Геометриялық фигураның ауданы- осы фигураның өлшемін көрсететін геометриялық фигураның сандық сипаттамасы (осы фигураның тұйық контурымен шектелген бетінің бөлігі). Ауданның өлшемі ондағы шаршы бірліктердің санымен көрсетіледі.
Үшбұрыш ауданы формулалары
- Үшбұрыштың ауданы мен биіктігінің формуласы
Үшбұрыштың ауданыүшбұрыштың қабырғасының ұзындығы мен осы қабырғаға түсірілген биіктік ұзындығының көбейтіндісінің жартысына тең - Үш қабырғаға және шеңбердің радиусына негізделген үшбұрыштың ауданына арналған формула
- Үш қабырғасы мен сызылған шеңбердің радиусына негізделген үшбұрыштың ауданына арналған формула
Үшбұрыштың ауданыүшбұрыштың жарты периметрі мен іштей сызылған шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең. мұндағы S - үшбұрыштың ауданы,
- үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары,
- үшбұрыштың биіктігі,
- қабырғалар арасындағы бұрыш және,
- іштей сызылған шеңбердің радиусы,
R – шектелген шеңбердің радиусы,
Шаршы аудан формулалары
- Бүйірлік ұзындықтағы шаршы алаңының формуласы
Шаршы алаңыоның қабырғасының ұзындығының квадратына тең. - Диагональ ұзындығы бойынша шаршының ауданына арналған формула
Шаршы алаңыоның диагоналінің ұзындығының квадратының жартысына тең.S= 1 2 2 мұндағы S – шаршының ауданы,
- шаршының қабырғасының ұзындығы,
- шаршының диагоналының ұзындығы.
Тіктөртбұрыш ауданының формуласы
- Тіктөртбұрыштың ауданыоның көршілес екі қабырғасының ұзындықтарының көбейтіндісіне тең
мұндағы S – тіктөртбұрыштың ауданы,
- тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары.
Параллелограмм ауданы формулалары
- Параллелограмның бүйірлік ұзындығы мен биіктігіне негізделген ауданы үшін формула
Параллелограмның ауданы - Параллелограмның екі жағына және олардың арасындағы бұрышқа негізделген ауданның формуласы
Параллелограмның ауданыоның қабырғаларының ұзындықтарының олардың арасындағы бұрыштың синусына көбейтіндісіне тең.a b sin α
мұндағы S - параллелограммның ауданы,
- параллелограмның қабырғаларының ұзындықтары,
- параллелограмм биіктігінің ұзындығы,
- параллелограмның қабырғаларының арасындағы бұрыш.
Ромб ауданына арналған формулалар
- Бүйірлік ұзындығы мен биіктігіне негізделген ромбтың ауданына арналған формула
Ромбтың ауданыоның бүйірінің ұзындығы мен осы жағына түсірілген биіктік ұзындығының көбейтіндісіне тең. - Бүйірлік ұзындығы мен бұрышына негізделген ромб ауданы үшін формула
Ромбтың ауданыоның қабырғасының ұзындығының квадраты мен ромбтың қабырғалары арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісіне тең. - Оның диагональдарының ұзындығына негізделген ромбтың ауданына арналған формула
Ромбтың ауданыоның диагональдарының ұзындықтарының көбейтіндісінің жартысына тең. мұндағы S – ромбтың ауданы,
- ромбтың қабырғасының ұзындығы;
- ромб биіктігінің ұзындығы,
- ромбтың қабырғаларының арасындағы бұрыш,
1, 2 - диагональдардың ұзындықтары.
Трапецияның ауданы формулалары
- Трапецияның Герон формуласы
Мұндағы S – трапеция ауданы,
- трапеция табандарының ұзындықтары,
- трапецияның қабырғаларының ұзындығы;
Бұл онлайн калькулятор онлайн режимінде жер учаскесінің ауданын есептеуге, анықтауға және есептеуге көмектеседі. Ұсынылған бағдарлама пішіні дұрыс емес жер учаскелерінің ауданын қалай есептеу керектігін дұрыс ұсына алады.
Маңызды! Маңызды аймақ шамамен шеңберге сәйкес келуі керек. Әйтпесе, есептеулер толығымен дәл болмайды.
Біз барлық деректерді метрлерде көрсетеміз
A B, D A, C D, B C— Сюжеттің әр жағының өлшемі.
Енгізілген деректерге сәйкес, біздің бағдарлама онлайн есептеулерді жүргізеді және шаршы метр, акр, акр және гектар жердің ауданын анықтайды.
Сюжеттің өлшемін қолмен анықтау әдісі
Учаскелердің ауданын дұрыс есептеу үшін күрделі құралдарды пайдаланудың қажеті жоқ. Біз ағаш ілмектерді немесе металл шыбықтарды алып, оларды сайтымыздың бұрыштарына орнатамыз. Әрі қарай, өлшеуіш таспаны пайдаланып, сюжеттің ені мен ұзындығын анықтаңыз. Әдетте, тікбұрышты немесе тең бүйірлі аймақтар үшін бір ені мен бір ұзындығын өлшеу жеткілікті. Мысалы, бізде мынадай деректер бар: ені – 20 метр және ұзындығы – 40 метр.
Әрі қарай біз учаскенің ауданын есептеуге көшеміз. Ауданның пішіні дұрыс болса, тіктөртбұрыштың ауданын (S) анықтау үшін геометриялық формуланы қолдануға болады. Бұл формула бойынша енін (20) ұзындығына (40), яғни екі жақтың ұзындықтарының көбейтіндісіне көбейту керек. Біздің жағдайда S=800 м².
Ауданымызды анықтағаннан кейін жер учаскесіндегі гектарлар санын анықтай аламыз. Жалпы қабылданған мәліметтерге сәйкес, жүз шаршы метр 100 м² құрайды. Әрі қарай, қарапайым арифметика арқылы біз S параметрін 100-ге бөлеміз. Дайын нәтиже акрдағы учаскенің өлшеміне тең болады. Біздің мысал үшін бұл нәтиже 8. Осылайша, біз учаскенің ауданы сегіз акр екенін анықтаймыз.
Жер көлемі өте үлкен болған жағдайда барлық өлшеулерді басқа бірліктерде – гектарда жүргізген дұрыс. Жалпы қабылданған өлшем бірліктері бойынша – 1 Га = 100 акр. Мысалы, егер біздің жер учаскеміз алынған өлшемдер бойынша 10 000 м² болса, онда бұл жағдайда оның ауданы 1 гектарға немесе 100 акрға тең.
Егер сіздің учаскеңіз дұрыс емес пішінде болса, онда акр саны ауданға тікелей байланысты. Дәл осы себепті онлайн калькуляторды пайдаланып, сіз сюжеттің S параметрін дұрыс есептей аласыз, содан кейін нәтижені 100-ге бөле аласыз. Осылайша сіз жүз шаршы метрдегі есептеулерді аласыз. Бұл әдіс күрделі фигуралар учаскелерін өлшеуге мүмкіндік береді, бұл өте ыңғайлы.
Жалпы ақпарат
Жер учаскелерінің ауданын есептеу жалпы қабылданған геодезиялық формулалар бойынша орындалатын классикалық есептеулерге негізделген.
Жердің ауданын есептеудің бірнеше әдістері бар - механикалық (өлшеу палитрасы арқылы жоспарға сәйкес есептеледі), графикалық (жобамен анықталады) және аналитикалық (өлшенген шекара сызықтары негізінде аумақ формуласын пайдалану).
Бүгінгі күні ең дәл әдіс аналитикалық болып саналады. Бұл әдісті қолдану арқылы есептеулердегі қателер әдетте өлшенген сызықтардың жер бедеріндегі қателіктерге байланысты пайда болады. Бұл әдіс, сондай-ақ, егер шекаралар қисық болса немесе учаскедегі бұрыштардың саны оннан көп болса, өте күрделі.
Графикалық әдісті есептеу оңайырақ. Ол сайттың шекаралары сынық сызық түрінде, аз бұрылыстармен ұсынылған кезде жақсы қолданылады.
Және ең қолжетімді және қарапайым әдіс және ең танымал, бірақ сонымен бірге ең үлкен қате - механикалық әдіс. Бұл әдісті қолдана отырып, сіз қарапайым немесе күрделі пішіндегі жердің ауданын оңай және жылдам есептей аласыз.
Механикалық немесе графикалық әдістің елеулі кемшіліктерінің арасында мыналарды ажыратады: ауданды өлшеудегі қателіктерден басқа, есептеулер кезінде қағаздың деформациясы немесе жоспарларды құрудағы қате салдарынан қате қосылады.
Егер сіз жазықтықта әрбір келесі сегмент алдыңғысы аяқталған жерден басталатындай етіп бірнеше сегменттерді ретімен сызсаңыз, сіз үзік сызық аласыз. Бұл кесінділер сілтемелер, ал олардың қиылысулары шыңдар деп аталады. Соңғы кесіндінің соңы біріншісінің бастапқы нүктесімен қиылысқанда, сіз жазықтықты екі бөлікке бөлетін тұйық сынық сызық аласыз. Олардың бірі шекті, екіншісі шексіз.
Қарапайым тұйық түзу жазықтықтың оған тұйықталған бөлігімен (ақырлы) көпбұрыш деп аталады. Сегменттер бүйірлер, ал олар жасайтын бұрыштар төбелер. Кез келген көпбұрыштың қабырғаларының саны оның төбелерінің санына тең. Үш қабырғасы бар фигураны үшбұрыш, ал төртеуі төртбұрыш деп атайды. Көпбұрыш сандық түрде аудан сияқты мәнмен сипатталады, ол фигураның өлшемін көрсетеді. Төртбұрыштың ауданын қалай табуға болады? Мұны математиканың бір саласы – геометрия үйретеді.
Төртбұрыштың ауданын табу үшін оның қандай түрі екенін білу керек - дөңес пе, әлде дөңес емес пе? тұтас бір жағында салыстырмалы түрде түзу (және ол міндетті түрде оның кейбір жақтарын қамтиды) жатыр. Сонымен қатар, төртбұрыштың жұптары тең және параллель қарама-қарсы қабырғалары бар параллелограмм (оның түрлері: тік бұрыштары бар тіктөртбұрыш, қабырғалары тең ромб, барлық тік бұрыштары бар шаршы және төрт бірдей қабырғасы бар шаршы), трапеция сияқты түрлері бар. қарама-қарсы екі параллель және екі жұп көршілес қабырғалары тең дельта тәрізді.
Кез келген көпбұрыштың ауданы оны үшбұрыштарға бөлу, әрқайсысы үшін ерікті үшбұрыштың ауданын есептеу және нәтижелерді қосудан тұратын жалпы әдіс арқылы табылады. Кез келген дөңес төртбұрыш екі үшбұрышқа, дөңес емес төртбұрыш екі немесе үшке бөлінеді, бұл жағдайда ол нәтижелердің қосындысы мен айырмасынан тұруы мүмкін. Кез келген үшбұрыштың ауданы табанның (a) және негізге тартылған биіктігінің (ħ) көбейтіндісінің жартысы ретінде есептеледі. Бұл жағдайда есептеу үшін қолданылатын формула былай жазылады: S = ½. а. ħ.
Параллелограмм сияқты төртбұрыштың ауданын қалай табуға болады? Табанның ұзындығын (a), қабырғасының ұзындығын (ƀ) білу керек және табан мен қабырға (sinα) түзетін α бұрышының синусын табу керек, есептеу формуласы келесідей болады: S. = а. ƀ. sinα. α бұрышының синусы параллелограмм табанының және оның биіктігінің (ħ = ƀ) – табанына перпендикуляр түзудің көбейтіндісі болғандықтан, оның ауданы табанының биіктігіне көбейту арқылы есептеледі: S = a. ħ. Бұл формула ромб пен тіктөртбұрыштың ауданын есептеу үшін де қолайлы. Тіктөртбұрыштың қабырғасы ƀ қабырғасы ħ биіктігіне сәйкес келетіндіктен, оның ауданы S = a формуласы арқылы есептеледі. ƀ. өйткені a = ƀ, оның қабырғасының квадратына тең болады: S = a. a = a². оның қабырғаларының қосындысының биіктігіне көбейтілген жартысы ретінде есептеледі (трапецияның табанына перпендикуляр жүргізілген): S = ½. (a + ƀ) . ħ.
Төртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары белгісіз, бірақ диагональдары (e) және (f), сондай-ақ α бұрышының синусы белгілі болса, оның ауданын қалай табуға болады? Бұл жағдайда аудан оның диагональдарының (көпбұрыштың төбелерін қосатын сызықтар) α бұрышының синусына көбейтіндісінің жартысы ретінде есептеледі. Формула келесі түрде жазылуы мүмкін: S = ½. (e. f) . sinα. Атап айтқанда, бұл жағдайда диагональдардың көбейтіндісінің жартысына тең болады (ромбтың қарама-қарсы бұрыштарын қосатын сызықтар): S = ½. (e. f).
Параллелограмм немесе трапеция емес төртбұрыштың ауданын қалай табуға болады; ол әдетте ерікті төртбұрыш деп аталады. Мұндай фигураның ауданы оның жартылай периметрі (P - ортақ төбесі бар екі жақтың қосындысы), a, ƀ, c, d жақтары және екі қарама-қарсы бұрыштардың қосындысы (α + β) арқылы өрнектеледі: S = √[(P - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - г) - а. ƀ. в. d. cos² ½ (α + β)].
Егер a φ = 180° болса, онда оның ауданын есептеу үшін Брахмагупта (б.з. 6-7 ғасырларда өмір сүрген үнді астрономы және математигі) формуласын қолданады: S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d)]. Егер төртбұрыш шеңбермен сипатталса, онда (a + c = ƀ + d), және оның ауданы есептеледі: S = √[ a. ƀ. в. d] . sin ½ (α + β). Егер төртбұрыш бір мезгілде бір шеңбермен шектеліп, басқа шеңберге сызылған болса, онда ауданды есептеу үшін келесі формула қолданылады: S = √.
Төртбұрышүшеуі бір түзудің бойында жатпайтын төрт төбеден және оларды қосатын кесінділерден тұратын фигура.
Көптеген төртбұрыштар бар. Оларға параллелограммдар, шаршылар, ромбтар және трапециялар жатады. Табуды бүйірлері бойынша табуға болады, диагональдар бойынша оңай есептеледі. Ерікті төртбұрышта төртбұрыштың ауданы формуласын шығару үшін барлық элементтерді пайдалануға болады. Алдымен төртбұрыштың диагоналы бойынша ауданның формуласын қарастырайық. Оны пайдалану үшін диагональдардың ұзындығы мен олардың арасындағы сүйір бұрыштың өлшемі қажет. Қажетті деректерді біле отырып, сіз келесі формуланы пайдаланып төртбұрыштың ауданын есептеудің мысалын жасай аласыз:
Диагональдар мен олардың арасындағы сүйір бұрыштың синусының көбейтіндісінің жартысы төртбұрыштың ауданына тең. Диагональ арқылы төртбұрыштың ауданын есептеудің мысалын қарастырайық.
Екі диагональдары d1 =5 см;d2 =4см болатын төртбұрыш берілсін. Олардың арасындағы сүйір бұрыш α = 30°. Төртбұрыштың диагональдары бойынша ауданы формуласы белгілі шарттар үшін оңай қолданылады. Деректерді ауыстырайық: 
Диагональдардың көмегімен төртбұрыштың ауданын есептеу мысалын пайдалана отырып, біз формуланың есептеуге өте ұқсас екенін түсінеміз.
Қабырғаларындағы төртбұрыштың ауданы
Фигураның қабырғаларының ұзындықтары белгілі болған кезде, төртбұрыштың қабырғалары бойынша формуланы қолдануға болады. Бұл есептеулерді қолдану үшін фигураның жартылай периметрін табу керек. Периметр барлық жақтарының ұзындықтарының қосындысы екенін есте ұстаймыз. Жартылай периметр жарты периметр. Біздің a, b, c, d жақтары бар тіктөртбұрышта жартылай периметр формуласы келесідей болады: 
Қабырғаларды біле отырып, формуланы шығарамыз. Төртбұрыштың ауданы әр қабырғасының жартылай периметрі мен ұзындығының айырмасының көбейтіндісінің түбірі болып табылады:
Төртбұрыштың қабырғаларын пайдаланып оның ауданын есептеудің мысалын қарастырайық. Қабырғалары a = 5 см, b = 4 см, c = 3 см, d = 6 см болатын ерікті төртбұрыш берілген. Алдымен жартылай периметрді табайық: 
ауданды есептеу үшін табылған мәнді пайдаланыңыз:
Координаталар арқылы берілген төртбұрыштың ауданы
Координаталар жүйесінде орналасқан фигуралардың ауданын есептеу үшін төртбұрыштың координаттар ауданы формуласы қолданылады. Бұл жағдайда алдымен қажетті жақтардың ұзындығын есептеу керек. Төртбұрыштың түріне байланысты формуланың өзі өзгеруі мүмкін. XY координаталар жүйесінде орналасқан шаршыны пайдаланып төртбұрыштың ауданын есептеудің мысалын қарастырайық.
XY координаталар жүйесінде орналасқан ABCD квадраты берілген. Төбелерінің координаталары А (2;10) болса, фигураның ауданын табыңыз; B(10;8); C(8;0); D(0;2). 
Біз фигураның барлық жақтары тең екенін білеміз және квадраттың ауданы формуласы мына формула бойынша табылады:
Қабырғалардың бірін табайық, мысалы, АВ: 
Мәндерді формулаға ауыстырайық: 
Біз барлық жақтардың бірдей екенін білеміз. Ауданды есептеу формуласына мәнді ауыстырамыз: 
I. Алғы сөз
Бұл сәтсіздік: екі апта бойы ауырғаннан кейін сіз мектепке келдіңіз және сіз өте маңызды тақырыпты өткізіп алғаныңызды білдіңіз, ол 9-сыныпта емтиханда болатын мәселелер - «Үшбұрыштар, төртбұрыштар және олардың ауданы». Міне, мен геометрия мұғаліміне «Төртбұрыштың ауданын қалай табуға болады?» деген сұрақтармен асығатын едім. Бірақ студенттердің жартысы артта қалмау үшін мұғалімдерге жақындауға қорқады, ал қалған жартысы мұғалімдерден «оқулыққа қараңыз, онда бәрі жазылған!» дегенге ұқсас «көмек» алады. немесе «Сіз сабақты өткізбеуіңіз керек еді!» Бірақ оқулықта үшбұрыштар мен төртбұрыштардың ауданын табу ережелері туралы мүлде ақпарат жоқ. Ал сабақты себепсіз қалдырған, дәрігердің анықтамасы бар. Бірақ көптеген мұғалімдер бұл дәлелдерден бас тартады. Әрине, оларды түсінуге болады: олар ештеңе түсінбейтін студенттердің басына сабақ материалдарын қосымша айдағаны үшін төленбейді. Көптеген студенттер бұл пайдасыз тапсырмадан бас тартады және бір жылдан кейін емтиханды тапсыра алмай, үшбұрыштар мен төртбұрыштардың ауданын табу тапсырмасына он ұпай жіберіп алады. Кітапханаларға және достарына «Төртбұрыштың ауданын қалай табуға болады?» Деген сұрақпен баратындар аз. Бірақ әртүрлі адамдар мен кітаптар әртүрлі жауаптар береді, ал нәтиже ережелердің үлкен шатасуы. Төменде үшбұрыштар мен төртбұрыштардың аудандарын табудың негізгі жолдарын атаймын.
II. Төртбұрыштар
Төртбұрыштардан бастайық. Мектептерде және емтихандарда тек дөңес төртбұрыштар қарастырылады, сондықтан олар туралы сөйлесейік. Орта білім беру деңгейінде параллелограммдар мен трапециялардың аудандары оқытылады. Параллелограммның бірнеше түрі бар: тіктөртбұрыш, шаршы, ромб және ерікті параллелограмм, онда тек оның негізгі сипаттамалары байқалады: қабырғалары жұп параллель және тең, көршілес бұрыштардың қосындысы 180 градус. Бірақ бұл барлық фигуралардың аудандарын табу әдістері әртүрлі. Әрқайсысын бөлек қарастырайық.
1. Тіктөртбұрыш
Тіктөртбұрыштың S мәні мына формула бойынша табылады: S = a * b, мұндаА- көлденең жағы, б- тік жағы.*
2. Шаршылардың ауданы
S квадраты мына формула бойынша табылады: S = a * a, мұндаа- шаршының жағы.
3. Ромбтардың ауданы
Ромбтың S мәні мына формула бойынша табылады: S = 0,5 * (d 1 * d 2), мұндағыd 1- үлкен диагональ,** d 2- кіші диагональ.
4. Ерікті параллелограмның ауданы
Ерікті параллелограмның S мәні мына формула бойынша табылады: S = a * h a, а- параллелограммның қабырғасы, h a
Барлығы емес пе?
Біз параллелограммдарды аяқтадық. «Мен мұны жай ғана үйренуім керек пе?» – деп жеңілденіп сұрайсың. Мен жауап беремін: параллелограммдардан - иә, дәл солай. Бірақ әлі де трапециялар мен үшбұрыштар қалды. Ендеше жалғастырайық.
III. Трап tsмен де
Трапецияның ауданы
Трапецияның S мәнін қарапайым немесе тең қабырғалы болсын бір формула бойынша табуға болады: S = ((a + b) : 2) * h, мұндағыа, б- EE негіздері, h- ee биіктігі. Бұл трапеция үшін. Енді сұраққа: «Төртбұрыштың ауданын қалай табуға болады?» - сіз өзіңізге жауап беріп қана қоймай, басқаларды да ағарта аласыз. Енді үшбұрыштарға көшейік.
IV. Үшбұрыш
Геометрияда олардың ауданын табу үшін үш формула анықталды: тікбұрышты, теңбүйірлі және еркін үшбұрыштар үшін.
1. Үшбұрыштың ауданы
Ерікті үшбұрыштың S мәні мына формуламен есептеледі: S = 0,5a * сағ а, а- үшбұрыштың қабырғасы, h a- осы жағына тартылған биіктік.
2. Тең қабырғалы үшбұрыштардың ауданы
Тең бүйірлі үшбұрыштың S мәнін мына формула арқылы табуға болады: S = 0,5a * сағ, мұндағыа- үшбұрыштың табаны, h- осы үшбұрыштың биіктігі.
3. Тік бұрышты үшбұрыштардың ауданы
Тік бұрышты үшбұрыштардың ауданы мына формула бойынша табылады: S = (a * b) : 2, мұндағыА- 1-ші аяқ, б- 2-ші аяқ.
Қорытынды
Менің ойымша, бәрі осы. Сізге үшбұрыштар туралы аздап үйрену керек, солай емес пе? Енді осында жазғанымның бәрін қараңыз. «Мұны үйренуге бір ай қажет!» – деп айқайлайтын шығарсыз. Ал сен бәрін тез үйренесің деп кім айтты? Бірақ мұның бәрін білгенде, сіз 9-сыныпта бағалау кезінде «Төртбұрыштың ауданын қалай табуға болады» немесе «Ерікті үшбұрыштың ауданы» тақырыптарындағы сұрақтардан қорықпайсыз. Ендеше, кез келген жерге барғың келсе, оқы, оқы, ғалым бол!
___________________________________
Ескерту
* - аЖәне бмен орнатқан орындарда болудың қажеті жоқ. Есептерді шешу кезінде тік жағын шақыруға болады а, және көлденең - b;
** - диагональдарды ауыстыруға және олардың атауларын ескертудегідей өзгертуге болады. *
Жүктелуде...
