Үшбұрышты пирамиданың биіктігінің формуласы. Геометрия негіздері: дұрыс пирамида

Бұл бейне оқулық пайдаланушыларға Пирамида тақырыбы туралы түсінік алуға көмектеседі. Дұрыс пирамида. Бұл сабақта пирамида ұғымымен танысамыз, оған анықтама береміз. Кәдімгі пирамида дегеніміз не және оның қандай қасиеттері бар екенін қарастырайық. Содан кейін дұрыс пирамиданың бүйір бетіндегі теореманы дәлелдейміз.

Бұл сабақта пирамида ұғымымен танысамыз, оған анықтама береміз.

Көпбұрышты қарастырайық A 1 A 2...А н, α жазықтығында жатқан және нүкте Пα жазықтығында жатпайтын , (1-сурет). Нүктеге қосайық Пшыңдарымен A 1, A 2, A 3, … А н... Біз алып жатырмыз nүшбұрыштар: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rтағыда басқа.

Анықтама... Көп қырлы RA 1 A 2 ... A nқұралған n-гональ A 1 A 2...А нжәне nүшбұрыштар RA 1 A 2, RA 2 A 3 …PA n А n-1 деп аталады n- бұрыштық пирамида. Күріш. 1.

Күріш. 1

Төртбұрышты пирамиданы қарастырайық PABCD(2-сурет).

Р- пирамиданың жоғарғы жағы.

А Б С Д- пирамиданың негізі.

РА- бүйір қабырғасы.

AB- негіздің шеті.

Нүктеден Рперпендикулярды өткізіп жіберіңіз Н.Снегіз жазықтығында А Б С Д... Сызылған перпендикуляр пирамиданың биіктігі.

Күріш. 2

Пирамиданың толық беті бүйір бетінен, яғни барлық бүйір беттерінің ауданы мен табанының ауданынан тұрады:

S толық = S жағы + S негізгі

Пирамида дұрыс деп аталады, егер:

• оның табаны дұрыс көпбұрыш;
• пирамиданың төбесін табанының ортасымен байланыстыратын сызық сегменті оның биіктігі болып табылады.

Дұрыс төртбұрышты пирамида мысалында түсіндіру

Кәдімгі төртбұрышты пирамиданы қарастырайық PABCD(3-сурет).

Р- пирамиданың жоғарғы жағы. Пирамиданың негізі А Б С Д- тұрақты төртбұрыш, яғни шаршы. Нүкте О, диагональдардың қиылысу нүктесі шаршының центрі болып табылады. білдіреді, ROпирамиданың биіктігі.

Күріш. 3

Түсіндіру: дұрыс n-gon, сызылған шеңбердің центрі мен шеңбердің центрі сәйкес келеді. Бұл орталық көпбұрыштың центрі деп аталады. Кейде төбесі орталыққа проекцияланған деп айтады.

Дұрыс пирамиданың төбесінен сызылған бүйір бетінің биіктігі деп аталады апотемажәне белгіленеді h a.

1. дұрыс пирамиданың барлық бүйір қырлары тең;

2. бүйір беттері тең қабырғалы үшбұрыштар.

Бұл қасиеттердің дәлелі кәдімгі төртбұрышты пирамиданың мысалымен келтірілген.

Берілген: PABSD- тұрақты төртбұрышты пирамида,

А Б С Д- шаршы,

RO- пирамиданың биіктігі.

Дәлелдеу:

1. PA = PB = PC = PD

2.∆АВР = ∆ВCP = ∆СDP = ∆DAP Суретті қараңыз. 4.

Күріш. 4

Дәлелдеу.

RO- пирамиданың биіктігі. Яғни, тура ROжазықтыққа перпендикуляр ABCжәне сондықтан тікелей AO, VO, SOжәне ЖАСАУішінде жатыр. Сонымен үшбұрыштар ROA, ROV, ROS, POD- тікбұрышты.

Шаршыны қарастырайық А Б С Д... Квадраттың қасиеттерінен бұл шығады AO = BO = CO = ЖАСАУ.

Сонда тікбұрышты үшбұрыштар болады ROA, ROV, ROS, PODаяқ RO- жалпы және аяқ AO, VO, SOжәне ЖАСАУтең, яғни бұл үшбұрыштар екі катет бойынша тең. Үшбұрыштардың теңдігі кесінділердің теңдігін білдіреді, PA = PB = PC = PD. 1-тармақ дәлелденді.

Сегменттер ABжәне Күнтең, өйткені олар бір шаршының қабырғалары PA = PB = RS... Сонымен үшбұрыштар АБПжәне HRV -тең қабырғалы және үш жағы тең.

Сол сияқты, біз үшбұрыштарды табамыз ATS, BCP, CDP, DAP 2-параграфта дәлелдеу талап етілетіндей тең қабырғалы және тең.

Кәдімгі пирамиданың бүйір бетінің ауданы табанының периметрі мен апотеманың көбейтіндісінің жартысына тең:

Дәлелдеу үшін біз кәдімгі үшбұрышты пирамиданы таңдаймыз.

Берілген: RAVS- дұрыс үшбұрышты пирамида.

AB = BC = AC.

RO- биіктік.

Дәлелдеу: ... Суретті қараңыз. 5.

Күріш. 5

Дәлелдеу.

RAVS- дұрыс үшбұрышты пирамида. Яғни AB= AC = BC... Болсын О- үшбұрыштың центрі ABC, содан кейін ROпирамиданың биіктігі. Пирамиданың табанында тең бүйірлі үшбұрыш жатыр ABC... байқа, бұл .

Үшбұрыштар RAV, RVS, RSA- тең қабырғалы үшбұрыштар (қасиеті бойынша). Үшбұрышты пирамиданың үш бүйір беті бар: RAV, RVS, RSA... Демек, пирамиданың бүйір бетінің ауданы мынаған тең:

S жағы = 3S RAV

Теорема дәлелденді.

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанына сызылған шеңбердің радиусы 3м, пирамиданың биіктігі 4м.Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Берілген: дұрыс төртбұрышты пирамида А Б С Д,

А Б С Д- шаршы,

r= 3 м,

RO- пирамиданың биіктігі,

RO= 4 м.

Табу: S жағы. Суретті қараңыз. 6.

Күріш. 6

Шешім.

Дәлелденген теорема бойынша,.

Алдымен негіздің жағын табайық AB... Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанына сызылған шеңбердің радиусы 3 м болатынын білеміз.

Содан кейін, м.

Шаршының периметрін табыңыз А Б С Джағы 6 м:

Үшбұрышты қарастырайық BCD... Болсын М- жағының ортасы DC... Өйткені О-ортаңғы BD, содан кейін (м).

Үшбұрыш DPC- тең қабырғалы. М-ортаңғы DC... Яғни, RM- медиана, демек, үшбұрыштағы биіктік DPC... Содан кейін RM- пирамиданың апотемасы.

RO- пирамиданың биіктігі. Содан кейін, тікелей ROжазықтыққа перпендикуляр ABC, демек түзу сызық ОМішінде жатыр. Апотеманы табыңыз RMтікбұрышты үшбұрыштан Тұрақты Жадтау Құрылғысы.

Енді пирамиданың бүйір бетін таба аламыз:

Жауап: 60 м 2.

Дұрыс үшбұрышты пирамиданың табанына сызылған шеңбердің радиусы м, бүйір бетінің ауданы 18 м 2. Апотеманың ұзындығын табыңыз.

Берілген: ABCP- тұрақты үшбұрышты пирамида,

AB = BC = CA,

Р= м,

S жағы = 18 м 2.

Табу:. Суретті қараңыз. 7.

Күріш. 7

Шешім.

Тұрақты үшбұрышта ABCшектелген шеңбердің радиусы берілген. Бір жағын табайық ABБұл үшбұрышты синустар теоремасы арқылы.

Дұрыс үшбұрыштың қабырғасын (m) біле отырып, оның периметрін табамыз.

Дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы туралы теорема бойынша, мұнда h a- пирамиданың апотемасы. Содан кейін:

Жауап: 4 м.

Сонымен, пирамида деген не, дұрыс пирамида деген не екенін зерттеп, дұрыс пирамиданың бүйір бетіндегі теореманы дәлелдедік. Келесі сабақта біз қиық пирамидамен танысамыз.

Әдебиеттер тізімі

1. Геометрия. 10-11 сынып: оқу орындарының оқушыларына арналған оқулық (базалық және бейінді деңгейлер) / И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. - 5-ші басылым, Аян. және қосыңыз. - М .: Мнемозина, 2008 .-- 288 б.: ауру.
2. Геометрия. 10-11 сынып: Жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық / Шарыгин И.Ф.- М .: Бустард, 1999. - 208 б.: ауру.
3. Геометрия. 10-сынып: Математиканы тереңдетіп, бейіндік оқытатын оқу орындарына арналған оқулық / Е. В.Потоскуев, Л.И.Звалич. - 6-шы басылым, Стереотип. - М .: Бустард, 008 .-- 233 б.: ауру.

1. «Якласс» интернет-порталы ()
2. «Педагогикалық идеялар фестивалі» интернет-порталы 1 қыркүйек «()
3. «Slideshare.net» интернет-порталы ()

Үй жұмысы

1. Дұрыс көпбұрыш дұрыс емес пирамиданың негізі бола ала ма?
2. Дұрыс пирамиданың бөлінген шеттері перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
3. Дұрыс төртбұрышты пирамида табанының бүйіріндегі екібұрышты бұрыштың мәнін табыңыз, егер пирамиданың апотемасы оның табанының қабырғасына тең болса.
4. RAVS- дұрыс үшбұрышты пирамида. Пирамиданың табанындағы екібұрыштың сызықтық бұрышын сал.

Бейне оқулық 2: Пирамидаға қатысты мәселе. Пирамида көлемі

Бейне оқулық 3: Пирамидаға қатысты мәселе. Дұрыс пирамида

Дәріс: Пирамида, оның табаны, бүйір қабырғалары, биіктігі, бүйір беті; үшбұрышты пирамида; дұрыс пирамида

Пирамида, оның қасиеттері

ПирамидаНегізінде көпбұрыш бар және оның барлық беттері үшбұрыштардан тұратын қатты дене.

Пирамиданың ерекше жағдайы - оның түбінде шеңбері бар конус.

Пирамиданың негізгі элементтерін қарастырайық:

АпотемПирамиданың жоғарғы жағын бүйір бетінің төменгі жиегінің ортасына қосатын сызық сегменті. Басқаша айтқанда, бұл пирамида қырының биіктігі.

Суретте ADS, ABS, BCS, CDS үшбұрыштары көрсетілген. Егер сіз атауларға мұқият қарасаңыз, әрбір үшбұрыштың өз атауында бір ортақ әріпі бар екенін көруге болады - S. Яғни, бұл барлық бүйір беттер (үшбұрыштар) пирамиданың төбесі деп аталатын бір нүктеде біріктірілетінін білдіреді. .

Төбесін табанның диагональдарының қиылысу нүктесімен (үшбұрыштар жағдайында, биіктіктердің қиылысу нүктесінде) қосатын ОС кесіндісі деп аталады. пирамида биіктігі.

Диагональ қима - пирамиданың төбесінен, сондай-ақ табанның диагональдарының бірі арқылы өтетін жазықтық.

Пирамиданың бүйір беті үшбұрыштардан тұратындықтан, бүйір бетінің жалпы ауданын табу үшін әр беттің аудандарын тауып, оларды қосу керек. Беттердің саны мен пішіні негізде жатқан көпбұрыштың қабырғаларының пішіні мен өлшеміне байланысты.

Пирамидадағы оның төбесі жатпайтын жалғыз жазықтық деп аталады негізіпирамидалар.

Суретте біз табанында параллелограмм бар екенін көреміз, дегенмен кез келген ерікті көпбұрыш болуы мүмкін.

Қасиеттер:

Ұзындығы бірдей жиектері бар пирамиданың бірінші жағдайын қарастырайық:

• Мұндай пирамиданың табанының айналасында шеңберді сипаттауға болады. Егер сіз осындай пирамиданың төбесін проекциялайтын болсаңыз, онда оның проекциясы шеңбердің ортасында болады.
• Пирамиданың негізіндегі бұрыштар әр бет үшін бірдей.
• Бұл жағдайда пирамида табанының айналасында шеңберді сипаттауға болатын жеткілікті шарт, сонымен қатар барлық жиектер әртүрлі ұзындықтарда деп болжауға болады, біз табан мен оның әрбір жиегі арасындағы бірдей бұрыштарды қарастыра аламыз. беттер.

Егер сіз бүйір беттері мен табанының арасындағы бұрыштары тең пирамиданы кездестірсеңіз, онда келесі қасиеттер дұрыс болады:

• Сіз пирамида табанының айналасындағы шеңберді сипаттай аласыз, оның төбесі дәл ортасына проекцияланады.
• Егер сіз биіктіктің әр шетінен негізге дейін тартсаңыз, онда олар бірдей ұзындықта болады.
• Мұндай пирамиданың бүйір бетінің ауданын табу үшін негіздің периметрін тауып, оны биіктік ұзындығының жартысына көбейту жеткілікті.
• S bp = 0,5P oc H.
• Пирамиданың түрлері.
• Пирамиданың табанында қандай көпбұрыш жатқанына байланысты олар үшбұрышты, төртбұрышты және т.б. Егер пирамиданың табанында дұрыс көпбұрыш (қабырғалары бірдей) жатса, онда мұндай пирамида дұрыс деп аталады.

Тұрақты үшбұрышты пирамида

Біз математикадан емтиханға енгізілген есептерді қарастыруды жалғастырамыз. Шарт берілген және берілген екі нүктенің немесе бұрыштың арасындағы қашықтықты табу қажет болатын есептерді біз қазірдің өзінде зерттедік.

Пирамида - бұл көпбұрыш, оның негізі көпбұрыш, қалған беттері үшбұрыштар және олардың ортақ төбесі бар.

Тұрақты пирамида - бұл пирамида, оның табанында дұрыс көпбұрыш жатыр және оның төбесі табанның ортасына проекцияланады.

Тұрақты төртбұрышты пирамида – табаны шаршы.Пирамиданың төбесі табан диагональдарының қиылысу нүктесіне (шаршы) проекцияланады.

ML - апотема
∠MLO – пирамида табанындағы екібұрышты бұрыш
∠MCO – пирамида табанының бүйір қыры мен жазықтығы арасындағы бұрыш

Бұл мақалада біз дұрыс пирамиданы шешуге арналған тапсырмаларды қарастырамыз. Кез келген элементті, бүйір бетінің ауданын, көлемін, биіктігін табу талап етіледі. Әрине, сіз Пифагор теоремасын, пирамиданың бүйір бетінің ауданының формуласын, пирамиданың көлемін табу формуласын білуіңіз керек.

Мақала "" Стереометрия есептерін шешуге қажетті формулаларды ұсынады. Сонымен, тапсырмалар:

SABCDнүкте О- негіздің ортасы,Сшыңы, SO = 51, AC= 136. Бүйірлік қабырғаны табыңызSC.

Бұл жағдайда негіз шаршы болып табылады. Бұл AC және BD диагональдары тең, олар қиылысады және қиылысу екі есе азаяды дегенді білдіреді. Қарапайым пирамидада оның төбесінен түсірілген биіктік пирамида табанының ортасынан өтетінін ескеріңіз. Сонымен SO - биіктік пен үшбұрышSOCтікбұрышты. Сонда Пифагор теоремасы бойынша:

Үлкен санды қалай жоюға болады.

Жауабы: 85

Өзіңіз шешіңіз:

Кәдімгі төртбұрышты пирамидада SABCDнүкте О- негіздің ортасы, Сшыңы, SO = 4, AC= 6. Бүйірлік қабырғаны табыңыз SC.

Кәдімгі төртбұрышты пирамидада SABCDнүкте О- негіздің ортасы, Сшыңы, SC = 5, AC= 6. Кесіндінің ұзындығын табыңыз SO.

Кәдімгі төртбұрышты пирамидада SABCDнүкте О- негіздің ортасы, Сшыңы, SO = 4, SC= 5. Кесіндінің ұзындығын табыңыз AC.

SABC Р- қабырғаның ортасы BC, С- жоғарғы. Бұл белгілі AB= 7, және SR= 16. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Дұрыс үшбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы негіз периметрінің апотема бойынша көбейтіндісінің жартысына тең (апотема – оның шыңынан тартылған дұрыс пирамиданың бүйір бетінің биіктігі):

Немесе мынаны айтуға болады: пирамиданың бүйір бетінің ауданы үш бүйір бетінің аудандарының қосындысына тең. Тұрақты үшбұрышты пирамиданың бүйір беттері - ауданы бірдей үшбұрыштар. Бұл жағдайда:

Жауабы: 168

Өзіңіз шешіңіз:

Кәдімгі үшбұрышты пирамидада SABC Р- қабырғаның ортасы BC, С- жоғарғы. Бұл белгілі AB= 1, және SR= 2. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Кәдімгі үшбұрышты пирамидада SABC Р- қабырғаның ортасы BC, С- жоғарғы. Бұл белгілі AB= 1, ал бүйір бетінің ауданы 3. Кесіндінің ұзындығын табыңыз SR.

Кәдімгі үшбұрышты пирамидада SABC Л- қабырғаның ортасы BC, С- жоғарғы. Бұл белгілі SL= 2, ал бүйір бетінің ауданы 3. Кесіндінің ұзындығын табыңыз AB.

Кәдімгі үшбұрышты пирамидада SABC М... Үшбұрыштың ауданы ABC 25, пирамиданың көлемі 100. Түзу кесіндісінің ұзындығын табыңыз ХАНЫМ.

Пирамиданың табаны тең бүйірлі үшбұрыш. Сондықтан Мбазаның орталығы болып табылады, жәнеХАНЫМ- дұрыс пирамиданың биіктігіSABC... Пирамида көлемі SABCтең: шешімді тексеру

Кәдімгі үшбұрышты пирамидада SABCтабанының медианалары нүктеде қиылысады М... Үшбұрыштың ауданы ABC 3-ке тең, ХАНЫМ= 1. Пирамиданың көлемін табыңыз.

Кәдімгі үшбұрышты пирамидада SABCтабанының медианалары нүктеде қиылысады М... Пирамиданың көлемі 1, ХАНЫМ= 1. Үшбұрыштың ауданын табыңыз ABC.

Осымен қорытындыланады. Көріп отырғаныңыздай, тапсырмалар бір немесе екі қадаммен шешіледі. Болашақта біз сіздермен революциялық денелер берілген осы бөліктің басқа да мәселелерін қарастырамыз, оны жіберіп алмаңыз!

Іске сәт!

Құрметпен, Александр Крутицких.

P.S: Әлеуметтік желідегі сайт туралы айтып берсеңіз, риза болар едім.

Анықтама

ПирамидаОртақ төбесі \ (P \) (көпбұрыш жазықтығында жатпайтын) және қарама-қарсы қабырғалары қабырғаларымен сәйкес келетін \ (A_1A_2 ... A_n \) және \ (n \) үшбұрыштарынан тұратын көпбұрышты көпбұрыш па? көпбұрыш.
Белгіленуі: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
Мысал: бесбұрышты пирамида \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).

Үшбұрыштар \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) т.б. деп аталады бүйір беттерпирамидалар, сегменттер \ (PA_1, PA_2 \) т.б. - бүйір қабырғалары, көпбұрыш \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - негізі, нүктесі \ (P \) - шыңы.

Биіктігіпирамидалар — пирамиданың төбесінен табанының жазықтығына жүргізілген перпендикуляр.

Табанында үшбұрыш бар пирамида деп аталады тетраэдр.

пирамида деп аталады дұрысегер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса және келесі шарттардың бірі орындалса:

\ ((а) \) пирамиданың бүйір жиектері тең;

\ ((b) \) пирамиданың биіктігі табанының жанында сипатталған шеңбердің центрі арқылы өтеді;

\ ((c) \) бүйір қабырғалары бір бұрышта негіз жазықтығына еңкейген.

\ ((d) \) бүйір беттері негіз жазықтығына бірдей бұрышпен еңкейген.

Тұрақты тетраэдр- бұл үшбұрышты пирамида, оның барлық беттері бірдей теңбүйірлі үшбұрыштар.

Теорема

\ ((a), (b), (c), (d) \) шарттары эквивалентті.

Дәлелдеу

\ (PH \) пирамидасының биіктігін салайық. \ (\ альфа \) пирамида табанының жазықтығы болсын.

1) \ ((а) \) \ ((b) \) білдіретінін дәлелдейміз. \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \) болсын.

Өйткені \ (PH \ perp \ alpha \), онда \ (PH \) осы жазықтықта жатқан кез келген түзуге перпендикуляр, сондықтан үшбұрыштар тік бұрышты болады. Бұл бұл үшбұрыштардың ортақ катеттері \ (PH \) және гипотенузалар \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \) тең екенін білдіреді. Демек, \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). Демек, \ (A_1, A_2, ..., A_n \) нүктелері \ (H \) нүктесінен бірдей қашықтықта, сондықтан олар \ (A_1H \) радиусы бар бір шеңберде жатыр. Анықтау бойынша бұл шеңбер \ (A_1A_2 ... A_n \) көпбұрышының айналасында шектелген.

2) \ ((b) \) \ ((c) \) білдіретінін дәлелдейік.

\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)төртбұрышты және екі аяғы тең. Демек, олардың бұрыштары да тең, сондықтан \ (\ бұрыш PA_1H = \ бұрыш PA_2H = ... = \ бұрыш PA_nH \).

3) \ ((c) \) \ ((а) \) білдіретінін дәлелдейік.

Бірінші нүктеге ұқсас, үшбұрыштар \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)тікбұрышты және аяқтың бойымен және сүйір бұрыш. Бұл олардың гипотенузалары да тең екенін білдіреді, яғни \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

4) \ ((b) \) \ ((d) \) білдіретінін дәлелдейік.

Өйткені дұрыс көпбұрышта шеңбер мен шеңбердің орталықтары сәйкес келеді (жалпы айтқанда, бұл нүкте дұрыс көпбұрыштың центрі деп аталады), онда \ (H \) шеңбердің центрі болады. \ (H \) нүктесінен табанның қабырғаларына перпендикуляр жүргізейік: \ (HK_1, HK_2 \), т.б. Бұл сызылған шеңбердің радиустары (анықтама бойынша). Сонда ТТП бойынша (\ (PH \) - жазықтыққа перпендикуляр, \ (HK_1, HK_2 \) және т.б. - жақтарға перпендикуляр проекциялар) көлбеу \ (PK_1, PK_2 \) және т.б. жақтарына перпендикуляр \ (A_1A_2, A_2A_3 \), т.б. тиісінше. Демек, анықтамасы бойынша \ (\ бұрыш PK_1H, \ бұрыш PK_2H \)бүйірлік беттер мен негіз арасындағы бұрыштарға тең. Өйткені үшбұрыштар \ (PK_1H, PK_2H, ... \) тең (екі катеттегі тіктөртбұрыш сияқты), онда бұрыштар \ (\ бұрыш PK_1H, \ бұрыш PK_2H, ... \)тең.

5) \ ((d) \) \ ((b) \) білдіретінін дәлелдейік.

Төртінші нүктеге ұқсас үшбұрыштар \ (PK_1H, PK_2H, ... \) тең (қаты және сүйір бұрышы тікбұрышты сияқты), сондықтан \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) сегменттері тең. Демек, анықтамасы бойынша \ (Н \) табанына сызылған шеңбердің центрі болып табылады. Бірақ содан бері дұрыс көпбұрыштар үшін шеңбер мен шеңбердің орталықтары сәйкес келеді, онда \ (Н \) шеңбердің центрі болады. Thtd.

Салдары

Дұрыс пирамиданың бүйір беттері тең қабырғалы үшбұрыштар.

Анықтама

Дұрыс пирамиданың төбесінен сызылған бүйір бетінің биіктігі деп аталады апотема.
Дұрыс пирамиданың барлық бүйір беттерінің апотемалары бір-біріне тең, сонымен қатар медианалар мен биссектрисалар болып табылады.

Маңызды ескертулер

1. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың биіктігі табанының биіктіктерінің (немесе биссектрисаларының, немесе медианаларының) қиылысу нүктесіне түседі (табан - дұрыс үшбұрыш).

2. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі табанының диагональдарының қиылысу нүктесіне түседі (негізі - шаршы).

3. Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың биіктігі табанының диагональдарының қиылысу нүктесіне түседі (негізі дұрыс алтыбұрыш).

4. Пирамиданың биіктігі табанында жатқан кез келген түзуге перпендикуляр.

Анықтама

пирамида деп аталады тікбұрыштыегер оның бүйір қырларының бірі табан жазықтығына перпендикуляр болса.

Маңызды ескертулер

1. Тік бұрышты пирамиданың табанына перпендикуляр жиегі пирамиданың биіктігіне тең. Яғни, \ (SR \) - биіктік.

2. Өйткені \ (SR \) табанынан кез келген түзуге перпендикуляр болса, онда \ (\ SRM үшбұрышы, \ SRP үшбұрышы \)- тік бұрышты үшбұрыштар.

3. Үшбұрыштар \ (\ SRN үшбұрышы, \ SRK үшбұрышы \)- сонымен қатар төртбұрышты.
Яғни, осы жиектен тұратын кез келген үшбұрыш және осы жиектің табанында жатқан шыңынан созылған диагональ тікбұрышты болады.

\ [(\ Үлкен (\ мәтін (Пирамиданың көлемі мен бетінің ауданы))) \]

Теорема

Пирамиданың көлемі пирамида биіктігіне табанының ауданы көбейтіндісінің үштен біріне тең: \

Салдары

\ (a \) табан жағы, \ (h \) пирамида биіктігі болсын.

1. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың көлемі тең \ (V _ (\ мәтін (оң жақ үшбұрышты пир.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2сағ \),

2. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемі тең \ (V _ (\ мәтін (оң жақ төрт пир.)) = \ Dfrac13a ^ 2сағ \).

3. Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың көлемі тең \ (V _ (\ мәтін (оң жақ он алтылық)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2сағ \).

4. Дұрыс тетраэдрдің көлемі \ (V _ (\ мәтін (оң жақ тет.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).

Теорема

Тұрақты пирамиданың бүйір бетінің ауданы апотема бойынша негіз периметрінің жарты өніміне тең.

\ [(\ Үлкен (\ мәтін (Қиық пирамида))) \]

Анықтама

Еркін пирамиданы қарастырайық \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \). Пирамиданың бүйір жиегінде жатқан нүкте арқылы пирамида табанына параллель жазықтық жүргізейік. Бұл жазықтық пирамиданы екі полиэдрге бөледі, олардың бірі пирамида (\ (PB_1B_2 ... B_n \)), ал екіншісі деп аталады. кесілген пирамида(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).

Қиық пирамиданың екі негізі бар - көпбұрыштар \ (A_1A_2 ... A_n \) және \ (B_1B_2 ... B_n \), олар бір-біріне ұқсас.

Қиық пирамиданың биіктігі - бұл жоғарғы табанның қандай да бір нүктесінен төменгі табан жазықтығына жүргізілген перпендикуляр.

Маңызды ескертулер

1. Кесілген пирамиданың барлық бүйір беттері трапециялар.

2. Дұрыс қиық пирамиданың (яғни дұрыс пирамиданы кесу арқылы алынған пирамида) табандарының центрлерін қосатын кесінді - биіктік.

Пирамида – табанында көпбұрышы бар көпбұрыш. Барлық беттер өз кезегінде бір төбеде жиналатын үшбұрыштарды құрайды. Пирамидалар үшбұрышты, төртбұрышты және т.б. Сіздің алдыңызда қай пирамида екенін анықтау үшін оның негізіндегі бұрыштардың санын санау жеткілікті. «Пирамида биіктігі» анықтамасы мектеп бағдарламасындағы геометриялық есептер өте жиі кездеседі. Бұл мақалада біз оны табудың әртүрлі жолдарын қарастыруға тырысамыз.

Пирамиданың бөліктері

Әрбір пирамида келесі элементтерден тұрады:

• бүйірлік беттер, олардың үш бұрышы бар және жоғарғы жағында біріктіріледі;
• апотема – оның төбесінен түсетін биіктік;
• пирамиданың үстіңгі жағы – бүйірлік жиектерді қосатын, бірақ табан жазықтығында жатпайтын нүкте;
• негізі – төбесі жоқ көпбұрыш;
• пирамиданың биіктігі - пирамиданың төбесін кесіп өтетін және оның табанымен тік бұрыш жасайтын кесінді.

Пирамиданың көлемі белгілі болса, оның биіктігін қалай табуға болады

V = (S * h) / 3 формуласы арқылы (V формуласында - көлем, S - табанның ауданы, h - пирамида биіктігі), h = (3 * V) екенін табамыз. / С. Материалды бекіту үшін мәселені бірден шешейік. Үшбұрыштың негізі 50 см 2, ал оның көлемі 125 см 3. Үшбұрышты пирамиданың биіктігі белгісіз, оны табуымыз керек. Мұнда бәрі қарапайым: біз деректерді формулаға енгіземіз. Біз h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см аламыз.

Пирамиданың биіктігін қалай табуға болады, егер сіз диагональ мен оның шеттерінің ұзындығын білсеңіз

Біздің есімізде, пирамиданың биіктігі оның табанымен тік бұрыш жасайды. Ал бұл диагональдың биіктігі, шеті және жартысы бірге түзілетінін білдіреді.Әрине, көпшілігі Пифагор теоремасын есте сақтайды. Екі өлшемді біле отырып, үшінші шаманы табу қиын болмайды. Белгілі а² = b² + c² теоремасын еске түсірейік, мұндағы a - гипотенуза, ал біздің жағдайда пирамиданың шеті; b - бірінші катет немесе диагональдың жартысы және с - сәйкесінше екінші катет немесе пирамида биіктігі. Осы формуладан c² = a² - b².

Енді мәселе: кәдімгі пирамидада диагональ 20 см, қабырғаның ұзындығы 30 см.Биіктікті табу керек. Шешеміз: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Демек, c = √ 500 = шамамен 22,4.

Қиық пирамиданың биіктігін қалай табуға болады

Бұл табанына параллель көлденең қимасы бар көпбұрыш. Қиық пирамиданың биіктігі оның екі табанын қосатын сызық кесіндісі болып табылады. Тұрақты пирамида үшін биіктікті табуға болады, егер екі табанның диагональдарының ұзындықтары белгілі болса, сонымен қатар пирамиданың шеті. Үлкен табанның диагоналы d1, ал кіші табанының диагоналы d2, ал жиегі ұзындығы l болсын. Биіктікті табу үшін диаграмманың екі жоғарғы қарама-қарсы нүктесінен оның табанына дейін биіктіктерді төмендетуге болады. Бізде екі тік бұрышты үшбұрыш бар екенін көреміз, олардың аяқтарының ұзындықтарын табу керек. Ол үшін үлкен диагональдан кішісін алып, 2-ге бөлеміз. Сонымен бір катетті табамыз: a = (d1-d2) / 2. Осыдан кейін Пифагор теоремасы бойынша пирамиданың биіктігі болатын екінші катетті ғана табу керек.

Енді іс жүзінде барлығын қарастырайық. Біздің алдымызда тапсырма бар. Қиық пирамиданың табанында шаршы бар, үлкен табанының диагоналінің ұзындығы 10 см, ал кішісі 6 см, шеті 4 см.Биіктікті табу керек. Бастау үшін бір аяқты табамыз: a = (10-6) / 2 = 2 см.Бір аяғы 2 см, ал гипотенузасы 4 см.Екінші катет немесе биіктік 16-4 болады = 12, яғни h = √12 = шамамен 3,5 см.