықтауыштың элементтері деп аталады. Келесі мәлімдеме дұрыс: анықтауыш үшін екінші рет нөлге тең болды, бұл қажет және жеткілікті оның жолдарының элементтері (немесе, сәйкесінше, бағандары) болды пропорционалды. Бұл тұжырымды дәлелдеу үшін әрқайсысын атап өту жеткілікті / = / және / = / пропорцияларынан = теңдігіне, ал соңғы теңдігі күш (3.2) анықтауыштың жойылуына эквивалентті. 1.2. Екі белгісіз екі сызықтық теңдеулер жүйесі
Екінші ретті анықтауыштардың қалай қолданылатынын көрсетейік көмегімен екі сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу және шешімін табу екі белгісіз (бұл жағдайда коэффициенттер мен бос терминдер қарастырылады берілген). Еске салайық, сандар жұбы (3.3) жүйенің шешімі деп аталады, егер бұл сандарды орнына және берілген жүйеге ауыстыру екеуі де айналады (3.3) теңдеуін сәйкестендірулер. (3.3) жүйенің бірінші теңдеуін --ға, екіншісін --ға көбейту алынған теңдіктерді қосып, аламыз Сол сияқты (3.3) теңдеулерді --ға және сәйкесінше көбейту арқылы Келесі белгілерді енгізейік: = , = , = . (3.6) Осы белгілерді және екіншінің анықтауыш өрнекін пайдалану шама реті бойынша (3.4) және (3.5) теңдеулерін келесі түрде қайта жазуға болады: Белгісіздер үшін коэффициенттерден құралған анықтауыш (3.3) жүйесі әдетте шақырылады бұл жүйенің детерминанты. байқа, бұл анықтауыштар және жүйенің анықтауышынан ауыстыру арқылы алынады оның бірінші немесе екінші бағандары тиісінше еркін шарттар бойынша. Екі жағдай туындауы мүмкін: 1) жүйенің анықтауышы басқаша нөл; 2) бұл анықтауыш нөлге тең. Алдымен 0 жағдайын қарастырайық. (3.7) теңдеулерден бірден аламыз деп аталатын белгісіздерге арналған формулалар Крамер формулалары: Алынған Крамер формулалары (3.8) (3.7) және жүйенің шешімін береді сондықтан олар бастапқы жүйеге (3.3) шешімнің бірегейлігін дәлелдейді. Өте шын мәнінде (3.7) жүйе (3.3) жүйенің салдары болып табылады, сондықтан кез келген (3.3) жүйесінің шешімі (егер ол бар болса!) болуы керек шешім және жүйе (3.7). Демек, әзірге бұл түпнұсқа жүйе болса, дәлелденді (3.3) 0-де шешім бар, онда бұл шешім бірегей түрде анықталады Крамер формулалары (3.8). Шешімнің бар-жоғын тексеру оңай, яғни. бұл 0 екіде сандар және Крамер формулаларымен анықталады (3.8). киінуде белгісіздерді (3.3) теңдеулерге орналастырыңыз, бұл теңдеулерді сәйкестікке айналдырыңыз. (Анықтауыштардың өрнектерін жазуды оқырманға қалдырамыз, және осы сәйкестіктердің жарамдылығын тексеріңіз.) Келесі қорытындыға келеміз: егер жүйенің анықтауышы (3.3) нөлден өзгеше болса, онда бар, және, оның үстіне, мұның жалғыз шешімі Крамер формулаларымен анықталған жүйе (3.8). Енді жүйенің анықтауышы тең болған жағдайды қарастырайық нөл. Олар өздерін таныстыра алады екі ішкі регистр: а) анықтауыштардың кем дегенде біреуі немесе, нөлден айырмашылығы; б) анықтауыштардың екеуі де нөлге тең. (егер анықтауыш және екі анықтауыштың біреуі нөлге тең болса, осы екеуінің екіншісі анықтауыштары нөлге тең. Іс жүзінде, мысалы, = 0 = 0 болсын, яғни. / = / және / = /. Сонда осы пропорциялардан мынаны аламыз /= /, яғни = 0). a) тармақшасында теңдіктердің кем дегенде біреуі мүмкін емес болып шығады (3.7), яғни (3.7) жүйенің шешімдері жоқ, сондықтан шешімдері жоқ және бастапқы жүйе (3.3) (оның салдары жүйе (3.7)). b) ішкі регистрінде (3.3) бастапқы жүйеде шексіз жиын бар шешімдер. Шын мәнінде, === 0 теңдіктерінен және бөлім соңындағы мәлімдемеден. 1.1 (3.3) жүйенің екінші теңдеуі біріншісінің салдары деген қорытындыға келеміз және оны тастауға болады. Бірақ екі белгісізі бар бір теңдеу шексіз көп шешімдері бар (коэффиценттердің кем дегенде біреуі немесе нөлден ерекшеленеді және онымен байланысты белгісізді анықтауға болады (3.9) теңдеу басқа белгісіздің ерікті берілген мәні арқылы). Сонымен, (3.3) жүйенің анықтауышы нөлге тең болса, онда Жүйенің (3.3) де шешімдері мүлдем жоқ (егер кем дегенде біреуі анықтауыштары немесе нөлден өзгеше) немесе есептелмейтін жиыны бар шешімдер (== 0 болған жағдайда). Соңғы жағдайда екі теңдеу (3.3) біреуімен алмастыруға болады және оны шешкенде бір белгісізді сұрауға болады ерікті түрде. Түсініктеме. Бос мүшелер және нөлге тең болған жағдайда, сызықтық (3.3) жүйесі деп аталады біртекті. Біртекті жүйе екенін ескеріңіз әрқашан тривиальды деп аталатын шешімге ие: = 0, = 0 (осы екі сан біртекті теңдеулердің екеуін де сәйкестікке айналдырыңыз). Егер біртекті жүйенің анықтауышы нөлден өзгеше болса, онда бұл жүйенің тривиальды шешімі ғана бар. Егер = 0 болса, онда біртекті жүйеде сансыз шешімдер бар(сол үшін біртекті жүйе, шешімдердің болмауы мүмкіндігі жоққа шығарылады). Сонымен жол, біртекті жүйенің тривиальды емес шешімі бар оның анықтауышы нөлге тең болған жағдайда. 1.3. Үшінші ретті анықтауыштар
Тоғыз элементтен тұратын шаршы матрицаны қарастырайық Үшінші ретті анықтауыш, (3.10) матрицасына сәйкес сан мынаған тең: және таңбамен белгіленеді Сонымен, анықтама бойынша Екінші ретті анықтауыш жағдайындағыдай (3.10) матрицаның элементтері болады. қоңырау шалу анықтауыштың элементтері. Оның үстіне келісейік элементтерден құралған диагональды атаңыз және, негізгі, және диагональ, элементтерден құралған және - жағы. Үшін өрнекке енген терминдердің құрылысын еске түсіру анықтауыш (3.11), үлкенді қажет етпейтін келесі ережені көрсетеміз зейін мен есте сақтаудың күйзелісі. Ол үшін ол құрастырылған матрицаға өтіңіз анықтауыш, бірінші, содан кейін екінші бағанды қайтадан оңға қосыңыз. IN алынған матрица тұтас сызық параллель алынған үш үштік мүшелерді қосады негізгі диагональді жылжыту арқылы және енгізілген үш мүшеге сәйкес келеді (3.11) қосу белгісі бар өрнек; үшеуі нүктелі сызықпен қосылған жағын параллель тасымалдау арқылы алынған мүшелердің басқа үштіктері диагональдары және (3.11) өрнектегі үш мүшеге сәйкес минус белгісі. 1.4. Анықтауыштардың қасиеттері
Мүлік 1. Егер және сызықтары болса, анықтауыштың мәні өзгермейді осы анықтауыштың бағандарының рөлдерін өзгерту, яғни. Бұл қасиетті дәлелдеу үшін анықтауыштарды жазып алу жеткілікті, Бөлімде көрсетілгендей (3.13) сол және оң жағында орналасқан. 1.3 ереже және алынған шарттар тең екеніне көз жеткізіңіз. Сипат 1 жиыны толық теңдікжолдар мен бағандар. Сондықтан анықтауыштың барлық әрі қарай қасиеттерін екі жол үшін де тұжырымдауға болады бағандар үшін және дәлелдеу үшін - тек жолдар үшін немесе тек бағандар үшін. Мүлік 2. Екі жолды (немесе екі бағанды) қайта реттеу анықтауыш оны -1 санына көбейтуге тең. Дәлел де алдыңғы айтылған ережеден келеді 3-қасиет. Егер анықтауышта екі бірдей жол (немесе екі бірдей бағандар), онда ол нөлге тең. Шынында да, екі бірдей жолды қайта реттегенде, біреуінен бір жағынан анықтауыш өзгермейді, бірақ екінші жағынан 2-қасиетке байланысты ол таңбаны керісінше өзгертеді. Осылайша, = -, яғни. 2 = 0 немесе = 0. Сипат 4. Кейбір жолдың барлық элементтерін көбейту (немесе анықтауыштың кейбір бағандары) санға көбейтуге тең осы сан үшін анықтаушы. Басқаша айтқанда, белгілі бір жолдың барлық элементтерінің ортақ факторы Осының белгісі ретінде анықтауыштың (немесе кейбір бағанын) алынуы мүмкін анықтауыш. Мысалы, Бұл қасиетті дәлелдеу үшін мынаны атап өту жеткілікті анықтауыш қосынды түрінде өрнектеледі (3.12), оның әрбір мүшесі әрбір жолдан бір ғана және бір ғана элементті қамтиды әр бағаннан бір элемент. Сипат 5. Егер кейбір жолдың барлық элементтері (немесе кейбір баған) анықтауыштың нөлге тең, онда анықтауыштың өзі нөлге тең. Бұл қасиет алдыңғысынан (бар =
0). Сипат 6. Элементтер екі жол (немесе екі баған) болса анықтауыштар пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең. Іс жүзінде 4-қасиетке байланысты пропорционалдық коэффициенті болуы мүмкін анықтауыштың таңбасынан тыс шығарылады, одан кейін анықтауыш екімен қалады 3 қасиеті бойынша нөлге тең бірдей сызықтар. 7-қасиет. Егер n-ші жолдың (немесе n-ші бағанның) әрбір элементі анықтауыш – екі мүшенің қосындысы, содан кейін анықтауыш екі анықтауыштың қосындысы ретінде көрсетуге болады, біріншісі n-ші жолда (немесе n-ші бағанда) аталғандардың біріншісі бар терминдер және бастапқы анықтауыш сияқты элементтер, қалғандарында жолдар (бағандар), ал екінші анықтауыштың n-ші жолда (n-ші) баған) аталған терминдердің екінші және сол сияқты элементтері бастапқы анықтауыш, қалған жолдарда (бағандарда). Мысалы, Бұл қасиетті дәлелдеу үшін тағы да атап өту жеткілікті анықтауыш терминдердің қосындысы ретінде көрсетіледі, олардың әрқайсысы әрбір жолдан бір және бір ғана элементті және бір ғана элементті қамтиды әрбір бағандағы элемент. Сипат 8. Егер кейбір жолдың элементтері (немесе кейбір баған) анықтауыш басқаның сәйкес элементтерін қосады жолдар (басқа бағанның) ерікті коэффициентке көбейтілген, содан кейін анықтауыштың мәні өзгермейді. Шынында да, көрсетілген қосу нәтижесінде алынған анықтауыш (7 қасиет арқылы) екінің қосындысына бөлінуі мүмкін анықтауыштар, олардың біріншісі бастапқымен сәйкес келеді, ал екіншісі тең екі жолдың (немесе бағандардың) элементтерінің пропорционалдылығына байланысты нөл және қасиеттері 6. 1.5. Алгебралық толықтауыштар мен кішілер
(3.12) өрнекте анықтауыш үшін құрамындағы терминдерді жинайық осы анықтауыштың кез келген бір элементін алып, көрсетілген элементті алып тастаңыз жақшалардан тыс; жақшада қалған шама деп аталады алгебралық толықтауышкөрсетілген элемент. Берілген элементтің алгебралық толықтауышын белгілейміз берілген элементпен аттас бас латын әрпі, және берілген элементпен бірдей санды көрсетіңіз. Мысалы, элементтің алгебралық толықтауышы алгебралық арқылы белгіленеді элементті қосу – арқылы және т.б. Анықтауыштың (3.12) өрнектен тікелей және бұл фактісінен (3.12) оң жағындағы әрбір мүше бір және бір ғана элементті қамтиды әрбір жолдан (әр бағаннан) келесі теңдіктер шығады: Бұл теңдіктер анықтауыштың келесі қасиетін білдіреді: анықтауыш кез келген қатардың элементтерінің көбейтінділерінің қосындысына тең (кез келген бағанның) сәйкес алгебралық қосындыларға осы жолдың элементтері (осы баған). Теңдіктер (3.14) әдетте аталады анықтауыштың кеңеюіАвторы тиісінше бірінші, екінші немесе үшінші жолдың элементтері және теңдіктер (3.15) - анықтауыштың кеңеюібіріншісінің элементтеріне сәйкес, тиісінше, екінші немесе үшінші баған. Енді маңызды ұғымды енгізейік кәмелетке толмағананықтауыштың осы элементінің Кәмелетке толмаған n-ші ретті анықтауыштың берілген элементінің (біздің жағдайда n = 3) берілгеннен алынған (n-1)-ші ретті анықтауыш қиылысында сол жолды және сол бағанды сызып тастау арқылы анықтауыш бұл элементтің құны. Анықтауыштың кез келген элементінің алгебралық толықтауышы тең егер сандардың қосындысы болса, мұндай «плюс» арқылы қабылданған осы элементтің миноры осы элементтің қиылысында тұрған жол мен баған болып табылады сан жұп, әйтпесе минус таңбасы бар. Осылайша, сәйкес алгебралық толықтауыш пен минор белгісі бойынша ғана ерекшеленуі мүмкін. Төмендегі кесте қай белгі туралы нақты түсінік береді Сәйкес алгебралық толықтауыш пен минор байланысты: Белгіленген ереже (3.14) және (3.15) формулаларында кеңейтуге мүмкіндік береді алгебралық элементтердің орнына барлық жерде жолдар мен бағандар элементтерін анықтаушы толықтырулар сәйкес кәмелетке толмағандарды жазады (қажетті белгісімен). Мысалы, кеңейтуді беретін формулалардың біріншісі (3.14). бірінші жолдың элементтері бойынша анықтауыш пішінді қабылдайды Қорытындылай келе, келесі негізгі қасиетті белгілейік анықтауыш. Қасиет 9. Кез келген баған элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы элементтердің сәйкес алгебралық толықтауыштарының анықтауышы осы (басқа) бағанның мәні осы анықтауыштың мәніне тең (нөлге тең). Әрине, ұқсас сипат жолдарға қолданылғанда да дұрыс болады анықтауыш. Алгебралық қосындылар мен элементтер болған жағдай жоғарыда талқыланған бірдей бағанға сәйкес келеді. Дәлелдеу қалды кез келген бағанның элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы сәйкес келетіні басқа бағанның элементтерінің алгебралық толықтауышы нөлге тең. Мысалы, бірінші немесе элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы екенін дәлелдеп көрейік үшінші баған нөлге тең. Біз кеңейтуді беретін үшінші формуладан (3.15) бастаймыз үшінші бағанның элементтері бойынша анықтауыш: Өйткені алгебралық қосындылар мен үшінші бағанның элементтері жоқ элементтердің өзіне тәуелді және осы баған, содан кейін теңдікте (3.17) сандар, және ерікті сандармен ауыстырылуы мүмкін және сол жақта сақтай отырып (3.17) бөлімінде анықтауыштың алғашқы екі бағанасы, ал оң жағында – шамалар, және алгебралық толықтырулар. Осылайша, кез келген үшін, және теңдігі дұрыс: Енді (3.18) теңдігінде, және алдымен элементтерін, және бірінші баған, содан кейін элементтер, ал екінші баған және берілген 3 қасиетіне байланысты сәйкес келетін екі бағаналы анықтауыш тең нөл, біз келесі теңдіктерге келеміз: Бұл бірінші немесе элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы екенін дәлелдейді екінші баған элементтердің сәйкес алгебралық толықтауыштарына үшінші баған нөлге тең: Теңдіктер осылай дәлелденеді: және бағандарға емес, жолдарға қатысты сәйкес теңдіктер: 2. Үш белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесі 2.1. Үш белгісіздегі үш сызықтық теңдеулер жүйесі
нөлден басқа анықтауыш.
Жоғарыда сипатталған теорияны қолдану ретінде жүйені қарастырыңыз үш белгісізі бар үш сызықтық теңдеу: (коэффициенттер, , және бос терминдер берілген деп есептеледі). Сандардың үш еселігі (3.19) жүйесінің шешімі деп аталады, егер бұлар ауыстырылса сандар орнында, жүйеге (3.19) барлық үш теңдеуді (3.19) түрлендіреді сәйкестіктер. Келесі төртеуі болашақта негізгі рөл атқарады: анықтаушы: Анықтауыш әдетте жүйенің анықтауышы деп аталады (3.19) (ол белгісіздер үшін коэффициенттерден тұрады). Анықтауыштар, және жүйенің анықтауышынан оларды бостармен алмастыру арқылы алынады тиісінше бірінші, екінші және үшінші бағандар элементтерінің мүшелері. (3.19) жүйеден белгісіздерді алып тастау үшін теңдеулерді көбейтеміз (3.19) бірінші элементтерінің алгебралық толықтауыштарына сәйкес жүйенің анықтауышының бағаны, содан кейін алынған нәтижені қосыңыз теңдеулер Нәтижесінде біз аламыз: Берілген бағанның элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы екенін ескере отырып элементтердің сәйкес алгебралық толықтауыштарының анықтауышы осы (басқа) баған анықтауышқа (нөлге) тең (9 сипатты қараңыз), 0,
++= 0. Сонымен қатар, анықтауышты бірінші бағанның элементтеріне ыдырату арқылы формула алынады: (3.21) және (3.22) формулаларын пайдаланып, теңдік (3.20) келесідей қайта жазылады. келесі (белгісіздерді қамтымайды) нысанда: Теңдіктері = және Осылайша, теңдеулер жүйесі = , = , = екенін анықтадық бастапқы жүйенің салдары болып табылады (3.19). Болашақта біз бөлек қарастырамыз екі жағдай: 1) жүйе детерминанты кезде нөл емес, 2) бұл анықтауыш кезде нөлге тең. Сонымен, 0 болсын. Сонда (3.23) жүйеден шақырылған белгісіздердің формулаларын бірден аламыз Крамер формулалары: Біз алған Крамер формулалары (3.23) және жүйенің шешімін береді сондықтан олар бастапқы жүйеге (3.19) шешімнің бірегейлігін дәлелдейді, өйткені (3.23) жүйе (3.19) жүйенің салдары және жүйенің кез келген шешімі (3.19) да (3.23) жүйенің шешімі болуы керек. Сонымен, егер бастапқы жүйе (3.19) үшін бар екенін дәлелдедік 0 ерітіндісі, онда бұл шешім Крамер формулаларымен бірегей түрде анықталады Шешім шынымен бар екенін дәлелдеу үшін біз қажет олардың мәндерін x, y және z үшін бастапқы жүйеге (3.19) ауыстырыңыз, Крамер формулаларымен (3.24) анықталады және үшеуі де бар екеніне көз жеткізіңіз (3.19) теңдеулер сәйкестендіруге айналады. Мысалы, соған көз жеткізейік бірінші теңдеу (3.19) х мәндерін ауыстырғанда сәйкестендіруге айналады, y және z, Крамер формулаларымен анықталады (3.24). Соны ескере отырып (2.19) теңдеулердің біріншісінің сол жағына мәндерді қою арқылы аламыз, және, Крамер формулаларымен анықталады: Бұйра жақша ішінде A, A2 және A3-ке қатысты терминдерді топтастыру, біз мынаны аламыз: Соңғы теңдіктегі 9-қасиетке байланысты екі шаршы жақша да тең нөл, ал жақша анықтауышқа тең. Осылайша біз ++ аламыз Ал (3.19) жүйенің бірінші теңдеуінің сәйкестікке түрлендіруі орнатылды. Сол сияқты, екінші және үшінші тұлғаның конверсиясы белгіленеді теңдеулер (3.19). Келесі қорытындыға келеміз: егер жүйенің анықтауышы (3.19) нөлден өзгеше болса, онда бар, және, оның үстіне, бұл үшін бірегей шешім жүйесі, Крамер формулаларымен анықталады (3.24). 2.2. Үш белгісіздегі екі сызықтық теңдеулердің біртекті жүйесі
Осы және бөлімде анықтауышы нөлге тең біртекті емес жүйені (3.19) қарастыруға қажетті аппаратты әзірлейміз. Алдымен екі сызықтық теңдеулердің біртекті жүйесін қарастырайық үш белгісіз: Мен құладым болуы мүмкін үш екінші ретті анықтауыш матрицадан құрастыру нөлге тең, содан кейін бөлімнің мәлімдемесі бойынша. Біріншісінің 1.1 коэффициенттері (3.25) теңдеулер сәйкес коэффициенттерге пропорционал осы теңдеулердің екіншісі. Демек, бұл жағдайда екінші теңдеу (3.25) біріншінің салдары болып табылады және оны жоюға болады. Бірақ бір теңдеу үш белгісіз ++= 0 табиғи түрде шексіз санға ие шешімдер (екі белгісізге ерікті мәндер тағайындалуы мүмкін, және теңдеуден үшінші белгісізді анықтаңыз). Енді қашан (3.25) жүйесін қарастырайық кем дегенде біреуі матрицадан тұратын екінші ретті анықтауыштар(3.26), тамаша нөлден.Жалпылықты жоғалтпай, оның нөлден айырмашылығы бар деп есептейміз анықтауыш 0 Сонда (3.25) жүйені пішінде қайта жаза аламыз және әрбір z үшін бұл үшін бірегей шешім бар екенін бекітіңіз Крамер формулаларымен анықталған жүйе (1.2-бөлімді, формулаларды (3.8) қараңыз): анықтауыштың үшінші жолы: Секция нәтижелеріне байланысты. 1.5 алгебралық қосындылар мен арасындағы байланыс туралы кәмелетке толмағандар жазуға болады (3.29) негізінде формулаларды (3.28) түрінде қайта жаза аламыз Пішінде шешімді алу үшін, симметриялы барлық белгісіздерге қатысты x, y және z, біз орнаттық (3.27) анықтауыш нөлден өзгеше). Өйткені z кез келген қабылдай алады мәндері, содан кейін жаңа айнымалы t кез келген мәнді қабылдай алады. деген қорытындыға келеміз (3.27) анықтауыш нөлден өзгеше болған жағдайда, біртекті жүйеде (3.25) формулалармен анықталған шешімдердің шексіз саны болады. онда t кез келген мәндерді қабылдайды және алгебралық толықтырулар жәнеформулалар арқылы анықталады (3.29). 2.3. Үш белгісіздегі үш сызықтық теңдеулердің біртекті жүйесі
Енді үшеуі бар үш теңдеуден тұратын біртекті жүйені қарастырайық белгісіз: Әлбетте, бұл жүйеде әрқашан тривиальды деп аталатын нәрсе бар шешімі: x = 0, y = 0, z = 0. Жүйенің детерминанты болған жағдайда бұл тривиальды шешім бірегей болып табылады (2.1-бөлімге байланысты). Оны дәлелдеп көрейік анықтауыш нөлге тең болған жағдай, біртекті (3.32) жүйесінде шешімдердің шексіз саны бар. Құрауға болатын барлық екінші ретті анықтауыштар болса нөлге тең, содан кейін бөлімнің мәлімдемесі бойынша. 1.1 қатысты барлық үш теңдеудің коэффициенттері (3.32) пропорционал. Бірақ содан кейін екіншісі ал үшінші теңдеу (3.32) біріншінің салдары болып табылады және болуы мүмкін жойылады және бір теңдеу ++= 0 Бөлімде атап өтілгендей. 2.2, бар сансыз шешімдер. Қашан болған жағдайды қарастыру қалады кем дегенде бір кәмелетке толмағанматрицалар (3,33) нөлден өзгеше. Теңдеулер мен белгісіздердің реті болғандықтан біздің қолымызда, демек, жалпылықты жоғалтпай, біз жасай аламыз бөлім 2.2, алғашқы екі теңдеу жүйесінде (3.32) сансыз (3.31) формулаларымен анықталған шешімдер жиыны (кез келген t үшін). (3.31) формулаларымен анықталатын х, у, z болатынын дәлелдеу керек. кез келген t болса, үшінші (3.32) теңдеу де сәйкестендіруге түрленеді. Ауыстыру үшінші теңдеудің сол жағы (3.32) x, y және z формулаларымен анықталған (3.31), аламыз Біз 9-қасиетке байланысты раундтағы өрнекті пайдаландық жақшадағы жүйенің анықтауышына тең (3.32). Бірақ шарт бойынша анықтаушы нөлге тең, сондықтан кез келген t үшін ++= 0 аламыз. Демек, бұл дәлелденді біртекті жүйе (3.32) анықтауышы А. нөлге тең, шешімдерінің шексіз саны бар. Егер нөлден өзгеше болса минор (3.27), онда бұл шешімдер (3.31) үшін формулалармен анықталады ерікті түрде алынған т. Алынған нәтижені келесі түрде де тұжырымдауға болады: біртекті (3.32) жүйенің тривиальды емес шешімі бар, тек және егер оның анықтауышы нөлге тең болғанда. 2.4. Үш сызықты теңдеулердің біртекті емес жүйесі
анықтауышы нөлге тең белгісіздер.
Қазір бізде біртекті емес деп есептейтін аппарат бар жүйесі (3.19) анықтауышы нөлге тең. Екеуі өзін таныстыра алады жағдай: а) анықтауыштардың ең болмағанда біреуі немесе - нөлден өзгеше; б) үшеуі де анықтауыш және нөлге тең. а) (3.23) теңдіктерінің ең болмағанда біреуі мүмкін емес болып шыққан жағдайда, яғни (3.23) жүйеде шешімдер жоқ, демек түпнұсқа жүйесі (3.19) (оның салдары жүйе (3.23)). Барлық төрт анықтауыш b) жағдайын қарастыруға көшейік ,
, және нөлге тең. Бұл жағдайда да оны көрсететін мысалдан бастайық жүйенің жалғыз шешімі болмауы мүмкін. Жүйені қарастырыңыз: Бұл жүйенің шешімі жоқ екені анық. Шын мәнінде, егер шешімі бар болса, онда алғашқы екі теңдеуден біз аламыз және осы жерден бірінші теңдікті 2-ге көбейтсек, 2 = 3 шығады. Әрі қарай, төрт анықтауыштың барлығы да айқын ,
, және нөлге тең. Шынымен, жүйенің анықтаушысы үш бірдей баған бар, анықтауыштары және ауыстыру арқылы алынады осы бағандардың бірі тегін шарттар ретінде және, демек, екеуі бар бірдей бағандар. 3-қасиеттің арқасында бұл анықтауыштардың барлығы нөлге тең. Енді соны дәлелдеп көрейік егер жүйе (3.19) анықтауышы тең нөлдің кем дегенде бір шешімі болса, онда оның шексіз саны болады әртүрлі шешімдер. Көрсетілген жүйенің шешімі бар деп есептейік. Содан кейін сәйкестіктер жарамды (3.34) теңдеулерін (3.19) мүшелер бойынша азайтып, біз аламыз теңдеулер жүйесі эквивалентжүйесі (3.19). Бірақ (3.35) жүйе біртекті үш белгісіз үшін үш сызықтық теңдеулер жүйесі және бар анықтауыш нөлге тең. Бөлімге сәйкес 2.3 соңғы жүйе (және ол болды be, және (3.19)) жүйесінің шешімдерінің шексіз саны бар. Мысалы, в минор (3.27) нөлге тең болмаған жағдайда (3.31) формулаларды қолданамыз. (3.19) жүйесіне шешімдердің келесі шексіз жиынын аламыз: (t кез келген мәнді қабылдай алады). Айтылған мәлімдеме дәлелденді және біз жасай аламыз мынадай қорытынды: Егер=
= = = 0, онда біртекті емес теңдеулер жүйесі (3.19) не шешімдері мүлдем жоқ немесе олардың шексіз саны бар. 3. Кез келген ретті және сызықтық анықтауыштар туралы түсінік
белгісіздердің кез келген саны бар жүйелер
Үшіншінің анықтауышының кеңеюінің біз белгілеген қасиеті кез келген (мысалы, бірінші) жолдың элементтеріне дейінгі реттілік болуы мүмкін анықтауыштың индукциясы арқылы дәйекті енгізудің негізін құрайды төртінші, бесінші және одан кейінгі барлық бұйрықтар. Біз қазірдің өзінде ретті анықтауыш ұғымын енгіздік деп есептейік (n-1) және мынадан тұратын ерікті квадрат матрицаны қарастырайық элементтері (3.36) матрицаның кез келген элементінің минорын біз енгізген элемент деп атайық ретті анықтауыш (n-1), (3.36) матрицаға сәйкес, одан i- i жол және j-баған. Кіші элементті таңбамен белгілеуге келісейік. Мысалы, матрицаның бірінші жолының кез келген элементінің миноры (3.36) келесі ретті анықтауыш (n-1): (3.36) матрицаға сәйкес n ретті анықтауышты сан деп атаймыз сомасына тең және таңбамен белгіленеді =
n = 3 үшін кеңейту (3.37) кеңейтумен сәйкес келетінін ескеріңіз (3.16) бірінші қатардағы үшінші ретті анықтауыш. Енді n белгісізі бар n теңдеулердің біртекті емес жүйесін қарастырайық: Коэффициенттерден құралған n ретті анықтауыш (3.39) жүйесінің белгісіздері және теңдігінен анықтауышпен сәйкес келеді (3.38), осы жүйенің анықтауышы деп аталады 1, 2, ... тең кез келген j үшін, n, анықтауыштан алынған n ретті анықтауышты таңба арқылы белгілейміз оның j-ші бағанын бос терминдер бағанымен ауыстыру арқылы жүйе, ..., . n = 3 жағдайына толық ұқсастықта бұл шығады келесі нәтиже: егер біртекті емес жүйенің анықтауышы (3.39) нөлден өзгеше болса, бұл жүйенің бірегей шешімі бар, Крамер формулаларымен анықталады: анықтауыштардың кем дегенде біреуі, ..., нөлден өзгеше болса, онда (3.39) жүйе емес. шешімдері бар. Егер егер n > 2 және барлық анықтауыштар, ..., нөлге тең болса, жүйе (3.39) да шешімдері болмауы мүмкін, бірақ оның кем дегенде біреуі болса шешім болса, онда оның сансыз саны бар. 4. Шешімін табу сызықтық жүйеГаусс әдісі
Енді біртекті емес жүйені (3.39) қарастырайық Еркін терминдерді қайта белгілеу, ..., олар үшін пайдалану арқылы белгілерді қысқартамыз i = 1, 2 ..., n үшін белгілеу. Ең қарапайым әдістердің бірін қарастырайық ретті жоюдан тұратын бұл жүйенің шешімі белгісіз және қоңырау шалды Гаусс әдісі. Белгісіздер үшін коэффициенттерден басқа коэффициентті таңдап алайық нөлден бастап, оны жетекші деп атаймыз. Жалпылықты жоғалтпай, біз бұл туралы боламыз мұндай коэффициент дегеніміз не (әйтпесе біз тәртіпті өзгерте аламыз келесі белгісіздер мен теңдеулер). Бірінші теңдеудің (3.39) барлық мүшелерін бөліп, бірінші берілген теңдеуді аламыз онда j = 1, 2, ..., (n+1) үшін. Еске салайық, және, атап айтқанда, . Белгісізді жою үшін жүйенің i-ші теңдеуінен (3.39) шегереміз. (i = 2, 3 ..., n) берілген (3.40) теңдеуіне көбейтілген. Нәтижесінде кез келген i = 2, 3, ..., n үшін теңдеуді аламыз онда j = 2, 3, ..., (n+1) үшін. Осылайша, біз бірінші қысқартылған жүйені аламыз: коэффициенттері (3.41) формулаларымен анықталады. (3.42) жүйесінде нөлге тең емес жетекші коэффициентті табамыз. Болсын. Содан кейін бірінші теңдеуді (3.42) осыған бөлеміз коэффициенті, біз берілген екінші теңдеуді аламыз және с алып тастаймыз жоғарыда сипатталған схемаға сәйкес осы теңдеуді пайдаланып, белгісіз, біз келеміз құрамында i жоқ екінші қысқартылған жүйе. Осы схема бойынша пайымдауды жалғастыру, деп аталады тура алға Гаусс әдісі, біз оны орындауды сызықтыққа жету арқылы аяқтаймыз тек бір белгісізді қамтитын теңдеу немесе біз аяқтай алмаймыз оны жүзеге асыру (бастапқы жүйеде (3.39) жоқ болуына байланысты). шешімдер). Егер бастапқы жүйенің (3.39) шешімдері болса, аламыз берілген теңдеулер тізбегі одан Гаусс әдісінің кері әдісін қолданып, біз дәйекті түрде табамыз белгісіз Гаусс әдісінің кері кезіндегі барлық амалдар (1.43) бөлусіз орындалады, Мысал ретінде үш теңдеуден тұратын біртекті емес жүйені қарастырайық үш белгісіз Әрине, жүйенің детерминанты (3.44) екенін тексеруге болады. нөлден ерекшеленеді және оны Крамер формулалары арқылы табыңыз, бірақ біз әдісті қолданамыз (3.44) жүйенің бірінші теңдеуін 2-ге бөлсек, біріншісін аламыз берілген теңдеу: (3.44) жүйенің екінші теңдеуінен берілген теңдеуді алып тастау (3.45), 3-ке көбейтілген және жүйенің үшінші теңдеуінен алынған (3.44) берілген (3.45) теңдеуін 4-ке көбейтсек, қысқартылғанды аламыз Екі белгісіз екі теңдеулер жүйесі: Бірінші теңдеуді (3.46) бөліп, екінші берілгенді аламыз теңдеу: (3.47) екінші теңдеуден (3.46) келтірілген теңдеуді алып тастасақ, 8-ге көбейткенде теңдеу шығады: арқылы азайтқаннан кейін = 3 береді. Осы мәнді екінші теңдеуге (3.47) қойып, аламыз бұл = -2. Соңында, табылған мәндерді = -2 және = 3 біріншісіне ауыстырыңыз берілген теңдеу (3.45), мынаны аламыз = 1. ӘДЕБИЕТ 1. Ильин В.А., Куркина А.В. – «Жоғары математика», М.: Т.К.Уэлби, «Проспект» баспасы,у = доғасы х y = arccos x
у = sin x, - / 2 x / 2 функциясының кері функциясы у = cos x, 0 x функциясының кері функциясы
у = арктан х y = arcctg x
у = tan x, - / 2 функциясының кері функциясы< x < / 2
y = cot x, 0 функциясының кері функциясы< x <
x R кезінде y > 0
ЭКСТРЕМА: Жоқ Жоқ
МОНОТОНИЯЛЫҚ ПЕРСПЕКТИВАЛАР: x R артады x R ретінде төмендейді
деп аталады анықтауыштың элементтері
(бірінші индекс жол нөмірін, ал екіншісін көрсетеді 
қиылысында осы элемент тұрған бағанның нөмірі); элементтері арқылы құрылған диагональ 
,
, деп аталады негізгі
, элементтері 
,
жағы
.
,
,
, деп аталады негізгі
, элементтері 
,
,
жағы
.
", ал кейбіреулері" белгісімен 
«, келесі «үшбұрыштар ережесін» пайдалану пайдалы:
анықтауыштың белгілі бір элементі - бұл элементтің қиылысында орналасқан жол мен бағанды жою арқылы берілген элементтен жасалған анықтауыш.
анықтауыштың кейбір элементінің осы элементтің кішісінің көбейтіндісі 
, Қайда 
жол нөмірі, 
қиылысында осы элемент орналасқан бағанның нөмірі:
.
1) 2)3)4).
2)
теңдеулерден:
2)
1.2. Анықтауыштарды пайдаланып сызықтық теңдеулер жүйесін шешу. Крамер формулалары
жүйенің негізгі анықтаушысы;
,
көмекші квалификациялар.
, 
.
(1)
, онда келесі жағдайлар мүмкін:
(теңдеулер пропорционал), онда жүйе тек бір теңдеуден тұрады, мысалы, 
және шексіз көп шешімдері бар (белгісіз жүйе). Оны шешу үшін мәні ерікті түрде таңдалатын бір айнымалыны екіншісімен өрнектеу қажет;
нөлден өзгеше болса, онда жүйенің шешімдері жоқ (үйлесімді емес жүйе).
(2)
, содан кейін (2) жүйе бір теңдеуге (мысалы, бірінші) келтіріледі, оның ішінен бір белгісіз екі басқа арқылы өрнектеледі, олардың мәндері ерікті түрде таңдалады.
қанағаттандырылмаған болса, онда (2) жүйені шешу үшін бір айнымалыны оңға жылжытамыз және екі сызықты біртекті емес теңдеулер жүйесін Крамер формулаларын (1) пайдаланып шешеміз.
және көмекші квалификациялар 
,
.
, онда жүйеде Крамер формулалары арқылы табылған бірегей шешім бар:
, 
,
(3)
, онда келесі жағдайлар мүмкін:
, онда жүйенің шексіз көп шешімдері болады, ол не бір немесе екі теңдеуден тұратын жүйеге келтіріледі (бір белгісізді оңға жылжытамыз және екі белгісізі бар екі теңдеу жүйесін шешеміз);
нөлден өзгеше, жүйенің шешімі жоқ.
, онда оның бірегей нөлдік шешімі бар.
, содан кейін жүйе екі теңдеуге (үшінші - олардың салдары) немесе бір теңдеуге (қалған екеуі - оның салдары) қысқарады және шексіз көп шешімдерге ие болады (II бөлімді қараңыз).
, онда жүйенің бірегей шешімі болады. Крамер формулаларын қолданайық (3). Ол үшін көмекші анықтауыштарды есептейміз:
,
,
, 
,
теңдіктің оң жағына:
,
.
Крамер әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешу
Жүктелуде...
