Енді биномның квадратын қарастырайық және арифметикалық көзқарасты қолдана отырып, қосындының квадраты, яғни (a + b)² және екі санның айырмасының квадраты, яғни (a -) туралы сөйлесеміз. б)².
Өйткені (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
онда мынаны табамыз: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², яғни.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Бұл нәтижені жоғарыда сипатталған теңдік түрінде де, сөзбен де есте сақтау пайдалы: екі санның қосындысының квадраты бірінші санның квадратына плюс екінің бірінші санға және екінші санға көбейтіндісіне тең. саны, плюс екінші санның квадраты.
Бұл нәтижені біле отырып, біз бірден жаза аламыз, мысалы:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Осы мысалдардың екіншісін қарастырайық. Бізге екі санның қосындысын квадраттау керек: бірінші сан 3ab, екіншісі 1. Нәтиже келесідей болуы керек: 1) бірінші санның квадраты, яғни (3ab)², ол 9a²b²-ге тең; 2) екінің бірінші және екіншісінің көбейтіндісі, яғни 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) 2-ші санның квадраты, яғни 1² = 1 - осы үш мүшенің барлығын қосу керек.
Біз сондай-ақ екі санның айырмасын квадраттау формуласын аламыз, яғни (a – b)² үшін:
(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b²,
яғни екі санның айырмасының квадраты бірінші санның квадратына тең, бірінші сан мен екінші екінің көбейтіндісін шегеріп, екінші санның квадратына плюс.
Бұл нәтижені біле отырып, біз арифметикалық тұрғыдан екі санның айырмасын білдіретін биномдардың квадраттауын бірден орындай аламыз.
(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, т.б.
2-ші мысалды түсіндірейік. Мұнда жақшаның ішінде екі санның айырмашылығы бар: бірінші сан 5ab 3, ал екінші сан 3a 2 b. Нәтиже мынадай болуы керек: 1) бірінші санның квадраты, яғни (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) 1-ші және 2-ші санға екінің көбейтіндісі, яғни 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 және 3) екінші санның квадраты, яғни (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Бірінші және үшінші мүшелерді плюспен, ал 2-ні минуспен алу керек, біз 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 аламыз. 4-ші мысалды түсіндіру үшін біз тек 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... көрсеткішті 2-ге және 2) екінің көбейтіндісін 1-ші санға және 2-ге көбейту керек екенін ескереміз. 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Егер алгебра тұрғысынан алсақ, онда екі теңдік те: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² және 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² бірдей нәрсені өрнектейді, атап айтқанда: биномның квадраты бірінші мүшесінің квадратына, плюс (+2) санның бірінші мүшесі мен екінші мүшесіне көбейтіндісіне, плюс екінші мүшесінің квадратына тең. Бұл түсінікті, өйткені біздің теңдіктерді келесідей қайта жазуға болады:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²
Кейбір жағдайларда алынған теңдіктерді былай түсіндіру ыңғайлы:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Мұнда бірінші мүшесі = –4a және екінші = –3b биномның квадратын аламыз. Содан кейін біз (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² аламыз және соңында:
(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Сондай-ақ үшмүшені, төрт мүшені немесе жалпы кез келген көпмүшені квадраттау формуласын алуға және есте сақтауға болады. Дегенмен, біз мұны істемейміз, өйткені біз бұл формулаларды сирек қолдануымыз керек және кез келген көпмүшені (биномнан басқа) квадраттау қажет болса, біз мәселені көбейтуге дейін азайтамыз. Мысалы:
31. Алынған 3 теңдікті қолданайық, атап айтқанда:
(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
арифметикаға.
Ол 41 ∙ 39 болсын. Сонда біз оны (40 + 1) (40 – 1) түрінде көрсетіп, мәселені бірінші теңдікке келтіреміз – біз 40² – 1 немесе 1600 – 1 = 1599 аламыз. Осының арқасында, 21 ∙ 19 сияқты көбейтуді орындау оңай; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 және т.б.
Ол 41 ∙ 41 болсын; ол 41² немесе (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681 сияқты бірдей. Сондай-ақ 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Егер сізге 37 ∙ 3 қажет болса. онда бұл (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369-ға тең. Мұндай көбейту (немесе екі таңбалы сандарды квадраттау) сіздің басыңызда белгілі бір шеберлікпен оңай орындалады.
Бұл мақалада біз математика курсындағы жақшаларды ашу сияқты маңызды тақырыптың негізгі ережелерін егжей-тегжейлі қарастырамыз. Жақшалар қолданылатын теңдеулерді дұрыс шешу үшін оларды ашу ережелерін білу керек.
Қосу кезінде жақшаны қалай дұрыс ашу керек
«+» белгісі бар жақшаларды кеңейтіңіз
Бұл ең қарапайым жағдай, өйткені жақшалардың алдында қосу белгісі болса, олардың ішіндегі белгілер жақша ашылғанда өзгермейді. Мысалы:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Алдында «-» белгісі бар жақшаларды қалай кеңейтуге болады
Бұл жағдайда барлық терминдерді жақшасыз қайта жазу керек, бірақ сонымен бірге олардың ішіндегі барлық белгілерді керісінше өзгерту керек. Таңбалар тек жақшалардың алдында «-» белгісі қойылған терминдер үшін ғана өзгереді. Мысалы:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Көбейту кезінде жақша қалай ашылады
Жақшалардың алдында көбейткіш саны бар
Бұл жағдайда әрбір мүшені көбейткішке көбейтіп, белгілерді өзгертпей жақшаларды ашу керек. Егер көбейткіште «-» таңбасы болса, онда көбейту кезінде мүшелердің белгілері кері ауыстырылады. Мысалы:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Араларында көбейту белгісі бар екі жақша қалай ашылады
Бұл жағдайда бірінші жақшадағы әрбір мүшені екінші жақшадағы әрбір мүшеге көбейтіп, содан кейін нәтижелерді қосу керек. Мысалы:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Шаршыда жақшаны қалай ашуға болады
Егер екі мүшенің қосындысы немесе айырмасы квадрат болса, жақшаларды келесі формула бойынша ашу керек:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Жақшаның ішінде минус болған жағдайда формула өзгермейді. Мысалы:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Жақшаларды басқа дәрежеге қалай кеңейтуге болады
Егер терминдердің қосындысы немесе айырмашылығы, мысалы, 3-ші немесе 4-ші дәрежеге дейін көтерілсе, онда жақшаның қуатын «шаршыға» бөлу керек. Бірдей көбейткіштердің дәрежелері қосылады, ал бөлу кезінде бөлгіштің күші дивидендтің дәрежесінен шегеріледі. Мысалы:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
3 жақшаны қалай ашуға болады
Бірден 3 жақша көбейтілетін теңдеулер бар. Бұл жағдайда алдымен алғашқы екі жақшаның мүшелерін бірге көбейту керек, содан кейін осы көбейтіндінің қосындысын үшінші жақшаның мүшелеріне көбейту керек. Мысалы:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Жақшаларды ашудың бұл ережелері сызықтық және тригонометриялық теңдеулерді шешуге бірдей қолданылады.
Өткен сабақта көбейткіштерге бөлумен айналысқан болатынбыз. Екі әдісті игердік: ортақ көбейткішті жақшадан шығару және топтастыру. Бұл сабақта - келесі күшті әдіс: қысқартылған көбейту формулалары. Қысқасы - FSU.
Қысқартылған көбейту формулалары (қосынды мен айырым квадрат, қосынды мен айырма кубы, квадраттардың айырмасы, кубтардың қосындысы мен айырмасы) математиканың барлық салаларында өте қажет. Олар өрнектерді ықшамдауда, теңдеулерді шешуде, көпмүшелерді көбейтуде, бөлшектерді азайтуда, интегралды шешуде, т.б. және т.б. Бір сөзбен айтқанда, олармен күресуге толық негіз бар. Олардың қайдан шыққанын, не үшін қажет екенін, оларды қалай есте сақтау керектігін және оларды қалай қолдану керектігін түсініңіз.
Түсінеміз бе?)
Қысқартылған көбейту формулалары қайдан келеді?
6 және 7 теңдіктері өте таныс жолмен жазылмаған. Бұл керісінше. Бұл әдейі.) Кез келген теңдік солдан оңға және оңнан солға қарай жұмыс істейді. Бұл жазба FSU қайдан келетінін анық көрсетеді.
Олар көбейтуден алынады.) Мысалы:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Міне, ғылыми айла жоқ. Біз жай жақшаларды көбейтіп, ұқсастарын береміз. Бұл осылай болып шығады барлық қысқартылған көбейту формулалары. Қысқартылғанкөбейту формулалардың өзінде жақшаларды көбейту және ұқсастарды азайту болмағандықтан. Қысқартылған.) Нәтиже бірден беріледі.
FSU жатқа білу керек. Алғашқы үшеусіз сіз С туралы армандай алмайсыз, қалғаны болмаса, В немесе А туралы армандай алмайсыз.)
Қысқартылған көбейту формулалары не үшін қажет?
Бұл формулаларды үйренудің, тіпті есте сақтаудың екі себебі бар. Біріншісі, дайын жауап автоматты түрде қателер санын азайтады. Бірақ бұл басты себеп емес. Бірақ екіншісі...
Егер сізге бұл сайт ұнаса...
Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)
Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)
Функциялармен және туындылармен танысуға болады.
Жақшаның негізгі қызметі – мәндерді есептеу кезіндегі әрекеттердің ретін өзгерту. Мысалы, \(5·3+7\) сандық өрнекте алдымен көбейту, содан кейін қосу есептеледі: \(5·3+7 =15+7=22\). Бірақ \(5·(3+7)\) өрнегінде алдымен жақшадағы қосу, содан кейін ғана көбейту есептеледі: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Мысал.
Жақшаны кеңейтіңіз: \(-(4м+3)\).
Шешім
: \(-(4м+3)=-4м-3\).
Мысал.
Жақшаны ашып, ұқсас шарттарды беріңіз \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Шешім
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Мысал.
\(5(3-x)\) жақшаларды кеңейтіңіз.
Шешім
: Жақшада \(3\) және \(-x\) бар, ал жақшаның алдында бестік бар. Бұл жақшаның әрбір мүшесі \(5\) көбейтіледі дегенді білдіреді - мен мұны еске саламын Сан мен жақша арасындағы көбейту белгісі жазбалардың көлемін азайту үшін математикада жазылмаған..
Мысал.
\(-2(-3x+5)\) жақшаларды кеңейтіңіз.
Шешім
: Алдыңғы мысалдағыдай, жақшадағы \(-3x\) және \(5\) \(-2\) көбейтіледі.
Мысал.
Өрнекті жеңілдетіңіз: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Шешім
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Соңғы жағдайды қарастыру қалды.
Жақшаны жақшаға көбейту кезінде бірінші жақшаның әрбір мүшесі екіншісінің әрбір мүшесіне көбейтіледі:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Мысал.
\((2-x)(3x-1)\) жақшаларды кеңейтіңіз.
Шешім
: Бізде жақшалар туындысы бар және оны жоғарыдағы формула арқылы бірден кеңейтуге болады. Бірақ шатастырмау үшін бәрін кезең-кезеңімен жасайық.
1-қадам. Бірінші жақшаны алып тастаңыз - оның әрбір мүшесін екінші жақшаға көбейтіңіз:
2-қадам. Жоғарыда сипатталғандай жақшалардың өнімдері мен коэффициентін кеңейтіңіз:
- Бірінші заттар бірінші...
Сосын екіншісі.
3-қадам. Енді ұқсас терминдерді көбейтіп, көрсетеміз:
Барлық түрлендірулерді егжей-тегжейлі сипаттаудың қажеті жоқ, оларды бірден көбейтуге болады. Бірақ егер сіз жақшаларды ашуды үйреніп жатсаңыз, егжей-тегжейлі жазыңыз, қате жіберу мүмкіндігі аз болады.
Бүкіл бөлімге ескерту.Шындығында, барлық төрт ережені есте сақтаудың қажеті жоқ, тек біреуін есте сақтау керек: \(c(a-b)=ca-cb\) . Неліктен? Өйткені c орнына біреуді ауыстырсаңыз, \((a-b)=a-b\) ережесін аласыз. Ал егер минус бірді ауыстырсақ, \(-(a-b)=-a+b\) ережесін аламыз. Егер сіз c орнына басқа жақшаны ауыстырсаңыз, соңғы ережені алуға болады.
Жақша ішіндегі жақша
Кейде іс жүзінде басқа жақшалардың ішіне салынған жақшалармен проблемалар туындайды. Міне, осындай тапсырманың мысалы: \(7x+2(5-(3x+y))\) өрнегін жеңілдетіңіз.
Мұндай міндеттерді сәтті шешу үшін сізге қажет:
- жақшалардың ұясын мұқият түсіну - қайсысының ішінде екенін;
- жақшаларды, мысалы, ең ішкі жақтан бастап, дәйекті түрде ашыңыз.
Бұл жақшалардың бірін ашқанда маңызды өрнектің қалған бөлігін ұстамаңыз, оны сол күйінде қайта жазу.
Мысал ретінде жоғарыда жазылған тапсырманы қарастырайық.
Мысал.
Жақшаларды ашып, ұқсас шарттарды беріңіз \(7x+2(5-(3x+y))\).
Шешімі:
Мысал.
Жақшаларды ашып, ұқсас шарттарды көрсетіңіз \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Шешім
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Мұнда жақшалардың үштік ұясы бар. Ең ішкі (жасыл түспен белгіленген) бастайық. Кронштейннің алдында плюс бар, сондықтан ол жай ғана шығады. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Енді екінші жақшаны, аралықты ашу керек. Бірақ бұған дейін біз осы екінші жақшадағы елес тәрізді терминдердің көрінісін жеңілдетеміз. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Енді біз екінші жақшаны ашамыз (көк түспен белгіленген). Жақшаның алдында фактор - сондықтан жақшадағы әрбір мүше оған көбейтіледі. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Және соңғы жақшаны ашыңыз. Кронштейннің алдында минус белгісі бар, сондықтан барлық белгілер керісінше. |
||
Жақшаларды кеңейту – математикадағы негізгі дағды. Бұл дағдысыз 8 және 9-сыныптарда С-дан жоғары баға алу мүмкін емес. Сондықтан бұл тақырыпты жақсы түсінуге кеңес беремін.
Қысқартылған өрнек формулалары тәжірибеде өте жиі қолданылады, сондықтан олардың барлығын жатқа білген жөн. Осы уақытқа дейін ол бізге адал қызмет етеді, оны басып шығаруды және әрқашан сіздің көзіңізде ұстауды ұсынамыз:
Қысқартылған көбейту формулаларының құрастырылған кестесіндегі алғашқы төрт формула екі өрнектің қосындысын немесе айырмасын шаршыға және текшелеуге мүмкіндік береді. Бесінші екі өрнектің айырмасын және қосындысын қысқаша көбейтуге арналған. Ал алтыншы және жетінші формулалар екі a және b өрнектерінің қосындысын олардың толық емес айырма квадратына (a 2 −a b+b 2 түріндегі өрнек осылай аталады) және екінің айырмасына көбейту үшін қолданылады. a және b өрнектері тиісінше олардың қосындысының толық емес квадраты (a 2 + a·b+b 2 ).
Кестедегі әрбір теңдік сәйкестік болып табылатынын бөлек атап өткен жөн. Бұл қысқартылған көбейту формулаларының қысқартылған көбейту сәйкестіктері деп те аталатынын түсіндіреді.
Мысалдарды шешу кезінде, әсіресе полином көбейткіштерге жіктелетін болса, FSU жиі сол және оң жақтары ауыстырылған пішінде қолданылады:
Кестедегі соңғы үш сәйкестіктің өз атаулары бар. a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) формуласы аталады квадраттар айырымы формуласы, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - текшелердің қосындысы формуласы, А a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - кубтардың айырымы формуласы. Назар аударыңыз, біз алдыңғы кестедегі бөліктері қайта орналастырылған сәйкес формулаларды атамадық.
Қосымша формулалар
Қысқартылған көбейту формулаларының кестесіне тағы бірнеше сәйкестіктерді қосу зиян тигізбейді.
Қысқартылған көбейту формулаларының (ҚҚҚ) қолдану салалары және мысалдар
Қысқартылған көбейту формулаларының (fsu) негізгі мақсаты олардың атымен түсіндіріледі, яғни ол қысқаша көбейту өрнектерінен тұрады. Дегенмен, FSU қолдану аясы әлдеқайда кең және қысқаша көбейтумен шектелмейді. Негізгі бағыттарды тізіп көрейік.
Сөзсіз, қысқартылған көбейту формуласының орталық қолданылуы өрнектерді бірдей түрлендіруді орындауда табылды. Көбінесе бұл формулалар процесте қолданылады өрнектерді жеңілдету.
Мысал.
9·y−(1+3·y) 2 өрнегін ықшамдаңыз.
Шешім.
Бұл өрнекте квадраттау қысқартылған түрде орындалуы мүмкін, бізде бар 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Жақшаларды ашып, ұқсас терминдерді әкелу ғана қалады: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
Жүктелуде...
