Геометрия сабақтарында өздерін сенімді сезіну және есептерді сәтті шешу үшін формулаларды меңгеру жеткіліксіз. Оларды алдымен түсіну керек. Қорқу, одан да көп формулаларды жек көру өнімсіз. Бұл мақалада трапецияның ауданын табудың әртүрлі тәсілдері қолжетімді тілде талданады. Сәйкес ережелер мен теоремаларды жақсы түсіну үшін оның қасиеттеріне біраз көңіл бөлеміз. Бұл ережелердің қалай жұмыс істейтінін және қандай жағдайларда белгілі бір формулаларды қолдану керектігін түсінуге көмектеседі.
Трапецияның анықтамасы
Бұл жалпы қандай фигура? Трапеция - төрт бұрышы және екі параллель қабырғасы бар көпбұрыш. Трапецияның қалған екі жағы әр түрлі бұрыштарда көлбеу болуы мүмкін. Оның параллель жақтары негіз деп аталады, ал параллель емес жақтары үшін «жақ» немесе «жамбас» атауы қолданылады. Мұндай сандар күнделікті өмірде жиі кездеседі. Трапецияның контурларын киімнің, интерьер заттарының, жиһаздың, ыдыс-аяқтың және басқалардың силуэттерінен көруге болады. Трапецияның әртүрлі түрлері бар: масштабты, теңбүйірлі және тікбұрышты. Олардың түрлері мен қасиеттерін кейінірек мақалада толығырақ қарастырамыз.
Трапецияның қасиеттері
Бұл фигураның қасиеттеріне қысқаша тоқталайық. Кез келген қабырғаға іргелес бұрыштардың қосындысы әрқашан 180° болады. Айта кету керек, трапецияның барлық бұрыштары 360°-қа жетеді. Трапецияның ортаңғы сызық деген ұғымы бар. Егер сіз жақтардың ортаңғы нүктелерін сегментпен қоссаңыз, бұл ортаңғы сызық болады. Ол m деп белгіленген. Ортаңғы сызықтың маңызды қасиеттері бар: ол әрқашан негіздермен параллель (негіздердің де бір-біріне параллель екенін есте ұстаймыз) және олардың жарты қосындысына тең:
Бұл анықтаманы үйрену және түсіну керек, өйткені бұл көптеген мәселелерді шешудің кілті!
Трапецияның көмегімен сіз әрқашан биіктікті негізге дейін төмендете аласыз. Биіктік - бұл бір табанның кез келген нүктесінен екінші табанға немесе оның созылуына түсірілген перпендикуляр, көбінесе h символымен белгіленеді. Ортаңғы сызық пен биіктік трапецияның ауданын табуға көмектеседі. Мұндай есептер мектептегі геометрия курсында жиі кездеседі және бақылау және емтихан жұмыстарының арасында жиі кездеседі.
Трапецияның ауданы үшін қарапайым формулалар
Трапецияның ауданын табу үшін қолданылатын ең танымал және қарапайым екі формуланы қарастырайық. Сіз іздеген нәрсені оңай табу үшін биіктікті негіздердің қосындысының жартысына көбейту жеткілікті:
S = h*(a + b)/2.
Бұл формулада a, b трапецияның табандарын, h - биіктігін белгілейді. Қабылдауды жеңілдету үшін бұл мақалада көбейту белгілері формулаларда (*) таңбасымен белгіленеді, дегенмен ресми анықтамалықтарда көбейту белгісі әдетте түсірілмейді.
Бір мысалды қарастырайық.
Берілген: екі табаны 10 және 14 см-ге тең, биіктігі 7 см трапеция.Трапецияның ауданы неге тең?
Осы мәселенің шешімін қарастырайық. Бұл формуланы пайдаланып, алдымен табандардың жарты қосындысын табу керек: (10+14)/2 = 12. Демек, жарты қосынды 12 см-ге тең. Енді жарты қосындыны биіктікке көбейтеміз: 12*7 = 84. Іздегеніміз табылды. Жауап: Трапецияның ауданы 84 шаршы метр. см.
Екінші белгілі формула былай дейді: трапецияның ауданы ортаңғы сызық пен трапеция биіктігінің көбейтіндісіне тең. Яғни, бұл шын мәнінде ортаңғы сызықтың бұрынғы тұжырымдамасынан шығады: S=m*h.
Диагональдарды есептеу үшін қолдану
Трапецияның ауданын табудың тағы бір жолы іс жүзінде соншалықты күрделі емес. Ол оның диагональдарымен байланысты. Бұл формуланы пайдаланып ауданды табу үшін оның диагональдарының жарты көбейтіндісін (d 1 d 2) олардың арасындағы бұрыштың синусына көбейту керек:
S = ½ d 1 d 2 sin а.
Осы әдістің қолданылуын көрсететін есепті қарастырайық. Берілген: диагональдарының ұзындығы сәйкесінше 8 және 13 см-ге тең трапеция.Диагональдардың арасындағы а бұрышы 30°. Трапецияның ауданын табыңыз.
Шешім. Жоғарыда келтірілген формуланы пайдаланып, қажетті нәрсені есептеу оңай. Өздеріңіз білетіндей, күнә 30° - 0,5. Демек, S = 8*13*0,5=52. Жауап: ауданы 52 шаршы метр. см.
Тең қабырғалы трапецияның ауданын табу
Трапеция тең қабырғалы (тең қабырғалы) болуы мүмкін. Оның қабырғалары бірдей және табанындағы бұрыштары тең, бұл суретте жақсы көрсетілген. Тең қабырғалы трапеция кәдімгі сияқты, сонымен қатар бірқатар ерекше қасиеттерге ие. Шеңберді тең қабырғалы трапецияның айналасына сызуға болады, ал оның ішіне шеңберді жазуға болады.
Мұндай фигураның ауданын есептеудің қандай әдістері бар? Төменде келтірілген әдіс көп есептеулерді қажет етеді. Оны пайдалану үшін трапеция табанындағы бұрыштың синусы (sin) және косинусының (cos) мәндерін білу керек. Оларды есептеу үшін сізге Bradis кестелері немесе инженерлік калькулятор қажет. Міне формула:
S= в*күнә а*(а - в*cos а),
Қайда бірге- бүйір жамбас, а- төменгі негіздегі бұрыш.
Тең бүйірлі трапецияның ұзындығы бірдей диагональдары болады. Керісінше де дұрыс: егер трапецияның диагональдары тең болса, онда ол тең қабырғалы болады. Осыдан трапецияның ауданын табуға көмектесетін келесі формула – диагональдардың квадраты мен олардың арасындағы бұрыштың синусының жарты көбейтіндісі: S = ½ d 2 sin а.
Тік бұрышты трапецияның ауданын табу
Тікбұрышты трапецияның ерекше жағдайы белгілі. Бұл трапеция, оның бір жағы (оның жамбасы) негіздерге тік бұрышпен қосылады. Ол кәдімгі трапецияға тән қасиеттерге ие. Сонымен қатар, оның өте қызықты ерекшелігі бар. Мұндай трапецияның диагональдарының квадраттарының айырмасы оның табандарының квадраттарының айырмасына тең. Ол үшін аумақты есептеудің бұрын сипатталған барлық әдістері қолданылады.
Біз тапқырлықты пайдаланамыз
Арнайы формулаларды ұмытып қалсаңыз, көмектесетін бір трюк бар. Трапецияның не екенін егжей-тегжейлі қарастырайық. Егер біз оны ойша бөліктерге бөлсек, біз таныс және түсінікті геометриялық пішіндерді аламыз: шаршы немесе төртбұрыш және үшбұрыш (бір немесе екі). Трапецияның биіктігі мен қабырғалары белгілі болса, үшбұрыш пен тіктөртбұрыштың ауданы үшін формулаларды қолдануға болады, содан кейін барлық алынған мәндерді қосуға болады.
Мұны келесі мысалмен түсіндірейік. Тік бұрышты трапеция берілген. Бұрыш С = 45°, A, D бұрыштары 90°. Трапецияның үстіңгі табаны 20 см, биіктігі 16 см.Сізге фигураның ауданын есептеу керек.
Бұл фигура тіктөртбұрыштан (егер екі бұрыш 90°-қа тең болса) және үшбұрыштан тұратыны анық. Трапеция тікбұрышты болғандықтан, оның биіктігі оның қабырғасына тең, яғни 16 см. Бізде қабырғалары сәйкесінше 20 және 16 см болатын тіктөртбұрыш бар. Енді бұрышы 45° болатын үшбұрышты қарастырайық. Оның бір қабырғасы 16 см екенін білеміз.Бұл жағы да трапецияның биіктігі болғандықтан (және биіктік табанға тік бұрыш жасап түсетінін білеміз), демек, үшбұрыштың екінші бұрышы 90°. Демек, үшбұрыштың қалған бұрышы 45°. Мұның нәтижесі екі қабырғасы бірдей тік бұрышты үшбұрышты аламыз. Бұл үшбұрыштың екінші жағы биіктікке, яғни 16 см-ге тең екенін білдіреді.Үшбұрыш пен тіктөртбұрыштың ауданын есептеу және алынған мәндерді қосу қалады.
Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы оның катеттерінің көбейтіндісінің жартысына тең: S = (16*16)/2 = 128. Тік төртбұрыштың ауданы оның ені мен ұзындығының көбейтіндісіне тең: S = 20*16 = 320. Біз қажеттіні таптық: трапецияның ауданы S = 128 + 320 = 448 кв. Жоғарыдағы формулаларды пайдаланып өзіңізді екі рет оңай тексеруге болады, жауап бірдей болады.
Біз Pick формуласын қолданамыз
Соңында біз трапецияның ауданын табуға көмектесетін тағы бір түпнұсқа формуланы ұсынамыз. Оны таңдау формуласы деп атайды. Трапецияны дойбы қағазға салғанда қолдануға ыңғайлы. Ұқсас мәселелер GIA материалдарында жиі кездеседі. Бұл келесідей көрінеді:
S = M/2 + N - 1,
бұл формулада M - түйіндердің саны, яғни. фигураның сызықтарының ұяшық сызықтарымен трапеция шекарасындағы қиылысулары (суреттегі қызғылт сары нүктелер), N - фигураның ішіндегі түйіндердің саны (көк нүктелер). Оны дұрыс емес көпбұрыштың ауданын табу кезінде пайдалану ыңғайлы. Дегенмен, қолданылатын әдістердің арсеналы неғұрлым көп болса, соғұрлым қателер аз болады және нәтиже жақсырақ болады.
Әрине, берілген ақпарат трапецияның түрлері мен қасиеттерін, сондай-ақ оның ауданын табу әдістерін сарқылмайды. Бұл мақалада оның ең маңызды сипаттамаларына шолу жасалады. Геометриялық есептерді шешу кезінде бірте-бірте әрекет ету, жеңіл формулалар мен есептерден бастау, өз түсінігін дәйекті түрде бекіту және күрделіліктің басқа деңгейіне өту маңызды.
Жиналған ең көп таралған формулалар студенттерге трапеция ауданын есептеудің әртүрлі әдістерін шарлауға және осы тақырып бойынша сынақтар мен тапсырмаларға жақсы дайындалуға көмектеседі.
Өткен жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтихан мен мемлекеттік емтихан тәжірибесі көрсеткендей, геометрия есептері көптеген оқушылар үшін қиындықтар туғызады. Егер сіз барлық қажетті формулаларды жаттап алсаңыз және есептерді шешуге машықтасаңыз, олармен оңай күресуге болады.
Бұл мақалада сіз трапецияның ауданын табуға арналған формулаларды, сондай-ақ шешімдері бар есептердің мысалдарын көресіз. Сіз сертификаттау емтихандары кезінде немесе олимпиадаларда KIM-де дәл осындайларды кездестіруіңіз мүмкін. Сондықтан оларды мұқият емдеңіз.
Трапеция туралы не білу керек?
Алдымен мұны еске түсірейік трапецияҚарама-қарсы екі қабырғасы, табандары деп те аталатын, параллель, ал қалған екеуі параллель болатын төртбұрыш деп аталады.
Трапецияда биіктікті (негізге перпендикуляр) төмендетуге де болады. Ортаңғы сызық сызылған - бұл негіздерге параллель және олардың қосындысының жартысына тең түзу. Сондай-ақ сүйір және доғал бұрыштарды құрайтын қиылысуы мүмкін диагоналдар. Немесе кейбір жағдайларда тік бұрышта. Сонымен қатар, егер трапеция тең қабырғалы болса, онда шеңберді жазуға болады. Және оның айналасындағы шеңберді сипаттаңыз.
Трапецияның ауданы формулалары
Алдымен трапецияның ауданын табудың стандартты формулаларын қарастырайық. Төменде тең қабырғалы және қисық сызықты трапециялардың ауданын есептеу жолдарын қарастырамыз.
Сонымен, сізде a және b табандары бар трапеция бар деп елестетіп көріңіз, онда h биіктігі үлкенірек табанға түсірілген. Бұл жағдайда фигураның ауданын есептеу алмұрттарды жару сияқты оңай. Негіздердің ұзындықтарының қосындысын екіге бөліп, нәтижені биіктікке көбейту керек: S = 1/2(a + b)*сағ.
Тағы бір жағдайды алайық: трапецияда биіктіктен басқа m орта сызығы бар делік. Біз ортаңғы жолдың ұзындығын табу формуласын білеміз: m = 1/2(a + b). Сондықтан біз трапеция ауданының формуласын келесі түрге оңай жеңілдете аламыз: S = m* сағ. Басқаша айтқанда, трапецияның ауданын табу үшін ортаңғы сызықты биіктікке көбейту керек.
Басқа нұсқаны қарастырайық: трапецияда d 1 және d 2 диагональдары бар, олар α тік бұрыштарында қиылыспайды. Мұндай трапецияның ауданын есептеу үшін диагональдардың көбейтіндісін екіге бөліп, нәтижені олардың арасындағы бұрыштың күнәсына көбейту керек: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Енді трапецияның ауданын табу формуласын қарастырайық, егер ол туралы оның барлық қабырғаларының ұзындығынан басқа ештеңе белгілі болмаса: a, b, c және d. Бұл қиын және күрделі формула, бірақ оны есте сақтау пайдалы болады: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Айтпақшы, жоғарыда келтірілген мысалдар тікбұрышты трапеция ауданы үшін формула қажет болған жағдайда да дұрыс. Бұл трапеция, оның бүйір жағы негіздермен тік бұрышпен түйіседі.
Тең қабырғалы трапеция
Қабырғалары тең трапеция тең қабырғалы деп аталады. Біз тең қабырғалы трапеция ауданы формуласының бірнеше нұсқасын қарастырамыз.
Бірінші нұсқа: радиусы r шеңбер тең қабырғалы трапецияның ішіне сызылған, ал бүйірлік және үлкенірек табан α сүйір бұрышын құрайтын жағдай үшін. Шеңберді трапецияға сызуға болады, егер оның табандарының ұзындықтарының қосындысы қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең болса.
Тең бүйірлі трапецияның ауданы келесідей есептеледі: сызылған шеңбердің радиусының квадратын төртке көбейтіп, барлығын sinα-ға бөліңіз: S = 4r 2 /sinα. Басқа аймақ формуласы үлкен негіз мен бүйір арасындағы бұрыш 30 0 болғанда опция үшін ерекше жағдай болып табылады: S = 8r2.
Екінші нұсқа: бұл жолы біз тең қабырғалы трапецияны аламыз, оған қосымша d 1 және d 2 диагональдары, сонымен қатар h биіктігі сызылады. Егер трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр болса, биіктігі табандарының қосындысының жартысына тең: h = 1/2(a + b). Мұны біле отырып, сізге бұрыннан таныс трапеция ауданының формуласын мына пішінге түрлендіру оңай: S = h 2.
Қисық трапеция ауданының формуласы
Қисық трапецияның не екенін анықтаудан бастайық. Х осіндегі берілген кесінді шегінде таңбасын өзгертпейтін үздіксіз және теріс емес f функциясының координаталық осін және графигін елестетіңіз. Қисық сызықты трапеция y = f(x) функциясының графигі арқылы – жоғарғы жағында, х осі төменгі жағында (сегмент), ал бүйірлерінде – а мен b нүктелерінің арасына жүргізілген түзулер мен графигі арқылы құрастырылады. функциясы.
Жоғарыда аталған әдістерді қолдана отырып, мұндай стандартты емес фигураның ауданын есептеу мүмкін емес. Мұнда математикалық талдауды қолдану және интегралды қолдану қажет. Атап айтқанда: Ньютон-Лейбниц формуласы - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Бұл формулада F таңдалған сегменттегі функциямыздың қарсы туындысы болып табылады. Ал қисық сызықты трапеция ауданы берілген сегменттегі антитуынды өсіміне сәйкес келеді.
Үлгі есептер
Осы формулалардың барлығын сіздің ойыңызда түсінуді жеңілдету үшін трапеция ауданын табуға арналған есептердің бірнеше мысалдары келтірілген. Ең дұрысы, сіз алдымен мәселелерді өзіңіз шешуге тырыссаңыз, содан кейін ғана алынған жауапты дайын шешіммен салыстырыңыз.
№1 тапсырма:Трапеция берілген. Оның үлкен негізі 11 см, кішісі 4 см. Трапецияның диагональдары бар, біреуі ұзындығы 12 см, екіншісі 9 см.
Шешуі: AMRS трапециясын тұрғызу. Р төбесінен РХ түзуін жүргізіңіз, ол MC диагональына параллель және АС түзуін X нүктесінде қиып өтеді. Сіз APХ үшбұрышын аласыз.
Біз осы манипуляциялар нәтижесінде алынған екі фигураны қарастырамыз: APX үшбұрышы және CMRX параллелограмы.
Параллелограммның арқасында біз PX = MC = 12 см және CX = MR = 4 см екенін білеміз. ARX үшбұрышының AX қабырғасын қай жерден есептей аламыз: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 см.
APX үшбұрышының тік бұрышты екенін де дәлелдей аламыз (ол үшін Пифагор теоремасын қолданыңыз – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ал оның ауданын есептеңіз: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2.
Әрі қарай сізге AMP және PCX үшбұрыштарының ауданы тең екенін дәлелдеу керек. MR және CX тараптарының теңдігі негіз болады (жоғарыда дәлелденген). Сондай-ақ, сіз осы жақтарда төмендететін биіктіктер - олар AMRS трапециясының биіктігіне тең.
Мұның бәрі S AMPC = S APX = 54 см 2 деп айтуға мүмкіндік береді.
№2 тапсырма: KRMS трапециясы берілген. Оның бүйір жақтарында О және Е нүктелері бар, ал OE және KS параллель. Сонымен қатар ORME және OKSE трапецияларының аудандары 1:5 қатынасында екені белгілі. RM = a және KS = b. Сізге OE табу керек.
Шешуі: М нүктесі арқылы ҚР-ға параллель түзу жүргізіп, оның ОЕ-мен қиылысу нүктесін Т деп белгілейміз. А - Е нүктесі арқылы РК-ге параллель жүргізілген түзудің KS табанымен қиылысу нүктесі.
Тағы бір белгілеуді енгізейік - OE = x. Сондай-ақ TME үшбұрышы үшін h 1 биіктігі және AEC үшбұрышы үшін h 2 биіктігі (бұл үшбұрыштардың ұқсастығын тәуелсіз дәлелдеуге болады).
b > a деп есептейміз. ORME және OKSE трапецияларының аудандары 1:5 қатынасында, бұл бізге келесі теңдеуді құруға құқық береді: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Түрлендіру және аламыз: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
TME және AEC үшбұрыштары ұқсас болғандықтан, бізде h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) болады. Екі жазбаны біріктіріп, мынаны алайық: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Осылайша, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Қорытынды
Геометрия ғылымдардың ең оңайы емес, бірақ сіз емтихан сұрақтарын жеңе аласыз. Дайындықта аздап табандылық таныту жеткілікті. Және, әрине, барлық қажетті формулаларды есте сақтаңыз.
Біз трапецияның ауданын есептеудің барлық формулаларын емтиханға дайындалу және материалды қайта қарау кезінде қолдануға болатындай етіп бір жерде жинауға тырыстық.
Бұл мақала туралы әлеуметтік желілердегі сыныптастарыңыз бен достарыңызға айтуды ұмытпаңыз. Бірыңғай мемлекеттік емтихан мен мемлекеттік емтихандарға жақсы бағалар көп болсын!
blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.
Біздің өмірімізде біз геометрияны тәжірибеде, мысалы, құрылыста қолдануды жиі кездестіреміз. Ең көп таралған геометриялық фигуралар арасында трапеция бар. Жоба сәтті және әдемі болуы үшін мұндай фигура үшін элементтерді дұрыс және дәл есептеу қажет.
Жұп параллель қабырғалары бар дөңес төртбұрышты трапецияның табандары деп атайды. Бірақ бұл негіздерді байланыстыратын тағы екі жағы бар. Олар бүйірлік деп аталады. Бұл фигураға қатысты сұрақтардың бірі: «Трапецияның биіктігін қалай табуға болады?» Бірден биіктік бір негізден екіншісіне дейінгі қашықтықты анықтайтын сегмент екенін атап өту керек. Белгілі шамаларға байланысты бұл қашықтықты анықтаудың бірнеше жолы бар.
1. Екі негіздің де мәндері белгілі, оларды b және k, сондай-ақ осы трапецияның ауданын белгілейік. Белгілі мәндерді пайдалана отырып, бұл жағдайда трапецияның биіктігін табу өте оңай. Геометриядан белгілі болғандай, ол негіз бен биіктік қосындысының жартысының көбейтіндісі ретінде есептеледі. Бұл формуладан қажетті мәнді оңай алуға болады. Мұны істеу үшін аумақты негіздердің қосындысының жартысына бөлу керек. Формулалар түрінде ол келесідей болады:
S=((b+k)/2)*h, демек h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)
2. Ортаңғы сызықтың ұзындығы белгілі, оны d, ал ауданын белгілейік. Білмейтіндер үшін ортаңғы сызық - жақтардың ортасы арасындағы қашықтық. Бұл жағдайда трапецияның биіктігін қалай табуға болады? Трапеция қасиеті бойынша ортаңғы сызық табандардың қосындысының жартысына сәйкес келеді, яғни d=(b+k)/2. Тағы да біз аймақ формуласына жүгінеміз. Негіздер қосындысының жартысын ортаңғы сызықтың мәнімен ауыстырсақ, біз мынаны аламыз:
Көріп отырғанымыздай, алынған формуладан биіктікті алу өте оңай. Ауданды орталық сызықтың мәніне бөле отырып, біз қажетті мәнді табамыз. Мұны формуламен жазамыз:
3. Бір қабырғасының ұзындығы (b) және осы қабырға мен ең үлкен табан арасында пайда болған бұрыш белгілі. Трапецияның биіктігін қалай табуға болады деген сұраққа жауап бұл жағдайда да бар. ABCD трапециясын қарастырайық, мұндағы AB және CD қабырғалары, ал AB=b. Ең үлкен база – AD. АВ және AD құрған бұрышты α деп белгілейік. В нүктесінен h биіктігін AD негізіне дейін төмендетіңіз. Енді тікбұрышты үшбұрыш болып табылатын ABF үшбұрышын қарастырайық. AB жағы гипотенуза, ал BF жағы жағы. Тікбұрышты үшбұрыштың қасиетінен катет мәні мен гипотенузаның мәні катетке қарама-қарсы бұрыштың синусына (BF) сәйкес келеді. Сондықтан жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, трапецияның биіктігін есептеу үшін белгілі қабырғасының мәнін және α бұрышының синусын көбейтеміз. Формула түрінде ол келесідей көрінеді:
4. Жағдай дәл осылай қарастырылады, егер бүйір қабырғасының өлшемі мен бұрышы белгілі болса, оны осы қабырға мен кіші табан арасында пайда болған β деп белгілейік. Мұндай есепті шешу кезінде белгілі жағы мен сызылған биіктік арасындағы бұрыш 90° - β болады. Үшбұрыштардың қасиетінен – катет пен гипотенузаның ұзындығының қатынасы олардың арасында орналасқан бұрыштың косинусына сәйкес келеді. Бұл формуладан биіктік мәнін шығару оңай:
h = b *cos(β-90°)
5. Тек іштей сызылған шеңбердің радиусы белгілі болса, трапеция биіктігін қалай табуға болады? Шеңбердің анықтамасынан ол әр негізге бір нүктеге тиеді. Сонымен қатар, бұл нүктелер шеңбердің ортасына сәйкес келеді. Бұдан шығатыны, олардың арасындағы қашықтық трапецияның диаметрі және сонымен бірге биіктігі. Мынадай көрінеді:
6. Тең қабырғалы трапецияның биіктігін табу қажет болатын есептер жиі кездеседі. Еске салайық, қабырғалары тең трапеция тең қабырғалы деп аталады. Тең қабырғалы трапецияның биіктігін қалай табуға болады? Перпендикуляр диагональдармен биіктік табандардың қосындысының жартысына тең.
Бірақ диагональдар перпендикуляр болмаса ше? ABCD тең қабырғалы трапецияны қарастырайық. Қасиеттері бойынша негіздері параллель. Осыдан келіп табандардағы бұрыштар да тең болады. BF және CM екі биіктігін салайық. Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, ABF және DCM үшбұрыштары тең деп айтуға болады, яғни AF = DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/ 2. Енді есептің шарттарына сүйене отырып, шешеміз. белгілі мәндер, содан кейін ғана тең қабырғалы трапецияның барлық қасиеттерін ескере отырып, биіктікті табыңыз.
ЖӘНЕ . Енді трапецияның ауданын қалай табуға болады деген сұрақты қарастыруға болады. Бұл тапсырма күнделікті өмірде өте сирек кездеседі, бірақ кейде, мысалы, қазіргі заманғы пәтерлердің құрылысында жиі қолданылатын трапеция түріндегі бөлменің ауданын табу қажет болады. жөндеу жобаларын жобалау.
Трапеция деп төрт қиылысатын кесінділерден құралған геометриялық фигураны айтады, олардың екеуі бір-біріне параллель және трапецияның табандары деп аталады. Қалған екі сегмент трапецияның қабырғалары деп аталады. Сонымен қатар, бізге кейінірек тағы бір анықтама қажет болады. Бұл трапецияның ортаңғы сызығы, ол қабырғалардың ортаңғы нүктелерін және трапеция биіктігін байланыстыратын кесінді, ол табандар арасындағы қашықтыққа тең.
Үшбұрыштар сияқты трапециялардың да қабырғаларының ұзындықтары бірдей болатын тең қабырғалы (тең жақты) трапеция және бір қабырғасы табандарымен тік бұрыш жасайтын тік бұрышты трапеция түріндегі ерекше түрлері бар.
Трапециялардың кейбір қызықты қасиеттері бар:
- Трапецияның орта сызығы табандарының қосындысының жартысына тең және оларға параллель.
- Тең бүйірлі трапециялардың қабырғалары мен табандарымен түзетін бұрыштары бірдей.
- Трапецияның диагональдарының ортаңғы нүктелері мен оның диагональдарының қиылысу нүктесі бір түзуде.
- Егер трапеция қабырғаларының қосындысы табандарының қосындысына тең болса, онда оған шеңберді жазуға болады.
- Егер трапецияның кез келген табанында қабырғалары түзетін бұрыштардың қосындысы 90 болса, онда табандарының ортаңғы нүктелерін қосатын кесіндінің ұзындығы олардың жарты айырымына тең болады.
- Тең қабырғалы трапецияны шеңбер арқылы сипаттауға болады. Және керісінше. Егер трапеция шеңберге сәйкес келсе, онда ол тең қабырғалы болады.
- Тең қабырғалы трапеция табандарының ортаңғы нүктелері арқылы өтетін кесінді оның табандарына перпендикуляр болады және симметрия осін көрсетеді.
Трапецияның ауданын қалай табуға болады.
Трапецияның ауданы оның биіктігіне көбейтілген табандарының қосындысының жартысына тең болады. Формула түрінде бұл өрнек ретінде жазылады:
Мұндағы S – трапецияның ауданы, a, b – трапеция табандарының әрқайсысының ұзындығы, h – трапеция биіктігі.
Бұл формуланы төмендегідей түсінуге және есте сақтауға болады. Төмендегі суретте көрсетілгендей, ортаңғы сызықты пайдаланып, трапецияны тіктөртбұрышқа айналдыруға болады, оның ұзындығы негіздердің қосындысының жартысына тең болады.
Сіз сондай-ақ кез келген трапецияны қарапайым фигураларға ыдырай аласыз: тіктөртбұрыш және бір немесе екі үшбұрыш, егер сізге оңайырақ болса, онда трапецияның ауданын оны құрайтын фигуралардың аудандарының қосындысы ретінде табыңыз.
Оның ауданын есептеудің тағы бір қарапайым формуласы бар. Оған сәйкес трапецияның ауданы оның ортаңғы сызығының трапеция биіктігіне көбейтіндісіне тең және келесі түрде жазылады: S = m*h, мұндағы S - аудан, m - ұзындығы. ортаңғы сызық, h - трапеция биіктігі. Бұл формула күнделікті есептерге қарағанда математикалық есептер үшін қолайлы, өйткені нақты жағдайда сіз алдын ала есептеулерсіз орталық сызықтың ұзындығын біле алмайсыз. Ал сіз тек табандары мен жақтарының ұзындығын білетін боласыз.
Бұл жағдайда трапецияның ауданын мына формула арқылы табуға болады:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
мұндағы S – аудан, a, b – табандары, c, d – трапецияның қабырғалары.
Трапецияның ауданын табудың тағы бірнеше жолы бар. Бірақ олар соңғы формула сияқты ыңғайсыз, яғни оларға тоқталудың қажеті жоқ. Сондықтан мақаладағы бірінші формуланы пайдалануды ұсынамыз және әрқашан дәл нәтиже алуды қалаймыз.
Математикада төртбұрыштың бірнеше түрі белгілі: шаршы, төртбұрыш, ромб, параллелограмм. Олардың ішінде трапеция – екі қабырғасы параллель, қалған екеуі параллель емес төртбұрышты дөңес түрі. Трапецияның параллель қарама-қарсы қабырғалары табандары, ал қалған екеуі трапецияның бүйір қабырғалары деп аталады. Бүйірлердің ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді ортаңғы сызық деп аталады. Трапецияның бірнеше түрі бар: тең қабырғалы, тікбұрышты, қисық. Трапецияның әрбір түрі үшін ауданды табуға арналған формулалар бар.
Трапецияның ауданы
Трапецияның ауданын табу үшін оның табандарының ұзындығы мен биіктігін білу керек. Трапецияның биіктігі табандарына перпендикуляр кесінді. Үстіңгі табаны а, астыңғы негізі b, биіктігі h болсын. Содан кейін формуланы пайдаланып S ауданын есептеуге болады:
S = ½ * (a+b) * сағ
анау. биіктікке көбейтілген негіздердің қосындысының жартысын алыңыз.
Сондай-ақ, егер биіктік пен орталық сызық белгілі болса, трапецияның ауданын есептеуге болады. Ортаңғы сызықты белгілейік - m. Содан кейін
Күрделі есепті шешейік: трапецияның төрт қабырғасының ұзындықтары белгілі – a, b, c, d. Содан кейін аудан мына формула арқылы табылады:
Егер диагональдардың ұзындықтары және олардың арасындағы бұрыш белгілі болса, онда аудан келесі түрде ізделеді:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Мұндағы 1 және 2 индекстері бар d диагональдары. Бұл формулада бұрыштың синусы есептеуде берілген.
a және b табандарының белгілі ұзындықтарын және төменгі табандағы екі бұрышты ескере отырып, аудан келесі түрде есептеледі:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Тең қабырғалы трапецияның ауданы
Тең қабырғалы трапеция трапецияның ерекше жағдайы болып табылады. Оның айырмашылығы, мұндай трапеция екі қарама-қарсы жақтың орта нүктелері арқылы өтетін симметрия осі бар дөңес төртбұрыш болып табылады. Оның қабырғалары тең.
Тең қабырғалы трапецияның ауданын табудың бірнеше жолы бар.
- Үш жақтың ұзындығы арқылы. Бұл жағдайда жақтардың ұзындығы сәйкес келеді, сондықтан олар бір мәнмен белгіленеді - c, ал a және b - негіздердің ұзындығы:
- Егер үстіңгі табанның ұзындығы, қабырғасы және төменгі табандағы бұрышы белгілі болса, онда аудан келесі түрде есептеледі:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
мұндағы a - үстіңгі негіз, с - жағы.
- Егер үстіңгі негіздің орнына төменгінің ұзындығы белгілі болса - b, аудан мына формула бойынша есептеледі:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Егер екі табан және төменгі табандағы бұрыш белгілі болса, аудан бұрыштың тангенсі арқылы есептеледі:
S = ½ * (b2 – a2) * күңгірт α
- Аудан диагоналдар мен олардың арасындағы бұрыш арқылы да есептеледі. Бұл жағдайда диагональдардың ұзындығы бірдей, сондықтан біз әрқайсысын төменгі таңбасыз d әрпімен белгілейміз:
S = ½ * d2 * sin α
- Бүйірінің ұзындығын, ортаңғы сызықты және төменгі табандағы бұрышты біле отырып, трапецияның ауданын есептейік.
Бүйір жағы c, ортаңғы түзу m, бұрышы а болсын, онда:
S = m * c * sin α
Кейде тең бүйірлі трапецияға шеңберді сызуға болады, оның радиусы r болады.
Шеңберді кез келген трапецияға сызуға болатыны белгілі, егер табандарының ұзындықтарының қосындысы оның қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең болса. Содан кейін ауданды сызылған шеңбердің радиусы және төменгі табандағы бұрыш арқылы табуға болады:
S = 4r2 / sinα
Дәл осындай есептеу сызылған шеңбердің D диаметрі арқылы жасалады (айтпақшы, ол трапеция биіктігіне сәйкес келеді):
Тең бүйірлі трапецияның негізі мен бұрышын біле отырып, ауданы келесі түрде есептеледі:
S = a * b / sin α
(осы және одан кейінгі формулалар тек іші сызылған шеңбері бар трапециялар үшін жарамды).
Шеңбердің табандары мен радиусын пайдаланып аудан келесі түрде табылады:
Егер тек негіздері белгілі болса, онда аудан мына формула бойынша есептеледі:
Негіздер мен бүйір сызығы арқылы трапецияның іші сызылған шеңберімен және табандары мен ортаңғы сызығы арқылы - m ауданы келесідей есептеледі:
Тік бұрышты трапецияның ауданы
Трапецияның бір қабырғасы табанына перпендикуляр болса, тікбұрышты деп аталады. Бұл жағдайда жақтың ұзындығы трапеция биіктігіне сәйкес келеді.
Тік бұрышты трапеция төртбұрыш пен үшбұрыштан тұрады. Әрбір фигураның ауданын тауып, нәтижелерді қосып, фигураның жалпы ауданын алыңыз.
Сондай-ақ, трапецияның ауданын есептеудің жалпы формулалары тікбұрышты трапецияның ауданын есептеу үшін қолайлы.
- Егер негіздердің ұзындығы мен биіктігі (немесе перпендикуляр жағы) белгілі болса, онда аудан мына формула бойынша есептеледі:
S = (a + b) * h / 2
c жағы h (биіктік) ретінде әрекет ете алады. Сонда формула келесідей болады:
S = (a + b) * c / 2
- Ауданды есептеудің тағы бір тәсілі - орталық сызықтың ұзындығын биіктікке көбейту:
немесе бүйірлік перпендикуляр жағының ұзындығы бойынша:
- Есептеудің келесі әдісі - диагональдардың жартысы мен олардың арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісі:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Егер диагональдар перпендикуляр болса, формула мынаны жеңілдетеді:
S = ½ * d1 * d2
- Есептеудің тағы бір тәсілі - жарты периметр (қарама-қарсы екі жақтың ұзындықтарының қосындысы) және сызылған шеңбердің радиусы арқылы.
Бұл формула негіздерге жарамды. Егер қабырғалардың ұзындықтарын алсақ, онда олардың біреуі радиустың екі еселенгеніне тең болады. Формула келесідей болады:
S = (2r + c) * r
- Егер шеңбер трапецияға сызылған болса, онда аудан дәл осылай есептеледі:
мұндағы m – орталық сызықтың ұзындығы.
Қисық трапецияның ауданы
Қисық сызықты трапеция деп кесіндіде, абсцисса осінде және x = a, x = b түзулерінде анықталған теріс емес үздіксіз функция y = f(x) графигімен шектелген жазық фигура болып табылады. Негізінде оның екі қабырғасы бір-біріне параллель (негіздері), үшінші қабырғасы табандарына перпендикуляр, төртіншісі функция графигіне сәйкес қисық.
Қисық сызықты трапецияның ауданы Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы интеграл арқылы табылады:
Әр түрлі трапециялардың аудандары осылай есептеледі. Бірақ трапециялар жақтардың қасиеттерінен басқа бұрыштардың бірдей қасиеттеріне ие. Барлық қолданыстағы төртбұрыштар сияқты трапецияның ішкі бұрыштарының қосындысы 360 градусқа тең. Ал қабырғаға іргелес бұрыштардың қосындысы 180 градусқа тең.
Жүктелуде...
