Осымен математикалық бағдарламаСен істе аласың квадрат теңдеуді шешу.

Бағдарлама мәселеге жауап беріп қана қоймайды, сонымен қатар шешу процесін екі жолмен көрсетеді:
- дискриминантты қолдану
- Виет теоремасын қолдану (мүмкіндігінше).

Оның үстіне жауап шамамен емес, дәл көрсетіледі.
Мысалы, \(81x^2-16x-1=0\) теңдеуі үшін жауап келесі пішінде көрсетіледі:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ және мұндай емес: \(x_1 = 0,247; \төрт x_2 = -0,05\)

Бұл бағдарлама жоғары сынып оқушылары үшін пайдалы болуы мүмкін орта мектептердайындық үстінде сынақтаржәне емтихандар, Бірыңғай мемлекеттік емтихан алдында білімді тексеру кезінде, ата-аналар үшін математика мен алгебрадан көптеген есептердің шешімін бақылау үшін. Немесе сізге репетитор жалдау немесе жаңа оқулықтар сатып алу тым қымбат болуы мүмкін бе? Немесе оны мүмкіндігінше тезірек аяқтағыңыз келе ме? үй жұмысыматематикада немесе алгебрада? Бұл жағдайда сіз егжей-тегжейлі шешімдері бар біздің бағдарламаларды да пайдалана аласыз.

Осылайша сіз өзіңіздің жаттығуларыңызды және/немесе жаттығуларыңызды жүргізе аласыз. інілерінемесе апалы-сіңлілер, ал шешілетін мәселелер саласындағы білім деңгейі көтеріледі.

Квадрат көпмүшені енгізу ережелерімен таныс болмасаңыз, олармен танысуды ұсынамыз.

Квадрат көпмүшені енгізу ережелері

Кез келген латын әрпі айнымалы ретінде әрекет ете алады.
Мысалы: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), т.б.

Сандарды бүтін немесе бөлшек сандар ретінде енгізуге болады.
Оның үстіне, бөлшек сандарондық бөлшек ретінде ғана емес, жай бөлшек ретінде де енгізуге болады.

Ондық бөлшектерді енгізу ережелері.
Ондық бөлшектерде бөлшек бөлігін бүтін бөліктен нүкте немесе үтір арқылы бөлуге болады.
Мысалы, енгізуге болады ондық бөлшектеркелесідей: 2,5x - 3,5x^2

Жай бөлшектерді енгізу ережелері.
Бөлшектің алымы, бөлімі және бүтін бөлігі ретінде тек натурал сан әрекет ете алады.

Бөлгіш теріс болуы мүмкін емес.

Сандық бөлшекті енгізу кезінде алым бөлгіштен бөлу белгісімен бөлінеді: /
Толық бөлігібөлшектен амперсанд арқылы бөлінеді: &
Енгізу: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Нәтиже: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Өрнекті енгізу кезінде жақшаларды қолдануға болады. Бұл жағдайда квадрат теңдеуді шешу кезінде енгізілген өрнек алдымен жеңілдетіледі.
Мысалы: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Шешіңіз

Бұл мәселені шешуге қажетті кейбір сценарийлер жүктелмегені және бағдарлама жұмыс істемеуі мүмкін екені анықталды.
Сізде AdBlock қосылған болуы мүмкін.
Бұл жағдайда оны өшіріп, бетті жаңартыңыз.

Браузеріңізде JavaScript өшірілген.
Шешім пайда болуы үшін JavaScript қосу керек.
Мұнда браузерде JavaScript-ті қосу туралы нұсқаулар берілген.

Өйткені Мәселені шешуге ниет білдірушілер көп, өтінішіңіз кезекке қойылды.
Бірнеше секундтан кейін шешім төменде пайда болады.
Өтінемін, күте тұрыңыз сек...

Егер сіз шешімдегі қатені байқады, содан кейін бұл туралы Кері байланыс пішінінде жаза аласыз.
Ұмытпаңыз қандай тапсырманы көрсетіңізнені өзіңіз шешесіз өрістерге енгізіңіз.

Біздің ойындар, басқатырғыштар, эмуляторлар:

Кішкене теория.

Квадрат теңдеу және оның түбірлері. Толық емес квадрат теңдеулер

Теңдеулердің әрқайсысы
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ұқсайды
\(ax^2+bx+c=0, \)
мұндағы х – айнымалы, a, b және c – сандар.
Бірінші теңдеуде a = -1, b = 6 және c = 1,4, екіншісінде a = 8, b = -7 және c = 0, үшіншіде a = 1, b = 0 және c = 4/9. Мұндай теңдеулер деп аталады квадрат теңдеулер.

Анықтама.
Квадрат теңдеу ax 2 +bx+c=0 түріндегі теңдеу деп аталады, мұндағы х - айнымалы, a, b және c - кейбір сандар және \(a \neq 0 \).

a, b және c сандары квадрат теңдеудің коэффициенттері болып табылады. а саны бірінші коэффициент, b саны екінші коэффициент, с саны бос мүше деп аталады.

ax 2 +bx+c=0 түріндегі теңдеулердің әрқайсысында, мұндағы \(a\neq 0\), х айнымалысының ең үлкен дәрежесі квадрат болып табылады. Осыдан аталды: квадрат теңдеу.

Квадрат теңдеуді екінші дәрежелі теңдеу деп те атайтынын ескеріңіз, өйткені оның сол жағы екінші дәрежелі көпмүше болып табылады.

х 2 коэффициенті 1-ге тең болатын квадрат теңдеу деп аталады берілген квадрат теңдеу. Мысалы, берілген квадрат теңдеулер теңдеулер болып табылады
\(x^2-11x+30=0, \төрт x^2-6x=0, \төрт x^2-8=0 \)

Егер ax 2 +bx+c=0 квадрат теңдеуінде b немесе c коэффициенттерінің ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, онда мұндай теңдеу деп аталады. толық емес квадрат теңдеу. Сонымен, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 теңдеулер толық емес квадрат теңдеулер. Оның біріншісінде b=0, екіншісінде c=0, үшіншісінде b=0 және с=0.

Толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі бар:
1) ax 2 +c=0, мұндағы \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, мұндағы \(b \neq 0 \);
3) балта 2 =0.

Осы түрлердің әрқайсысының теңдеулерін шешуді қарастырайық.

\(c \neq 0 \) үшін ax 2 +c=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеуді шешу үшін оның бос мүшесін оң жаққа жылжытып, теңдеудің екі жағын а-ға бөліңіз:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Оң жақ көрсеткі x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Өйткені \(c \neq 0 \), онда \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Егер \(-\frac(c)(a)>0\), онда теңдеудің екі түбірі болады.

Егер \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеуді \(b \neq 0 \) арқылы шешу үшін оны кеңейтіңіз. сол жақкөбейткіштер арқылы және теңдеуді алыңыз
\(x(ax+b)=0 \Оң жақ көрсеткі \солға\( \begin(массив)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(массив) \оңға. \Оң жақ көрсеткі \солға\( \басталады (массив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(массив) \оң жақ. \)

Бұл \(b \neq 0 \) үшін ax 2 +bx=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеудің әрқашан екі түбірі болатынын білдіреді.

ax 2 =0 түріндегі толық емес квадрат теңдеу x 2 =0 теңдеуіне эквивалентті, сондықтан бір түбірі 0 болады.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы

Енді белгісіздердің коэффициенттері де, бос мүшесі де нөлге тең емес квадрат теңдеулерді шешу жолын қарастырайық.

Квадрат теңдеуді шешейік жалпы көрінісжәне нәтижесінде біз түбірлердің формуласын аламыз. Бұл формуланы кез келген квадрат теңдеуді шешу үшін пайдалануға болады.

ax 2 +bx+c=0 квадрат теңдеуін шешіңіз

Екі жағын а-ға бөлсек, эквивалентті келтірілген квадрат теңдеуді аламыз
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Бұл теңдеуді биномның квадратын таңдау арқылы түрлендірейік:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\оң)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Оң жақ көрсеткі \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\оң)^ 2 - \frac(c)(a) \Оң жақ көрсеткі \) \(\сол(x+\frac(b)(2a)\оң)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Оң жақ көрсеткі \сол(x+\frac(b)(2a)\оң)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Оң жақ көрсеткі \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Оң жақ көрсеткі x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Оң жақ көрсеткі \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Радикалды өрнек деп аталады квадрат теңдеудің дискриминанты ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» латын тілінде – дискриминатор). Ол D әрпімен белгіленеді, яғни.
\(D = b^2-4ac\)

Енді дискриминант белгісін пайдаланып, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қайта жазамыз:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), мұнда \(D= b^2-4ac \)

Ол анық:
1) Егер D>0 болса, онда квадрат теңдеудің екі түбірі болады.
2) Егер D=0 болса, онда квадрат теңдеудің бір түбірі \(x=-\frac(b)(2a)\) болады.
3) Егер D Осылайша, дискриминанттың мәніне байланысты квадрат теңдеудің екі түбірі болуы мүмкін (D > 0 үшін), бір түбірі (D = 0 үшін) немесе түбірлері жоқ (D үшін осыны пайдаланып квадрат теңдеуді шешкенде формула бойынша келесі жолды орындаған жөн:
1) дискриминантты есептеу және оны нөлмен салыстыру;
2) дискриминант оң немесе нөлге тең болса, онда түбір формуласын қолданыңыз, егер дискриминант теріс болса, онда түбірлер жоқ деп жазыңыз.

Виетаның теоремасы

Берілген ax 2 -7x+10=0 квадрат теңдеуінің түбірлері 2 және 5. Түбірлердің қосындысы 7, көбейтіндісі 10. Түбірлердің қосындысы қарама-қарсы алынған екінші коэффициентке тең екенін көреміз. таңбасы, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Түбірлері бар кез келген қысқартылған квадрат теңдеудің осы қасиеті бар.

Жоғарыдағы квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең.

Анау. Виет теоремасы x 2 +px+q=0 келтірілген квадрат теңдеудің x 1 және x 2 түбірлерінің мынадай қасиеті бар екенін айтады:
\(\left\( \begin(массив)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(массив) \оңға. \)

«Теңдеулерді шешу» тақырыбын жалғастыра отырып, осы мақаладағы материал сізді квадрат теңдеулермен таныстырады.

Барлығын егжей-тегжейлі қарастырайық: квадрат теңдеудің мәні мен белгіленімі, ілеспе мүшелерін анықтаңыз, толық емес және толық теңдеулерді шешу сызбасын талдаңыз, түбірлер мен дискриминант формуласымен танысыңыз, түбірлер мен коэффициенттер арасында байланыс орнатыңыз, және, әрине, біз практикалық мысалдарға көрнекі шешім береміз.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадрат теңдеу, оның түрлері

Анықтама 1

Квадрат теңдеутүрінде жазылған теңдеу болып табылады a x 2 + b x + c = 0, Қайда x– айнымалы, a , b және в– кейбір сандар, әзірше анөл емес.

Көбінесе квадрат теңдеулерді екінші дәрежелі теңдеулер деп те атайды, өйткені мәні бойынша квадрат теңдеу екінші дәрежелі алгебралық теңдеу болып табылады.

Берілген анықтаманы түсіндіру үшін мысал келтірейік: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, т.б. Бұл квадрат теңдеулер.

Анықтама 2

a, b және сандары вквадрат теңдеудің коэффициенттері болып табылады a x 2 + b x + c = 0, ал коэффициент абірінші, немесе аға, немесе х 2 кезіндегі коэффициент, b - екінші коэффициент немесе коэффициент деп аталады. x, А втегін мүше деп аталады.

Мысалы, квадрат теңдеуде 6 x 2 − 2 x − 11 = 0жетекші коэффициент 6, екінші коэффициент − 2 , ал бос термин тең − 11 . Коэффициенттер болған кезде назар аударайық бжәне/немесе c теріс, содан кейін пайдаланыңыз қысқа нысанысияқты жазбалар 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, бірақ жоқ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Осы жағын да анықтайық: егер коэффициенттер ажәне/немесе бтең 1 немесе − 1 , онда олар квадрат теңдеуді жазуға анық қатыса алмайды, бұл көрсетілген сандық коэффициенттерді жазу ерекшеліктерімен түсіндіріледі. Мысалы, квадрат теңдеуде y 2 − y + 7 = 0жетекші коэффициент 1, ал екінші коэффициент − 1 .

Келтірілген және келтірілмеген квадрат теңдеулер

Бірінші коэффициенттің мәні бойынша квадрат теңдеулер келтірілген және келтірілмеген болып бөлінеді.

Анықтама 3

Қысқартылған квадрат теңдеужетекші коэффициенті 1 болатын квадрат теңдеу. Жетекші коэффициенттің басқа мәндері үшін квадрат теңдеу келтірілмейді.

Мысалдар келтірейік: x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 квадрат теңдеулер азайтылады, олардың әрқайсысында жетекші коэффициент 1-ге тең.

9 x 2 − x − 2 = 0- келтірілмеген квадрат теңдеу, мұндағы бірінші коэффициент басқаша 1 .

Кез келген азайтылмаған квадрат теңдеуді екі жағын бірінші коэффициентке бөлу арқылы келтірілген теңдеуге айналдыруға болады (эквивалентті түрлендіру). Трансформацияланатын теңдеудің берілген қысқартылмаған теңдеумен бірдей түбірлері болады немесе мүлде түбірлері болмайды.

Қарастыру нақты мысалкелтірілмеген квадрат теңдеуден келтірілгенге өтуді нақты көрсетуге мүмкіндік береді.

1-мысал

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 теңдеуі берілген . Бастапқы теңдеуді қысқартылған түрге түрлендіру қажет.

Шешім

Жоғарыда келтірілген схема бойынша бастапқы теңдеудің екі жағын жетекші коэффициент 6-ға бөлеміз. Сонда біз аламыз: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, және бұл келесімен бірдей: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0және одан әрі: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Осы жерден: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Осылайша, берілгенге эквивалентті теңдеу алынады.

Жауап: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Толық және толық емес квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеудің анықтамасына көшейік. Онда біз мұны атап көрсеттік a ≠ 0. Ұқсас шарт теңдеу үшін қажет a x 2 + b x + c = 0бастап дәл шаршы болды a = 0ол негізінен айналады сызықтық теңдеу b x + c = 0.

Коэффициенттер болған жағдайда бЖәне внөлге тең (бұл жеке де, бірлескен де мүмкін), квадрат теңдеу толық емес деп аталады.

Анықтама 4

Толық емес квадрат теңдеу- осындай квадрат теңдеу a x 2 + b x + c = 0,мұндағы коэффициенттердің кем дегенде біреуі бЖәне в(немесе екеуі де) нөлге тең.

Толық квадрат теңдеу– барлық сандық коэффициенттері нөлге тең емес квадрат теңдеу.

Квадрат теңдеулердің түрлеріне неліктен дәл осы атаулар берілгенін талқылайық.

b = 0 болғанда квадрат теңдеу пішінді қабылдайды a x 2 + 0 x + c = 0, ол бірдей a x 2 + c = 0. Сағат c = 0квадрат теңдеу былай жазылады a x 2 + b x + 0 = 0, бұл эквивалент a x 2 + b x = 0. Сағат b = 0Және c = 0теңдеу формасын алады a x 2 = 0. Біз алған теңдеулердің толық квадрат теңдеуден айырмашылығы, олардың сол жақтарында х айнымалы мүшесі де, бос мүшесі де, екеуі де жоқ. Шын мәнінде, бұл факт теңдеудің бұл түріне толық емес атау берді.

Мысалы, x 2 + 3 x + 4 = 0 және − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 толық квадрат теңдеулер; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – толық емес квадрат теңдеулер.

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

Жоғарыда келтірілген анықтама ерекшелеуге мүмкіндік береді келесі түрлеріТолық емес квадрат теңдеулер:

• a x 2 = 0, бұл теңдеу коэффициенттерге сәйкес келеді b = 0және c = 0;
• a · x 2 + c = 0 кезінде b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 кезінде c = 0.

Толық емес квадрат теңдеудің әрбір түрінің шешімін ретімен қарастырайық.

a x 2 =0 теңдеуінің шешімі

Жоғарыда айтылғандай, бұл теңдеу коэффициенттерге сәйкес келеді бЖәне в, нөлге тең. теңдеу a x 2 = 0эквивалентті теңдеуге түрлендіруге болады x 2 = 0, оны бастапқы теңдеудің екі жағын да санға бөлу арқылы аламыз а, нөлге тең емес. Бұл теңдеудің түбірі екені анық x 2 = 0бұл нөл, өйткені 0 2 = 0 . Бұл теңдеудің басқа түбірлері жоқ, оны дәреженің қасиеттерімен түсіндіруге болады: кез келген сан үшін p,нөлге тең емес, теңсіздік ақиқат p 2 > 0, одан қашан дегені шығады p ≠ 0теңдік p 2 = 0ешқашан қол жеткізілмейді.

Анықтама 5

Сонымен, a x 2 = 0 толық емес квадрат теңдеу үшін бір түбір бар x = 0.

2-мысал

Мысалы, толық емес квадрат теңдеуді шешейік − 3 x 2 = 0. Ол теңдеумен тең x 2 = 0, оның жалғыз түбірі x = 0, онда бастапқы теңдеудің бір түбірі – нөл болады.

Қысқаша шешім келесідей жазылады:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 теңдеуін шешу

Келесі кезекте толық емес квадрат теңдеулердің шешімі, мұнда b = 0, c ≠ 0, яғни түрдегі теңдеулер a x 2 + c = 0. Осы теңдеуді теңдеудің бір жағынан екінші жағына жылжытып, таңбасын қарама-қарсы жаққа ауыстырып, теңдеудің екі жағын да нөлге тең емес санға бөлу арқылы түрлендірейік:

• аудару втеңдеуін беретін оң жаққа a x 2 = − c;
• теңдеудің екі жағын тең бөлеміз а, біз x = - c a деп аяқтаймыз.

Біздің түрлендірулеріміз эквивалентті; сәйкесінше, алынған теңдеу де бастапқы теңдеумен тең және бұл факт теңдеудің түбірлері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Қандай құндылықтардан аЖәне вөрнектің мәні - c a тәуелді: оның минус таңбасы болуы мүмкін (мысалы, егер a = 1Және c = 2, онда - c a = - 2 1 = - 2) немесе қосу белгісі (мысалы, егер a = − 2Және c = 6, онда - c a = - 6 - 2 = 3); ол нөл емес, өйткені c ≠ 0. Жағдайларға толығырақ тоқталайық - c a< 0 и - c a > 0 .

Жағдайда - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа б p 2 = - c a теңдігі ақиқат болуы мүмкін емес.

- c a > 0 болғанда бәрі басқаша болады: квадрат түбірін есте сақтаңыз және x 2 = - c a теңдеуінің түбірі - c a саны болатыны белгілі болады, өйткені - c a 2 = - c a. - - с а саны да x 2 = - c a теңдеуінің түбірі екенін түсіну қиын емес: шынында да, - - c a 2 = - c a.

Теңдеудің басқа түбірі болмайды. Біз мұны қарама-қайшылық әдісі арқылы көрсете аламыз. Алдымен, жоғарыда табылған түбірлердің белгілерін анықтайық x 1Және − x 1. x 2 = - c a теңдеуінің де түбірі бар деп алайық x 2, ол тамырлардан өзгеше x 1Және − x 1. Мұны теңдеуге ауыстыру арқылы білеміз xоның түбірлері, теңдеуді әділ сандық теңдікке айналдырамыз.

Үшін x 1Және − x 1жазамыз: x 1 2 = - c a , және үшін x 2- x 2 2 = - c a . Сандық теңдіктердің қасиеттеріне сүйене отырып, бір дұрыс теңдік мүшесін екіншісінен мүше бойынша алып тастаймыз, бұл бізге мынаны береді: x 1 2 − x 2 2 = 0. Соңғы теңдікті қайта жазу үшін сандармен амалдардың қасиеттерін қолданамыз (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Екі санның көбейтіндісі нөлге тең болатыны, егер сандардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса ғана белгілі. Жоғарыда айтылғандардан былай шығады x 1 − x 2 = 0және/немесе x 1 + x 2 = 0, бұл бірдей x 2 = x 1және/немесе x 2 = − x 1. Айқын қарама-қайшылық пайда болды, өйткені бастапқыда теңдеудің түбірі деп келісілді x 2ерекшеленеді x 1Және − x 1. Сонымен, теңдеудің x = - c a және x = - - c a-дан басқа түбірі жоқ екенін дәлелдедік.

Жоғарыдағы барлық дәлелдерді қорытындылайық.

Анықтама 6

Толық емес квадрат теңдеу a x 2 + c = 0 x 2 = - c a теңдеуіне тең, ол:

• - c a тамыры болмайды< 0 ;
• екі түбірі болады x = - c a және x = - - c a for - c a > 0.

Теңдеулерді шешуге мысалдар келтірейік a x 2 + c = 0.

3-мысал

Квадрат теңдеу берілген 9 x 2 + 7 = 0.Оның шешімін табу керек.

Шешім

Бос мүшені теңдеудің оң жағына жылжытайық, сонда теңдеу пішінді алады 9 x 2 = − 7.
Алынған теңдеудің екі жағын тең бөлейік 9 , біз x 2 = - 7 9-ға келеміз. Оң жақта минус таңбасы бар санды көреміз, ол мынаны білдіреді: y үшін берілген теңдеутамыры жоқ. Сонда бастапқы толық емес квадрат теңдеу 9 x 2 + 7 = 0тамыры болмайды.

Жауап:теңдеу 9 x 2 + 7 = 0тамыры жоқ.

4-мысал

Теңдеуді шешу керек − x 2 + 36 = 0.

Шешім

36 санын оң жаққа жылжытайық: − x 2 = − 36.
Екі бөлікті де бөлейік − 1 , Біз алып жатырмыз x 2 = 36. Оң жағында - оң сан, осыдан қорытынды жасауға болады x = 36 немесе x = - 36 .
Түбірді шығарып, соңғы нәтижені жазайық: толық емес квадрат теңдеу − x 2 + 36 = 0екі тамыры бар x=6немесе x = − 6.

Жауап: x=6немесе x = − 6.

a x 2 +b x=0 теңдеуінің шешімі

Толық емес квадрат теңдеулердің үшінші түрін талдап көрейік, қашан c = 0. Толымсыз квадрат теңдеудің шешімін табу a x 2 + b x = 0, көбейткіштерге бөлу әдісін қолданамыз. Теңдеудің сол жағындағы көпмүшені жақшаның ішінен алып, көбейткіштерге жіктейік. ортақ көбейткіш x. Бұл қадам бастапқы толық емес квадрат теңдеуді оның эквивалентіне түрлендіруге мүмкіндік береді x (a x + b) = 0. Ал бұл теңдеу өз кезегінде теңдеулер жиынына тең x = 0Және a x + b = 0. теңдеу a x + b = 0сызықтық және оның түбірі: x = − b a.

Анықтама 7

Осылайша, толық емес квадрат теңдеу a x 2 + b x = 0екі тамыр болады x = 0Және x = − b a.

Материалды мысалмен бекітейік.

5-мысал

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 теңдеуінің шешімін табу керек.

Шешім

Біз оны шығарамыз xжақшаның сыртында x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу теңдеулерге тең x = 0және 2 3 x - 2 2 7 = 0. Енді алынған сызықтық теңдеуді шешу керек: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Теңдеудің шешімін төмендегідей қысқаша жазыңыз:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 немесе 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 немесе x = 3 3 7

Жауап: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминант, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы

Квадрат теңдеулердің шешімін табу үшін түбір формуласы бар:

Анықтама 8

x = - b ± D 2 · a, мұндағы D = b 2 − 4 a c– квадрат теңдеудің дискриминанты деп аталатын.

x = - b ± D 2 · a мәнін жазу x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a екенін білдіреді.

Бұл формуланың қалай алынғанын және оны қалай қолдану керектігін түсіну пайдалы болар еді.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

Квадрат теңдеуді шешуге тапсырма берейік a x 2 + b x + c = 0. Бірнеше эквивалентті түрлендірулерді орындайық:

• теңдеудің екі жағын да санға бөл а, нөлден өзгеше, келесі квадрат теңдеуді аламыз: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• атап өтейік тамаша шаршыалынған теңдеудің сол жағында:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
  Осыдан кейін теңдеу келесі түрге ие болады: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Енді соңғы екі мүшені таңбаны керісінше өзгерте отырып, оң жаққа көшіруге болады, одан кейін мынаны аламыз: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Соңында соңғы теңдіктің оң жағында жазылған өрнекті түрлендіреміз:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Осылайша, бастапқы теңдеуге эквивалентті x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 теңдеуіне келеміз. a x 2 + b x + c = 0.

Мұндай теңдеулердің шешімін алдыңғы абзацтарда қарастырдық (толық емес квадрат теңдеулерді шешу). Алынған тәжірибе x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 теңдеуінің түбірлеріне қатысты қорытынды жасауға мүмкіндік береді:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 арқылы< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 болғанда теңдеу x + b 2 · a 2 = 0, онда x + b 2 · a = 0 болады.

Осыдан x = - b 2 · a жалғыз түбір анық көрінеді;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 үшін мыналар дұрыс болады: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 немесе x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ол х + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 немесе x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , яғни. теңдеудің екі түбірі бар.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 теңдеуінің түбірлерінің болуы немесе болмауы (демек, бастапқы теңдеу) b өрнегінің таңбасына байланысты деп қорытынды жасауға болады. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 оң жағында жазылған. Ал бұл өрнектің белгісі алым, (бөлгіш.) белгісі арқылы беріледі 4 а 2әрқашан оң болады), яғни өрнектің белгісі b 2 − 4 a c. Бұл өрнек b 2 − 4 a cатауы берілген – квадрат теңдеудің дискриминанты және оның белгіленуі ретінде D әрпі анықталады. Мұнда дискриминанттың мәнін жазуға болады – оның мәні мен белгісіне сүйене отырып, олар квадрат теңдеудің нақты түбірлері бола ма, жоқ па, егер болса, түбірлер саны қанша болады – бір немесе екі.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 теңдеуіне оралайық. Оны дискриминантты белгілеу арқылы қайта жазайық: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Қорытындыларымызды тағы да тұжырымдаймыз:

Анықтама 9

• сағ D< 0 теңдеудің нақты түбірі жоқ;
• сағ D=0теңдеудің бір түбірі бар x = - b 2 · a ;
• сағ D > 0теңдеудің екі түбірі бар: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 немесе x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Радикалдардың қасиеттеріне сүйене отырып, бұл түбірлерді мына түрде жазуға болады: x = - b 2 · a + D 2 · a немесе - b 2 · a - D 2 · a. Ал, модульдерді ашып, бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіргенде мынаны аламыз: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Сонымен, біздің пайымдауымыздың нәтижесі квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару болды:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант Dформула бойынша есептеледі D = b 2 − 4 a c.

Бұл формулалар дискриминант нөлден үлкен болғанда екі нақты түбірді де анықтауға мүмкіндік береді. Дискриминант нөлге тең болғанда, екі формуланы да қолдану квадрат теңдеудің жалғыз шешімімен бірдей түбір береді. Дискриминант теріс болған жағдайда, квадрат теңдеудің түбірі формуласын қолданып көрсек, онда біз шығару қажеттілігіне тап боламыз. Шаршы түбіртеріс саннан, ол бізді нақты сандардан тыс алады. Теріс дискриминантпен квадрат теңдеудің нақты түбірлері болмайды, бірақ біз алған түбір формулаларымен анықталатын жұп күрделі конъюгаттық түбірлер болуы мүмкін.

Түбір формулалары арқылы квадрат теңдеулерді шешу алгоритмі

Квадрат теңдеуді түбір формуласын қолдану арқылы бірден шешуге болады, бірақ бұл негізінен табу қажет болғанда орындалады. күрделі тамырлар.

Көп жағдайда бұл күрделі емес, квадрат теңдеудің нақты түбірлерін іздеуді білдіреді. Олай болса, квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын қолданбас бұрын, алдымен дискриминантты анықтап, оның теріс емес екеніне көз жеткізген дұрыс (әйтпесе теңдеудің нақты түбірі жоқ деген қорытындыға келеміз), содан кейін түбірлердің құндылығы.

Жоғарыда келтірілген дәлелдер квадрат теңдеуді шешу алгоритмін құрастыруға мүмкіндік береді.

Анықтама 10

Квадрат теңдеуді шешу a x 2 + b x + c = 0, қажетті:

• формула бойынша D = b 2 − 4 a cдискриминант мәнін табу;
• кезінде D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 үшін x = - b 2 · a формуласы арқылы теңдеудің жалғыз түбірін табыңыз;
• D > 0 үшін x = - b ± D 2 · a формуласы арқылы квадрат теңдеудің екі нақты түбірін анықтаңыз.

Дискриминант нөлге тең болғанда x = - b ± D 2 · a формуласын қолдануға болатынын ескеріңіз, ол x = - b 2 · a формуласымен бірдей нәтиже береді.

Мысалдарды қарастырайық.

Квадрат теңдеулерді шешу мысалдары

Дискриминанттың әртүрлі мәндері үшін мысалдарға шешімдер берейік.

6-мысал

Теңдеудің түбірін табуымыз керек x 2 + 2 x − 6 = 0.

Шешім

Квадрат теңдеудің сандық коэффициенттерін жазайық: a = 1, b = 2 және c = − 6. Әрі қарай біз алгоритмге сәйкес әрекет етеміз, яғни. Дискриминантты есептеуді бастайық, ол үшін a, b коэффициенттерін ауыстырамыз. Және вдискриминант формуласына: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Сонымен, біз D > 0 аламыз, яғни бастапқы теңдеудің екі нақты түбірі болады.
Оларды табу үшін x = - b ± D 2 · a түбір формуласын қолданамыз және сәйкес мәндерді ауыстырып, мынаны аламыз: x = - 2 ± 28 2 · 1. Түбір белгісінен көбейткішті алып, содан кейін бөлшекті азайту арқылы алынған өрнекті жеңілдетейік:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 немесе x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 немесе x = - 1 - 7

Жауап: x = - 1 + 7​​​, x = - 1 - 7 .

7-мысал

Квадрат теңдеуді шешу керек − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Шешім

Дискриминантты анықтайық: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Дискриминанттың осы мәнімен бастапқы теңдеудің x = - b 2 · a формуласымен анықталатын бір ғана түбірі болады.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Жауап: x = 3,5.

8-мысал

Теңдеуді шешу керек 5 у 2 + 6 у + 2 = 0

Шешім

Бұл теңдеудің сандық коэффициенттері: a = 5, b = 6 және c = 2 болады. Дискриминантты табу үшін мына мәндерді қолданамыз: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Есептелген дискриминант теріс, сондықтан бастапқы квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ.

Тапсырма күрделі түбірлерді көрсету болған жағдайда, күрделі сандармен әрекеттерді орындай отырып, түбір формуласын қолданамыз:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 немесе x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i немесе x = - 3 5 - 1 5 · i.

Жауап:нақты тамырлар жоқ; күрделі түбірлер келесідей: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN мектеп бағдарламасыКүрделі түбірлерді іздеудің стандартты талабы жоқ, сондықтан шешу кезінде дискриминант теріс деп анықталса, нақты түбірлер жоқ деген жауап бірден жазылады.

Жұп екінші коэффициенттер үшін түбір формуласы

x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) түбір формуласы x үшін жұп коэффициенті бар квадрат теңдеулердің шешімдерін табуға мүмкіндік беретін ықшамырақ басқа формуланы алуға мүмкіндік береді. немесе 2 · n түріндегі коэффициентпен, мысалы, 2 3 немесе 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Бұл формуланың қалай алынғанын көрсетейік.

Алдымызда a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 квадрат теңдеудің шешімін табу міндеті тұрсын. Біз алгоритм бойынша әрекет етеміз: D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) дискриминантын анықтаймыз, содан кейін түбір формуласын қолданамыз:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

n 2 − a · c өрнегі D 1 деп белгіленсін (кейде ол D ” деп белгіленеді). Сонда 2 · n екінші коэффициентімен қарастырылып отырған квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы келесідей болады:

x = - n ± D 1 a, мұндағы D 1 = n 2 − a · c.

D = 4 · D 1 немесе D 1 = D 4 екенін көру оңай. Басқаша айтқанда, D 1 дискриминанттың төрттен бір бөлігі. Әлбетте, D 1 белгісі D белгісімен бірдей, яғни D 1 белгісі квадрат теңдеудің түбірлерінің бар немесе жоқтығын көрсететін көрсеткіш ретінде де қызмет ете алады.

Анықтама 11

Сонымен, екінші коэффициенті 2 n болатын квадрат теңдеудің шешімін табу үшін қажет:

• табу D 1 = n 2 − a · c ;
• D 1 кезінде< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 болғанда, x = - n a формуласы арқылы теңдеудің жалғыз түбірін анықтаңыз;
• D 1 > 0 үшін x = - n ± D 1 a формуласы арқылы екі нақты түбірді анықтаңыз.

9-мысал

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 квадрат теңдеуді шешу керек.

Шешім

Берілген теңдеудің екінші коэффициентін 2 · (− 3) түрінде көрсетуге болады. Содан кейін берілген квадрат теңдеуді 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 түрінде қайта жазамыз, мұндағы a = 5, n = − 3 және c = − 32.

Дискриминанттың төртінші бөлігін есептейік: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Алынған мән оң болады, яғни теңдеудің екі нақты түбірі бар. Оларды сәйкес түбір формуласы арқылы анықтайық:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 немесе x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 немесе x = - 2

Квадрат теңдеудің түбірлері үшін әдеттегі формуланы пайдаланып есептеулерді жүргізуге болады, бірақ бұл жағдайда шешім қиынырақ болар еді.

Жауап: x = 3 1 5 немесе x = - 2.

Квадрат теңдеулердің түрін жеңілдету

Кейде бастапқы теңдеудің формасын оңтайландыруға болады, бұл түбірлерді есептеу процесін жеңілдетеді.

Мысалы, 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0-ге қарағанда 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 квадрат теңдеуін шешу ыңғайлырақ екені анық.

Көбінесе квадрат теңдеудің түрін жеңілдету оның екі жағын белгілі бір санға көбейту немесе бөлу арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, жоғарыда екі жағын 100-ге бөлу арқылы алынған 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 теңдеуінің жеңілдетілген көрінісін көрсеттік.

Мұндай түрлендіру квадрат теңдеудің коэффициенттері өзара болмаған кезде мүмкін болады жай сандар. Содан кейін біз әдетте теңдеудің екі жағын оның коэффициенттерінің абсолютті мәндерінің ең үлкен ортақ бөлгішіне бөлеміз.

Мысал ретінде 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 квадрат теңдеуін қолданамыз. Оның коэффициенттерінің абсолютті мәндерінің GCD анықтайық: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Бастапқы квадрат теңдеудің екі жағын 6-ға бөліп, 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 эквивалентті квадрат теңдеуді алайық.

Квадрат теңдеудің екі жағын көбейту арқылы сіз әдетте бөлшек коэффициенттерден құтыласыз. Бұл жағдайда олар оның коэффициенттерінің бөлгіштерінің ең кіші ортақ еселігіне көбейтіледі. Мысалы, егер 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 квадрат теңдеудің әрбір бөлігі LCM (6, 3, 1) = 6-ға көбейтілсе, онда ол көбірек жазылады. қарапайым түрде x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Соңында, біз әрқашан дерлік квадрат теңдеудің бірінші коэффициентіндегі минустан теңдеудің әрбір мүшесінің таңбаларын өзгерту арқылы құтыламыз, бұл екі жағын − 1-ге көбейту (немесе бөлу) арқылы қол жеткізіледі. Мысалы, − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 квадрат теңдеуінен оның жеңілдетілген 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 нұсқасына өтуге болады.

Түбірлер мен коэффициенттер арасындағы байланыс

Бізге бұрыннан белгілі квадрат теңдеулердің түбірлерінің формуласы x = - b ± D 2 · a теңдеудің түбірлерін оның сандық коэффициенттері арқылы өрнектейді. Осы формулаға сүйене отырып, бізде түбірлер мен коэффициенттер арасындағы басқа тәуелділіктерді көрсету мүмкіндігі бар.

Ең танымал және қолданылатын формулалар Виетаның теоремасы:

x 1 + x 2 = - b a және x 2 = c a.

Атап айтқанда, берілген квадрат теңдеу үшін түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбалы екінші коэффициент, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Мысалы, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 квадрат теңдеудің түріне қарап, оның түбірлерінің қосындысы 7 3, түбірлерінің көбейтіндісі 22 3 екенін бірден анықтауға болады.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы басқа да бірқатар байланыстарды табуға болады. Мысалы, квадрат теңдеудің түбірлерінің квадраттарының қосындысын коэффициенттер арқылы өрнектеуге болады:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Копьевская ауылдық орта мектебі

Квадрат теңдеулерді шешудің 10 жолы

Жетекшісі: Патрикеева Галина Анатольевна,

математика мұғалімі

Копево ауылы, 2007 ж

1. Квадрат теңдеулердің даму тарихы

1.1 Квадрат теңдеулерЕжелгі Вавилонда

1.2 Диофант квадрат теңдеулерді қалай құрастырды және шешті

1.3 Үндістандағы квадрат теңдеулер

1.4 Әл-Хорезмидің квадрат теңдеуі

1.5 Еуропадағы квадрат теңдеулер XIII - XVII ғасырлар

1.6 Вьета теоремасы туралы

2. Квадрат теңдеулерді шешу әдістері

Қорытынды

Әдебиет

1. Квадрат теңдеулердің даму тарихы

1.1 Ежелгі Вавилондағы квадрат теңдеулер

Бірінші ғана емес, екінші дәрежелі теңдеулерді шешу қажеттілігі ежелгі дәуірде облыстарды табуға байланысты есептерді шешу қажеттілігінен туындаған. жер учаскелеріжәне әскери сипаттағы жер жұмыстарымен, сондай-ақ астрономия мен математиканың дамуымен. Квадрат теңдеулерді біздің дәуірімізге дейінгі 2000 жылы шешуге болады. e. Вавилондықтар.

Қазіргі алгебралық белгілерді пайдалана отырып, олардың сына жазуындағы мәтіндерінде толық емес мәтіндерден басқа, мысалы, толық квадрат теңдеулер бар деп айта аламыз:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Вавилондық мәтіндерде келтірілген бұл теңдеулерді шешу ережесі қазіргіге сәйкес келеді, бірақ вавилондықтардың бұл ережеге қалай келгені белгісіз. Осы уақытқа дейін табылған сына жазуының барлық дерлік мәтіндері рецепттер түрінде берілген шешімдері бар мәселелерді ғана қамтамасыз етеді, олардың қалай табылғанын көрсетпейді.

Қарамастан жоғары деңгейВавилондағы алгебраның дамуы, сына жазуы мәтіндерінде теріс сан және ұғымы жоқ жалпы әдістерквадрат теңдеулерді шешу.

1.2 Диофант квадрат теңдеулерді қалай құрастырды және шешті.

Диофанттың «Арифметикасы» алгебраның жүйелі көрсетілімін қамтымайды, бірақ ол түсіндірулермен сүйемелденетін және әртүрлі дәрежедегі теңдеулерді құру арқылы шешілетін жүйелі есептерді қамтиды.

Теңдеулерді құрастыру кезінде Диофант шешімді жеңілдету үшін белгісіздерді шебер таңдайды.

Міне, мысалы, оның міндеттерінің бірі.

11-есеп.«Қосындысы 20, көбейтіндісі 96 екенін біле отырып, екі санды тап»

Диофант былай деп түсіндіреді: есептің шарттарынан қажетті сандар тең емес, өйткені егер олар тең болса, онда олардың көбейтіндісі 96 емес, 100-ге тең болар еді. Осылайша, олардың біреуі артық болады. олардың сомасының жартысы, яғни. 10 + x, екіншісі аз, яғни. 10-дар. Олардың арасындағы айырмашылық 2x .

Демек, теңдеу:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Осы жерден x = 2. Қажетті сандардың бірі тең 12 , басқа 8 . Шешім x = -2Диофант үшін жоқ, өйткені грек математикасы тек оң сандарды білетін.

Бұл есепті қажетті сандардың біреуін белгісіз ретінде таңдап шешсек, онда теңдеудің шешіміне келеміз.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Белгісіз ретінде қажетті сандардың жарты айырымын таңдау арқылы Диофант шешімді жеңілдететіні анық; ол есепті толық емес квадрат теңдеуді шешуге дейін қысқартады (1).

1.3 Үндістандағы квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеулер бойынша есептер 499 жылы үнді математигі және астрономы Арьябхатта құрастырған «Арьябхаттиам» астрономиялық трактатында кездеседі. Тағы бір үнді ғалымы Брахмагупта (7 ғ.) атап көрсетті жалпы ережеБір канондық түрге келтірілген квадрат теңдеулердің шешімдері:

а 2+ б x = c, a > 0. (1)

(1) теңдеуде коэффициенттер, қоспағанда А, теріс болуы да мүмкін. Брахмагуптаның ережесі шын мәнінде біздікімен бірдей.

IN Ежелгі ҮндістанКүрделі есептерді шешуде ашық жарыстар жиі болатын. Ескі үнді кітаптарының бірінде мұндай жарыстар туралы былай делінген: «Күн жұлдыздарды жарқырағанымен қалай тұтса, білімді адамалгебралық есептерді ұсынып, шешу арқылы танымал жиналыстарда басқа біреудің даңқын тоздырыңыз ». Мәселелер көбінесе поэтикалық күйде ұсынылды.

Бұл 12 ғасырдағы атақты үнді математигі шығарған есептердің бірі. Бхаскарлар.

13-есеп.

«Бір топ маймылдар және жүзім бұталарының бойында он екі ...

Билік тамақтанып, көңіл көтерді. Олар секіре бастады, асыла бастады ...

Олар алаңда, сегізінші бөлім.Онда неше маймыл болды?

Мен клирингте көңілді болдым. Айтыңызшы, бұл пакетте ме?

Бхаскараның шешімі оның квадрат теңдеулердің түбірлерінің екі мәнді екенін білгенін көрсетеді (3-сурет).

13-есепке сәйкес теңдеу:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара атын жамылып жазады:

x 2 - 64x = -768

және осы теңдеудің сол жағын квадратқа дейін аяқтау үшін екі жағына да қосады 32 2 , содан кейін алу:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Әл-Хорезмидегі квадрат теңдеулер

Әл-Хорезмидің алгебралық трактатында сызықтық және квадраттық теңдеулердің классификациясы берілген. Автор теңдеудің 6 түрін санап, оларды былай өрнектейді:

1) «Квадраттар түбірлерге тең», яғни. балта 2 + c = б X.

2) «Квадраттар сандарға тең», яғни. балта 2 = c.

3) «Түбірлер санға тең», яғни. ah = с.

4) «Квадраттар мен сандар түбірге тең», яғни. балта 2 + c = б X.

5) «Квадраттар мен түбірлер сандарға тең», яғни. а 2+ bx = с.

6) «Түбірлер мен сандар квадраттарға тең», яғни. bx + c = балта 2.

Тұтынудан аулақ болған әл-Хорезми үшін теріс сандар, осы теңдеулердің әрқайсысының мүшелері алынбайтын қосылғыштар болып табылады. Бұл жағдайда оң шешімдері жоқ теңдеулер ескерілмейтіні анық. Автор әл-жабр және әл-муқабала әдістерін қолдана отырып, бұл теңдеулерді шешу әдістерін белгілейді. Оның шешімдері, әрине, біздікімен толық сәйкес келмейді. Оның таза риторикалық екенін айтпағанда, мысалы, бірінші типті толық емес квадрат теңдеуді шешкенде

әл-Хорезми 17 ғасырға дейінгі барлық математиктер сияқты нөлдік шешімді ескермейді, мүмкін нақты практикалық есептердегі маңызды емес болғандықтан. Толық квадрат теңдеулерді шешкенде әл-Хорезми оларды шешудің ережелерін белгілі бір сандық мысалдар арқылы, содан кейін геометриялық дәлелдемелер арқылы белгілейді.

14-есеп.«Квадрат пен 21 саны 10 түбірге тең. Түбірді тап» (x 2 + 21 = 10x теңдеуінің түбірін білдіреді).

Автордың шешімі былай болады: түбір санын екіге бөл, 5 шығады, 5-ті өзіне көбейт, көбейтіндіден 21-ді азайт, 4 қалады, 4-тен түбірді ал, 2. 5-тен 2-ні азайт. , сіз 3 аласыз, бұл қажетті түбір болады. Немесе 2-ні 5-ке қоссақ, 7 шығады, бұл да түбір.

Әл-Хорезми трактаты – квадрат теңдеулердің жіктелуін жүйелі түрде баяндап, оларды шешу формулаларын берген бізге жеткен алғашқы кітап.

1.5 Еуропадағы квадрат теңдеулер XIII - XVII б.б

Еуропадағы әл-Хорезми сызығы бойынша квадрат теңдеулерді шешу формулалары алғаш рет 1202 жылы итальян математигі Леонардо Фибоначчи жазған Абакус кітабында келтірілген. Бұл көлемді еңбекте математиканың ықпалын көрсететін ислам елдері де Ежелгі Греция, баяндаудың толықтығымен де, анықтығымен де ерекшеленеді. Автор өз бетінше жаңадан әзірледі алгебралық мысалдармәселелерді шешіп, Еуропада бірінші болып теріс сандарды енгізді. Оның кітабы Италияда ғана емес, Германияда, Францияда және басқа да Еуропа елдерінде алгебралық білімнің таралуына ықпал етті. Абакус кітабының көптеген есептері 16-17 ғасырлардағы Еуропаның барлық дерлік оқулықтарында қолданылған. және ішінара XVIII.

Бір канондық түрге келтірілген квадрат теңдеулерді шешудің жалпы ережесі:

x 2 + bx = c,

коэффициент белгілерінің барлық мүмкін комбинациясы үшін б , біргеЕуропада тек 1544 жылы М.Штифель тұжырымдаған.

Квадрат теңдеуді шешуге арналған формуланы жалпы түрде шығару Виеттен бар, бірақ Виет тек оң түбірлерді мойындады. 16 ғасырда алғашқылардың қатарында итальяндық математиктер Тарталья, Кардано, Бомбелли болды. Олар назарға, оң қосымша, және теріс тамырлар. Тек 17 ғасырда. Жирард, Декарт, Ньютон және басқа ғалымдардың еңбектерінің арқасында квадрат теңдеулерді шешу әдісі қазіргі заманғы формаға ие болды.

1.6 Вьета теоремасы туралы

Квадрат теңдеудің коэффициенттері мен оның түбірлері арасындағы байланысты өрнектейтін теореманы Виетаның атымен атаған ол алғаш рет 1591 жылы былай тұжырымдаған: «Егер Б + D, көбейтіндісі А - А 2 , тең BD, Бұл Атең INжәне тең D ».

Виетаны түсіну үшін біз мұны есте сақтауымыз керек А, кез келген дауысты әріп сияқты, белгісізді білдіреді (біздің X), дауысты дыбыстар IN, D- белгісізге арналған коэффициенттер. Қазіргі алгебра тілінде жоғарыдағы Vieta тұжырымы мынаны білдіреді: егер бар болса

(а + б )x - x 2 = аб ,

x 2 - (a + б )x + a б = 0,

x 1 = a, x 2 = б .

Теңдеулердің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы байланысты өрнектеу жалпы формулалартаңбалар арқылы жазылған, Вьетнам теңдеулерді шешу әдістерінде біркелкілік орнатты. Дегенмен, Вьетнам символикасы әлі де алыс заманауи көрініс. Ол теріс сандарды танымады, сондықтан теңдеулерді шешу кезінде барлық түбірлер оң болатын жағдайларды ғана қарастырды.

2. Квадрат теңдеулерді шешу әдістері

Квадрат теңдеулер алгебраның ұлы ғимараты тірек болатын іргетас болып табылады. Квадрат теңдеулер табылды кең қолданутригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік, иррационал және трансценденттік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу кезінде. Квадрат теңдеулерді шешуді бәріміз мектептен (8-сынып) мектеп бітіргенге дейін білеміз.

Пішіннің теңдеуі

Өрнек D= b 2 - 4 акшақырды дискриминантквадрат теңдеу. ЕгерD = 0, онда теңдеудің бір нақты түбірі болады; егер Д> 0 болса, онда теңдеудің екі нақты түбірі болады.
Егер D = 0 , кейде квадрат теңдеудің екі бірдей түбірі бар деп айтылады.
Белгілеуді қолдану D= b 2 - 4 ак, (2) формуланы түрінде қайта жаза аламыз

Егер б= 2к, онда (2) формула келесі пішінді алады:

Қайда к= b / 2 .
Соңғы формула әсіресе қолайлы жағдайларда б / 2 - бүтін сан, яғни. коэффициент б- жұп сан.
1-мысал:Теңдеуді шеш 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Мұнда a = 2, b = -5, c = 2. Бізде бар D= b 2 - 4 ак = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Өйткені D > 0 , онда теңдеудің екі түбірі болады. Оларды формула (2) арқылы табайық.

Сонымен x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
яғни x 1 = 2 Және x 2 = 1 / 2 - берілген теңдеудің түбірлері.
2-мысал:Теңдеуді шеш 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Мұнда a = 2, b = -3, c = 5. Дискриминантты табу D= b 2 - 4 ак = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Өйткені D 0 , онда теңдеудің нақты түбірі болмайды.

Толық емес квадрат теңдеулер. Егер квадрат теңдеуде болса балта 2 +bx+c =0 екінші коэффициент бнемесе тегін мүше внөлге тең болса, онда квадрат теңдеу шақырылады толық емес. Толық емес теңдеулероқшауланған, себебі олардың түбірлерін табу үшін квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын пайдаланудың қажеті жоқ - теңдеуді оның сол жағын көбейткіштерге бөлу арқылы шешу оңайырақ.
1-мысал:теңдеуді шеш 2 x 2 - 5 x = 0 .
Бізде бар x(2 х - 5) = 0 . Солай да x = 0 , немесе 2 x - 5 = 0 , яғни x = 2.5 . Сонымен теңдеудің екі түбірі бар: 0 Және 2.5
2-мысал:теңдеуді шеш 3 x 2 - 27 = 0 .
Бізде бар 3 x 2 = 27 . Демек, бұл теңдеудің түбірлері 3 Және -3 .

Виетаның теоремасы. Келтірілген квадрат теңдеу болса x 2 +px+q =0 нақты түбірлері болса, онда олардың қосындысы тең болады - б, және туынды тең q, яғни

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(жоғарыдағы квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең).

Теңдіктер туралы жалпы түсінік алып, олардың бір түрімен - сандық теңдіктермен танысқаннан кейін, сіз практикалық тұрғыдан өте маңызды теңдіктердің тағы бір түрі - теңдеулер туралы айта аласыз. Бұл мақалада біз қарастырамыз теңдеу дегеніміз не, және теңдеудің түбірі деп нені атайды. Мұнда біз сәйкес анықтамаларды береміз, сонымен қатар теңдеулер мен олардың түбірлеріне әртүрлі мысалдар келтіреміз.

Бетті шарлау.

Теңдеу дегеніміз не?

Теңдеулерге мақсатты кіріспе әдетте 2-сыныпта математика сабағында басталады. Осы уақытта келесілер беріледі теңдеудің анықтамасы:

Анықтама.

теңдеутабылуы керек белгісіз санды қамтитын теңдік.

Теңдеудегі белгісіз сандар әдетте шағын сандар арқылы белгіленеді. Латын әріптері, мысалы, p, t, u, т.б., бірақ ең жиі қолданылатын әріптер x, y және z болып табылады.

Осылайша, теңдеу жазу формасы тұрғысынан анықталады. Басқаша айтқанда, теңдік көрсетілген жазу ережелеріне бағынатын кездегі теңдеу – онда мәнін табу қажет әріп бар.

Ең бірінші және ең қарапайым теңдеулерге мысалдар келтірейік. х=8, у=3 т.б түріндегі теңдеулерден бастайық. Сандар мен әріптермен қатар арифметикалық таңбалары бар теңдеулер біршама күрделірек көрінеді, мысалы, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Теңдеулердің әртүрлілігі таныс болғаннан кейін өседі - жақшалары бар теңдеулер пайда бола бастайды, мысалы, 2·(x−1)=18 және x+3·(x+2·(x−2))=3. Теңдеудегі белгісіз әріп бірнеше рет пайда болуы мүмкін, мысалы, x+3+3·x−2−x=9, сонымен қатар әріптер теңдеудің сол жағында, оң жағында немесе екі жағында да болуы мүмкін. теңдеу, мысалы, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 немесе 3·x−4=2·(x+12) .

Оқығаннан кейін натурал сандарбүтін, рационал, нақты сандармен танысу орын алады, жаңа математикалық объектілер: дәрежелер, түбірлер, логарифмдер және т.б. зерттеледі, сонымен бірге осы заттарды қамтитын теңдеулердің жаңа түрлері көбірек пайда болады. Олардың мысалдарын мақаладан көруге болады теңдеулердің негізгі түрлерімектепте оқиды.

7-сыныпта белгілі бір сандарды білдіретін әріптермен қатар, қабылдауға болатын әріптерді де қарастыра бастайды. әртүрлі мағыналар, олар айнымалылар деп аталады (мақаланы қараңыз). Сонымен бірге теңдеудің анықтамасына «айнымалы» сөзі енгізіледі және ол келесідей болады:

Анықтама.

Теңдеумәнін табу қажет айнымалысы бар теңдік деп аталады.

Мысалы, x+3=6·x+7 теңдеуі х айнымалысы бар теңдеу, ал 3·z−1+z=0 — z айнымалысы бар теңдеу.

Сол 7-сыныпта алгебра сабағында бір емес, екі түрлі белгісіз айнымалысы бар теңдеулерді кездестіреміз. Олар екі айнымалы теңдеулер деп аталады. Болашақта теңдеулерде үш немесе одан да көп айнымалылардың болуына рұқсат етіледі.

Анықтама.

Бір, екі, үш және т.б. теңдеулер. айнымалылар– бұл олардың жазбаларында сәйкесінше бір, екі, үш, ... белгісіз айнымалыларды қамтитын теңдеулер.

Мысалы, 3.2 x+0.5=1 теңдеуі бір х айнымалысы бар теңдеу, өз кезегінде x−y=3 түріндегі теңдеу x және y екі айнымалысы бар теңдеу болып табылады. Және тағы бір мысал: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Мұндай теңдеу x, y және z белгісіз үш айнымалысы бар теңдеу екені анық.

Теңдеудің түбірі дегеніміз не?

Теңдеудің анықтамасы осы теңдеудің түбірін анықтаумен тікелей байланысты. Теңдеудің түбірі не екенін түсінуге көмектесетін кейбір пайымдауларды орындайық.

Бізде бір әріпті (айнымалы) бар теңдеу бар делік. Егер осы теңдеудің жазбасына енгізілген әріптің орнына белгілі бір сан ауыстырылса, онда теңдеу сандық теңдікке айналады. Сонымен қатар, алынған теңдік ақиқат немесе жалған болуы мүмкін. Мысалы, а+1=5 теңдеуіндегі а әрпінің орнына 2 санын қойсаңыз, 2+1=5 қате сандық теңдік шығады. Бұл теңдеудегі а санының орнына 4 санын қойсақ, 4+1=5 дұрыс теңдігін аламыз.

Тәжірибеде, басым көпшілігінде теңдеуге ауыстырылуы дұрыс теңдік беретін айнымалының мәндері қызығушылық тудырады; бұл мәндер осы теңдеудің түбірлері немесе шешімдері деп аталады.

Анықтама.

Теңдеудің түбірі- бұл әріптің (айнымалының) мәні, оны ауыстырғанда теңдеу дұрыс сандық теңдікке айналады.

Бір айнымалысы бар теңдеудің түбірі теңдеудің шешімі деп те аталатынын ескеріңіз. Басқаша айтқанда, теңдеудің шешімі мен теңдеудің түбірі бір нәрсе.

Бұл анықтаманы мысалмен түсіндірейік. Ол үшін жоғарыда жазылған a+1=5 теңдеуіне оралайық. Теңдеудің түбірінің берілген анықтамасы бойынша 4 саны осы теңдеудің түбірі болып табылады, өйткені бұл санды а әрпінің орнына қойғанда дұрыс 4+1=5 теңдігін аламыз, ал 2 саны оның емес. түбір, өйткені ол 2+1= 5 түріндегі қате теңдікке сәйкес келеді.

Осы кезде бірқатар табиғи сұрақтар туындайды: «Кез келген теңдеудің түбірі бар ма және берілген теңдеудің неше түбірі бар?». Біз оларға жауап береміз.

Түбірлері бар теңдеу де, түбірі жоқ теңдеу де бар. Мысалы, х+1=5 теңдеуінің 4 түбірі бар, бірақ 0 х=5 теңдеуінің түбірі жоқ, өйткені бұл теңдеуде х айнымалысының орнына қандай санды қойсақ та, 0=5 қате теңдігін аламыз. .

Теңдеудің түбірлерінің санына келетін болсақ, түбірі белгілі бір шекті (бір, екі, үш, т.б.) болатын теңдеу де, түбірі шексіз болатын теңдеу де бар. Мысалы, x−2=4 теңдеуінің бір түбірі 6, x 2 =9 теңдеуінің түбірлері −3 және 3 екі саны, x·(x−1)·(x−2)=0 теңдеуі. үш түбірі 0, 1 және 2, ал x=x теңдеуінің шешімі кез келген сан, яғни оның түбірі шексіз.

Теңдеудің түбірлері үшін қабылданған белгілер туралы бірнеше сөз айту керек. Егер теңдеудің түбірі болмаса, олар әдетте «теңдеудің түбірі жоқ» деп жазады немесе ∅ бос жиын белгісін пайдаланады. Егер теңдеудің түбірлері болса, онда олар үтір арқылы жазылады немесе былай жазылады жиынның элементтерібұйра жақшада. Мысалы, егер теңдеудің түбірі −1, 2 және 4 сандары болса, онда −1, 2, 4 немесе (−1, 2, 4) деп жазыңыз. Теңдеудің түбірлерін жай теңдіктер түрінде жазуға да рұқсат етіледі. Мысалы, егер теңдеуде х әрпі болса және бұл теңдеудің түбірі 3 және 5 сандары болса, онда x=3, x=5 деп жазуға болады және x 1 =3, x 2 =5 жазылулары жиі қосылады. теңдеудің сандық түбірлерін көрсететіндей айнымалыға. Теңдеудің түбірлерінің шексіз жиыны әдетте түрінде жазылады, егер мүмкін болса, N натурал сандар, Z бүтін сандар және R нақты сандар жиындарының жазуы да қолданылады. Мысалы, х айнымалысы бар теңдеудің түбірі кез келген бүтін сан болса, онда y айнымалысы бар теңдеудің түбірі 1-ден 9-ға дейінгі кез келген нақты сан болса, онда деп жаз.

Екі, үш және теңдеулер үшін үлкен сомаайнымалылар, әдетте, «теңдеудің түбірі» термині пайдаланылмайды, бұл жағдайларда олар «теңдеудің шешімі» дейді. Бірнеше айнымалысы бар теңдеулерді шешу қалай аталады? Сәйкес анықтаманы берейік.

Анықтама.

Екі, үш, т.б. бар теңдеуді шешу. айнымалыларжұп деп аталады, үш және т.б. айнымалылардың мәндері, бұл теңдеуді дұрыс сандық теңдікке айналдырады.

Түсіндірме мысалдар келтірейік. x+y=7 екі айнымалысы бар теңдеуді қарастырайық. х санының орнына 1 санын, у орнына 2 санын қойып көрейік, сонда 1+2=7 теңдігі болады. Әлбетте, бұл дұрыс емес, сондықтан x=1, y=2 мәндер жұбы жазылған теңдеудің шешімі емес. Егер біз x=4, y=3 мәндер жұбын алсақ, онда теңдеуге ауыстырғаннан кейін 4+3=7 дұрыс теңдігіне келеміз, сондықтан бұл айнымалы мәндер жұбы анықтамасы бойынша шешім болып табылады. x+y=7 теңдеуіне.

Бір айнымалысы бар теңдеулер сияқты бірнеше айнымалысы бар теңдеулердің түбірі болмауы мүмкін, түбірлердің шектеулі саны болуы мүмкін немесе түбірлердің шексіз саны болуы мүмкін.

Жұптық, үштік, төрттік, т.б. Айнымалылардың мәндері жиі қысқаша жазылады, олардың мәндері жақша ішінде үтірмен бөлінген. Бұл жағдайда жақшаға жазылған сандар ішіндегі айнымалыларға сәйкес келеді алфавиттік тәртіп. Алдыңғы x+y=7 теңдеуіне оралу арқылы осы тармақты нақтылайық. Бұл теңдеудің x=4, y=3 шешімін (4, 3) қысқаша жазуға болады.

Ең үлкен назар мектеп курсыматематика, алгебра және талдаудың бастамалары бір айнымалыдағы теңдеулердің түбірін табуға арналған. Бұл процестің ережелерін мақалада егжей-тегжейлі қарастырамыз. теңдеулерді шешу.

Әдебиеттер тізімі.

• Математика. 2 сынып Оқулық жалпы білім беруге арналған adj бар мекемелер. электронға тасымалдаушы. 14.00 1-бөлім / [М. И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, т.б.] – 3-бас. - М.: Білім, 2012. - 96 б.: сырқат. - (Ресей мектебі). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:оқулық 7 сыныпқа арналған жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; өңдеген С.А.Теляковский. - 17-ші басылым. – М.: Білім, 2008. – 240 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9-сынып: тәрбиелік. жалпы білім беруге арналған мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; өңдеген С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. – М.: Білім, 2009. – 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-021134-5.