Квадрат матрицаны қарастырайық. Оның анықтаушысын Δ = det A деп белгілейік. B квадраты бірдей ретті А квадраты үшін (OM) болады, егер олардың көбейтіндісі A*B = B*A = E, мұндағы E - A және B сияқты бірдей ретті сәйкестік матрицасы.
А квадраты, егер оның анықтауышы нөлге тең емес болса, азғынсыз немесе сингулярлы емес деп аталады, ал Δ = 0 болса, азғын немесе ерекше деп аталады.
Теорема. А-ның кері болуы үшін оның анықтауышының нөлден өзгеше болуы қажет және жеткілікті.
(ОМ) А, A -1 деп белгіленеді, сондықтан B = A -1 және формула бойынша есептеледі
, (1)
мұндағы A i j – a i j элементтерінің алгебралық толықтауыштары, Δ = detA.
Жоғары ретті матрицалар үшін формула (1) арқылы А -1 есептеу өте көп еңбекті қажет етеді, сондықтан тәжірибеде элементар түрлендірулер (ЭТ) әдісі арқылы А -1 табу ыңғайлы. Кез келген сингулярлық емес А-ны тек бағандардан (немесе тек жолдардан) тұратын EP арқылы Е бірлігіне келтіруге болады.Егер А матрицасының үстіндегі мінсіз ЕП-тер Е бірлігіне бірдей ретпен қолданылса, онда нәтиже А - болады. 1. А|Е сызығы арқылы екеуін қатар жазып, А және Е-де бір мезгілде EP орындау ыңғайлы. Егер сізге A -1 табу қажет болса, түрлендіру процесі кезінде тек жолдарды немесе тек бағандарды пайдалану керек.
Алгебралық қосындылар арқылы матрицаның кері мәнін табу
1-мысал. Үшін 
A -1 табыңыз.
Шешім.Алдымен А анықтауышын табамыз 
Бұл (OM) бар дегенді білдіреді және біз оны формула арқылы таба аламыз: 
, мұндағы A i j (i,j=1,2,3) бастапқы А-ның a i j элементтерінің алгебралық қосындылары.
a ij элементінің алгебралық толықтауышы M ij анықтауышы немесе миноры болып табылады. Ол i бағанын және j жолын сызып тастау арқылы алынады. Сонда минор (-1) i+j көбейтіледі, яғни. A ij =(-1) i+j M ij
қайда 
.
Элементар түрлендірулер арқылы кері матрицаны табу
2-мысал. Элементар түрлендірулер әдісін қолданып, А -1 мәнін табыңыз: A= .
Шешім.Оң жақтағы түпнұсқа А-ға бірдей ретті бірлік тағайындаймыз: 
. Бағандардың қарапайым түрлендірулерін қолдана отырып, біз сол «жартысын» бірлікке азайтамыз, сонымен бірге оң жақ «жартысында» бірдей түрлендірулерді бір уақытта орындаймыз.
Ол үшін бірінші және екінші бағандарды ауыстырыңыз: 
~
. Үшінші бағанға бірінші, ал екіншісіне -2-ге көбейтілген біріншіні қосамыз: 
. Бірінші бағаннан екінші еселенгенді, ал үшіншіден - екіншісін 6-ға көбейтеміз; 
. Бірінші және екінші бағанға үшінші бағанды қосамыз: 
. Соңғы бағанды -1-ге көбейтіңіз: 
. Тік жолақтың оң жағында алынған шаршы кесте А -1-ге кері болады. Сонымен, 
.
Кері матрицаны табу өте қарапайым қадамдардан тұратын процесс. Бірақ бұл әрекеттер соншалықты жиі қайталанады, бұл процесс өте ұзаққа созылады. Ең бастысы, шешім қабылдау кезінде назарды жоғалтпау.
Ең кең тараған әдіс – алгебралық қосындыларды қолдану арқылы шешу кезінде сізге қажет:
Мысалдарды шешу кезінде біз бұл әрекеттерді толығырақ талдаймыз. Осы арада кері матрица туралы теорияның не айтатынын білейік.
Үшін кері матрица Санға кері санмен сәйкес ұқсастық бар. Әрбір нөмір үшін а, нөлге тең емес, мұндай сан бар ббұл жұмыс аЖәне ббіріне тең: аб= 1. Сан бсанға кері сан деп аталады б. Мысалы, 7 саны үшін кері сан 1/7, өйткені 7*1/7=1.
Кері матрица , ол берілген шаршы матрица үшін табылуы керек А, мұндай матрица деп аталады
матрицаларының туындысы Аоң жақта сәйкестік матрицасы, яғни.
. (1)
Сәйкестік матрицасы - диагональды матрица, онда барлық диагональ элементтері біреуге тең.
Кері матрицаны табу- көбінесе екі әдіспен шешілетін мәселе:
- сабақтың басында айтылғандай, анықтауыштарды, минорларды және алгебралық қосындыларды табу және матрицаларды ауыстыру қажет болатын алгебралық қосу әдісі;
- матрицалардың элементар түрлендірулерін орындауды талап ететін белгісіздерді жоюдың Гаусс әдісі (жолдарды қосу, жолдарды бірдей санға көбейту және т.б.).
Әсіресе қызығатындар үшін басқа әдістер бар, мысалы, сызықтық түрлендірулер әдісі. Бұл сабақта біз аталған әдістерді пайдалана отырып, кері матрицаны табудың үш аталған әдістерін және алгоритмдерін талдаймыз.
Теорема.Әрбір сингулярлы емес (азғын емес, сингулярлы емес) квадрат матрица үшін кері матрицаны табуға болады, тек біреуі ғана. Арнайы (азғын, сингулярлы) шаршы матрица үшін кері матрица болмайды.
Квадрат матрица деп аталады ерекше емес(немесе дегенерацияланбаған, дара емес), егер оның анықтауышы нөлге тең болмаса, және арнайы(немесе азғындау, жекеше) егер оның анықтауышы нөлге тең болса.
Матрицаның кері мәнін тек шаршы матрица үшін табуға болады. Әрине, кері матрица да квадрат және берілген матрица сияқты тәртіпте болады. Кері матрицаны табуға болатын матрицаны инвертивті матрица деп атайды.
Гаусс белгісіз жою әдісі арқылы кері матрицаны табу
Гаусс жою әдісі арқылы матрицаның кері мәнін табудың бірінші қадамы матрицаға тағайындау болып табылады. Абірдей ретті сәйкестік матрицасы, оларды тік жолақпен бөледі. Біз қос матрицаны аламыз. Осы матрицаның екі жағын көбейтеміз, сонда шығады
,
Гаусс белгісіз жою әдісі арқылы кері матрицаны табу алгоритмі
1. Матрицаға Абірдей ретті сәйкестендіру матрицасын тағайындаңыз.
2. Алынған қос матрицаны оның сол жағында бірлік матрица алатындай етіп түрлендіріңіз, содан кейін оң жағында сәйкестік матрицаның орнына автоматты түрде кері матрицаны аласыз. Матрица Асол жағында элементар матрицалық түрлендірулер арқылы сәйкестік матрицаға түрленеді.
2. Егер матрицаны түрлендіру процесінде болса Асәйкестік матрицада кез келген жолда немесе кез келген бағанда тек нөлдер болады, содан кейін матрицаның анықтаушысы нөлге тең болады, демек, матрица Асингулярлы болады және оның кері матрицасы болмайды. Бұл жағдайда кері матрицаны одан әрі анықтау тоқтайды.
2-мысал.Матрица үшін
кері матрицаны табыңыз.
және сол жақта сәйкестік матрицасын алатындай етіп түрлендіреміз. Біз трансформацияны бастаймыз.
Сол және оң матрицаның бірінші жолын (-3) көбейтіп, оны екінші жолға қосыңыз, содан кейін бірінші жолды (-4) көбейтіп, үшінші жолға қосыңыз, содан кейін біз аламыз
.
Келесі түрлендірулерде бөлшек сандар жоқтығына көз жеткізу үшін алдымен қос матрицаның сол жағындағы екінші қатарда бірлік жасайық. Ол үшін екінші жолды 2-ге көбейтіп, одан үшінші жолды алып тастаймыз, содан кейін аламыз
.
Бірінші жолды екіншісімен қосамыз, содан кейін екінші жолды (-9) көбейтіп, үшінші жолмен қосамыз. Сосын аламыз
.
Үшінші жолды 8-ге бөліңіз, содан кейін
.
Үшінші жолды 2-ге көбейтіп, екінші жолға қосыңыз. Шығарылады:
.
Екінші және үшінші жолдарды ауыстырайық, содан кейін біз мынаны аламыз:
.
Сол жақта сәйкестік матрицасы бар екенін көреміз, сондықтан оң жақта кері матрица бар. Осылайша:
.
Бастапқы матрицаны табылған кері матрицаға көбейту арқылы есептеулердің дұрыстығын тексеруге болады:
Нәтиже кері матрица болуы керек.
көмегімен шешімді тексеруге болады кері матрицаны табуға арналған онлайн калькулятор .
3-мысал.Матрица үшін
кері матрицаны табыңыз.
Шешім. Қос матрицаны құрастыру
және біз оны түрлендіреміз.
Бірінші жолды 3-ке, екіншісін 2-ге көбейтіп, екіншісінен шегереміз, содан кейін бірінші жолды 5-ке, үшінші жолды 2-ге көбейтіп, үшінші жолдан шегереміз, содан кейін аламыз
Матрицалармен әрекеттер туралы әңгімені жалғастырайық. Дәлірек айтқанда, осы дәрісті оқу барысында сіз кері матрицаны қалай табуға болатынын білесіз. Үйрену. Математика қиын болса да.
Кері матрица дегеніміз не? Мұнда біз кері сандармен ұқсастық жасай аламыз: мысалы, оптимистік 5 санын және оның кері санын қарастырайық. Бұл сандардың көбейтіндісі біреуге тең: . Барлығы матрицаларға ұқсас! Матрица мен оның кері матрицасының көбейтіндісі мынаған тең: сәйкестік матрицасы, ол сандық бірліктің матрицалық аналогы болып табылады. Дегенмен, ең алдымен, маңызды практикалық мәселені шешейік, атап айтқанда, бұл өте кері матрицаны қалай табуға болатынын білейік.
Кері матрицаны табу үшін не білу керек және не істей білу керек? Сіз шеше білуіңіз керек іріктеушілер. Сіз оның не екенін түсінуіңіз керек матрицажәне олармен кейбір әрекеттерді орындай білу.
Кері матрицаны табудың екі негізгі әдісі бар:
көмегімен алгебралық толықтыруларЖәне элементар түрлендірулерді қолдану.
Бүгін біз бірінші, қарапайым әдісті зерттейміз.
Ең қорқынышты және түсініксізден бастайық. қарастырайық шаршыматрица. Кері матрицаны келесі формула арқылы табуға болады:
Мұндағы матрицаның анықтаушысы, матрицаның сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының ауыстырылған матрицасы.
Кері матрица түсінігі тек шаршы матрицалар үшін бар, матрицалар «екіден екіге», «үштен үшке» т.б.
Белгілер: Сіз байқағаныңыздай, кері матрица үстіңгі таңбамен белгіленеді
Ең қарапайым жағдайдан бастайық - екі-екі матрица. Көбінесе, әрине, «үштен үшке» қажет, бірақ соған қарамастан мен шешімнің жалпы принципін түсіну үшін қарапайым тапсырманы оқуды ұсынамын.
Мысалы:
Матрицаның кері мәнін табыңыз
Шешейік. Әрекеттер ретін нүкте бойынша бөлшектеу ыңғайлы.
1) Алдымен матрицаның анықтауышын табамыз.
Егер бұл әрекетті түсінбесеңіз, материалды оқыңыз Анықтаушыны қалай есептеу керек?
Маңызды!Егер матрицаның анықтауышы тең болса НӨЛ– кері матрица ЖОҚ.
Қарастырылып отырған мысалда, белгілі болғандай, , бұл бәрі тәртіппен дегенді білдіреді.
2) Кәмелетке толмағандардың матрицасын табыңыз.
Біздің мәселемізді шешу үшін кәмелетке толмаған адамның не екенін білудің қажеті жоқ, дегенмен мақаланы оқыған жөн. Анықтаушыны қалай есептеу керек.
Кәмелетке толмағандардың матрицасы матрица сияқты өлшемдерге ие, яғни бұл жағдайда.
Тек төрт санды тауып, жұлдызшаның орнына қою керек.
матрицамызға оралайық
Алдымен жоғарғы сол жақ элементті қарастырайық:
Оны қалай табуға болады кәмелетке толмаған?
Бұл келесідей орындалады: осы элемент орналасқан жол мен бағанды ОЙЛАН сызып тастаңыз:
Қалған сан осы элементтің кішігірім, біз оны кәмелетке толмағандар матрицасында жазамыз:
Келесі матрицалық элементті қарастырыңыз:
Осы элемент пайда болатын жолды және бағанды ойша сызып тастаңыз:
Матрицаға жазатын осы элементтің миноры қалады:
Сол сияқты екінші қатардың элементтерін қарастырып, олардың кішілерін табамыз:
Дайын.
Бұл оп-оңай. Кәмелетке толмағандардың матрицасында сізге қажет БЕЛГІЛЕРДІ ӨЗГЕРТУекі сан:
Бұл мен айналдырған сандар!
– матрицаның сәйкес элементтерінің алгебралық қосындыларының матрицасы.
Және жай...
4) Алгебралық қосындылардың транспозицияланған матрицасын табыңыз.
– матрицаның сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының ауыстырылған матрицасы.
5) Жауап.
Формуламызды еске түсірейік
Барлығы табылды!
Сонымен кері матрица: 
Жауапты сол күйінде қалдырған дұрыс. КЕРЕК ЕМЕСматрицаның әрбір элементін 2-ге бөліңіз, өйткені нәтиже бөлшек сандар болып табылады. Бұл нюанс сол мақалада толығырақ қарастырылады. Матрицалармен әрекеттер.
Шешімді қалай тексеруге болады?
Матрицаны көбейтуді орындау керек немесе
Емтихан: 
Жоғарыда айтылғандарды алды сәйкестік матрицасыбірлері бар матрица болып табылады негізгі диагональжәне басқа жерлерде нөлдер.
Осылайша, кері матрица дұрыс табылды.
Егер сіз әрекетті орындасаңыз, нәтиже де сәйкестік матрицасы болады. Бұл матрицаны көбейту коммутативті болатын бірнеше жағдайлардың бірі, қосымша мәліметтерді мақалада табуға болады Матрицаларға амалдардың қасиеттері. Матрицалық өрнектер. Сондай-ақ тексеру кезінде тұрақты (бөлшек) алға шығарылып, ең соңында - матрицаны көбейтуден кейін өңделетінін ескеріңіз. Бұл стандартты техника.
Тәжірибеде жиірек кездесетін жағдайға көшейік – үш-үш матрица:
Мысалы:
Матрицаның кері мәнін табыңыз 
Алгоритм «екіден екі» жағдайындағыдай.
Кері матрицаны мына формула арқылы табамыз: , мұндағы матрицаның сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының ауыстырылған матрицасы.
1) Матрицаның анықтауышын табыңыз.
Мұнда анықтауыш ашылады бірінші жолда.
Сондай-ақ, мұны ұмытпаңыз, бұл бәрі жақсы дегенді білдіреді - кері матрица бар.
2) Кәмелетке толмағандардың матрицасын табыңыз.
Кәмелетке толмағандар матрицасының өлшемі «үштен үшке» 
, және біз тоғыз санды табуымыз керек.
Мен бірнеше кәмелетке толмаған балаларға мұқият қараймын:
Келесі матрицалық элементті қарастырыңыз: 
Осы элемент орналасқан жолды және бағанды ОЙЛАН сызып тастаңыз: 
Қалған төрт санды «екіден екіге» анықтауышқа жазамыз. 
Бұл екі-екі анықтауыш және бұл элементтің кішісі болып табылады. Оны есептеу керек: 
Міне, кәмелетке толмағандар табылды, біз оны кәмелетке толмағандар матрицасына жазамыз: 
Сіз болжағандай, тоғыз екіден екіге детерминанттарды есептеу керек. Процесс, әрине, жалықтырады, бірақ іс ең ауыр емес, одан да нашар болуы мүмкін.
Ал, біріктіру үшін – суреттерден басқа кәмелетке толмағандарды табу: 
Қалған кәмелетке толмағандарды өзіңіз есептеп көріңіз.
Соңғы нәтиже: 
– матрицаның сәйкес элементтерінің минорларының матрицасы.
Кәмелетке толмағандардың барлығының теріс болып шығуы – жай ғана оқыс оқиға.
3) Алгебралық қосындылардың матрицасын табыңыз.
Кәмелетке толмағандардың матрицасында бұл қажет БЕЛГІЛЕРДІ ӨЗГЕРТУкелесі элементтер үшін қатаң түрде: 
Бұл жағдайда:
Біз «төрттен төрт» матрицасы үшін кері матрицаны табуды қарастырмаймыз, өйткені мұндай тапсырманы тек садисттік мұғалім бере алады (оқушыға бір «төрттен төрт» анықтауыш пен 16 «үштен үш» анықтауышты есептеу үшін) ). Менің тәжірибемде мұндай жағдай бір ғана болды, ал сынақтың тапсырысшысы менің азаптауым үшін өте қымбат төледі =).
Бірқатар оқулықтар мен оқу құралдарында кері матрицаны табудың сәл басқаша тәсілін табуға болады, бірақ мен жоғарыда көрсетілген шешім алгоритмін пайдалануды ұсынамын. Неліктен? Өйткені есептеулер мен белгілерде шатасу ықтималдығы әлдеқайда аз.
Кез келген сингулярлық емес А матрицасы үшін бірегей A -1 матрицасы бар, сондықтан
A*A -1 =A -1 *A = E,
мұндағы E – A сияқты ретті сәйкестік матрицасы. A -1 матрицасы А матрицасына кері матрица деп аталады.
Біреу ұмытып кеткен жағдайда, сәйкестік матрицасында, бірлермен толтырылған диагональды қоспағанда, барлық басқа позициялар нөлдермен толтырылады, сәйкестендіру матрицасының мысалы:
Қосалқы матрицалық әдіс арқылы кері матрицаны табу
Кері матрица мына формуламен анықталады:
мұндағы A ij - a ij элементтері.
Анау. Кері матрицаны есептеу үшін осы матрицаның анықтаушысын есептеу керек. Содан кейін оның барлық элементтері үшін алгебралық толықтауыштарды тауып, олардан жаңа матрица құрастыр. Әрі қарай бұл матрицаны тасымалдау керек. Және жаңа матрицаның әрбір элементін бастапқы матрицаның анықтауышына бөліңіз.
Бірнеше мысалды қарастырайық.
Матрица үшін A -1 табыңыз
Шешуі.Қосымша матрицалық әдіс арқылы А -1 табайық. Бізде det A = 2. А матрицасының элементтерінің алгебралық толықтауыштарын табайық. Бұл жағдайда матрица элементтерінің алгебралық толықтауыштары формулаға сәйкес таңбамен алынған матрицаның өзіне сәйкес элементтері болады.
Бізде A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Бірлескен матрицаны құраймыз.
А* матрицасын тасымалдаймыз:
Кері матрицаны мына формула арқылы табамыз:
Біз алып жатырмыз:
Қосалқы матрицалық әдісті қолданып, егер А -1 табыңыз
Шешуі.Ең алдымен кері матрицаның бар екенін тексеру үшін осы матрицаның анықтамасын есептейміз. Бізде бар
Мұнда біз екінші жолдың элементтеріне бұрын (-1) көбейтілген үшінші жолдың элементтерін қостық, содан кейін екінші жолдың анықтауышын кеңейттік. Бұл матрицаның анықтамасы нөлге тең емес болғандықтан, оның кері матрицасы бар. Қосалқы матрицаны тұрғызу үшін осы матрицаның элементтерінің алгебралық толықтауыштарын табамыз. Бізде бар
Формула бойынша
тасымалдау матрицасы A*:
Содан кейін формула бойынша
Элементар түрлендірулер әдісі арқылы кері матрицаны табу
Формуладан шығатын кері матрицаны табу әдісінен басқа (қосарлы матрицалық әдіс) элементар түрлендірулер әдісі деп аталатын кері матрицаны табу әдісі бар.
Элементар матрицалық түрлендірулер
Келесі түрлендірулер элементар матрицалық түрлендірулер деп аталады:
1) жолдарды (бағандарды) қайта орналастыру;
2) жолды (бағанды) нөлден басқа санға көбейту;
3) жолдың (бағанның) элементтеріне бұрын белгілі бір санға көбейтілген басқа жолдың (бағанның) сәйкес элементтерін қосу.
А -1 матрицасын табу үшін (n; 2n) реттік B = (A|E) тікбұрышты матрицаны тұрғызамыз, оң жақтағы А матрицасы Е сәйкестік матрицасын бөлу сызығы арқылы тағайындаймыз:
Бір мысалды қарастырайық.
Элементар түрлендірулер әдісін қолданып, егер А -1 табыңыз
Шешуі.В матрицасын құрамыз:
В матрицасының жолдарын α 1, α 2, α 3 деп белгілейік. В матрицасының жолдарында келесі түрлендірулерді орындайық.
Формула бойынша түпнұсқа: A^-1 = A*/detA, мұндағы A* - байланысты матрица, detA - бастапқы матрица. Қосалқы матрица - бастапқы матрицаның элементтеріне қосындылардың ауыстырылған матрицасы.
Ең алдымен матрицаның анықтауышын табыңыз, ол нөлден өзгеше болуы керек, өйткені кейінірек анықтауыш бөлгіш ретінде пайдаланылады. Мысалы, үшінші (үш жол мен үш бағаннан тұратын) матрицасы берілсін. Көріп отырғаныңыздай, матрицаның анықтаушысы нөлге тең емес, сондықтан кері матрица бар.
А матрицасының әрбір элементінің толықтауыштарын табыңыз. А-ның толықтауышы түпнұсқадан i-ші жолды және j-ші бағанды өшіру арқылы алынған ішкі матрицаның анықтаушысы болып табылады және бұл анықтауыш таңбамен алынады. Белгі анықтауышты (-1) i+j дәрежесіне көбейту арқылы анықталады. Осылайша, мысалы, А толықтауышы суретте қарастырылған анықтауыш болады. Белгі келесідей болды: (-1)^(2+1) = -1.
Нәтижесінде сіз аласыз матрицатолықтырулар, енді оны ауыстырыңыз. Транспозиция – матрицаның негізгі диагоналіне қатысты симметриялы операция; бағандар мен жолдар ауыстырылады. Осылайша, сіз A* қосымша матрицасын таптыңыз.
Жүктелуде...
