Күрделі туындылар. Логарифмдік туынды.
Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз саралау техникасын жетілдіруді жалғастырамыз. Бұл сабақта біз өткен материалды бекітеміз, күрделірек туындыларды қарастырамыз, сонымен қатар туындыны, атап айтқанда, логарифмдік туындыны табудың жаңа әдістерімен және амалдарымен танысамыз.

Дайындығы төмен оқырмандар мақалаға жүгінуі керек Туындыны қалай табуға болады? Шешімдердің мысалдары, бұл сіздің дағдыларыңызды нөлден дерлік арттыруға мүмкіндік береді. Әрі қарай, сіз бетті мұқият зерделеуіңіз керек Күрделі функцияның туындысы, түсіну және шешу Барлықмен келтірген мысалдар. Бұл сабақ логикалық түрде қатарынан үшінші болып табылады және оны меңгергеннен кейін сіз өте күрделі функцияларды сенімді түрде ажырата аласыз. «Тағы қайда? Бұл жеткілікті!», өйткені барлық мысалдар мен шешімдер нақты сынақтардан алынған және тәжірибеде жиі кездеседі.

Қайталаудан бастайық. Сабақта Күрделі функцияның туындысыБіз егжей-тегжейлі түсініктемелері бар бірқатар мысалдарды қарастырдық. Дифференциалды есептеуді және математикалық талдаудың басқа салаларын оқу барысында сіз өте жиі ажыратуға тура келеді және мысалдарды егжей-тегжейлі сипаттау әрқашан ыңғайлы емес (және әрқашан қажет емес). Сондықтан туынды сөздерді ауызша табуға жаттығамыз. Бұл үшін ең қолайлы «үміткерлер» ең қарапайым күрделі функциялардың туындылары болып табылады, мысалы:

Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесі бойынша :

Болашақта басқа матан тақырыптарын оқыған кезде мұндай егжей-тегжейлі жазба көбінесе талап етілмейді, студент мұндай туындыларды автопилотта қалай табуға болатынын біледі деп болжанады. Елестетіп көрейікші, түнгі сағат 3-те телефон шырылдап, жағымды дауыс: «Екі Х-ның жанамасының туындысы қандай?» деп сұрады. Осыдан кейін бірден және сыпайы жауап болуы керек: .

Бірінші мысал бірден тәуелсіз шешімге арналған.

1-мысал

Мына туынды сөздерді ауызша, бір қимылда табыңыз, мысалы: . Тапсырманы орындау үшін сізге тек пайдалану керек элементар функциялардың туындыларының кестесі(егер әлі есіңізде болмаса). Егер сізде қандай да бір қиындықтар болса, мен сабақты қайта оқуды ұсынамын Күрделі функцияның туындысы.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Сабақтың соңындағы жауаптар

Күрделі туындылар

Алдын ала артиллериялық дайындықтан кейін функциялардың 3-4-5 ұялары бар мысалдар аз қорқынышты болады. Төмендегі екі мысал кейбіреулерге күрделі болып көрінуі мүмкін, бірақ егер сіз оларды түсінсеңіз (біреу зардап шегеді), дифференциалды есептеудегі қалғанның барлығы дерлік баланың әзіліндей болып көрінеді.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жоғарыда айтылғандай, күрделі функцияның туындысын табу кезінде, ең алдымен, қажет ДұрысИнвестицияларыңызды түсініңіз. Күмән тудыратын жағдайларда, мен сізге пайдалы әдісті еске саламын: біз, мысалы, «x» эксперименттік мәнін аламыз және бұл мәнді «қорқынышты өрнекке» ауыстыруға тырысамыз (ойша немесе жобада).

1) Алдымен біз өрнекті есептеуіміз керек, яғни қосынды ең терең ендірілген.

2) Содан кейін логарифмді есептеу керек:

4) Содан кейін косинусты текшеге келтіріңіз:

5) Бесінші қадамда айырмашылық:

6) Соңында, ең сыртқы функция - квадрат түбір:

Күрделі функцияны дифференциалдау формуласы ең сыртқы функциядан ең ішкіге дейін кері ретпен қолданылады. Біз шешеміз:

Ешқандай қате жоқ сияқты...

(1) Квадрат түбірдің туындысын алыңыз.

(2) Ережені пайдаланып айырманың туындысын аламыз

(3) Үштіктің туындысы нөлге тең. Екінші мүшеде дәреженің туындысын аламыз (куб).

(4) Косинустың туындысын алыңдар.

(5) Логарифмнің туындысын алыңыз.

(6) Соңында біз ең терең енгізудің туындысын аламыз.

Бұл тым қиын болып көрінуі мүмкін, бірақ бұл ең қатыгез мысал емес. Мысалы, Кузнецовтың коллекциясын алсаңыз, талданған туындының барлық сұлулығы мен қарапайымдылығын бағалайсыз. Студенттің күрделі функцияның туындысын қалай табуға болатынын түсінетінін немесе түсінбегенін тексеру үшін емтиханда ұқсас нәрсені бергенді ұнататынын байқадым.

Келесі мысал сізге өз бетінше шешуге арналған.

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Нұсқау: Алдымен сызықтық ережелер мен өнімді дифференциалдау ережесін қолданамыз

Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Кішкентай және жақсырақ нәрсеге көшудің уақыты келді.
Мысалда екі емес, үш функцияның туындысын көрсету сирек емес. Үш көбейтіндінің туындысын қалай табуға болады?

4-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Алдымен қарастырайық, үш функцияның көбейтіндісін екі функцияның көбейтіндісіне айналдыруға бола ма? Мысалы, егер көбейтіндіде екі көпмүше болса, онда жақшаларды аша аламыз. Бірақ қарастырылып отырған мысалда барлық функциялар әртүрлі: дәреже, көрсеткіш және логарифм.

Мұндай жағдайларда қажет ретіменөнімді саралау ережесін қолданыңыз екі рет

Оның айласы мынада: «y» арқылы біз екі функцияның туындысын белгілейміз: , ал «ve» арқылы логарифмді белгілейміз: . Неліктен мұны істеуге болады? Шынымен солай ма – бұл екі фактордың туындысы емес және ереже жұмыс істемейді?! Күрделі ештеңе жоқ:

Енді ережені екінші рет қолдану қалды жақшаға:

Сіз сондай-ақ бұралып, жақшалардан бірдеңе қоюға болады, бірақ бұл жағдайда жауапты дәл осы пішінде қалдырған дұрыс - тексеру оңайырақ болады.

Қарастырылған мысалды екінші жолмен шешуге болады:

Екі шешім де абсолютті эквивалент.

5-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл тәуелсіз шешімнің мысалы, үлгіде ол бірінші әдіс арқылы шешіледі.

Бөлшектермен ұқсас мысалдарды қарастырайық.

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда барудың бірнеше жолы бар:

Немесе келесідей:

Бірақ егер алдымен бөліндіні дифференциалдау ережесін қолдансақ, шешім ықшамырақ жазылады , бүкіл алым үшін:

Негізінде, мысал шешілді, егер ол сол күйінде қалдырылса, ол қате болмайды. Бірақ егер сізде уақыт болса, жауапты оңайлатуға болатынын білу үшін әрқашан жобаны тексерген жөн бе? Алым өрнекті ортақ бөлімге келтірейік және үш қабатты бөлшектен арылайық:

Қосымша жеңілдетулердің кемшілігі - туындыны табу кезінде емес, мектептегі банальды түрлендірулер кезінде қателесу қаупі бар. Екінші жағынан, мұғалімдер көбінесе тапсырманы қабылдамайды және туындыны «еске түсіруді» сұрайды.

Өз бетіңізше шешуге қарапайым мысал:

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Біз туындыны табу әдістерін меңгеруді жалғастырамыз, енді дифференциалдау үшін «қорқынышты» логарифм ұсынылған кездегі типтік жағдайды қарастырамыз.

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда күрделі функцияны саралау ережесін қолдана отырып, ұзақ жол жүруге болады:

Бірақ ең бірінші қадам сізді бірден үмітсіздікке душар етеді - жағымсыз туындыны бөлшек дәрежеден, содан кейін бөлшектен алу керек.

Сондықтан бұрын«Күрделі» логарифмнің туындысын қалай алуға болады, ол алдымен белгілі мектеп қасиеттерін пайдаланып оңайлатылады:

! Қолыңызда жаттығу дәптері болса, осы формулаларды тікелей сол жерге көшіріңіз. Егер сізде дәптер болмаса, оларды қағазға көшіріңіз, өйткені сабақтың қалған мысалдары осы формулалардың айналасында болады.

Шешімнің өзін келесідей жазуға болады:

Функцияны түрлендірейік:

Туындыны табу:

Функцияны алдын ала түрлендірудің өзі шешімді айтарлықтай жеңілдетті. Осылайша, дифференциация үшін ұқсас логарифм ұсынылған кезде, оны әрқашан «бөліп тастау» ұсынылады.

Енді өзіңіз шешуге болатын бірнеше қарапайым мысал:

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Барлық түрлендірулер мен жауаптар сабақтың соңында.

Логарифмдік туынды

Егер логарифмдердің туындысы осындай тәтті музыка болса, онда сұрақ туындайды: кейбір жағдайларда логарифмді жасанды түрде ұйымдастыруға болады ма? Болады! Және тіпті қажет.

11-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жақында біз ұқсас мысалдарды қарастырдық. Не істеу? Бөліндіні дифференциалдау ережесін, содан кейін көбейтіндіні дифференциалдау ережесін ретімен қолдануға болады. Бұл әдістің кемшілігі - сіз үш қабатты үлкен фракцияға ие боласыз, онымен мүлдем айналысқыңыз келмейді.

Бірақ теория мен тәжірибеде логарифмдік туынды сияқты керемет нәрсе бар. Логарифмдерді екі жағынан «ілу» арқылы жасанды түрде ұйымдастыруға болады:

Ескерту : өйткені функция теріс мәндерді қабылдауы мүмкін, содан кейін, жалпы айтқанда, модульдерді пайдалану керек: , ол дифференциация нәтижесінде жойылады. Дегенмен, қазіргі дизайн да қолайлы, мұнда әдепкі бойынша ол ескеріледі кешенмағыналары. Бірақ егер қатаң болса, онда екі жағдайда да ескертпе жасау керек.

Енді оң жақтың логарифмін мүмкіндігінше «ыдырату» керек (формулалар көз алдыңызда?). Мен бұл процесті егжей-тегжейлі сипаттаймын:

Дифференциациядан бастайық.
Екі бөлікті де негізгі нүктемен аяқтаймыз:

Оң жақтың туындысы өте қарапайым, мен оған түсініктеме бермеймін, өйткені егер сіз осы мәтінді оқып жатсаңыз, оны сенімді түрде өңдеуіңіз керек.

Сол жағы ше?

Сол жағында бізде күрделі функция. Мен: «Неге, логарифмнің астында бір «Y» әрпі бар ма?» деген сұрақты алдын ала білемін.

Бұл «бір әріп ойыны» - ӨЗІ ФУНКЦИЯ(егер ол өте анық болмаса, жанама түрде көрсетілген функцияның туындысы мақаласын қараңыз). Демек, логарифм сыртқы функция, ал «y» ішкі функция. Ал күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережені қолданамыз :

Сол жағында, сиқырлы сияқты, бізде туынды бар. Әрі қарай, пропорция ережесіне сәйкес, біз «y» таңбасын сол жақтың бөлгішінен оң жақтың жоғарғы жағына ауыстырамыз:

Ал енді дифференциация кезінде қандай «ойыншы» функциясы туралы айтқанымызды еске түсірейік? Шартты қарастырайық:

Соңғы жауап:

12-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Осы үлгідегі үлгі дизайны сабақтың соңында берілген.

Логарифмдік туындының көмегімен № 4-7 мысалдардың кез келгенін шешуге болады, тағы бір нәрсе, ондағы функциялар қарапайым және, мүмкін, логарифмдік туындыны қолдану өте дұрыс емес.

Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз бұл функцияны әлі қарастырған жоқпыз. Дәрежелік-көрсеткіштік функция - бұл функция дәрежесі де, базасы да «х»-қа тәуелді. Кез келген оқулықта немесе дәрісте сізге берілетін классикалық мысал:

Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысын қалай табуға болады?

Жаңа ғана талқыланған әдістемені - логарифмдік туындыны қолдану қажет. Логарифмдерді екі жағына іліп қоямыз:

Әдетте, оң жақта логарифмнің астынан градус алынады:

Нәтижесінде оң жақта стандартты формула бойынша сараланған екі функцияның туындысы бар. .

Біз туындыны табамыз; ол үшін екі бөлікті штрихтар астына қосамыз:

Қосымша әрекеттер қарапайым:

Соңында:

Егер қандай да бір түрлендіру толық түсініксіз болса, №11 мысалдың түсіндірмелерін мұқият оқып шығыңыз.

Практикалық тапсырмаларда қуат-көрсеткіштік функция әрқашан қарастырылған дәріс үлгісіне қарағанда күрделірек болады.

13-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Логарифмдік туындыны қолданамыз.

Оң жақта тұрақты шама және екі фактордың көбейтіндісі бар - «x» және «х логарифмінің логарифмі» (басқа логарифм логарифм астында орналасқан). Дифференциалдау кезінде, есімізде қалғандай, тұрақтыны бірден туынды таңбадан шығарған дұрыс, ол кедергі жасамас үшін; және, әрине, біз таныс ережені қолданамыз :

Есте сақтау өте оңай.

Ал, алысқа бармай-ақ, бірден кері функцияны қарастырайық. Қандай функция көрсеткіштік функцияға кері функция? Логарифм:

Біздің жағдайда негіз сан болып табылады:

Мұндай логарифм (яғни негізі бар логарифм) «табиғи» деп аталады және біз ол үшін арнайы белгілерді қолданамыз: орнына жазамыз.

Ол неге тең? Әрине, .

Натурал логарифмнің туындысы да өте қарапайым:

Мысалдар:

1. Функцияның туындысын табыңыз.
2. Функцияның туындысы дегеніміз не?

Жауаптары: Көрсеткіштік және натурал логарифм туынды перспективада ерекше қарапайым функциялар болып табылады. Кез келген басқа базасы бар көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың басқа туындысы болады, біз оны дифференциалдау ережелерінен өткеннен кейін кейінірек талдаймыз.

Дифференциация ережелері

Ненің ережелері? Тағы да жаңа термин, тағы?!...

Дифференциациятуындыны табу процесі болып табылады.

Бар болғаны. Бұл процесті бір сөзбен тағы қалай атауға болады? Туынды емес... Математиктер дифференциалды функцияның бірдей өсімі деп атайды. Бұл термин латынның дифференция - айырмашылық сөзінен шыққан. Мұнда.

Осы ережелердің барлығын шығарған кезде біз екі функцияны қолданамыз, мысалы, және. Бізге олардың өсімдері үшін формулалар қажет болады:

Барлығы 5 ереже бар.

Тұрақты шама туынды таңбадан алынады.

Егер - қандай да бір тұрақты сан (тұрақты), онда.

Әлбетте, бұл ереже айырмашылық үшін де жұмыс істейді: .

Дәлелдейік. Бұл болсын, немесе қарапайымырақ.

Мысалдар.

Функциялардың туындыларын табыңыз:

1. нүктеде;
2. нүктеде;
3. нүктеде;
4. нүктесінде.

Шешімдер:

1. (туынды барлық нүктелерде бірдей, өйткені ол сызықтық функция, есіңізде ме?);

Өнімнің туындысы

Мұнда бәрі ұқсас: жаңа функцияны енгізіп, оның өсімін табайық:

Туынды:

Мысалдар:

1. және функцияларының туындыларын табыңыз;
2. Функцияның нүктедегі туындысын табыңыз.

Шешімдер:

Көрсеткіштік функцияның туындысы

Енді сіздің біліміңіз көрсеткішті ғана емес, кез келген экспоненциалды функцияның туындысын табуды үйрену үшін жеткілікті (сіз оның не екенін әлі ұмыттыңыз ба?).

Сонымен, қандай да бір сан қайда.

Біз функцияның туындысын бұрыннан білеміз, сондықтан функциямызды жаңа негізге келтіруге тырысайық:

Ол үшін қарапайым ережені қолданамыз: . Содан кейін:

Жақсы, бұл жұмыс істеді. Енді туындыны табуға тырысыңыз және бұл функция күрделі екенін ұмытпаңыз.

Болды ма?

Міне, өзіңізді тексеріңіз:

Формула дәреже көрсеткішінің туындысына өте ұқсас болып шықты: ол бұрынғыдай болып қалады, тек қана фактор пайда болды, ол жай ғана сан, бірақ айнымалы емес.

Мысалдар:
Функциялардың туындыларын табыңыз:

Жауаптары:

Бұл калькуляторсыз есептелмейтін сан ғана, яғни оны қарапайым түрде жазуға болмайды. Сондықтан жауапта оны осы формада қалдырамыз.

Назар аударыңыз, мұнда екі функцияның бөлігі берілген, сондықтан біз сәйкес дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Бұл мысалда екі функцияның туындысы:

Логарифмдік функцияның туындысы

Бұл жерде ұқсас: сіз табиғи логарифмнің туындысын білесіз:

Сондықтан, басқа негізі бар ерікті логарифмді табу үшін, мысалы:

Біз бұл логарифмді негізге келтіруіміз керек. Логарифмнің негізін қалай өзгертуге болады? Сіз бұл формуланы есте сақтайсыз деп үміттенемін:

Оның орнына енді ғана жазамыз:

Бөлгіш жай ғана тұрақты (айнымалысы жоқ тұрақты сан). Туынды өте қарапайым түрде алынады:

Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындылары Бірыңғай мемлекеттік емтиханда ешқашан кездеспейді, бірақ оларды білу артық болмайды.

Күрделі функцияның туындысы.

«Күрделі функция» дегеніміз не? Жоқ, бұл логарифм емес, арктангенс емес. Бұл функцияларды түсіну қиын болуы мүмкін (бірақ сіз логарифмді қиын деп тапсаңыз, «Логарифмдер» тақырыбын оқып шығыңыз және сіз жақсы боласыз), бірақ математикалық тұрғыдан алғанда «күрделі» сөзі «қиын» дегенді білдірмейді.

Кішкентай конвейерді елестетіңіз: екі адам отырады және кейбір заттармен кейбір әрекеттерді жасайды. Мысалы, біріншісі шоколадты қаптамаға орап, екіншісі оны таспамен байлайды. Нәтиже – композициялық нысан: лентамен оралған және байланған шоколадты батончик. Шоколадты жеу үшін кері әрекеттерді кері ретпен орындау керек.

Ұқсас математикалық құбырды құрайық: алдымен санның косинусын табамыз, содан кейін алынған санның квадратын аламыз. Сонымен, бізге сан (шоколад) беріледі, мен оның косинусын (орауын) табамын, сосын менің алғанымды шаршылайсыңдар (лентамен байлаңыз). Не болды? Функция. Бұл күрделі функцияның мысалы: оның мәнін табу үшін біз бірінші әрекетті тікелей айнымалымен орындаймыз, содан кейін бірінші әрекеттің нәтижесімен екінші әрекетті орындаймыз.

Басқа сөзбен, күрделі функция - аргументі басқа функция болатын функция: .

Біздің мысал үшін, .

Біз бірдей қадамдарды кері ретпен оңай жасай аламыз: алдымен сіз оны квадраттайсыз, содан кейін алынған санның косинусын іздеймін: . Нәтиже әрдайым дерлік басқаша болатынын болжау оңай. Күрделі функциялардың маңызды белгісі: әрекеттердің реті өзгергенде, функция да өзгереді.

Екінші мысал: (сол нәрсе). .

Соңғы орындайтын әрекетіміз шақырылады «сыртқы» функция, ал бірінші орындалатын әрекет – сәйкесінше «ішкі» функция(бұл бейресми атаулар, мен оларды материалды қарапайым тілмен түсіндіру үшін ғана қолданамын).

Қандай функция сыртқы және қайсысы ішкі екенін өзіңіз анықтап көріңіз:

Жауаптары:Ішкі және сыртқы функцияларды бөлу айнымалыларды өзгертуге өте ұқсас: мысалы, функцияда

1. Алдымен қандай әрекетті орындаймыз? Алдымен синусты есептейік, содан кейін ғана оны текшелейміз. Бұл ішкі функция, бірақ сыртқы функция екенін білдіреді.
   Ал бастапқы қызметі олардың құрамы: .
2. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
3. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
4. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
5. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .

Біз айнымалыларды өзгертіп, функцияны аламыз.

Енді біз шоколадты батончиктен шығарып, туындысын іздейміз. Процедура әрқашан кері болады: алдымен сыртқы функцияның туындысын іздейміз, содан кейін нәтижені ішкі функцияның туындысына көбейтеміз. Бастапқы мысалға қатысты ол келесідей көрінеді:

Тағы бір мысал:

Сонымен, соңында ресми ережені тұжырымдаймыз:

Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:

Бұл қарапайым сияқты, солай ма?

Мысалдармен тексерейік:

Шешімдер:

1) Ішкі: ;

Сыртқы: ;

2) Ішкі: ;

(Қазір оны кесуге тырыспаңыз! Косинустың астынан ештеңе шықпайды, есіңізде ме?)

3) Ішкі: ;

Сыртқы: ;

Бұл үш деңгейлі күрделі функция екені бірден түсінікті: бұл қазірдің өзінде күрделі функция, және біз одан тамырды шығарамыз, яғни үшінші әрекетті орындаймыз (шоколадты қаптамаға салыңыз. және портфельдегі лентамен). Бірақ қорқудың қажеті жоқ: біз бұл функцияны әдеттегідей тәртіпте «ораймыз»: соңына дейін.

Яғни, алдымен түбірді, содан кейін косинусты, содан кейін ғана жақшадағы өрнекті ажыратамыз. Сосын барлығын көбейтеміз.

Мұндай жағдайларда әрекеттерді нөмірлеу ыңғайлы. Яғни, не білетінімізді елестетіп көрейік. Осы өрнектің мәнін есептеу үшін әрекеттерді қандай ретпен орындаймыз? Мысал қарастырайық:

Әрекет неғұрлым кеш орындалса, сәйкес функция соғұрлым «сыртқы» болады. Әрекеттер тізбегі бұрынғыдай:

Мұнда ұя салу әдетте 4 деңгейлі. Әрекет бағытын анықтайық.

1. Радикалды өрнек. .

2. Түбір. .

3. Синус. .

4. Шаршы. .

5. Барлығын біріктіру:

ТУЫНДЫ. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Функцияның туындысы- функция өсімінің аргументтің шексіз аз өсімшесінің аргументінің өсіміне қатынасы:

Негізгі туындылар:

Дифференциация ережелері:

Тұрақты шама туынды таңбадан алынады:

Қосындының туындысы:

Өнімнің туындысы:

Бөлімшенің туындысы:

Күрделі функцияның туындысы:

Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:

1. Біз «ішкі» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
2. «Сыртқы» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
3. Бірінші және екінші нүктелердің нәтижелерін көбейтеміз.

Емтиханға дейін әлі көп уақыт бар деп ойлайсыз ба? Бұл ай ма? Екі? Жыл? Тәжірибе көрсеткендей, студент емтиханға алдын ала дайындала бастаса, оны жақсы жеңеді. Бірыңғай мемлекеттік емтиханда мектеп оқушылары мен болашақ талапкерлердің ең жоғары балл алуына кедергі болатын көптеген қиын тапсырмалар бар. Сіз бұл кедергілерді жеңуді үйренуіңіз керек, сонымен қатар мұны істеу қиын емес. Билеттерден әртүрлі тапсырмалармен жұмыс істеу принципін түсіну керек. Сонда жаңаларымен ешқандай проблема болмайды.

Бір қарағанда логарифмдер керемет күрделі болып көрінеді, бірақ егжей-тегжейлі талдаумен жағдай әлдеқайда қарапайым болады. Егер сіз Бірыңғай мемлекеттік емтиханды ең жоғары баллмен тапсырғыңыз келсе, сіз осы мақалада не істеуді ұсынатын осы тұжырымдаманы түсінуіңіз керек.

Алдымен осы анықтамаларды бөліп алайық. Логарифм (лог) дегеніміз не? Бұл көрсетілген санды алу үшін негізді көтеру керек қуаттың көрсеткіші. Егер түсініксіз болса, қарапайым мысалды қарастырайық.

Бұл жағдайда 4 санын алу үшін төменгі жағындағы негізді екінші қуатқа көтеру керек.

Енді екінші тұжырымдамаға тоқталайық. Функцияның кез келген түрдегі туындысы – берілген нүктедегі функцияның өзгеруін сипаттайтын ұғым. Дегенмен, бұл мектеп бағдарламасы, және егер сізде осы ұғымдармен жеке мәселелер туындаса, тақырыпты қайталаған жөн.

Логарифмнің туындысы

Осы тақырып бойынша Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларында мысал ретінде бірнеше тапсырма беруге болады. Бастау үшін ең қарапайым логарифмдік туынды. Мына функцияның туындысын табу керек.

Келесі туындыны табуымыз керек

Арнайы формула бар.

Бұл жағдайда x=u, log3x=v. Біз функцияның мәндерін формулаға ауыстырамыз.

х-тің туындысы бірге тең болады. Логарифм сәл қиынырақ. Бірақ құндылықтарды жай ғана ауыстырсаңыз, принципті түсінесіз. Еске салайық, lg x туындысы ондық логарифманың туындысы, ал ln x туындысы натурал логарифмнің туындысы (e негізінде).

Енді алынған мәндерді формулаға қосыңыз. Өзіңіз көріңіз, содан кейін жауапты тексереміз.

Кейбіреулер үшін бұл жерде қандай мәселе болуы мүмкін? Біз натурал логарифм ұғымын енгіздік. Бұл туралы сөйлесейік және сонымен бірге онымен проблемаларды қалай шешуге болатынын анықтайық. Сіз күрделі ештеңе көрмейсіз, әсіресе оның жұмыс принципін түсінген кезде. Оған үйрену керек, өйткені ол математикада жиі қолданылады (жоғары оқу орындарында одан да көп).

Натурал логарифмнің туындысы

Оның негізінде ол e негізіне логарифмнің туындысы болып табылады (бұл иррационал сан, шамамен 2,7). Шындығында, ln өте қарапайым, сондықтан ол жалпы математикада жиі қолданылады. Шындығында, онымен мәселені шешу де проблема болмайды. Натурал логарифмнің e негізіне туындысы х-ке бөлінген бірге тең болатынын есте ұстаған жөн. Келесі мысалдың шешімі ең айқын болады.

Оны екі қарапайым функциядан тұратын күрделі функция ретінде елестетейік.

Түрлендіру жеткілікті

Біз x-ке қатысты u-ның туындысын іздейміз

Екіншісін жалғастырайық

Күрделі функцияның туындысын u=nx орнына қою арқылы шешу әдісін қолданамыз.

Соңында не болды?

Енді осы мысалда n нені білдіретінін еске түсірейік? Бұл натурал логарифмде х-тің алдында көрінетін кез келген сан. Жауап оған байланысты емес екенін түсіну маңызды. Қалағаныңызды ауыстырыңыз, жауап бәрібір 1/x болады.

Көріп отырғаныңыздай, мұнда күрделі ештеңе жоқ, тек осы тақырыптағы мәселелерді тез және тиімді шешу принципін түсіну керек. Енді сіз теорияны білесіз, оны тәжірибеде қолдану жеткілікті. Оларды шешу принципін ұзақ уақыт есте сақтау үшін есептерді шығаруға машықтандыру. Мектепті бітіргеннен кейін сізге бұл білім қажет болмауы мүмкін, бірақ емтиханда ол бұрынғыдан да маңызды болады. Сізге сәттілік!

Табиғи логарифмнің туындысы мен а негізіне логарифмнің формулаларын дәлелдеу және шығару. ln 2x, ln 3x және ln nx туындыларын есептеу мысалдары. n-ші ретті логарифмнің туындысының формуласын математикалық индукция әдісі арқылы дәлелдеу.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Логарифм – қасиеттері, формулалары, графиктері
Натурал логарифм – қасиеттері, формулалары, графиктері

Табиғи логарифм мен логарифмнің туындылары үшін формулаларды шығару.

х-тің натурал логарифмінің туындысы х-ке бөлінгенге тең:
(1) (ln x)′ =.

a негізіне логарифмнің туындысы х айнымалысына бөлінген бірге тең, а натурал логарифміне көбейтілген:
(2) (log a x)′ =.

Дәлелдеу

Бірге тең емес оң сан болсын. Х айнымалысына тәуелді функцияны қарастырайық, ол негізге логарифм болып табылады:
.
Бұл функция кезінде анықталған. Оның х айнымалысына қатысты туындысын табайық. Анықтау бойынша туынды келесі шек болып табылады:
(3) .

Бұл өрнекті белгілі математикалық қасиеттер мен ережелерге келтіру үшін түрлендірейік. Ол үшін келесі фактілерді білуіміз керек:
A) Логарифмнің қасиеттері. Бізге келесі формулалар қажет болады:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B)Үздіксіз функция үшін логарифмнің үзіліссіздігі және шектер қасиеті:
(7) .
Мұнда шегі бар функция берілген және бұл шектеу оң.
IN)Екінші керемет шектің мағынасы:
(8) .

Осы фактілерді өз шегімізге дейін қолданайық. Алдымен алгебралық өрнекті түрлендіреміз
.
Ол үшін (4) және (5) қасиеттерді қолданамыз.

.

(7) сипатты және екінші керемет шекті (8) қолданайық:
.

Соңында біз сипатты қолданамыз (6):
.
Негізге логарифм eшақырды табиғи логарифм. Ол келесідей белгіленеді:
.
Содан кейін;
.

Осылайша, логарифмнің туындысы үшін (2) формуласын алдық.

Натурал логарифмнің туындысы

А негізі үшін логарифмнің туындысының формуласын тағы да жазамыз:
.
Бұл формуланың натурал логарифм үшін ең қарапайым түрі бар, ол үшін , . Содан кейін
(1) .

Осы қарапайымдылыққа байланысты натурал логарифм математикалық талдауда және дифференциалдық есептеуге қатысты математиканың басқа салаларында өте кең қолданылады. Басқа негіздері бар логарифмдік функцияларды (6) қасиетін пайдаланып натурал логарифм арқылы өрнектеуге болады:
.

Логарифмнің негізге қатысты туындысын (1) формуладан табуға болады, егер тұрақты мәнді дифференциалдау белгісінен алсақ:
.

Логарифмнің туындысын дәлелдеудің басқа тәсілдері

Мұнда біз экспоненциалды туындының формуласын білеміз деп есептейміз:
(9) .
Сонда логарифм көрсеткіштік көрсеткішке кері функция екенін ескере отырып, натурал логарифмнің туындысының формуласын шығаруға болады.

Натурал логарифмнің туындысының формуласын дәлелдеп көрейік, кері функцияның туындысының формуласын қолдану:
.
Біздің жағдайда. Натурал логарифмге кері функция экспоненциалды:
.
Оның туындысы (9) формула бойынша анықталады. Айнымалыларды кез келген әріппен белгілеуге болады. (9) формуладағы х айнымалысын умен ауыстырыңыз:
.
Сол уақыттан бері
.
Содан кейін
.
Формула дәлелденген.

Енді натурал логарифмнің туындысының формуласын пайдаланып дәлелдейміз күрделі функцияларды ажырату ережелері. және функциялары бір-біріне кері болғандықтан, онда
.
Бұл теңдеуді х айнымалысына қатысты ажыратайық:
(10) .
х-тің туындысы біреуге тең:
.
Біз өтініш береміз күрделі функцияны дифференциалдау ережесі :
.
Мұнда . (10) орнына қоямыз:
.
Осы жерден
.

Мысал

туындыларын табыңыз ln 2x, ln 3xЖәне lnnx.

Бастапқы функциялар ұқсас пішінге ие. Сондықтан функцияның туындысын табамыз y = log nx. Содан кейін n = 2 және n = 3 орнына қоямыз. Осылайша, туындыларының формулаларын аламыз ln 2xЖәне ln 3x .

Сонымен, біз функцияның туындысын іздейміз
y = log nx .
Бұл функцияны екі функциядан тұратын күрделі функция ретінде елестетейік:
1) Айнымалыға тәуелді функциялар: ;
2) Айнымалыға байланысты функциялар: .
Сонда бастапқы функция мына функциялардан тұрады және:
.

Функцияның х айнымалысына қатысты туындысын табайық:
.
Функцияның айнымалыға қатысты туындысын табайық:
.
Біз өтініш береміз күрделі функцияның туындысының формуласы.
.
Міне, біз оны орнаттық.

Сонымен, біз таптық:
(11) .
Туынды n-ге тәуелді емес екенін көреміз. Түпнұсқа функцияны туындының логарифмінің формуласы арқылы түрлендірсек, бұл нәтиже табиғи болады:
.
- бұл тұрақты. Оның туындысы нөлге тең. Сонда қосындыны дифференциалдау ережесі бойынша бізде:
.

; ; .

Модуль x логарифмінің туындысы

Тағы бір өте маңызды функцияның туындысын табайық – х модулінің натурал логарифмі:
(12) .

Істі қарастырайық. Сонда функция келесідей көрінеді:
.
Оның туындысы (1) формула бойынша анықталады:
.

Енді істі қарастырайық. Сонда функция келесідей көрінеді:
,
Қайда.
Бірақ біз жоғарыдағы мысалда бұл функцияның туындысын да таптық. Ол n-ге тәуелді емес және оған тең
.
Содан кейін
.

Біз осы екі жағдайды бір формулаға біріктіреміз:
.

Тиісінше, логарифмді а негізіне қою үшін бізде:
.

Натурал логарифмнің жоғары ретті туындылары

Функцияны қарастырыңыз
.
Біз оның бірінші ретті туындысын таптық:
(13) .

Екінші ретті туындыны табайық:
.
Үшінші ретті туындыны табайық:
.
Төртінші ретті туындыны табайық:
.

Сіз n-ші ретті туындының келесі пішінге ие екенін байқай аласыз:
(14) .
Мұны математикалық индукция арқылы дәлелдеп көрейік.

Дәлелдеу

n = 1 мәнін (14) формулаға ауыстырайық:
.
бастап, содан кейін n = болғанда 1 , формула (14) жарамды.

n = k үшін (14) формуласы орындалды деп алайық. Бұл формуланың n = k үшін жарамды екенін білдіретінін дәлелдеейік + 1 .

Шынында да, n = k үшін бізде:
.
х айнымалысына қатысты дифференциалдау:

.
Сонымен бізде:
.
Бұл формула n = k + үшін (14) формуламен сәйкес келеді 1 . Сонымен, (14) формула n = k үшін жарамды деген жорамалдан (14) формула n = k + үшін жарамды екендігі шығады. 1 .

Демек, n-ші ретті туынды үшін (14) формула кез келген n үшін жарамды.

А негізіне логарифмнің жоғары ретті туындылары

Логарифмнің а негізіндегі n-ші ретті туындысын табу үшін оны натурал логарифм арқылы көрсету керек:
.
(14) формуланы қолданып, n-ші туындыны табамыз:
.

Сондай-ақ қараңыз: