§ 1 Сандарды салыстырудың әмбебап тәсілі
Негізгі қасиеттерімен танысайық сандық теңсіздіктер, сонымен қатар сандарды салыстырудың әмбебап әдісін қарастырыңыз.
Сандарды салыстыру нәтижесін теңдік немесе теңсіздік арқылы жазуға болады. Теңсіздік қатаң немесе қатаң емес болуы мүмкін. Мысалы, a>3 – қатаң теңсіздік; a≥3 – әлсіз теңсіздік. Сандарды салыстыру тәсілі салыстырылатын сандардың түріне байланысты. Мысалы, салыстыру қажет болса ондық бөлшектер, содан кейін біз оларды біртіндеп салыстырамыз; салыстыру қажет болса жай бөлшектерәр түрлі бөлгіштермен, содан кейін оларды ортақ бөлгішке әкеліп, алымдарды салыстыру керек. Бірақ сандарды салыстырудың әмбебап тәсілі бар. Ол мыналардан тұрады: а және b сандарының айырмасын табу; a - b > 0 болса, яғни оң сан, содан кейін a > b; егер а - б< 0, то есть теріс сан, содан кейін а< b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:
2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)
Әмбебап салыстыру әдісін қолданайық. 2b2 - 6b + 1 және 2b(b - 3) өрнектерінің айырмашылығын табайық;
2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; Ұқсас мүшелерді қосып, 1-ді алайық. 1 нөлден үлкен болғандықтан, оң сан, онда 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3).
§ 2 Сандық теңсіздіктердің қасиеттері
Қасиет 1. Егер a> b, b > c, онда a> c.
Дәлелдеу. Егер a > b, онда айырма a - b > 0, яғни оң сан. Егер b >c болса, онда b - c > 0 айырмасы оң сан болады. А - b және b - c оң сандарын қосып, жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді қосамыз, біз (a - b) + (b - c) = a - b + b - c = a - c аламыз. Оң сандардың қосындысы оң сан болғандықтан, а - с оң сан болады. Сондықтан, дәлелдеуді қажет ететін а > с.
2-қасиет. Егер а< b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».
Дәлелдеу. a + c және b+ c өрнектерінің айырмашылығын тауып, жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді қосамыз, біз (a + c) - (b+ c) = a + c - b - c = a - b аламыз. Шарты бойынша а< b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.
Мүлік 3. Егер а< b, c - положительное число, то aс < bс.
Егер а< b, c- отрицательное число, то aс >б.з.б.
Дәлелдеу. Ac және bc өрнектерінің айырмашылығын табайық, с-ді жақшаның ішінен шығарайық, сонда бізде ac-bc = c(a-b) болады. Бірақ бері а Егер a-b теріс санын оң c санына көбейтсек, онда c(a-b) көбейтіндісі теріс болады, демек, ac-bc айырмасы теріс болады, бұл ac дегенді білдіреді. Егер a-b теріс саны c теріс санына көбейтілсе, онда c(a-b) көбейтіндісі оң болады, демек, ac-bc айырмасы оң болады, бұл ac>bc дегенді білдіреді. Q.E.D. Мысалы, а Бөлуді көбейту арқылы = n∙ кері санға ауыстыруға болатындықтан, дәлелденген сипатты бөлуге де қолдануға болады. Олай болса, бұл қасиеттің мағынасы мынадай: «Теңсіздіктің екі жағын бірдей оң санға көбейтуге немесе бөлуге болады, ал теңсіздіктің таңбасы өзгермейді. Теңсіздіктің екі жағын да теріс санға көбейтуге немесе бөлуге болады, бірақ теңсіздіктің таңбасын қарама-қарсы таңбаға өзгерту керек». 3-қасиетке байланысты қарастырайық. Салдары. Егер а Дәлелдеу. а теңсіздігінің екі жағын да бөлейік
бөлшектерді азайтып, алыңдар Мәлімдеме дәлелденді. Шынында да, мысалы, 2< 3, но Қасиет 4. Егер a > b және c > d болса, онда a + c > b+ d. Дәлелдеу. a>b және c >d болғандықтан, онда айырмашылықтар a-bжәне c-d оң сандар. Сонда бұл сандардың қосындысы да оң сан (a-b)+(c-d) болады. Жақшаларды ашып (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d) топтастырайық. Осы теңдікті ескере отырып, алынған (a+c)-(b+d) өрнек оң сан болады. Демек, a+ c> b+ d. a>b, c >d немесе a түріндегі теңсіздіктер< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>б, б Қасиет 5. Егер a > b, c > d, онда ac> bd, мұндағы a, b, c, d оң сандар. Дәлелдеу. a>b және c оң сан болғандықтан, 3-қасиетті пайдаланып, ac > bc аламыз. c >d және b оң сан болғандықтан, bc > bd. Сондықтан ac > bd бірінші қасиеті бойынша. Дәлелденген қасиеттің мағынасы мынадай: «Егер сол және оң жақтары оң сандар болатын мүшені мағынасы бірдей теңсіздіктерге көбейтсек, бірдей мағынадағы теңсіздік шығады». Мысалы, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. Мүлік 6. Егер а< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. Дәлелдеу. Берілген n теңсіздіктерді a мүшесіне көбейтсек< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же табиғи дәрежесі, теңсіздік белгісін сақтай отырып». § 3 Қасиеттерді қолдану Біз қарастырған қасиеттерді қолданудың мысалын қарастырайық. 33 болсын< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) a + b қосындысын есептейік. 4-қасиетті пайдаланып, біз 33 + 3 аламыз< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) a - b айырмасын бағалайық. Алу қасиеті болмағандықтан, a - b айырмасын a + (-b) қосындысына ауыстырамыз. Алдымен (- b) бағалап көрейік. Ол үшін 3-қасиетті пайдаланып, теңсіздіктің екі жағы 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Біз -4 аламыз< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) a ∙ b көбейтіндісін бағалайық. 5-қасиет бойынша бір таңбалы теңсіздіктерді көбейтеміз Теңсіздіктер математикада маңызды рөл атқарады. Мектепте біз негізінен айналысамыз сандық теңсіздіктер, оның анықтамасымен біз осы мақаланы бастаймыз. Сосын тізіп, дәлелдейміз сандық теңсіздіктердің қасиеттері, оған теңсіздіктермен жұмыс істеудің барлық принциптері негізделген. Бірден атап өтейік, сандық теңсіздіктердің көптеген қасиеттері ұқсас. Сондықтан біз материалды сол схема бойынша береміз: біз сипатты тұжырымдаймыз, оның негіздемесін және мысалдарын келтіреміз, содан кейін келесі қасиетке көшеміз. Бетті шарлау. Біз теңсіздік ұғымын енгізген кезде, теңсіздіктер көбінесе жазылу тәсілімен анықталатынын байқадық. Сонымен теңсіздіктерді ≠-ге тең емес, кем белгілері бар мағыналы алгебралық өрнектер деп атадық.<, больше >, ≤-ден кіші немесе оған тең немесе ≥-дан үлкен немесе оған тең. Жоғарыда келтірілген анықтамаға сүйене отырып, сандық теңсіздікке анықтама беру ыңғайлы: Сандық теңсіздіктермен кездесу бірінші сыныпта математика сабағында 1-ден 9-ға дейінгі алғашқы натурал сандармен танысып, салыстыру операциясымен танысқаннан кейін бірден орын алады. Рас, олар «сандық» анықтамасын алып тастап, жай ғана теңсіздіктер деп аталады. Түсінікті болу үшін, зерттеудің осы сатысындағы ең қарапайым сандық теңсіздіктерге бірнеше мысал келтірген дұрыс: 1<2
, 5+2>3
. Ал натурал сандардан басқа білім сандардың басқа түрлеріне де (бүтін сандар, рационал, нақты сандар), оларды салыстыру ережелері зерттеледі және бұл сандық теңсіздіктердің түрлік әртүрлілігін айтарлықтай кеңейтеді: −5>−72, 3>−0,275·(7−5,6) , . Тәжірибеде теңсіздіктермен жұмыс бірқатар мүмкіндік береді сандық теңсіздіктердің қасиеттері. Олар біз енгізген теңсіздік тұжырымдамасынан шығады. Сандарға қатысты бұл ұғым сандар жиынындағы «кем» және «артық» қатынастарының анықтамасы деп санауға болатын келесі тұжырыммен берілген (ол жиі теңсіздіктің айырымдық анықтамасы деп аталады): Анықтама.
Бұл анықтаманы «кем немесе тең» және «үлкен немесе тең» қатынастарының анықтамасына қайта өңдеуге болады. Міне, оның сөзі: Анықтама.
Біз бұл анықтамаларды сандық теңсіздіктердің қасиеттерін дәлелдеу кезінде қолданамыз, оларды қарастырамыз. Біз шолуды теңсіздіктердің үш негізгі қасиетінен бастаймыз. Неліктен олар негізгі? Өйткені олар тек сандық теңсіздіктерге қатысты емес, ең жалпы мағынадағы теңсіздіктердің қасиеттерінің көрінісі. Таңбалар арқылы жазылған сандық теңсіздіктер< и >, сипаттамасы: ≤ және ≥ әлсіз теңсіздік белгілерін қолданып жазылған сандық теңсіздіктерге келетін болсақ, олар рефлексиялық қасиетке ие (антирефлексия емес), өйткені a≤a және a≥a теңсіздіктері a=a теңдік жағдайын қамтиды. Олар сондай-ақ антисимметриямен және транзиттікпен сипатталады. Сонымен, ≤ және ≥ таңбалары арқылы жазылған сандық теңсіздіктер келесі қасиеттерге ие: Олардың дәлелдеулері бұрын берілгендерге өте ұқсас, сондықтан біз оларға тоқталмай, сандық теңсіздіктердің басқа маңызды қасиеттеріне көшеміз. Сандық теңсіздіктердің негізгі қасиеттерін үлкен мәнге ие нәтижелер қатарымен толықтырайық практикалық маңызы. Өрнектердің мәндерін бағалау әдістері соларға негізделген, принциптер соларға негізделген теңсіздіктердің шешімдеріжәне т.б. Сондықтан оларды жақсы түсінген жөн. Бұл бөлімде біз теңсіздіктердің қасиеттерін қатаң теңсіздіктің бір белгісі үшін ғана тұжырымдаймыз, бірақ ұқсас қасиеттер қарама-қарсы таңба үшін де, қатаң емес теңсіздіктердің белгілері үшін де жарамды болатынын есте ұстаған жөн. Мұны мысалмен түсіндірейік. Төменде теңсіздіктердің келесі қасиетін тұжырымдап, дәлелдейміз: егер а
Ыңғайлы болу үшін біз сандық теңсіздіктердің қасиеттерін тізім түрінде береміз, бұл ретте сәйкес мәлімдемені береміз, оны әріптерді пайдаланып формальды түрде жазамыз, дәлел келтіреміз, содан кейін қолдану мысалдарын көрсетеміз. Ал мақаланың соңында сандық теңсіздіктердің барлық қасиеттерін кестеге жинақтаймыз. Бар! Шынайы сандық теңсіздіктің екі жағына кез келген санды қосу (немесе азайту) шынайы сандық теңсіздікті шығарады. Басқаша айтқанда, a және b сандары а болатындай болса
Оны дәлелдеу үшін соңғы сандық теңсіздіктің сол және оң жақтарының айырмасын шығарып, а шарты бойынша теріс екенін көрсетейік. (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Өйткені шарт бойынша а
Біз c санын азайту үшін сандық теңсіздіктердің бұл қасиетін дәлелдеуге тоқталмаймыз, өйткені нақты сандар жиынында азайтуды −c қосу арқылы ауыстыруға болады. Мысалы, 7>3 дұрыс сандық теңсіздігінің екі жағына 15 санын қоссаңыз, 7+15>3+15 дұрыс сандық теңсіздігін аласыз, бұл бірдей, 22>18. Жарамды сандық теңсіздіктің екі жағы бірдей оң c санына көбейтілсе (немесе бөлінсе), жарамды сандық теңсіздік шығады. Егер теңсіздіктің екі жағы да теріс c санына көбейтілсе (немесе бөлінсе), ал теңсіздіктің таңбасы кері болса, онда теңсіздік ақиқат болады. Тура мағынада: а және b сандары а теңсіздігін қанағаттандырса b·c. Дәлелдеу. c>0 болған жағдайдан бастайық. Дәлелдейтін сандық теңсіздіктің сол және оң жақтарының айырмасын шығарайық: a·c−b·c=(a−b)·c . Өйткені шарт бойынша а 0 болса, онда (a−b)·c көбейтіндісі a−b теріс саны мен оң c санының көбейтіндісі ретінде теріс сан болады (бұл -дан шығады). Демек, a·c−b·c<0
, откуда a·c Шынайы сандық теңсіздіктің екі жағын бірдей с санына бөлудің қарастырылатын қасиетін дәлелдеуге біз тоқталмаймыз, өйткені бөлуді әрқашан 1/c көбейтумен ауыстыруға болады. Талданатын сипатты нақты сандарда қолдану мысалын көрсетейік. Мысалы, дұрыс сандық теңсіздіктің екі жағы да болуы мүмкін 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Сандық теңдіктің екі жағын да санға көбейтудің жаңа талқыланған қасиетінен екі практикалық құнды нәтиже шығады. Сондықтан біз оларды салдар түрінде тұжырымдаймыз. Осы абзацта жоғарыда қарастырылған қасиеттердің барлығы алдымен дұрыс сандық теңсіздіктің берілуімен және одан теңсіздік бөліктерімен және таңбамен кейбір айла-шарғы жасау арқылы басқа дұрыс сандық теңсіздік алынатынымен біріктіріледі. Енді біз бастапқыда бір емес, бірнеше дұрыс сандық теңсіздіктер берілген және олардың бөліктерін қосқаннан немесе көбейткеннен кейін олардың бірлескен қолданылуынан жаңа нәтиже шығатын қасиеттер блогын ұсынатын боламыз. Егер a, b, c және d сандары а теңсіздіктерін қанағаттандырса
(a+c)−(b+d) теріс сан екенін дәлелдейік, бұл a+c екенін дәлелдейді Индукция арқылы бұл қасиет үш, төрт және жалпы сандық теңсіздіктердің кез келген шекті санын мүше бойынша қосуға таралады. Сонымен, егер a 1, a 2, …, a n және b 1, b 2, …, b n сандары үшін келесі теңсіздіктер дұрыс болады: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Мысалы, бізге бір −5 таңбалы үш дұрыс сандық теңсіздік берілген<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Бір таңбалы мүшенің екі жағы да оң сандармен берілген сандық теңсіздіктерді мүшеге көбейтуге болады. Атап айтқанда, екі теңсіздік үшін а
Оны дәлелдеу үшін а теңсіздігінің екі жағын да көбейтуге болады
Бұл қасиет оң бөліктері бар ақиқат сандық теңсіздіктердің кез келген соңғы санын көбейту үшін де дұрыс. Яғни, a 1, a 2, ..., a n және b 1, b 2, ..., b n оң сандар, ал а 1 болса. a 1 a 2…a n . Бөлек айта кететін жайт, егер сандық теңсіздіктерді белгілеу оң емес сандарды қамтыса, онда оларды бір-мүше көбейту дұрыс емес сандық теңсіздіктерге әкелуі мүмкін. Мысалы, сандық теңсіздіктер 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство. Салдары. а түріндегі бірдей ақиқат теңсіздіктерді терминдік көбейту
Мақаланың соңында, уәде етілгендей, біз барлық зерттелген қасиеттерді жинаймыз сандық теңсіздіктердің қасиеттерінің кестесі: Әдебиеттер тізімі. СЫЗЫҚТЫҚ ТЕҢДЕЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІК I § 10 Сандық теңсіздіктердің негізгі қасиеттері 1. Егер a > b, Бұл б< а
, және, керісінше, егер А< b
, Бұл b > a.
Дәлелдеу.Болсын a > b
. Анықтама бойынша бұл сан ( а - б
) оң. Егер оның алдына минус белгісін қойсақ, онда алынған сан ( а - б
) теріс болатыны анық. Сондықтан - ( а - б
) < 0, или б - а
< 0. А это (опять же по определению) и означает, что б< a
. Оқушыларды қарама-қарсы пікірді өз беттерімен дәлелдеуге шақырамыз. Теңсіздіктердің дәлелденген қасиеті қарапайым геометриялық интерпретацияға мүмкіндік береді: егер А нүктесі сан түзуінде В нүктесінің оң жағында жатса, онда В нүктесі А нүктесінің сол жағында және керісінше орналасады (20-суретті қараңыз). 2. Егер a>b, а b > c, Бұл a > c.
Геометриялық тұрғыдан бұл қасиет келесідей. А нүктесі болсын (санға сәйкес А
) В нүктесінің оң жағында орналасқан (санға сәйкес б
), ал В нүктесі, өз кезегінде, С нүктесінің оң жағында (санға сәйкес) жатыр бірге
). Сонда А нүктесі одан да көп С нүктесінің оң жағында орналасады (Cурет 21). Теңсіздіктердің бұл қасиетінің алгебралық дәлелін келтірейік. Болсын a > b
, а b > c
. Бұл сандар ( а - б
) Және ( б-c
) оң. Екі оң санның қосындысы оң екені анық. Сондықтан ( а - б
) + (б-c
) > 0 немесе a - c
> 0. Бірақ бұл соны білдіреді А
> бірге
. 3. Егер a > b, содан кейін кез келген сан үшін бірге a + c > b + c, a - c > б - б.
Басқаша айтқанда, сандық теңсіздіктің екі жағына бірдей санды қосса немесе екі жағынан бірдей санды азайтса, онда теңсіздік бұзылмайды. Дәлелдеу.Болсын a > b
. Бұл дегеніміз а - б
> 0. Бірақ а - б
= (a + c
) - (b + c
). Сондықтан ( a + c
) - (b + c
) > 0. Ал анықтамасы бойынша бұл мынаны білдіреді a + c > b + c
. Дәл осылай көрсетілген a - c > б - б
. Мысалы, 5 > 4 теңсіздігінің екі жағына 1 1/2 қоссақ, аламыз. Салдары.Сандық теңсіздіктің бір бөлігінің кез келген мүшесін осы мүшенің таңбасын керісінше өзгерту арқылы теңсіздіктің екінші бөлігіне ауыстыруға болады. Мысалы, a + b > c
. Мұны дәлелдеу талап етіледі a > c - b
. Оны дәлелдеу үшін осы теңсіздіктің екі жағынан да санды алып тастау жеткілікті б
. 4. Болсын a > b. Егер c > 0, Бұл ac > bc
. Егер бірге< 0
, Бұл ак< bс
. Басқа сөздермен айтқанда, егер сандық теңсіздіктің екі жағы да оң санға көбейтілсе, онда теңсіздік бұзылмайды; Қысқаша айтқанда, бұл қасиет келесідей тұжырымдалады: Теріс сандарды оң санға көбейткенде теңсіздік сақталады, ал теріс санға көбейткенде таңба керісінше өзгереді. Мысалы, 5 > 1 теңсіздігін 7-ге көбейтсек, 35 > 7 аламыз. Бірдей теңсіздікті - 7-ге көбейткенде - 35 шығады.< - 7. 4-ші қасиеттің дәлелі. Болсын a > b. Бұл санды білдіреді а - боң. Екі оң санның көбейтіндісі а - бЖәне бірге
, анық, ол да оң, яғни ( а - б
) бірге
> 0 немесе Нөмір болған кезде жағдай бірдей қарастырылады бірге
теріс. Оң санның көбейтіндісі а - б
теріс санға бірге
, анық, теріс, яғни. Салдары.Теріс сандарды оң санға бөлгенде теңсіздік белгісі сақталады, ал теріс санға бөлгенде кері болады. Бұл санға бөлу фактісінен туындайды бірге
=/= 0 1 санына көбейтуге тең /
в
. Жаттығулар
81. 2 > 1 теңсіздігін мүшеге көбейтуге болады ма? A) А
2 + 1; б) | А
|; V) А
; г) 1 - 2a + А
2 теңсіздік таңбасы сақталуы үшін? 82. Әрқашан 5 X
4-тен көп X
, A - сағ
Аздау сағ
? 83. Сан қандай болуы мүмкін? X
, егер бұл белгілі болса - X
> 7? 84. Сандарды өсу ретімен орналастыр: а) а 2, 5а 2, 2а 2; б) 5 А
, 2А
; V) А
, А
2 , А
3. 85. Сандарды кему ретімен орналастыр а - б
, А
- 2б
, А
- 3б
. 86. Сандық теңсіздіктердің үшінші қасиетінің геометриялық түсіндірмесін беріңіз. Барлық нақты сандар жиынын үш жиынның бірігуі ретінде көрсетуге болады: оң сандар жиыны, теріс сандар жиыны және бір саннан тұратын жиын – нөл саны. Сан екенін көрсету үшін Аоң болса, жазбаны пайдаланыңыз a > 0, теріс санды көрсету үшін басқа белгіні пайдаланыңыз а< 0
. Оң сандардың қосындысы мен көбейтіндісі де оң сандар. Егер нөмір Атеріс, содан кейін сан -Аоң (және керісінше). Кез келген оң а саны үшін оң рационал сан бар r, Не r< а
. Бұл фактілер теңсіздік теориясының негізінде жатыр. Анықтау бойынша, a > b теңсіздігі (немесе, бірдей, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, яғни a - b саны оң болса. Атап айтқанда, теңсіздікті қарастырыңыз А< 0
. Бұл теңсіздік нені білдіреді? Жоғарыдағы анықтамаға сәйкес, бұл дегеніміз 0 - a > 0, яғни. -a > 0немесе, басқаша айтқанда, қандай сан -Аоң. Бірақ бұл сан болған жағдайда ғана орын алады Атеріс. Сонымен теңсіздік А< 0
санын білдіреді бірақ теріс. Белгілеу де жиі қолданылады аб(немесе, не бірдей, ба). (a b) [(a > b) V (a = b)] 1-мысал. 5 0, 0 0 теңсіздіктері дұрыс па? 5 0 теңсіздігі логикалық «немесе» (дизъюнкция) жалғауы арқылы байланысқан екі қарапайым мәлімдемеден тұратын күрделі мәлімдеме болып табылады. Немесе 5 > 0 немесе 5 = 0. Бірінші мәлімдеме 5 > 0 ақиқат, екінші мәлімдеме 5 = 0 жалған. Дизъюнкцияның анықтамасы бойынша мұндай күрделі тұжырым ақиқат болып табылады. 00 жазбасы да осылай талқыланады. Пішіннің теңсіздіктері a > b, a< b
біз оларды қатаң және формадағы теңсіздіктер деп атаймыз аб, аб- қатаң емес. Теңсіздіктер a > bЖәне c > d(немесе А< b
Және бірге< d
) бірдей мағынадағы теңсіздіктер, теңсіздіктер деп аталатын болады a > bЖәне в< d
- қарама-қарсы мағынадағы теңсіздіктер. Назар аударыңыз, бұл екі термин (бір және қарама-қарсы мағынадағы теңсіздіктер) осы теңсіздіктермен көрсетілген фактілердің өзіне емес, тек теңсіздіктерді жазу формасына қатысты. Сонымен, теңсіздікке қатысты А< b
теңсіздік бірге< d
бірдей мағыналы теңсіздік болып табылады және белгілеуде d>c(бір мағынаны білдіреді) – қарама-қарсы мағынадағы теңсіздік. Пішіннің теңсіздіктерімен қатар a>b, абқосарланған теңсіздіктер, яғни форма теңсіздіктері қолданылады А< с < b
, ак< b
, а< cb
, А< с < b
(1) А< с
Және бірге< b.
Теңсіздіктер ұқсас мағынаға ие acb, ac< b, а < сb.
Қос теңсіздікті (1) былай жазуға болады: (а< c < b) [(a < c) & (c < b)] және қос теңсіздік a ≤ c ≤ bкелесі формада жазуға болады: (a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Енді осы мақалада әріптер болатынына келісе отырып, теңсіздіктерге әрекет етудің негізгі қасиеттері мен ережелерін көрсетуге көшейік. a, b, cнақты сандарды білдіреді және nнатурал санды білдіреді. 1) Егер a > b және b > c болса, онда a > c (өтпелілік). Дәлелдеу. Шарт бойынша a > bЖәне b > c, содан кейін сандар а - бЖәне б - боң, демек сан a - c = (a - b) + (b - c), оң сандардың қосындысы ретінде де оң болады. Бұл анықтама бойынша, бұл дегенді білдіреді a > c. 2) Егер a > b болса, онда кез келген с үшін a + c > b + c теңсіздігі орындалады. Дәлелдеу. Өйткені a > b, содан кейін нөмір а - боң. Сондықтан, сан (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bда оң, яғни. 3) a + b > c болса, a > b - c,яғни бұл мүшенің таңбасын қарама-қарсысына өзгерту арқылы кез келген мүше теңсіздіктің бір бөлігінен екінші бөлігіне ауыса алады. Дәлелдеу қасиетінен шығады 2) теңсіздіктің екі жағына да жеткілікті a + b > cнөмірді қосыңыз - б. 4) a > b және c > d болса, онда a + c > b + d,яғни бір мағыналы екі теңсіздікті қосқанда бір мағыналы теңсіздік шығады. Дәлелдеу. Теңсіздік анықтамасының күші бойынша айырмашылықты көрсету жеткілікті Салдары. 2) және 4) ережелерден ол туындайды келесі ережетеңсіздіктерді алу: егер a > b, c > d, Бұл a - d > b - c(дәлелдеу үшін теңсіздіктің екі жағын да қолдану жеткілікті a + c > b + dнөмірді қосыңыз - c - d). 5) Егер a > b болса, онда с > 0 үшін ac > bc, ал с үшін болады< 0 имеем ас < bc.
Басқаша айтқанда, теңсіздіктің екі жағын не оң санға көбейткенде, теңсіздік таңбасы сақталады (яғни, бірдей мағынадағы теңсіздік алынады), бірақ теріс санға көбейткенде теңсіздік таңбасы керісінше өзгереді. (яғни, қарама-қарсы мағынаның теңсіздігі алынады. Дәлелдеу. Егер a > b, Бұл а - боң сан болып табылады. Демек, айырмашылықтың белгісі ac-bc = такси)санның таңбасы сәйкес келеді бірге: Егер біргеоң сан болса, онда айырмашылық AC - б.з.боң, сондықтан ac > bc, ал егер бірге< 0
, онда бұл айырмашылық теріс және демек б.з.боң, яғни. bc > ac. 6) Егер a > b > 0 және c > d > 0 болса, онда ac > bd,яғни бір мағыналы екі теңсіздіктің барлық мүшелері оң болса, онда бұл теңсіздіктерді мүшеге көбейткенде бірдей мағыналы теңсіздік шығады. Дәлелдеу. Бізде бар ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Өйткені c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, содан кейін ac - bd > 0, яғни ac > bd. Түсініктеме.Дәлелден шарт екені анық d > 0меншікті тұжырымдау кезінде 6) маңызды емес: бұл қасиет жарамды болуы үшін шарттарды орындау жеткілікті. a > b > 0, c > d, c > 0. Егер (теңсіздіктер орындалса a > b, c > d) сандар a, b, cбәрі оң болмайды, онда теңсіздік ac > bdорындалмауы мүмкін. Мысалы, қашан А = 2, б =1, в= -2, г= -3 бізде бар a > b, c > г, бірақ теңсіздік ac > bd(яғни -4 > -3) орындалмады. Осылайша, 6) қасиетін тұжырымдауда a, b, c сандарының оң болуы талабы өте маңызды. 7) Егер a ≥ b > 0 және c > d > 0 болса, онда (теңсіздіктерді бөлу). Дәлелдеу. Бізде бар Түсініктеме.Маңызды жайтты атап өтейік жеке оқиға 7 ереже), a = b = 1 кезінде алынады: егер c > d > 0 болса, онда. Сонымен, егер теңсіздіктің мүшелері оң болса, онда кері мәндерге өткенде қарама-қарсы мағыналы теңсіздікті аламыз. Оқырмандарға осы ереженің 7-де орындалатынын тексеруге шақырамыз) Егер ab > 0 және c > d > 0 болса, онда (теңсіздіктерді бөлу). Дәлелдеу. Бұл. Белгі арқылы жазылған теңсіздіктердің бірнеше қасиеттерін жоғарыда дәлелдедік >
(Көбірек). Дегенмен, бұл қасиеттердің барлығын белгі арқылы тұжырымдауға болады <
(кем), өйткені теңсіздік б< а
анықтамасы бойынша теңсіздікпен бірдей дегенді білдіреді a > b. Сонымен қатар, тексеру оңай болғандықтан, жоғарыда дәлелденген қасиеттер қатаң емес теңсіздіктер үшін де сақталады. Мысалы, 1) қатаң емес теңсіздіктер үшін қасиет болады келесі көрініс: Егер аб және б.з.б, Бұл ак. Әрине, жоғарыда айтылғандар теңсіздіктердің жалпы қасиеттерін шектемейді. Сондай-ақ бар тұтас сызықтеңсіздіктер жалпы көрінісдәрежесін қарастырумен байланысты, көрсеткіштік, логарифмдік және тригонометриялық функциялар. Мұндай теңсіздіктерді жазудың жалпы тәсілі келесідей. Егер қандай да бір функция y = f(x)сегментте монотонды түрде артады [a, b], онда x 1 > x 2 үшін (мұндағы x 1 және x 2 осы кесіндіге жатады) бізде f болады (x 1) > f(x 2). Сол сияқты, егер функция y = f(x)аралықта монотонды түрде төмендейді [a, b], содан кейін қашан x 1 > x 2 (қайда x 1Және X 2 осы сегментке жатады) бізде бар f(x 1)< f(x 2
). Әрине, айтылғандардың монотондылық анықтамасынан айырмашылығы жоқ, бірақ бұл әдіс теңсіздіктерді есте сақтау және жазу үшін өте ыңғайлы. Мысалы, кез келген натурал n саны үшін функция y = xnсәуле бойымен монотонды өсуде }Сандық теңсіздіктер: анықтамасы, мысалдары
Сандық теңсіздіктердің қасиеттері
Негізгі қасиеттер
Сандық теңсіздіктердің басқа да маңызды қасиеттері
6 1/2 > 5 1/2. Осы теңсіздіктің екі жағынан 5 санын азайтсақ, 0 > - 1 шығады.
Егер теңсіздіктің екі жағы да теріс санға көбейтілсе, онда теңсіздіктің таңбасы керісінше өзгереді.
ac - bc >
0. Сондықтан ac > bc
.
(a - b) c<
0; Сондықтан ас - bс<
0, қайдан ак< bс
.
Жазба аб, анықтамасы бойынша, мұны да білдіреді a > b, немесе a = b. Жазбаны ескерсек абанықталмаған мәлімдеме ретінде, онда математикалық логиканың белгілеуінде жаза аламыз
аcb. Анықтама бойынша, рекорд
екі теңсіздік те орындалады дегенді білдіреді:
a + c > b + c.
(a + c) - (b + c)оң. Бұл айырмашылықты келесідей жазуға болады:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Өйткені санның шарты бойынша а - бЖәне с - гонда оң (a + c) - (b + d)оң сан да бар.
Оң жақтағы бөлшектің алымы оң (5, 6) қасиеттерін қараңыз), бөлімі де оң. Демек,. Бұл 7) сипатты дәлелдейді.
Жүктелуде...
