Балаға пропорцияларды қалай түсіндіруге болады. Проценттік есептер: пропорцияларды пайдаланып стандартты есептеу

Математикалық тұрғыдан алғанда пропорция – екі қатынастың теңдігі. Өзара тәуелділік пропорцияның барлық бөліктеріне, сондай-ақ олардың өзгермейтін нәтижесіне тән. Пропорцияны қалай құру керектігін пропорцияның қасиеттерімен және формуласымен танысу арқылы түсінуге болады. Пропорцияларды шешу принципін түсіну үшін бір мысалды қарастыру жеткілікті. Пропорцияларды тікелей шешу арқылы ғана сіз бұл дағдыларды тез және оңай меңгере аласыз. Және бұл мақала оқырманға осыған көмектеседі.

Пропорция және формуланың қасиеттері

1. Пропорцияны өзгерту. Берілген теңдік 1a: 2b = 3c: 4d болған жағдайда, 2b: 1a = 4d: 3c жазыңыз. (Ал 1a, 2b, 3c және 4d 0-ден басқа жай сандар).
2. Пропорцияның берілген мүшелерін айқасқа көбейту. Сөзбе-сөз өрнекте ол келесідей көрінеді: 1a: 2b = 3c: 4d, ал 1a4d = 2b3c жазу оған эквивалент болады. Сонымен, кез келген пропорцияның шеткі бөліктерінің көбейтіндісі (теңдіктің шеттеріндегі сандар) әрқашан ортаңғы бөліктердің (теңдіктің ортасында орналасқан сандар) көбейтіндісіне тең болады.
3. Пропорцияны құру кезінде оның шеткі және орта мүшелерді қайта реттеу қасиеті де пайдалы болуы мүмкін. 1a: 2b = 3c: 4d теңдігінің формуласын келесі жолдармен көрсетуге болады:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (пропорцияның ортаңғы мүшелері қайта реттелгенде).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (пропорцияның шеткі мүшелері қайта реттелгенде).
4. Оның өсу және кему қасиеті пропорцияларды шешуге тамаша көмектеседі. 1a: 2b = 3c: 4d болғанда, мынаны жаз:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (пропорцияны көбейту арқылы теңдік).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (пропорцияның азаюы арқылы теңдік).
5. Пропорцияны қосу және азайту арқылы жасауға болады. Пропорция 1a:2b = 3c:4d түрінде жазылса, онда:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорция қосу арқылы жасалады).
   • (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорция алу арқылы есептеледі).
6. Сондай-ақ құрамында бөлшек немесе бар пропорцияны шешу кезінде үлкен сандар, оның екі мүшесін бірдей санға бөлуге немесе көбейтуге болады. Мысалы, 70:40=320:60 пропорцияның құраушыларын былай жазуға болады: 10*(7:4=32:6).
7. Пропорцияларды пайыздармен шешу опциясы келесідей көрінеді. Мысалы, 30=100%, 12=x деп жазыңыз. Енді ортаңғы мүшелерді (12*100) көбейтіп, белгілі шектен (30) бөлу керек. Осылайша, жауап: x=40%. Сол сияқты, қажет болған жағдайда, белгілі экстремалды мүшелерді көбейтіп, қажетті нәтижеге қол жеткізе отырып, оларды берілген орташа санға бөлуге болады.

Егер сізді белгілі бір пропорция формуласы қызықтырса, онда ең қарапайым және кең тараған нұсқада пропорция келесі теңдік болып табылады (формула): a/b = c/d, онда a, b, c және d төрт емес. нөлдік сандар.

Өткен бейнесабақта пропорцияларды пайдалана отырып, процентке қатысты есептерді шешуді қарастырдық. Содан кейін есептің шарты бойынша сол немесе басқа шаманың мәнін табу керек болды.

Бұл жолы бізге бастапқы және соңғы мәндер берілді. Сондықтан, есептер пайыздарды табуды талап етеді. Дәлірек айтқанда, осы немесе басқа мән қанша пайызға өзгерді. Бәлкім байқап көрерміз.

Тапсырма. Кроссовкалардың құны 3200 рубльді құрайды. Баға көтерілгеннен кейін олар 4000 рубльді құра бастады. Кроссовкалардың бағасы қанша пайызға өсті?

Сонымен, пропорция арқылы шешеміз. Бірінші қадам - ​​бастапқы бағасы 3200 рубль болды. Демек, 3200 рубль 100% құрайды.

Сонымен қатар, бізге соңғы баға берілді - 4000 рубль. Бұл белгісіз пайыз, сондықтан оны х деп атаймыз. Біз келесі құрылысты аламыз:

3200 — 100%
4000 - x%

Ал, мәселенің шарты жазылған. Пропорция жасайық:

Сол жақтағы бөлшек 100-ге тамаша жояды: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Немесе оны 4: 32: 4 = 8-ге қысқартуға болады; 40: 4 = 10. Келесі пропорцияны аламыз:

Пропорцияның негізгі қасиетін қолданайық: шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең. Біз алып жатырмыз:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

Бұл жиі кездеседі сызықтық теңдеу. Осыдан x табамыз:

x = 1000: 8 = 125

Сонымен, біз х = 125 соңғы пайызды алдық. Бірақ 125 саны есептің шешімі бола ма? Мүмкін емес! Өйткені тапсырма кроссовкалардың қанша пайызға қымбаттағанын анықтауды талап етеді.

Қандай пайызбен - бұл өзгерісті табу керек дегенді білдіреді:

∆ = 125 − 100 = 25

Біз 25% алдық - бастапқы баға осылай көтерілді. Бұл жауап: 25.

No2 пайыздар бойынша В2 есеп

Екінші тапсырмаға көшейік.

Тапсырма. Көйлек құны 1800 рубль болды. Бағасы төмендегеннен кейін ол 1530 рубльді құра бастады. Жейденің бағасы қанша пайызға төмендеді?

Шартты келесіге аударамыз математикалық тіл. Бастапқы бағасы 1800 рубль - бұл 100%. Соңғы баға - 1530 рубль - біз оны білеміз, бірақ оның бастапқы құны қанша пайыз екенін білмейміз. Сондықтан оны х деп белгілейміз. Біз келесі құрылысты аламыз:

1800 — 100%
1530 - x%

Алынған жазба негізінде біз пропорция жасаймыз:

Әрі қарай есептеулерді жеңілдету үшін екі бөлікті де бөліп алайық берілген теңдеу 100-ге. Басқаша айтқанда, сол және оң бөлшектердің алымынан екі нөлді сызып тастаймыз. Біз алып жатырмыз:

Енді пропорцияның негізгі қасиетін тағы да қолданайық: шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

Тек x табу ғана қалды:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Біз x = 85 деп алдық. Бірақ, алдыңғы есептегідей, бұл санның өзі жауап емес. Жағдайымызға оралайық. Енді төмендетілгеннен кейін алынған жаңа баға бұрынғы бағаның 85 пайызын құрайтынын білеміз. Ал өзгерістерді табу үшін ескі бағадан қажет, яғни. 100%, шегеріңіз жаңа баға, яғни. 85%. Біз алып жатырмыз:

∆ = 100 − 85 = 15

Бұл сан жауап болады: Назар аударыңыз: дәл 15, және ешқандай жағдайда 85. Барлығы осы! Мәселе шешілді.

Зейінді оқушылар сұрақ қоятын шығар: неге бірінші есепте айырманы тапқанда соңғы саннан бастапқы санды алып тастадық, ал екінші есепте мүлдем керісінше орындадық: бастапқы 100%-дан соңғы 85%-ды алып тастадық?

Осы тұста анық айтайық. Ресми түрде, математикада шаманың өзгеруі әрқашан соңғы мән мен бастапқы мән арасындағы айырмашылық болып табылады. Басқаша айтқанда, екінші есепте 15 емес, −15 алуымыз керек еді.

Дегенмен, бұл минус ешбір жағдайда жауапқа енгізілмеуі керек, өйткені ол бастапқы есептің шарттарында ескерілген. Ол бағаның төмендеуі туралы тікелей айтады. Ал бағаның 15%-ға төмендеуі бағаның −15%-ға көтерілуімен бірдей. Сондықтан есептің шешімі мен жауабында ешбір минуссыз 15-ті жазу жеткілікті.

Міне, біз мұны шештік деп үміттенемін. Осымен бүгінгі сабағымыз аяқталды. Келесі кездескенше!

Пропорция – екі немесе одан да көп сандарды бір-бірімен салыстыратын математикалық өрнек. Пропорциялар абсолютті мәндер мен шамаларды салыстыра алады немесеүлкенірек бүтіннің бөліктері. Пропорцияларды бірнеше түрлі жолмен жазуға және есептеуге болады, бірақ негізгі принцип бірдей.

Қадамдар

1 бөлім

Пропорция дегеніміз не

Пропорциялардың қандай екенін табыңыз.Пропорциялар келесідей пайдаланылады ғылыми зерттеулер, және ішінде Күнделікті өмірәртүрлі мәндер мен шамаларды салыстыру. Ең қарапайым жағдайда екі сан салыстырылады, бірақ пропорция шамалардың кез келген санын қамтуы мүмкін. Екі немесе салыстыру кезінде Көбірекпропорцияларды әрқашан қолдануға болады. Шамалардың бір-бірімен байланысын білу, мысалы, жазуға мүмкіндік береді химиялық формулаларнемесе әртүрлі тағамдарға арналған рецепттер. Пропорциялар сізге әртүрлі мақсаттарда пайдалы болады.

1. Пропорция нені білдіретінімен танысыңыз.Жоғарыда айтылғандай, пропорциялар екі немесе одан да көп шамалардың арасындағы байланысты анықтауға мүмкіндік береді. Мысалы, печенье жасау үшін 2 кесе ұн мен 1 стакан қант қажет болса, ұн мен қанттың арасында 2-ден 1-ге дейін қатынас бар дейміз.

   • Пропорцияларды әртүрлі шамалардың бір-бірімен қалай байланысты екенін көрсету үшін қолдануға болады, тіпті олар тікелей байланысты болмаса да (рецепттен айырмашылығы). Мысалы, бір сыныпта бес қыз және он ұл бала болса, қыздар мен ұлдардың арақатынасы 5-тен 10-ға тең. Бұл жағдайда бір сан екіншісіне тәуелді емес немесе тікелей байланысты емес: егер біреу кетсе, пропорция өзгеруі мүмкін. сынып немесе керісінше, оған жаңа студенттер келеді. Пропорция екі шаманы салыстыруға мүмкіндік береді.

2. назар аударыңыз әртүрлі жолдарпропорциялардың өрнектері.Пропорцияларды сөзбен немесе математикалық белгілер арқылы жазуға болады.

   • Күнделікті өмірде пропорциялар сөзбен жиі көрсетіледі (жоғарыдағыдай). Пропорциялар әртүрлі салаларда қолданылады және сіздің мамандығыңыз математикаға немесе басқа ғылымға қатысты болмаса, бұл пропорция жазудың ең көп тараған тәсілі.
   • Пропорциялар көбінесе қос нүкте арқылы жазылады. Екі санды пропорция арқылы салыстыру кезінде оларды қос нүктемен жазуға болады, мысалы 7:13. Егер екіден көп сандар салыстырылса, әр екі санның арасына қос нүкте дәйекті түрде қойылады, мысалы 10:2:23. Жоғарыда келтірілген сыныптағы мысалда біз қыздар мен ұлдардың санын 5 қыз: 10 ұл баламен салыстырып жатырмыз. Осылайша, бұл жағдайда пропорцияны 5:10 деп жазуға болады.
   • Кейде пропорцияларды жазу кезінде бөлшек белгісі қолданылады. Біздің сыныптағы мысалда 5 қыздың 10 ұл балаға қатынасы 5/10 деп жазылады. Бұл жағдайда сіз «бөлу» белгісін оқымауыңыз керек және бұл бөлшек емес, екі түрлі санның қатынасы екенін есте ұстаған жөн.

   2-бөлім

   Пропорциялармен амалдар

   1. Пропорцияны оның қарапайым түріне дейін азайтыңыз.Пропорцияларды бөлшектер сияқты олардың мүшелерін ортақ бөлгішке азайту арқылы жеңілдетуге болады. Пропорцияны жеңілдету үшін оған кіретін барлық сандарды ортақ бөлгіштерге бөліңіз. Дегенмен, біз осы пропорцияға әкелген бастапқы мәндер туралы ұмытпауымыз керек.

      • Жоғарыда 5 қыз және 10 ұл (5:10) сыныбы бар мысалда пропорцияның екі жағының ортақ көбейткіші 5 болады. Екі шаманы 5-ке бөлу (ең үлкен ортақ көбейткіш) 1 қыздың 2-ге қатынасын береді. ұлдар (яғни 1:2). Дегенмен, жеңілдетілген пропорцияны пайдаланған кезде, сіз бастапқы сандарды есте сақтауыңыз керек: сыныпта 3 оқушы емес, 15. Қысқартылған пропорция тек қыздар мен ұлдар саны арасындағы қатынасты көрсетеді. Әр қызға екі ұл баладан келеді, бірақ бұл сыныпта 1 қыз және 2 ұл бала бар дегенді білдірмейді.
      • Кейбір пропорцияларды оңайлату мүмкін емес. Мысалы, 3:56 қатынасын азайтуға болмайды, өйткені пропорцияға кіретін шамалардың ортақ бөлгіші жоқ: 3 жай сан, ал 56 саны 3-ке бөлінбейді.

   2. Пропорцияларды «масштаб» үшін көбейтуге немесе бөлуге болады.Пропорциялар көбінесе сандарды бір-біріне пропорционалды түрде көбейту немесе азайту үшін қолданылады. Пропорцияға енгізілген барлық шамаларды бірдей санға көбейту немесе бөлу олардың арасындағы қатынасты өзгеріссіз сақтайды. Осылайша, пропорцияларды «масштаб» коэффициентімен көбейтуге немесе бөлуге болады.

      • Наубайшы пісіретін печенье санын үш есе көбейту керек делік. Егер ұн мен қант 2-ден 1-ге (2:1) қатынасында алынса, печенье мөлшерін үш есе көбейту үшін бұл пропорцияны 3-ке көбейту керек. Нәтижеде 6 кесе ұннан 3 кесе қантқа (6: 3).
      • Сіз керісінше жасай аласыз. Наубайшы печенье мөлшерін екі есе азайту қажет болса, пропорцияның екі бөлігін де 2-ге бөлу керек (немесе 1/2-ге көбейту). Нәтижесінде жарты кесе (1/2 немесе 0,5 кесе) қантқа 1 кесе ұн алынады.

   3. Екі эквивалентті пропорция арқылы белгісіз шаманы табуды үйрену.Пропорциялар кеңінен қолданылатын тағы бір кең таралған мәселе, егер оған ұқсас екінші пропорция берілсе, пропорциялардың бірінде белгісіз шаманы табу. Бөлшектерді көбейту ережесі бұл тапсырманы айтарлықтай жеңілдетеді. Әрбір пропорцияны бөлшек түрінде жазыңыз, содан кейін осы бөлшектерді бір-біріне теңестіріп, қажетті шаманы табыңыз.

      • Бізде жоқ делік үлкен топ 2 ұл және 5 қыздың оқушылары. Ұлдар мен қыздар арасындағы қатынасты сақтағымыз келсе, 20 қыздан тұратын сыныпта неше ұл бала болуы керек? Алдымен екі пропорцияны құрайық, олардың біреуінде белгісіз шама бар: 2 ұл: 5 қыз = х ұл: 20 қыз. Егер пропорцияларды бөлшек түрінде жазсақ, 2/5 және х/20 болады. Теңдіктің екі жағын да бөлгіштерге көбейткеннен кейін 5х=40 теңдеуін аламыз; 40-ты 5-ке бөліп, соңында x=8 табыңыз.

   3-бөлім

   Ақаулық себебін іздеу және түзету

   1. Пропорциялармен жұмыс істегенде қосу және азайтудан аулақ болыңыз.Пропорцияларға қатысты көптеген мәселелер келесідей естіледі: «Тағам дайындау үшін сізге 4 картоп пен 5 сәбіз қажет. Егер сіз 8 картоп қолданғыңыз келсе, сізге қанша сәбіз қажет болады?» Көптеген адамдар сәйкес мәндерді жай ғана қосуға тырысып қателеседі. Дегенмен, бірдей пропорцияны сақтау үшін қосу емес, көбейту керек. Бұл қате және дұрыс шешімосы тапсырма бойынша:

      • Дұрыс емес әдіс: «8 - 4 = 4, яғни рецептке 4 картоп қосылды. Бұл алдыңғы 5 сәбізді алып, оларға 4 қосу керек екенін білдіреді ... бірдеңе дұрыс емес! Пропорциялар басқаша жұмыс істейді. Қайталап көрейік».
      • Дұрыс әдіс: «8/4 = 2, яғни картоп екі есе өсті. Бұл сәбіз санын 2-ге көбейту керек дегенді білдіреді. 5 x 2 = 10, яғни жаңа рецептте 10 сәбіз қолданылуы керек».

   2. Барлық мәндерді бірдей бірліктерге түрлендіру.Кейде мәселе шамалардың әртүрлі бірліктері болғандықтан туындайды. Пропорцияны жазбас бұрын, барлық шамаларды бірдей бірліктерге айналдырыңыз. Мысалы:

      • Айдаһарда 500 грамм алтын мен 10 келі күміс бар. Айдаһар қорындағы алтынның күміске қатынасы қандай?
      • Грамдар мен килограммдар әртүрлі өлшем бірліктері болып табылады, сондықтан олар біртұтас болуы керек. 1 килограмм = 1000 грамм, яғни 10 килограмм = 10 килограмм х 1000 грамм/1 килограмм = 10 х 1000 грамм = 10 000 грамм.
      • Демек, айдаһарда 500 грамм алтын мен 10 000 грамм күміс бар.
      • Алтын массасының күміс массасына қатынасы 500 грамм алтын/10 000 грамм күміс = 5/100 = 1/20.

   3. Есептің шешуіндегі өлшем бірліктерін жаз.Пропорциялармен есептердегі әрбір мәннен кейін оның өлшем бірліктерін жазып алсаңыз, қатені табу оңайырақ. Есіңізде болсын, егер алым мен бөлгіштің бірліктері бірдей болса, олар жойылады. Барлық ықтимал қысқартулардан кейін сіздің жауабыңызда дұрыс өлшем бірліктері болуы керек.

      • Мысалы: 6 жәшік берілген, ал әрбір үш жәшікте 9 шар бар; барлығы неше шар бар?
      • Қате әдіс: 6 қорап x 3 қорап/9 мәрмәр = ... Хмм, ештеңе азаймайды және жауап «қораптар x жәшіктер / мәрмәр» болып шығады. Оның мағынасы жоқ.
      • Дұрыс әдіс: 6 қорап x 9 шар/3 қорап = 6 қорап x 3 шар/1 қорап = 6 x 3 шар/1= 18 доп.

Пропорция –екі қатынастың теңдігі, яғни форманың теңдігі a: b = c: d , немесе басқа белгілерде теңдік

Егер а : б = в : d, Бұл аЖәне dшақырды төтенше, А бЖәне в - орташамүшелері пропорциялар.

«Пропорциядан» құтылу мүмкін емес, онсыз көптеген тапсырмаларды орындау мүмкін емес. Шығудың бір ғана жолы бар – бұл қатынаспен күресу және пропорцияны құтқарушы ретінде пайдалану.

Пропорция мәселелерін қарастыруды бастамас бұрын, пропорцияның негізгі ережесін есте сақтау маңызды:

Пропорцияда

шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең

Егер пропорциядағы кейбір шама белгісіз болса, оны осы ережеге сүйене отырып табу оңай болады.

Мысалы,

Яғни пропорцияның белгісіз мәні – бөлшектің мәні, бөлгіште ол белгісіз шамаға қарсы тұрған сан , алымдағы – пропорцияның қалған мүшелерінің көбейтіндісі (бұл белгісіз шаманың қай жерде тұрғанына қарамастан ).

1-тапсырма.

21 кг мақта тұқымынан 5,1 кг май алынды. 7 кг мақтадан қанша май алынады?

Шешімі:

Тұқымның салмағының белгілі бір факторға төмендеуі нәтижесінде алынған майдың салмағының бірдей мөлшерде төмендеуіне әкелетінін түсінеміз. Яғни, мөлшерлер тікелей байланысты.

Кестені толтырайық:

Белгісіз шама – бөлшектің мәні, оның бөлгішінде – 21 – кестедегі белгісізге қарама-қарсы мән, алымында – пропорциялар кестесінің қалған мүшелерінің көбейтіндісі.

Демек, 7 кг тұқымнан 1,7 кг май шығатынын анықтаймыз.

Кімге Дұрыс Кестені толтыру кезінде ережені есте сақтау маңызды:

Бірдей атаулар бірінің астына жазылуы керек. Біз пайызды пайыздың астына, килограммды килограммның астына жазамыз, т.б.

2-тапсырма.

Радианға түрлендіру.

Шешімі:

Біз мұны білеміз. Кестені толтырайық:

3-тапсырма.

Допты қағазда шеңбер бейнеленген. Көлеңкеленген сектордың ауданы 27 болса, шеңбердің ауданы неге тең?

Шешімі:

Көлеңкеленбеген сектордың бұрышқа сәйкес келетіні анық көрінеді (мысалы, сектордың қабырғалары көршілес екі тік бұрыштың биссектрисаларынан құралғандықтан). Ал бүкіл шеңбер болғандықтан , көлеңкеленген секторды құрайды .

Кесте жасайық:

Шеңбердің ауданы қайдан келеді?

4-тапсырма. Бүкіл егіс алқабының 82%-ы жыртылып болған соң, жыртуға әлі 9 гектар жер қалды. Бүкіл алқаптың ауданы қанша?

Шешімі:

Бүкіл егістік 100%, ал 82% жыртылғандықтан, егістіктің 100%-82%=18% жырту қалады.

Кестені толтырыңыз:

Бүкіл егістіктің (га) екенін қайдан аламыз.

Ал келесі тапсырма - буксирлеу.

5-тапсырма.

Жолаушылар пойызы екі қала арасындағы қашықтықты 80 км/сағ жылдамдықпен 3 сағатта жүріп өтті. Бірдей қашықтықты 60 жылдамдықпен жүк пойызы неше сағатта жүреді? км/сағ?

Егер сіз бұл мәселені алдыңғыға ұқсас шешсеңіз, сіз келесіні аласыз:

жүк пойызының жолаушылар пойызымен бірдей қашықтықты жүруіне кететін уақыт сағат. Яғни, төмен жылдамдықпен жүріп, жылдамдығы жоғары пойызға қарағанда қашықтықты (бір уақытта) жылдам өтеді екен.

Ойлауда қандай қателік бар?

Осы уақытқа дейін біз сандардың қай жерде болатынын қарастырдық бір-біріне тура пропорционал , яғни биіктігібірдей мәнді бірнеше рет береді биіктігіекінші шама онымен бірдей мөлшерде байланысты (әрине, азаюымен бірдей). Ал бұл жерде бізде басқа жағдай бар: жолаушылар пойызының жылдамдығы Көбірекжүк пойызының жылдамдығы бірнеше есе жоғары, бірақ жолаушылар пойызы бірдей қашықтықты өту үшін қажет уақыт кішірекжүк пойызы сияқты бірнеше рет. Яғни, бір-біріне деген құндылықтар кері пропорционал .

Біз осы уақытқа дейін қолданып келген схеманы бұл жағдайда сәл өзгерту керек.

Шешімі:

Біз былай деп есептейміз:

Жолаушылар пойызы 80 км/сағ жылдамдықпен 3 сағат жүрді, сондықтан ол км жол жүрді. Бұл жүк пойызы дәл осындай жолды бір сағатта жүріп өтеді деген сөз.

Яғни, егер біз пропорция жасасақ, алдымен оң жақ бағанның ұяшықтарын ауыстыруымыз керек еді. алады: h.

Сондықтан, пропорцияларды құрастырған кезде абай болыңыз. Біріншіден, сіз қандай тәуелділікпен айналысып жатқаныңызды анықтаңыз - тікелей немесе кері.