Математика және физика курсынан әртүрлі есептерді шығарған кезде оқушылар мен студенттер көбінесе екінші, үшінші немесе n-ші дәрежелі түбірлерді алу қажеттілігіне тап болады. Әрине, ғасырда ақпараттық технологияларКалькулятордың көмегімен бұл мәселені шешу қиын болмайды. Дегенмен, электрондық көмекшіні пайдалану мүмкін болмаған жағдайлар туындайды.
Мысалы, көптеген емтихандар электрониканы әкелуге мүмкіндік бермейді. Сонымен қатар, қолыңызда калькулятор болмауы мүмкін. Мұндай жағдайларда, кем дегенде, радикалдарды қолмен есептеудің кейбір әдістерін білу пайдалы.
Түбірлерді есептеудің ең қарапайым тәсілдерінің бірі арнайы кестені пайдалану. Бұл не және оны қалай дұрыс пайдалану керек?
Кестені пайдалана отырып, 10-нан 99-ға дейінгі кез келген санның квадратын табуға болады. Кестенің жолдарында ондық мәндері, ал бағандарда бірлік мәндері бар. Жол мен бағанның қиылысындағы ұяшықта екі таңбалы санның квадраты болады. 63-тің квадратын есептеу үшін 6 мәні бар жолды және 3 мәні бар бағанды табу керек. Қиылыста біз 3969 саны бар ұяшықты табамыз.
Түбірді шығару квадраттаудың кері операциясы болғандықтан, бұл әрекетті орындау үшін сіз керісінше істеуіңіз керек: алдымен радикалын есептегіңіз келетін саны бар ұяшықты табыңыз, содан кейін жауапты анықтау үшін баған мен жолдың мәндерін пайдаланыңыз. . Мысал ретінде есептеуді қарастырыңыз шаршы түбір 169.
Кестеден осы саны бар ұяшықты табамыз, көлденеңінен ондықтарды – 1, тігінен бірліктерді – 3. Жауабы: √169 = 13.
Сол сияқты, сәйкес кестелерді пайдаланып текше мен n-ші түбірлерді есептей аласыз.
Әдістің артықшылығы - оның қарапайымдылығы және қосымша есептеулердің болмауы. Кемшіліктері анық: әдісті тек шектеулі сандар диапазоны үшін қолдануға болады (түбір табылған сан 100-ден 9801-ге дейінгі аралықта болуы керек). Сонымен қатар, егер берілген нөмір кестеде болмаса, ол жұмыс істемейді.
Жай көбейткіштерге бөлу
Егер квадраттар кестесі қолында болмаса немесе оның көмегімен түбірді табу мүмкін болмаса, сіз көріңіз. түбір астындағы санды бөлшектеңіз негізгі факторлар . Басты факторлар - бұл толық (қалдықсыз) тек өзіне немесе біреуге бөлінуі мүмкін. Мысалдар 2, 3, 5, 7, 11, 13, т.б. болуы мүмкін.
Мысал ретінде √576 көмегімен түбірді есептеуді қарастырайық. Оны негізгі факторларға бөлейік. Біз келесі нәтижені аламыз: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Түбірлердің √a² = a негізгі қасиетін пайдаланып, біз түбірлер мен квадраттардан құтыламыз, содан кейін жауапты есептейміз: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Көбейткіштердің кез келгенінің өз жұбы болмаса не істеу керек? Мысалы, √54 есебін қарастырайық. Бөлшектеуден кейін біз нәтиже аламыз келесі пішін: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Алынбайтын бөлікті тамырдың астында қалдыруға болады. Геометрия мен алгебра есептерінің көпшілігі үшін бұл жауап соңғы жауап ретінде есептеледі. Бірақ егер шамамен мәндерді есептеу қажет болса, төменде талқыланатын әдістерді қолдануға болады.
Герон әдісі
Шығарылған түбірдің неге тең екенін кем дегенде шамамен білу қажет болғанда не істеу керек (бүтін мәнді алу мүмкін болмаса)? Жылдам және әдемі нақты нәтижеГерон әдісінің қолданылуын береді. Оның мәні шамамен формуланы пайдалану болып табылады:
√R = √a + (R - a) / 2√a,
мұндағы R – түбірін есептеу қажет сан, а – түбір мәні белгілі ең жақын сан.
Әдістің іс жүзінде қалай жұмыс істейтінін қарастырайық және оның қаншалықты дәл екенін бағалайық. √111 неге тең екенін есептейік. Түбірі белгілі 111-ге жақын сан 121. Сонымен, R = 111, a = 121. Мәндерді формулаға ауыстырыңыз:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
Енді әдістің дұрыстығын тексерейік:
10,55² = 111,3025.
Әдістің қателігі шамамен 0,3 болды. Егер әдістің дәлдігін жақсарту қажет болса, бұрын сипатталған қадамдарды қайталауға болады:
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Есептің дұрыстығын тексерейік:
10,536² = 111,0073.
Формуланы қайта қолданғаннан кейін қате мүлдем елеусіз болды.
Ұзын бөлу арқылы түбірді есептеу
Квадрат түбір мәнін табудың бұл әдісі алдыңғыларға қарағанда біршама күрделірек. Дегенмен, ол калькуляторсыз басқа есептеу әдістерінің ішінде ең дәл болып табылады.
Квадрат түбірін 4 ондық таңбаға дейін дәл табу керек делік. 1308.1912 ерікті санының мысалын пайдаланып, есептеу алгоритмін талдап көрейік.
- Қағаз парағын тік сызықпен 2 бөлікке бөліңіз, содан кейін одан оңға қарай, үстіңгі жиектен сәл төмен басқа сызық сызыңыз. Санды сол жағына жазамыз, оны 2 цифрдан тұратын топқа бөлеміз, оңға және сол жақүтірден. Сол жақтағы ең бірінші сан жұпсыз болуы мүмкін. Егер санның оң жағында белгі жоқ болса, онда 0 қосу керек. Біздің жағдайда нәтиже 13 08.19 12 болады.
- Ең жақсысын таңдайық үлкен сан, оның квадраты цифрлардың бірінші тобынан кіші немесе оған тең болады. Біздің жағдайда бұл 3. Оны жоғарғы оң жаққа жазайық; 3 - нәтиженің бірінші саны. Төменгі оң жақта біз 3×3 = 9 көрсетеміз; бұл кейінгі есептеулер үшін қажет болады. Бағандағы 13-тен 9-ды алып тастаймыз, 4 қалдық аламыз.
- Келесі сандар жұбын қалдық 4-ке тағайындайық; біз 408 аламыз.
- Жоғарғы оң жақтағы санды 2-ге көбейтіп, төменгі оң жаққа жазып, оған _ x _ = қосыңыз. Біз 6_ x _ = аламыз.
- Сызықшалардың орнына 408-ден кіші немесе тең бірдей санды ауыстыру керек. Біз 66 × 6 = 396 аламыз. Оң жақтан 6 деп жазамыз, өйткені бұл нәтиженің екінші саны. 408-ден 396-ны шегерсек, 12 шығады.
- 3-6 қадамдарды қайталайық. Төмен жылжытылған цифрлар санның бөлшек бөлігінде болғандықтан, қою керек ондық нүкте 6-дан кейін жоғарғы оң жақта. Қос нәтижені сызықшамен жазайық: 72_ x _ =. Сәйкес сан 1 болады: 721×1 = 721. Оны жауап ретінде жазып көрейік. 1219 - 721 = 498 азайтайық.
- Алу үшін алдыңғы абзацта берілген әрекеттер тізбегін тағы үш рет орындайық қажетті сомаондық бөлшектер. Әрі қарай есептеулер үшін таңбалар жеткіліксіз болса, сол жақтағы ағымдағы санға екі нөл қосу керек.
Нәтижесінде біз жауап аламыз: √1308.1912 ≈ 36.1689. Егер әрекетті калькулятор арқылы тексерсеңіз, барлық белгілердің дұрыс анықталғанына көз жеткізуге болады.
Биттік квадрат түбірді есептеу
Әдіс бар жоғары дәлдік . Сонымен қатар, бұл өте түсінікті және формулаларды есте сақтауды немесе әрекеттердің күрделі алгоритмін қажет етпейді, өйткені әдістің мәні дұрыс нәтижені таңдау болып табылады.
781 санының түбірін шығарып алайық. Іс-әрекеттер ретін егжей-тегжейлі қарастырайық.
- Квадрат түбір мәнінің қай цифры ең маңызды болатынын білейік. Ол үшін 0, 10, 100, 1000 және т.б. квадраттап, олардың қайсысының арасында радикалды сан орналасқанын анықтайық. Біз бұл 10² аламыз< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Ондықтардың мәнін таңдап алайық. Ол үшін кезекпен 10, 20, ..., 90 дәрежесін 781-ден үлкен сан алғанша көтереміз. Біздің жағдайымыз үшін 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 аламыз. n нәтиженің мәні 20 шегінде болады< n <30.
- Алдыңғы қадамға ұқсас, бірлік цифрының мәні таңдалады. 21,22, ..., 29 сандарын бір-бірден квадраттаймыз: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28², мынаны аламыз: 72.< n < 28.
- Әрбір келесі цифр (ондық, жүздік және т.б.) жоғарыда көрсетілгендей есептеледі. Есептеулер қажетті дәлдікке жеткенше жүргізіледі.
Оны реттейтін уақыт келді тамырларды алу әдістері. Олар түбірлердің қасиеттеріне, атап айтқанда, кез келгенге сәйкес келетін теңдікке негізделген теріс санб.
Төменде біз тамырларды алудың негізгі әдістерін бір-бірден қарастырамыз.
Ең қарапайым жағдайдан бастайық - квадраттар кестесін, текшелер кестесін және т.б. көмегімен натурал сандардан түбірлерді алу.
Егер квадраттардың кестелері, текшелер және т.б. Егер ол қолыңызда болмаса, радикалды санды жай көбейткіштерге бөлуді қамтитын түбірді алу әдісін қолдану қисынды.
Дәрежелері тақ түбірлер үшін мүмкін болатынын ерекше атап өткен жөн.
Соңында түбірлік мәннің цифрларын ретімен табуға мүмкіндік беретін әдісті қарастырайық.
Бастайық.
Шаршылар кестесін, текшелер кестесін және т.б.
Ең қарапайым жағдайларда квадраттардың, текшелердің және т.б кестелер тамырларды шығаруға мүмкіндік береді. Бұл кестелер қандай?
0-ден 99-ға дейінгі бүтін сандар квадраттарының кестесі (төменде көрсетілген) екі аймақтан тұрады. Кестенің бірінші аймағы сұр фонда орналасқан, белгілі бір жолды және белгілі бір бағанды таңдау арқылы ол 0-ден 99-ға дейінгі санды құруға мүмкіндік береді. Мысалы, 8 ондық жолды және 3 бірліктен тұратын бағанды таңдайық, осымен біз 83 санын бекіттік. Екінші аймақ кестенің қалған бөлігін алады. Әрбір ұяшық белгілі бір жол мен белгілі бір бағанның қиылысында орналасқан және 0-ден 99-ға дейінгі сәйкес санның квадратын қамтиды. Біз таңдаған 8 ондық қатары мен бірліктердің 3-бағанының қиылысында 83 санының квадраты болып табылатын 6889 саны бар ұяшық бар.
Текшелердің кестелері, 0-ден 99-ға дейінгі сандардың төртінші дәрежелерінің кестелері және т.б. квадраттар кестесіне ұқсас, тек оларда екінші аймақта текшелер, төртінші дәрежелер т.б. сәйкес сандар.
Квадраттардың, текшелердің, төртінші дәрежелердің және т.б. шаршы түбірлерді, текше түбірлерді, төртінші түбірлерді және т.б. шығаруға мүмкіндік береді. сәйкес осы кестелердегі сандардан. Тамырларды алу кезінде оларды пайдалану принципін түсіндірейік.
n-ші дәрежелер кестесінде а саны бар болса, а санының n-ші түбірін шығару керек делік. Осы кестені пайдалана отырып, a=b n болатындай b санын табамыз. Содан кейін 
, демек, b саны n-ші дәреженің қажетті түбірі болады.
Мысал ретінде 19,683 текше түбірін шығару үшін текше кестесін пайдалану жолын көрсетейік. Біз кубтар кестесінен 19683 санын табамыз, одан бұл сан 27 санының кубы екенін табамыз, сондықтан 
.
Түбірлерді алу үшін n-ші дәрежелердің кестелері өте ыңғайлы екені анық. Дегенмен, олар жиі қол астында болмайды және оларды құрастыру біраз уақытты қажет етеді. Сонымен қатар, көбінесе сәйкес кестелерде жоқ сандардан түбірлерді алу қажет. Мұндай жағдайларда тамырды алудың басқа әдістеріне жүгіну керек.
Радикалды санды жай көбейткіштерге көбейту
Натурал санның түбірін шығарудың (әрине, түбірі шығарылса) өте ыңғайлы тәсілі - радикалды санды жай көбейткіштерге ыдырату. Оның мәні мынада: содан кейін оны түбірдің мәнін алуға мүмкіндік беретін қажетті көрсеткішпен дәреже ретінде көрсету өте оңай. Осы жайды нақтылап көрейік.
Натурал а санының n-ші түбірі қабылданып, оның мәні b-ге тең болсын. Бұл жағдайда a=b n теңдігі ақиқат болады. b саны, кез келген натурал сан сияқты, оның барлық жай көбейткіштерінің p 1 , p 2 , …, p m көбейтіндісі ретінде p 1 ·p 2 ·…·p m түрінде ұсынылуы мүмкін және бұл жағдайда радикалды саны a. (p 1 ·p 2 ·…·p m) n түрінде көрсетіледі. Санның жай көбейткіштерге ыдырауы бірегей болғандықтан, a радикалды санының жай көбейткіштерге ыдырауы (p 1 ·p 2 ·…·p m) n түрінде болады, бұл түбірдің мәнін есептеуге мүмкіндік береді. ретінде.
Егер a радикалды санының жай көбейткіштерге ыдырауын (p 1 ·p 2 ·…·p m) n түрінде көрсету мүмкін болмаса, онда мұндай a санының n-ші түбірі толығымен шығарылмағанын ескеріңіз.
Мысалдарды шешу кезінде осыны анықтайық.
Мысал.
144-тің квадрат түбірін алыңыз.
Шешім.
Алдыңғы абзацта берілген квадраттар кестесін қарасаңыз, 144 = 12 2 екенін анық көруге болады, одан 144-тің квадрат түбірі 12-ге тең екені анық.
Бірақ осы тармақты ескере отырып, біз 144 радикалды санын жай көбейткіштерге ыдырату арқылы түбірдің қалай алынатыны қызықтырады. Осы шешімді қарастырайық.
Шыдайық 144 жай көбейткіштерге:
Яғни, 144=2·2·2·2·3·3. Алынған ыдырау негізінде келесі түрлендірулерді жүргізуге болады: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Демек, 
.
Дәреженің қасиеттерін және түбірлердің қасиеттерін пайдалана отырып, шешімді сәл басқаша тұжырымдауға болады: .
Жауап:
Материалды бекіту үшін тағы екі мысалдың шешімдерін қарастырыңыз.
Мысал.
Түбірдің мәнін есептеңіз.
Шешім.
243 радикалды санын жай көбейткіштерге бөлу 243=3 5 түрінде болады. Осылайша, 
.
Жауап:
Мысал.
Түбір мәні бүтін сан ба?
Шешім.
Бұл сұраққа жауап беру үшін радикалды санды жай көбейткіштерге көбейтіп, оны бүтін санның текшесі ретінде көрсетуге болатынын көрейік.
Бізде 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Нәтижедегі кеңейтуді бүтін санның текшесі ретінде көрсету мүмкін емес, өйткені 7 жай көбейткіштің дәрежесі үшке еселік емес. Сондықтан 285,768 текше түбірін толық шығару мүмкін емес.
Жауап:
Жоқ.
Бөлшек сандардан түбір алу
Бөлшек санның түбірін қалай шығару керектігін анықтайтын уақыт келді. Бөлшек радикалды сан p/q түрінде жазылсын. Бөлшек түбірінің қасиеті бойынша келесі теңдік дұрыс болады. Осы теңдіктен мынау шығады бөлшектің түбірін шығару ережесі: Бөлшектің түбірі алымның түбірінің бөлімін азайғыштың түбіріне бөлгенге тең.
Бөлшектен түбір алудың мысалын қарастырайық.
Мысал.
25/169 жай бөлшектің квадрат түбірі неге тең?
Шешім.
Квадраттар кестесін пайдалана отырып, бастапқы бөлшектің алымының квадрат түбірі 5-ке, ал бөлгіштің квадрат түбірі 13-ке тең екенін табамыз. Содан кейін 
. Бұл 25/169 жай бөлшектің түбірін алуды аяқтайды.
Жауап:
Түбір ондықнемесе радикалды сандарды жай бөлшектермен ауыстырғаннан кейін аралас сан алынады.
Мысал.
474.552 ондық бөлшектің текше түбірін алыңыз.
Шешім.
Бастапқы ондық бөлшекті жай бөлшек ретінде елестетейік: 474,552=474552/1000. Содан кейін 
. Алынған бөлшектің алымы мен бөлгішінде болатын текше түбірлерін шығару қалады. Өйткені 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 және 1 000 = 10 3, сонда 
Және 
. Тек есептеулерді аяқтау ғана қалады 
.
Жауап:
.
Теріс санның түбірін алу
Теріс сандардан түбірлерді шығаруға тоқталған жөн. Түбірлерді зерттегенде түбір көрсеткіші тақ сан болса, түбір белгісінің астында теріс сан болуы мүмкін екенін айттық. Бұл жазбаларға мынадай мағына бердік: −a теріс саны және 2 n−1 түбірінің тақ көрсеткіші үшін, 
. Бұл теңдік береді теріс сандардан тақ түбірлерді алу ережесі: теріс санның түбірін шығару үшін қарама-қарсы оң санның түбірін алып, нәтиженің алдына минус таңбасын қою керек.
Мысал шешімін қарастырайық.
Мысал.
Түбірдің мәнін табыңыз.
Шешім.
Түбір белгісінің астында оң сан болатындай бастапқы өрнекті түрлендірейік: 
. Енді аралас санды жай бөлшекпен ауыстырыңыз: 
. Жай бөлшектің түбірін алу ережесін қолданамыз: 
. Алынған бөлшектің алымы мен бөлгішіндегі түбірлерді есептеу қалады: 
.
Мұнда шешімнің қысқаша мазмұны берілген: 
.
Жауап:
.
Түбір мәнін биттік анықтау
Жалпы жағдайда, түбірдің астында жоғарыда қарастырылған әдістерді қолдана отырып, кез келген санның n-ші дәрежесі ретінде көрсетуге болмайтын сан бар. Бірақ бұл жағдайда ең болмағанда белгілі бір белгіге дейін берілген түбірдің мағынасын білу қажеттілігі туындайды. Бұл жағдайда түбірді шығару үшін қажетті санның жеткілікті сандық мәндерін дәйекті түрде алуға мүмкіндік беретін алгоритмді пайдалануға болады.
Бұл алгоритмнің бірінші қадамы түбір мәнінің ең маңызды биті қандай екенін анықтау болып табылады. Ол үшін 0, 10, 100, ... сандары радикалды саннан асатын сан алынған сәтке дейін n дәрежесіне дәйекті түрде көтеріледі. Сонда алдыңғы кезеңде n дәрежесіне көтерген сан сәйкес ең маңызды цифрды көрсетеді.
Мысалы, бестің квадрат түбірін шығару кезінде алгоритмнің осы қадамын қарастырыңыз. 0, 10, 100, ... сандарын алып, 5-тен үлкен сан шыққанша олардың квадратын алыңыз. Бізде 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, бұл ең маңызды сан бір сандар болатынын білдіреді. Бұл биттің мәні, сондай-ақ төменгілері түбірді алу алгоритмінің келесі қадамдарында табылады.
Алгоритмнің барлық келесі қадамдары түбірдің қажетті мәнінің келесі биттерінің мәндерін табу арқылы, ең жоғарыдан бастап, ең төменгіге көшу арқылы түбірдің мәнін дәйекті түрде нақтылауға бағытталған. Мысалы, бірінші қадамдағы түбірдің мәні 2, екіншісінде – 2,2, үшіншіде – 2,23 және т.с.с. 2,236067977… болады. Цифрлардың мәндері қалай табылатынын сипаттап көрейік.
Цифрлар 0, 1, 2, ..., 9 мүмкін мәндерін іздеу арқылы табылады. Бұл жағдайда сәйкес сандардың n-ші дәрежелері параллель есептеліп, олар радикалды санмен салыстырылады. Егер қандай да бір кезеңде дәреженің мәні радикалды саннан асып кетсе, онда алдыңғы мәнге сәйкес цифрдың мәні табылды деп есептеледі және түбірді шығару алгоритмінің келесі қадамына көшу жүзеге асырылады, егер бұл орындалмаса, онда бұл цифрдың мәні 9 болады.
Осы нүктелерді бестің квадрат түбірін шығарудың бір мысалы арқылы түсіндірейік.
Алдымен бірлік цифрының мәнін табамыз. 0, 1, 2, ..., 9 мәндерінен өтіп, сәйкесінше 0 2, 1 2, ..., 9 2 сандарын есептеп, 5 түбегейлі санынан үлкен мән алғанша өтеміз. Барлық осы есептеулерді кесте түрінде ұсыну ыңғайлы: 
Сонымен бірлік цифрының мәні 2 (2 2 болғандықтан<5
, а 2 3 >5). Ондықтардың мәнін табуға көшейік. Бұл жағдайда 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 сандарын квадраттап, алынған мәндерді 5 радикалды санымен салыстырамыз: 
2.2 2 бастап<5
, а 2,3 2 >5, онда ондықтардың мәні 2 болады. Жүздік орынның мәнін табуға болады: 
Бес түбірдің келесі мәні осылай табылды, ол 2,23-ке тең. Осылайша сіз мәндерді табуды жалғастыра аласыз: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Материалды бекіту үшін қарастырылған алгоритмді пайдалана отырып, түбірді жүздік дәлдікпен алуды талдаймыз.
Алдымен біз ең маңызды цифрды анықтаймыз. Ол үшін 0, 10, 100 және т.б сандарды текшелейміз. 2 151 186-дан үлкен санды алғанша. Бізде 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , сондықтан ең маңызды цифр ондық цифр болып табылады.
Оның мәнін анықтайық. 
103 жылдан бастап<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, онда ондықтардың мәні 1-ге тең. Бірліктерге көшейік. 
Осылайша, бірліктер цифрының мәні 2-ге тең. Ондықтарға көшейік. 
Тіпті 12,9 3 саны 2 151,186 түбегейлі саннан аз болғандықтан, оныншы орынның мәні 9 болады. Алгоритмнің соңғы қадамын орындау қалды, ол бізге қажетті дәлдікпен түбірдің мәнін береді. 
Бұл кезеңде түбірдің мәні жүзден бір бөлігіне дейін дәл табылады: 
.
Осы мақаланы қорытындылай келе, тамырларды алудың көптеген басқа жолдары бар екенін айтқым келеді. Бірақ көптеген тапсырмалар үшін жоғарыда біз зерттеген тапсырмалар жеткілікті.
Әдебиеттер тізімі.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: 8-сыныпқа арналған оқулық. оқу орындары.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. және т.б.Алгебра және талдау бастаулары: Жалпы білім беретін оқу орындарының 10-11-сыныптарына арналған оқулық.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (техникалық оқу орындарына түсетіндерге арналған оқу құралы).
Бірінші тарау.
Берілген бүтін саннан ең үлкен бүтін квадрат түбірін табу.
170. Алдын ала ескертулер.
A)Біз тек квадрат түбірді алу туралы айтатындықтан, бұл тарауда сөзді қысқарту үшін «квадрат» түбірдің орнына жай «түбір» деп айтамыз.
б)Натурал қатардың сандарын квадраттайтын болсақ: 1,2,3,4,5. . . , онда келесі квадраттар кестесін аламыз: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,
Әлбетте, бұл кестеде жоқ көптеген бүтін сандар бар; Әрине, мұндай сандардан түбірді түгел шығарып алу мүмкін емес. Сондықтан, мысалы, кез келген бүтін санның түбірін шығару қажет болса. √4082 табу үшін қажет, онда біз бұл талапты келесідей түсінуге келісеміз: мүмкін болса, 4082-нің толық түбірін шығарыңыз; егер бұл мүмкін болмаса, онда квадраты 4082 болатын ең үлкен бүтін санды табу керек (мұндай сан 63, өйткені 63 2 = 3969 және 64 2 = 4090).
V)Егер бұл сан 100-ден аз болса, онда оның түбірі көбейту кестесі арқылы табылады; Осылайша, √60 7 болады, өйткені жеті 7 49-ға тең, ол 60-тан кіші, сегіз 8 60-тан үлкен 64-ке тең.
171. 10 000-нан кіші, бірақ 100-ден үлкен санның түбірін шығару.√4082 табу керек делік. Бұл сан 10 000-нан аз болғандықтан, оның түбірі √l0,000 = 100-ден аз. Екінші жағынан, бұл сан 100-ден үлкен; бұл оның түбірі үлкен (немесе 10-ға тең) дегенді білдіреді. (Егер, мысалы, √ табу керек болса 120 , онда 120 саны > 100 болса да, алайда √ 120 10-ға тең, өйткені 11 2 = 121.) Бірақ 10-нан үлкен, бірақ 100-ден кіші әрбір санның 2 цифры болады; Бұл қажетті түбір қосынды екенін білдіреді:
ондық + бірліктер,
сондықтан оның квадраты қосындыға тең болуы керек:
Бұл қосынды 4082 санының ең үлкен квадраты болуы керек.
Олардың ең үлкенін, 36-ны алайық және ондық түбірдің квадраты дәл осы ең үлкен квадратқа тең болады деп есептейік. Сонда түбірдегі ондықтардың саны 6 болуы керек. Енді бұл әрқашан осылай болуы керек екенін тексеріп көрейік, яғни түбірдегі ондықтардың саны әрқашан радикалдың жүздеген санының ең үлкен бүтін түбіріне тең.
Шынында да, біздің мысалда түбірдің ондық саны 6-дан аспауы керек, өйткені (7 дек.) 2 = 49 жүздік, бұл 4082-ден асады. Бірақ 5 желтоқсаннан бастап 6-дан кем болмайды. (бірліктермен) 6 дес., ал бұл арада (6 дес.) 2 = 36 жүздік, бұл 4082-ден аз. Ал біз ең үлкен бүтін түбірді іздейтіндіктен, түбір үшін 5 дес қабылдамауымыз керек, тіпті 6 ондық көп емес болғанда.
Сонымен, біз түбірдің ондық санын таптық, атап айтқанда 6. Бұл санды түбірдің ондықтарын білдіретінін еске түсіріп, = белгісінің оң жағына жазамыз. Оны шаршымен көтерсек, біз 36 жүздік аламыз. Радикалды санның 40 жүздігінен осы 36 жүздіктерді алып тастаймыз және осы санның қалған екі цифрын алып тастаймыз. Қалған 482 2 (6 дек.) (бірлік) + (бірлік)2 болуы керек. Өнім (6 дек.) (бірлік) ондаған болуы керек; сондықтан ондықтардың қосылатын көбейтіндісін қалдықтың ондықтарынан, яғни 48-ден іздеу керек (олардың санын 48-дің оң жағындағы бір цифрды 2-нің қалған бөлігінде бөлу арқылы аламыз). Түбірдің екі еселенген ондықтары 12 құрайды. Бұл дегеніміз, 12-ні түбірдің бірліктеріне (әлі белгісіз) көбейтсек, онда 48-дегі санды алуымыз керек. Сондықтан 48-ді 12-ге бөлеміз.
Мұны істеу үшін қалдықтың сол жағына және оның артына тік сызық сызыңыз (қазір пайда болатын мақсат үшін сызықтан бір орын солға шегініп) біз түбірдің бірінші цифрын екі еселейміз, яғни 12 және 48-ді оған бөлеміз. Бөлімде 4 шығады.
Дегенмен, біз 4 санын түбірдің бірлігі ретінде алуға болатынына алдын ала кепілдік бере алмаймыз, өйткені біз қазір қалған ондықтардың бүкіл санын 12-ге бөлдік, ал олардың кейбіреулері ондықтардың қос көбейтіндісіне жатпайды. бірлік, бірақ бірлік квадратының бөлігі болып табылады. Сондықтан 4 саны үлкен болуы мүмкін. Біз оны сынап көруіміз керек. 2 (6 дек.) 4 + 4 2 қосындысы 482 қалдығынан көп болмаса, бұл қолайлы.
Нәтижесінде екеуінің қосындысын бірден аламыз. Алынған өнім 496 болып шықты, бұл қалған 482-ден көп; Бұл 4 саны үлкен дегенді білдіреді. Олай болса келесі кіші 3 санын дәл осылай сынап көрейік.
Мысалдар.
4-мысалда қалдықтың 47 ондығын 4-ке бөлгенде 11-ді бөлінді ретінде аламыз.Бірақ түбірдің бірлік саны екі таңбалы 11 немесе 10 сан бола алмайтындықтан, біз 9 санын тікелей тексеруіміз керек.
5-мысалда шаршының бірінші бетінен 8-ді алып тастағаннан кейін қалдық 0-ге тең болады, ал келесі бет де нөлдерден тұрады. Бұл қажетті түбірдің тек 8 ондықтан тұратынын көрсетеді, сондықтан бірліктердің орнына нөл қою керек.
172. 10000-нан үлкен санның түбірін шығару. √35782 табу керек делік. Радикалды сан 10000-нан асатындықтан, оның түбірі √10000 = 100-ден үлкен, демек, ол 3 немесе одан да көп цифрдан тұрады. Ол қанша цифрдан тұрса да, біз оны әрқашан тек ондық пен бірліктің қосындысы ретінде қарастыра аламыз. Егер, мысалы, түбір 482 болып шықса, онда оны 48 дес саны ретінде санауға болады. + 2 бірлік Сонда түбірдің квадраты 3 мүшеден тұрады:
(аз.) 2 + 2 (бірлік) (бірлік) + (бірлік) 2 .
Енді √4082 табу кезіндегідей (алдыңғы абзацта) дәлелдей аламыз. Жалғыз айырмашылық мынада болады: 4082 түбірінің ондықтарын табу үшін 40 түбірін шығару керек болды және мұны көбейту кестесі арқылы жасауға болады; енді ондықтар√35782 алу үшін 357-нің түбірін алуымыз керек, оны көбейту кестесін пайдалану мүмкін емес. Бірақ біз √357 санын алдыңғы абзацта сипатталған әдіспен таба аламыз, өйткені 357 саны< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.
Әрі қарай, біз √4082 тапқан кездегідей әрекет етеміз, атап айтқанда: қалған 3382-нің сол жағына тік сызық жүргіземіз және оның артына (жолдан бір бос орынға шегініспен) табылған ондаған түбірдің екі еселенген санын жазамыз, яғни 36 (екі рет 18). Қалған бөлігінде біз оң жақтағы бір цифрды бөліп аламыз және қалған ондықтардың санын, яғни 338-ді 36-ға бөлеміз. Бөлімде біз 9 аламыз. Біз бұл санды сынаймыз, ол үшін оны оң жақтағы 36-ға тағайындаймыз және оған көбейтіңіз. Өнім 3321 болып шықты, бұл қалғаннан аз. Бұл 9 саны сәйкес келетінін білдіреді, біз оны түбірге жазамыз.
Жалпы, кез келген бүтін санның квадрат түбірін шығару үшін алдымен оның жүздіктерінің түбірін шығару керек; егер бұл сан 100-ден көп болса, онда осы жүздіктердің жүздіктерінің, яғни осы санның он мыңдарының түбірін іздеуге тура келеді; егер бұл сан 100-ден көп болса, онда жүздеген он мыңдық санынан түбір алу керек, яғни берілген санның миллиондарынан және т.б.
Мысалдар.
Соңғы мысалда бірінші цифрды тауып, оның квадратын алып тастасақ, біз 0 қалдығын аламыз. Келесі 2 цифрды шегереміз 51. Ондықтарды бөліп, 5 дес аламыз, ал түбірдің қос табылған цифры 6-ға тең. Бұл 5-ті 6-ға бөлуден 0-ді аламыз дегенді білдіреді Түбірде 0-ді екінші орынға қойып, қалғанға келесі 2 цифрды қосамыз; біз 5110 аламыз. Содан кейін біз әдеттегідей жалғастырамыз.
Бұл мысалда қажетті түбір тек 9 жүздіктен тұрады, сондықтан ондықтар орындарына және бірліктер орындарына нөлдерді қою керек.
Ереже. Берілген бүтін санның квадрат түбірін шығару үшін олар оны оң жақтан солға, шетіне, әрқайсысында 2 цифрмен бөледі, соңғысы бір таңбалы болуы мүмкін.
Түбірдің бірінші цифрын табу үшін бірінші беттің квадрат түбірін алу керек.
Екінші цифрды табу үшін бірінші жақтан түбірдің бірінші цифрының квадратын алып, екінші бетін қалдыққа алып, алынған санның ондықтар санын түбірдің бірінші цифрының екі еселенген санына бөледі. ; алынған бүтін сан тексеріледі.
Бұл сынақ келесідей жүзеге асырылады: тік сызықтың артына (қалғанның сол жағына) түбірдің бұрын табылған санын екі рет жазыңыз және оның оң жағына осы қосудан кейін тексерілген цифрды, алынған санды қосыңыз. , тексерілген санға көбейтіледі. Егер көбейтуден кейін нәтиже қалдық саннан үлкен болса, онда тексерілген сан сәйкес емес және келесі кіші цифрды тексеру керек.
Түбірдің келесі цифрлары дәл сол әдіспен табылады.
Егер бетті алып тастағаннан кейін алынған санның ондықтар саны бөлгіштен, яғни түбірдің табылған бөлігінен екі есе аз болып шықса, онда олар түбірге 0 қояды, келесі бетті алып тастайды және әрекетті әрі қарай жалғастырыңыз.
173. Түбірдің цифрларының саны.Түбірді табу процесін қарастырудан шығатын болсақ, түбірде радикалды санның әрқайсысында 2 цифрдан тұратын беттер қанша болса, сонша цифр бар (сол жақта бір цифр болуы мүмкін).
Екінші тарау.
Бүтін және бөлшектердің жуық квадрат түбірін алу .
Көпмүшелердің квадрат түбірін алу үшін § 399 және сек. 2-ші бөлігіндегі толықтыруларды қараңыз.
174. Нақты квадрат түбірдің белгілері.Берілген санның дәл квадрат түбірі деп квадраты берілген санға дәл тең болатын санды айтады. Берілген саннан нақты түбір алуға болатынын немесе болмайтынын анықтауға болатын кейбір белгілерді көрсетейік:
A)Егер берілген бүтін саннан нақты бүтін түбір алынбаса (қалдық шығару кезінде алынады), онда мұндай саннан бөлшек нақты түбір табылмайды, өйткені өзіне көбейтілгенде натурал санға тең емес кез келген бөлшек , сонымен қатар көбейтіндіде бүтін сан емес, бөлшек шығарады.
б)Бөлшектің түбірі алым түбірін азайғыштың түбіріне бөлгенге тең болғандықтан, азайтылмайтын бөлшектің дәл түбірін алымнан немесе бөлгіштен шығару мүмкін болмаса, табу мүмкін емес. Мысалы, 4/5, 8/9 және 11/15 бөлшектерінен нақты түбірді шығаруға болмайды, өйткені бірінші бөлшекте бөлгіштен, екіншісінде - алымнан, ал үшіншіде - бөлуге болмайды. алымнан да, бөлшектен де емес.
Нақты түбір алу мүмкін емес сандардан тек шамамен түбірлерді алуға болады.
175. 1-ге дейінгі дәлдіктің жуық түбірі. Берілген санның 1-ге дейінгі дәлдігі (бүтін немесе бөлшек, маңызды емес) жуық квадрат түбірі келесі екі талапты қанағаттандыратын бүтін сан болып табылады:
1) осы санның квадраты берілген саннан үлкен емес; 2) бірақ 1-ге өскен бұл санның квадраты осы саннан үлкен. Басқаша айтқанда, 1-ге дәл келетін жуық квадрат түбір - бұл берілген санның ең үлкен бүтін квадрат түбірі, яғни алдыңғы тарауда табуды үйренген түбір. Бұл түбір 1 дәлдікпен жуық деп аталады, өйткені дәл түбірді алу үшін осы жуық түбірге 1-ден кіші бөлшекті қосу керек еді, сондықтан белгісіз нақты түбірдің орнына осы жуықты алсақ, біз жасаймыз. қате 1-ден аз.
Ереже. 1-ге дейінгі дәлдіктегі шамамен квадрат түбірді шығару үшін берілген санның бүтін бөлігінің ең үлкен бүтін түбірін шығару керек.
Бұл ереже бойынша табылған сан кемшілігі бар шамамен түбір болып табылады, өйткені онда белгілі бір бөлшектің дәл түбірі жоқ (1-ден аз). Егер бұл түбірді 1-ге көбейтсек, онда нақты түбірден біршама артық болатын тағы бір сан аламыз және бұл артық 1-ден аз. 1-ге өскен бұл түбірді 1-ге дейінгі дәлдікпен жуық түбір деп те атауға болады, бірақ артықшылығымен. (Кейбір математикалық кітаптардағы «кемшілікпен» немесе «артық» деген атаулар басқа баламалылармен ауыстырылады: «кемшілікпен» немесе «артық»).
176. 1/10 дәлдікпен жуық түбір. 1/10 дәлдікпен √2,35104 табу керек делік. Бұл бүтін бірліктер мен ондықтардан тұратын және келесі екі талапты қанағаттандыратын ондық бөлшекті табу керек дегенді білдіреді:
1) бұл бөлшектің квадраты 2,35104-тен аспайды, бірақ 2) егер оны 1/10-ға көбейтсек, онда бұл көбейтілген бөлшектің квадраты 2,35104-тен асады.
Мұндай бөлшекті табу үшін алдымен 1-ге дейінгі дәлдіктің жуық түбірін табамыз, яғни түбірді тек 2 бүтін санынан аламыз. 1 аламыз (ал қалғаны 1). Түбірге 1 санын жазып, одан кейін үтір қоямыз. Енді ондықтардың санын іздейміз. Ол үшін ондық бөлшектің оң жағындағы 35 цифрын қалдық 1-ге түсіріп, 235 бүтін санның түбірін шығарып жатқандай шығаруды жалғастырамыз. Түбірге алынған 5 санын ондықтардың орнына жазамыз. . Бізге радикалды санның (104) қалған цифрлары қажет емес. Алынған 1,5 саны шын мәнінде 1/10 дәлдікпен шамамен түбір болатынын келесіден көруге болады. 235-тің ең үлкен бүтін түбірін 1 дәлдікпен тапсақ, 15 шығады. Сонымен:
15 2 < 235, бірақ 16 2 >235.
Осы сандарды 100-ге бөлсек, мынаны аламыз:
Бұл 1,5 саны 1/10 дәлдігімен жуық түбір деп атаған ондық бөлшек екенін білдіреді.
Бұл әдісті қолдана отырып, біз 0,1 дәлдікпен келесі жуық түбірлерді таба аламыз:
177. Шамамен квадрат түбірі 1/100-ден 1/1000 шегіне дейін және т.б.
1/100 дәлдігімен √248 жуық мәнін табу керек делік. Бұл мынаны білдіреді: бүтін, ондық және жүздік бөліктерден тұратын және екі талапты қанағаттандыратын ондық бөлшекті табыңыз:
1) оның квадраты 248-ден аспайды, бірақ 2) бұл бөлшекті 1/100 көбейтсек, онда бұл өскен бөлшектің квадраты 248-ден асады.
Мұндай бөлшекті келесі ретпен табамыз: алдымен бүтін санды, содан кейін ондық цифрды, содан кейін жүздік цифрды табамыз. Бүтін санның түбірі 15 бүтін сан. Ондық цифрды алу үшін, біз көргеніміздей, қалғанға ондық бөлшектің оң жағына тағы 23 2 цифрды қосу керек. Біздің мысалда бұл сандар мүлдем жоқ, біз олардың орнына нөлдерді қоямыз. Оларды қалдыққа қосып, 24 800 бүтін санның түбірін тауып жатқандай жалғастырсақ, ондық 7 цифрын табамыз. Енді жүздіктер цифрын табу керек. Ол үшін қалған 151-ге тағы 2 нөл қосып, 2 480 000 бүтін санның түбірін тапқандай шығаруды жалғастырамыз.15,74 аламыз. Бұл санның шын мәнінде 1/100 дәлдігімен 248-дің шамамен түбірі екенін төмендегіден көруге болады. Егер біз 2 480 000 бүтін санның ең үлкен бүтін квадрат түбірін тапсақ, 1574 аламыз; білдіреді:
1574 2 < 2 480 000, бірақ 1575 2 > 2 480 000.
Барлық сандарды 10 000-ға (= 100 2) бөлсек, мынаны аламыз:
Бұл 15,74 - бұл 248-дің 1/100 дәлдігімен жуық түбір деп атаған ондық бөлшек екенін білдіреді.
Бұл әдісті 1/1000-нан 1/10000 және т.б. дәлдікпен жуық түбірін табу үшін қолданып, біз келесіні табамыз.
Ереже. Берілген бүтін саннан немесе 1/10-ден 1/100-ден 1/100-ге дейін және т.б. дәлдігімен берілген ондық бөлшектен жуық түбірді алу үшін алдымен 1-ге дейінгі дәлдікпен жуық түбірді тауып, түбірдің түбірін алу керек. бүтін сан (егер ол жоқ болса, олар 0 бүтін санның түбірі туралы жазады).
Содан кейін олар ондық санын табады. Ол үшін қалдыққа ондық бөлшектің оң жағындағы радикалды санның 2 цифрын қосыңыз (егер олар жоқ болса, қалғанға екі нөл қосыңыз) және бүтін санның түбірін шығарған кездегідей шығаруды жалғастырыңыз. . Алынған сан түбірге ондықтардың орнына жазылады.
Содан кейін жүздіктер санын табыңыз. Ол үшін жаңа ғана жойылғандардың оң жағындағы екі сан қалғанға қосылады, т.б.
Осылайша, ондық бөлшек бар бүтін санның түбірін шығарғанда, ондық бөлшектен бастап, солға да (санның бүтін бөлігінде) және оңға (ішінде) әрқайсысы 2 цифрдан беттерге бөлу керек. бөлшек бөлігі).
Мысалдар.
1) 1/100 түбірге дейін табыңыз: а) √2; b) √0,3;
Соңғы мысалда түбірдің 4 ондық таңбасын табу үшін қажетті 4 бетті құру үшін 8 ондық таңбаны есептеу арқылы 3/7 бөлігін ондық бөлшекке айналдырдық.
178. Квадрат түбірлер кестесінің сипаттамасы.Бұл кітаптың соңында төрт цифрмен есептелген квадрат түбірлер кестесі берілген. Бұл кестені пайдалана отырып, төрт цифрдан аспайтын бүтін санның (немесе ондық бөлшектің) квадрат түбірін жылдам табуға болады. Бұл кестенің құрылымын түсіндірмес бұрын, біз әрқашан радикалды санға қарап, кестелердің көмегінсіз қажетті түбірдің бірінші маңызды цифрын таба алатынымызды ескереміз; Түбірдің бірінші цифры қай ондық таңбаны білдіретінін де оңай анықтай аламыз, демек, түбірде оның цифрларын тапқан кезде үтір қою керек. Міне, кейбір мысалдар:
1) √5"27,3 . Бірінші цифр 2 болады, өйткені радикал санның сол жағы 5; ал 5-тің түбірі 2-ге тең. Сонымен қатар, радикалдың бүтін бөлігінде тек 2 бет болатындықтан, қажетті түбірдің бүтін бөлігінде 2 цифр болуы керек, демек, оның бірінші цифры 2 болуы керек. ондағандарды білдіреді.
2) √9.041. Бұл түбірде бірінші сан 3 жай бірлік болатыны анық.
3) √0,00"83"4. Бірінші маңызды цифр - 9, өйткені бірінші маңызды разрядты алу үшін түбірі алынуы керек болатын бет 83, ал 83-тің түбірі 9. Қажетті сан бүтін сандарды да, ондықтарды да қамтымайтындықтан, бірінші 9 цифры жүздіктерді білдіруі керек.
4) √0,73"85. Бірінші маңызды көрсеткіш 8 ондық.
5) √0,00"00"35"7. Бірінші маңызды көрсеткіш 5 мыңдық болады.
Тағы бір ескерту жасайық. Онда орналасқан сөзді алып тастағаннан кейін келесідей сандар қатарымен берілген санның түбірін шығару керек деп есептейік: 5681. Бұл түбір келесілердің бірі болуы мүмкін:
Егер астын сызатын түбірлерді бір сызықпен алатын болсақ, онда олардың барлығы бірдей сандар қатарымен, дәлірек айтқанда 5681-ден түбірді алу кезінде алынған сандармен өрнектеледі (бұл 7, 5, 3, 7 сандары болады). ). Мұның себебі, түбірдің цифрларын табу кезінде түбегейлі сан бөлінетін беттер осы мысалдардың барлығында бірдей болады, сондықтан әрбір түбірдің цифрлары бірдей болады (тек ондық бөлшектің орны ғана). нүкте, әрине, басқаша болады). Дәл осылай, біз екі жолмен астын сызған барлық түбірлерде бірдей сандар, дәлірек √568.1 (бұл сандар 2, 3, 8, 3 болады) өрнектеуге арналған сандар алынуы керек. себебі. Осылайша, бірдей 5681 қатарымен (үтірді қою арқылы) берілген сандардың түбірлерінің цифрлары екі (тек екі) түрге ие болады: не бұл 7, 5, 3, 7, не қатар 2, 3, 8, 3. Сол сияқты, анық, кез келген басқа сандар қатары туралы айтуға болады. Сондықтан, қазір көретініміздей, кестеде радикалды санның цифрларының әрбір жолы түбірлер үшін цифрлардың 2 жолына сәйкес келеді.
Енді кестенің құрылымын және оны қалай пайдалану керектігін түсіндіре аламыз. Түсіндіру түсінікті болу үшін біз мұнда кестенің бірінші бетінің басын көрсеттік.
Бұл кесте бірнеше бетте орналасқан. Олардың әрқайсысында сол жақтағы бірінші бағанда 10, 11, 12... (99-ға дейін) сандары орналастырылған. Бұл сандар квадрат түбірі ізделетін санның алғашқы 2 цифрын білдіреді. Жоғарғы көлденең сызықта (сонымен қатар төменгі жағында) сандар: осы санның 3-ші цифрын білдіретін 0, 1, 2, 3... 9, одан әрі оң жақта 1, 2, 3. . . 9, осы санның 4-ші цифрын білдіреді. Барлық басқа көлденең сызықтар сәйкес сандардың квадрат түбірін өрнектейтін 2 төрт таңбалы саннан тұрады.
Бүтін немесе ондық бөлшек түрінде берілген қандай да бір санның квадрат түбірін табу керек делік. Ең алдымен, біз кестелердің көмегінсіз түбірдің бірінші цифрын және оның цифрын табамыз. Содан кейін, егер бар болса, осы сандағы үтірді алып тастаймыз. Алдымен үтірді алып тастағаннан кейін, мысалы, тек 3 цифр қалады деп есептейік. 114. Біз кестелерден ең сол жақ бағандағы алғашқы 2 цифрды, яғни 11-ді табамыз және олардан оңға қарай көлденең сызық бойымен тік бағанға жеткенше жылжимыз, оның жоғарғы жағында (және төменгі жағында) 3-ші цифр орналасқан. санының , яғни 4. Бұл жерде біз екі төрт таңбалы санды табамыз: 1068 және 3376. Осы екі санның қайсысын алу керек және онда үтірді қай жерге қою керек, бұл түбірдің бірінші цифрымен анықталады және оның цифры, біз бұрын тапқан. Сонымен, егер √0,11"4 табу керек болса, онда түбірдің бірінші цифры 3 ондық болады, сондықтан түбір үшін 0,3376 алу керек. Егер √1,14 табу керек болса, онда түбірдің бірінші цифры болар еді. 1, ал біз Сонда біз 1,068 қабылдаймыз.
Осылайша біз оңай таба аламыз:
√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, т.б.
Енді 4 цифрмен өрнектелген санның түбірін (ондық бөлшекті түсіру арқылы) табу керек деп есептейік, мысалы, √7"45,6. Түбірдің бірінші цифры 2 ондық екенін ескеріп, 745 саны, қазір түсіндірілгендей, 2729 сандары (біз бұл санды саусақпен ғана байқаймыз, бірақ оны жазбаймыз.) Содан кейін біз осы саннан одан әрі оңға қарай, үстелдің оң жағына (артында) жылжимыз. соңғы жуан жол) үстіңгі (және төменгі) 4 жағында белгіленген тік бағанды, берілген санның 4-ші цифрын, яғни 6 санын кездестіреміз және сол жерден 1 санын табамыз. Бұл міндетті түрде қолданылатын түзету болады. (ойда) бұрын табылған 2729 санына, біз 2730 аламыз. Осы санды жазып, оның тиісті орнына үтір қоямыз : 27.30.
Осылайша біз, мысалы:
√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107, т.б.
Егер түбегейлі сан тек бір немесе екі цифрмен өрнектелсе, онда бұл цифрлардан кейін бір немесе екі нөл тұрады деп болжауға болады, содан кейін үш таңбалы сан үшін түсіндірілгендей әрекет ете аламыз. Мысалы, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, т.б..
Соңында, егер радикалды сан 4-тен көп цифрмен өрнектелсе, онда біз олардың алғашқы 4-ін ғана аламыз, ал қалғанын алып тастаймыз және қатені азайту үшін, егер жойылған цифрлардың біріншісі 5 немесе 5-тен көп болса, онда сақталған цифрлардың төрттен бір бөлігін l көбейтеміз . Сонымен:
√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; және т.б.
Түсініктеме. Кестелер шамамен квадрат түбірін көрсетеді, кейде жетіспеуімен, кейде артығымен, дәлірек айтсақ, дәл түбірге жақындайтын осы жуық түбірлердің бірі.
179. Жай бөлшектерден квадрат түбір алу.Келтірілген бөлшектің дәл квадрат түбірін бөлшектің екі мүшесі де дәл квадрат болғанда ғана алуға болады. Бұл жағдайда алым мен бөлгіштің түбірін бөлек шығарып алу жеткілікті, мысалы:
Кейбір ондық дәлдігі бар жай бөлшектің жуық квадрат түбірін табудың ең оңай жолы - алдымен жай бөлшекті ондық бөлшекке түрлендіру, осы бөлшекте ондық бөлшектен кейінгі ондық таңбалардың санын есептеп, ондық бөлшектердің санынан екі есе көп болады. қалаған түбірде.
Дегенмен, сіз мұны басқаша жасай аласыз. Мұны келесі мысалмен түсіндірейік:
√ 5 / 24 жуық мәнін табыңыз
Бөлгішті дәл квадрат жасайық. Ол үшін бөлшектің екі мүшесін де 24 бөліміне көбейту жеткілікті болады; бірақ бұл мысалда мұны басқаша жасауға болады. 24-ті жай көбейткіштерге бөлейік: 24 = 2 2 2 3. Бұл ыдыраудан 24-ті 2-ге және тағы 3-ке көбейтсе, онда көбейтіндіде әрбір жай көбейткіш жұп рет қайталанатыны анық, демек, , бөлгіш шаршыға айналады:
√30-ды біршама дәлдікпен есептеу және нәтижені 12-ге бөлу қалды. 12-ге бөлу дәлдік дәрежесін көрсететін бөлшекті де азайтатынын есте ұстаған жөн. Сонымен, егер √30-ды 1/10 дәлдікпен тауып, нәтижені 12-ге бөлсек, 1/120 дәлдікпен 5/24 бөлігінің жуық түбірін аламыз (яғни 54/120 және 55/120)
Үшінші тарау.
Функцияның графигіx = √y .
180. Кері функция.анықтайтын кейбір теңдеу берілсін сағ функциясы ретінде X , мысалы, келесідей: y = x 2 . ғана емес анықтайды деп айта аламыз сағ функциясы ретінде X , сонымен қатар, керісінше, анықтайды X функциясы ретінде сағ , жасырын түрде болса да. Бұл функцияны анық ету үшін мына теңдеуді шешуіміз керек X , қабылдау сағ белгілі сан үшін; Сонымен, алынған теңдеуден мынаны табамыз: y = x 2 .
у-ды х-тің функциясы ретінде анықтайтын теңдеуді шешкеннен кейін х үшін алынған алгебралық өрнек у-ны анықтайтын функцияның кері функциясы деп аталады.
Сонымен, функция x = √y кері функция y = x 2 . Егер әдеттегідей тәуелсіз айнымалыны белгілейміз X , және тәуелді сағ , онда қазір алынған кері функцияны келесі түрде көрсетуге болады: y = √ x . Сонымен, берілген (тікелей) функцияға кері функцияны алу үшін осы берілген функцияны анықтайтын теңдеуден шығару керек. X байланысты ж және алынған өрнекте ауыстырыңыз ж қосулы x , А X қосулы ж .
181. Функцияның графигі y = √ x . Бұл функция теріс мәнмен мүмкін емес X , бірақ оны кез келген оң мән үшін (кез келген дәлдікпен) есептеуге болады x , және әрбір осындай мән үшін функция бірдей абсолюттік мәні бар, бірақ таңбалары қарама-қарсы екі түрлі мәнді алады. Егер сіз таныс болсаңыз √ Егер квадрат түбірдің арифметикалық мәнін ғана белгілесек, онда функцияның бұл екі мәнін келесідей көрсетуге болады: у= ± √ x Бұл функцияның графигін салу үшін алдымен оның мәндерінің кестесін құрастыру керек. Бұл кестені құрудың ең оңай жолы - тікелей функция мәндерінің кестесі:
y = x 2 .
|
x |
||||||||||||
|
ж |
мәндер болса сағ құндылықтар ретінде қабылдайды X , және керісінше:
у= ± √ x
Барлық осы мәндерді сызбаға салу арқылы біз келесі графикті аламыз.
Сол сызбада біз тура функцияның графигін (сынық сызықпен) бейнеледік y = x 2 . Осы екі графикті бір-бірімен салыстырайық.
182. Тура және кері функциялардың графиктері арасындағы байланыс.Кері функцияның мәндерінің кестесін құрастыру у= ± √ x үшін алдық X тікелей функция кестесіндегі сандар y = x 2 үшін құндылықтар ретінде қызмет етті сағ , және үшін сағ бұл сандарды алды; Бұл кестеде қандай мәндер болды x . Бұдан шығатыны, екі график те бірдей, тек тура функцияның графигі оське қатысты осылай орналасқан. сағ - кері функцияның графигі оське қатысты қалай орналасқанын X - ов. Нәтижесінде сызбаны түзу сызықтың айналасында бүктесек О.А тік бұрышты екіге бөлу xOy , осылайша сызбаның жарты осьті қамтитын бөлігі OU , ось білігі бар бөлікке құлады О , Бұл OU -мен үйлесімді О , барлық бөлімдер OU бөлімдермен сәйкес келеді О , және парабола нүктелері y = x 2 графиктегі сәйкес нүктелермен тураланады у= ± √ x . Мысалы, ұпайлар М Және Н , кімнің ординаты 4 , және абсциссалар 2 Және - 2 , нүктелерімен сәйкес келеді М" Және N" , ол үшін абсцисса 4 , және ординаталар 2 Және - 2 . Егер бұл нүктелер сәйкес келсе, бұл түзу сызықтарды білдіреді MM" Және NN" перпендикуляр О.Ажәне осы түзуді екіге бөліңіз. Екі графиктегі барлық басқа сәйкес нүктелер үшін де солай айтуға болады.
Осылайша, кері функцияның графигі тура функцияның графигімен бірдей болуы керек, бірақ бұл графиктер әртүрлі, яғни бұрыштың биссектрисасына қатысты бір-бірімен симметриялы түрде орналасқан. xOy . Кері функцияның графигі бұрыштың биссектрисасына қатысты тікелей функция графигінің көрінісі (айнадағы сияқты) деп айта аламыз. xOy .
Математика адам өзін-өзі танып, өзін әлемнің автономды бірлігі ретінде көрсете бастаған кезде пайда болды. Сізді қоршап тұрған нәрсені өлшеуге, салыстыруға, санауға деген ұмтылыс бүгінгі күннің іргелі ғылымдарының бірі болып табылады. Алдымен бұл сандарды олардың физикалық өрнектерімен байланыстыруға мүмкіндік беретін қарапайым математиканың бөлшектері болды, кейінірек қорытындылар тек теориялық түрде (абстракцияға байланысты) ұсыныла бастады, бірақ біраз уақыттан кейін бір ғалым айтқандай, « Математика күрделілік шегіне жеткенде, олар одан жоғалып кетті.» барлық сандар». «Квадрат түбір» ұғымы есептеулер жазықтығынан шығып, эмпирикалық деректермен оңай қолдауға болатын уақытта пайда болды.
Бәрі қайдан басталды
Қазіргі уақытта √ деп белгіленетін түбір туралы алғашқы ескерту қазіргі арифметиканың негізін қалаған Вавилон математиктерінің еңбектерінде жазылған. Әрине, олардың қазіргі пішінге ұқсастығы аз болды - сол жылдардағы ғалымдар алғаш рет көлемді таблеткаларды пайдаланды. Бірақ біздің дәуірімізге дейінгі екінші мыңжылдықта. e. Олар квадрат түбірді алу жолын көрсететін шамамен есептеу формуласын шығарды. Төмендегі фотосуретте вавилондық ғалымдар √2 шығару процесін ойып салған тасты көрсетеді және оның дұрыс болғаны соншалық, жауаптағы сәйкессіздік ондық ондық таңбадан ғана табылды.
Сонымен қатар, үшбұрыштың қабырғасын табу қажет болса, қалған екеуі белгілі болған жағдайда түбір пайдаланылды. Квадрат теңдеулерді шешкенде түбірді шығарудан құтылу мүмкін емес.
Мақаланың нысанасы Вавилондық еңбектермен қатар қытайдың «Тоғыз кітаптағы математика» еңбегінде де зерттеліп, ежелгі гректер түбірді қалдықсыз шығаруға болмайтын кез келген сан қисынсыз нәтиже береді деген қорытындыға келді. .
Бұл терминнің пайда болуы санның араб тіліндегі көрінісімен байланысты: ежелгі ғалымдар ерікті санның квадраты өсімдік сияқты тамырдан өседі деп есептеген. Латын тілінде бұл сөз радикс сияқты естіледі (сіз үлгіні қадағалай аласыз - «түбір» мағынасы бар барлық нәрсе дауыссыз, мейлі ол шалғам немесе радикулит).
Кейінгі ұрпақтардың ғалымдары бұл идеяны қабылдап, оны Rx деп белгіледі. Мысалы, 15 ғасырда ерікті а санының квадрат түбірі алынғанын көрсету үшін олар R 2 a деп жазды. Қазіргі көзге таныс «кене» тек 17 ғасырда Рене Декарттың арқасында пайда болды.
Біздің күндер
Математикалық терминдерде у санының квадрат түбірі квадраты у-ға тең z саны болып табылады. Басқаша айтқанда, z 2 =y √y=z тең. Бірақ бұл анықтама тек арифметикалық түбірге қатысты, өйткені ол өрнектің теріс емес мәнін білдіреді. Басқаша айтқанда, √y=z, мұндағы z 0-ден үлкен немесе оған тең.
Жалпы, алгебралық түбірді анықтауға қатысты өрнектің мәні оң немесе теріс болуы мүмкін. Сонымен, z 2 =y және (-z) 2 =y болғандықтан, бізде: √y=±z немесе √y=|z|.
Математикаға деген сүйіспеншілік ғылымның дамуымен ғана арта түскендіктен, оған деген сүйіспеншіліктің құрғақ есеппен айтылмайтын түрлі көріністері бар. Мысалы, Пи күні сияқты қызықты құбылыстармен қатар шаршы түбір мерекелері де тойланады. Олар әр жүз жылда тоғыз рет тойланады және келесі принцип бойынша анықталады: күн мен айды ретімен көрсететін сандар жылдың квадрат түбірі болуы керек. Сонымен, бұл мерекені келесі жолы 2016 жылдың 4 сәуірінде тойлайтын боламыз.
R өрісіндегі квадрат түбірдің қасиеттері
Математикалық өрнектердің барлығы дерлік геометриялық негізге ие және ауданы y шаршының қабырғасы ретінде анықталатын √y бұл тағдырдан құтылған жоқ.
Санның түбірін қалай табуға болады?
Бірнеше есептеу алгоритмдері бар. Ең қарапайым, бірақ сонымен бірге өте қиын - әдеттегі арифметикалық есептеу, ол келесідей:
1) түбірі қажет саннан тақ сандар кезекпен алынып тасталады - шығыстағы қалдық шегерілгеннен аз немесе жұп нөлге тең болғанша. Қозғалыстар саны сайып келгенде қажетті санға айналады. Мысалы, 25-тің квадрат түбірін есептеу:
Келесі тақ сан 11, қалғаны: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Мұндай жағдайлар үшін Тейлор сериясының кеңеюі бар:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , мұндағы n 0-ден бастап мәндерді қабылдайды
+∞ және |y|≤1.
z=√y функциясының графикалық көрінісі
R нақты сандар өрісінде z=√y элементар функциясын қарастырайық, мұндағы у нөлден үлкен немесе тең. Оның кестесі келесідей көрінеді:
Қисық басынан өседі және міндетті түрде (1; 1) нүктесін қиып өтеді.
R нақты сандар өрісіндегі z=√y функциясының қасиеттері
1. Қарастырылып отырған функцияның анықталу облысы нөлден плюс шексіздікке дейінгі интервал (нөл кіреді).
2. Қарастырылып отырған функция мәндерінің диапазоны нөлден плюс шексіздікке дейінгі аралық болып табылады (нөл қайтадан қосылады).
3. Функция өзінің ең кіші мәнін (0) тек (0; 0) нүктесінде қабылдайды. Максималды мән жоқ.
4. z=√y функциясы жұп та, тақ та емес.
5. z=√y функциясы периодты емес.
6. z=√y функциясының графигінің координата осьтерімен қиылысуының бір ғана нүктесі бар: (0; 0).
7. z=√y функциясының графигінің қиылысу нүктесі де осы функцияның нөлі болады.
8. z=√y функциясы үздіксіз өсуде.
9. z=√y функциясы тек оң мәндерді қабылдайды, сондықтан оның графигі бірінші координаталық бұрышты алады.
z=√y функциясын көрсету опциялары
Математикада күрделі өрнектерді есептеуді жеңілдету үшін кейде квадрат түбірді жазудың дәрежелік түрі қолданылады: √y=y 1/2. Бұл опция, мысалы, функцияны дәрежеге көтеру үшін ыңғайлы: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Бұл әдіс интегралдау арқылы дифференциалдау үшін де жақсы көрініс болып табылады, өйткені оның арқасында квадрат түбір кәдімгі дәреже функциясы ретінде ұсынылған.
Ал программалауда √ символын ауыстыру sqrt әріптерінің тіркесімі болып табылады.
Айта кету керек, бұл аймақта квадрат түбір үлкен сұранысқа ие, өйткені ол есептеулер үшін қажетті геометриялық формулалардың көпшілігінің бөлігі болып табылады. Санау алгоритмінің өзі айтарлықтай күрделі және рекурсияға негізделген (өзін шақыратын функция).
Күрделі өрістегі квадрат түбір C
Жалпы алғанда, дәл осы мақаланың тақырыбы C күрделі сандар өрісінің ашылуына түрткі болды, өйткені математиктерді теріс санның жұп түбірін алу мәселесі мазалайтын. Өте қызық қасиетімен сипатталатын қиял бірлігі i осылай пайда болды: оның квадраты -1. Осының арқасында квадрат теңдеулер теріс дискриминантпен де шешілді. C тілінде R-дегідей квадрат түбірге бірдей қасиеттер сәйкес келеді, жалғыз нәрсе - радикалды өрнекке шектеулер жойылады.
Жүктелуде...
