Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
Өте «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендер үшін)
Ең алдымен, «Синус және косинус дегеніміз не? Тангенс және котангенс деген не?» сабағынан қарапайым, бірақ өте пайдалы қорытындыны еске сала кетейін.
Бұл шығыс:
Синус, косинус, тангенс және котангенс олардың бұрыштарымен тығыз байланысты. Біз бір нәрсені білеміз, яғни басқа нәрсені білеміз.
Басқаша айтқанда, әрбір бұрыштың өзінің тұрақты синусы мен косинусы болады. Әркімнің дерлік өз тангенсі мен котангенсі болады. Неліктен дерлік?Бұл туралы төменде толығырақ.
Бұл білім сіздің оқуыңызға көп көмектеседі! Синустардан бұрыштарға және керісінше өту керек көптеген тапсырмалар бар. Бұл үшін бар синустар кестесі.Сол сияқты, косинус бар тапсырмалар үшін - косинус кестесі.Және, сіз болжағандай, бар жанама кестесіЖәне котангенттер кестесі.)
Кестелер әртүрлі. Ұзындары, нені көруге болады, айталық, sin37°6’ тең. Біз Bradis кестелерін ашамыз, алты минуттық отыз жеті градус бұрышты іздейміз және 0,6032 мәнін көреміз. Бұл санды (және мыңдаған басқа кесте мәндерін) есте сақтаудың қажеті жоқ екені анық.
Шындығында, біздің уақытымызда косинустардың, синустардың, тангенстердің, котангенстердің ұзын кестелері шынымен қажет емес. Бір жақсы калькулятор оларды толығымен ауыстырады. Бірақ мұндай кестелердің бар екенін білу зиян емес. Жалпы эрудиция үшін.)
Ал неге бұл сабақ?! - сен сұрадың.
Бірақ неге. Бұрыштардың шексіз санының арасында бар арнайы,ол туралы білу керек Барлық. Барлық мектеп геометриясы мен тригонометриясы осы бұрыштарға салынған. Бұл тригонометрияның «көбейту кестесінің» бір түрі. Егер сіз sin50° не тең екенін білмесеңіз, мысалы, сізді ешкім бағаламайды.) Бірақ егер сіз sin30° неге тең екенін білмесеңіз, лайықты екі алуға дайын болыңыз...
Мұндай арнайыБұрыштары да өте жақсы. Мектеп оқулықтары әдетте есте сақтауды ұсынады синустар кестесі және косинустар кестесіон жеті бұрыш үшін. Және, әрине, тангенс кестесі және котангенс кестесібірдей он жеті бұрыш үшін... яғни. 68 мәнді есте сақтау ұсынылады. Айтпақшы, бір-біріне өте ұқсас, кейде қайталанып, белгілерді өзгертеді. Мінсіз көру жадысы жоқ адам үшін бұл өте қиын міндет...)
Біз басқа жолмен жүреміз. Есте сақтауды логика мен тапқырлыққа ауыстырайық. Содан кейін синустар кестесі мен косинустар кестесі үшін 3 (үш!) мәнді есте сақтауымыз керек. Жанама және котангенс кестесі үшін 3 (үш!) мән. Болды. 68-ге қарағанда алты мәнді есте сақтау оңай, меніңше...)
Біз осы алтыдан басқа барлық қажетті мәндерді күшті заңды парағының көмегімен аламыз - тригонометриялық шеңбер. Егер сіз бұл тақырыпты зерттемеген болсаңыз, сілтемеге өтіңіз, жалқау болмаңыз. Бұл шеңбер тек осы сабаққа қажет емес. Ол таптырмас барлық тригонометрия үшін бірден. Мұндай құралды қолданбау - бұл күнә! Сен қаламайсын? Бұл сіздің шаруаңыз. Есте сақтау синустар кестесі. Косинустар кестесі. Тангенстердің кестесі. Котангенттер кестесі.Әр түрлі бұрыштар үшін барлық 68 мән.)
Сонымен, бастайық. Алдымен осы ерекше бұрыштардың барлығын үш топқа бөлейік.
Бұрыштардың бірінші тобы.
Бірінші топты қарастырайық он жеті бұрыш арнайы. Бұл 5 бұрыш: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Бұл бұрыштар үшін синустар, косинустар, тангенстер және котангенстер кестесі осылай көрінеді:
Бұрыш x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Бұрыш x
|
0 |
||||
күнә x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
тг x |
0 |
зат есім |
0 |
зат есім |
0 |
ctg x |
зат есім |
0 |
зат есім |
0 |
зат есім |
Есте сақтағысы келетіндер есте сақтасын. Бірақ мен бірден айтайын, бұл сандар мен нөлдердің бәрі бастың ішінде шатасады. Сіз қалағаныңыздан әлдеқайда күшті.) Сондықтан біз логика мен тригонометриялық шеңберді қосамыз.
Біз шеңбер сызып, оған бірдей бұрыштарды белгілейміз: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Мен бұл бұрыштарды қызыл нүктелермен белгіледім:
Бұл бұрыштардың ерекшелігі неде екені бірден байқалады. Иә! Бұл құлайтын бұрыштар дәл координат осінде!Шынында да, адамдар шатасып жатады... Бірақ біз шатастырмаймыз. Көп жаттаусыз осы бұрыштардың тригонометриялық функцияларын қалай табуға болатынын анықтап көрейік.
Айтпақшы, бұрыштың орналасуы 0 градус толығымен сәйкес келеді 360 градус бұрыштық позициямен. Бұл осы бұрыштардың синусы, косинусы және жанамалары дәл бірдей дегенді білдіреді. Шеңберді аяқтау үшін 360 градус бұрышты белгіледім.
Бірыңғай мемлекеттік емтиханның қиын күйзеліс жағдайында сіз әйтеуір күмәндандыңыз делік... 0 градустың синусы қандай? Нөл сияқты... Бір болса ше?! Механикалық жаттау - осындай нәрсе. Қатаң жағдайда күмән кеми бастайды...)
Тыныштық, жай ғана тыныштық!) Мен сізге 100% дұрыс жауап беретін және барлық күмәнді толығымен алып тастайтын практикалық әдістемені айтамын.
Мысал ретінде, айталық, 0 градус синусын анық және сенімді түрде қалай анықтау керектігін анықтайық. Сонымен қатар, косинус 0. Дәл осы мәндерде адамдар жиі шатастырады.
Ол үшін шеңберге сурет салу керек еріктібұрыш X. Бірінші тоқсанда 0 градусқа жақын болды. Осы бұрыштың синусы мен косинусын осьтерге белгілейік X,бәрі жақсы. Бұл сияқты:
Ал енді - назар аударыңыз! Бұрышты азайтайық X, қозғалатын жағын оське жақындатыңыз OH. Курсорды суреттің үстіне апарыңыз (немесе планшеттегі суретті түртіңіз) және сіз бәрін көресіз.
Енді қарапайым логиканы қосайық!Қарап, ойланайық: x бұрышы азайған кезде синкс қалай әрекет етеді? Бұрыш нөлге жақындағанда?Ол азайып барады! Және cosx артады!Бұрыш толығымен құлаған кезде синусқа не болатынын анықтау қалады? Бұрыштың қозғалмалы жағы (А нүктесі) қай кезде OX осіне отырады және бұрыш нөлге тең болады? Бұрыштың синусы нөлге түсетіні анық. Ал косинусы... дейін өседі. Бұрыштың қозғалатын жағының ұзындығы (тригонометриялық шеңбердің радиусы) неге тең? Бір!
Міне, жауап. 0 градустың синусы 0-ге тең. 0 градустың косинусы 1-ге тең. Абсолютті темірмен қапталған және ешқандай күмәнсіз!) Қарапайым, өйткені басқаша болуы мүмкін емес.
Дәл осылай, мысалы, 270 градус синусын білуге (немесе нақтылауға) болады. Немесе косинус 180. Шеңбер сызыңыз, еріктіБізді қызықтыратын координат осінің жанындағы төрттен бір бұрышта бұрыштың жағын ойша жылжытыңыз және бұрыштың бүйір жағы оське түскенде синусы мен косинусының қандай болатынын түсініңіз. Осымен болды.
Көріп отырғаныңыздай, бұл бұрыштар тобы үшін ештеңені есте сақтаудың қажеті жоқ. Мұнда қажет емес синустар кестесі...Иә және косинус кестесі- да.) Айтпақшы, тригонометриялық шеңберді бірнеше рет қолданғаннан кейін бұл мәндердің барлығы өздігінен есте қалады. Ал ұмытып қалса, 5 секундта шеңбер сызып, нақтыладым. Досыңызды дәретханадан шақырып, сертификатыңызды қатерге тігуден әлдеқайда оңай, солай емес пе?)
Тангенс пен котангенске келетін болсақ, бәрі бірдей. Шеңберге жанама (котангенс) сызығын саламыз - және бәрі бірден көрінеді. Олар нөлге тең және олар жоқ жерде. Не, сіз жанама және котангенс түзулерін білмейсіз бе? Бұл өкінішті, бірақ түзетіледі.) Біз 555-бөлімге тригонометриялық шеңбердегі тангенс пен котангенске бардық - және ешқандай проблемалар жоқ!
Егер сіз осы бес бұрыш үшін синусты, косинусты, тангенсті және котангенсті қалай нақты анықтау керектігін түсінсеңіз, құттықтаймыз! Қалай болғанда да, мен сізге енді функцияларды анықтауға болатынын хабарлаймын осьтерге түсетін кез келген бұрыштар.Және бұл 450°, және 540°, және 1800° және басқаларының шексіз саны...) Мен шеңбердегі бұрышты санадым (дұрыс!) - және функциялармен ешқандай проблемалар жоқ.
Бірақ дәл бұрыштарды өлшеу кезінде мәселелер мен қателіктер туындайды... Оларды болдырмаудың жолдары сабақта жазылған: Тригонометриялық шеңберге кез келген бұрышты градуспен қалай салу (санау) керек. Бастауыш, бірақ қателіктермен күресуде өте пайдалы.)
Міне, сабақ: Тригонометриялық шеңберге кез келген бұрышты радианмен қалай салуға (өлшеуге) болады - бұл салқынырақ болады. Мүмкіндіктер тұрғысынан. Айталық, бұрыш төрт жарты осьтің қайсысына түсетінін анықтаңыз
сіз мұны бірнеше секундта жасай аласыз. Мен қалжыңдап тұрған жоқпын! Бір-екі секундта. Әрине, тек 345 пи емес...) Және 121, және 16, және -1345. Кез келген бүтін коэффициент жылдам жауап беруге жарамды.
Ал бұрыш болса
Тек ойлан! Дұрыс жауап 10 секундта алынады.Бөлгішінде екі бар радиандардың кез келген бөлшек мәні үшін.
Шын мәнінде, бұл тригонометриялық шеңбердің жақсы жағы. Өйткені онымен жұмыс істей білу кейбірбұрыштары автоматты түрде кеңейеді шексіз жиынбұрыштар
Сонымен, біз он жеті бұрыштың бес бұрышын таңдадық.
Бұрыштардың екінші тобы.
Бұрыштардың келесі тобына 30°, 45° және 60° бұрыштар жатады. Неліктен дәл осылар, мысалы, 20, 50 және 80 емес? Иә, әйтеуір солай болып шықты... Тарихи.) Бұл бұрыштардың неліктен жақсы екені әрі қарай көрінеді.
Осы бұрыштар үшін синустар косинустар котангенстерінің кестесі келесідей:
Бұрыш x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Бұрыш x
|
0 |
||||
күнә x |
0 |
1 |
|||
cos x |
1 |
0 |
|||
тг x |
0 |
1 |
зат есім |
||
ctg x |
зат есім |
1 |
0 |
Суретті аяқтау үшін алдыңғы кестеден 0° және 90° мәндерін қалдырдым.) Бұл бұрыштардың бірінші ширекте жатқанын және өсетінін көру үшін. 0-ден 90-ға дейін. Бұл кейінірек бізге пайдалы болады.
30°, 45° және 60° бұрыштары үшін кесте мәндерін есте сақтау қажет. Қаласаңыз жаттап алыңыз. Бірақ мұнда да өміріңізді жеңілдетуге мүмкіндік бар.) Назар аударыңыз синус кестесінің мәндерібұл бұрыштар. Және салыстырыңыз косинус кестесінің мәндері...
Иә! Олар бірдей!Тек кері тәртіпте орналастырылған. Бұрыштардың ұлғаюы (0, 30, 45, 60, 90) - және синус мәндері арттыру 0-ден 1-ге дейін. Калькулятор арқылы тексеруге болады. Ал косинус мәндері азайып келеді 1-ден нөлге дейін. Оның үстіне, өздерін бағалайды бірдей. 20, 50, 80 бұрыштары үшін бұл жұмыс істемейді...
Бұл пайдалы қорытынды. Үйрену жеткілікті үш 30, 45, 60 градус бұрыштары үшін мәндер. Және есіңізде болсын, олар синус үшін артады, ал косинус үшін олар азаяды. Синусқа қарай.) Олар жарты жолда (45°) кездеседі, яғни 45 градустық синусы 45 градустық косинусқа тең. Содан кейін олар қайтадан алшақтайды ... Үш мағынаны білуге болады, солай ма?
Тангенстер - котангенстермен сурет дәл солай болады. Бірге бір. Тек мағыналары әртүрлі. Бұл құндылықтарды (тағы үшеу!) де үйрену керек.
Міне, жаттаудың барлығы дерлік аяқталды. Сіз оське түсетін бес бұрыштың мәндерін қалай анықтау керектігін түсіндіңіз және 30, 45, 60 градус бұрыштарының мәндерін білдіңіз (үміттенеміз). Барлығы 8.
9 бұрыштан тұратын соңғы топпен күресу қалды.
Бұл бұрыштар:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Бұл бұрыштар үшін синустар кестесін, косинустар кестесін және т.б.
Қорқыныш, иә?)
Егер сіз мұнда бұрыштарды қоссаңыз, мысалы: 405 °, 600 ° немесе 3000 ° және көптеген, көптеген бірдей әдемі?)
Немесе радиандағы бұрыштар ма? Мысалы, бұрыштар туралы:
және басқа да көптеген нәрселерді білуіңіз керек Барлық.
Ең қызығы - мұны білу Барлық - принципі бойынша мүмкін емес.Механикалық жадты пайдалансаңыз.
Бұл өте оңай, шын мәнінде қарапайым - егер сіз тригонометриялық шеңберді қолдансаңыз. Тригонометриялық шеңбермен жұмыс істеуді үйренгеннен кейін, градустардағы барлық қорқынышты бұрыштарды ескі сәнге оңай және әдемі түрде азайтуға болады:
Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)
Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)
Функциялармен және туындылармен танысуға болады.
Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () ұғымдары бұрыш ұғымымен тығыз байланысты. Бұларды, бір қарағанда, күрделі ұғымдарды (көптеген мектеп оқушыларының үрейін туғызатын) жақсы түсіну үшін және «шайтан боялғандай сұмдық емес» екеніне көз жеткізу үшін, ең алдымен, «шайтанның өзі боялғандай қорқынышты емес» екеніне көз жеткізу үшін, ең алдымен, «шайтанның өзі боялғандай қорқынышты емес» екеніне көз жеткізіңіз. өте бастау және бұрыш ұғымын түсіну.
Бұрыш ұғымы: радиан, градус
Суретке қарайық. Вектор нүктеге қатысты белгілі бір шамаға «бұрылды». Осылайша, бұл айналудың бастапқы позицияға қатысты өлшемі болады бұрыш.
Бұрыш ұғымы туралы тағы не білу керек? Әрине, бұрыш бірліктері!
Геометрияда да, тригонометрияда да бұрышты градуспен және радианмен өлшеуге болады.
Бұрыш (бір градус) - шеңбердің бір бөлігіне тең шеңбер доғасы бар шеңбердегі орталық бұрыш. Осылайша, бүкіл шеңбер дөңгелек доғалардың «кесектерінен» тұрады немесе шеңбермен сипатталған бұрыш тең.
Яғни, жоғарыдағы суретте тең бұрыш көрсетілген, яғни бұл бұрыш шеңбердің өлшеміне тең дөңгелек доғаға тіреледі.
Радиандағы бұрыш – ұзындығы шеңбердің радиусына тең шеңбер доғасымен қамтылған шеңбердегі орталық бұрыш. Ал, сіз оны түсіндіңіз бе? Егер жоқ болса, оны сызбадан анықтайық.
Сонымен, суретте радианға тең бұрыш көрсетілген, яғни бұл бұрыш дөңгелек доғаға тіреледі, оның ұзындығы шеңбердің радиусына тең (ұзындығы ұзындыққа тең немесе радиусы тең доғаның ұзындығы). Осылайша, доғаның ұзындығы мына формула бойынша есептеледі:
Радиандағы орталық бұрыш қай жерде.
Ал, мұны біле тұра, шеңбермен сипатталған бұрышта қанша радиан бар деп жауап бере аласыз ба? Иә, ол үшін шеңбер формуласын есте сақтау керек. Міне ол:
Енді осы екі формуланы корреляциялап, шеңбермен сипатталған бұрыштың тең екенін табайық. Яғни, градус пен радиандағы мәнді корреляциялау арқылы біз оны аламыз. Сәйкесінше, . Көріп отырғаныңыздай, «градустардан» айырмашылығы, «радиан» сөзі алынып тасталады, өйткені өлшем бірлігі әдетте контекстен анық.
Неше радиан бар? Барлығы дұрыс!
Түсіндім? Содан кейін жалғастырыңыз және оны түзетіңіз:
Қиындықтар бар ма? Содан кейін қараңыз жауаптар:
Тікбұрышты үшбұрыш: синус, косинус, тангенс, бұрыш котангенсі
Сонымен, біз бұрыш ұғымын анықтадық. Бірақ бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі дегеніміз не? Оны анықтап көрейік. Мұны істеу үшін бізге тікбұрышты үшбұрыш көмектеседі.
Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары қалай аталады? Бұл дұрыс, гипотенуза және аяқтар: гипотенуза - тік бұрышқа қарама-қарсы жатқан жағы (біздің мысалда бұл жағы); аяқтар - қалған екі жақ және (тік бұрышқа іргелес жатқандар), ал егер бұрышқа қатысты аяқтарды қарастырсақ, онда аяқ - көршілес аяқ, ал аяқ - керісінше. Сонымен, енді сұраққа жауап берейік: бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі дегеніміз не?
Бұрыш синусы- бұл қарама-қарсы (алыс) аяқтың гипотенузаға қатынасы.
Біздің үшбұрышта.
Бұрыш косинусы- бұл көршілес (жақын) аяқтың гипотенузаға қатынасы.
Біздің үшбұрышта.
Бұрыштың тангенсі- бұл қарама-қарсы (алыс) жақтың көрші (жақын) жағына қатынасы.
Біздің үшбұрышта.
Бұрыш котангенсі- бұл іргелес (жақын) аяқтың қарама-қарсы (алыс) қатынасы.
Біздің үшбұрышта.
Бұл анықтамалар қажет есте сақтаңыз! Қай аяқты неге бөлу керектігін есте сақтауды жеңілдету үшін сіз оны нақты түсінуіңіз керек жанамаЖәне котангенстек аяқтары отырады, ал гипотенуза тек ішінде көрінеді синусЖәне косинус. Содан кейін сіз қауымдастықтар тізбегін ойлап таба аласыз. Мысалы, мынау:
Косинус→түрту→түрту→іргелес;
Котангенс→түртіңіз→түртіңіз→іргелес.
Ең алдымен, синус, косинус, тангенс және котангенс үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы осы қабырғалардың ұзындықтарына (бір бұрышта) тәуелді емес екенін есте ұстаған жөн. Сенбейсің бе? Содан кейін суретке қарап көз жеткізіңіз:
Мысалы, бұрыштың косинусын қарастырайық. Анықтау бойынша үшбұрыштан: , бірақ үшбұрыштан бұрыштың косинусын есептей аламыз: . Көрдіңіз бе, қабырғалардың ұзындықтары әртүрлі, бірақ бір бұрыштың косинусының мәні бірдей. Осылайша, синус, косинус, тангенс және котангенс мәндері тек бұрыштың шамасына байланысты.
Егер сіз анықтамаларды түсінсеңіз, жалғастырыңыз және оларды біріктіріңіз!
Төмендегі суретте көрсетілген үшбұрыш үшін біз табамыз.
Ал, сіз оны алдыңыз ба? Содан кейін өзіңіз көріңіз: бұрыш үшін бірдей есептеңіз.
Бірлік (тригонометриялық) шеңбер
Градус және радиан ұғымдарын түсіне отырып, радиусы тең шеңберді қарастырдық. Мұндай шеңбер деп аталады бойдақ. Бұл тригонометрияны оқығанда өте пайдалы болады. Сондықтан, оны аздап толығырақ қарастырайық.
Көріп отырғаныңыздай, бұл шеңбер декарттық координаталар жүйесінде салынған. Шеңбердің радиусы біреуге тең, ал шеңбердің центрі координаталар басында жатса, радиус векторының бастапқы орны осьтің оң бағыты бойынша бекітілген (біздің мысалда бұл радиус).
Шеңбердегі әрбір нүкте екі санға сәйкес келеді: ось координатасы және ось координатасы. Бұл координаталық сандар қандай? Ал жалпы олардың талқыланатын тақырыпқа қандай қатысы бар? Ол үшін қарастырылған тікбұрышты үшбұрыш туралы есте сақтау керек. Жоғарыдағы суретте сіз екі толық тікбұрышты үшбұрышты көре аласыз. Үшбұрышты қарастырайық. Ол тік бұрышты, өйткені ол оське перпендикуляр.
Үшбұрыш неге тең? Барлығы дұрыс. Сонымен қатар, біз бұл бірлік шеңбердің радиусы екенін білеміз, яғни . Осы мәнді косинус формуласына ауыстырайық. Не болады:
Үшбұрыш неге тең? Әрине, ! Осы формулаға радиус мәнін қойып, мынаны алыңыз:
Сонымен, шеңберге жататын нүктенің координаталары қандай екенін айта аласыз ба? Амал жоқ па? Егер сіз мұны түсінсеңіз және жай сандар болса ше? Ол қай координатаға сәйкес келеді? Әрине, координаттар! Және ол қандай координатаға сәйкес келеді? Дұрыс, координаттар! Осылайша, кезең.
Сонда не және не тең? Дұрыс, тангенс пен котангенстің сәйкес анықтамаларын қолданып, мынаны алайық, а.
Бұрыш үлкенірек болса ше? Мысалы, мына суреттегідей:
Бұл мысалда не өзгерді? Оны анықтап көрейік. Ол үшін қайтадан тікбұрышты үшбұрышқа бұрылайық. Тік бұрышты үшбұрышты қарастырайық: бұрыш (бұрышқа іргелес). Бұрыш үшін синус, косинус, тангенс және котангенстің мәндері қандай? Дұрыс, біз тригонометриялық функциялардың сәйкес анықтамаларын ұстанамыз:
Көріп отырғаныңыздай, бұрыштың синусының мәні әлі де координатаға сәйкес келеді; бұрыштың косинусының мәні – координатасы; және сәйкес қатынасқа жанама мен котангенс мәндері. Осылайша, бұл қатынастар радиус векторының кез келген айналуына қолданылады.
Радиус векторының бастапқы орны осьтің оң бағытының бойында екендігі жоғарыда айтылған. Осы уақытқа дейін біз бұл векторды сағат тіліне қарсы айналдырдық, бірақ оны сағат тілімен бұрсақ не болады? Ерекше ештеңе жоқ, сіз белгілі бір мәннің бұрышын аласыз, бірақ ол тек теріс болады. Осылайша, радиус векторын сағат тіліне қарсы айналдырғанда, біз аламыз оң бұрыштар, ал сағат тілімен айналдырғанда - теріс.
Сонымен, біз радиус векторының шеңбер айналасындағы тұтас революциясы немесе екенін білеміз. Радиус векторын бұруға немесе бұруға болады ма? Әрине, мүмкін! Бірінші жағдайда, сондықтан радиус векторы бір толық айналым жасайды және немесе орнында тоқтайды.
Екінші жағдайда, яғни радиус векторы үш толық айналым жасайды және немесе орнында тоқтайды.
Сонымен, жоғарыда келтірілген мысалдардан немесе айырмашылығы бар бұрыштар (мұндағы кез келген бүтін сан) радиус векторының бірдей орнына сәйкес келеді деген қорытынды жасауға болады.
Төмендегі сурет бұрышты көрсетеді. Сол сурет бұрышқа сәйкес келеді және т.б. Бұл тізімді шексіз жалғастыруға болады. Бұл бұрыштардың барлығын жалпы формуламен немесе (мұндағы кез келген бүтін сан) жазуға болады.
Енді негізгі тригонометриялық функциялардың анықтамаларын біле отырып және бірлік шеңберін пайдалана отырып, мәндер қандай екеніне жауап беруге тырысыңыз:
Мұнда сізге көмектесетін бірлік шеңбері берілген:
Қиындықтар бар ма? Сосын анықтап көрейік. Сондықтан біз білеміз:
Осы жерден белгілі бір бұрыш өлшемдеріне сәйкес нүктелердің координаталарын анықтаймыз. Ал, ретімен бастайық: бұрыш координаттары бар нүктеге сәйкес келеді, сондықтан:
Жоқ;
Әрі қарай, сол логикаға сүйене отырып, біз бұрыштардың сәйкесінше координаттары бар нүктелерге сәйкес келетінін анықтаймыз. Мұны біле отырып, сәйкес нүктелердегі тригонометриялық функциялардың мәндерін анықтау оңай. Алдымен өзіңіз көріңіз, содан кейін жауаптарды тексеріңіз.
Жауаптары:
Жоқ
Жоқ
Жоқ
Жоқ
Осылайша, біз келесі кестені жасай аламыз:
Бұл құндылықтардың барлығын есте сақтаудың қажеті жоқ. Бірлік шеңбердегі нүктелердің координаталары мен тригонометриялық функциялардың мәндері арасындағы сәйкестікті есте сақтау жеткілікті:
Бірақ бұрыштардың тригонометриялық функцияларының мәндері және төмендегі кестеде берілген, есте сақтау керек:
Қорықпаңыз, енді біз сізге бір мысал көрсетеміз сәйкес мәндерді есте сақтау өте қарапайым:
Бұл әдісті қолдану үшін бұрыштың барлық үш өлшемі үшін синустың мәндерін (), сондай-ақ бұрыштың тангенсінің мәнін есте сақтау өте маңызды. Осы мәндерді біле отырып, бүкіл кестені қалпына келтіру өте қарапайым - косинус мәндері көрсеткілерге сәйкес тасымалданады, яғни:
Мұны біле отырып, сіз үшін мәндерді қалпына келтіруге болады. « » алымы сәйкес келеді, ал бөлгіш « » сәйкес келеді. Котангенс мәндері суретте көрсетілген көрсеткілерге сәйкес тасымалданады. Егер сіз мұны түсінсеңіз және көрсеткілері бар диаграмманы есте сақтасаңыз, кестедегі барлық мәндерді есте сақтау жеткілікті болады.
Шеңбердегі нүктенің координаталары
Шеңбердегі нүктені (оның координатасын) табуға болады ма? шеңбер центрінің координаталарын, оның радиусын және айналу бұрышын білу?
Әрине, мүмкін! Шығарайық нүктенің координаталарын табудың жалпы формуласы.
Мысалы, біздің алдымызда шеңбер бар:
Бізге нүктенің шеңбердің центрі екендігі берілген. Шеңбердің радиусы тең. Нүктені градусқа айналдыру арқылы алынған нүктенің координаталарын табу керек.
Суреттен көрініп тұрғандай, нүктенің координатасы кесіндінің ұзындығына сәйкес келеді. Кесіндінің ұзындығы шеңбер центрінің координатасына сәйкес келеді, яғни ол тең. Кесіндінің ұзындығын косинус анықтамасы арқылы көрсетуге болады:
Содан кейін бізде нүкте координатасы бар.
Сол логиканы пайдаланып нүктенің у координаталық мәнін табамыз. Осылайша,
Сонымен, жалпы нүктелердің координаталары мына формулалармен анықталады:
Шеңбер центрінің координаталары,
Шеңбер радиусы,
Вектор радиусының айналу бұрышы.
Көріп отырғаныңыздай, біз қарастырып отырған бірлік шеңбері үшін бұл формулалар айтарлықтай азаяды, өйткені центрдің координаталары нөлге тең және радиусы бірге тең:
Қане, шеңбердегі нүктелерді табуға жаттықтыру арқылы мына формулаларды қолданып көрейік?
1. Нүктені айналдыру арқылы алынған бірлік шеңбердегі нүктенің координаталарын табыңыз.
2. Нүктені айналдыру арқылы алынған бірлік шеңбердегі нүктенің координаталарын табыңыз.
3. Нүктені айналдыру арқылы алынған бірлік шеңбердегі нүктенің координаталарын табыңыз.
4. Нүкте – шеңбердің центрі. Шеңбердің радиусы тең. Бастапқы радиус векторын айналдыру арқылы алынған нүктенің координаталарын табу керек.
5. Нүкте – шеңбердің центрі. Шеңбердің радиусы тең. Бастапқы радиус векторын айналдыру арқылы алынған нүктенің координаталарын табу керек.
Шеңбердегі нүктенің координаталарын табу қиын ба?
Осы бес мысалды шешіңіз (немесе оларды шешуде шебер болыңыз) және сіз оларды табуды үйренесіз!
1.
Сіз мұны байқай аласыз. Бірақ біз бастапқы нүктенің толық революциясына не сәйкес келетінін білеміз. Осылайша, қалаған нүкте бұрылу кезіндегідей күйде болады. Осыны біле отырып, нүктенің қажетті координаталарын табамыз:
2. Бірлік шеңбері нүктеде центрленген, яғни біз жеңілдетілген формулаларды пайдалана аламыз:
Сіз мұны байқай аласыз. Біз бастапқы нүктенің екі толық айналымына не сәйкес келетінін білеміз. Осылайша, қалаған нүкте бұрылу кезіндегідей күйде болады. Осыны біле отырып, нүктенің қажетті координаталарын табамыз:
Синус және косинус кестелік мәндер болып табылады. Біз олардың мағыналарын еске түсіреміз және аламыз:
Осылайша, қажетті нүктенің координаттары болады.
3. Бірлік шеңбері нүктеде центрленген, яғни біз жеңілдетілген формулаларды пайдалана аламыз:
Сіз мұны байқай аласыз. Келтірілген мысалды суретте көрсетейік:
Радиус бұрыштарды осіне тең және осіне тең етеді. Косинус пен синустың кестелік мәндері тең екенін біле отырып, мұндағы косинус теріс мәнді, ал синус оң мәнді қабылдайтынын анықтай отырып, бізде:
Мұндай мысалдар тақырыптағы тригонометриялық функцияларды азайту формулаларын оқу кезінде толығырақ қарастырылады.
Осылайша, қажетті нүктенің координаттары болады.
4.
Вектор радиусының айналу бұрышы (шарт бойынша)
Синус пен косинустың сәйкес белгілерін анықтау үшін бірлік шеңбер мен бұрышты саламыз:
Көріп отырғаныңыздай, мән, яғни оң, ал мән, яғни теріс. Сәйкес тригонометриялық функциялардың кестелік мәндерін біле отырып, біз мынаны аламыз:
Алынған мәндерді формуламызға қойып, координаталарды табайық:
Осылайша, қажетті нүктенің координаттары болады.
5. Бұл мәселені шешу үшін формулаларды жалпы түрде қолданамыз, мұнда
Шеңбер центрінің координаталары (біздің мысалда,
Шеңбер радиусы (шарт бойынша)
Вектор радиусының айналу бұрышы (шарт бойынша).
Барлық мәндерді формулаға қойып, мынаны аламыз:
және - кесте мәндері. Еске түсіріп, оларды формулаға ауыстырайық:
Осылайша, қажетті нүктенің координаттары болады.
ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАР
Бұрыштың синусы – қарама-қарсы (алыс) катеттің гипотенузаға қатынасы.
Бұрыштың косинусы - көршілес (жақын) катеттің гипотенузаға қатынасы.
Бұрыштың тангенсі – қарама-қарсы (алыс) жақтың көрші (жақын) қабырғаға қатынасы.
Бұрыштың котангенсі деп көрші (жақын) жақтың қарама-қарсы (алыс) жағына қатынасын айтады.
0, 30, 45, 60, 90, ... градус бұрыштары үшін негізгі тригонометриялық функциялар кестесі
$\sin$, $\cos$, $\tan$ және $\cot$ функцияларының тригонометриялық анықтамаларынан олардың $0$ және $90$ градус бұрыштары үшін мәндерін білуге болады:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ анықталмаған;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ анықталмаған.
Мектептегі геометрия курсында тікбұрышты үшбұрыштарды оқығанда $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ және $90°$ бұрыштарының тригонометриялық функцияларын табады.
Көрсетілген бұрыштар үшін сәйкесінше градус пен радиандағы тригонометриялық функциялардың мәндері табылды ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\) pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) есте сақтау және пайдалану ыңғайлылығы үшін деп аталатын кестеге енгізіледі. тригонометриялық кесте, тригонометриялық функциялардың негізгі мәндерінің кестесіжәне т.б.
Қысқарту формулаларын пайдаланған кезде тригонометриялық кестені $360°$ бұрышқа және сәйкесінше $2\pi$ радианға дейін кеңейтуге болады:
Тригонометриялық функциялардың периодтылық қасиеттерін пайдалана отырып, бұрыннан белгілі бұрыштан $360°$ айырмашылығы болатын әрбір бұрышты есептеп, кестеге жазуға болады. Мысалы, $0°$ бұрышы үшін тригонометриялық функция $0°+360°$ және бұрыш үшін $0°+2 \cdot 360°$ және $0°+3 \cdot 360°$ бұрышы үшін бірдей мәнге ие болады. және т.б.
Тригонометриялық кестені пайдаланып бірлік шеңбердің барлық бұрыштарының мәндерін анықтауға болады.
Мектептегі геометрия курсында тригонометриялық есептерді шешуге ыңғайлы болу үшін тригонометриялық кестеде жинақталған тригонометриялық функциялардың негізгі мәндерін есте сақтау керек.
Кестені пайдалану
Кестеде қажетті тригонометриялық функцияны және осы функцияны есептеу қажет бұрыштың немесе радианның мәнін табу жеткілікті. Функциясы бар жол мен мәні бар бағанның қиылысында берілген аргументтің тригонометриялық функциясының қажетті мәнін аламыз.
Суретте $\frac(1)(2)$-ға тең $\cos60°$ мәнін қалай табуға болатынын көруге болады.
Кеңейтілген тригонометриялық кесте де дәл осылай қолданылады. Оны пайдаланудың артықшылығы, жоғарыда айтылғандай, кез келген бұрыштың тригонометриялық функциясын есептеу болып табылады. Мысалы, $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 мәнін оңай табуға болады. °$:
Негізгі тригонометриялық функциялардың Брадис кестелері
Брадис кестелерін пайдалану арқылы градустардың бүтін мәні мен минуттардың бүтін мәні үшін кез келген бұрыш мәнінің тригонометриялық функциясын есептеу мүмкіндігі қамтамасыз етіледі. Мысалы, $\cos34°7"$ мәнін табыңыз. Кестелер 2 бөлікке бөлінген: $\sin$ және $\cos$ мәндерінің кестесі және $ мәндерінің кестесі \tan$ және $\cot$.
Bradis кестелері 4 ондық таңбаға дейінгі дәлдікпен тригонометриялық функциялардың жуық мәндерін алуға мүмкіндік береді.
Bradis кестелерін пайдалану
Синустар үшін Bradis кестелерін пайдалана отырып, біз $\sin17°42"$ табамыз. Ол үшін синустар мен косинустар кестесінің сол жақ бағанында градус мәнін - $17°$, ал жоғарғы жолдан табамыз. минуттардың мәнін табамыз - $42"$. Олардың қиылысында біз қажетті мәнді аламыз:
$\sin17°42"=0,304$.
$\sin17°44"$ мәнін табу үшін кестенің оң жағындағы түзетуді пайдалану керек. Бұл жағдайда кестедегі $42"$ мәніне $2 түзетуді қосу керек. "$, ол $0,0006$-ға тең. Біз мынаны аламыз:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
$\sin17°47"$ мәнін табу үшін кестенің оң жағындағы түзетуді де қолданамыз, тек осы жағдайда ғана $\sin17°48"$ мәнін негізге алып, $1"$ түзетуді алып тастаймыз. :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Косинустарды есептеу кезінде біз ұқсас әрекеттерді орындаймыз, бірақ біз оң жақ бағандағы градустарды, ал кестенің төменгі бағанындағы минуттарды қарастырамыз. Мысалы, $\cos20°=0,9397$.
$90°$ дейінгі тангенс мәндері мен кіші бұрыш котангенсі үшін түзетулер жоқ. Мысалы, $\tan 78°37"$ табайық, кесте бойынша ол $4,967$ тең.
Тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесі
Ескерту. Бұл тригонометриялық функция мәндерінің кестесі квадрат түбірін көрсету үшін √ белгісін пайдаланады. Бөлшекті көрсету үшін «/» белгісін пайдаланыңыз.
да қараңызпайдалы материалдар:
Үшін тригонометриялық функцияның мәнін анықтау, оны тригонометриялық функцияны көрсететін түзудің қиылысында табыңыз. Мысалы, синус 30 градус - біз sin (синус) тақырыбы бар бағанды іздейміз және осы кесте бағанының «30 градус» жолымен қиылысуын табамыз, олардың қиылысында нәтижені оқимыз - жарты. Сол сияқты табамыз косинус 60дәрежелер, синус 60градус (тағы да күн бағанасы мен 60 градус сызығының қиылысында sin 60 = √3/2 мәнін табамыз) т.б. Басқа «танымал» бұрыштардың синустарының, косинустарының және тангенстерінің мәндері дәл осылай табылады.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи және радиандағы басқа бұрыштар
Төмендегі косинустардың, синустардың және тангенстердің кестесі аргументі болатын тригонометриялық функциялардың мәнін табу үшін де қолайлы. радианмен берілген. Ол үшін бұрыш мәндерінің екінші бағанын пайдаланыңыз. Осының арқасында танымал бұрыштардың мәнін градустан радианға түрлендіруге болады. Мысалы, бірінші жолдағы 60 градус бұрышты тауып, оның астындағы радиандағы мәнін оқимыз. 60 градус π/3 радианға тең.
Пи саны шеңбердің бұрыштың градустық өлшеміне тәуелділігін бір мәнді түрде білдіреді. Осылайша, пи радиандары 180 градусқа тең.
Пи (радиан) арқылы көрсетілген кез келген санды пи (π) 180-ге ауыстыру арқылы градусқа оңай түрлендіруге болады..
Мысалдар:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
осылайша, pi синусы 180 градус синусымен бірдей және ол нөлге тең.
2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
осылайша, пи косинусы 180 градус косинусымен бірдей және ол минус бірге тең.
3. Тангенс пи
тг π = тг 180 = 0
осылайша, тангенс pi 180 градус жанамамен бірдей және ол нөлге тең.
0 - 360 градус бұрыштары үшін синус, косинус, тангенс мәндерінің кестесі (жалпы мәндер)
|
бұрыштың α мәні (дәрежелер) |
бұрыштың α мәні (pi арқылы) |
күнә (синус) |
cos (косинус) |
тг (тангенс) |
ctg (котангенс) |
сек (секант) |
косек (косекант) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Егер тригонометриялық функциялар мәндерінің кестесінде функция мәнінің орнына сызықша (тангенс (тг) 90 градус, котангенс (ctg) 180 градус) көрсетілсе, онда бұрыштың градустық өлшемінің берілген мәні үшін функция белгілі бір мәнге ие емес. Егер сызықша болмаса, ұяшық бос, яғни біз әлі қажетті мәнді енгізген жоқпыз. Бізге пайдаланушылардың қандай сұраулар бойынша келетіні және ең көп таралған бұрыш мәндерінің косинустарының, синусының және тангенстерінің мәндері туралы ағымдағы деректердің көпшілігін шешуге жеткілікті болғанына қарамастан, кестені жаңа мәндермен толықтыратыны қызықтырады. проблемалар.
Ең танымал бұрыштар үшін sin, cos, tg тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесі
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градус
(«Брадис кестелері бойынша» сандық мәндер)
| бұрыштың α мәні (градус) | радиандағы α бұрышының мәні | күнә (синус) | cos (косинус) | тг (тангенс) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Жүктелуде...
