Перпендикуляр және қиғаш

Теорема. Егер жазықтықтан тыс бір нүктеден перпендикуляр және көлбеу түзу жүргізілсе, онда:

1) проекциялары бірдей қиғаштары тең;

2) көлбеу екінің, проекциясы үлкені үлкен;

3) бірдей қиғаштардың проекциялары бірдей;

4) екі проекцияның үлкен көлбеуіне сәйкес келетіні үлкенірек.

Үш перпендикуляр теорема. Жазықтықта жатқан түзу көлбеу сызыққа перпендикуляр болуы үшін бұл түзудің көлбеу түзудің проекциясына перпендикуляр болуы қажет және жеткілікті (3-сурет).

Аудан теоремасы ортогональды проекциякөпбұрышты жазықтыққа.Көпбұрыштың жазықтыққа ортогональ проекциясының ауданы көпбұрыштың ауданы мен көпбұрыш жазықтығы мен проекция жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең.

Құрылыс.

1. Ұшақта атікелей жүргіземіз А.

3. Жазықтықта бнүкте арқылы Атікелей жасайық б, сызыққа параллель А.

4. Түзу сызық салынды бжазықтыққа параллель а.

Дәлелдеу.Түзу мен жазықтықтың параллелизміне негізделген, түзу бжазықтыққа параллель а, өйткені ол түзуге параллель А, ұшаққа тиесілі а.

Оқу.Түзу сызық болғандықтан есептің шексіз көп шешімі бар Аұшақта акездейсоқ таңдалады.

2-мысал.Нүкте жазықтықтан қандай қашықтықта орналасқанын анықтаңыз А, түзу болса ABжазықтықты нүктеден қашықтығы 45º бұрышпен қиып өтеді АНүктеге INжазықтыққа жататындығы см-ге тең?

Шешім.Сурет салайық (5-сурет):

AC– жазықтыққа перпендикуляр а, AB– көлбеу, бұрыш ABC– түзу сызық арасындағы бұрыш ABжәне ұшақ а. Үшбұрыш ABC– тікбұрышты, себебі AC– перпендикуляр. Нүктеден қажетті қашықтық Аұшаққа - бұл аяқ AC тікбұрышты үшбұрыш. Бұрыш пен гипотенузаны см біле отырып, біз аяқты табамыз AC:

Жауап: 3 см.

3-мысал.Ұшақтан қандай қашықтықта екенін анықтаңыз тең қабырғалы үшбұрышүшбұрыштың табаны мен биіктігі 8 см-ге тең болса, үшбұрыштың әрбір төбесінен 13 см қашықтықта нүкте бар ма?

Шешім.Сурет салайық (6-сурет). Нүкте Снүктелерден алыс А, INЖәне МЕНбірдей қашықтықта. Сонымен, бейім С.А., С.Б.Және С.С.тең, SO– осы көлбеулердің ортақ перпендикуляры. Көлбеу және проекциялар теоремасы бойынша AO = VO = CO.

Нүкте ТУРАЛЫ– үшбұрыштың айналасында сызылған шеңбердің центрі ABC. Оның радиусын табайық:

Қайда Күн- негіз;

AD– берілген тең қабырғалы үшбұрыштың биіктігі.

Үшбұрыштың қабырғаларын табу ABCтікбұрышты үшбұрыштан АҚШПифагор теоремасы бойынша:

Енді табамыз ОБ:

Үшбұрышты қарастырайық SOB: С.Б.= 13 см, ОБ= = 5 см.Перпендикуляр ұзындығын табыңыз SOПифагор теоремасы бойынша:

Жауап: 12 см.

4-мысал.Параллель жазықтықтар берілген аЖәне б. Нүкте арқылы М, олардың ешқайсысына жатпайтын, түзу сызықтар сызылады АЖәне бсол крест анүктелерде А 1 және IN 1 және ұшақ б– нүктелерде А 2 және IN 2. Табу А 1 IN 1 егер бұл белгілі болса М.А 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 IN 2 = 25 см.

Шешім.Өйткені шарт екі жазықтыққа қатысты нүктенің қалай орналасқанын айтпайды М, онда екі опция мүмкін: (Cурет 7, а) және (Cурет 7, b). Олардың әрқайсысын қарастырайық. Екі қиылысатын сызық АЖәне бжазықтықты анықтаңыз. Бұл жазықтық екі параллель жазықтықты қиып өтеді аЖәне бпараллель түзулер бойымен А 1 IN 1 және А 2 INПараллель түзулер мен параллель жазықтықтар туралы 5-теорема бойынша 2.

Үшбұрыштар М.А 1 IN 1 және М.А 2 IN 2 ұқсас (бұрыштар А 2 MV 2 және А 1 MV 1 – тік, бұрыштар М.А 1 IN 1 және М.А 2 IN 2 – параллель түзулермен ішкі көлденең жатқан А 1 IN 1 және А 2 IN 2 және секант А 1 А 2). Үшбұрыштардың ұқсастығынан қабырғалардың пропорционалдығы шығады:

Осы жерден

a нұсқасы):

b нұсқасы):

Жауап: 10 см және 50 см.

5-мысал.Нүкте арқылы Аұшақ gтура сызық жүргізілді AB, жазықтықпен бұрыш жасау а. Тікелей арқылы ABұшақ сызылады r, жазықтықпен қалыптастыру gбұрыш б. Түзу проекциясының арасындағы бұрышты табыңыз ABұшаққа gжәне ұшақ r.

Шешім.Сурет салайық (8-сурет). Нүктеден INжазықтыққа перпендикуляр түсіріңіз g. Жазықтықтар арасындағы сызықтық екібұрышты бұрыш gЖәне r- бұл тік бұрыш AD DBC, түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығына негізделген, сонымен қатар жазықтықтардың перпендикулярлығына негізделген, жазықтық rүшбұрыштың жазықтығына перпендикуляр DBC, өйткені ол сызық арқылы өтеді AD. Перпендикулярды нүктеден түсіріп, қалаған бұрышты саламыз МЕНұшаққа r, оны белгілейік Тікбұрышты үшбұрыштың осы бұрышының синусын табыңыз ӨЗІМ. Көмекші сегментті енгізейік a = BC. Үшбұрыштан ABC: Үшбұрыштан Әскери-теңіз күштерітабамыз

Сабақтың тақырыбы

• Перпендикуляр және қиғаш.

Сабақтың мақсаттары

• Жаңа анықтамалармен танысыңыз және бұрын зерттелген кейбірін есте сақтаңыз.
• Пішіндердің қасиеттерін есептер шығаруда қолдануға үйрету.
• Қарапайым болып көрінетін кейбір ұғымдар мен анықтамаларды түсініңіз.
• Дамытушылық – оқушылардың зейінін, алғырлығын, алғырлығын дамыту, логикалық ойлау, математикалық сөйлеу.
• Тәрбиелік – сабақ арқылы бір-біріне деген ілтипатты қарым-қатынасқа тәрбиелеу, жолдастарын тыңдай білуге, өзара көмек көрсетуге, дербестікке баулу.

Сабақтың мақсаттары

• Оқушылардың есеп шығару дағдыларын тексеру.
• Ақпаратты дұрыс қабылдауға үйрету.
• Перпендикуляр және көлбеу негіздерін қарастырыңыз.

Сабақ жоспары

1. Кіріспе.
2. Бұрын оқылған материалды қайталау.
3. Перпендикуляр және қиғаш.
4. Есептерді шешу мысалдары.

кіріспе

Жасыратыны жоқ, барлық қарапайым геометрия бізге негізінен Египет пен Грециядан келді. Алыс және ежелгі дәуірде геометрия жерді өлшеу үшін ғылым ретінде, сонымен қатар құрылыста өте тығыз қолданылған. Барлық теоремалар, заңдар мен аксиомалар өлшеуді жеңілдету үшін алынған және дәлелденген құрылыс жұмыстары. Бүгінгі тақырып сол кездегі адамдар үшін өте маңызды болды, өйткені перпендикуляр және қиғаш бұл жұмыс түріне негізгі нұсқаулар болып табылады.

Египет пирамидаларының құрылыс техникасына қатысты көптеген болжамдар бар. Бұл техниканың уақыт өте өзгергені анық, яғни. кейінгі пирамидалар бұрынғылардан басқаша салынды. Көп бөлігігипотезалар блоктардың карьерлерде штамптарды, қашауларды, қашауларды, адзелерді және т.б. көмегімен кесілгендігіне негізделген, олардың өндірісіндегі негізгі материал мыс болды. Тиісінше, алынған материалды қандай да бір жолмен құрылыс алаңына апарып, орнату керек болды. арасындағы сәйкессіздіктер әртүрлі гипотезаларнегізінен блоктарды жеткізу және монтаждау әдістеріне, сондай-ақ құрылыс уақыты мен жұмыс күшіне қойылатын талаптарға қатысты.

Геродот бойынша Ұлы пирамидаларды салу техникасы

Біздің жалғыз жазба дереккөзпирамидаларды салу процесін сипаттайтын , Мысырға барған Геродоттың «Тарихының» II кітабы болып табылады. 450 жж ой. Мысырлықтардың тілінде сөйлемей, Геродотелде өмір сүрген грек қоныстанушыларының сөздерінен, сондай-ақ - аудармашылар арқылы - Мысыр діни қызметкерлерінің сөздерінен жазбалар алуға мәжбүр болды. Оған екі мың жыл бұрын Ұлы пирамидалардың қалай салынғанын білу қиын болды, өйткені бұл мысырлықтардың өздеріне белгілі болуы екіталай еді.

Кейбіреулер Арабия тауларындағы карьерлерден үлкен тастарды Нілге сүйреп апаруға міндетті болды (тастар кемелермен өзен арқылы тасымалданды), ал басқаларына оларды Ливия таулары деп аталатын жерге сүйреп апаруға бұйрық берілді. Жүз мың адам бұл жұмысты үздіксіз орындап, үш ай сайын ауысып отырды. Бұл тас блоктар сүйретілген жолды салу үшін қажыған адамдарға он жыл қажет болды - жұмыс, менің ойымша, пирамиданың өзі сияқты орасан зор болды. Пирамиданың құрылысының өзі жиырма жылға созылды.

Блок жасау және орнатудың басқа теориялары

Пирамиданы құрайтын блоктардың өзі қалыптарды қолдану арқылы жасалған деген теория да бар. Алдыңғы деңгейде тікбұрышты пішінді қалып орнатылды, оған ерітіндіге ұқсас композиция құйылды. Мұздатылған блоктың өзі өсіп келе жатқан деңгейдің келесі блоктары үшін қалып ретінде қызмет етті. Шешімнің құрамдас бөліктері күрделі жабдықты пайдаланбай-ақ көптеген құлдармен салыстырмалы түрде оңай жеткізілуі мүмкін.

Бұл теория жеке блоктардың қабырғаларының тамаша сәйкестігін жақсы түсіндіреді.

Альтернативті гипотезалар

Бірқатар авторлар пирамидаларды басқа дамыған өркениеттер, не кейін жойылып кеткен жердегі, не бөтен елдер салған деген гипотезаларды алға тартты. Сондай-ақ, әуесқой египетологтар қоғамдарының бірі үлкен тас блоктарының көмегімен қозғалатын теорияны алға тартты. батпырауықтар. Египтологтар мұндай гипотезаларды байыпты қарастырмайды.

Перпендикуляр және қиғаш

Сонымен, ең қарапайымнан бастайық және перпендикуляр және көлбеу деген не екенін қайталайық.

Анықтама.Екі түзу тік бұрыш жасап қиылысатын болса перпендикуляр деп аталады.

Жауап: 13.

Машиналар мен механизмдер.

Машиналар мен механизмдер, жұмысты жеңілдететін және оның өнімділігін арттыратын механикалық құрылғылар. Автомобильдер болуы мүмкін әртүрлі дәрежедекүрделілік - қарапайым бір доңғалақты арбадан лифттерге, автомобильдерге, баспа, тоқыма және есептеу машиналарына дейін. Энергетикалық машиналар энергияның бір түрін екіншісіне айналдырады. Мысалы, гидрогенераторлар құлаған судың механикалық энергиясын түрлендіреді электр энергиясы. Іштен жану қозғалтқышы бензиннің химиялық энергиясын жылу энергиясына, содан кейін көлік қозғалысының механикалық энергиясына айналдырады.

Тісті беріліс – бұл механизм немесе механизмнің бөлігі, оның құрамына тісті беріліс кіреді.

Мақсаты:

• параллель, қиылысатын немесе қиылысатын осьтері болуы мүмкін біліктердің арасындағы айналмалы қозғалысты беру.
• айналмалы қозғалысты трансляциялық қозғалысқа және керісінше түрлендіру.

Бұл жағдайда күш бір элементтен екіншісіне тістердің көмегімен беріледі. Тістері аз тісті доңғалақ тістегеріш, екінші дөңгелекті тістер деп атайды үлкен сантістер дөңгелек деп аталады. Жұп беріліс дөңгелектерітістердің саны бірдей болса, бұл жағдайда жетекті беріліс, ал жетекті беріліс дөңгелек деп аталады.

Архимед бұрандасы, Архимед бұрандасы- суды төменгі су қоймаларынан суару арналарына беру үшін тарихи қолданылған механизм. Бұл біздің дәуірімізге дейінгі 3 ғасырда өмір сүрген Архимедке дәстүрлі түрде жатқызылған бірнеше өнертабыстар мен жаңалықтардың бірі болды. e. Архимед бұрандасы шнектің прототипі болды.

Пропеллер әдетте жел дөңгелегі арқылы айналадынемесе қолмен. Құбырдың төменгі ұшы айналғанда, ол белгілі бір мөлшерде су жинайды. Судың бұл мөлшері суару жүйесін қамтамасыз етіп, құбырдың жоғарғы жағынан су ағып шыққанша білік айналғанда спиральды құбырды жоғары қарай сырғытады.

Сұрақтар

1. Перпендикуляр дегеніміз не?
2. Қай сызық көлбеу деп аталады?
3. Шаршының диагональдары қиылысу нүктесіне қарай екіге бөлінеді ме?
4. Шаршының диагональдары тең бе?
5. Көлбеу жазықтық тәжірибеде қайда қолданылады?
6. Қандай пішін тіктөртбұрыш деп аталады?

Пайдаланылған көздер тізімі

1. «Пирамида салушылар» Доктор З.Хавастың жазбалары
2. Перепелкин Ю.Я.Ежелгі Египет тарихы.- Санкт-Петербург: « Жазғы бақ«, 2000 ж.
3. Кобычева Марина Викторовна, математика пәнінің мұғалімі
4. Мазур К.И. «М.И.Сканави редакциялаған жинақтың математикадан негізгі жарыс есептерін шешу»

Сабақта жұмыс жасадық

Потурнак С.А.

Кобычева Марина Викторовна

туралы сұрақ қойыңыз заманауи білім беру, идеяны білдіріңіз немесе өзекті мәселені шеше аласыз Білім форумы, қайда халықаралық деңгейтың ой мен әрекеттің тәрбиелік кеңесі жиналуда. Құра отырып блог,Сіз білікті ұстаз мәртебесін көтеріп қана қоймай, болашақ мектебінің дамуына зор үлес қосасыз. Білім беру көшбасшыларының гильдиясыжоғары дәрежелі мамандарға есік ашады және оларды әлемдегі ең жақсы мектептерді құруда ынтымақтастыққа шақырады.

ГЕОМЕТРИЯ

II бөлім. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§8. ПЕРПЕНДИКУЛЬДЫ ЖӘНЕ Көлбеу. ҰШАҚТА ҚЫСҚАУ ПРОЕКЦИЯ.

2. Перпендикуляр және қиғаштың қасиеттері.

Перпендикуляр және көлбеу қасиеттерін қарастырайық.

1) Берілген нүктеден жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр сол нүктеден жазықтыққа жүргізілген кез келген көлбеуден кіші.

411-суретте: АН АК.

2) Берілген нүктеден жазықтыққа жүргізілген екі көлбеу еңіс тең болса, онда олардың проекциялары тең болады.

K 1 және перпендикуляр AN және AK = AK 1. Содан кейін қасиеті бойынша: NK = NK 1.

3) Берілген нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген екі көлбеу еңістің проекциялары бірдей болса, онда олар бір-біріне тең болады.

412-суретте А нүктесінен а жазықтығына екі көлбеу АК және А жазықтығы жүргізілген. K 1 және AN-ға перпендикуляр, KH = K 1 N. Содан кейін қасиеті бойынша: AK = AK 1 .

4) Берілген нүктеден жазықтыққа екі көлбеу жазықтық жүргізілсе, үлкен көлбеу жазықтықтың проекциясы үлкен болады.

Л және АН-ға перпендикуляр, A K > AL . Содан кейін меншік бойынша: H K > HL.

5) Берілген нүктеден жазықтыққа екі көлбеу еңіс жүргізілсе, онда олардың үлкені берілген жазықтыққа проекциясы үлкенірек болады.

413-суретте А нүктесінен а жазықтығына көлбеу екі АК және А жазықтығы жүргізілген.Л және AN, NK-ға перпендикуляр> Н Л . Содан кейін меншік бойынша: А.К> A L.

Мысал 1. Ұзындықтары 41 см және 50 см болатын нүктеден жазықтыққа екі көлбеу еңіс сызылған.Егер олардың арақатынасы 3:10 болса, көлбеулерінің проекцияларын және нүктеден қашықтығын табыңыз. ұшаққа.

Шешімдер. 1) А Л = 41 см; АК = 50 см (Cурет 413). Меншік бойынша бізде HЛ Н.Қ. H L = 3 x см, NK = 10 x см, AN = h деп белгілейік қараңыз AN - А нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтықα .

4) Теңестірсек, 41 2 - 9х 2 = 50 2 - шығады. 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (х ескере отырып> 0). Сонымен, N L = 3 ∙ 3 = 9 (см), NK = 10 ∙ 3 = 30 (см).

Мысал 2. Осы сәттен бастап әрқайсысы екі көлбеу жазықтық сызылғансм-де.Көлбеулердің арасындағы бұрыш 60°, ал проекцияларының арасындағы бұрыш түзу. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз.

Бір нүктеден шығатын көлбеу түзулердің қасиеттері. 1. Перпендикуляр әрқашан көлбеуден қысқа болады, егер олар бір нүктеден жүргізілсе. 2. Көлбеулері тең болса, олардың проекциялары тең болады және керісінше. 3. Үлкен көлбеу үлкен проекцияға сәйкес келеді және керісінше.

Слайд 10презентациядан «Жазықтыққа перпендикуляр және көлбеу». Тұсаукесермен бірге мұрағаттың көлемі 327 КБ.

Геометрия 10 сынып

қысқаша мазмұныбасқа презентациялар

«Параллелограмм есептері» - Геометрия. Нүктелер. Параллелограмның биіктігі. Шаршы. Дәлелдеу. Шеңберге жанама. Параллелограммның белгілері. Параллелограмның периметрі. Шеңбер. Бөлім. Ортаңғы сызық. Шеңберлердің орталықтары. Бұрыштар. Параллелограмм. Параллелограмның ауданын табыңыз. Екі шеңбер. Параллелограммның қасиеттері. Өткір бұрыш. Параллелограмның ауданы. Параллелограммның диагональдары. Диагональ. Төртбұрыш. Үшбұрыштар.

«Қима құрастыру әдістері» - Қима құрастыру дағдыларын қалыптастыру. Параллелепипедтің қималарын салудың төрт жағдайын қарастырайық. Тетраэдрдің кесінділерін сал. Ішкі дизайн әдісі. Дискілермен жұмыс. Параллелепипедтің алты беті бар. Кесу ұшағы. Көп қырлылардың қималарының құрылысы. Із – қима жазықтығының және көпбұрыштың кез келген бетінің жазықтығының қиылысу түзу сызығы. Бақылау әдісі. Жаднама.

««Тұрақты көп қырлы» 10 сынып» - Болжамды нәтиже. Марстың орбиталық сферасына жақын жерде сипатталған тетраэдр. Орталық О, ось а және жазықтық. Көпбұрыштың беттері. Радиолария. Мазмұны. Тұрақты көп қырлы. Платонның дүниенің философиялық суретіндегі тұрақты көп қырлылар. Феодария. Тұрақты көп қырлылар тірі табиғатта кездеседі. Сабақтар кезінде. Нүкте (түзу, жазықтық) центр (ось, жазықтық) деп аталады. Төмендегі геометриялық денелердің қайсысы дұрыс көпбұрышқа жатпайды?

«Екі қырлы бұрыштарды анықтау» - К нүктесі әр жағынан алынып тасталады. M және K нүктелері жатыр әртүрлі жүздер. Бұрыштың градустық өлшемі. Үшбұрышты бұрыштың қасиеті. Мәселелерді шешу бойынша жазбалар. М нүктесі 30-ға тең екібұрышты бұрыштың беттерінің бірінде орналасқан. Сызықтық бұрыштың құрылысы. Перпендикуляр сызыңыз. Берілген жазықтықта жүргізілген түзу. Екібұрышты бұрыштарпирамидаларда. Мәселені шешу. К нүктесі. Бұл пирамида. Шеттегі нүкте ерікті болуы мүмкін.

«Көп қырлылардың қималарын салу әдістері» - Кез келген жазықтық. Суретшілер. Геометрия заңдары. Блиц сауалнама. Өзара реттеужазықтық және көп қырлы. Көпбұрыштың кесіндісін тұрғызу. Көпбұрыштар. Аксиоматикалық әдіс. Тапсырмалар. Кеме. Тапсырма. Аксиомалар. Көп қырлылардың қималарының құрылысы. Әр түрлі жазықтықтағы қималар. Ежелгі қытай мақалы. Өздік жұмыс. Диагональды кесінділер. Алған білімдерін тиянақтау. Кесу ұшағы.

«Тең бүйірлі көпбұрыштар» - алты қырлы (куб) Текше алты шаршыдан тұрады. Октаэдр Октаэдр сегізден тұрады тең қабырғалы үшбұрыштар. Тетраэдрдің 4 беті, 4 төбесі және 6 қыры бар. 5 түрі бар тұрақты көп қырлы. Тұрақты көпбұрыштар. Додекаэдрдің 12 беті, 20 шыңы және 30 қыры бар. Икосаэдрдің 20 беті, 12 шыңы және 30 қыры бар. Осылайша, текшенің 6 беті, 8 төбесі және 12 қыры бар. Тетраэдр Тетраэдр төрт тең қабырғалы үшбұрыштан тұрады.

Геометрия

Стереометрия

Перпендикуляр және қиғаш

Перпендикулярберілген нүктеден берілген жазықтыққа түсірілген кесінді қосылатын кесінді деп аталады бұл нүктежазықтықтағы нүктемен және жазықтыққа перпендикуляр түзуде жатқан. Бұл кесіндінің жазықтықта жатқан соңы деп аталады перпендикуляр негізі. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық- осы нүктеден жазықтыққа түсірілген перпендикуляр ұзындығы.
Сурет бойынша AB- перпендикуляр; А.С.- көлбеу; б.з.д.- болжам.

Түзу сызықтан арақашықтықоған параллель жазықтыққа осы түзудің кез келген нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтық.
арасындағы қашықтық параллель жазықтықтар бір жазықтықтағы кез келген нүктеден екінші жазықтыққа дейінгі қашықтық.
Көлбеуберілген нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген деп берілген нүктені жазықтықтағы нүктемен қосатын және жазықтыққа перпендикуляр емес кез келген кесіндіні айтады. Жазықтықта жатқан кесіндінің соңы деп аталады көлбеу негіз.
Бір нүктеден жүргізілген перпендикуляр мен қиғаштың табандарын қосатын кесінді деп аталады қиғаш проекция.

Бір нүктеден бір жазықтыққа жүргізілген көлбеу түзулердің қасиеттері

1. Бір нүктеден жазықтыққа түсірілген еңістер (төмендегі сол жақтағы сурет) проекциялары бірдей болған жағдайда ғана тең болады.
2. Егер нүктеден жазықтыққа екі көлбеу еңіс жүргізілсе, онда үлкен проекциясы үлкенірек, ал керісінше үлкен көлбеу көлбеу үлкенірек болады.
Бұл қасиеттер жазықтыққа сызылған көлбеу сызықтар үшін сақталатынын ескеріңіз әртүрлі нүктелер, бірақ перпендикуляр ұзындығы бірдей (оң жақтағы сурет).