Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін табыңыз. Келтірілген теңдеудің түбірлері үшін (59.8) формулаларды қолданып, аламыз
(бірінші теңдік анық, екіншісі қарапайым есептеуден кейін алынады, оны оқырман өз бетінше орындайды; екі санның қосындысын олардың айырмасына көбейту формуласын қолдану ыңғайлы).
Келесі дәлелденген.
Виетаның теоремасы. Берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбалы екінші коэффициентке тең, ал олардың көбейтіндісі бос мүшеге тең.
Келтірілген квадрат теңдеу жағдайында (60.1) формуланың өрнектері пішінді алу үшін (60.1) формулаларға ауыстырылуы керек.
Мысал 1. Түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрыңыз:
Шешуі, а) Теңдеудің түрі бар екенін табамыз
Мысал 2. Теңдеудің өзін шешпей-ақ, теңдеудің түбірлерінің квадраттарының қосындысын табыңдар.
Шешім. Түбірлердің қосындысы мен көбейтіндісі белгілі. Түбірлердің квадраттарының қосындысын формада көрсетеміз
және алу
Виетаның формулаларынан формуланы алу оңай
шаршы үшмүшені көбейткіштерге бөлу ережесін өрнектеу.
Шынында да (60.2) формулаларды формада жазамыз
Қазір бізде
алу қажет болды.
Вьета формулаларының жоғарыдағы туындысы оқырманға орта мектептегі алгебра курсынан таныс. Безут теоремасын пайдаланып және көпмүшені көбейткіштерге бөлу арқылы тағы бір қорытынды жасауға болады (51, 52-тармақтар).
Теңдеудің түбірлері болсын, жалпы ереже бойынша (52.2) теңдеудің сол жағындағы үшмүше көбейткіштерге ыдырайды:
Осы сәйкестендірудің оң жағындағы жақшаларды кеңейте отырып, біз аламыз
және бірдей дәрежедегі коэффициенттерді салыстыру бізге Виетаның формулаларын береді (60.1).
Бұл тұжырымның артықшылығы – оның түбірлері бойынша теңдеудің коэффициенттерінің өрнектерін алу үшін (түбірлердің өзін таппай-ақ!) жоғары дәрежелі теңдеулерге қолдануға болады. Мысалы, келтірілген текше теңдеудің түбірлері болса
Негізінде (52.2) теңдікке сәйкес табамыз
(біздің жағдайда теңдіктің оң жағындағы жақшаларды кеңейтіп, коэффициенттерді әртүрлі дәрежеде жинасақ, біз аламыз
Факторинг квадрат үшмүшелері ерте ме, кеш пе кез келген адам кездесетін мектеп тапсырмаларын білдіреді. Сіз мұны қалай жасайсыз? Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы қандай? Мысалдарды қолдана отырып, оны кезең-кезеңімен анықтайық.
Жалпы формула
Квадрат үшмүшелерді көбейткіштерге бөлу квадрат теңдеуді шешу арқылы жүзеге асырылады. Бұл қарапайым есеп, оны бірнеше әдістермен шешуге болады - Виет теоремасын пайдаланып дискриминантты табу арқылы оны шешудің графикалық жолы да бар. Алғашқы екеуі орта мектепте оқытылады.
Жалпы формула келесідей көрінеді:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)
Тапсырманы орындау алгоритмі
Квадрат үшмүшелерін көбейткіштерге бөлу үшін Вит теоремасын білу, шешуге арналған бағдарламаны білу, графикалық жолмен шешуді таба білу немесе дискриминант формуласы арқылы екінші дәрежелі теңдеудің түбірін іздеу керек. Егер шаршы үшмүше берілсе және оны көбейткіштерге бөлу қажет болса, әрекеттер алгоритмі келесідей болады:
1) Теңдеуді алу үшін бастапқы өрнекті нөлге қойыңыз.
2) Ұқсас терминдерді әкеліңіз (қажет болса).
3) Кез келген белгілі жолмен түбірлерді табыңыз. Түбірлердің бүтін және кіші сандар екені алдын ала белгілі болса, графикалық әдісті қолданған дұрыс. Түбірлер саны теңдеудің максимал дәрежесіне тең екенін есте сақтау керек, яғни квадрат теңдеудің екі түбірі бар.
4) Ауыстырылатын мән Н.Сөрнекке (1).
5) Квадрат үшмүшелерін көбейткіштерге бөлуді жаз.
мысалдары
Тәжірибе бұл тапсырманың қалай орындалатынын түпкілікті түсінуге мүмкіндік береді. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлуді мысалдар арқылы көрсетіңіз:
өрнекті кеңейту керек:
Алгоритмімізге жүгінейік:
1) x 2 -17x + 32 = 0
2) ұқсас терминдер қысқартылған
3) бұл мысалдың түбірлерін Vieta формуласы арқылы табу қиын, сондықтан дискриминант үшін өрнекті қолданған дұрыс:
D = 289-128 = 161 = (12,69) 2
4) Негізгі ыдырау формуласында тапқан түбірлердің орнына қойыңыз:
(x-2,155) * (x-14,845)
5) Сонда жауап келесідей болады:
x 2 -17x + 32 = (x-2,155) (x-14,845)
Дискриминантпен табылған шешімдер Виетаның формулаларына сәйкес келетінін тексерейік:
14,845 . 2,155=32
Бұл түбірлер үшін Виетаның теоремасы қолданылады, олар дұрыс табылды, яғни біз алған көбейткіштерге бөлу де дұрыс.
12x 2 + 7x-6-ны дәл осылай кеңейтеміз.
x 1 = -7 + (337) 1/2
x 2 = -7- (337) 1/2
Алдыңғы жағдайда шешімдер бүтін емес, бірақ алдарыңызда калькулятор арқылы оңай табуға болатын нақты сандар болды. Енді түбірлері күрделі болатын күрделі мысалды қарастырайық: x 2 + 4x + 9 факторы. Виетаның формуласы бойынша түбірлерді табу мүмкін емес, ал дискриминант теріс. Түбірлер күрделі жазықтықта болады.
D = -20
Осыған сүйене отырып, біз өзімізді қызықтыратын тамырларды аламыз -4 + 2i * 5 1/2 және -4-2i * 5 1/2, себебі (-20) 1/2 = 2i * 5 1/2.
Түбірлерді жалпы формулаға ауыстыру арқылы қажетті ыдырауды аламыз.
Тағы бір мысал: 23x 2 -14x + 7 өрнегін көбейту керек.
Бізде теңдеу бар 23x 2 -14x + 7 =0
D = -448
Демек, түбірлер 14 + 21,166i және 14-21,166i. Жауап мынадай болар еді:
23x 2 -14x + 7 = 23 (x- 14-21,166i )*(NS- 14 + 21,166i ).
Мысал келтірейік, оны дискриминанттың көмегінсіз шешуге болады.
Сізге x 2 -32x + 255 квадрат теңдеуді кеңейту керек делік. Әлбетте, оны дискриминантпен шешуге болады, бірақ бұл жағдайда тамырларды жинау жылдамырақ.
x 1 = 15
x 2 = 17
білдіреді x 2 -32x + 255 = (x-15) (x-17).
Әлем көптеген сандарға батырылады. Кез келген есептеулер олардың көмегімен жасалады.
Адамдар кейінгі өмірде алдамау үшін сандарды үйренеді. Білімді болу үшін және өз бюджетіңізді есептеу үшін көп уақыт жұмсау керек.
Математика – өмірде үлкен рөл атқаратын нақты ғылым. Мектепте балалар сандарды, содан кейін олар бойынша әрекеттерді үйренеді.
Сандардағы әрекеттер мүлдем басқаша: көбейту, кеңейту, қосу және т.б. Математиканы оқытуда қарапайым формулалардан басқа күрделі әрекеттер қолданылады. Кез келген мәндерді тануға болатын көптеген формулалар бар.
Мектепте алгебра пайда болғаннан кейін оқушының өміріне жеңілдету формулалары қосылады. Екі белгісіз сан болған кезде теңдеулер бар, бірақ оны қарапайым жолмен таба алмайсыз. Үшмүше деп үш бірмүшелерді алудың және қосудың қарапайым әдісін қолданып қосуды айтады. Үшмүшелік Виет теоремасы мен дискриминантты пайдаланып шешіледі.
Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы
Мысалдың екі дұрыс және қарапайым шешімі бар:
- дискриминант;
- Виетаның теоремасы.
Шаршы үшмүшенің белгісіз квадраты және шаршысы жоқ саны бар. Бірінші нұсқа мәселені шешу үшін Виетаның формуласын пайдаланады. Бұл қарапайым формулаегер белгісізге дейінгі сандар минималды мән болады.
Сан белгісіздің алдында тұрған басқа теңдеулер үшін теңдеуді дискриминант арқылы шешу керек. Бұл күрделірек шешім, бірақ дискриминант Виета теоремасынан әлдеқайда жиі қолданылады.
Бастапқыда теңдеудің барлық айнымалыларын табу үшін мысалды 0-ге көтеру керек. Мысалдың шешімін тексеруге және сандар дұрыс реттелгенін білуге болады.
Дискриминант
1. Теңдеуді 0-ге теңестіру керек.
2. х-тің алдындағы әрбір сан a, b, c сандары деп аталады. Бірінші x квадратының алдында сан болмағандықтан, ол 1-ге тең.
3. Енді теңдеудің шешімі дискриминант арқылы басталады:
4. Енді дискриминантты тауып, екі х табамыз. Айырмашылығы мынада, бір жағдайда b алдында плюс, ал екіншісінде минус болады:
5. Шешімі бойынша екі сан -2 және -1 болып шықты. Бастапқы теңдеудің орнына қойыңыз:
6. Бұл мысалда екі дұрыс нұсқа бар. Егер екі шешім де сәйкес келсе, онда әрқайсысы ақиқат.
Күрделі теңдеулер де дискриминант арқылы шешіледі. Бірақ егер дискриминанттың мәні 0-ден аз болса, онда мысал дұрыс емес. Дискриминант іздеу кезінде әрқашан түбірде болады, ал теріс мән түбірде болуы мүмкін емес.
Виетаның теоремасы
Ол бірінші х-тің алдында сан келмейтін, яғни a = 1 болатын жеңіл есептерді шешу үшін қолданылады. Егер нұсқа сәйкес келсе, онда есептеу Виета теоремасы арқылы жүзеге асырылады.
Кез келген үш шартты шешу үшінтеңдеуді 0-ге көтеру керек. Дискриминант пен Виетаның теоремасы үшін алғашқы қадамдар айырмашылығы жоқ.
2. Енді екі әдістің арасындағы айырмашылықтар басталады. Виетаның теоремасы тек «құрғақ» есептеуді ғана емес, сонымен қатар логика мен интуицияны да пайдаланады. Әр санның өзінің a, b, c әрпі болады. Теорема екі санның қосындысы мен көбейтіндісін пайдаланады.
Есіңізде болсын! Қосылған кезде b саны әрқашан қарама-қарсы таңбамен тұрады, ал с саны өзгеріссіз қалады!
Мысалдағы деректер мәндерін ауыстыру , Біз алып жатырмыз:
3. Логика әдісін қолданып, ең қолайлы сандарды ауыстырамыз. Барлық шешімдерді қарастырайық:
- Сандар 1 және 2. Оны қосқанда 3 шығады, бірақ көбейтсек, 4 шықпайды. Сәйкес келмейді.
- Мән 2 және -2. Көбейткенде -4, ал қосқанда 0 болып шығады.Жарық емес.
- Сандар 4 және -1. Көбейтуде теріс мән бар болғандықтан, бұл сандардың біреуі минуспен болатынын білдіреді. Қосу және көбейту кезінде сәйкес келеді. Дұрыс нұсқа.
4. Тек тексеру, сандарды кеңейту және таңдалған опцияның дұрыстығын көру ғана қалады.
5. Онлайн тексерудің арқасында біз -1 саны мысалдың шартына сәйкес келмейтінін білдік, яғни бұл қате шешім.
Мысалдағы теріс мәнді қосқанда, санды жақшаға қою керек.
Математикада қарапайым есептер де, қиын да болады. Ғылымның өзі сан алуан есептерді, теоремалар мен формулаларды қамтиды. Егер сіз білімді түсініп, дұрыс қолдансаңыз, есептеулердегі кез-келген қиындықтар жеңіл болады.
Математика үнемі жаттауды қажет етпейді. Шешімді түсінуге және бірнеше формулаларды үйренуге үйрену керек. Біртіндеп логикалық қорытындылар бойынша ұқсас есептерді, теңдеулерді шешуге болады. Мұндай ғылым бір қарағанда өте қиын болып көрінуі мүмкін, бірақ егер сіз сандар мен мәселелер әлеміне енсеңіз, сіздің көзқарасыңыз жақсы жаққа түбегейлі өзгереді.
Техникалық мамандықтарәрқашан әлемдегі ең сұранысқа ие болып қала береді. Қазір заманауи технология әлемінде математика кез келген саланың таптырмас атрибутына айналды. Математиканың пайдалы қасиеттері туралы әрқашан есте сақтау керек.
Жақша көмегімен триномияның ыдырауы
Кәдімгі тәсілдермен шешуден басқа, тағы біреуі бар - жақшаға бөлшектеу. Vieta формуласын қолданыңыз.
1. Теңдеуді 0-ге теңестіріңіз.
балта 2 + bx + c= 0
2. Теңдеудің түбірлері өзгеріссіз қалады, бірақ енді олар нөлдің орнына жақшаға кеңейту формулаларын пайдаланады.
балта 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2)
2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)
4. Шешімі х = -1, x = 3
Бұл сабақта біз шаршы үшмүшелерді сызықтық көбейткіштерге ыдыратуды үйренеміз. Ол үшін Виетаның теоремасын және оның кері теоремасын еске түсіру керек. Бұл дағды үшмүшелі квадраттарды сызықтық көбейткіштерге тез және ыңғайлы түрде ыдыратуға, сондай-ақ өрнектерден тұратын бөлшектерді азайтуды жеңілдетуге көмектеседі.
Сонымен, квадрат теңдеуге оралайық, мұнда.
Бізде сол жақта орналасқан нәрсе шаршы үшмүше деп аталады.
Мына теорема ақиқат:Квадрат үшмүшенің түбірлері болса, сәйкестік
Мұндағы жетекші коэффициент, теңдеудің түбірлері.
Сонымен, бізде квадрат теңдеу – квадрат үшмүше бар, мұнда квадрат теңдеудің түбірлері квадрат үшмүшенің түбірлері деп те аталады. Демек, егер бізде шаршы үшмүшенің түбірлері болса, онда бұл үшмүше сызықтық көбейткіштерге ыдырайды.
Дәлелдеу:
Бұл фактіні дәлелдеу алдыңғы сабақтарда қарастырған Виетаның теоремасы арқылы жүзеге асырылады.
Виетаның теоремасы бізге не айтатынын еске түсірейік:
Квадрат үшмүшенің түбірлері болса, ол үшін.
Бұл теорема келесі тұжырымды білдіреді.
Виетаның теоремасына сәйкес, яғни бұл мәндерді жоғарыдағы формулаға ауыстырсақ, келесі өрнекті аламыз.
Q.E.D.
Еске салайық, егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, онда ыдырау дұрыс болады деген теореманы дәлелдедік.
Енді Виет теоремасы арқылы түбірлерін тапқан квадрат теңдеудің мысалын еске түсірейік. Осы фактіден дәлелденген теореманың арқасында келесі теңдікті алуға болады:
Енді жақшаларды жай ғана кеңейту арқылы бұл фактінің дұрыстығын тексерейік:
Біз дұрыс көбейткіштерге жіктегенімізді көреміз және кез келген үшмүшені, егер оның түбірі болса, осы теорема арқылы формула бойынша сызықтық көбейткіштерге ыдыратуға болады.
Дегенмен, кез келген теңдеу үшін мұндай көбейткіштерге бөлу мүмкін екенін тексерейік:
Мысалы, теңдеуді алайық. Алдымен дискриминант белгісін тексерейік
Бірақ біз ұстануға үйренген теорема үшін D 0-ден үлкен болуы керек екенін есте ұстаймыз, сондықтан бұл жағдайда зерттелетін теорема бойынша көбейткіштерге бөлу мүмкін емес.
Сондықтан біз жаңа теореманы тұжырымдаймыз: егер шаршы үшмүшенің түбірі болмаса, онда оны сызықтық көбейткіштерге ыдыратуға болмайды.
Сонымен, Виетаның теоремасын, квадрат үшмүшені сызықтық көбейткіштерге ыдырату мүмкіндігін қарастырдық, енді бірнеше есептерді шығарамыз.
№1 мәселе
Бұл топта біз, шын мәнінде, қойылған мәселеге қарама-қарсы мәселені шешеміз. Бізде теңдеу болды, оның түбірін көбейткіштерге бөлу арқылы таптық. Мұнда біз керісінше әрекет етеміз. Квадрат теңдеудің түбірі бар делік
Кері есеп мынада: оның түбірі болатын квадрат теңдеуді жаз.
Бұл мәселені шешудің 2 жолы бар.
Теңдеудің түбірлері болғандықтан 
түбірлері сандар берілген квадрат теңдеу болып табылады. Енді жақшаларды кеңейтіп, тексерейік:
Бұл басқа түбірлері жоқ, берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрудың бірінші жолы болды, өйткені кез келген квадрат теңдеудің ең көбі екі түбірі болады.
Бұл әдіс Виетаның кері теоремасын қолдануды болжайды.
Егер теңдеудің түбірлері болса, онда олар мына шартты қанағаттандырады.
Келтірілген квадрат теңдеу үшін 
,, яғни, бұл жағдайда, а.
Осылайша, біз берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрдық.
№2 мәселе
Бөлшекті азайту керек.
Бізде алымдағы үш мүшесі және бөлгіштегі үш мүшесі бар, ал үш мүшені кеңейтуге болады немесе кеңейтуге болады. Егер алым да, бөлгіш те көбейткіштерге ыдырайтын болса, онда олардың арасында күшін жоюға болатын тең факторлар болуы мүмкін.
Ең алдымен, сіз алымды көбейтуіңіз керек.
Біріншіден, бұл теңдеуді көбейткіштерге бөлуге болатынын тексеру керек, біз дискриминантты табамыз. Өйткені, таңба көбейтіндіге байланысты (0-ден кіші болуы керек), бұл мысалда, яғни берілген теңдеудің түбірлері бар.
Мәселені шешу үшін Виет теоремасын қолданамыз:
Бұл жағдайда, біз тамырлармен айналысатындықтан, тамырларды жай ғана жинау қиын болады. Бірақ біз коэффициенттердің теңестірілетінін көреміз, яғни егер деп болжасақ және теңдеудегі осы мәнді ауыстырсақ, онда келесі жүйе шығады: яғни 5-5 = 0. Осылайша, біз осы квадрат теңдеудің бір түбірін таңдадық.
Біз екінші түбірді бұрыннан белгілі болғанды теңдеулер жүйесіне ауыстыру арқылы іздейміз, мысалы, т.б. ...
Осылайша, біз квадрат теңдеудің екі түбірін де таптық және оны көбейту үшін олардың мәндерін бастапқы теңдеуге ауыстыра аламыз:
Бастапқы тапсырманы еске түсірейік, бізге бөлшекті азайту керек болды.
Есепті алымның орнына қойып көрейік.
Бұл жағдайда бөлгіш 0-ге тең бола алмайтынын ұмытпау керек, яғни.
Егер бұл шарттар орындалса, біз бастапқы бөлшекті пішінге келтірдік.
№3 есеп (параметрге қатысты мәселе)
Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы параметрдің қандай мәндері үшін
Егер бұл теңдеудің түбірлері бар болса, онда 
, сұрақ: қашан.
Жүктелуде...
