• 02.12.2015

  Салқындатқыш (желдеткіш) температура сенсоры температура белгіленген мәнге көтерілген кезде жұмыс істей бастайды және төмендеген кезде өшеді. Салқындатқышқа қуат реле (12В, 200 Ом) арқылы беріледі. Температура сенсоры теріс температура коэффициенті термисторы болып табылады. Салыстырғыш ретінде операциялық күшейткіш LM311 қолданылады. Температура жоғарылаған сайын термистордың кедергісі төмендейді, сәйкесінше кернеу ... төмендейді.

• 06.04.2015

  K1182GG3R микросұлбасы жоғары вольтты жартылай көпірлі өздігінен осциллятордың интегралды схемасы болып табылады. Ол 240 В дейінгі айнымалы ток желілерінде пайдалануға бағытталған IC класы үшін әзірленген бірегей биполярлық технологияны қолдану арқылы жасалған. IC тұрақты кернеуді (атап айтқанда, желілік кернеуді) 30-50 кГц жоғары жиілікті кернеуге түрлендіреді және 12 Вт-қа дейінгі гальваникалық оқшауланған екінші қуат көздерін құруға мүмкіндік береді. Кіріс кернеуі 220В үшін элемент рейтингтері...

• 14.07.2015

  Өздеріңіз білетіндей, көлік құралының борттық желісінің кернеуі 12-ден 14,4 В-қа дейінгі диапазонда, бұл қолданылатын AF күшейткіштерінің қуатына шектеу қояды. Күшейткіштің шығыс қуатын арттыру үшін кернеу түрлендіргішін пайдалану қажет. TDA1562Q чипі бұл мәселені оңай шешуге мүмкіндік береді. TDA1562Q күшейткішінің шығыс қуаты 18 Вт (14,4 В Rн = 4 Ом), күшейген сайын күшейткіш ...

• 23.09.2014

  Машина 7 шаммен жұмыс істейді және жарық сызығының әсерін жасайды, ол алдымен орталық жарық нүктесінен бірте-бірте өседі, содан кейін орталықтан шеттерге бірте-бірте сөнеді. Құрылғы 15 Вт 220 В шамдарды басқарады. Схема пульсация кезеңділігін орнататын мультивибратордан, үш кідірту сызығынан және төрт шығыс тиристордан тұрады. Пульсациялардың қайталану жиілігі...

Бастапқы деңгей

Дәреже және оның қасиеттері. Кешенді нұсқаулық (2019)

Неліктен дәрежелер қажет? Олар сізге қайда керек болады? Неліктен оларды зерттеуге уақыт бөлу керек?

Дәрежелер туралы, олар не үшін қажет және біліміңізді күнделікті өмірде қалай пайдалану керектігі туралы бәрін білу үшін осы мақаланы оқыңыз.

Және, әрине, дәрежелер туралы білім сізді Бірыңғай мемлекеттік емтиханды немесе Бірыңғай мемлекеттік емтиханды сәтті тапсыруға және армандаған университетке түсуге жақындатады.

Кеттік... (Кеттік!)

Маңызды ескерту! Егер формулалардың орнына gobbledygook көрсеңіз, кэшті тазалаңыз. Ол үшін CTRL+F5 (Windows жүйесінде) немесе Cmd+R (Mac жүйесінде) пернелер тіркесімін басыңыз.

БАСТАПҚЫ ДЕҢГЕЙ

Дәрежеге шығару – қосу, алу, көбейту немесе бөлу сияқты математикалық операция.

Енді мен бәрін қарапайым мысалдар арқылы адам тілінде түсіндіремін. Абай бол. Мысалдар қарапайым, бірақ маңызды нәрселерді түсіндіреді.

Қосымшадан бастайық.

Мұнда түсіндіретін ештеңе жоқ. Сіз бәрін білесіз: біз сегіз адамбыз. Барлығында екі бөтелке кола бар. Қанша кола бар? Бұл дұрыс - 16 бөтелке.

Енді көбейту.

Коламен бірдей мысалды басқаша жазуға болады: . Математиктер айлакер және жалқау адамдар. Олар алдымен кейбір үлгілерді байқайды, содан кейін оларды тезірек «санау» әдісін анықтайды. Біздің жағдайда олар сегіз адамның әрқайсысында бірдей кола бөтелкелері бар екенін байқап, көбейту деп аталатын әдісті ойлап тапты. Келісіңіз, ол оңайырақ және жылдамырақ болып саналады.

Сонымен, тезірек, оңай және қатесіз санау үшін тек есте сақтау керек көбейту кестесі. Әрине, сіз бәрін баяу, қиынырақ және қателіктермен жасай аласыз! Бірақ…

Міне, көбейту кестесі. Қайталау.

Және тағы бір әдемі:

Жалқау математиктер тағы қандай ақылды санау амалдарын ойлап тапты? Оң - санды дәрежеге көтеру.

Санды дәрежеге көтеру

Егер санды өзіне бес есе көбейту керек болса, онда математиктер бұл санды бесінші дәрежеге дейін көтеру керек дейді. Мысалы, . Математиктер екіден бесінші дәрежеге дейін... Және олар осындай мәселелерді өз бастарында шешеді - тезірек, оңай және қатесіз.

Сізге қажет нәрсенің бәрі сандардың дәрежелер кестесінде ненің түсімен ерекшеленгенін есте сақтаңыз. Маған сеніңіз, бұл сіздің өміріңізді айтарлықтай жеңілдетеді.

Айтпақшы, неге екінші дәреже деп аталады? шаршысандар, ал үшінші - текше? Бұл нені білдіреді? Өте жақсы сұрақ. Енді сізде шаршылар да, текшелер де болады.

№1 өмірлік мысал

Санның квадратынан немесе екінші дәрежесінен бастайық.

Бір метрге бір метр болатын шаршы бассейнді елестетіп көріңіз. Бассейн сіздің саяжайыңызда. Күн ыстық, мен шынымен жүзгім келеді. Бірақ... бассейннің түбі жоқ! Бассейннің түбін плиткамен жабу керек. Сізге қанша плитка қажет? Мұны анықтау үшін сіз бассейннің төменгі бөлігін білуіңіз керек.

Бассейннің түбі метрлік текшелерден тұратынын саусағыңызбен көрсету арқылы жай ғана есептей аласыз. Егер сізде бір метрден бір метрге плиткалар болса, сізге бөліктер қажет болады. Бұл оңай... Бірақ мұндай плиткаларды қайдан көрдіңіз? Плитка см-мен см болуы мүмкін, содан кейін сізді «саусақпен санау» азаптайды. Содан кейін көбейту керек. Сонымен, бассейннің түбінің бір жағында біз тақтайшаларды (кесектер), ал екіншісінде де плиткаларды орналастырамыз. Көбейтіңіз және сіз плиткаларды аласыз ().

Бассейн түбінің ауданын анықтау үшін сол санды өзіне көбейткенімізді байқадыңыз ба? Бұл нені білдіреді? Бірдей санды көбейтіп жатқандықтан, біз «көрсеткіш» әдісін пайдалана аламыз. (Әрине, сізде тек екі сан болса, оларды әлі де көбейту немесе дәрежеге дейін көтеру керек. Бірақ егер сізде олар көп болса, онда оларды дәрежеге көтеру әлдеқайда оңай және есептеулерде қателер аз болады. Бірыңғай мемлекеттік емтихан үшін бұл өте маңызды).
Сонымен, екінші дәрежеге отыз () болады. Немесе отыз шаршы болады деп айта аламыз. Басқаша айтқанда, санның екінші дәрежесін әрқашан шаршы түрінде көрсетуге болады. Және керісінше, егер сіз шаршыны көрсеңіз, ол ӘРҚАШАН кейбір санның екінші дәрежесі болады. Шаршы – санның екінші дәрежесінің кескіні.

Нақты өмірлік мысал №2

Міне, сендерге тапсырма: санның квадратын пайдаланып шахмат тақтасында қанша шаршы бар екенін есепте... Ұяшықтардың бір жағында, екінші жағында да. Олардың санын есептеу үшін сегізді сегізге көбейту керек немесе... егер шахмат тақтасының қабырғасы бар шаршы екенін байқасаңыз, онда сегізді шаршыға алуға болады. Сіз ұяшықтарды аласыз. () Сонымен?

Нақты өмірден мысал №3

Енді текше немесе санның үшінші дәрежесі. Дәл сол бассейн. Бірақ қазір бұл бассейнге қанша су құйылуы керек екенін анықтау керек. Сізге көлемді есептеу керек. (Көлемдер мен сұйықтықтар, айтпақшы, текше метрмен өлшенеді. Күтпеген, солай ма?) Бассейнді сызыңыз: түбі бір метр, ал тереңдігі бір метр, ал метрі метрмен өлшейтін қанша текше болатынын санап көріңіз. бассейніңізге сәйкес келеді.

Тек саусағыңызды көрсетіңіз және санаңыз! Бір, екі, үш, төрт...жиырма екі, жиырма үш...Қанша алдың? Жоғалған жоқ па? Саусақпен санау қиын ба? Сондай-ақ! Математиктерден мысал алайық. Олар жалқау, сондықтан бассейннің көлемін есептеу үшін оның ұзындығын, енін және биіктігін бір-біріне көбейту керек екенін байқады. Біздің жағдайда бассейннің көлемі текшелерге тең болады... Оңай, солай ма?

Енді математиктердің қаншалықты жалқау және айлакер екенін елестетіп көріңіз, егер олар мұны да жеңілдетсе. Біз бәрін бір әрекетке қысқарттық. Олар ұзындықтың, ені мен биіктігінің тең екенін және сол санның өзінен-өзі көбейтілетінін байқады... Бұл нені білдіреді? Бұл сіздің дәрежеңізді пайдалана алатыныңызды білдіреді. Сонымен, бір рет саусақпен санаған нәрсені олар бір әрекетте жасайды: үш текше тең. Ол былай жазылған: .

Тек қалғаны дәрежелер кестесін есте сақтаңыз. Әрине, сіз математиктер сияқты жалқау және қу болмасаңыз. Егер сіз көп жұмыс істеп, қателескенді ұнатсаңыз, саусақпен санауды жалғастыра аласыз.

Ақырында, дипломдарды өмірден бас тартқандар мен айлакер адамдар өздерінің өмірлік мәселелерін шешу үшін ойлап тапқанына және сізге проблема тудырмайтынына көз жеткізу үшін, міне, өмірден тағы бірнеше мысал келтіремін.

№4 өмірлік мысал

Сізде миллион рубль бар. Әр жылдың басында сіз тапқан әрбір миллион үшін сіз тағы миллион табасыз. Яғни, әрбір миллион сізде әр жылдың басында екі есе болады. Бірнеше жылдан кейін сізде қанша ақша болады? Егер сіз қазір отырып, «саусақпен санап» жатсаңыз, онда сіз өте еңбекқор адамсыз және ... ақымақсыз. Бірақ сіз бір-екі секундта жауап бересіз, өйткені сіз ақылдысыз! Сонымен, бірінші жылы – екі екіге көбейтілді... екінші жылы – не болды, тағы екі, үшінші жылы... Тоқта! Сіз санның өзіне еселенгенін байқадыңыз. Демек, екіден бесінші дәреже - миллион! Енді елестетіп көріңізші, сізде жарыс өтіп жатыр және кім жылдам санай алады, сол миллиондарды алады... Сандардың күшін еске түсіру керек емес пе?

№5 өмірлік мысал

Сізде миллион бар. Әр жылдың басында сіз тапқан әрбір миллион үшін тағы екі табыс аласыз. Керемет емес пе? Әрбір миллион үш есе өседі. Бір жылда қанша ақшаңыз болады? Есептеп көрейік. Бірінші жыл - көбейтіңіз, содан кейін нәтиже басқа ... Бұл қазірдің өзінде қызықсыз, өйткені сіз бәрін түсіндіңіз: үш есе көбейтіледі. Сонымен төртінші дәрежеге миллионға тең. Сіз тек үштен төртінші дәрежеге дейін немесе екенін есте сақтауыңыз керек.

Енді сіз санды күшке көтеру арқылы өміріңізді айтарлықтай жеңілдететініңізді білесіз. Дәрежелермен не істей алатыныңызды және олар туралы не білуіңіз керек екенін толығырақ қарастырайық.

Терминдер мен ұғымдар... шатастырмас үшін

Сонымен, алдымен ұғымдарды анықтайық. Қалай ойлайсын, көрсеткіш дегеніміз не? Бұл өте қарапайым - бұл санның қуатының «жоғарғы жағында» тұрған сан. Ғылыми емес, бірақ түсінікті және есте сақтау оңай...

Ал, сонымен бірге, не мұндай дәреже негізі? Одан да қарапайым - бұл төменде, негізде орналасқан сан.

Міне жақсы өлшем үшін сызба.

Жалпы алғанда, жалпылау және жақсы есте сақтау үшін... Негізі « » және « » көрсеткіші бар дәреже «дәрежеге дейін» деп оқылады және келесідей жазылады:

Натурал көрсеткішті санның дәрежесі

Сіз қазірдің өзінде болжаған шығарсыз: өйткені көрсеткіш - натурал сан. Иә, бірақ бұл не натурал сан? Бастауыш! Натурал сандар дегеніміз - объектілерді тізімдеу кезінде санау кезінде қолданылатын сандар: бір, екі, үш... Біз объектілерді санағанда: «минус бес», «минус алты», «минус жеті» деп айтпаймыз. Біз сондай-ақ: «үштен бір» немесе «нөл бес ұпай» деп айтпаймыз. Бұл натурал сандар емес. Бұл қандай сандар деп ойлайсыңдар?

«Минус бес», «минус алты», «минус жеті» сияқты сандар жатады бүтін сандар.Жалпы бүтін сандарға барлық натурал сандар, натурал сандарға қарама-қарсы сандар (яғни минус таңбасымен алынған) және сан жатады. Нөлді түсіну оңай - бұл ештеңе болмаған кезде. Теріс («минус») сандар нені білдіреді? Бірақ олар ең алдымен қарыздарды көрсету үшін ойлап табылған: егер сіздің телефоныңызда рубльдегі теңгерім болса, бұл сіздің операторға рубль қарыз екеніңізді білдіреді.

Барлық бөлшектер рационал сандар. Қалай ойлайсыз, олар қалай пайда болды? Өте оңай. Бірнеше мың жыл бұрын біздің ата-бабаларымыз ұзындықты, салмақты, ауданды және т.б. өлшеу үшін натурал сандар жетіспейтінін анықтады. Және олар ойлап тапты рационал сандар... Қызық, солай емес пе?

Иррационал сандар да бар. Бұл қандай сандар? Қысқасы, бұл шексіз ондық бөлшек. Мысалы, шеңбердің шеңберін оның диаметріне бөлсеңіз, иррационал сан шығады.

Түйіндеме:

Көрсеткіші натурал сан (яғни бүтін және оң) болатын дәреже ұғымын анықтайық.

1. Бірінші дәрежеге дейінгі кез келген сан өзіне тең:
2. Санды квадраттау оны өзіне көбейтуді білдіреді:
3. Санды текшелеу оны өзіне үш есе көбейтуді білдіреді:

Анықтама.Санды натурал дәрежеге көтеру санды өзіне есе көбейту дегенді білдіреді:
.

Дәрежелердің қасиеттері

Бұл қасиеттер қайдан пайда болды? Қазір көрсетемін.

Көрейік: бұл не Және ?

А- приорит:

Барлығы неше көбейткіш бар?

Бұл өте қарапайым: біз факторларға көбейткіштерді қостық, ал нәтиже көбейткіштер.

Бірақ анықтамасы бойынша бұл көрсеткіші бар санның дәрежесі, яғни: , бұл дәлелдеуді қажет етті.

Мысал: Өрнекті жеңілдету.

Шешімі:

Мысалы:Өрнекті жеңілдету.

Шешімі:Бұл біздің ережеде атап өту маңызды Міндетті түрдесол себептер болуы керек!
Сондықтан біз қуаттарды базамен біріктіреміз, бірақ ол бөлек фактор болып қалады:

тек күштердің өнімі үшін!

Ешбір жағдайда сіз оны жаза алмайсыз.

2. болды санның дәрежесі

Алдыңғы қасиет сияқты, дәреженің анықтамасына жүгінейік:

Көрсетілгендей, өрнек өзіне еселенген есе көбейтіледі, яғни анықтама бойынша бұл санның ші дәрежесі:

Негізінде, мұны «индикаторды жақшадан шығару» деп атауға болады. Бірақ сіз мұны ешқашан жасай алмайсыз:

Қысқартылған көбейту формулаларын еске түсірейік: біз неше рет жазғымыз келді?

Бірақ бұл шындыққа жанаспайды.

Теріс негізі бар қуат

Осы уақытқа дейін біз тек көрсеткіштің қандай болуы керектігін талқыладық.

Бірақ негіз не болуы керек?

өкілеттіктерінде табиғи көрсеткішнегізі болуы мүмкін кез келген сан. Шынында да, біз кез келген сандарды бір-біріне көбейте аламыз, олар оң, теріс немесе жұп болсын.

Ойланайық, қандай белгілердің («» немесе «») оң және теріс сандардың дәрежелері болады?

Мысалы, сан оң ба, теріс пе? А? ? Біріншісінде бәрі түсінікті: қанша оң сандарды бір-біріне көбейтсек те, нәтиже оң болады.

Бірақ теріс жақтары сәл қызықтырақ. 6-сыныптағы қарапайым ереже есімізде: «минус үшін минус плюс береді». Яғни, немесе. Бірақ көбейтсек, ол жұмыс істейді.

Төмендегі өрнектерде қандай белгі болатынын өзіңіз анықтаңыз:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Сіз басқардыңыз ба?

Міне, жауаптар: Алғашқы төрт мысалда бәрі түсінікті деп үміттенемін? Біз жай ғана негізге және көрсеткішке қарап, сәйкес ережені қолданамыз.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-мысалда) бәрі де көрінгендей қорқынышты емес: түптеп келгенде, базаның қандай екені маңызды емес - дәреже біркелкі, яғни нәтиже әрқашан оң болады.

Негізі нөлге тең болғаннан басқа. База тең емес, солай ма? Әлбетте, жоқ, өйткені (өйткені).

6-мысал) енді оңай емес!

Жаттығуға 6 мысал

Шешімді талдау 6 мысал

Егер сегізінші дәрежені елемейтін болсақ, мұнда нені көреміз? 7-сынып бағдарламасын еске түсірейік. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейтудің формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы! Біз алып жатырмыз:

Бөлгішке мұқият қарайық. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Шарттардың реті дұрыс емес. Егер олар кері қайтарылса, ереже қолданылуы мүмкін.

Бірақ мұны қалай жасауға болады? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.

Сиқырлы терминдер орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қолданылады: жақшадағы белгілерді оңай өзгерте аламыз.

Бірақ есте сақтау маңызды: барлық белгілер бір уақытта өзгереді!

Мысалға қайта оралайық:

Және тағы да формула:

Тұтаснатурал сандарды, олардың қарама-қарсы сандарын (яғни « » белгісімен алынған) және санды атаймыз.

оң бүтін сан, және бұл табиғидан еш айырмашылығы жоқ, сонда бәрі алдыңғы бөлімдегідей болады.

Енді жаңа істерді қарастырайық. тең көрсеткіштен бастайық.

Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең:

Әдеттегідей, өзімізден сұрап көрейік: неге бұлай?

Кейбір дәрежені негізбен қарастырайық. Мысалы, мынаны алып, көбейтіңіз:

Сонымен, біз санды көбейттік, және біз сол санды алдық - . Ештеңе өзгермес үшін қандай санға көбейту керек? Дәл солай. білдіреді.

Біз ерікті санмен де солай істей аламыз:

Ережені қайталайық:

Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең.

Бірақ көптеген ережелерден ерекшеліктер бар. Міне, ол да бар - бұл сан (негіз ретінде).

Бір жағынан, ол кез келген дәрежеге тең болуы керек – нөлді өзіне қанша көбейтсең де, бәрібір нөл шығады, бұл түсінікті. Бірақ екінші жағынан, нөлдік дәрежеге дейінгі кез келген сан сияқты, ол тең болуы керек. Сонда мұның қаншалықты рас? Математиктер араласпауға шешім қабылдады және нөлді нөлдік дәрежеге көтеруден бас тартты. Яғни, қазір біз оны нөлге бөліп қана қоймай, оны нөлдік дәрежеге дейін көтере алмаймыз.

Әрі қарай жүрейік. Натурал сандар мен сандардан басқа бүтін сандар теріс сандарды да қамтиды. Теріс күштің не екенін түсіну үшін соңғы рет әрекет етейік: кейбір қалыпты санды бірдей санға теріс дәрежеге көбейтіңіз:

Осы жерден сіз іздеген нәрсені білдіру оңай:

Енді алынған ережені ерікті дәрежеге дейін кеңейтейік:

Ендеше, ереже құрастырайық:

Теріс дәрежелі сан - бұл оң дәрежелі санның кері саны. Бірақ Негіз нөл болуы мүмкін емес:(себебі сіз бөлуге болмайды).

Жинақтау:

I. Өрнек жағдайда анықталмаған. Егер, онда.

II. Кез келген санның нөлдік дәрежесі біреуге тең: .

III. Теріс дәрежеге нөлге тең емес сан сол санның оң дәрежесіне кері сан болып табылады: .

Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:

Әдеттегідей, тәуелсіз шешімдерге мысалдар:

Мәселелерді тәуелсіз шешу үшін талдау:

Білемін, білемін, сандар қорқынышты, бірақ Бірыңғай мемлекеттік емтиханда сіз бәріне дайын болуыңыз керек! Осы мысалдарды шешіңіз немесе олардың шешімдерін талдаңыз, егер сіз оларды шеше алмасаңыз және емтиханда олармен оңай күресуді үйренесіз!

Көрсеткіш ретінде «қолайлы» сандар ауқымын кеңейтуді жалғастырайық.

Енді қарастырайық рационал сандар.Қандай сандар рационал деп аталады?

Жауап: бөлшек түрінде беруге болатын барлық нәрсе, мұндағы және бүтін сандар, және.

Оның не екенін түсіну үшін «бөлшек дәреже», бөлшекті қарастырыңыз:

Теңдеудің екі жағын да дәрежеге көтерейік:

Енді ережені еске түсірейік «дәрежеге дейін»:

Алу үшін қандай санды көбейту керек?

Бұл тұжырым – ші дәрежелі түбірдің анықтамасы.

Естеріңізге сала кетейін: санның () дәрежесінің түбірі дәрежеге көтерілгенде оған тең болатын сан.

Яғни, ші дәреженің түбірі дәрежеге көтерудің кері амалы: .

Солай екен. Әлбетте, бұл ерекше жағдайды кеңейтуге болады: .

Енді санауышты қосамыз: бұл не? Жауапты қуат-қуат ережесі арқылы алу оңай:

Бірақ негіз кез келген сан болуы мүмкін бе? Өйткені, түбірді барлық сандардан шығару мүмкін емес.

Ешбір!

Ережені еске түсірейік: жұп дәрежеге көтерілген кез келген сан оң сан болады. Яғни, теріс сандардан тіпті түбірлерді шығару мүмкін емес!

Бұл мұндай сандарды жұп бөлімі бар бөлшек дәрежесіне көтеру мүмкін емес дегенді білдіреді, яғни өрнек мағынасы жоқ.

Өрнек туралы не деуге болады?

Бірақ бұл жерде мәселе туындайды.

Санды басқа, қысқартылатын бөлшектер түрінде көрсетуге болады, мысалы, немесе.

Ал ол бар, бірақ жоқ екені белгілі болды, бірақ бұл бір санның екі түрлі жазбасы ғана.

Немесе басқа мысал: бір рет, содан кейін оны жазуға болады. Бірақ егер индикаторды басқаша жазсақ, біз қайтадан қиындыққа тап боламыз: (яғни, біз мүлдем басқа нәтиже алдық!).

Мұндай парадокстарды болдырмау үшін біз қарастырамыз бөлшек көрсеткіші бар тек оң базалық көрсеткіш.

Сонымен, егер:

• - натурал сан;
• - бүтін сан;

Мысалдар:

Рационал дәреже көрсеткіштері түбірлері бар өрнектерді түрлендіру үшін өте пайдалы, мысалы:

Жаттығуға 5 мысал

Тренингке 5 мысалды талдау

Енді ең қиыны келді. Енді оны анықтаймыз иррационал көрсеткішті дәреже.

Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері, қоспағанда, рационал көрсеткіші бар дәрежемен бірдей.

Өйткені, анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).

Табиғи, бүтін және рационал көрсеткішті дәрежелерді зерттеген кезде біз белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе неғұрлым таныс терминдермен сипаттама жасадық.

Мысалы, натурал көрсеткішті дәреже дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан;

...нөлдік дәрежеге дейінгі сан- бұл, бір рет өзіне көбейтілген сан сияқты, яғни олар оны көбейтуді әлі бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - сондықтан нәтиже тек белгілі бір «бос сан» болып табылады. , атап айтқанда сан;

...теріс бүтін дәрежесі- бұл қандай да бір «кері процесс» болған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.

Айтпақшы, ғылымда күрделі көрсеткішті дәреже жиі қолданылады, яғни көрсеткіш тіпті нақты сан да емес.

Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта осы жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.

СІЗДІҢ ҚАЙДА БАРАТЫНЫЗҒА СЕНІМДІМІЗ! (егер сіз осындай мысалдарды шешуді үйренсеңіз :))

Мысалы:

Өзіңіз шешіңіз:

Шешімдерді талдау:

1. Күшті күшке көтерудің әдеттегі ережесінен бастайық:

Енді көрсеткішке қараңыз. Ол саған ештеңені еске түсірмейді ме? Квадраттардың айырымын қысқартылған көбейту формуласын еске түсірейік:

Бұл жағдайда,

Анықталғандай:

Жауап: .

2. Көрсеткіштердегі бөлшектерді бірдей түрге келтіреміз: не ондық немесе екі жай. Біз, мысалы:

Жауабы: 16

3. Ерекше ештеңе жоқ, біз дәрежелердің әдеттегі қасиеттерін қолданамыз:

АРТТЫҚ ДЕҢГЕЙ

Дәрежесін анықтау

Дәреже - пішіннің өрнегі: , мұндағы:

• — дәреже базасы;
• - көрсеткіш.

Табиғи көрсеткіші бар дәреже (n = 1, 2, 3,...)

Санды n натурал дәрежесіне көтеру санды өзіне есе көбейтуді білдіреді:

Бүтін көрсеткішті дәреже (0, ±1, ±2,...)

Көрсеткіш болса оң бүтін сансаны:

Құрылыс нөлдік дәрежеге дейін:

Өрнек белгісіз, өйткені, бір жағынан, кез келген дәрежеде бұл, ал екінші жағынан, кез келген ші дәрежелі сан осы.

Көрсеткіш болса теріс бүтін сансаны:

(себебі сіз бөлуге болмайды).

Нөлдер туралы тағы да: өрнек жағдайда анықталмаған. Егер, онда.

Мысалдар:

Рационал көрсеткішті қуат

• - натурал сан;
• - бүтін сан;

Мысалдар:

Дәрежелердің қасиеттері

Мәселені шешуді жеңілдету үшін түсінуге тырысайық: бұл қасиеттер қайдан пайда болды? Оларды дәлелдеп көрейік.

Көрейік: бұл не және?

А- приорит:

Сонымен, осы өрнектің оң жағында біз келесі өнімді аламыз:

Бірақ анықтамасы бойынша бұл көрсеткіші бар санның дәрежесі, яғни:

Q.E.D.

Мысал : Өрнекті жеңілдету.

Шешім : .

Мысал : Өрнекті жеңілдету.

Шешім : Біздің ережеде атап өту маңызды Міндетті түрдебірдей себептер болуы керек. Сондықтан біз қуаттарды базамен біріктіреміз, бірақ ол бөлек фактор болып қалады:

Тағы бір маңызды ескерту: бұл ереже - тек күштердің өнімі үшін!

Ешбір жағдайда сіз оны жаза алмайсыз.

Алдыңғы қасиет сияқты, дәреженің анықтамасына жүгінейік:

Бұл жұмысты былайша қайта топтастырайық:

Көрсетілгендей, өрнек өзіне еселенген есе көбейтіледі, яғни анықтама бойынша бұл санның ші дәрежесі:

Негізінде, мұны «индикаторды жақшадан шығару» деп атауға болады. Бірақ сіз мұны ешқашан жасай алмайсыз: !

Қысқартылған көбейту формулаларын еске түсірейік: біз неше рет жазғымыз келді? Бірақ бұл шындыққа жанаспайды.

Теріс негізі бар қуат.

Осы уақытқа дейін біз оның қандай болуы керектігін ғана талқыладық индексградус. Бірақ негіз не болуы керек? өкілеттіктерінде табиғи көрсеткіш негізі болуы мүмкін кез келген сан .

Шынында да, біз кез келген сандарды бір-біріне көбейте аламыз, олар оң, теріс немесе жұп болсын. Ойланайық, қандай белгілердің («» немесе «») оң және теріс сандардың дәрежелері болады?

Мысалы, сан оң ба, теріс пе? А? ?

Біріншісінде бәрі түсінікті: қанша оң сандарды бір-біріне көбейтсек те, нәтиже оң болады.

Бірақ теріс жақтары сәл қызықтырақ. 6-сыныптағы қарапайым ереже есімізде: «минус үшін минус плюс береді». Яғни, немесе. Бірақ () көбейтсек, - шығады.

Және т.б. ad infinitum: әрбір келесі көбейту кезінде белгі өзгереді. Келесі қарапайым ережелерді тұжырымдауға болады:

1. тіптідәрежесі, - саны оң.
2. Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
3. Кез келген дәрежедегі оң сан оң сан болып табылады.
4. Кез келген дәрежедегі нөл нөлге тең.

Төмендегі өрнектерде қандай белгі болатынын өзіңіз анықтаңыз:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Сіз басқардыңыз ба? Міне, жауаптар:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Алғашқы төрт мысалда бәрі түсінікті деп үміттенемін? Біз жай ғана негізге және көрсеткішке қарап, сәйкес ережені қолданамыз.

5-мысалда) бәрі де көрінгендей қорқынышты емес: түптеп келгенде, базаның қандай екені маңызды емес - дәреже біркелкі, яғни нәтиже әрқашан оң болады. Негізі нөлге тең болғаннан басқа. База тең емес, солай ма? Әлбетте, жоқ, өйткені (өйткені).

6-мысал бұдан былай қарапайым емес. Мұнда қайсысы аз екенін анықтау керек: немесе? Егер біз мұны еске түсірсек, бұл анық болады, яғни база нөлден аз. Яғни, 2-ережені қолданамыз: нәтиже теріс болады.

Біз тағы да дәреже анықтамасын қолданамыз:

Барлығы әдеттегідей - біз дәрежелердің анықтамасын жазып, оларды бір-біріне бөлеміз, жұптарға бөлеміз және аламыз:

Соңғы ережені қарастырмас бұрын, бірнеше мысалды шешейік.

Өрнектерді есептеңіз:

Шешімдер :

Егер сегізінші дәрежені елемейтін болсақ, мұнда нені көреміз? 7-сынып бағдарламасын еске түсірейік. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейтудің формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы!

Біз алып жатырмыз:

Бөлгішке мұқият қарайық. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Шарттардың реті дұрыс емес. Егер олар кері қайтарылса, 3-ереже қолданылуы мүмкін.Бірақ қалай? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.

Егер сіз оны көбейтсеңіз, ештеңе өзгермейді, солай емес пе? Бірақ қазір ол былай болып шықты:

Сиқырлы терминдер орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қолданылады: жақшадағы белгілерді оңай өзгерте аламыз. Бірақ есте сақтау маңызды: Барлық белгілер бір уақытта өзгереді!Бізге ұнамайтын бір ғана кемшілікті өзгерту арқылы оны алмастыра алмайсыз!

Мысалға қайта оралайық:

Және тағы да формула:

Енді соңғы ереже:

Оны қалай дәлелдейміз? Әрине, әдеттегідей: дәреже ұғымын кеңейтіп, оны жеңілдетейік:

Ал, енді жақшаларды ашайық. Барлығы неше әріп бар? көбейткіштер бойынша есе - бұл сізге нені еске түсіреді? Бұл операцияның анықтамасынан басқа ештеңе емес көбейту: Онда тек көбейткіштер болды. Яғни, бұл анықтама бойынша көрсеткіші бар санның дәрежесі:

Мысалы:

Иррационал көрсеткішті дәреже

Орташа деңгейге арналған дәрежелер туралы ақпаратқа қосымша, біз дәрежені иррационал көрсеткішпен талдаймыз. Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері рационал көрсеткіші бар дәрежеге дәл сәйкес келеді, оны қоспағанда - анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни , иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).

Табиғи, бүтін және рационал көрсеткішті дәрежелерді зерттеген кезде біз белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе неғұрлым таныс терминдермен сипаттама жасадық. Мысалы, натурал көрсеткішті дәреже дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан; нөлдік дәрежеге дейінгі сан - бұл өзіне бір рет көбейтілген сан, яғни олар оны көбейтуді әлі бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - сондықтан нәтиже тек белгілі бір «бос сан», атап айтқанда сан; бүтін теріс көрсеткіші бар дәреже - бұл қандай да бір «кері процесс» орын алған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.

Иррационал көрсеткіші бар дәрежені елестету өте қиын (4 өлшемді кеңістікті елестету қиын сияқты). Бұл математиктер дәреже ұғымын сандар кеңістігіне дейін кеңейту үшін жасаған таза математикалық нысан.

Айтпақшы, ғылымда күрделі көрсеткішті дәреже жиі қолданылады, яғни көрсеткіш тіпті нақты сан да емес. Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта осы жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.

Сонымен иррационал көрсеткішті көрсек не істейміз? Біз одан құтылуға тырысамыз! :)

Мысалы:

Өзіңіз шешіңіз:

1)

2)

3)

Жауаптары:

1. Квадраттардың айырмашылығы формуласын еске түсірейік. Жауап: .
2. Бөлшектерді бірдей пішінге келтіреміз: не ондық, не қарапайым екеуі де. Біз аламыз, мысалы: .
3. Ерекше ештеңе жоқ, біз дәрежелердің әдеттегі қасиеттерін қолданамыз:

БӨЛІМДІ ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Дәрежетүрінің өрнегі деп аталады: , мұндағы:

Бүтін көрсеткішті дәреже

көрсеткіші натурал сан болатын дәреже (яғни бүтін және оң).

Рационал көрсеткішті қуат

дәрежесі, көрсеткіші теріс және бөлшек сандар.

Иррационал көрсеткішті дәреже

көрсеткіші шексіз ондық бөлшек немесе түбір болатын дәреже.

Дәрежелердің қасиеттері

Дәрежелердің ерекшеліктері.

• Теріс сан көтерілді тіптідәрежесі, - саны оң.
• Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
• Кез келген дәрежедегі оң сан оң сан болып табылады.
• Нөл кез келген қуатқа тең.
• Кез келген санның нөлдік дәрежесі тең болады.

ЕНДІ СӨЗ СІЗДЕ...

Сізге мақала қалай ұнады? Сізге ұнады ма, ұнамады ма, төменге түсініктемелерде жазыңыз.

Бізге дәреже қасиеттерін пайдалану тәжірибеңіз туралы айтып беріңіз.

Мүмкін сізде сұрақтар бар. Немесе ұсыныстар.

Түсініктемелерде жазыңыз.

Ал емтихандарыңызға сәттілік!

Алгебрада қарастырылатын әртүрлі өрнектердің ішінде мономдік қосындылар маңызды орын алады. Міне, осындай өрнектердің мысалдары:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Бірмүшелердің қосындысы көпмүше деп аталады. Көпмүшедегі мүшелер көпмүшенің мүшелері деп аталады. Бірмүшені бір мүшеден тұратын көпмүше деп есептеп, мономдарды да көпмүше деп жіктейді.

Мысалы, көпмүше
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
жеңілдетуге болады.

Барлық терминдерді стандартты түрдегі мономалдар түрінде көрсетейік:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Алынған көпмүшедегі ұқсас мүшелерді көрсетейік:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Нәтижесінде көпмүше шығады, оның барлық мүшелері стандартты түрдегі мономалдар болып табылады және олардың арасында ұқсастары жоқ. Мұндай көпмүшелер деп аталады стандартты түрдегі көпмүшелер.

Артында көпмүшелік дәрежесістандартты нысанда оның мүшелерінің өкілеттіктерінің ең жоғары бөлігін алады. Сонымен, биномдық \(12a^2b - 7b\) үшінші дәрежеге, ал \(2b^2 -7b + 6\) үшмүше екінші дәрежеге ие.

Әдетте, бір айнымалысы бар стандартты түрдегі көпмүшелердің мүшелері дәрежелердің кему ретімен орналасады. Мысалы:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Бірнеше көпмүшелердің қосындысын стандартты түрдегі көпмүшеге түрлендіруге (жеңілдетуге) болады.

Кейде көпмүшенің мүшелерін әр топты жақшаға алып, топтарға бөлу қажет. Жабық жақша ашылатын жақшаға кері түрлендіру болғандықтан, оны тұжырымдау оңай. жақшаларды ашу ережелері:

Егер жақшаның алдына «+» белгісі қойылса, онда жақшаға алынған терминдер бірдей белгілермен жазылады.

Егер жақшаның алдына «-» белгісі қойылса, онда жақшаға алынған терминдер қарама-қарсы таңбалармен жазылады.

Бірмүше мен көпмүшенің көбейтіндісін түрлендіру (жеңілдету).

Көбейтудің үлестіргіш қасиетін пайдалана отырып, бірмүше мен көпмүшенің көбейтіндісін көпмүшеге түрлендіруге (жеңілдетуге) болады. Мысалы:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Бірмүше мен көпмүшенің көбейтіндісі осы бірмүше мен көпмүшенің әрбір мүшесінің көбейтінділерінің қосындысына бірдей тең.

Бұл нәтиже әдетте ереже ретінде тұжырымдалады.

Бірмүшені көпмүшеге көбейту үшін сол мономалды көпмүшенің әрбір мүшесіне көбейту керек.

Біз бұл ережені қосындыға көбейту үшін бірнеше рет қолдандық.

Көпмүшелердің туындысы. Екі көпмүшенің көбейтіндісін түрлендіру (жеңілдету).

Жалпы алғанда, екі көпмүшенің көбейтіндісі бір көпмүшенің әрбір мүшесі мен екіншісінің әрбір мүшесінің көбейтіндісінің қосындысына бірдей тең.

Әдетте келесі ереже қолданылады.

Көпмүшені көпмүшеге көбейту үшін бір көпмүшенің әрбір мүшесін екіншісінің әрбір мүшесіне көбейтіп, алынған көбейтінділерді қосу керек.

Қысқартылған көбейту формулалары. Қосынды квадраттары, квадраттардың айырмасы мен айырмасы

Басқаларға қарағанда алгебралық түрлендірулердегі кейбір өрнектермен жиі айналысу керек. Мүмкін, ең көп таралған өрнектер \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) және \(a^2 - b^2 \), яғни қосындының квадраты, квадрат квадраттардың айырмашылығы мен айырмашылығы. Сіз бұл өрнектердің атаулары толық емес сияқты екенін байқадыңыз, мысалы, \((a + b)^2 \) әрине, қосындының квадраты ғана емес, a және b қосындысының квадраты. . Алайда, a және b қосындысының квадраты жиі кездеспейді, әдетте, a және b әріптерінің орнына әртүрлі, кейде өте күрделі өрнектерді қамтиды.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) өрнектерін стандартты түрдегі көпмүшелерге оңай түрлендіруге (жеңілдетуге) болады; шын мәнінде, сіз бұл тапсырманы көпмүшелерді көбейту кезінде кездестірдіңіз:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Пайда болған сәйкестіктерді есте сақтау және оларды аралық есептеулерсіз қолдану пайдалы. Бұған қысқаша вербальды тұжырымдар көмектеседі.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - қосындының квадраты квадраттар мен қос көбейтіндінің қосындысына тең.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - айырманың квадраты екі еселенген көбейтіндісіз квадраттардың қосындысына тең.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - квадраттардың айырмасы айырма мен қосындының көбейтіндісіне тең.

Бұл үш сәйкестік түрлендіру кезінде оның сол жақ бөліктерін оң жақтармен және керісінше - оң жақ бөліктерін сол жақтармен ауыстыруға мүмкіндік береді. Ең қиыны – сәйкес өрнектерді көру және оларда a және b айнымалыларының қалай ауыстырылатынын түсіну. Қысқартылған көбейту формулаларын қолданудың бірнеше мысалдарын қарастырайық.

Біз санның дәрежесі қандай екенін анықтадық. Енді біз оны қалай дұрыс есептеу керектігін түсінуіміз керек, яғни. сандарды қуатқа көтеру. Бұл материалда бүтін, натурал, бөлшек, рационал және иррационал дәрежелер жағдайында дәрежелерді есептеудің негізгі ережелерін талдаймыз. Барлық анықтамалар мысалдармен суреттелетін болады.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Көрсеткіштер туралы түсінік

Негізгі анықтамаларды тұжырымдау арқылы бастайық.

Анықтама 1

Экспоненциалдау- бұл белгілі бір санның дәрежесінің мәнін есептеу.

Яғни, «күштің құнын есептеу» және «қуатқа көтеру» сөздері бір мағынаны білдіреді. Мәселен, егер мәселе «0, 5 санын бесінші дәрежеге дейін көтеріңіз» десе, бұл «дәреженің (0, 5) 5 мәнін есептеңіз» деп түсіну керек.

Енді біз осындай есептеулерді жасау кезінде сақталуы керек негізгі ережелерді ұсынамыз.

Натурал көрсеткішті санның дәрежесі қандай екенін еске түсірейік. Негізі a және көрсеткіші n болатын дәреже үшін бұл әрқайсысы а-ға тең болатын n-ші көбейткіштер санының көбейтіндісі болады. Мұны былай жазуға болады:

Дәреженің мәнін есептеу үшін сіз көбейту әрекетін орындауыңыз керек, яғни дәреженің негіздерін көрсетілген санға көбейтіңіз. Табиғи көрсеткіші бар дәреже ұғымының өзі тез көбейту мүмкіндігіне негізделген. Мысалдар келтірейік.

1-мысал

Шарты: көтеру - 2 қуатқа 4.

Шешім

Жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып, жазамыз: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Әрі қарай, бізге осы қадамдарды орындап, 16 алу керек.

Күрделі мысалды алайық.

2-мысал

3 2 7 2 мәнін есептеңіз

Шешім

Бұл жазбаны 3 2 7 · 3 2 7 ретінде қайта жазуға болады. Бұрын біз шартта айтылған аралас сандарды қалай дұрыс көбейтуге болатынын қарастырдық.

Мына қадамдарды орындап, жауабын алайық: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Егер мәселе иррационал сандарды натурал дәрежеге көтеру қажеттілігін көрсетсе, алдымен олардың негіздерін қажетті дәлдіктің жауабын алуға мүмкіндік беретін цифрға дейін дөңгелектеуіміз керек. Бір мысалды қарастырайық.

3-мысал

π квадратын орындаңыз.

Шешім

Алдымен оны жүздікке дейін дөңгелектеп алайық. Сонда π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. π ≈ 3 болса. 14159, содан кейін дәлірек нәтиже аламыз: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Иррационал сандардың дәрежелерін есептеу қажеттілігі тәжірибеде салыстырмалы түрде сирек туындайтынын ескеріңіз. Содан кейін жауапты (ln 6) 3 дәрежесінің өзі ретінде жаза аламыз немесе мүмкін болса түрлендіруге болады: 5 7 = 125 5 .

Санның бірінші дәрежесі қандай болатынын бөлек көрсету керек. Мұнда сіз бірінші дәрежеге көтерілген кез келген санның өзі қалатынын есте сақтай аласыз:

Бұл жазбадан анық көрінеді .

Бұл дәреженің негізіне байланысты емес.

4-мысал

Сонымен, (− 9) 1 = − 9, ал бірінші дәрежеге көтерілген 7 3 7 3-ке тең болады.

Ыңғайлы болу үшін біз үш жағдайды бөлек қарастырамыз: егер көрсеткіш оң бүтін болса, нөл болса және теріс бүтін болса.

Бірінші жағдайда, бұл натурал дәрежеге көтерумен бірдей: ақыр соңында натурал сандар жиынына натурал сандар жатады. Мұндай дәрежелермен қалай жұмыс істеу керектігі туралы жоғарыда айттық.

Енді нөлдік қуатқа қалай дұрыс көтеру керектігін көрейік. Нөлден басқа негіз үшін бұл есептеу әрқашан 1 шығарады. Біз бұрын а-ның 0-ші дәрежесі 0-ге тең емес кез келген нақты сан үшін және 0 = 1 үшін анықталуы мүмкін екенін түсіндірдік.

5-мысал

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - анықталмаған.

Бізге бүтін теріс көрсеткішті дәреженің жағдайы ғана қалды. Мұндай дәрежелерді 1 a z бөлімі ретінде жазуға болатынын, мұндағы a - кез келген сан, ал z - теріс бүтін сан екенін біз жоғарыда айттық. Бұл бөлшектің бөлгіші оң бүтін көрсеткіші бар кәдімгі дәрежеден басқа ештеңе емес екенін көреміз және оны есептеуді үйрендік. Тапсырмаларға мысалдар келтірейік.

6-мысал

3-ті қуатқа дейін көтеріңіз - 2.

Шешім

Жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып, жазамыз: 2 - 3 = 1 2 3

Осы бөлшектің бөлгішін есептеп, 8 аламыз: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Сонда жауап: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7-мысал

1,43-ті -2 қуатқа дейін көтеріңіз.

Шешім

Қайта тұжырымдаймыз: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Квадратты бөлгіште есептейміз: 1,43·1,43. Ондық бөлшектерді келесі жолмен көбейтуге болады:

Нәтижесінде (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 алдық. Бізге бұл нәтижені жай бөлшек түрінде жазу жеткілікті, ол үшін оны 10 мыңға көбейту керек (бөлшектерді түрлендіру туралы материалды қараңыз).

Жауабы: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ерекше жағдай - санды бірінші дәрежедегі минусқа дейін көтеру. Бұл дәреженің мәні негіздің бастапқы мәнінің кері мәніне тең: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

8-мысал

Мысалы: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Санды бөлшек дәрежесіне қалай шығаруға болады

Мұндай операцияны орындау үшін бөлшек көрсеткіші бар дәреженің негізгі анықтамасын есте сақтау керек: кез келген оң a, бүтін m және натурал n үшін a m n = a m n.

Анықтама 2

Осылайша, бөлшек дәрежесін есептеу екі қадамда орындалуы керек: бүтін дәрежеге көтеру және n-ші дәреженің түбірін табу.

Бізде a m n = a m n теңдігі бар, ол түбірлердің қасиеттерін ескере отырып, әдетте a m n = a n m түріндегі есептерді шығару үшін қолданылады. Бұл дегеніміз, егер а санын m/n бөлшек дәрежесіне көтерсек, онда алдымен а-ның n-ші түбірін аламыз, содан кейін нәтижені m бүтін көрсеткіші бар дәрежеге көтереміз.

Мысалмен түсіндірейік.

9-мысал

8 - 2 3 санын есептеңіз.

Шешім

1-әдіс: Негізгі анықтамаға сәйкес біз оны келесідей көрсетуге болады: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Енді түбір астындағы дәрежені есептеп, нәтижеден үшінші түбірді шығарайық: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2-әдіс. Негізгі теңдікті түрлендір: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Осыдан кейін 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 түбірін шығарып, нәтиженің квадратын аламыз: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Біз шешімдердің бірдей екенін көреміз. Сіз оны қалағаныңызша пайдалана аласыз.

Дәреженің аралас сан немесе ондық бөлшек түрінде көрсетілген көрсеткіші болатын жағдайлар бар. Есептеулерді жеңілдету үшін оны жай бөлшекпен ауыстырып, жоғарыда көрсетілгендей есептеген дұрыс.

10-мысал

44, 89 санын 2, 5 дәрежесіне дейін көтеріңіз.

Шешім

Көрсеткіштің мәнін жай бөлшекке айналдырайық – 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Енді жоғарыда көрсетілген барлық әрекеттерді ретімен орындаймыз: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 2 = 110101 = 2 = 5101 501, 25107

Жауабы: 13 501, 25107.

Бөлшек көрсеткіштің алымы мен бөлімі үлкен сандарды қамтыса, онда мұндай дәрежелерді рационал дәрежелі дәрежелермен есептеу өте қиын жұмыс. Ол әдетте компьютерлік технологияны қажет етеді.

Негізі нөлдік және бөлшек көрсеткіші бар дәрежелерге жеке тоқталайық. 0 m n түріндегі өрнекке мынадай мағына беруге болады: егер m n > 0 болса, онда 0 m n = 0 m n = 0; егер m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Санды иррационал дәрежеге қалай көтеруге болады

Көрсеткіші иррационал сан болатын дәреженің мәнін есептеу қажеттілігі соншалықты жиі туындамайды. Тәжірибеде тапсырма әдетте шамамен алынған мәнді есептеумен шектеледі (ондық белгінің белгілі санына дейін). Бұл әдетте мұндай есептеулердің күрделілігіне байланысты компьютерде есептеледі, сондықтан біз бұл туралы егжей-тегжейлі тоқталмаймыз, тек негізгі ережелерді көрсетеміз.

Егер бізге иррационал көрсеткіші а а дәрежесінің мәнін есептеу керек болса, онда көрсеткіштің ондық жуықтауын алып, одан санаймыз. Нәтиже шамамен жауап болады. Ондық жуықтау неғұрлым дәл болса, соғұрлым нақты жауап болады. Мысалмен көрсетейік:

11-мысал

21, 174367 шамамен мәнін есептеңіз....

Шешім

a n = 1, 17 ондық жуықтауымен шектелейік. Осы санды пайдаланып есептеулер жүргізейік: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Мысалы, a n = 1, 1743 жуықтауын алсақ, онда жауап сәл дәлірек болады: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Көрсеткіш көбейту - бұл көбейтумен тығыз байланысты операция; бұл операция санды өзіне қайта-қайта көбейтудің нәтижесі. Оны мына формуламен көрсетейік: a1 * a2 * … * an = an.

Мысалы, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Жалпы, дәрежеге шығару математика мен физикада әртүрлі формулаларда жиі қолданылады. Бұл функция төрт негізгіге қарағанда ғылыми мақсатқа ие: қосу, азайту, көбейту, бөлу.

Санды дәрежеге көтеру

Санды дәрежеге көтеру күрделі операция емес. Ол көбейту мен қосу арасындағы қатынасқа ұқсас түрде көбейтумен байланысты. a белгісі бір-біріне көбейтілген «a» сандарының n-ші санының қысқаша белгісі болып табылады.

Күрделі мысалдарға көшіп, қарапайым мысалдарды қолданып, дәрежені қарастырыңыз.

Мысалы, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Төрт квадрат (екінші дәреже) он алтыға тең. Егер сіз 4 * 4 көбейтуді түсінбесеңіз, онда көбейту туралы біздің мақаланы оқыңыз.

Басқа мысалды қарастырайық: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Бес текше (үшінші дәрежеге) жүз жиырма беске тең.

Басқа мысал: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Тоғыз текше жеті жүз жиырма тоғызға тең.

Көрсеткіш формулалары

Күшті дұрыс көтеру үшін төменде келтірілген формулаларды есте сақтау және білу қажет. Бұл жерде артық табиғи ештеңе жоқ, ең бастысы - мәнін түсіну, содан кейін олар есте сақталып қана қоймайды, сонымен қатар оңай болып көрінеді.

Мономиалды қуатқа көтеру

Мономиал дегеніміз не? Бұл кез келген мөлшердегі сандар мен айнымалылардың туындысы. Мысалы, екі - мономальды. Ал бұл мақала дәл осындай мономиалды билікке көтеру туралы.

Көрсеткіштерге арналған формулаларды қолданып, мономиалдың көрсеткішін есептеу қиын болмайды.

Мысалы, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Егер сіз мономалды деңгейге көтерсеңіз, мономияның әрбір компоненті дәрежеге көтеріледі.

Дәрежеге дейін күші бар айнымалыны көтеру арқылы қуаттар көбейтіледі. Мысалы, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Теріс күшке дейін көтеру

Теріс қуат - санның кері күші. Өзара сан дегеніміз не? Кез келген Х санының кері мәні 1/Х. Яғни, X-1=1/X. Бұл теріс дәреженің мәні.

(3Y)^-3 мысалын қарастырайық:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Неге бұлай? Дәрежеде минус болғандықтан, біз бұл өрнекті жай бөлгішке ауыстырамыз, содан кейін оны үшінші дәрежеге көтереміз. Қарапайым емес пе?

Бөлшек дәрежеге көтеру

Мәселені нақты мысалмен қарастырудан бастайық. 43/2. 3/2 дәрежесі нені білдіреді? 3 – алым, санды (бұл жағдайда 4) текшеге көтеруді білдіреді. 2 саны бөлгіш болып табылады; ол санның екінші түбірін шығару (бұл жағдайда 4).

Сонда 43 = 2^3 = 8 квадрат түбірін аламыз. Жауабы: 8.

Сонымен, бөлшек дәрежесінің бөлгіші 3 немесе 4 болуы мүмкін және шексіздікке дейін кез келген сан болуы мүмкін және бұл сан берілген саннан алынған квадрат түбірдің дәрежесін анықтайды. Әрине, бөлгіш нөл болуы мүмкін емес.

Түбірді күшке көтеру

Егер түбір өз дәрежесіне тең дәрежеге көтерілсе, онда жауап түбегейлі өрнек болады. Мысалы, (√x)2 = x. Сонымен, кез келген жағдайда, тамырдың дәрежесі мен тамырдың көтерілу дәрежесі бірдей.

Егер (√x)^4. Сонда (√x)^4=x^2. Шешімді тексеру үшін өрнекті бөлшек дәрежесі бар өрнекке түрлендіреміз. Түбір квадрат болғандықтан бөлгіш 2. Ал түбір төртінші дәрежеге көтерілсе, алым 4. 4/2=2 аламыз. Жауабы: x = 2.

Кез келген жағдайда, ең жақсы нұсқа - жай ғана өрнекті бөлшек дәрежесі бар өрнекке түрлендіру. Егер бөлшек жойылмаса, берілген санның түбірі оқшауланбаған жағдайда бұл жауап болады.

Күрделі санды дәрежеге көтеру

Күрделі сан дегеніміз не? Күрделі сан - a + b * i формуласы бар өрнек; a, b нақты сандар. i - квадратты алғанда -1 санын беретін сан.

Бір мысалды қарастырайық. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Сандарды жылдам және дұрыс қосу, азайту, көбейту, бөлу, квадрат сандарды және тіпті түбірлерді шығаруды үйрену үшін «Ментальды арифметика емес, менталды арифметиканы жылдамдату» курсына жазылыңыз. 30 күн ішінде сіз арифметикалық амалдарды жеңілдету үшін оңай трюктерді қалай пайдалану керектігін үйренесіз. Әр сабақта жаңа әдіс-тәсілдер, нақты мысалдар мен пайдалы тапсырмалар бар.

Желідегі дәрежеге шығару

Біздің калькуляторды пайдаланып, санның дәрежеге көтерілуін есептей аласыз:

Дәрежелік көрсеткіш 7-сынып

Мектеп оқушылары тек жетінші сыныпта ғана күшке көтеріле бастайды.

Көрсеткіш көбейту - бұл көбейтумен тығыз байланысты операция; бұл операция санды өзіне қайта-қайта көбейтудің нәтижесі. Оны мына формуламен көрсетейік: a1 * a2 * … * an=an.

Мысалы, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Шешімге мысалдар:

Көрсеткіш дәрежесін көрсету

Жетінші сынып оқушыларына арналған өкілеттіліктерді көтеру туралы презентация. Презентация кейбір түсініксіз тұстарды түсіндіруі мүмкін, бірақ бұл тармақтар біздің мақаланың арқасында шешілмеуі мүмкін.

Төменгі сызық

Біз математиканы жақсырақ түсіну үшін айсбергтің ұшын ғана қарастырдық - біздің курсқа жазылыңыз: Ментальды арифметиканы жеделдету - ментальды арифметика ЕМЕС.

Курстан сіз оңайлатылған және жылдам көбейту, қосу, көбейту, бөлу және пайыздарды есептеудің ондаған әдістерін үйреніп қана қоймай, сонымен қатар оларды арнайы тапсырмалар мен оқу ойындарында жаттығасыз! Ментальды арифметика да қызықты есептерді шешу кезінде белсенді түрде жаттығатын үлкен зейін мен жинақтылықты қажет етеді.