5x (x - 4) = 0
5 x = 0 немесе x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Бірінші дәрежелі теңдеулерді шешуді үйренгеннен кейін, әрине, сіз басқалармен, атап айтқанда, екінші дәрежелі теңдеулермен жұмыс істегіңіз келеді, олар басқаша квадрат деп аталады.
Квадрат теңдеулер ax² + bx + c = 0 сияқты теңдеулер, мұндағы айнымалы x, сандар a, b, c, мұндағы a нөлге тең емес.
Егер квадрат теңдеуде бір немесе басқа коэффициент (c немесе b) нөлге тең болса, онда бұл теңдеу толық емес квадрат теңдеу ретінде жіктеледі.
Егер студенттер осы уақытқа дейін тек бірінші дәрежелі теңдеулерді шеше алса, толық емес квадрат теңдеуді қалай шешуге болады? Толық емес квадрат теңдеулерді қарастырыңыз әртүрлі түрлеріжәне оларды шешудің қарапайым тәсілдері.
а) Егер с коэффициенті 0-ге тең болса, ал b коэффициенті нөлге тең болмаса, онда ax ² + bx + 0 = 0 ax ² + bx = 0 түріндегі теңдеуге келтіріледі.
Мұндай теңдеуді шешу үшін толық емес квадрат теңдеуді шешу формуласын білу керек, ол оның сол жағын көбейткіштерге бөлуден және кейінірек көбейтінді нөлге тең болу шартын қолданудан тұрады.
Мысалы, 5x² - 20x = 0. Кәдімгі математикалық операцияны орындай отырып, теңдеудің сол жағын көбейтеміз: шығару ортақ көбейткішжақшадан тыс
5x (x - 4) = 0
Өнімдердің нөлге тең болуы шартын қолданамыз.
5 x = 0 немесе x - 4 = 0
Жауап мынадай болады: бірінші түбір 0; екінші түбір 4.
б) Егер b = 0, ал бос мүше нөлге тең болмаса, онда ax ² + 0x + c = 0 теңдеуі ax ² + c = 0 түріндегі теңдеуге келтіріледі. Теңдеулер екі жолмен шешіледі. : а) теңдеудің сол жағындағы көпмүшені көбейткіштерге бөлу арқылы ; б) арифметикалық квадрат түбірдің қасиеттерін қолдану. Мұндай теңдеуді әдістердің бірін пайдаланып шешуге болады, мысалы:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Жауап мынадай болады: бірінші түбір 5/2; екінші түбір - 5/2 тең.
в) Егер b 0-ге және с 0-ге тең болса, онда ax ² + 0 + 0 = 0 ax ² = 0 түріндегі теңдеуге келтіріледі. Мұндай теңдеуде х 0-ге тең болады.
Көріп отырғаныңыздай, толық емес квадрат теңдеулердің екіден көп түбірі болуы мүмкін емес.
Бұл тақырып басында қиын болып көрінуі мүмкін, себебі көбісі ондай емес қарапайым формулалар. Квадрат теңдеулердің өзінде ұзын белгілер ғана емес, түбірі де дискриминант арқылы табылады. Барлығы үш жаңа формула алынды. Есте сақтау өте оңай емес. Мұндай теңдеулерді жиі шешкеннен кейін ғана мүмкін болады. Сонда барлық формулалар өздігінен есте қалады.
Квадрат теңдеудің жалпы көрінісі
Мұнда біз ең алдымен ең үлкен дәреже, содан кейін кему ретімен жазылған кезде олардың анық жазылуын ұсынамыз. Терминдер сәйкес келмейтін жағдайлар жиі кездеседі. Содан кейін теңдеуді айнымалының дәрежесінің кему ретімен қайта жазған дұрыс.
Кейбір белгілерді енгізейік. Олар төмендегі кестеде берілген.
Бұл белгілерді қабылдайтын болсақ, барлық квадрат теңдеулер келесі белгілерге келтіріледі.
Сонымен қатар, a ≠ 0 коэффициенті. Бұл формула бірінші нөмірмен белгіленсін.
Теңдеу берілгенде жауапта қанша түбір болатыны белгісіз. Үш нұсқаның бірі әрқашан мүмкін болғандықтан:
- ерітіндінің екі тамыры болады;
- жауап бір сан болады;
- теңдеудің түбірі мүлдем болмайды.
Ал шешім түпкілікті шешілмейінше, нақты жағдайда қандай нұсқа пайда болатынын түсіну қиын.
Квадрат теңдеулерді жазу түрлері
Тапсырмаларда әртүрлі жазбалар болуы мүмкін. Олар әрқашан ұқсамайды жалпы формулаквадрат теңдеу. Кейде кейбір терминдер жетіспейді. Жоғарыда жазылған нәрсе толық теңдеу. Ондағы екінші немесе үшінші терминді алып тастасаңыз, сіз басқа нәрсе аласыз. Бұл жазбаларды квадрат теңдеулер деп те атайды, тек толық емес.
Оның үстіне «b» және «c» коэффициенттері бар мүшелер ғана жойылуы мүмкін. «a» саны ешбір жағдайда нөлге тең бола алмайды. Өйткені бұл жағдайда формула сызықтық теңдеуге айналады. Толық емес теңдеулердің формулалары келесідей болады:
Сонымен, тек екі түрі бар, толық емес квадрат теңдеулер де бар; Бірінші формула екі, ал екіншісі - үш болсын.
Дискриминант және түбірлер санының оның мәніне тәуелділігі
Теңдеудің түбірлерін есептеу үшін бұл санды білу керек. Квадрат теңдеудің формуласы қандай болса да, оны әрқашан есептеуге болады. Дискриминантты есептеу үшін төменде жазылған теңдікті пайдалану керек, оның төрт саны болады.
Осы формулаға коэффициент мәндерін ауыстырғаннан кейін сандарды алуға болады әртүрлі белгілер. Егер жауап иә болса, онда теңдеудің жауабы екі болады әртүрлі тамырлар. Егер сан теріс болса, квадрат теңдеудің түбірі болмайды. Егер ол нөлге тең болса, онда бір ғана жауап болады.
Толық квадрат теңдеуді қалай шешуге болады?
Негізі бұл мәселені қарау басталып та кетті. Өйткені алдымен дискриминант табу керек. Квадрат теңдеудің түбірлері бар екені анықталып, олардың саны белгілі болғаннан кейін айнымалылар үшін формулаларды қолдану керек. Егер екі түбір болса, онда келесі формуланы қолдану керек.
Онда «±» таңбасы бар болғандықтан, екі мән болады. Квадрат түбір белгісінің астындағы өрнек дискриминант болып табылады. Сондықтан формуланы басқаша қайта жазуға болады.
Формула нөмірі бес. Бір жазбадан, егер дискриминант нөлге тең болса, онда екі түбір де бірдей мәндерді қабылдайтыны анық.
Шешім болса квадрат теңдеулерәлі пысықталған жоқ, дискриминант пен айнымалы формулаларды қолданбас бұрын барлық коэффициенттердің мәндерін жазып алған дұрыс. Кейінірек бұл сәт қиындық тудырмайды. Бірақ ең басында түсінбеушілік бар.
Толық емес квадрат теңдеуді қалай шешуге болады?
Мұнда бәрі әлдеқайда қарапайым. Тіпті қосымша формулалардың қажеті де жоқ. Ал дискриминант пен белгісіз үшін бұрыннан жазылып қойғандары қажет болмайды.
Біріншіден, екінші нөмірлі толық емес теңдеуді қарастырайық. Бұл теңдікте жақшаның ішінен белгісіз шаманы шығарып, жақшада қалатын сызықтық теңдеуді шешу керек. Жауаптың екі түбірі болады. Біріншісі міндетті түрде нөлге тең, өйткені айнымалының өзінен тұратын көбейткіш бар. Екіншісі сызықтық теңдеуді шешу арқылы алынады.
Үшінші нөмірлі толық емес теңдеу санды теңдіктің сол жағынан оңға жылжыту арқылы шешіледі. Содан кейін белгісізге қарайтын коэффициентке бөлу керек. Тек квадрат түбірді шығарып алу және оны екі рет қарама-қарсы белгілермен жазуды ұмытпаңыз.
Төменде квадрат теңдеулерге айналатын теңдіктердің барлық түрлерін шешуді үйренуге көмектесетін бірнеше қадамдар берілген. Олар оқушының зейінсіздігінен қателік жібермеуге көмектеседі. Бұл кемшіліктер «Квадрат теңдеулер (8-сынып)» кең тақырыбын оқу кезінде нашар бағаға әкелуі мүмкін. Кейіннен бұл әрекеттерді үнемі орындау қажет болмайды. Өйткені тұрақты шеберлік пайда болады.
- Алдымен теңдеуді стандартты түрде жазу керек. Яғни, алдымен айнымалының ең үлкен дәрежесі бар термин, содан кейін - дәрежесі жоқ, ең соңында - жай ғана сан.
- Егер «a» коэффициентінің алдында минус пайда болса, бұл квадрат теңдеулерді зерттейтін жаңадан бастаушылар үшін жұмысты қиындатуы мүмкін. Одан құтылған дұрыс. Ол үшін барлық теңдіктерді «-1»-ге көбейту керек. Бұл барлық терминдер таңбаны керісінше өзгертетінін білдіреді.
- Дәл осылай фракциялардан құтылу ұсынылады. Бөлгіштер жойылуы үшін теңдеуді сәйкес көбейткішке көбейтіңіз.
Мысалдар
Келесі квадрат теңдеулерді шешу қажет:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Бірінші теңдеу: x 2 − 7x = 0. Ол толық емес, сондықтан ол екінші формула үшін сипатталғандай шешіледі.
Оны жақшадан шығарғаннан кейін былай шығады: x (x - 7) = 0.
Бірінші түбір мәнді қабылдайды: x 1 = 0. Екіншісі келесіден табылады сызықтық теңдеу: x - 7 = 0. х 2 = 7 екенін оңай байқауға болады.
Екінші теңдеу: 5x 2 + 30 = 0. Тағы да толық емес. Тек ол үшінші формула үшін сипатталғандай шешіледі.
30-ды теңдеудің оң жағына жылжытқаннан кейін: 5x 2 = 30. Енді 5-ке бөлу керек. Көрсетіледі: x 2 = 6. Жауаптар сандар болады: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Үшінші теңдеу: 15 − 2x − x 2 = 0. Мұнда және одан әрі квадрат теңдеулерді шешу оларды стандартты түрде қайта жазудан басталады: − x 2 − 2x + 15 = 0. Енді екінші теңдеуді қолдану уақыты келді. пайдалы кеңесжәне бәрін минус бірге көбейтіңіз. x 2 + 2x - 15 = 0 шығады. Төртінші формуланы пайдаланып, дискриминантты есептеу керек: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Бұл оң сан. Жоғарыда айтылғандардан теңдеудің екі түбірі бар екені белгілі болды. Оларды бесінші формула арқылы есептеу керек. x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Сонда x 1 = 3, x 2 = - 5 болады.
Төртінші теңдеу x 2 + 8 + 3x = 0 мынаған түрлендіріледі: x 2 + 3x + 8 = 0. Оның дискриминанты осы мәнге тең: -23. Бұл сан теріс болғандықтан, бұл тапсырманың жауабы келесі жазба болады: «Түбірлер жоқ».
12x + x 2 + 36 = 0 бесінші теңдеу келесі түрде қайта жазылуы керек: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминант үшін формуланы қолданғаннан кейін нөл саны алынады. Бұл оның бір түбірі болатынын білдіреді, атап айтқанда: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Алтыншы теңдеу (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) түрлендірулерді қажет етеді, олар алдымен жақшаларды аша отырып, ұқсас мүшелерді әкелу керек екендігінде тұрады. Біріншісінің орнына келесі өрнек болады: x 2 + 2x + 1. Теңдіктен кейін мына жазба пайда болады: x 2 + 3x + 2. Ұқсас мүшелер есептеліп болғаннан кейін теңдеу мына пішінді алады: x 2 - x = 0. Ол толық емес болды. Бұған ұқсас нәрсе сәл жоғарыда талқыланды. Мұның түбірі 0 және 1 сандары болады.
Бұл ax 2 + bx + c = o теңдігінің нақты нұсқасы екені белгілі, мұнда a, b және c белгісіз х үшін нақты коэффициенттер, ал мұндағы a ≠ o, және b және c нөлдер болады - бір уақытта немесе бөлек. Мысалы, c = o, b ≠ o немесе керісінше. Квадрат теңдеудің анықтамасын еске түсірдік.
Екінші дәрежелі үшмүше нөлге тең. Оның бірінші коэффициенті a ≠ o, b және c кез келген мәндерді қабылдай алады. Х айнымалысының мәні ауыстыру оны дұрыс сандық теңдікке айналдырғанда болады. Нақты түбірлерге тоқталайық, бірақ теңдеулер де шешім болуы мүмкін, онда коэффициенттердің ешқайсысы o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o тең емес теңдеуді толық деп атауға болады.
Мысал шешіп көрейік. 2x 2 -9x-5 = о, табамыз
D = 81+40 = 121,
D оң, яғни түбірлер бар, x 1 = (9+√121):4 = 5, ал екіншісі x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Тексеру олардың дұрыстығына көз жеткізуге көмектеседі.
Мұнда квадрат теңдеудің сатылы шешімі берілген
Дискриминанттың көмегімен сол жағында ≠ o үшін белгілі квадрат үшмүше бар кез келген теңдеуді шешуге болады. Біздің мысалда. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)
Екінші дәрежелі толық емес теңдеулер қандай екенін қарастырайық
- ax 2 +in = o. Еркін мүше, c коэффициенті x 0, мұнда ≠ o кезінде нөлге тең.
Осы типтегі толық емес квадрат теңдеуді қалай шешуге болады? Жақшаның ішінен x-ті шығарайық. Екі көбейткіштің көбейтіндісі нөлге тең болған кезде еске түсірейік.
x(ax+b) = o, бұл x = o немесе ax+b = o кезінде болуы мүмкін.
2-ні шешіп, бізде x = -в/а болады.
Нәтижесінде бізде x 1 = 0 түбірлері бар, есептеулерге сәйкес x 2 = -b/a. - Енді х коэффициенті o-ға тең, ал с тең емес (≠) o.
x 2 +c = o. Теңдіктің оң жағына с жылжытайық, х 2 = -с аламыз. Бұл теңдеудің нақты түбірлері болады, егер -c оң сан болса (c ‹ o),
Сонда x 1 √(-c) мәніне тең, сәйкесінше x 2 -√(-c) болады. Әйтпесе, теңдеудің түбірі мүлде болмайды. - Соңғы нұсқа: b = c = o, яғни ax 2 = o. Әрине, мұндай қарапайым теңдеудің бір түбірі болады, x = o.
Ерекше жағдайлар
Біз толық емес квадрат теңдеуді шешу жолын қарастырдық, енді кез келген түрін алайық.
- Толық квадрат теңдеуде х-тің екінші коэффициенті жұп сан болады.
k = o.5b болсын. Бізде дискриминант пен түбірлерді есептеуге арналған формулалар бар.
D/4 = k 2 - ac, түбірлер D › o үшін x 1,2 = (-k±√(D/4))/a ретінде есептеледі.
D = o кезінде x = -k/a.
D ‹ o үшін түбірлер жоқ. - Квадрат теңдеулер берілген, х квадратының коэффициенті 1-ге тең болғанда, олар әдетте х 2 + рх + q = o деп жазылады. Жоғарыда көрсетілген барлық формулалар оларға қатысты, бірақ есептеулер біршама қарапайым.
Мысалы, x 2 -4x-9 = 0. D есептеңіз: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13. - Сонымен қатар, бұл теңдеудің түбірлерінің қосындысы -p-ке тең, ал екінші коэффициент минус (қарсы таңбаны білдіреді) және сол түбірлердің көбейтіндісі болатынын айту оңай. q, еркін мүшеге тең болсын. Бұл теңдеудің түбірін ауызша анықтау қаншалықты оңай болатынын қараңыз. Қысқартылмаған коэффициенттер үшін (нөлге тең емес барлық коэффициенттер үшін) бұл теорема келесідей қолданылады: x 1 + x 2 қосындысы -b/a-ға тең, x 1 · x 2 көбейтіндісі с/а-ға тең.
Еркін c мүшесі мен бірінші а коэффициентінің қосындысы b коэффициентіне тең. Бұл жағдайда теңдеудің кем дегенде бір түбірі бар (дәлелдеу оңай), біріншісі міндетті түрде -1-ге тең, ал екіншісі -c/a, егер бар болса. Толық емес квадрат теңдеуді шешу жолын өзіңіз тексере аласыз. Пирог сияқты оңай. Коэффициенттер бір-бірімен белгілі бір байланыста болуы мүмкін
- x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
- Барлық коэффициенттердің қосындысы o-ға тең.
Мұндай теңдеудің түбірлері 1 және с/а. Мысалы, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.
Әртүрлі екінші дәрежелі теңдеулерді шешудің бірнеше басқа тәсілдері бар. Мұнда, мысалы, берілген көпмүшеден шығару әдісі толық шаршы. Бірнеше графикалық әдістер бар. Мұндай мысалдармен жиі айналысқанда, сіз оларды тұқым сияқты «басуды» үйренесіз, өйткені барлық әдістер автоматты түрде еске түседі.
Осы мақаланы оқығаннан кейін сіз толық квадрат теңдеудің түбірлерін қалай табуға болатынын білесіз деп үміттенемін.
Дискриминанттың көмегімен толық емес квадрат теңдеулерді шешу үшін тек толық квадрат теңдеулер шешіледі, сіз «Толық емес квадрат теңдеулерді шешу» мақаласында таба аласыз.
Қандай квадрат теңдеулер толық деп аталады? Бұл ax 2 + b x + c = 0 түріндегі теңдеулер, мұндағы a, b және c коэффициенттері нөлге тең емес. Сонымен, толық квадрат теңдеуді шешу үшін D дискриминантын есептеу керек.
D = b 2 – 4ac.
Дискриминанттың мәніне қарай жауабын жазамыз.
Егер дискриминант болса теріс сан(Д< 0),то корней нет.
Егер дискриминант нөлге тең болса, онда x = (-b)/2a. Дискриминант оң сан болғанда (D > 0),
онда x 1 = (-b - √D)/2a, және x 2 = (-b + √D)/2a.
Мысалы. Теңдеуді шеш x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Жауабы: 2.
2-теңдеуді шеш x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Жауап: тамыры жоқ.
2-теңдеуді шеш x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Жауабы: – 3,5; 1.
Ендеше 1-суреттегі диаграмма арқылы толық квадрат теңдеулердің шешімін елестетейік.
Осы формулаларды пайдалана отырып, кез келген толық квадрат теңдеуді шешуге болады. Тек сақ болу керек теңдеу көпмүше түрінде жазылды стандартты көрініс
А x 2 + bx + c,әйтпесе қателесуіңіз мүмкін. Мысалы, x + 3 + 2x 2 = 0 теңдеуін жазғанда қате шешім қабылдауға болады.
a = 1, b = 3 және c = 2. Содан кейін
D = 3 2 – 4 1 2 = 1, сонда теңдеудің екі түбірі болады. Және бұл дұрыс емес. (Жоғарыдағы 2-мысалдың шешімін қараңыз).
Сондықтан, егер теңдеу стандартты түрдегі көпмүше ретінде жазылмаса, алдымен толық квадрат теңдеу стандарт түрдегі көпмүше ретінде жазылуы керек (ең үлкен көрсеткішті мономиялық бірінші тұру керек, яғни А x 2 , содан кейін азырақ – bxсодан кейін тегін мүше бірге.
Келтірілген квадрат теңдеуді және коэффициенті жұп квадрат теңдеуді екінші мүшесінде шешу кезінде басқа формулаларды қолдануға болады. Осы формулалармен танысайық. Егер толық квадрат теңдеуде екінші мүшесі жұп коэффициентке ие болса (b = 2k), онда 2-суреттегі диаграммада көрсетілген формулалар арқылы теңдеуді шешуге болады.
Толық квадрат теңдеу төмендетілген деп аталады, егер коэффициенті кезінде x 2 бірге тең және теңдеу пішінді алады x 2 + px + q = 0. Мұндай теңдеуді шешу үшін беруге болады немесе оны теңдеудің барлық коэффициенттерін коэффициентке бөлу арқылы алуға болады. А, тұрған x 2 .
3-суретте келтірілген квадратты шешу диаграммасы көрсетілген 
теңдеулер. Осы мақалада қарастырылған формулаларды қолданудың мысалын қарастырайық.
Мысал. Теңдеуді шеш
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Бұл теңдеуді 1-суреттегі диаграммада көрсетілген формулалар арқылы шешейік.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3
Жауабы: –1 – √3; –1 + √3
Бұл теңдеудегі х коэффициенті жұп сан екенін байқай аласыз, яғни b = 6 немесе b = 2k, мұндағы k = 3. Содан кейін D суретінің диаграммасында көрсетілген формулаларды пайдаланып теңдеуді шешіп көрейік. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3
Жауабы: –1 – √3; –1 + √3. Осы квадрат теңдеудегі барлық коэффициенттер 3-ке бөлінетінін байқап, бөлуді орындай отырып, келтірілген квадрат теңдеуді аламыз x 2 + 2x – 2 = 0 Бұл теңдеуді келтірілген квадраттың формулалары арқылы шешіңіз. 
теңдеулер 3-сурет.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3
Жауабы: –1 – √3; –1 + √3.
Көріп отырғаныңыздай, бұл теңдеуді әртүрлі формулалар арқылы шешу кезінде біз бірдей жауап алдық. Сондықтан 1-суреттегі сызбада көрсетілген формулаларды жан-жақты меңгеріп, сіз әрқашан кез келген толық квадрат теңдеуді шеше аласыз.
веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.
IN қазіргі қоғамКвадрат айнымалысы бар теңдеулермен амалдарды орындау мүмкіндігі қызметтің көптеген салаларында пайдалы болуы мүмкін және ғылыми-техникалық әзірлемелерде тәжірибеде кеңінен қолданылады. Бұған теңіз және өзен кемелерінің, ұшақтар мен зымырандардың конструкциясы дәлел бола алады. Осындай есептеулерді пайдалана отырып, ең көп қозғалыс траекториялары әртүрлі денелер, соның ішінде ғарыш объектілері. Квадрат теңдеулердің шешімі бар мысалдар тек экономикалық болжауда, ғимараттарды жобалау мен салуда ғана емес, сонымен қатар қарапайым күнделікті жағдайларда да қолданылады. Олар қажет болуы мүмкін жаяу жорықтар, спорттық іс-шараларда, дүкендерде сатып алу кезінде және басқа да жиі кездесетін жағдайларда.
Өрнекті құрамдас факторларға бөлейік
Теңдеудің дәрежесі анықталады максималды мәносы өрнекті қамтитын айнымалының дәрежесі. Егер ол 2-ге тең болса, онда мұндай теңдеу квадрат деп аталады.
Егер біз формулалар тілінде сөйлейтін болсақ, онда көрсетілген өрнектер, олар қалай көрінсе де, әрқашан пішінге келтірілуі мүмкін. сол жақөрнек үш мүшеден тұрады. Олардың ішінде: ax 2 (яғни, оның коэффициенті квадраты айнымалы), bx (коэффиценті бар квадратсыз белгісіз) және c (бос компонент, яғни тұрақты сан). Осының бәрі оң жағында 0-ге тең. Мұндай көпмүшенің 2-ші балдан басқа құрамдас мүшелерінің бірі жетіспейтін жағдайда, ол толық емес квадрат теңдеу деп аталады. Мұндай есептерді шешудің мысалдары, айнымалылардың мәндерін табу оңай, бірінші кезекте қарастырылуы керек.
Егер өрнектің оң жағында екі мүшесі бар сияқты көрінсе, дәлірек айтқанда ax 2 және bx, x табудың ең оңай жолы айнымалыны жақшадан шығару болып табылады. Енді біздің теңдеуіміз келесідей болады: x(ax+b). Әрі қарай, не x=0, не мәселе келесі өрнектен айнымалыны табуға келетіні анық болады: ax+b=0. Бұл көбейтудің бір қасиетімен белгіленеді. Ереже екі фактордың көбейтіндісі олардың біреуі нөлге тең болса ғана 0 болатынын айтады.
Мысал
x=0 немесе 8x - 3 = 0
Нәтижесінде теңдеудің екі түбірін аламыз: 0 және 0,375.
Бұл түрдегі теңдеулер координаталар басы ретінде қабылданған белгілі бір нүктеден қозғала бастаған ауырлық күшінің әсерінен денелердің қозғалысын сипаттай алады. Мұнда математикалық белгілер алынады келесі пішін: y = v 0 t + gt 2 /2. Қажетті мәндерді қойып, оң жағын 0-ге теңестіріп, мүмкін белгісіздерді табу арқылы дененің көтерілуінен құлағанға дейінгі уақытты, сонымен қатар басқа да көптеген шамаларды білуге болады. Бірақ бұл туралы кейінірек айтатын боламыз.
Өрнекті факторинг
Жоғарыда сипатталған ереже бұл мәселелерді күрделі жағдайларда шешуге мүмкіндік береді. Осы типтегі квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырайық.
X 2 - 33x + 200 = 0
Бұл квадрат үшмүшетолық. Алдымен өрнекті түрлендіріп, көбейткіштерге бөлейік. Олардың екеуі бар: (х-8) және (х-25) = 0. Нәтижесінде бізде 8 және 25 екі түбір бар.
9-сыныпта квадрат теңдеулерді шешу мысалдары бұл әдіс тек екінші емес, тіпті үшінші және төртінші ретті өрнектерде айнымалыны табуға мүмкіндік береді.
Мысалы: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Оң жағын айнымалысы бар көбейткіштерге жіктегенде олардың үшеуі болады, яғни (х+1), (х-3) және (х+) 3).
Нәтижесінде, бұл анық болады берілген теңдеуүш түбірі бар: -3; -1; 3.
Шаршы түбір
Басқа жағдай толық емес теңдеуекінші ретті – оң жағы ax 2 және c компоненттерінен құрастырылатындай әріптер тілінде берілген өрнек. Мұнда айнымалының мәнін алу үшін бос термин -ге ауыстырылады оң жақ, содан кейін теңдіктің екі жағынан да шығарамыз Шаршы түбір. Айта кету керек, бұл жағдайда әдетте теңдеудің екі түбірі болады. Айнымалысы нөлге тең болатын мүшесі мүлде жоқ теңдіктер, сондай-ақ оң жағы теріс болған кездегі өрнектердің нұсқалары ерекше жағдайлар болуы мүмкін. Соңғы жағдайда шешімдер мүлдем жоқ, өйткені жоғарыда аталған әрекеттерді тамырлармен орындау мүмкін емес. Осы типтегі квадрат теңдеулердің шешімдерінің мысалдарын қарастырған жөн.
Бұл жағдайда теңдеудің түбірлері -4 және 4 сандары болады.
Жер көлемін есептеу
Мұндай есептеулердің қажеттілігі пайда болды ежелгі дәуір, өйткені математиканың сол шалғай дәуірлерде жан-жақты дамуы жер телімдерінің аудандары мен периметрлерін барынша дәлдікпен анықтау қажеттілігімен айқындалды.
Сондай-ақ осы тектес есептер негізінде квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырған жөн.
Сонымен, ұзындығы енінен 16 метр үлкен төртбұрышты жер телімі делік. Егер сіз оның ауданы 612 м2 екенін білсеңіз, сайттың ұзындығын, енін және периметрін табуыңыз керек.
Бастау үшін алдымен қажетті теңдеуді құрайық. Ауданның енін х деп белгілейік, сонда оның ұзындығы (x+16) болады. Жазылғандардан аудан x(x+16) өрнегі арқылы анықталатыны шығады, ол біздің есептің шарты бойынша 612. Бұл x(x+16) = 612 дегенді білдіреді.
Толық квадрат теңдеулерді шешу және дәл осы өрнекті дәл осылай орындау мүмкін емес. Неліктен? Сол жағында әлі екі фактор болса да, олардың көбейтіндісі мүлдем 0-ге тең емес, сондықтан мұнда әртүрлі әдістер қолданылады.
Дискриминант
Ең алдымен, қажетті түрлендірулерді жасайық, содан кейін сыртқы түрібұл өрнектің көрінісі келесідей болады: x 2 + 16x - 612 = 0. Бұл біз бұрын көрсетілген стандартқа сәйкес пішіндегі өрнекті алғанымызды білдіреді, мұнда a=1, b=16, c=-612.
Бұл дискриминантты пайдаланып квадрат теңдеулерді шешудің мысалы болуы мүмкін. Мұнда қажетті есептеулерсызба бойынша шығарылады: D = b 2 - 4ac. Бұл көмекші шама екінші ретті теңдеуде қажетті шамаларды табуға мүмкіндік беріп қана қоймайды, мүмкін болатын нұсқалардың санын анықтайды. Егер D>0 болса, олардың екеуі бар; D=0 үшін бір түбір бар. Д жағдайда<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Түбірлер және олардың формуласы туралы
Біздің жағдайда дискриминант мынаған тең: 256 - 4(-612) = 2704. Бұл біздің мәселеміздің жауабы бар екенін көрсетеді. Егер сіз k білсеңіз, квадрат теңдеулерді шешуді төмендегі формула арқылы жалғастыру керек. Ол түбірлерді есептеуге мүмкіндік береді.
Бұл ұсынылған жағдайда: x 1 =18, x 2 =-34 дегенді білдіреді. Бұл дилеммадағы екінші нұсқа шешім бола алмайды, өйткені жер учаскесінің өлшемдерін теріс мөлшерде өлшеу мүмкін емес, яғни х (яғни учаскенің ені) 18 м. Осы жерден біз ұзындығын есептейміз: 18 +16=34, ал периметрі 2(34+ 18)=104(м2).
Мысалдар мен тапсырмалар
Квадрат теңдеулерді оқуды жалғастырамыз. Олардың бірнешеуінің мысалдары мен егжей-тегжейлі шешімдері төменде келтірілген.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Барлығын теңдіктің сол жағына жылжытайық, түрлендіру жасайық, яғни стандартты деп аталатын теңдеу түрін аламыз және оны нөлге теңестіреміз.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Ұқсастарды қосып, дискриминантты анықтаймыз: D = 49 - 48 = 1. Бұл біздің теңдеуіміздің екі түбірі болады дегенді білдіреді. Оларды жоғарыдағы формула бойынша есептейік, яғни олардың біріншісі 4/3-ке, екіншісі 1-ге тең болады.
2) Енді басқа түрдегі жұмбақтарды шешейік.
Мұнда x 2 - 4x + 5 = 1 түбірлері бар-жоғын анықтайық? Толық жауап алу үшін көпмүшені сәйкес кәдімгі пішінге келтіріп, дискриминантты есептейік. Жоғарыда келтірілген мысалда квадрат теңдеуді шешудің қажеті жоқ, өйткені бұл мәселенің мәні мүлде емес. Бұл жағдайда D = 16 - 20 = -4, бұл шын мәнінде түбірлердің жоқтығын білдіреді.
Виетаның теоремасы
Квадрат теңдеулерді жоғарыда келтірілген формулалар мен дискриминантты пайдаланып шешу ыңғайлы, егер соңғысының мәнінен квадрат түбір алынғанда. Бірақ бұл әрқашан бола бермейді. Дегенмен, бұл жағдайда айнымалы мәндерді алудың көптеген жолдары бар. Мысалы: Виет теоремасын пайдаланып квадрат теңдеулерді шешу. Ол 16 ғасырда Францияда өмір сүрген және оның математикалық таланты мен соттағы байланыстарының арқасында тамаша мансапқа ие болған адамның есімімен аталған. Оның портретін мақаладан көруге болады.
Атақты француз байқаған үлгі мынадай болды. Ол теңдеудің түбірлері сан жағынан -p=b/a қосылатынын, ал олардың көбейтіндісі q=c/a сәйкес келетінін дәлелдеді.
Енді нақты тапсырмаларды қарастырайық.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Қарапайымдылық үшін өрнекті түрлендірейік:
x 2 + 7x - 18 = 0
Виет теоремасын қолданайық, бұл бізге келесіні береді: түбірлердің қосындысы -7, ал олардың көбейтіндісі -18. Осыдан біз теңдеудің түбірлері -9 және 2 сандары екенін аламыз. Тексергеннен кейін бұл айнымалы мәндердің өрнекке шынымен сәйкес келетініне көз жеткіземіз.
Парабола графигі және теңдеуі
Квадраттық функция мен квадрат теңдеулер ұғымдары бір-бірімен тығыз байланысты. Бұған мысалдар бұрын да келтірілген. Енді кейбір математикалық жұмбақтарды толығырақ қарастырайық. Сипатталған түрдегі кез келген теңдеуді көрнекі түрде беруге болады. График ретінде сызылған мұндай қатынас парабола деп аталады. Оның әртүрлі түрлері төмендегі суретте берілген.
Кез келген параболаның төбесі, яғни оның тармақтары шығатын нүктесі болады. Егер а>0 болса, олар шексіздікке дейін көтеріледі, ал а болғанда<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Функциялардың көрнекі көріністері кез келген теңдеулерді, соның ішінде квадраттық теңдеулерді шешуге көмектеседі. Бұл әдіс графикалық деп аталады. Ал х айнымалысының мәні график сызығының 0х-пен қиылысатын нүктелеріндегі абсцисса координатасы болып табылады. Төбенің координаталарын x 0 = -b/2a берілген формула арқылы табуға болады. Ал алынған мәнді функцияның бастапқы теңдеуіне қойып, у 0, яғни ордината осіне жататын парабола төбесінің екінші координатасын табуға болады.
Парабола тармақтарының абсцисса осімен қиылысуы
Квадрат теңдеулерді шешудің көптеген мысалдары бар, бірақ жалпы заңдылықтар да бар. Оларды қарастырайық. a>0 үшін графиктің 0x осімен қиылысуы y 0 алған жағдайда ғана мүмкін болатыны анық. теріс мәндер. Және а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Әйтпесе D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Парабола графигінен түбірлерін де анықтауға болады. Керісінше де шындық. Яғни, квадраттық функцияның көрнекі көрінісін алу оңай болмаса, өрнектің оң жағын 0-ге теңестіріп, алынған теңдеуді шешуге болады. Ал 0x осімен қиылысу нүктелерін біле отырып, графикті құру оңайырақ.
Тарихтан
Квадрат айнымалысы бар теңдеулерді пайдалана отырып, ескі күндерде олар тек математикалық есептеулер жүргізіп қана қоймай, геометриялық фигуралардың аудандарын анықтады. Ежелгі адамдарға мұндай есептеулер физика мен астрономия салаларындағы үлкен жаңалықтар үшін, сондай-ақ астрологиялық болжамдар жасау үшін қажет болды.
Қазіргі ғалымдардың пайымдауынша, Вавилон тұрғындары квадрат теңдеулерді бірінші болып шешкен. Бұл біздің дәуірден төрт ғасыр бұрын болған. Әрине, олардың есептеулері қазіргі уақытта қабылданғандардан түбегейлі өзгеше болды және әлдеқайда қарапайым болып шықты. Мысалы, Месопотамия математиктерінде теріс сандардың бар екендігі туралы түсінік болмаған. Олар сондай-ақ кез келген қазіргі мектеп оқушысы білетін басқа нәзіктіктермен таныс емес еді.
Үндістандық данышпан Баудхаяма Вавилон ғалымдарынан да ертерек квадрат теңдеулерді шеше бастады. Бұл Мәсіхтің дәуірінен шамамен сегіз ғасыр бұрын болған. Рас, ол берген екінші ретті теңдеулер, шешу әдістері ең қарапайым болды. Одан басқа қытай математиктерін де ертеде осындай сұрақтар қызықтырған. Еуропада квадрат теңдеулер 13 ғасырдың басында ғана шешіле бастады, бірақ кейінірек оларды Ньютон, Декарт және басқа да көптеген ұлы ғалымдар өз еңбектерінде пайдаланды.
Жүктелуде...
