Бастапқы деңгей
Арифметикалық прогрессия. Мысалдармен егжей-тегжейлі теория (2019)
Сан тізбегі
Олай болса, отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалы:
Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және олардың саны қалағаныңызша болуы мүмкін (біздің жағдайда олар бар). Қанша сан жазсақ та, қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. соңғыға дейін айта аламыз, яғни нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы:
Сан тізбегі
Мысалы, біздің реттілік үшін:
Тағайындалған нөмір тізбектегі бір ғана санға тән. Басқаша айтқанда, тізбекте үш секундтық сан жоқ. Екінші сан (бірінші сан сияқты) әрқашан бірдей.
Нөмірі бар санды қатардың үшінші мүшесі деп атайды.
Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріппен атаймыз (мысалы,) және бұл тізбектің әрбір мүшесі осы мүшенің нөміріне тең индексі бар бірдей әріп: .
Біздің жағдайда: 
Көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандар тізбегі бар делік.
Мысалы: 
және т.б.
Бұл сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады.
«Прогрессия» терминін 6 ғасырда римдік автор Боэций енгізген және одан да көп түсінікті болған. кең мағынада, шексіз сандар тізбегі сияқты. «Арифметика» атауы ежелгі гректер зерттеген үздіксіз пропорциялар теориясынан көшірілді.
Бұл сан тізбегі, оның әрбір мүшесі бір санға қосылған алдыңғысына тең. Бұл сан арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады және белгіленеді.
Қандай сандар тізбегі арифметикалық прогрессия, қайсысы емес екенін анықтауға тырысыңыз:
а)
б)
в)
г)
Түсіндім? Жауаптарымызды салыстырайық:
Бұларифметикалық прогрессия – b, c.
Емесарифметикалық прогрессия – a, d.
Берілген прогрессияға () оралайық және оның ші мүшесінің мәнін табуға тырысайық. Бар екіоны табу жолы.
1. Әдіс
Прогрессия нөмірін прогрессияның үшінші мүшесіне жеткенше алдыңғы мәнге қосуға болады. Бізде қорытындылайтын көп нәрсе жоқ - тек үш мән:
Сонымен, сипатталған арифметикалық прогрессияның ші мүшесі тең.
2. Әдіс
Прогрессияның үшінші мүшесінің мәнін табу керек болса ше? Қорытындылау бір сағаттан артық уақытты алады және сандарды қосқанда қателеспейтініміз шындық емес.
Әрине, математиктер алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның айырмасын қосудың қажеті жоқ әдісті ойлап тапты. Салынған суретке мұқият қараңыз... Сіз белгілі бір үлгіні байқадыңыз, атап айтқанда:
Мысалы, осы арифметикалық прогрессияның ші мүшесінің мәні неден тұратынын көрейік: 
Басқа сөздермен айтқанда:
Осы жолмен берілген арифметикалық прогрессияның мүшесінің мәнін өзіңіз тауып көріңіз.
Сіз есептедіңіз бе? Жазбаларыңызды жауаппен салыстырыңыз:
Алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның мүшелерін дәйекті түрде қосқанда, алдыңғы әдістегідей сан алғаныңызды ескеріңіз.
Бұл формуланы «жекешелендіруге» тырысайық - оны жалпы түрде келтіріп, мынаны алайық:
|
Арифметикалық прогрессияның теңдеуі. |
Арифметикалық прогрессиялар өсу немесе кему болуы мүмкін.
Көбеюде- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан үлкен болатын прогрессиялар.
Мысалы:
Төмендеу- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан кіші болатын прогрессиялар.
Мысалы:
Туынды формула арифметикалық прогрессияның өсу және кему мүшелерінің мүшелерін есептеуде қолданылады.
Мұны тәжірибеде тексеріп көрейік.
Бізге келесі сандардан тұратын арифметикалық прогрессия берілген: оны есептеу үшін формуланы қолдансақ, осы арифметикалық прогрессияның № неше болатынын тексерейік:
Сол уақыттан бері:
Осылайша, формуланың арифметикалық прогрессияның кемуінде де, өсуінде де жұмыс істейтініне сенімдіміз.
Осы арифметикалық прогрессияның ші және ші мүшелерін өзіңіз тауып көріңіз.
Нәтижелерді салыстырайық:
Арифметикалық прогрессияның қасиеті
Есепті күрделендіріп көрейік – арифметикалық прогрессияның қасиетін шығарамыз.
Бізге келесі шарт қойылды делік:
- арифметикалық прогрессия, мәнін табу.
Оңай, сіз өзіңіз білетін формула бойынша айтасыз және санай бастайсыз:
Мейлі, а, онда:
Өте дұрыс. Алдымен табамыз, сосын бірінші санға қосып, іздегенімізді аламыз. Егер прогрессия шағын мәндермен ұсынылса, онда бұл туралы күрделі ештеңе жоқ, бірақ шартта бізге сандар берілсе ше? Келісіңіз, есептеулерде қателесу мүмкіндігі бар.
Енді ойланыңыз, бұл мәселені кез келген формула арқылы бір қадаммен шешуге бола ма? Әрине, иә, және біз қазір шығаруға тырысамыз.
Арифметикалық прогрессияның қажетті мүшесін былай деп белгілейік, оны табу формуласы бізге белгілі – бұл біз басында шығарған формула:
, Содан кейін:
- прогрессияның алдыңғы мүшесі:
- прогрессияның келесі шарты:
Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерін қорытындылайық:
Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерінің қосындысы олардың арасында орналасқан прогрессия мүшесінің қосарланған мәні болып шығады. Басқаша айтқанда, белгілі алдыңғы және кезекті мәндері бар прогрессия мүшесінің мәнін табу үшін оларды қосып, бөлу керек.
Дұрыс, бізде бірдей нөмір бар. Материалды бекітейік. Прогресстің мәнін өзіңіз есептеңіз, бұл қиын емес.
Жарайсың! Сіз прогресс туралы барлығын дерлік білесіз! Аңыз бойынша, барлық уақыттағы ең ұлы математиктердің бірі, «математиктердің патшасы» Карл Гаусс оңай шығарған бір ғана формуланы табу керек ...
Карл Гаусс 9 жаста болғанда, басқа сыныптардағы оқушылардың жұмысын тексерумен айналысқан мұғалім сыныпта келесі тапсырма берді: «Барлық натурал сандардың қосындысын (басқа дереккөздер бойынша) қоса есептеңіз». Бір минуттан кейін оның шәкірттерінің бірі (бұл Карл Гаусс) тапсырмаға дұрыс жауап берген кезде мұғалімнің таңданысын елестетіп көріңізші, ал батыл сыныптастарының көпшілігі ұзақ есептеулерден кейін қате нәтиже алды ...
Жас Карл Гаусс сіз де оңай байқайтын белгілі бір үлгіні байқады.
--ші мүшелерінен тұратын арифметикалық прогрессия бар делік: Арифметикалық прогрессияның осы мүшелерінің қосындысын табу керек. Әрине, біз барлық мәндерді қолмен қоса аламыз, бірақ егер тапсырма Гаусс іздегендей оның шарттарының қосындысын табуды талап етсе ше?
Бізге берілген прогрессті бейнелеп көрейік. Ерекшеленген сандарды мұқият қарап шығыңыз және олармен әртүрлі математикалық амалдарды орындауға тырысыңыз. 
Сіз оны қолданып көрдіңіз бе? Сіз не байқадыңыз? Дұрыс! Олардың қосындылары тең
Енді айтыңызшы, бізге берілген прогрессияда барлығы неше жұп бар? Әрине, барлық сандардың дәл жартысы, яғни.
Арифметикалық прогрессияның екі мүшесінің қосындысы тең, ал ұқсас жұптары тең екендігіне сүйене отырып, жалпы қосындының мынаған тең екенін аламыз:
.
Сонымен, кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының формуласы:
Кейбір есептердегі біз үшінші мүшесін білмейміз, бірақ прогрессияның айырмашылығын білеміз. Қосынды формуласына ші мүшесінің формуласын қойып көріңіз.
Сіз не алдыңыз?
Жарайсың! Енді Карл Гауссқа қойылған мәселеге оралайық: ші-ден басталатын сандардың қосындысы нешеге тең және th-ден басталатын сандардың қосындысы неге тең екенін өзіңіз есептеңіз.
Қанша алдың?
Гаусс мүшелерінің қосындысы тең, ал мүшелерінің қосындысы тең екенін анықтады. Сен солай шештің бе?
Шындығында, арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысының формуласын сонау 3 ғасырда ежелгі грек ғалымы Диофант дәлелдеген және осы уақыт ішінде тапқыр адамдар арифметикалық прогрессияның қасиеттерін толық пайдаланған.
Мысалы, Ежелгі Мысыр мен сол кездегі ең ірі құрылыс жобасы – пирамида құрылысын елестетіп көріңізші... Суретте оның бір жағы көрсетілген. 
Бұл жерде прогресс қайда дейсіз бе? Мұқият қарап, пирамида қабырғасының әр жолындағы құмды блоктар санының үлгісін табыңыз. 
Неліктен арифметикалық прогрессия емес? Негізге блокты кірпіш қойылса, бір қабырғаны тұрғызу үшін қанша блок қажет екенін есептеңіз. Саусағыңызды монитор арқылы жылжытқанда санамайсыз деп үміттенемін, соңғы формуланы және арифметикалық прогрессия туралы айтқанымыздың барлығын есте сақтадыңыз ба?
Бұл жағдайда прогрессия келесідей болады: .
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің саны.
Соңғы формулаларға деректерімізді ауыстырайық (блоктардың санын 2 әдіспен есептеңіз).
1-әдіс.
2-әдіс.
Енді сіз мониторда есептей аласыз: алынған мәндерді біздің пирамидадағы блоктар санымен салыстырыңыз. Түсіндім? Жарайсыңдар, арифметикалық прогрессияның n-ші мүшелерінің қосындысын меңгердіңдер.
Әрине, сіз базадағы блоктардан пирамида сала алмайсыз, бірақ? Осы шартпен қабырғаны салу үшін қанша құм кірпіш қажет екенін есептеп көріңіз.
Сіз басқардыңыз ба?
Дұрыс жауап блоктар:
Тренинг
Тапсырмалар:
- Маша жазға дайын. Күн сайын ол скват санын көбейтеді. Маша бірінші жаттығуда еңкейген болса, аптасына неше рет скват жасайды?
- Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы неге тең.
- Журналдарды сақтау кезінде тіркеушілер оларды әрбір жоғарғы қабатта алдыңғысынан бір журнал аз болатындай етіп жинайды. Тауардың іргетасы бөрене болса, бір кірпіште қанша бөрене бар?
Жауаптары:
- Арифметикалық прогрессияның параметрлерін анықтайық. Бұл жағдайда
(апта = күн).Жауап:Екі аптадан кейін Маша күніне бір рет скват жасауы керек.
- Бірінші тақ сан, соңғы сан.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Тақ сандар саны жарты, дегенмен арифметикалық прогрессияның ші мүшесін табу формуласы арқылы бұл фактіні тексерейік:Сандарда тақ сандар бар.
Қолда бар деректерді формулаға ауыстырайық:Жауап:Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы тең.
- Пирамидалар туралы мәселені еске түсірейік. Біздің жағдайда, a , өйткені әрбір үстіңгі қабат бір журналға азаяды, онда барлығы қабаттар шоғыры бар, яғни.
Деректерді формулаға ауыстырайық:Жауап:Кірпіште бөренелер бар.
Жинақтау
- - көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандар тізбегі. Ол ұлғаюы немесе азаюы мүмкін.
- Формула табуАрифметикалық прогрессияның ші мүшесі - формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
- Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті- - мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
- Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысыекі жолмен табуға болады:
, мұндағы – мәндер саны.
АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. ОРТАША ДЕҢГЕЙ
Сан тізбегі
Орнымызға отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалы:
Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және олардың саны қалағаныңызша болуы мүмкін. Бірақ біз әрқашан қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. айта аламыз, яғни біз оларды нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы.
Сан тізбегі— әрқайсысына бірегей нөмір берілуі мүмкін сандар жиыны.
Басқаша айтқанда, әрбір санды белгілі бір натурал санмен және бірегеймен байланыстыруға болады. Және біз бұл нөмірді осы жиынтықтағы басқа нөмірге бермейміз.
Нөмірі бар сан қатардың ші мүшесі деп аталады.
Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріппен атаймыз (мысалы,) және бұл тізбектің әрбір мүшесі осы мүшенің нөміріне тең индексі бар бірдей әріп: .
Тізбектің үшінші мүшесін қандай да бір формуламен көрсетуге болатын болса, бұл өте ыңғайлы. Мысалы, формула
ретін орнатады:
Ал формула келесі реттілік:
Мысалы, арифметикалық прогрессия – тізбек (мұндағы бірінші мүшесі тең, ал айырмасы). Немесе (, айырмашылық).
n-ші мүше формуласы
Біз формуланы қайталанатын деп атаймыз, онда 3-ші мүшені білу үшін алдыңғы немесе бірнеше алдыңғыларын білу қажет:
Мысалы, осы формуланы пайдаланып прогрессияның үшінші мүшесін табу үшін алдыңғы тоғызды есептеу керек. Мысалы, рұқсат етіңіз. Содан кейін:
Енді формуланың қандай екені түсінікті ме?
Әрбір жолда біз қандай да бір санға көбейтеміз. Қайсысы? Өте қарапайым: бұл ағымдағы мүшенің саны минус:
Қазір әлдеқайда ыңғайлы, солай ма? Біз тексереміз:
Өзіңіз шешіңіз:
Арифметикалық прогрессияда n-ші мүшесінің формуласын тауып, жүзінші мүшесін табыңыз.
Шешімі:
Бірінші мүше тең. Қандай айырмашылық бар? Міне:
(Прогрессияның тізбектелген мүшелерінің айырымына тең болғандықтан айырма деп аталады).
Сонымен, формула:
Сонда жүзінші мүше мынаған тең болады:
-ден бастап барлық натурал сандардың қосындысы неге тең?
Аңыз бойынша, ұлы математик Карл Гаусс 9 жасар бала кезінде бұл соманы бірнеше минутта есептеген. Ол бірінші және соңғы сандардың қосындысы тең, екінші мен соңғы санның қосындысы бірдей, соңынан үшінші мен 3-ші санның қосындысы бірдей және т.б. Барлығы неше жұп бар? Бұл дұрыс, барлық сандар санының дәл жартысы, яғни. Сонымен,
Кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының жалпы формуласы:
Мысалы:
Барлық екі таңбалы көбейткіштердің қосындысын табыңыз.
Шешімі:
Мұндай бірінші сан мынау. Әрбір келесі сан алдыңғы санға қосу арқылы алынады. Осылайша, бізді қызықтыратын сандар бірінші мүшесі мен айырмасы бар арифметикалық прогрессияны құрайды.
Осы прогрессияның ші мүшесінің формуласы:
Прогрессияда неше мүше бар, егер олардың барлығы екі таңбалы болуы керек?
Өте жеңіл: .
Прогрессияның соңғы мүшесі тең болады. Сонда қосынды:
Жауап: .
Енді өзіңіз шешіңіз:
- Күн сайын спортшы алдыңғы күннен артық метрге жүгіреді. Егер ол бірінші күні км м жүгірсе, ол бір аптада неше километр жүгіреді?
- Велосипедші күн сайын алдыңғы күнге қарағанда көп шақырым жол жүреді. Бірінші күні ол км жол жүрді. Бір километрді бағындыру үшін ол неше күн жүруі керек? Саяхатының соңғы күнінде ол неше километр жол жүреді?
- Дүкендегі тоңазытқыштың бағасы жыл сайын дәл осындай мөлшерде төмендейді. Егер тоңазытқыш рубльге сатылса, алты жылдан кейін рубльге сатылса, оның бағасы жыл сайын қаншаға төмендегенін анықтаңыз.
Жауаптары:
- Бұл жерде ең бастысы арифметикалық прогрессияны тану және оның параметрлерін анықтау. Бұл жағдайда, (апта = күн). Осы прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысын анықтау керек:
.
Жауап: - Мұнда берілген: , табу керек.
Әлбетте, алдыңғы мәселедегідей қосынды формуласын пайдалану керек:
.
Мәндерді ауыстырыңыз:Түбір сәйкес келмейтіні анық, сондықтан жауап.
Үшінші қосылғыштың формуласы арқылы соңғы тәулікте жүріп өткен жолды есептейік:
(км).
Жауап: - Берілген: . Табу: .
Бұл қарапайым болуы мүмкін емес:
(сүрту).
Жауап:
АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА
Бұл көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандар тізбегі.
Арифметикалық прогрессияның өсуі () және кемуі () болуы мүмкін.
Мысалы:
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесін табу формуласы
формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті
Ол прогрессияның мүшесін оңай табуға мүмкіндік береді, егер оның көрші мүшелері белгілі болса – прогрессиядағы сандар саны мұнда.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы
соманы табудың екі жолы бар:
Мәндердің саны қайда.
Мәндердің саны қайда.
Формуланың негізгі мәні неде?
Бұл формула табуға мүмкіндік береді кез келген НОМЕРІ БОЙЫНША» n» .
Әрине, бірінші терминді де білу керек а 1және прогрессияның айырмашылығы г, жақсы, бұл параметрлерсіз сіз белгілі бір прогрессияны жаза алмайсыз.
Бұл формуланы жаттау (немесе бесікке жату) жеткіліксіз. Оның мәнін түсініп, формуланы әртүрлі есептер шығаруда қолдану керек. Сондай-ақ керек сәтте ұмытпау керек, иә...) Қалай ұмытпау- мен білмеймін. Ал міне қалай есте сақтау керекҚажет болса, мен сізге міндетті түрде кеңес беремін. Сабақты соңына дейін аяқтағандар үшін.)
Сонымен, арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қарастырайық.
Жалпы формула дегеніміз не? Айтпақшы, оқымаған болсаңыз, қараңыз. Онда бәрі қарапайым. Оның не екенін анықтау қалады n-ші тоқсан.
Жалпы прогрессияны сандар қатары түрінде жазуға болады:
а 1, а 2, а 3, а 4, а 5, .....
а 1- арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесін білдіреді; а 3- үшінші мүше, а 4- төртінші және т.б. Егер бізді бесінші тоқсан қызықтырса, біз жұмыс істеп жатырмыз делік а 5, егер жүз жиырмасыншы - с а 120.
Оны жалпылама түрде қалай анықтауға болады? кез келгенарифметикалық прогрессияның мүшесі, с кез келгенсаны? Өте оңай! Бұл сияқты:
а н
Бұл солай Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесі. n әрпі барлық мүше сандарын бірден жасырады: 1, 2, 3, 4 және т.б.
Ал мұндай рекорд бізге не береді? Ойлап көріңізші, олар санның орнына хат жазыпты...
Бұл белгілеу бізге арифметикалық прогрессиямен жұмыс істеудің қуатты құралын береді. Белгілеуді қолдану а н, біз тез таба аламыз кез келгенмүшесі кез келгенарифметикалық прогрессия. Және көптеген басқа прогресс мәселелерін шешіңіз. Әрі қарай өзіңіз көресіз.
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласында:
| a n = a 1 + (n-1)d |
а 1- арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі;
n- мүше нөмірі.
Формула кез келген прогрессияның негізгі параметрлерін байланыстырады: a n ; a 1; гЖәне n. Барлық прогресс мәселелері осы параметрлердің айналасында болады.
n-ші мүше формуласын белгілі прогрессияны жазу үшін де пайдалануға болады. Мысалы, мәселе прогрессияның шартпен көрсетілгенін айтуы мүмкін:
a n = 5 + (n-1) 2.
Мұндай мәселе тұйыққа тірелуі мүмкін... Қатар да, айырмашылық та жоқ... Бірақ шартты формуламен салыстыра отырып, бұл прогрессияда екенін түсіну оңай. a 1 =5, және d=2.
Және бұл одан да нашар болуы мүмкін!) Егер біз бірдей шартты алсақ: a n = 5 + (n-1) 2,Иә, жақшаны ашып, ұқсас жақшаларды әкеліңіз бе? Біз жаңа формула аламыз:
a n = 3 + 2n.
Бұл Жалпы емес, белгілі бір прогресс үшін. Бұл жерде тұйыққа тіреледі. Кейбір адамдар бірінші термин үштік деп ойлайды. Шындығында бірінші термин бес болса да... Біраз төменірек біз осындай өзгертілген формуламен жұмыс істейміз.
Прогрессия есептерінде тағы бір белгі бар - a n+1. Бұл, сіз ойлағандай, прогрессияның «n плюс бірінші» мүшесі. Оның мағынасы қарапайым және зиянсыз.) Бұл саны n санынан бір есе артық прогрессияның мүшесі. Мысалы, қандай да бір мәселеде біз қабылдаймыз а нонда бесінші мерзім a n+1алтыншы мүше болады. Және т.б.
Көбінесе белгілеу a n+1қайталану формулаларында кездеседі. Бұл қорқынышты сөзден қорықпаңыз!) Бұл арифметикалық прогрессияның мүшесін өрнектеу тәсілі ғана. алдыңғы арқылы.Қайталанатын формуланы пайдалана отырып, бізге осы пішінде арифметикалық прогрессия берілді делік:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Төртінші - үшінші арқылы, бесінші - төртінші арқылы және т.б. Жиырмасыншы мүшені қалай бірден санауға болады? а 20? Бірақ амал жоқ!) 19-шы тоқсанды білмейінше, біз 20-ны санай алмаймыз. Бұл қайталанатын формула мен n-ші мүшесінің формуласының негізгі айырмашылығы. Қайталанатын тек арқылы жұмыс істейді алдыңғымүшесі, ал n-ші мүшесінің формуласы арқылы біріншіжәне мүмкіндік береді лезденөмірі бойынша кез келген мүшені табыңыз. Сандардың барлық қатарын ретімен есептемей.
Арифметикалық прогрессияда қайталанатын формуланы қалыптыға айналдыру оңай. Тізбектелген мүшелерді санау, айырмасын есептеу d,қажет болса, бірінші мүшені табыңыз а 1, формуланы әдеттегі түрінде жазып, онымен жұмыс істеу. Мұндай міндеттер Мемлекеттік ғылым академиясында жиі кездеседі.
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қолдану.
Алдымен формуланың тікелей қолданылуын қарастырайық. Өткен сабақтың соңында мәселе туындады:
Арифметикалық прогрессия (a n) берілген. a 1 =3 және d=1/6 болса, 121-ді табыңыз.
Бұл есепті ешқандай формулаларсыз, жай ғана арифметикалық прогрессияның мағынасына сүйене отырып шешуге болады. Қосу және қосу... Бір-екі сағат.)
Ал формула бойынша шешім бір минуттан аз уақыт алады. Оған уақыт бере аласыз.) Шешеміз.
Шарттар формуланы пайдалану үшін барлық деректерді береді: a 1 =3, d=1/6.Ненің тең екенін анықтау қалады n.Проблема жоқ! Біз табуымыз керек а 121. Сонымен, біз жазамыз:
Назар аударыңыз! Көрсеткіштің орнына nбелгілі бір сан пайда болды: 121. Бұл өте қисынды.) Бізді арифметикалық прогрессияның мүшесі қызықтырады. саны жүз жиырма бір.Бұл біздікі болады n.Мағынасы осы n= 121 біз әрі қарай формуланы жақшаға ауыстырамыз. Барлық сандарды формулаға ауыстырып, есептейміз:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Міне бітті. Бес жүз оныншы мүшесін және мың және үшінші мүшесін кез келгенін тез табуға болады. Оның орнына қоямыз nәріптің индексіндегі қажетті сан « а»және жақшада және біз санаймыз.
Еске сала кетейін: бұл формула табуға мүмкіндік береді кез келгенарифметикалық прогрессияның мүшесі НОМЕРІ БОЙЫНША» n» .
Мәселені қулықпен шешейік. Келесі мәселеге тап болайық:
Арифметикалық прогрессияның (a n) бірінші мүшесін табыңыз, егер a 17 =-2 болса; d=-0,5.
Егер сізде қандай да бір қиындықтар болса, мен сізге бірінші қадамды айтамын. Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жазыңыз!Иә Иә. Дәптеріңізге қолыңызбен жазыңыз:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ал енді формуланың әріптеріне қарап, бізде қандай деректер бар және не жетіспейтінін түсіндік? Қол жетімді d=-0,5,он жетінші мүше бар... Солай ма? Егер сіз солай деп ойласаңыз, онда сіз мәселені шешпейсіз, иә...
Бізде әлі нөмір бар n! Жағдайда a 17 =-2жасырын екі параметр.Бұл он жетінші мүшенің (-2) мәні де, оның саны да (17). Анау. n=17.Бұл «ұсақ-түйек» көбінесе басынан өтіп кетеді және онсыз («ұсақ-түйек» болмаса, бас емес!) мәселені шешу мүмкін емес. Дегенмен... және де басы жоқ.)
Енді біз деректерімізді формулаға жай ғана ақымақпен алмастыра аламыз:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Иә, а 17-2 екенін білеміз. Жарайды, ауыстырайық:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Негізінде бәрі осы. Формуладан арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесін өрнектеп, оны есептеу қалды. Жауап мынадай болады: a 1 = 6.
Бұл әдіс - формуланы жазу және белгілі деректерді жай ғана ауыстыру - қарапайым тапсырмаларды орындауда үлкен көмек. Әрине, формуладан айнымалы мәнді өрнектей білу керек, бірақ не істеу керек!? Бұл дағды болмаса, математика мүлдем оқылмауы мүмкін...
Тағы бір танымал басқатырғыш:
Арифметикалық прогрессияның (a n) айырмасын табыңыз, егер a 1 =2 болса; a 15 =12.
Біз не істеп жатырмыз? Сіз таң қаласыз, біз формуланы жазып жатырмыз!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Білетінімізді қарастырайық: a 1 =2; a 15 =12; және (Мен ерекше атап өтемін!) n=15. Мұны формулаға ауыстыруға болады:
12=2 + (15-1)d
Арифметика жасаймыз.)
12=2 + 14күн
г=10/14 = 5/7
Бұл дұрыс жауап.
Сонымен, тапсырмалар a n, a 1Және гшешті. Санды қалай табуға болатынын білу ғана қалады:
99 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі болып табылады, мұндағы a 1 =12; d=3. Осы мүшенің нөмірін табыңыз.
Өзімізге белгілі шамаларды n-ші мүшесінің формуласына қоямыз:
a n = 12 + (n-1) 3
Бір қарағанда, мұнда екі белгісіз шама бар: a n және n.Бірақ а н- бұл санмен прогрессияның кейбір мүшесі n...Ал біз бұл прогрессияның мүшесін білеміз! Бұл 99. Біз оның нөмірін білмейміз. n,Сондықтан бұл санды табу керек. 99 прогрессияның мүшесін формулаға ауыстырамыз:
99 = 12 + (n-1) 3
формуладан өрнектейміз n, ойлаймыз. Біз жауап аламыз: n=30.
Енді сол тақырыптағы мәселе, бірақ одан да шығармашылық):
117 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі екенін анықтаңыз:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Формуланы қайта жазайық. Не, параметрлер жоқ па? Хм... Неліктен бізге көз берілген?) Прогрессияның бірінші мүшесін көреміз бе? Біз көріп тұрмыз. Бұл -3,6. Сіз қауіпсіз жаза аласыз: a 1 = -3,6.Айырмашылық гсериядан анықтай аласыз ба? Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы неде екенін білсеңіз оңай:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Сонымен, біз ең қарапайым нәрсені жасадық. Белгісіз санмен күресу қалады nжәне түсініксіз саны 117. Алдыңғы есепте, кем дегенде, прогрессияның мүшесі берілгені белгілі болды. Бірақ бұл жерде біз тіпті білмейміз... Не істеу керек!? Ал, қалай болу керек, қалай болу керек... Шығармашылық қабілеттеріңізді іске қосыңыз!)
Біз делікбұл 117 біздің прогрессіміздің мүшесі. Белгісіз нөмірмен n. Ал, алдыңғы есептегідей, осы санды табуға тырысайық. Анау. формуланы жазамыз (иә, иә!)) және сандарымызды ауыстырамыз:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Тағы да формуладан өрнектеймізn, біз санаймыз және аламыз:
Ой! Нөмірі шықты бөлшек!Жүз бір жарым. Ал прогрессиядағы бөлшек сандар болмайды.Біз қандай қорытынды жасай аламыз? Иә! № 117 емеспрогрессіміздің мүшесі. Бұл жүзден бірінші және жүз екінші мүшелердің арасында. Егер сан табиғи болып шықса, яғни. натурал сан болса, онда сан табылған санмен прогрессияның мүшесі болады. Ал біздің жағдайда мәселенің жауабы келесідей болады: Жоқ.
GIA нақты нұсқасына негізделген тапсырма:
Арифметикалық прогрессия шартпен беріледі:
a n = -4 + 6,8n
Прогрессияның бірінші және оныншы мүшелерін табыңыз.
Мұнда прогресс әдеттен тыс түрде орнатылады. Қандай да бір формула... Бұл болады.) Дегенмен, бұл формула (жоғарыда жазғанымдай) - сонымен қатар арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы!Ол да рұқсат береді прогрессияның кез келген мүшесін оның саны бойынша табыңыз.
Біз бірінші мүшені іздейміз. Ойлаған адам. бірінші мүшесі минус төрт деген қате қате!) Себебі есептегі формула өзгертілген. Ондағы арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі жасырын.Жарайды, қазір табамыз.)
Алдыңғы есептердегідей, біз ауыстырамыз n=1мына формулаға:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Мұнда! Бірінші мүше -4 емес, 2,8!
Оныншы мүшені дәл осылай іздейміз:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Міне бітті.
Ал енді осы жолдарды оқығандар үшін уәде етілген бонус.)
Мемлекеттік емтиханның немесе Бірыңғай мемлекеттік емтиханның қиын жауынгерлік жағдайында сіз арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің пайдалы формуласын ұмыттыңыз делік. Менің есімде бірдеңе бар, бірақ әйтеуір белгісіз... Немесе nсонда немесе n+1 немесе n-1...Не істейін!?
Тыныш! Бұл формуланы шығару оңай. Бұл өте қатал емес, бірақ сенімділік пен дұрыс шешім қабылдау үшін жеткілікті!) Қорытынды жасау үшін арифметикалық прогрессияның элементар мағынасын есте сақтау және бір-екі минут уақыт алу жеткілікті. Сізге тек сурет салу керек. Түсінікті болу үшін.
Сан түзуін сызып, оның біріншісін белгілеңіз. екінші, үшінші және т. мүшелері. Және біз айырмашылықты атап өтеміз гмүшелері арасында. Бұл сияқты:
Суретке қарап ойланамыз: екінші мүше неге тең? Екінші бір г:
а 2 =a 1 + 1 г
Үшінші мүше дегеніміз не? Үшіншітермин бірінші қосылғыш плюсқа тең екі г.
а 3 =a 1 + 2 г
Түсінесіз бе? Кейбір сөздерді қою қаріппен белгілеуім бекер емес. Жарайды, тағы бір қадам).
Төртінші мүше дегеніміз не? Төртіншітермин бірінші қосылғыш плюсқа тең үш г.
а 4 =a 1 + 3 г
Бұл бос орындардың саны, яғни. г, Әрқашан сіз іздеген мүшенің санынан бір кем n. Яғни, санға n, бос орындар саныерік n-1.Демек, формула болады (өзгеріссіз!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Жалпы, математиканың көптеген есептерін шешуде көрнекі суреттердің көмегі зор. Суреттерді назардан тыс қалдырмаңыз. Бірақ егер сурет салу қиын болса, онда... тек формула!) Сонымен қатар, n-ші мүшесінің формуласы математиканың барлық қуатты арсеналын шешуге қосуға мүмкіндік береді - теңдеулер, теңсіздіктер, жүйелер және т.б. Суретті теңдеуге кірістіру мүмкін емес...
Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар.
Жылыту үшін:
1. Арифметикалық прогрессияда (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3 табыңыз.
Нұсқау: сурет бойынша мәселені 20 секундта шешуге болады... Формула бойынша қиынырақ болып шығады. Бірақ формуланы меңгеру үшін бұл пайдалырақ.) 555-бөлімде бұл мәселе сурет пен формула арқылы шешілген. Айырмашылықты сезініңіз!)
Бұл енді қыздыру емес.)
2. Арифметикалық прогрессияда (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. 3-ті табыңыз.
Не, сурет салғың келмей ме?) Әрине! Формула бойынша жақсырақ, иә...
3. Арифметикалық прогрессия шартпен беріледі:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Осы прогрессияның жүз жиырма бесінші мүшесін табыңыз.
Бұл тапсырмада прогресс қайталанатын түрде көрсетіледі. Бірақ жүз жиырма бесінші мүшеге дейін санасақ... Мұндай ерлік әркімнің қолынан келе бермейді.) Бірақ n-ші мүшесінің формуласы әркімнің қолында!
4. Арифметикалық прогрессия (a n) берілген:
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Прогрессияның ең кіші оң мүшесінің санын табыңыз.
5. 4-тапсырманың шарты бойынша прогрессияның ең кіші оң және ең үлкен теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз.
6. Өсіп келе жатқан арифметикалық прогрессияның бесінші және он екінші мүшелерінің көбейтіндісі -2,5-ке тең, ал үшінші және он бірінші мүшелерінің қосындысы нөлге тең. 14 табыңыз.
Ең оңай тапсырма емес, иә...) Мұнда «саусақ ұшы» әдісі жұмыс істемейді. Формулаларды жазып, теңдеулерді шешуге тура келеді.
Жауаптар (ретсіз):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Болды ма? Бұл жағымды!)
Бәрі ойдағыдай емес пе? Болады. Айтпақшы, соңғы тапсырмада бір нәзік нүкте бар. Мәселені оқу кезінде мұқият болу керек. Және логика.
Барлық осы мәселелердің шешімі 555-бөлімде егжей-тегжейлі талқыланады. Ал төртінші үшін қиял элементі, ал алтыншы үшін нәзік нүкте және n-ші мүшесінің формуласымен байланысты кез келген есептерді шешудің жалпы тәсілдері - барлығы сипатталған. Мен ұсынамын.
Егер сізге бұл сайт ұнаса...
Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)
Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)
Функциялармен және туындылармен танысуға болады.
Көптеген адамдар арифметикалық прогрессия туралы естіген, бірақ бәрі де оның не екенін жақсы түсінбейді. Бұл мақалада біз сәйкес анықтаманы береміз, сонымен қатар арифметикалық прогрессияның айырмасын қалай табуға болады деген сұрақты қарастырамыз және бірқатар мысалдар келтіреміз.
Математикалық анықтама
Сонымен, егер біз арифметикалық немесе алгебралық прогрессия туралы айтатын болсақ (бұл ұғымдар бір нәрсені анықтайды), онда бұл келесі заңды қанағаттандыратын белгілі бір сандар қатары бар екенін білдіреді: қатардағы әрбір екі көрші сан бірдей мәнмен ерекшеленеді. Математикалық түрде былай жазылады:
Мұндағы n тізбектегі a n элементінің санын, ал d саны прогрессияның айырмасын білдіреді (оның аты ұсынылған формуладан шыққан).
d айырмашылығын білу нені білдіреді? Көрші сандар бір-бірінен қаншалықты «қашық» екендігі туралы. Дегенмен, d туралы білім бүкіл прогрессияны анықтау (қалпына келтіру) үшін қажетті, бірақ жеткіліксіз шарт болып табылады. Қарастырылып отырған қатардың абсолютті кез келген элементі болуы мүмкін тағы бір санды білу қажет, мысалы, 4, a10, бірақ, әдетте, олар бірінші санды, яғни 1-ді пайдаланады.
Прогрессия элементтерін анықтау формулалары
Жалпы алғанда, жоғарыдағы ақпарат нақты мәселелерді шешуге көшу үшін жеткілікті. Дегенмен, арифметикалық прогрессия берілмес бұрын және оның айырмашылығын табу қажет болады, біз бірнеше пайдалы формулаларды ұсынамыз, осылайша есептерді шешудің кейінгі процесін жеңілдетеміз.
n саны бар тізбектің кез келген элементін келесі түрде табуға болатынын көрсету оңай:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Шынында да, кез келген адам бұл формуланы қарапайым іздеу арқылы тексере алады: егер сіз n = 1 ауыстырсаңыз, сіз бірінші элементті аласыз, егер n = 2 ауыстырсаңыз, онда өрнек бірінші сан мен айырманың қосындысын береді және т.б.
Көптеген есептердің шарттары белгілі сандар жұбы берілген, олардың сандары да реттілікпен берілген, барлық сандар қатарын қайта құру қажет болатындай етіп құрастырылған (айырымды және бірінші элементті табыңыз). Енді біз бұл мәселені жалпы түрде шешеміз.
Сонымен, n және m сандары бар екі элемент берілсін. Жоғарыда келтірілген формуланы пайдаланып екі теңдеу жүйесін құруға болады:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Белгісіз шамаларды табу үшін біз мұндай жүйені шешудің белгілі қарапайым әдістемесін қолданамыз: сол және оң жақтарын жұппен алып тастаңыз, теңдік күшінде қалады. Бізде бар:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Осылайша, біз бір белгісізді алып тастадық (a 1). Енді d анықтау үшін соңғы өрнекті жаза аламыз:
d = (a n - a m) / (n - m), мұндағы n > m
Біз өте қарапайым формуланы алдық: есептің шарттарына сәйкес d айырмасын есептеу үшін тек элементтердің өздері мен олардың реттік нөмірлерінің арасындағы айырмашылықтардың қатынасын алу керек. Бір маңызды жайтқа назар аударған жөн: айырмашылықтар «аға» және «кіші» мүшелер арасында қабылданады, яғни n > m («аға» - қатардың басынан әрі қарай тұруды білдіреді, оның абсолютті мәні не болуы мүмкін үлкен немесе азырақ «кіші» элемент).
Бірінші мүшесінің мәнін алу үшін d прогрессияның айырымы үшін өрнек есепті шешудің басында кез келген теңдеулерге ауыстырылуы керек.
Біздің компьютерлік технология дамыған заманда көптеген мектеп оқушылары Интернетте өз тапсырмаларының шешімін табуға тырысады, сондықтан мұндай түрдегі сұрақтар жиі туындайды: арифметикалық прогрессияның айырмашылығын онлайнда табыңыз. Мұндай сұрау үшін іздеу жүйесі бірнеше веб-беттерді қайтарады, оған өту арқылы сіз шарттан белгілі деректерді енгізуіңіз керек (бұл прогрессияның екі мүшесі немесе олардың белгілі бір санының қосындысы болуы мүмкін) ) және бірден жауап алыңыз. Алайда мәселені шешудің бұл тәсілі оқушының дамуы мен оған жүктелген тапсырманың мәнін түсінуі тұрғысынан нәтижесіз болып табылады.
Формулаларды қолданбай шешу
Берілген формулалардың ешқайсысын қолданбай бірінші есепті шығарайық. Қатардың элементтері берілсін: a6 = 3, a9 = 18. Арифметикалық прогрессияның айырмасын табыңыз.
Белгілі элементтер қатарда бір-біріне жақын тұрады. Ең үлкенін алу үшін d айырмасын ең кішіге неше рет қосу керек? Үш рет (бірінші рет d қосқанда 7-ші элементті аламыз, екінші рет - сегізінші, соңында, үшінші рет - тоғызыншы). 18 шығу үшін үш есеге қандай санды қосу керек? Бұл бес саны. Шынымен:
Сонымен, белгісіз айырма d = 5.
Әрине, шешім сәйкес формуланы қолдану арқылы жүзеге асырылуы мүмкін еді, бірақ бұл әдейі жасалмаған. Есептің шешімін егжей-тегжейлі түсіндіру арифметикалық прогрессияның не екенін көрсететін айқын және айқын мысал болуы керек.
Алдыңғы тапсырмаға ұқсас тапсырма
Енді ұқсас мәселені шешейік, бірақ кіріс деректерін өзгертіңіз. Сонымен, сіз a3 = 2, a9 = 19 екенін табуыңыз керек.
Әрине, сіз қайтадан «басқа» шешім әдісіне жүгіне аласыз. Бірақ серияның элементтері бір-бірінен салыстырмалы түрде алыс берілгендіктен, бұл әдіс мүлдем ыңғайлы болмайды. Бірақ алынған формуланы пайдалану бізді тез арада жауапқа әкеледі:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Міне, біз соңғы санды дөңгелектедік. Бұл дөңгелектеу қатеге әкелген дәрежесін нәтижені тексеру арқылы бағалауға болады:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Бұл нәтиже шартта берілген мәннен 0,1% ғана ерекшеленеді. Сондықтан жүздіктерге дейін қолданылатын дөңгелектеу сәтті таңдау деп санауға болады.
Терминге формуланы қолдануға байланысты есептер
Белгісіз d анықтауға арналған есептің классикалық мысалын қарастырайық: a1 = 12, a5 = 40 болса, арифметикалық прогрессияның айырмасын табыңыз.
Белгісіз алгебралық қатардың екі саны берілгенде және олардың біреуі а 1 элементі болса, онда көп ойланудың қажеті жоқ, бірден a n мүшесінің формуласын қолдану керек. Бұл жағдайда бізде:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Бөлу кезінде біз нақты санды алдық, сондықтан алдыңғы абзацта жасалғандай есептелген нәтиженің дұрыстығын тексерудің мағынасы жоқ.
Тағы бір ұқсас есепті шешейік: a1 = 16, a8 = 37 болса, арифметикалық прогрессияның айырмасын табу керек.
Біз алдыңғыға ұқсас тәсілді қолданамыз және аламыз:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Арифметикалық прогрессия туралы тағы не білу керек?
Белгісіз айырымды немесе жеке элементтерді табу есептерінен басқа, жиі қатардың бірінші мүшелерінің қосындысына есептер шығару қажет. Бұл мәселелерді қарастыру мақаланың көлемінен тыс, дегенмен, ақпараттың толықтығы үшін біз сериядағы n санының қосындысының жалпы формуласын ұсынамыз:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
Өте «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендер үшін)
Арифметикалық прогрессия - әрбір сан алдыңғы саннан бірдей мөлшерде үлкен (немесе аз) болатын сандар қатары.
Бұл тақырып жиі күрделі және түсініксіз болып көрінеді. Әріптердің индекстері, прогрессияның n-ші мүшесі, прогрессияның айырмашылығы - мұның бәрі әйтеуір шатастырады, иә... Арифметикалық прогрессияның мағынасын анықтайық, сонда бәрі бірден жақсарады.)
Арифметикалық прогрессия туралы түсінік.
Арифметикалық прогрессия өте қарапайым және түсінікті ұғым. Сізде күмән бар ма? Бекер.) Өзіңіз қараңыз.
Мен аяқталмаған сандар қатарын жазамын:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Сіз бұл серияны ұзарта аласыз ба? Келесі бестен кейін қандай сандар келеді? Барлығы... у..., қысқасы, 6, 7, 8, 9, т.б. сандардың келесі келетінін бәрі түсінеді.
Тапсырманы күрделендіріп көрейік. Мен сізге аяқталмаған сандар қатарын беремін:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Сіз үлгіні ұстай аласыз, серияны кеңейте аласыз және атай аласыз жетіншіқатар нөмірі?
Егер сіз бұл санның 20 екенін түсінсеңіз, құттықтаймыз! Тек сезіп қана қойған жоқсың Арифметикалық прогрессияның негізгі нүктелері,сонымен қатар оларды бизнесте сәтті қолданды! Егер сіз оны түсінбесеңіз, оқыңыз.
Енді негізгі ойларды сезімдерден математикаға аударайық.)
Бірінші негізгі нүкте.
Арифметикалық прогрессия сандар қатарын қарастырады.Бұл алдымен шатастырады. Біз теңдеулерді шешуге, графиктерді салуға және осының бәріне үйреніп қалғанбыз... Бірақ бұл жерде қатарды ұзартамыз, қатардың нөмірін табамыз...
Бәрі жақсы. Прогрессиялар математиканың жаңа саласымен алғашқы танысу болып табылады. Бөлім «Қатарлар» деп аталады және арнайы сандар мен өрнектер қатарымен жұмыс істейді. Оған үйреніңіз.)
Екінші негізгі нүкте.
Арифметикалық прогрессияда кез келген сан алдыңғы саннан өзгеше болады бірдей мөлшерде.
Бірінші мысалда бұл айырмашылық біреу. Қандай санды алсаңыз да, алдыңғы саннан бір артық. Екіншісінде - үшеу. Кез келген сан алдыңғы саннан үшке артық. Шын мәнінде, дәл осы сәт бізге үлгіні түсінуге және кейінгі сандарды есептеуге мүмкіндік береді.
Үшінші негізгі нүкте.
Бұл сәт таң қалдырмайды, иә... Бірақ бұл өте маңызды. Мінеки: Әрбір прогрессия саны өз орнында.Бірінші сан бар, жетінші бар, қырық бесінші бар, т.б. Егер сіз оларды кездейсоқ араластырсаңыз, үлгі жоғалады. Арифметикалық прогрессия да жоғалады. Қалғаны сандар қатары ғана.
Мәселе осында.
Әрине, жаңа тақырыпта жаңа терминдер мен белгілер пайда болады. Сіз оларды білуіңіз керек. Әйтпесе тапсырманы түсінбейсіз. Мысалы, сіз келесідей нәрсені шешуіңіз керек:
Арифметикалық прогрессияның (a n) алғашқы алты мүшесін жазыңыз, егер a 2 = 5, d = -2,5.
Шабыттандырады ма?) Хаттар, кейбір индекстер... Ал тапсырма, айтпақшы, қарапайым болуы мүмкін емес. Сізге тек терминдер мен белгілердің мағынасын түсіну керек. Енді осы істі меңгеріп, тапсырмаға қайта ораламыз.
Терминдер мен белгілеулер.
Арифметикалық прогрессияәр сан алдыңғы саннан ерекшеленетін сандар қатары бірдей мөлшерде.
Бұл шама деп аталады . Бұл тұжырымдаманы толығырақ қарастырайық.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыкез келген прогрессия санының шамасы болып табылады Көбірекалдыңғы.
Бір маңызды нүкте. Сөзге назар аударыңыз «Көбірек».Математикалық тұрғыдан бұл әрбір прогрессия саны екенін білдіреді қосу арқылыарифметикалық прогрессияның алдыңғы санға айырмашылығы.
Есептеу үшін айталық екіншісериялардың нөмірлері қажет біріншісаны қосудәл осы арифметикалық прогрессияның айырмашылығы. Есептеу үшін бесінші- айырмашылық қажет қосуКімге төртінші,жақсы және т.б.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығымүмкін оң,сонда қатардағы әрбір сан нақты болып шығады алдыңғысынан көп.Бұл прогрессия деп аталады ұлғайту.Мысалы:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Мұнда әрбір сан алынады қосу арқылыоң сан, алдыңғыға +5.
Айырмашылық болуы мүмкін теріс,содан кейін қатардағы әрбір сан болады алдыңғысынан аз.Бұл прогресс деп аталады (сенбейсіз!) төмендеу.
Мысалы:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Мұнда әрбір нөмір де алынады қосу арқылыалдыңғыға, бірақ қазірдің өзінде теріс сан, -5.
Айтпақшы, прогрессиямен жұмыс істегенде, оның табиғатын бірден анықтау өте пайдалы - ол өсуде немесе кемуде. Бұл шешім қабылдауға, қателеріңізді анықтауға және тым кеш болмай тұрып түзетуге көп көмектеседі.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыәдетте әріппен белгіленеді d.
Қалай табуға болады г? Өте оңай. Қатардағы кез келген саннан алу керек алдыңғысаны. Алу. Айтпақшы, алудың нәтижесі «айырма» деп аталады.)
Мысалы, анықтайық гАрифметикалық прогрессияны арттыру үшін:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Біз қатардағы кез келген санды аламыз, мысалы, 11. Одан шегереміз алдыңғы нөміранау. 8:
Бұл дұрыс жауап. Бұл арифметикалық прогрессия үшін айырмашылық үшке тең.
Сіз оны ала аласыз кез келген прогрессия саны,өйткені белгілі бір прогресс үшін d-әрқашан бірдей.Кем дегенде бір жерде қатардың басында, кем дегенде ортасында, кем дегенде кез келген жерде. Сіз тек бірінші нөмірді ала алмайсыз. Тек бірінші сан болғандықтан алдыңғысы жоқ.)
Айтпақшы, соны білу d=3, бұл прогрессияның жетінші санын табу өте оңай. Бесінші санға 3-ті қосайық - алтыншыны аламыз, ол 17 болады. Алтыншы санға үшті қосайық, жетінші санды аламыз - жиырма.
анықтайық гкемімелі арифметикалық прогрессия үшін:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Белгілеріне қарамастан анықтау керек екенін еске саламын гкез келген нөмірден қажет алдыңғысын алып тастаңыз.Кез келген прогрессия санын таңдаңыз, мысалы -7. Оның бұрынғы саны -2. Содан кейін:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Арифметикалық прогрессияның айырымы кез келген сан болуы мүмкін: бүтін, бөлшек, иррационал, кез келген сан.
Басқа терминдер мен белгілер.
Қатардағы әрбір сан шақырылады арифметикалық прогрессияның мүшесі.
Прогрессияның әрбір мүшесі өз нөмірі бар.Сандар қатаң тәртіпте, ешқандай айласыз. Бірінші, екінші, үшінші, төртінші, т.б. Мысалы, прогрессияда 2, 5, 8, 11, 14, ... екі - бірінші мүше, бес - екінші, он бір - төртінші, жақсы, түсіндіңіздер...) Нақты түсініңіздер - сандардың өзіабсолютті кез келген болуы мүмкін, бүтін, бөлшек, теріс, кез келген, бірақ сандарды нөмірлеу- қатаң тәртіпте!
Прогрессияны жалпы түрде қалай жазуға болады? Проблема жоқ! Қатардағы әрбір сан әріп түрінде жазылады. Арифметикалық прогрессияны белгілеу үшін әдетте әріп қолданылады а. Мүше нөмірі төменгі оң жақтағы индекспен көрсетіледі. Біз терминдерді үтірмен (немесе нүктелі үтірмен) келесідей жазамыз:
а 1, а 2, а 3, а 4, а 5, .....
а 1- бұл бірінші сан, а 3- үшінші және т.б. Керемет ештеңе жоқ. Бұл серияны қысқаша былай жазуға болады: (а н).
Прогрессиялар орын алады шекті және шексіз.
Түпкіліктіпрогрессияның шектеулі мүшелері бар. Бес, отыз сегіз, бәрібір. Бірақ бұл шекті сан.
Шексізпрогрессия - сіз болжағандай мүшелердің шексіз саны бар.)
Соңғы прогрессті келесідей қатар, барлық терминдер мен соңында нүкте арқылы жаза аласыз:
а 1, 2, 3, 4, 5.
Немесе көптеген мүшелер болса:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
Қысқа жазбада сіз мүшелер санын қосымша көрсетуіңіз керек. Мысалы (жиырма мүше үшін) келесідей:
(a n), n = 20
Шексіз прогрессияны осы сабақтағы мысалдардағыдай жолдың соңындағы эллипс арқылы тануға болады.
Енді сіз тапсырмаларды шеше аласыз. Тапсырмалар қарапайым, тек арифметикалық прогрессияның мағынасын түсінуге арналған.
Арифметикалық прогрессия бойынша тапсырмалар мысалдары.
Жоғарыда берілген тапсырманы егжей-тегжейлі қарастырайық:
1. Арифметикалық прогрессияның (a n) алғашқы алты мүшесін жаз, егер a 2 = 5, d = -2,5.
Тапсырманы түсінікті тілге аударамыз. Шексіз арифметикалық прогрессия берілген. Бұл прогрессияның екінші саны белгілі: a 2 = 5.Прогрессия айырмашылығы белгілі: d = -2,5.Бұл прогрессияның бірінші, үшінші, төртінші, бесінші және алтыншы мүшелерін табуымыз керек.
Түсінікті болу үшін есептің шарттарына сәйкес қатар жазамын. Бірінші алты мүше, мұндағы екінші мүше бес:
1, 5, 3, 4, 5, 6,....
а 3 = а 2 + г
Өрнекте алмастыру a 2 = 5Және d = -2,5. Минус туралы ұмытпаңыз!
а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Үшінші мүше екіншіден кіші болып шықты. Барлығы логикалық. Егер сан алдыңғы саннан көп болса терісмән, яғни санның өзі алдыңғысынан аз болады. Прогрессия азайып келеді. Жарайды, ескерейік.) Қатарымыздың төртінші мүшесін санаймыз:
а 4 = а 3 + г
а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
а 5 = а 4 + г
а 5=0+(-2,5)= - 2,5
а 6 = а 5 + г
а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Сонымен, үшіншіден алтыншыға дейінгі мерзімдер есептелді. Нәтиже келесі серия болып табылады:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Бірінші мүшені табу қалды а 1белгілі екінші бойынша. Бұл басқа бағытта, солға қарай қадам.) Сонымен, арифметикалық прогрессияның айырмашылығы гқосуға болмайды а 2, А ала кету:
а 1 = а 2 - г
а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Міне бітті. Тапсырманың жауабы:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Сөз арасында бұл міндетті шешкенімізді атап өткім келеді қайталанатынжол. Бұл қорқынышты сөз тек прогрессияның мүшесін іздеуді білдіреді алдыңғы (көрші) санға сәйкес.Төменде прогрессиямен жұмыс істеудің басқа жолдарын қарастырамыз.
Осы қарапайым тапсырмадан бір маңызды қорытынды жасауға болады.
Есіңізде болсын:
Егер біз кем дегенде бір мүшесін және арифметикалық прогрессияның айырмасын білсек, бұл прогрессияның кез келген мүшесін таба аламыз.
Сенің есіңде ме? Бұл қарапайым қорытынды осы тақырып бойынша мектеп курсының көптеген мәселелерін шешуге мүмкіндік береді. Барлық тапсырмалар үш негізгі параметрдің айналасында айналады: арифметикалық прогрессияның мүшесі, прогрессияның айырмасы, прогрессияның мүшесінің саны.Барлық.
Әрине, барлық алдыңғы алгебра жойылмайды.) Прогрессияға теңсіздіктер, теңдеулер және басқалар қосылады. Бірақ прогрессияның өзіне сәйкес- барлығы үш параметрдің айналасында айналады.
Мысал ретінде осы тақырып бойынша танымал тапсырмаларды қарастырайық.
2. n=5, d = 0,4 және a 1 = 3,6 болса, ақырлы арифметикалық прогрессияны қатар түрінде жазыңыз.
Мұнда бәрі қарапайым. Барлығы қазірдің өзінде берілді. Арифметикалық прогрессияның мүшелері қалай есептелетінін, оларды санап, жазып алатынын есте сақтау керек. Тапсырма шарттарындағы сөздерді жіберіп алмаған жөн: «қорытынды» және « n=5". Бетіңіз толығымен көгергенше санамас үшін.) Бұл прогрессияда тек 5 (бес) мүше бар:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Жауапты жазу қалды:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Тағы бір тапсырма:
3. 7 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі болатынын анықтаңыз, егер a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Кім біледі? Бір нәрсені қалай анықтауға болады?
Қалай-қалай... Прогрессияны қатар түрінде жазып, онда жеті болатынын немесе болмайтынын көріңіз! Біз санаймыз:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Енді жеті-ақ екеніміз анық көрініп тұр сырғып өтті 6,5 пен 7,7 арасында! Жеті саны біздің сандар қатарымызға енген жоқ, демек, жеті берілген прогрессияның мүшесі болмайды.
Жауап: жоқ.
Міне, GIA нақты нұсқасына негізделген мәселе:
4. Арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:
...; 15; X; 9; 6; ...
Міне, соңы мен басы жоқ жазылған серия. Мүше нөмірлері жоқ, айырмашылық жоқ г. Бәрі жақсы. Есепті шешу үшін арифметикалық прогрессияның мағынасын түсіну жеткілікті. Қарап көрейік және не мүмкін екенін көрейік білуосы сериядан? Үш негізгі параметр қандай?
Мүше нөмірлері? Мұнда бірде-бір нөмір жоқ.
Бірақ үш сан бар және - назар аударыңыз! - сөз «дәйекті»күйінде. Бұл сандар бос орынсыз, қатаң тәртіпте екенін білдіреді. Бұл қатарда екеуі бар ма? көршібелгілі сандар? Ия бар! Бұлар 9 және 6. Сондықтан арифметикалық прогрессияның айырмасын есептей аламыз! Алтыдан азайт алдыңғысаны, яғни. тоғыз:
Ұсақ-түйектер қалды. X үшін алдыңғы сан қандай болады? Он бес. Бұл X-ті қарапайым қосу арқылы оңай табуға болатынын білдіреді. Арифметикалық прогрессияның айырмасын 15-ке қосыңыз:
Осымен болды. Жауап: x=12
Келесі мәселелерді өзіміз шешеміз. Ескерту: бұл есептер формулаларға негізделмеген. Тек арифметикалық прогрессияның мағынасын түсіну үшін.) Біз жай ғана сандар мен әріптер қатарын жазып аламыз, қарап, анықтаймыз.
5. Арифметикалық прогрессияның бірінші оң мүшесін табыңыз, егер a 5 = -3 болса; d = 1.1.
6. 5,5 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі екені белгілі, мұндағы a 1 = 1,6; d = 1,3. Осы мүшенің n санын анықтаңыз.
7. Арифметикалық прогрессияда а 2 = 4 болатыны белгілі; a 5 = 15,1. 3 табыңыз.
8. Арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Х әрпімен көрсетілген прогрессияның мүшесін табыңыз.
9. Пойыз стансадан қозғала бастады, жылдамдығын минутына 30 метрге біркелкі арттырды. Бес минутта пойыздың жылдамдығы қандай болады? Жауабыңызды км/сағатпен беріңіз.
10. Арифметикалық прогрессияда а 2 = 5 болатыны белгілі; a 6 = -5. 1-ді табыңыз.
Жауаптар (ретсіз): 7,7; 7,5; 9.5; 9; 0,3; 4.
Бәрі ойдағыдай болды ма? Керемет! Келесі сабақтарда арифметикалық прогрессияны жоғары деңгейде меңгеруге болады.
Бәрі ойдағыдай болмады ма? Ештеңе етпейді. Арнайы 555-бөлімде бұл есептердің барлығы бір-бірден сұрыпталған.) Және, әрине, қарапайым практикалық әдістеме сипатталған, ол бірден осындай тапсырмалардың шешімін бір қарағанда анық, анық көрсетеді!
Айтпақшы, пойыз пазлында адамдар жиі сүрінетін екі мәселе бар. Біреуі тек прогрессия тұрғысынан, ал екіншісі математика мен физикадағы кез келген есептерге ортақ. Бұл өлшемдердің бірінен екіншісіне аудармасы. Бұл проблемаларды қалай шешу керек екенін көрсетеді.
Бұл сабақта біз арифметикалық прогрессияның элементар мағынасын және оның негізгі параметрлерін қарастырдық. Бұл осы тақырып бойынша барлық дерлік мәселелерді шешу үшін жеткілікті. қосу гсандарға, қатар жазыңыз, бәрі шешіледі.
Саусақ шешімі осы оқулықтағы мысалдардағыдай қатардың өте қысқа бөліктері үшін жақсы жұмыс істейді. Егер қатар ұзағырақ болса, есептеулер күрделене түседі. Мысалы, егер сұрақтағы 9 есепте біз ауыстырамыз «бес минут»қосулы «отыз бес минут»мәселе айтарлықтай нашарлайды.)
Сондай-ақ мәні бойынша қарапайым, бірақ есептеулер бойынша абсурдтық тапсырмалар бар, мысалы:
Арифметикалық прогрессия (a n) берілген. a 1 =3 және d=1/6 болса, 121-ді табыңыз.
Сонда не, 1/6-ны көп, көп есе қосамыз ба?! Сіз өзіңізді өлтіре аласыз!?
Сіз жасай аласыз.) Егер сіз осындай тапсырмаларды бір минут ішінде шешуге болатын қарапайым формуланы білмесеңіз. Бұл формула келесі сабақта болады. Және бұл мәселе сонда шешіледі. Бір минуттан кейін.)
Егер сізге бұл сайт ұнаса...
Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)
Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)
Функциялармен және туындылармен танысуға болады.
Сандар тізбегі ұғымы әрбір натурал санның қандай да бір нақты мәнге сәйкес келетінін білдіреді. Мұндай сандар қатары не ерікті, не белгілі бір қасиеттерге ие болуы мүмкін - прогрессия. Соңғы жағдайда тізбектің әрбір келесі элементін (мүшесін) алдыңғысының көмегімен есептеуге болады.
Арифметикалық прогрессия – оның көрші мүшелері бір-бірінен бірдей санмен ерекшеленетін сандық мәндер тізбегі (қатардың 2-шіден бастап барлық элементтері ұқсас қасиетке ие). Бұл сан – алдыңғы және кейінгі мүшелердің айырмасы – тұрақты және прогрессияның айырымы деп аталады.
Прогрессия айырмашылығы: анықтамасы
j мәндерінен тұратын тізбекті қарастырайық A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j N натурал сандар жиынына жатады. Арифметика прогрессия, оның анықтамасы бойынша, тізбегі, онда a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. d мәні осы прогрессияның қажетті айырмашылығы болып табылады.
d = a(j) – a(j-1).
Бөлектеу:
- Өсіп келе жатқан прогрессия, бұл жағдайда d > 0. Мысалы: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Прогрессияның төмендеуі, содан кейін d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Айырма прогрессиясы және оның ерікті элементтері
Прогрессияның 2 ерікті мүшесі белгілі болса (i-ші, k-ші), онда берілген тізбек үшін айырмашылықты қатынас негізінде анықтауға болады:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, бұл d = (a(i) – a(k))/(i-k) дегенді білдіреді.
Прогрессияның айырмашылығы және оның бірінші мүшесі
Бұл өрнек реттілік элементінің саны белгілі болған жағдайда ғана белгісіз мәнді анықтауға көмектеседі.
Прогрессия айырмасы және оның қосындысы
Прогрессияның қосындысы оның мүшелерінің қосындысы болып табылады. Оның бірінші j элементтерінің жалпы мәнін есептеу үшін сәйкес формуланы пайдаланыңыз:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, бірақ бері a(j) = a(1) + d(j – 1), онда S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(() 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Жүктелуде...
