Негізгі тригонометриялық функциялар - синус, косинус, тангенс және котангенс арасындағы байланыстар берілген. тригонометриялық формулалар. Тригонометриялық функциялар арасында өте көп байланыс болғандықтан, бұл тригонометриялық формулалардың көптігін түсіндіреді. Кейбір формулалар бір бұрыштың тригонометриялық функцияларын байланыстырады, басқалары - еселік бұрыштың функциялары, басқалары - градусты азайтуға мүмкіндік береді, төртінші - барлық функцияларды жарты бұрыштың тангенсі арқылы өрнектейді және т.б.
Бұл мақалада біз барлық негізгілерді ретімен тізімдейміз тригонометриялық формулалартригонометрия есептерінің басым көпшілігін шешуге жеткілікті. Есте сақтауға және қолдануға ыңғайлы болу үшін біз оларды мақсаты бойынша топтастырып, кестелерге енгіземіз.
Бетті шарлау.
Негізгі тригонометриялық сәйкестіктер
Негізгі тригонометриялық сәйкестіктербір бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі арасындағы байланысты анықтау. Олар синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамасынан, сонымен қатар бірлік шеңбер ұғымынан шығады. Олар бір тригонометриялық функцияны кез келген басқасымен өрнектеуге мүмкіндік береді.
Осы тригонометрия формулаларының егжей-тегжейлі сипаттамасы, олардың алынуы және қолдану мысалдары үшін мақаланы қараңыз.
Қысқарту формулалары
Қысқарту формулаларысинус, косинус, тангенс және котангенс қасиеттерінен шығады, яғни периодтылық қасиетін көрсетеді. тригонометриялық функциялар, симметрия қасиеті, сонымен қатар берілген бұрышқа жылжу қасиеті. Бұл тригонометриялық формулалар ерікті бұрыштармен жұмыс істеуден нөлден 90 градусқа дейінгі бұрыштармен жұмыс істеуге көшуге мүмкіндік береді.
Бұл формулалардың негіздемесін, оларды есте сақтаудың мнемоникалық ережесін және оларды қолдану мысалдарын мақалада зерделеуге болады.
Қосу формулалары
Тригонометриялық қосу формулаларыЕкі бұрыштың қосындысының немесе айырмасының тригонометриялық функциялары сол бұрыштардың тригонометриялық функциялары арқылы қалай өрнектелетінін көрсетіңіз. Бұл формулалар келесі тригонометриялық формулаларды шығаруға негіз болады.
Формулалар қос, үш және т.б. бұрыш
Формулалар қос, үш және т.б. бұрыш (оларды бірнеше бұрыш формулалары деп те атайды) қос, үш және т.б. тригонометриялық функциялардың қалай орындалатынын көрсетеді. бұрыштар () бір бұрыштың тригонометриялық функцияларымен өрнектеледі. Олардың шығарылуы қосу формулаларына негізделген.
Толық ақпарат қос, үш және т.б. үшін мақала формулаларында жинақталған. бұрыш
Жартылай бұрыш формулалары
Жартылай бұрыш формулаларыжарты бұрыштың тригонометриялық функциялары бүтін бұрыштың косинусымен қалай өрнектелетінін көрсетіңіз. Бұл тригонометриялық формулалар формулалардан шығады қос бұрыш.
Олардың қорытындысы мен қолдану мысалдарын мақаладан табуға болады.
Дәрежені төмендету формулалары
Дәрежелерді азайтуға арналған тригонометриялық формулаларөтуді жеңілдетуге арналған табиғи дәрежелертригонометриялық функцияларды синустар мен косинустарға бірінші дәрежелі, бірақ бірнеше бұрыштар. Басқаша айтқанда, олар тригонометриялық функциялардың қуаттарын біріншіге дейін азайтуға мүмкіндік береді.
Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырмасының формулалары
Негізгі мақсаты тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырмасының формулаларытригонометриялық өрнектерді жеңілдету кезінде өте пайдалы функциялардың туындысына өту болып табылады. Бұл формулалар шешуде де кеңінен қолданылады тригонометриялық теңдеулер, өйткені олар синустар мен косинустардың қосындысы мен айырмасын көбейткіштерге бөлуге мүмкіндік береді.
Синустардың, косинустардың және синусының косинус бойынша көбейтіндісінің формулалары
Тригонометриялық функциялардың туындысынан қосындыға немесе айырымға көшу синустар, косинустар және синустар косинусқа көбейтіндісінің формулалары арқылы жүзеге асырылады.
cleverstudent авторлық құқық
Барлық құқықтар сақталған.
Авторлық құқық туралы заңмен қорғалған. www.сайтының ешбір бөлігі, оның ішінде ішкі материалдар және сыртқы дизайн, авторлық құқық иесінің алдын ала жазбаша рұқсатынсыз ешбір нысанда көшіруге немесе пайдалануға болмайды.
Мен сізді алдау парақтарын жазбауға көндіруге тырыспаймын. Жазыңыз! Соның ішінде тригонометрия бойынша алдау парақтары. Кейінірек мен алдамшы парақтардың не үшін қажет екенін және неліктен парақтардың пайдалы екенін түсіндіруді жоспарлап отырмын. Міне, үйрену емес, кейбір тригонометриялық формулаларды есте сақтау туралы ақпарат. Сонымен - тригонометриясыз тригонометрия! Біз есте сақтау үшін ассоциацияларды қолданамыз.
1. Қосу формулалары:
Косинустар әрқашан «жұп болып келеді»: косинус-косинус, синус-синус.
Тағы бір нәрсе: косинустар «жетімсіз». Олар үшін «бәрі дұрыс емес», сондықтан олар белгілерді өзгертеді: «-» «+» және керісінше.
Синустар - «аралас»: синус-косинус, косинус-синус.
2. Қосынды және айырма формулалары:
косинустар әрқашан «жұп болып келеді». Екі косинусты - «колобоктарды» қосу арқылы біз жұп косинустарды - «колобоктарды» аламыз. Ал шегеру арқылы біз ешқандай колобок алмаймыз. Біз бірнеше синус аламыз. Сондай-ақ алда минус бар.
Синустар - «аралас» :
3. Көбейтіндіні қосындыға және айырмаға түрлендіру формулалары.
Косинус жұбын қашан аламыз? Косинустарды қосқанда. Сондықтан
Бір-екі синусты қашан аламыз? Косинустарды алып тастағанда. Осы жерден:
«Араластыру» синустарды қосқанда да, азайтқанда да алынады. Не қызық: қосу немесе азайту? Дұрыс, бүкте. Ал формула үшін олар мыналарды қосады:
Бірінші және үшінші формулаларда қосынды жақшаның ішінде. Терминдердің орындарын қайта орналастыру қосындыны өзгертпейді. Тапсырыс тек екінші формула үшін маңызды. Бірақ шатастырмау үшін, есте сақтауға ыңғайлы болу үшін бірінші жақшадағы барлық үш формулада айырмашылықты аламыз.
екіншіден – сома
Қалтадағы алдау парақтары жан тыныштығын береді: формуланы ұмытып қалсаңыз, оны көшіруге болады. Және олар сізге сенімділік береді: егер сіз парақты пайдалана алмасаңыз, формулаларды оңай есте сақтай аласыз.
Ең жиі қойылатын сұрақтар
Берілген үлгі бойынша құжатқа мөр қоюға болады ма? Жауап Иә, бұл мүмкін. Бізге жіберіңіз электронды адрессканерленген көшірме немесе фотосурет жақсы сапа, және біз қажетті көшірме жасаймыз.
Сіз қандай төлем түрлерін қабылдайсыз?
Жауап Құжатты толтыру дұрыстығын және дипломның ресімделу сапасын тексергеннен кейін курьер алған кезде төлей аласыз. Мұны қолма-қол ақшаны жеткізу қызметтерін ұсынатын пошта компанияларының кеңсесінде де жасауға болады.
Құжаттарды жеткізу мен төлеудің барлық шарттары «Төлем және жеткізу» бөлімінде сипатталған. Құжатты жеткізу және төлеу шарттарына қатысты ұсыныстарыңызды да тыңдауға дайынбыз.
Тапсырыс бергеннен кейін менің ақшаммен жоғалып кетпейтініңізге сенімді бола аламын ба? Жауап Дипломдық өндіріс саласында біздің үлкен тәжірибеміз бар. Бізде үнемі жаңартылып тұратын бірнеше веб-сайттар бар. Біздің мамандар жұмыс істейді әртүрлі бұрыштарелдер, күніне 10-нан астам құжат шығарады. Осы жылдар ішінде біздің құжаттарымыз көптеген адамдарға жұмысқа орналасу мәселелерін шешуге немесе жалақысы жоғары жұмысқа ауысуға көмектесті. Біз клиенттер арасында сенім мен мойындауға ие болдық, сондықтан мұны істеуге ешқандай себеп жоқ. Оның үстіне, мұны физикалық түрде жасау мүмкін емес: сіз тапсырысыңызды қолыңызға алған кезде төлейсіз, алдын ала төлем жоқ.
Кез келген университеттің дипломына тапсырыс бере аламын ба? Жауап Жалпы, иә. Бұл салада 12 жылға жуық еңбек етіп келеміз. Осы уақыт ішінде еліміздегі және одан тысқары жерлердегі барлық дерлік университеттер беретін құжаттардың толық дерлік деректер базасы қалыптасты. әр түрлі жылдаршығару. Сізге тек университетті, мамандықты, құжатты таңдап, тапсырыс формасын толтыру жеткілікті.
Құжаттағы қателер мен қателерді тапсаңыз не істеу керек?
Жауап Біздің курьерлік немесе пошталық компаниядан құжатты алған кезде барлық мәліметтерді мұқият тексеруді ұсынамыз. Егер қате, қате немесе дәлсіздік анықталса, сіз дипломды алмауға құқылысыз және анықталған кемшіліктерді курьерге немесе жеке тұлғаға көрсетуіңіз керек. жазбаша түрдехат жіберу арқылы электрондық пошта.
IN мүмкіндігінше тезірекҚұжатты түзетіп, көрсетілген мекенжайға қайта жібереміз. Әрине, жеткізу ақысын біздің компания төлейді.
Осындай түсініспеушіліктерді болдырмау үшін түпнұсқа пішінді толтырмас бұрын біз тұтынушыға соңғы нұсқасын тексеру және бекіту үшін болашақ құжаттың макетін жібереміз. Құжатты курьер немесе пошта арқылы жібермес бұрын, біз сонымен бірге қосымша фотосуреттер мен бейнелерді (оның ішінде ультракүлгін сәуледе) түсіреміз, осылайша сіз соңында не алатыныңыз туралы нақты түсінікке ие боласыз.
Сіздің компанияңыздан дипломға тапсырыс беру үшін не істеуім керек?
Жауап Құжатқа тапсырыс беру үшін (сертификат, диплом, академиялық аттестат және т. бізге.
Тапсырыс бланкісінің/сауалнаманың кез келген жолында не көрсету керектігін білмесеңіз, оларды бос қалдырыңыз. Сондықтан барлық жетіспейтін ақпаратты телефон арқылы нақтылайтын боламыз.
Соңғы шолулар
Алексей:
Менеджер болып жұмысқа тұру үшін диплом алу керек болды. Ең бастысы тәжірибем де, дағдым да бар, бірақ құжатсыз жұмысқа тұра алмаймын. Мен сіздің сайтыңызды көргенде, мен диплом сатып алуды шештім. Диплом 2 күнде бітті!! Енді бұрын армандамаған жұмысым бар!! Рақмет сізге!
Тригонометриялық сәйкестіктер- бұл бір бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі арасындағы қатынасты орнататын теңдіктер, бұл функциялардың кез келгенін басқасы белгілі болған жағдайда табуға мүмкіндік береді.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Бұл сәйкестік бір бұрыштың синусының квадраты мен бір бұрыштың косинусының квадратының қосындысы бір бұрышқа тең екенін айтады, бұл іс жүзінде бір бұрыштың синусын оның косинусы белгілі болған кезде және керісінше есептеуге мүмкіндік береді. .
Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру кезінде бұл сәйкестік өте жиі пайдаланылады, ол бір бұрыштың косинусы мен синусының квадраттарының қосындысын бір бұрышқа ауыстыруға және сонымен қатар ауыстыру операциясын кері ретпен орындауға мүмкіндік береді.
Синус пен косинус арқылы тангенс пен котангенсті табу
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Бұл сәйкестіктер синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамаларынан құралады. Ақыр соңында, егер сіз оған қарасаңыз, онда анықтама бойынша ордината у - синус, ал абсцисса х - косинус. Сонда тангенс қатынасқа тең болады \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), және қатынасы \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- котангенс болады.
Оларға кіретін тригонометриялық функциялар мағынасы бар \alpha бұрыштары үшін ғана сәйкестіктер орындалатынын қосайық, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Мысалы: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)әр түрлі \alpha бұрыштары үшін жарамды \frac(\pi)(2)+\pi z, А ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ден басқа \alpha бұрышы үшін z - бүтін сан.
Тангенс пен котангенс арасындағы байланыс
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Бұл сәйкестік тек айырмашылығы бар \alpha бұрыштары үшін жарамды \frac(\pi)(2) z. Әйтпесе, не котангенс, не жанама анықталмайды.
Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, біз оны аламыз tg \alpha = \frac(y)(x), А ctg \alpha=\frac(x)(y). Осыдан шығады tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Осылайша, олар мағынасы бар бірдей бұрыштың тангенсі мен котангенсі өзара кері сандар болып табылады.
Тангенс пен косинус, котангенс пен синус арасындағы байланыстар
tg^(2) \альфа + 1=\frac(1)(\cos^(2) \альфа)- \alpha және 1 бұрышының жанамасының квадратының қосындысы осы бұрыштың косинусының кері квадратына тең. Бұл сәйкестік басқа \alpha үшін жарамды \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\альфа)- 1-дің қосындысы мен \alpha бұрышының котангенсінің квадраты синусының кері квадратына тең берілген бұрыш. Бұл сәйкестік \pi z-ден өзгеше кез келген \alpha үшін жарамды.
Тригонометриялық сәйкестіктерді қолданатын есептердің шешімдері бар мысалдар
1-мысал
\sin \alpha және tg \alpha болса табыңыз \cos \alpha=-\frac12Және \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Шешімді көрсету
Шешім
\sin \alpha және \cos \alpha функциялары формула бойынша байланысқан \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Осы формулаға ауыстыру \cos \alpha = -\frac12, Біз алып жатырмыз:
\sin^(2)\альфа + \сол (-\frac12 \оң)^2 = 1
Бұл теңдеудің 2 шешімі бар:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Шарты бойынша \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Екінші тоқсанда синус оң, сондықтан \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Tan \alpha табу үшін формуланы қолданамыз tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2-мысал
\cos \alpha және ctg \alpha болса, табыңыз \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Шешімді көрсету
Шешім
Формулаға ауыстыру \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1берілген нөмір \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), Біз алып жатырмыз \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Бұл теңдеудің екі шешімі бар \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Шарты бойынша \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Екінші тоқсанда косинус теріс, сондықтан \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
ctg \alpha табу үшін формуланы қолданамыз ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Сәйкес мәндерді білеміз.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Жүктелуде...
