Бұл мақалада біз толық емес квадрат теңдеулерді шешуді қарастырамыз.

Бірақ алдымен қандай теңдеулер квадрат деп аталатынын қайталап көрейік. ax 2 + bx + c = 0 түріндегі теңдеу, мұндағы х - айнымалы, ал a, b және c коэффициенттері кейбір сандар және a ≠ 0 деп аталады. шаршы. Көріп отырғанымыздай, х 2 үшін коэффициент нөлге тең емес, сондықтан х немесе бос мүше үшін коэффициенттер нөлге тең болуы мүмкін, бұл жағдайда біз толық емес аламыз. квадрат теңдеу.

Толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі бар:

1) Егер b = 0, c ≠ 0 болса, онда ax 2 + c = 0;

2) Егер b ≠ 0, c = 0 болса, онда ax 2 + bx = 0;

3) b = 0, c = 0 болса, онда ах 2 = 0.

• Қалай шешуге болатынын анықтайық ax 2 + c = 0 түріндегі теңдеулер.

Теңдеуді шешу үшін бос c мүшесін теңдеудің оң жағына жылжытамыз, аламыз

балта 2 = ‒s. a ≠ 0 болғандықтан, теңдеудің екі жағын да а-ға бөлеміз, онда x 2 = ‒c/a.

Егер ‒с/а > 0 болса, онда теңдеудің екі түбірі болады

x = ±√(–c/a) .

Егер ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Мұндай теңдеулерді шешу жолдарын мысалдар арқылы түсінуге тырысайық.

1-мысал. 2х 2 ‒ 32 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Жауабы: x 1 = - 4, x 2 = 4.

2-мысал. 2х 2 + 8 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Жауабы: теңдеудің шешімі жоқ.

• Оны қалай шешуге болатынын анықтап көрейік ax 2 + bx = 0 түріндегі теңдеулер.

ax 2 + bx = 0 теңдеуін шешу үшін көбейткіштерге жіктейік, яғни жақшаның ішінен х-ті алып, х(ax + b) = 0 аламыз. Көбейткіштердің ең болмағанда біреуі тең болса, көбейтінді нөлге тең болады. нөлге дейін. Сонда не x = 0, не ax + b = 0. ax + b = 0 теңдеуін шешсек, ax = - b аламыз, мұндағы x = - b/a. ax 2 + bx = 0 түріндегі теңдеуде әрқашан x 1 = 0 және x 2 = ‒ b/a екі түбірі болады. Осы түрдегі теңдеулердің шешімі қандай болатынын диаграммадан қараңыз.

Нақты мысалмен білімімізді бекітейік.

3-мысал. 3x 2 ‒ 12x = 0 теңдеуін шешіңіз.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 немесе 3x – 12 = 0

Жауабы: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Үшінші типті теңдеулер ax 2 = 0өте қарапайым шешіледі.

Егер ax 2 = 0 болса, онда x 2 = 0. Теңдеудің екі тең түбірі бар x 1 = 0, x 2 = 0.

Түсінікті болу үшін диаграмманы қарастырайық.

4-мысалды шешу кезінде осы түрдегі теңдеулерді өте оңай шешуге болатынына көз жеткізейік.

4-мысал. 7х 2 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Жауабы: x 1, 2 = 0.

Толық емес квадрат теңдеудің қандай түрін шешуіміз керек екені әрқашан анық бола бермейді. Келесі мысалды қарастырайық.

5-мысал.Теңдеуді шеш

Теңдеудің екі жағын ортақ бөлгішке, яғни 30-ға көбейтейік.

Оны қысқартайық

5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.

Жақшаларды ашайық

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Ұқсас берейік

Таңбасын керісінше өзгерте отырып, теңдеудің сол жағынан 99-ды оңға жылжытайық.

Жауап: тамыры жоқ.

Біз толық емес квадрат теңдеулердің қалай шешілетінін қарастырдық. Енді мұндай тапсырмаларды орындауда қиындықтар болмайды деп сенемін. Толық емес квадрат теңдеудің түрін анықтау кезінде абай болыңыз, сонда сіз табысқа жетесіз.

Осы тақырып бойынша сұрақтарыңыз болса, менің сабақтарыма жазылыңыз, туындаған мәселелерді бірге шешеміз.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

Мақсаттар:

• Келтірілген квадрат теңдеу ұғымымен таныстыру;
• берілген квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы байланысты «ашу»;
• Математиканың хоббиі болатынын вьет өмірінің мысалы арқылы көрсете отырып, математикаға қызығушылықты дамыту.

Сабақтар кезінде

1. Үй тапсырмасын тексеру

№ 309(g) x 1 =7, x 2 =

№ 311(g) x 1 =2, x 2 =-1

№ 312 (d) түбірлері жоқ

2. Үйренген материалды қайталау

Әркімнің өз үстелінде үстелі бар. Кестенің сол және оң жақ бағандарының арасындағы сәйкестікті табыңыз.

Сөздік тұжырымдау	Әріптік өрнек
1. Шаршы үшмүшелік	A. ah 2 =0
2. Дискриминант	B. балта 2 +c=0, с< 0
3. Бір түбірі 0-ге тең толық емес квадрат теңдеу.	IN. D > 0
4. Бір түбірі 0, екіншісі 0-ге тең емес толық емес квадрат теңдеу.	Г. D< 0
5. Түбірлері шамасы бойынша тең, бірақ таңбасы қарама-қарсы болатын толық квадрат теңдеу емес.	D. akh 2 +in+c=0
6. Нақты түбірі жоқ толық квадрат теңдеу емес.	Е. D=v 2 +4ac
7. Квадрат теңдеудің жалпы көрінісі.	ЖӘНЕ. x 2 +px+q=0
8. Квадрат теңдеудің екі түбірі болатын шарт	З. аа 2 +д+с
9. Квадрат теңдеудің түбірі жоқ шарт	ЖӘНЕ. ax 2 +c=0, c > 0
10. Квадрат теңдеудің екі бірдей түбірі болатын шарт	TO. akh 2 +in=0
11. Келтірілген квадрат теңдеу.	Л. D = 0

Дұрыс жауаптарды кестеге енгізіңіз.

1-Z; 2-E; 3-A; 4-К; 5 B; 6-I; 7-D; 8-B; 9-G; 10-л; 11-Ф.

3. Оқыған материалды бекіту

Теңдеулерді шешіңіз:

а) -5х 2 + 8х -3=0;

Шешім:

D=64 – 4(-5)(-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

б) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

Шешім:

D=36 – 4 2 (-8)= 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

в) 2009 x 2 +x – 2010 =0

Шешім:

a + b + c = 2009+1 + (-2010) =0, онда x 1 =1 x 2 =

4. Мектеп курсын кеңейту

ax 2 +in+c=0, егер a+b+c=0 болса, онда x 1 =1 x 2 =

Теңдеулерді шешуді қарастырайық

а) 2х 2 + 5х +3 = 0

Шешім:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

ә) -4х 2 -5х -1 =0

Шешім:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

в)1150х 2 +1135х -15 = 0

Шешім:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

ax 2 +in+c=0, егер a-b+c=0 болса, онда x 1 = – 1 x 2 =

5. Жаңа тақырып

Бірінші тапсырманы орындағандарыңды тексерейік. Қандай жаңа ұғымдарды кездестірдіңіз? 11 – f, яғни.

Берілген квадрат теңдеу x 2 + px + q = 0.

Сабағымыздың тақырыбы.
Келесі кестені толтырайық.
Сол жақ баған дәптерде, бір оқушы тақтада.
Теңдеуді шешу akh 2 +in+c=0
Оң жақ баған, тақтада дайынырақ оқушы
Теңдеуді шешу x 2 + px + q = 0, a = 1, b = p, c = q болғанда

Мұғалім (қажет болса) көмектеседі, қалғандары дәптерде.

6. Практикалық бөлім

X 2 – 6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	D = 100 – 51 = 49	x 1 = 10 – 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 – 20 X – 69 = 0,	D = 100 – 69 = 31

Есептеулеріміздің нәтижесі бойынша кестені толтырамыз.

Теңдеу №.	Р	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Алынған нәтижелерді квадрат теңдеулердің коэффициенттерімен салыстырайық.
Қандай қорытынды жасауға болады?

7. Тарихи алғышарттар

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы байланысты алғаш рет атақты француз ғалымы Франсуа Вьет (1540–1603) белгіледі.

Франсуа Вьет мамандығы бойынша заңгер болған және ұзақ жылдар бойы корольдің кеңесшісі қызметін атқарған. Математика оның хоббиі немесе олар айтқандай, хобби болғанымен, ол тынымсыз еңбектің арқасында үлкен нәтижелерге қол жеткізді. Виет 1591 жылы белгісіздер мен теңдеулердің коэффициенттері үшін әріптік белгілерді енгізді. Бұл жалпы формулалар арқылы теңдеудің түбірлерін және басқа қасиеттерін жазуға мүмкіндік берді.

Вьетнам алгебрасының кемшілігі ол тек оң сандарды таниды. Теріс шешімдерді болдырмау үшін ол теңдеулерді ауыстырды немесе жасанды шешімдерді іздеді, бұл көп уақытты алды, шешімді қиындатады және жиі қателіктерге әкелді.

Виет көптеген түрлі жаңалықтар ашты, бірақ оның өзі квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы байланысты орнатуды, яғни «Вьет теоремасы» деп аталатын қатынасты ең жоғары бағалады.

Бұл теореманы келесі сабақта қарастырамыз.

8. Білімді жалпылау

Сұрақтар:

1. Қандай теңдеу келтірілген квадрат теңдеу деп аталады?
2. Берілген квадрат теңдеудің түбірін қандай формула арқылы табуға болады?
3. Берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің саны немен анықталады?
4. Келтірілген квадрат теңдеудің дискриминанты неге тең?
5. Жоғарыда келтірілген квадрат теңдеудің түбірлері мен оның коэффициенттері қалай байланысты?
6. Бұл байланысты кім жасады?

9. Үйге тапсырма

4.5 тармақ, № 321(b,f) №322(a,d,g,h)

Кестені толтыр.

теңдеу	Тамырлар	Түбірлердің қосындысы	Тамырдың өнімі
X 2 – 8x + 7 = 0	1 және 7	8	7

Әдебиет

СМ. Никольскийжәне т.б., «ММУ-Мектеп» сериясының «Алгебра 8» оқулығы – М.: Просвещение, 2007 ж.

Осымен математикалық бағдарламаСен істе аласың квадрат теңдеуді шешу.

Бағдарлама мәселеге жауап беріп қана қоймайды, сонымен қатар шешу процесін екі жолмен көрсетеді:
- дискриминантты қолдану
- Виет теоремасын қолдану (мүмкіндігінше).

Оның үстіне жауап шамамен емес, дәл көрсетіледі.
Мысалы, \(81x^2-16x-1=0\) теңдеуі үшін жауап келесі пішінде көрсетіледі:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ және мұндай емес: \(x_1 = 0,247; \төрт x_2 = -0,05\)

Бұл бағдарлама жоғары сынып оқушылары үшін пайдалы болуы мүмкін орта мектептердайындық үстінде сынақтаржәне емтихандар, Бірыңғай мемлекеттік емтихан алдында білімді тексеру кезінде, ата-аналар үшін математика мен алгебрадан көптеген есептердің шешімін бақылау үшін. Немесе сізге репетитор жалдау немесе жаңа оқулықтар сатып алу тым қымбат болуы мүмкін бе? Немесе оны мүмкіндігінше тезірек аяқтағыңыз келе ме? үй жұмысыматематикада немесе алгебрада? Бұл жағдайда сіз егжей-тегжейлі шешімдері бар біздің бағдарламаларды да пайдалана аласыз.

Осылайша сіз өзіңіздің жаттығуларыңызды және/немесе жаттығуларыңызды жүргізе аласыз. інілерінемесе апалы-сіңлілер, ал шешілетін мәселелер саласындағы білім деңгейі көтеріледі.

Квадрат көпмүшені енгізу ережелерімен таныс болмасаңыз, олармен танысуды ұсынамыз.

Квадрат көпмүшені енгізу ережелері

Кез келген латын әрпі айнымалы ретінде әрекет ете алады.
Мысалы: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), т.б.

Сандарды бүтін немесе бөлшек сандар ретінде енгізуге болады.
Оның үстіне, бөлшек сандарондық бөлшек ретінде ғана емес, жай бөлшек ретінде де енгізуге болады.

Ондық бөлшектерді енгізу ережелері.
Ондық бөлшектерде бөлшек бөлігін бүтін бөліктен нүкте немесе үтір арқылы бөлуге болады.
Мысалы, енгізуге болады ондық бөлшектеркелесідей: 2,5x - 3,5x^2

Жай бөлшектерді енгізу ережелері.
Бөлшектің алымы, бөлімі және бүтін бөлігі ретінде тек натурал сан әрекет ете алады.

Бөлгіш теріс болуы мүмкін емес.

Сандық бөлшекті енгізу кезінде алым бөлгіштен бөлу белгісімен бөлінеді: /
Толық бөлігібөлшектен амперсанд арқылы бөлінеді: &
Енгізу: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Нәтиже: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Өрнекті енгізу кезінде жақшаларды қолдануға болады. Бұл жағдайда квадрат теңдеуді шешу кезінде енгізілген өрнек алдымен жеңілдетіледі.
Мысалы: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Шешіңіз

Бұл мәселені шешуге қажетті кейбір сценарийлер жүктелмегені және бағдарлама жұмыс істемеуі мүмкін екені анықталды.
Сізде AdBlock қосылған болуы мүмкін.
Бұл жағдайда оны өшіріп, бетті жаңартыңыз.

Браузеріңізде JavaScript өшірілген.
Шешім пайда болуы үшін JavaScript қосу керек.
Мұнда браузерде JavaScript-ті қосу туралы нұсқаулар берілген.

Өйткені Мәселені шешуге ниет білдірушілер көп, өтінішіңіз кезекке қойылды.
Бірнеше секундтан кейін шешім төменде пайда болады.
Өтінемін, күте тұрыңыз сек...

Егер сіз шешімдегі қатені байқады, содан кейін бұл туралы Кері байланыс пішінінде жаза аласыз.
Ұмытпаңыз қандай тапсырманы көрсетіңізнені өзіңіз шешесіз өрістерге енгізіңіз.

Біздің ойындар, басқатырғыштар, эмуляторлар:

Кішкене теория.

Квадрат теңдеу және оның түбірлері. Толық емес квадрат теңдеулер

Теңдеулердің әрқайсысы
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ұқсайды
\(ax^2+bx+c=0, \)
мұндағы х – айнымалы, a, b және c – сандар.
Бірінші теңдеуде a = -1, b = 6 және c = 1,4, екіншісінде a = 8, b = -7 және c = 0, үшіншіде a = 1, b = 0 және c = 4/9. Мұндай теңдеулер деп аталады квадрат теңдеулер.

Анықтама.
Квадрат теңдеу ax 2 +bx+c=0 түріндегі теңдеу деп аталады, мұндағы х - айнымалы, a, b және c - кейбір сандар және \(a \neq 0 \).

a, b және c сандары квадрат теңдеудің коэффициенттері болып табылады. а саны бірінші коэффициент, b саны екінші коэффициент, с саны бос мүше деп аталады.

ax 2 +bx+c=0 түріндегі теңдеулердің әрқайсысында, мұндағы \(a\neq 0\), х айнымалысының ең үлкен дәрежесі квадрат болып табылады. Осыдан аталды: квадрат теңдеу.

Квадрат теңдеуді екінші дәрежелі теңдеу деп те атайтынын ескеріңіз, өйткені оның сол жағы екінші дәрежелі көпмүше болып табылады.

х 2 коэффициенті 1-ге тең болатын квадрат теңдеу деп аталады берілген квадрат теңдеу. Мысалы, берілген квадрат теңдеулер теңдеулер болып табылады
\(x^2-11x+30=0, \төрт x^2-6x=0, \төрт x^2-8=0 \)

Егер ax 2 +bx+c=0 квадрат теңдеуінде b немесе c коэффициенттерінің ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, онда мұндай теңдеу деп аталады. толық емес квадрат теңдеу. Сонымен, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 теңдеулер толық емес квадрат теңдеулер. Оның біріншісінде b=0, екіншісінде c=0, үшіншісінде b=0 және с=0.

Толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі бар:
1) ax 2 +c=0, мұндағы \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, мұндағы \(b \neq 0 \);
3) балта 2 =0.

Осы түрлердің әрқайсысының теңдеулерін шешуді қарастырайық.

\(c \neq 0 \) үшін ax 2 +c=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеуді шешу үшін оның бос мүшесін оң жаққа жылжытып, теңдеудің екі жағын а-ға бөліңіз:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Оң жақ көрсеткі x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Өйткені \(c \neq 0 \), онда \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Егер \(-\frac(c)(a)>0\), онда теңдеудің екі түбірі болады.

Егер \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеуді \(b \neq 0 \) арқылы шешу үшін оны кеңейтіңіз. сол жақкөбейткіштер арқылы және теңдеуді алыңыз
\(x(ax+b)=0 \Оң жақ көрсеткі \солға\( \begin(массив)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(массив) \оңға. \Оң жақ көрсеткі \солға\( \басталады (массив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(массив) \оң жақ. \)

Бұл \(b \neq 0 \) үшін ax 2 +bx=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеудің әрқашан екі түбірі болатынын білдіреді.

ax 2 =0 түріндегі толық емес квадрат теңдеу x 2 =0 теңдеуіне эквивалентті, сондықтан бір түбірі 0 болады.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы

Енді белгісіздердің коэффициенттері де, бос мүшесі де нөлге тең емес квадрат теңдеулерді шешу жолын қарастырайық.

Квадрат теңдеуді шешейік жалпы көрінісжәне нәтижесінде біз түбірлердің формуласын аламыз. Бұл формуланы кез келген квадрат теңдеуді шешу үшін пайдалануға болады.

ax 2 +bx+c=0 квадрат теңдеуін шешіңіз

Екі жағын а-ға бөлсек, эквивалентті келтірілген квадрат теңдеуді аламыз
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Бұл теңдеуді биномның квадратын таңдау арқылы түрлендірейік:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\оң)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Оң жақ көрсеткі \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\оң)^ 2 - \frac(c)(a) \Оң жақ көрсеткі \) \(\сол(x+\frac(b)(2a)\оң)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Оң жақ көрсеткі \сол(x+\frac(b)(2a)\оң)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Оң жақ көрсеткі \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Оң жақ көрсеткі x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Оң жақ көрсеткі \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Радикалды өрнек деп аталады квадрат теңдеудің дискриминанты ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» латын тілінде – дискриминатор). Ол D әрпімен белгіленеді, яғни.
\(D = b^2-4ac\)

Енді дискриминант белгісін пайдаланып, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қайта жазамыз:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), мұнда \(D= b^2-4ac \)

Ол анық:
1) Егер D>0 болса, онда квадрат теңдеудің екі түбірі болады.
2) Егер D=0 болса, онда квадрат теңдеудің бір түбірі \(x=-\frac(b)(2a)\) болады.
3) Егер D Осылайша, дискриминанттың мәніне байланысты квадрат теңдеудің екі түбірі болуы мүмкін (D > 0 үшін), бір түбірі (D = 0 үшін) немесе түбірлері жоқ (D үшін осыны пайдаланып квадрат теңдеуді шешкенде формула бойынша келесі жолды орындаған жөн:
1) дискриминантты есептеу және оны нөлмен салыстыру;
2) дискриминант оң немесе нөлге тең болса, онда түбір формуласын қолданыңыз, егер дискриминант теріс болса, онда түбірлер жоқ деп жазыңыз.

Виетаның теоремасы

Берілген ax 2 -7x+10=0 квадрат теңдеуінің түбірлері 2 және 5. Түбірлердің қосындысы 7, көбейтіндісі 10. Түбірлердің қосындысы қарама-қарсы алынған екінші коэффициентке тең екенін көреміз. таңбасы, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Түбірлері бар кез келген қысқартылған квадрат теңдеудің осы қасиеті бар.

Жоғарыдағы квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең.

Анау. Виет теоремасы x 2 +px+q=0 келтірілген квадрат теңдеудің x 1 және x 2 түбірлерінің мынадай қасиеті бар екенін айтады:
\(\left\( \begin(массив)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(массив) \оңға. \)

«Теңдеулерді шешу» тақырыбын жалғастыра отырып, осы мақаладағы материал сізді квадрат теңдеулермен таныстырады.

Барлығын егжей-тегжейлі қарастырайық: квадрат теңдеудің мәні мен белгіленімі, ілеспе мүшелерін анықтаңыз, толық емес және толық теңдеулерді шешу сызбасын талдаңыз, түбірлер мен дискриминант формуласымен танысыңыз, түбірлер мен коэффициенттер арасында байланыс орнатыңыз, және, әрине, біз практикалық мысалдарға көрнекі шешім береміз.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадрат теңдеу, оның түрлері

Анықтама 1

Квадрат теңдеутүрінде жазылған теңдеу болып табылады a x 2 + b x + c = 0, Қайда x– айнымалы, a , b және в– кейбір сандар, әзірше анөл емес.

Көбінесе квадрат теңдеулерді екінші дәрежелі теңдеулер деп те атайды, өйткені мәні бойынша квадрат теңдеу екінші дәрежелі алгебралық теңдеу болып табылады.

Берілген анықтаманы түсіндіру үшін мысал келтірейік: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, т.б. Бұл квадрат теңдеулер.

Анықтама 2

a, b және сандары вквадрат теңдеудің коэффициенттері болып табылады a x 2 + b x + c = 0, ал коэффициент абірінші, немесе аға, немесе х 2 кезіндегі коэффициент, b - екінші коэффициент немесе коэффициент деп аталады. x, А втегін мүше деп аталады.

Мысалы, квадрат теңдеуде 6 x 2 − 2 x − 11 = 0жетекші коэффициент 6, екінші коэффициент − 2 , ал бос термин тең − 11 . Коэффициенттер болған кезде назар аударайық бжәне/немесе c теріс, содан кейін пайдаланыңыз қысқа нысанысияқты жазбалар 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, бірақ жоқ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Осы жағын да анықтайық: егер коэффициенттер ажәне/немесе бтең 1 немесе − 1 , онда олар квадрат теңдеуді жазуға анық қатыса алмайды, бұл көрсетілген сандық коэффициенттерді жазу ерекшеліктерімен түсіндіріледі. Мысалы, квадрат теңдеуде y 2 − y + 7 = 0жетекші коэффициент 1, ал екінші коэффициент − 1 .

Келтірілген және келтірілмеген квадрат теңдеулер

Бірінші коэффициенттің мәні бойынша квадрат теңдеулер келтірілген және келтірілмеген болып бөлінеді.

Анықтама 3

Қысқартылған квадрат теңдеужетекші коэффициенті 1 болатын квадрат теңдеу. Жетекші коэффициенттің басқа мәндері үшін квадрат теңдеу келтірілмейді.

Мысалдар келтірейік: x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 квадрат теңдеулер азайтылады, олардың әрқайсысында жетекші коэффициент 1-ге тең.

9 x 2 − x − 2 = 0- келтірілмеген квадрат теңдеу, мұндағы бірінші коэффициент басқаша 1 .

Кез келген азайтылмаған квадрат теңдеуді екі жағын бірінші коэффициентке бөлу арқылы келтірілген теңдеуге айналдыруға болады (эквивалентті түрлендіру). Трансформацияланатын теңдеудің берілген қысқартылмаған теңдеумен бірдей түбірлері болады немесе мүлде түбірлері болмайды.

Қарастыру нақты мысалкелтірілмеген квадрат теңдеуден келтірілгенге өтуді нақты көрсетуге мүмкіндік береді.

1-мысал

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 теңдеуі берілген . Бастапқы теңдеуді қысқартылған түрге түрлендіру қажет.

Шешім

Жоғарыда келтірілген схема бойынша бастапқы теңдеудің екі жағын жетекші коэффициент 6-ға бөлеміз. Сонда біз аламыз: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, және бұл келесімен бірдей: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0және одан әрі: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Осы жерден: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Осылайша, берілгенге эквивалентті теңдеу алынады.

Жауап: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Толық және толық емес квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеудің анықтамасына көшейік. Онда біз мұны атап көрсеттік a ≠ 0. Ұқсас шарт теңдеу үшін қажет a x 2 + b x + c = 0бастап дәл шаршы болды a = 0ол негізінен айналады сызықтық теңдеу b x + c = 0.

Коэффициенттер болған жағдайда бЖәне внөлге тең (бұл жеке де, бірлескен де мүмкін), квадрат теңдеу толық емес деп аталады.

Анықтама 4

Толық емес квадрат теңдеу- осындай квадрат теңдеу a x 2 + b x + c = 0,мұндағы коэффициенттердің кем дегенде біреуі бЖәне в(немесе екеуі де) нөлге тең.

Толық квадрат теңдеу– барлық сандық коэффициенттері нөлге тең емес квадрат теңдеу.

Квадрат теңдеулердің түрлеріне неліктен дәл осы атаулар берілгенін талқылайық.

b = 0 болғанда квадрат теңдеу пішінді қабылдайды a x 2 + 0 x + c = 0, ол бірдей a x 2 + c = 0. Сағат c = 0квадрат теңдеу былай жазылады a x 2 + b x + 0 = 0, бұл эквивалент a x 2 + b x = 0. Сағат b = 0Және c = 0теңдеу формасын алады a x 2 = 0. Біз алған теңдеулердің толық квадрат теңдеуден айырмашылығы, олардың сол жақтарында х айнымалы мүшесі де, бос мүшесі де, екеуі де жоқ. Шын мәнінде, бұл факт теңдеудің бұл түріне толық емес атау берді.

Мысалы, x 2 + 3 x + 4 = 0 және − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 толық квадрат теңдеулер; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – толық емес квадрат теңдеулер.

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

Жоғарыда келтірілген анықтама ерекшелеуге мүмкіндік береді келесі түрлеріТолық емес квадрат теңдеулер:

• a x 2 = 0, бұл теңдеу коэффициенттерге сәйкес келеді b = 0және c = 0;
• a · x 2 + c = 0 кезінде b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 кезінде c = 0.

Толық емес квадрат теңдеудің әрбір түрінің шешімін ретімен қарастырайық.

a x 2 =0 теңдеуінің шешімі

Жоғарыда айтылғандай, бұл теңдеу коэффициенттерге сәйкес келеді бЖәне в, нөлге тең. теңдеу a x 2 = 0эквивалентті теңдеуге түрлендіруге болады x 2 = 0, оны бастапқы теңдеудің екі жағын да санға бөлу арқылы аламыз а, нөлге тең емес. Бұл теңдеудің түбірі екені анық x 2 = 0бұл нөл, өйткені 0 2 = 0 . Бұл теңдеудің басқа түбірлері жоқ, оны дәреженің қасиеттерімен түсіндіруге болады: кез келген сан үшін p,нөлге тең емес, теңсіздік ақиқат p 2 > 0, одан қашан дегені шығады p ≠ 0теңдік p 2 = 0ешқашан қол жеткізілмейді.

Анықтама 5

Сонымен, a x 2 = 0 толық емес квадрат теңдеу үшін бір түбір бар x = 0.

2-мысал

Мысалы, толық емес квадрат теңдеуді шешейік − 3 x 2 = 0. Ол теңдеумен тең x 2 = 0, оның жалғыз түбірі x = 0, онда бастапқы теңдеудің бір түбірі – нөл болады.

Қысқаша шешім келесідей жазылады:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 теңдеуін шешу

Келесі кезекте толық емес квадрат теңдеулердің шешімі, мұнда b = 0, c ≠ 0, яғни түрдегі теңдеулер a x 2 + c = 0. Осы теңдеуді теңдеудің бір жағынан екінші жағына жылжытып, таңбасын қарама-қарсы жаққа ауыстырып, теңдеудің екі жағын да нөлге тең емес санға бөлу арқылы түрлендірейік:

• аудару втеңдеуін беретін оң жаққа a x 2 = − c;
• теңдеудің екі жағын тең бөлеміз а, біз x = - c a деп аяқтаймыз.

Біздің түрлендірулеріміз эквивалентті; сәйкесінше, алынған теңдеу де бастапқы теңдеумен тең және бұл факт теңдеудің түбірлері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Қандай құндылықтардан аЖәне вөрнектің мәні - c a тәуелді: оның минус таңбасы болуы мүмкін (мысалы, егер a = 1Және c = 2, онда - c a = - 2 1 = - 2) немесе қосу белгісі (мысалы, егер a = − 2Және c = 6, онда - c a = - 6 - 2 = 3); ол нөл емес, өйткені c ≠ 0. Жағдайларға толығырақ тоқталайық - c a< 0 и - c a > 0 .

Жағдайда - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа б p 2 = - c a теңдігі ақиқат болуы мүмкін емес.

- c a > 0 болғанда бәрі басқаша болады: квадрат түбірін есте сақтаңыз және x 2 = - c a теңдеуінің түбірі - c a саны болатыны белгілі болады, өйткені - c a 2 = - c a. - - с а саны да x 2 = - c a теңдеуінің түбірі екенін түсіну қиын емес: шынында да, - - c a 2 = - c a.

Теңдеудің басқа түбірі болмайды. Біз мұны қарама-қайшылық әдісі арқылы көрсете аламыз. Алдымен, жоғарыда табылған түбірлердің белгілерін анықтайық x 1Және − x 1. x 2 = - c a теңдеуінің де түбірі бар деп алайық x 2, ол тамырлардан өзгеше x 1Және − x 1. Мұны теңдеуге ауыстыру арқылы білеміз xоның түбірлері, теңдеуді әділ сандық теңдікке айналдырамыз.

Үшін x 1Және − x 1жазамыз: x 1 2 = - c a , және үшін x 2- x 2 2 = - c a . Сандық теңдіктердің қасиеттеріне сүйене отырып, бір дұрыс теңдік мүшесін екіншісінен мүше бойынша алып тастаймыз, бұл бізге мынаны береді: x 1 2 − x 2 2 = 0. Соңғы теңдікті қайта жазу үшін сандармен амалдардың қасиеттерін қолданамыз (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Екі санның көбейтіндісі нөлге тең болатыны, егер сандардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса ғана белгілі. Жоғарыда айтылғандардан былай шығады x 1 − x 2 = 0және/немесе x 1 + x 2 = 0, бұл бірдей x 2 = x 1және/немесе x 2 = − x 1. Айқын қарама-қайшылық пайда болды, өйткені бастапқыда теңдеудің түбірі деп келісілді x 2ерекшеленеді x 1Және − x 1. Сонымен, теңдеудің x = - c a және x = - - c a-дан басқа түбірі жоқ екенін дәлелдедік.

Жоғарыдағы барлық дәлелдерді қорытындылайық.

Анықтама 6

Толық емес квадрат теңдеу a x 2 + c = 0 x 2 = - c a теңдеуіне тең, ол:

• - c a тамыры болмайды< 0 ;
• екі түбірі болады x = - c a және x = - - c a for - c a > 0.

Теңдеулерді шешуге мысалдар келтірейік a x 2 + c = 0.

3-мысал

Квадрат теңдеу берілген 9 x 2 + 7 = 0.Оның шешімін табу керек.

Шешім

Бос мүшені теңдеудің оң жағына жылжытайық, сонда теңдеу пішінді алады 9 x 2 = − 7.
Алынған теңдеудің екі жағын тең бөлейік 9 , біз x 2 = - 7 9-ға келеміз. Оң жақта минус таңбасы бар санды көреміз, ол мынаны білдіреді: берілген теңдеудің түбірі жоқ. Сонда бастапқы толық емес квадрат теңдеу 9 x 2 + 7 = 0тамыры болмайды.

Жауап:теңдеу 9 x 2 + 7 = 0тамыры жоқ.

4-мысал

Теңдеуді шешу керек − x 2 + 36 = 0.

Шешім

36 санын оң жаққа жылжытайық: − x 2 = − 36.
Екі бөлікті де бөлейік − 1 , Біз алып жатырмыз x 2 = 36. Оң жағында - оң сан, осыдан қорытынды жасауға болады x = 36 немесе x = - 36 .
Түбірді шығарып, соңғы нәтижені жазайық: толық емес квадрат теңдеу − x 2 + 36 = 0екі тамыры бар x=6немесе x = − 6.

Жауап: x=6немесе x = − 6.

a x 2 +b x=0 теңдеуінің шешімі

Толық емес квадрат теңдеулердің үшінші түрін талдап көрейік, қашан c = 0. Толымсыз квадрат теңдеудің шешімін табу a x 2 + b x = 0, көбейткіштерге бөлу әдісін қолданамыз. Теңдеудің сол жағындағы көпмүшені жақшаның ішінен алып, көбейткіштерге жіктейік. ортақ көбейткіш x. Бұл қадам бастапқы толық емес квадрат теңдеуді оның эквивалентіне түрлендіруге мүмкіндік береді x (a x + b) = 0. Ал бұл теңдеу өз кезегінде теңдеулер жиынына тең x = 0Және a x + b = 0. теңдеу a x + b = 0сызықтық және оның түбірі: x = − b a.

Анықтама 7

Осылайша, толық емес квадрат теңдеу a x 2 + b x = 0екі тамыр болады x = 0Және x = − b a.

Материалды мысалмен бекітейік.

5-мысал

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 теңдеуінің шешімін табу керек.

Шешім

Біз оны шығарамыз xжақшаның сыртында x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу теңдеулерге тең x = 0және 2 3 x - 2 2 7 = 0. Енді алынған сызықтық теңдеуді шешу керек: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Теңдеудің шешімін төмендегідей қысқаша жазыңыз:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 немесе 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 немесе x = 3 3 7

Жауап: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминант, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы

Квадрат теңдеулердің шешімін табу үшін түбір формуласы бар:

Анықтама 8

x = - b ± D 2 · a, мұндағы D = b 2 − 4 a c– квадрат теңдеудің дискриминанты деп аталатын.

x = - b ± D 2 · a мәнін жазу x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a екенін білдіреді.

Бұл формуланың қалай алынғанын және оны қалай қолдану керектігін түсіну пайдалы болар еді.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

Квадрат теңдеуді шешуге тапсырма берейік a x 2 + b x + c = 0. Бірнеше эквивалентті түрлендірулерді орындайық:

• теңдеудің екі жағын да санға бөл а, нөлден өзгеше, келесі квадрат теңдеуді аламыз: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• атап өтейік тамаша шаршыалынған теңдеудің сол жағында:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
  Осыдан кейін теңдеу келесі түрге ие болады: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Енді соңғы екі мүшені таңбаны керісінше өзгерте отырып, оң жаққа көшіруге болады, одан кейін мынаны аламыз: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Соңында соңғы теңдіктің оң жағында жазылған өрнекті түрлендіреміз:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Осылайша, бастапқы теңдеуге эквивалентті x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 теңдеуіне келеміз. a x 2 + b x + c = 0.

Мұндай теңдеулердің шешімін алдыңғы абзацтарда қарастырдық (толық емес квадрат теңдеулерді шешу). Алынған тәжірибе x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 теңдеуінің түбірлеріне қатысты қорытынды жасауға мүмкіндік береді:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 арқылы< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 болғанда теңдеу x + b 2 · a 2 = 0, онда x + b 2 · a = 0 болады.

Осыдан x = - b 2 · a жалғыз түбір анық көрінеді;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 үшін мыналар дұрыс болады: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 немесе x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ол х + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 немесе x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , яғни. теңдеудің екі түбірі бар.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 теңдеуінің түбірлерінің болуы немесе болмауы (демек, бастапқы теңдеу) b өрнегінің таңбасына байланысты деп қорытынды жасауға болады. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 оң жағында жазылған. Ал бұл өрнектің белгісі алым, (бөлгіш.) белгісі арқылы беріледі 4 а 2әрқашан оң болады), яғни өрнектің белгісі b 2 − 4 a c. Бұл өрнек b 2 − 4 a cатауы берілген – квадрат теңдеудің дискриминанты және оның белгіленуі ретінде D әрпі анықталады. Мұнда дискриминанттың мәнін жазуға болады – оның мәні мен белгісіне сүйене отырып, олар квадрат теңдеудің нақты түбірлері бола ма, жоқ па, егер болса, түбірлер саны қанша болады – бір немесе екі.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 теңдеуіне оралайық. Оны дискриминантты белгілеу арқылы қайта жазайық: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Қорытындыларымызды тағы да тұжырымдаймыз:

Анықтама 9

• сағ D< 0 теңдеудің нақты түбірі жоқ;
• сағ D=0теңдеудің бір түбірі бар x = - b 2 · a ;
• сағ D > 0теңдеудің екі түбірі бар: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 немесе x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Радикалдардың қасиеттеріне сүйене отырып, бұл түбірлерді мына түрде жазуға болады: x = - b 2 · a + D 2 · a немесе - b 2 · a - D 2 · a. Ал, модульдерді ашып, бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіргенде мынаны аламыз: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Сонымен, біздің пайымдауымыздың нәтижесі квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару болды:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант Dформула бойынша есептеледі D = b 2 − 4 a c.

Бұл формулалар дискриминант нөлден үлкен болғанда екі нақты түбірді де анықтауға мүмкіндік береді. Дискриминант нөлге тең болғанда, екі формуланы да қолдану квадрат теңдеудің жалғыз шешімімен бірдей түбір береді. Дискриминант теріс болған жағдайда, квадрат теңдеудің түбірі формуласын қолданып көрсек, онда біз шығару қажеттілігіне тап боламыз. Шаршы түбіртеріс саннан, ол бізді нақты сандардан тыс алады. Теріс дискриминантпен квадрат теңдеудің нақты түбірлері болмайды, бірақ біз алған түбір формулаларымен анықталатын жұп күрделі конъюгаттық түбірлер болуы мүмкін.

Түбір формулалары арқылы квадрат теңдеулерді шешу алгоритмі

Квадрат теңдеуді түбір формуласын қолдану арқылы бірден шешуге болады, бірақ бұл негізінен табу қажет болғанда орындалады. күрделі тамырлар.

Көп жағдайда бұл күрделі емес, квадрат теңдеудің нақты түбірлерін іздеуді білдіреді. Олай болса, квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын қолданбас бұрын, алдымен дискриминантты анықтап, оның теріс емес екеніне көз жеткізген дұрыс (әйтпесе теңдеудің нақты түбірі жоқ деген қорытындыға келеміз), содан кейін түбірлердің құндылығы.

Жоғарыда келтірілген дәлелдер квадрат теңдеуді шешу алгоритмін құрастыруға мүмкіндік береді.

Анықтама 10

Квадрат теңдеуді шешу a x 2 + b x + c = 0, қажетті:

• формула бойынша D = b 2 − 4 a cдискриминант мәнін табу;
• кезінде D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 үшін x = - b 2 · a формуласы арқылы теңдеудің жалғыз түбірін табыңыз;
• D > 0 үшін x = - b ± D 2 · a формуласы арқылы квадрат теңдеудің екі нақты түбірін анықтаңыз.

Дискриминант нөлге тең болғанда x = - b ± D 2 · a формуласын қолдануға болатынын ескеріңіз, ол x = - b 2 · a формуласымен бірдей нәтиже береді.

Мысалдарды қарастырайық.

Квадрат теңдеулерді шешу мысалдары

үшін мысалдардың шешімін берейік әртүрлі мағыналардискриминант.

6-мысал

Теңдеудің түбірін табуымыз керек x 2 + 2 x − 6 = 0.

Шешім

Квадрат теңдеудің сандық коэффициенттерін жазайық: a = 1, b = 2 және c = − 6. Әрі қарай біз алгоритмге сәйкес әрекет етеміз, яғни. Дискриминантты есептеуді бастайық, ол үшін a, b коэффициенттерін ауыстырамыз. Және вдискриминант формуласына: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Сонымен, біз D > 0 аламыз, яғни бастапқы теңдеудің екі нақты түбірі болады.
Оларды табу үшін x = - b ± D 2 · a түбір формуласын қолданамыз және сәйкес мәндерді ауыстырып, мынаны аламыз: x = - 2 ± 28 2 · 1. Түбір белгісінен көбейткішті алып, содан кейін бөлшекті азайту арқылы алынған өрнекті жеңілдетейік:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 немесе x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 немесе x = - 1 - 7

Жауап: x = - 1 + 7​​​, x = - 1 - 7 .

7-мысал

Квадрат теңдеуді шешу керек − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Шешім

Дискриминантты анықтайық: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Дискриминанттың осы мәнімен бастапқы теңдеудің x = - b 2 · a формуласымен анықталатын бір ғана түбірі болады.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Жауап: x = 3,5.

8-мысал

Теңдеуді шешу керек 5 у 2 + 6 у + 2 = 0

Шешім

Бұл теңдеудің сандық коэффициенттері: a = 5, b = 6 және c = 2 болады. Дискриминантты табу үшін мына мәндерді қолданамыз: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Есептелген дискриминант теріс, сондықтан бастапқы квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ.

Тапсырма күрделі түбірлерді көрсету болған жағдайда, күрделі сандармен әрекеттерді орындай отырып, түбір формуласын қолданамыз:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 немесе x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i немесе x = - 3 5 - 1 5 · i.

Жауап:нақты тамырлар жоқ; күрделі түбірлер келесідей: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN мектеп бағдарламасыКүрделі түбірлерді іздеудің стандартты талабы жоқ, сондықтан шешу кезінде дискриминант теріс деп анықталса, нақты түбірлер жоқ деген жауап бірден жазылады.

Жұп екінші коэффициенттер үшін түбір формуласы

x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) түбір формуласы x үшін жұп коэффициенті бар квадрат теңдеулердің шешімдерін табуға мүмкіндік беретін ықшамырақ басқа формуланы алуға мүмкіндік береді. немесе 2 · n түріндегі коэффициентпен, мысалы, 2 3 немесе 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Бұл формуланың қалай алынғанын көрсетейік.

Алдымызда a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 квадрат теңдеудің шешімін табу міндеті тұрсын. Біз алгоритм бойынша әрекет етеміз: D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) дискриминантын анықтаймыз, содан кейін түбір формуласын қолданамыз:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

n 2 − a · c өрнегі D 1 деп белгіленсін (кейде ол D ” деп белгіленеді). Сонда 2 · n екінші коэффициентімен қарастырылып отырған квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы келесідей болады:

x = - n ± D 1 a, мұндағы D 1 = n 2 − a · c.

D = 4 · D 1 немесе D 1 = D 4 екенін көру оңай. Басқаша айтқанда, D 1 дискриминанттың төрттен бір бөлігі. Әлбетте, D 1 белгісі D белгісімен бірдей, яғни D 1 белгісі квадрат теңдеудің түбірлерінің бар немесе жоқтығын көрсететін көрсеткіш ретінде де қызмет ете алады.

Анықтама 11

Сонымен, екінші коэффициенті 2 n болатын квадрат теңдеудің шешімін табу үшін қажет:

• табу D 1 = n 2 − a · c ;
• D 1 кезінде< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 болғанда, x = - n a формуласы арқылы теңдеудің жалғыз түбірін анықтаңыз;
• D 1 > 0 үшін x = - n ± D 1 a формуласы арқылы екі нақты түбірді анықтаңыз.

9-мысал

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 квадрат теңдеуді шешу керек.

Шешім

Берілген теңдеудің екінші коэффициентін 2 · (− 3) түрінде көрсетуге болады. Содан кейін берілген квадрат теңдеуді 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 түрінде қайта жазамыз, мұндағы a = 5, n = − 3 және c = − 32.

Дискриминанттың төртінші бөлігін есептейік: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Алынған мән оң болады, яғни теңдеудің екі нақты түбірі бар. Оларды сәйкес түбір формуласы арқылы анықтайық:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 немесе x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 немесе x = - 2

Квадрат теңдеудің түбірлері үшін әдеттегі формуланы пайдаланып есептеулерді жүргізуге болады, бірақ бұл жағдайда шешім қиынырақ болар еді.

Жауап: x = 3 1 5 немесе x = - 2.

Квадрат теңдеулердің түрін жеңілдету

Кейде бастапқы теңдеудің формасын оңтайландыруға болады, бұл түбірлерді есептеу процесін жеңілдетеді.

Мысалы, 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0-ге қарағанда 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 квадрат теңдеуін шешу ыңғайлырақ екені анық.

Көбінесе квадрат теңдеудің түрін жеңілдету оның екі жағын белгілі бір санға көбейту немесе бөлу арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, жоғарыда екі жағын 100-ге бөлу арқылы алынған 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 теңдеуінің жеңілдетілген көрінісін көрсеттік.

Мұндай түрлендіру квадрат теңдеудің коэффициенттері өзара болмаған кезде мүмкін болады жай сандар. Содан кейін біз әдетте теңдеудің екі жағын оның коэффициенттерінің абсолютті мәндерінің ең үлкен ортақ бөлгішіне бөлеміз.

Мысал ретінде 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 квадрат теңдеуін қолданамыз. Оның коэффициенттерінің абсолютті мәндерінің GCD анықтайық: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Бастапқы квадрат теңдеудің екі жағын 6-ға бөліп, 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 эквивалентті квадрат теңдеуді алайық.

Квадрат теңдеудің екі жағын көбейту арқылы сіз әдетте бөлшек коэффициенттерден құтыласыз. Бұл жағдайда олар оның коэффициенттерінің бөлгіштерінің ең кіші ортақ еселігіне көбейтіледі. Мысалы, егер 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 квадрат теңдеудің әрбір бөлігі LCM (6, 3, 1) = 6-ға көбейтілсе, онда ол көбірек жазылады. қарапайым түрде x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Соңында, біз әрқашан дерлік квадрат теңдеудің бірінші коэффициентіндегі минустан теңдеудің әрбір мүшесінің таңбаларын өзгерту арқылы құтыламыз, бұл екі жағын − 1-ге көбейту (немесе бөлу) арқылы қол жеткізіледі. Мысалы, − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 квадрат теңдеуінен оның жеңілдетілген 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 нұсқасына өтуге болады.

Түбірлер мен коэффициенттер арасындағы байланыс

Бізге бұрыннан белгілі квадрат теңдеулердің түбірлерінің формуласы x = - b ± D 2 · a теңдеудің түбірлерін оның сандық коэффициенттері арқылы өрнектейді. Осы формулаға сүйене отырып, бізде түбірлер мен коэффициенттер арасындағы басқа тәуелділіктерді көрсету мүмкіндігі бар.

Ең танымал және қолданылатын формулалар Виетаның теоремасы:

x 1 + x 2 = - b a және x 2 = c a.

Атап айтқанда, берілген квадрат теңдеу үшін түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбалы екінші коэффициент, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Мысалы, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 квадрат теңдеудің түріне қарап, оның түбірлерінің қосындысы 7 3, түбірлерінің көбейтіндісі 22 3 екенін бірден анықтауға болады.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы басқа да бірқатар байланыстарды табуға болады. Мысалы, квадрат теңдеудің түбірлерінің квадраттарының қосындысын коэффициенттер арқылы өрнектеуге болады:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Квадрат теңдеутүрінің теңдеуі болып табылады балта 2 +bx +c = 0, қайда x- айнымалы, а,бЖәне в– кейбір сандар, және а ≠ 0.

Квадрат теңдеудің мысалы:

3x 2 + 2x – 5 = 0.

Мұнда А = 3, б = 2, в = –5.

Сандар а,бЖәне в– коэффициенттерквадрат теңдеу.

Сан ашақырды бірінші коэффициент, саны б – екінші коэффициент, және саны в – тегін мүше.

Қысқартылған квадрат теңдеу.

Бірінші коэффициенті 1 болатын квадрат теңдеу деп аталады берілген квадрат теңдеу.

Берілген квадрат теңдеудің мысалдары:

x 2 + 10x – 11 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 – 6X + 5 = 0

мұндағы коэффициент x 2 1-ге тең (барлық үш теңдеуде 1 ғана алынып тасталады).

Толық емес квадрат теңдеу.

Егер квадрат теңдеуде болса балта 2 +bx +c = 0 коэффициенттердің кем дегенде біреуі бнемесе внөлге тең болса, онда мұндай теңдеу деп аталады толық емес квадрат теңдеу.

Толық емес квадрат теңдеулердің мысалдары:

2x 2 + 18 = 0

мұнда коэффициент бар А, ол -2-ге тең, коэффициент в, 18-ге тең және коэффициент бжоқ – ол нөлге тең.

x 2 – 5x = 0

Мұнда А = 1, б = -5, в= 0 (сондықтан коэффициент втеңдеуде жоқ).

Квадрат теңдеулерді шешу жолдары.

Квадрат теңдеуді шешу үшін тек екі қадамды орындау керек:

1) Формула арқылы D дискриминантын табыңыз:

D=б 2 – 4 ак.

Егер дискриминант болса теріс сан, онда квадрат теңдеудің шешімі жоқ және есептеулер тоқтайды. Егер D ≥ 0 болса, онда

2) Квадрат теңдеудің түбірін мына формула арқылы табыңыз:

– б ± √ D
X 1,2 = -----.
2А

Мысалы: 3-квадрат теңдеуді шеш X 2 – 5X – 2 = 0.

Шешім:

Алдымен теңдеуіміздің коэффициенттерін анықтайық:

А = 3, б = –5, в = –2.

Дискриминантты есептейміз:

D= б 2 – 4ак= (–5) 2 – 4 3 (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, бұл теңдеу мағынасы бар дегенді білдіреді, яғни біз жалғастыра аламыз.

Квадрат теңдеудің түбірлерін табу:

–б+ √D 5 + 7 12
X 1 = ----- = ---- = -- = 2
2А 6 6

–б– √D 5 – 7 2 1
X 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2А 6 6 3

1
Жауап: X 1 = 2, X 2 = – --.