Бүкілресейлік сырттай оқитын қаржы-экономикалық ИНСТИТУТЫ
ЭКОНОМИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӘДІСТЕР МЕН МОДЕЛДЕР БӨЛІМІ
ЭКОНОМЕТРИКА
Өндірістік функциялар
(Дәріс материалдары)
Дайындаған кафедра доценті
Филонова Е.С. (Орел қаласындағы филиалы)
«Өндірістік функциялар» тақырыбы бойынша дәріс мәтіні
«Эконометрика» пәні бойынша
Жоспар:
Кіріспе
Бір айнымалы өндірістік функция туралы түсінік
Бірнеше айнымалылардың өндірістік функциялары
Өндірістік функциялардың қасиеттері мен негізгі сипаттамалары
Экономикалық талдау, болжау және жоспарлау мәселелерінде өндірістік функцияларды қолдану мысалдары
Негізгі қорытындылар
Оқыған материалды бақылауға арналған тесттер
Әдебиет
Кіріспе
Қазіргі қоғамда ешкім өзі өндіргенді ғана тұтына алмайды. Өз қажеттіліктерін барынша толық қанағаттандыру үшін адамдар өндіргенін айырбастауға мәжбүр. Тұрақты тауар өндіріссіз тұтыну да болмас еді. Сондықтан тауарларды өндіру процесінде әрекет ететін, кейіннен олардың нарықтағы ұсынысын қалыптастыратын заңдылықтарды талдау үлкен қызығушылық тудырады.
Өндіріс процесі – экономиканың негізгі және бастапқы ұғымы. Өндіріс деген нені білдіреді?
Тауарлар мен қызметтерді нөлден өндіру мүмкін емес екенін бәрі біледі. Жиһаз, азық-түлік, киім-кешек және басқа да тауарларды өндіру үшін тиісті шикізат, құрал-жабдықтар, үй-жайлар, жер телімдері, өндірісті ұйымдастыратын мамандар қажет. Өндіріс процесін ұйымдастыруға қажеттінің бәрі өндіріс факторлары деп аталады. Дәстүрлі түрде өндіріс факторларына капитал, еңбек, жер және кәсіпкерлік жатады.
Өндіріс процесін ұйымдастыру үшін қажетті өндіріс факторлары белгілі бір мөлшерде болуы керек. Өндірілген өнімнің максималды көлемінің қолданылатын факторлардың шығындарына тәуелділігі деп аталады өндірістік функция.
Бір айнымалы өндірістік функция туралы түсінік
Біз «өндірістік функция» түсінігін қарастыруды өндіріс бір ғана фактормен анықталатын ең қарапайым жағдайдан бастаймыз. Бұл жағдайда Пөндірістік функция –Бұл тәуелсіз айнымалысы пайдаланылған ресурстың (өндіріс факторы) мәндерін қабылдайтын функция, ал тәуелді айнымалы өнім көлемінің мәндерін қабылдайды.
Бұл формулада у бір х айнымалысының функциясы болып табылады. Осыған байланысты өндірістік функция (ӨҚ) бір ресурстық немесе бір факторлы деп аталады. Оның анықтау облысы теріс емес нақты сандар жиыны болып табылады. f символы ресурсты өнімге түрлендіретін өндірістік жүйенің сипаттамасы болып табылады. Микроэкономикалық теорияда ресурс х бірлік мөлшерінде жұмсалса немесе пайдаланылса, y - өнімнің максималды мүмкін болатын көлемі деп жалпы қабылданған. Макроэкономикада бұл түсінік мүлде дұрыс емес: бәлкім, экономиканың құрылымдық бөлімшелері арасында ресурстарды басқаша бөлу кезінде өнім көлемі көбірек болуы мүмкін еді. Бұл жағдайда ҚҚ ресурс шығындары мен өндірілген өнім арасындағы статистикалық тұрақты байланыс болып табылады. Символизм дұрысырақ
мұндағы a - PF параметрлерінің векторы.
Мысал 1. PF f-ті f(x)=ax b түрінде алайық, мұндағы x – жұмсалған ресурс мөлшері (мысалы, жұмыс уақыты), f(x) – өндірілген өнім көлемі (мысалы, жөнелтуге дайын тоңазытқыштардың саны). a және b мәндері PF f параметрлері. Мұндағы a және b оң сандар және b1 саны, параметр векторы екі өлшемді вектор (a,b). PF у=ax b - бір факторлы ҚҚ кең класының типтік өкілі.
PF диаграммасы 1-суретте көрсетілген
График жұмсалған ресурс мөлшері артқан сайын y өсетінін көрсетеді. дегенмен, ресурстың әрбір қосымша бірлігі шығарылатын өнім көлемінің y барған сайын кішірек өсуін береді. Белгіленген мән-жай (у көлемінің ұлғаюы және х-тің ұлғаюымен y көлемінің ұлғаюының төмендеуі) тиімділіктің төмендеуі заңы (өнімділіктің төмендеуі немесе кірістің төмендеуі) деп аталатын экономикалық теорияның іргелі ұстанымын көрсетеді (тәжірибеде жақсы дәлелденген). ).
Қарапайым мысал ретінде фермердің ауыл шаруашылығы өнімін өндіруін сипаттайтын бір факторлы өндірістік функцияны алайық. Өндірістің барлық факторлары, мысалы, жер көлемі, фермердің ауылшаруашылық техникасының, тұқымның болуы және өнімді өндіруге жұмсалған еңбек мөлшері жыл сайын тұрақты болып қалсын. Бір ғана фактор өзгереді - қолданылатын тыңайтқыш мөлшері. Осыған байланысты алынған өнімнің мөлшері өзгереді. Алғашында ауыспалы фактордың өсуімен ол айтарлықтай тез өседі, содан кейін жалпы өнімнің өсуі баяулайды және қолданылатын тыңайтқыштардың белгілі бір көлемінен бастап, алынған өнімнің құны төмендей бастайды. Ауыспалы факторды одан әрі арттыру өнімді көбейтпейді.
ҚҚ әртүрлі пайдалану аймақтары болуы мүмкін. Енгізу-шығару принципі микро және макроэкономикалық деңгейде де жүзеге асырылуы мүмкін. Алдымен микроэкономикалық деңгейге тоқталайық. Жоғарыда қарастырылған PF y=ax b , жыл ішінде жеке кәсіпорында (фирмада) жұмсалған немесе пайдаланылған x ресурс көлемі мен осы кәсіпорынның (фирманың) жылдық өнімі арасындағы байланысты сипаттау үшін пайдаланылуы мүмкін. Мұндағы өндірістік жүйенің рөлін жеке кәсіпорын (фирма) атқарады – бізде микроэкономикалық ҚҚ (МИФФ) бар. Микроэкономикалық деңгейде өнеркәсіп немесе салааралық өндірістік кешен де өндірістік жүйе ретінде әрекет ете алады. MIPF негізінен талдау және жоспарлау мәселелерін, сондай-ақ болжау мәселелерін шешу үшін құрылады және пайдаланылады.
ПФ тұтастай алғанда аймақтың немесе елдің жылдық еңбек кірісі мен сол аймақтың немесе жалпы елдің жылдық түпкілікті өнімі (немесе кірісі) арасындағы байланысты сипаттау үшін пайдаланылуы мүмкін. Мұнда аймақ немесе тұтастай алғанда ел өндіріс жүйесінің рөлін атқарады – бізде макроэкономикалық деңгей және макроэкономикалық ҚҚ (МЭҚҚ) бар. МЖЗЖ барлық үш типтегі есептерді шешу үшін (талдау, жоспарлау және болжау) құрылады және белсенді қолданылады.
Жұмсалған немесе пайдаланылған ресурс пен өнім ұғымдарын нақты түсіндіру, сондай-ақ өлшем бірліктерін таңдау өндіріс жүйесінің сипаты мен масштабына, шешілетін мәселелердің сипаттамаларына және бастапқы деректердің болуына байланысты. Микроэкономикалық деңгейде кіріс пен шығысты табиғи және ақша бірліктерімен (көрсеткіштермен) өлшеуге болады. Жылдық еңбек шығындары адам-сағатпен немесе төленген жалақының рубльімен өлшенуі мүмкін; Өнімнің шығарылымы дана немесе басқа табиғи бірлік немесе оның құны түрінде көрсетілуі мүмкін.
Макроэкономикалық деңгейде шығындар мен өнім, әдетте, өзіндік құнмен өлшенеді және шығындар жиынтықтарын білдіреді, яғни жұмсалған ресурстар көлемі мен шығарылған өнімдердің және олардың бағасының жалпы құны.
Бірнеше айнымалылардың өндірістік функциялары
Енді бірнеше айнымалылардың өндірістік функцияларын қарастыруға көшейік.
Бірнеше айнымалылардың өндірістік функциясытәуелсіз айнымалылары жұмсалған немесе пайдаланылған ресурстар көлемінің мәндерін қабылдайтын функция болып табылады (айнымалылар саны n ресурстар санына тең), ал функция мәні келесі мәндердің мағынасына ие. шығару көлемі:
y=f(x)=f(x 1 ,…,x n). (2)
(2) формулада y (y0) - скаляр шама, ал х - векторлық шама, x 1 ,...,x n - х векторының координаталары, яғни f(x 1 ,...,x n) ) бірнеше x 1 ,…,x n айнымалылардың сандық функциясы болып табылады. Осыған байланысты ҚҚ f(x 1,...,x n) көп ресурстық немесе көп факторлы деп аталады. Келесі символизм дұрысырақ: f(x 1,...,x n,a), мұндағы a - PF параметрлерінің векторы.
Экономикалық мағынада бұл функцияның барлық айнымалылары теріс емес, сондықтан көпфакторлы ҚҚ анықтау облысы n өлшемді х векторларының жиыны болып табылады, олардың барлық координаталары x 1,..., x n теріс емес. сандар.
Біртекті өнімді өндіретін жеке кәсіпорын (фирма) үшін ҚҚ f(x 1 ,...,x n) шығарылатын өнім көлемін еңбек қызметінің әртүрлі түрлеріне, шикізаттың әртүрлі түрлеріне, жұмыс уақытына кететін шығынмен байланыстыра алады. құрамдас бөліктер, энергия және негізгі капитал. Бұл түрдегі ҚҚ кәсіпорынның (фирманың) қазіргі технологиясын сипаттайды.
Жалпы аймақ немесе ел үшін ҚҚ құру кезінде, әдетте ағымдағы бағамен емес, тұрақты бағамен есептелетін аймақтың немесе елдің жалпы өнімі (кірісі) Y жылдық өнімінің құны ретінде жиі қабылданады; негізгі капитал (x 1) (= К) ресурстар – жыл ішінде пайдаланылған негізгі капиталдың көлемі) және тірі еңбек (x 2 (=L) – жыл ішінде жұмсалған тірі еңбек бірлігінің саны) ретінде қарастырылады, әдетте құндық мәнде есептелінеді. Осылайша, екі факторлы PF Y=f(K,L) құрастырылады. Екі факторлы ҚҚ-дан олар үш факторлыға көшеді. Сонымен қатар, егер ПФ уақыттық қатарлар деректері арқылы құрастырылса, онда өндірістің өсуінің ерекше факторы ретінде техникалық прогрессті қосуға болады.
PF y=f(x 1 ,x 2) деп аталады статикалық, егер оның параметрлері мен сипаттамасы f t уақытқа тәуелді болмаса, ресурстар көлемі мен өнім көлемі t уақытына байланысты болуы мүмкін, яғни оларды уақыттық қатар түрінде көрсетуге болады: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Мұндағы t – жыл саны, t=0,1,…,T; t= 0 – 1,2,…,Т жылдарды қамтитын уақыт кезеңінің базистік жылы.
2-мысал.Жеке аймақты немесе тұтас елді модельдеу үшін (яғни макроэкономикалық, сонымен қатар микроэкономикалық деңгейдегі мәселелерді шешу үшін) y= түріндегі ҚҚ жиі пайдаланылады, мұнда 0, 1 және 2 PF параметрлері болып табылады. Бұл оң константалар (көбінесе 1 және 2 1 + a 2 = 1 болатындай болады). Жаңа ғана берілген типтегі ҚҚ оны 1929 жылы қолдануды ұсынған екі американдық экономистің атымен Кобб-Дуглас ПФ (Кобб-Дуглас ПФ) деп аталады.
PFKD өзінің құрылымдық қарапайымдылығына байланысты әртүрлі теориялық және қолданбалы мәселелерді шешу үшін белсенді түрде қолданылады. PFKD мультипликативті PF (MPF) деп аталатын класқа жатады. Қолданбаларда PFKD x 1 = K пайдаланылған негізгі капиталдың көлеміне тең (пайдаланылған негізгі құралдардың көлемі - отандық терминологияда), 
- өмір сүретін еңбек шығындары, содан кейін PFKD әдебиетте жиі қолданылатын форманы алады:
Y= 
.
Тарихи анықтама
1927 жылы білімі бойынша экономист Пол Дуглас, егер нақты өнім көлемінің логарифмдерін уақытқа қарсы тұрғызса (Ы), күрделі салымдар (K) және еңбек шығындары (Л), онда шығыс көрсеткіштерінің графигіндегі нүктелерден еңбек және капитал салымдары көрсеткіштерінің графиктеріндегі нүктелерге дейінгі арақашықтықтар тұрақты пропорция болады. Содан кейін ол математик Чарльз Коббқа осы қасиеті бар математикалық қатынасты табуды өтініп, Кобб келесі функцияны ұсынды:
.
Бұл функцияны 30 жыл бұрын Филип Уикстед ұсынған болатын, бұл туралы К.Кобб пен П.Дуглас өздерінің классикалық жұмыстарында (1929) атап өткен болатын, бірақ олар оны құру үшін эмпирикалық деректерді бірінші болып пайдаланды. Авторлар бұл функцияны қалай орнатқанын сипаттамайды, бірақ олар «ең аз квадраттар теориясына» сілтеме жасағандықтан, олар регрессиялық талдаудың түрін пайдаланды.
3-мысал.Сызықтық PF (LPF) келесі пішінге ие: 
(екі факторлы) және (көпфакторлы). LPF қосымша PF (APF) деп аталатын класына жатады. Мультипликативті ҚҚ-дан аддитивтіге көшу логарифм операциясы арқылы жүзеге асырылады. Екі факторлы мультипликативті ҚҚ үшін
бұл ауысудың келесі пішіні бар: . Сәйкес алмастыруды енгізу арқылы біз қосымша ҚҚ аламыз.
Егер Кобб-Дуглас PF көрсеткішіндегі дәрежелердің қосындысы біреуге тең болса, оны сәл басқаша түрде жазуға болады:
анау. 
.
Бөлшектер 
тиісінше еңбек өнімділігі және капитал-еңбек қатынасы деп аталады. Жаңа белгілерді қолданып, біз аламыз
,
анау. екі факторлы PFCD-ден біз ресми бір факторлы PFCD аламыз. 0 1 болуына байланысты
Бөлшек екенін ескеріңіз 
капитал өнімділігі немесе капитал өнімділігі, өзара үлестер деп аталады 
тиісінше капитал сыйымдылығы және өнімнің еңбек сыйымдылығы деп аталады.
ПФ деп аталады динамикалық, Егер:
t уақыты шығарылатын өнім көлеміне әсер ететін тәуелсіз айнымалы (өндірістің тәуелсіз факторы сияқты) ретінде пайда болады;
ҚҚ параметрлері және оның f сипаттамасы t уақытына байланысты.
Егер PF параметрлері ұзақтығы бар уақыттық қатар деректері (ресурстар және өнім көлемі) арқылы бағаланса, ескеріңіз. 
жылдар, содан кейін мұндай ҚҚ үшін экстраполяциялық есептеулер 1/3 жылдан аспайтын уақыт бұрын жүргізілуі керек.
ҚҚ құру кезінде ғылыми-техникалық прогресті (ҒТП) ҒТП мультипликаторын енгізу арқылы есепке алуға болады, мұндағы параметр p (p>0) ҒТП әсерінен өнім өсу қарқынын сипаттайды:
(t=0,1,…,T).
Бұл ҚҚ динамикалық ҚҚ ең қарапайым мысалы болып табылады; оған бейтарап, яғни факторлардың бірінде жүзеге аспайтын техникалық прогресс жатады. Күрделі жағдайларда техникалық прогресс еңбек өнімділігіне немесе капитал өнімділігіне тікелей әсер етуі мүмкін: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) немесе Y(t)=f(A(t)) × K(t), L(t)). Ол сәйкесінше еңбекті үнемдейтін немесе капиталды үнемдейтін ғылыми-техникалық прогресс деп аталады.
4-мысал. NTP ескере отырып, PFKD нұсқасын көрсетейік
Мұндай функцияның параметрлерінің сандық мәндерін есептеу корреляциялық және регрессиялық талдауды қолдану арқылы жүзеге асырылады.
ҚҚ аналитикалық формасын таңдау 
ең алдымен нақты ресурстар немесе экономикалық заңдылықтар арасындағы қарым-қатынастардың ерекшеліктерін ескеру қажет теориялық пайымдаулармен белгіленеді. ПФ параметрлерін бағалау әдетте ең кіші квадраттар әдісімен жүзеге асырылады.
Өндірістік функциялардың қасиеттері мен негізгі сипаттамалары
Белгілі бір өнімді өндіру үшін әртүрлі факторлардың жиынтығы қажет. Осыған қарамастан, әртүрлі өндірістік функциялар бірқатар ортақ қасиеттерге ие.
Анық болу үшін біз екі айнымалының өндірістік функцияларымен шектелеміз 
. Ең алдымен, мұндай өндірістік функция екі өлшемді жазықтықтың теріс емес ортотантында анықталатынын атап өту керек, яғни at. ПФ келесі қасиеттер қатарын қанағаттандырады:
Оңтайландыру есебінің мақсаттық функциясының деңгей сызығына ұқсас, ұқсас тұжырымдама ҚҚ-ға да қатысты. PF деңгей сызығыПФ тұрақты мән қабылдайтын нүктелер жиыны болып табылады. Кейде деңгей сызықтары деп аталады изокванттарҚҚ. Бір фактордың көбеюі, екіншісінің азаюы өндірістің жалпы көлемі бір деңгейде қалатындай болуы мүмкін. Изокванттар өндірістің берілген деңгейіне жету үшін қажетті өндірістік факторлардың барлық мүмкін комбинацияларын дәл анықтайды.
2-суреттен изокванта бойымен шығыс тұрақты, яғни шығарудың өсімі байқалмайтыны анық. Математикалық тұрғыдан бұл изоквантадағы ПФ толық дифференциалы нөлге тең екенін білдіреді:
Изокванталарда мыналар болады қасиеттері:
Изокванттар қиылыспайды.
Координаталар басынан изоквантаның қашықтығы неғұрлым үлкен болса, шығарудың үлкен деңгейіне сәйкес келеді.
Изокванталар теріс көлбеу болатын кему қисығы болып табылады.
Изокванттар немқұрайлылық қисықтарына ұқсас, жалғыз айырмашылығы олар тұтыну сферасындағы емес, өндіріс сферасындағы жағдайды көрсетеді.
Изокванттардың теріс көлбеулігі өнім шығарудың белгілі бір көлеміне бір факторды пайдаланудың ұлғаюы әрқашан басқа фактор мөлшерінің азаюымен қатар жүретіндігімен түсіндіріледі. Изоквантаның көлбеулігі сипатталады өндірістік факторларды технологиялық алмастырудың шекті жылдамдығы (MRTS) . Бұл мәнді Q(y,x) екі факторлы өндірістік функциясының мысалын пайдаланып қарастырайық. Технологиялық алмастырудың шекті жылдамдығы у факторының өзгеруінің х факторының өзгеруіне қатынасымен өлшенеді. Факторларды ауыстыру қарама-қарсы қатынаста болатындықтан, MRTS көрсеткішінің математикалық өрнегі минус белгісімен алынады:
.
3-суретте Q(y,x) PF изокванттарының бірі көрсетілген.
Егер осы изоквантаның кез келген нүктесін, мысалы, А нүктесін алып, оған жанама CM салсақ, онда бұрыштың тангенсі бізге MRTS мәнін береді:
Изоквантаның жоғарғы бөлігінде бұрыш айтарлықтай үлкен болатынын атап өтуге болады, бұл х факторын бір өзгерту үшін у факторындағы елеулі өзгерістер қажет екенін көрсетеді. Сондықтан қисықтың бұл бөлігінде MRTS мәні жоғары болады. Изокванта төмен жылжыған сайын технологиялық алмастырудың шекті жылдамдығының мәні бірте-бірте азаяды. Бұл x факторының бір ұлғаюы у факторының аздап төмендеуін талап ететінін білдіреді. Факторлардың толық алмастырылуымен қисықтардың изокванталары түзу сызықтарға айналады.
ПФ изокванталарын қолданудың ең қызықты мысалдарының бірі зерттеу болып табылады өндіріс масштабының үнемділігі (7 меншікті қараңыз).
Экономикаға не тиімді: бір ірі зауыт па әлде бірнеше шағын кәсіпорын ма? Бұл сұрақтың жауабы соншалықты қарапайым емес. Жоспарлы экономика оған өнеркәсіптік алпауыттарға басымдық беріп, біржақты жауап берді. Нарықтық экономикаға көшумен бұрын құрылған бірлестіктерді жаппай дезагрегациялау басталды. Алтын орта қайда? Бұл сұраққа демонстрациялық жауапты өндірістегі масштабтың әсерін зерттеу арқылы алуға болады.
Елестетіп көрейікші, аяқ киім фабрикасында басшылық өндірілетін өнім көлемін ұлғайту үшін алынған пайданың қомақты бөлігін өндірісті дамытуға бөлуге шешім қабылдады. Капитал (жабдықтар, машиналар, өндіріс алаңдары) екі есе өсті делік. Жұмысшылар саны да дәл осындай пропорцияда өсті. Бұл жағдайда шығарылатын өнім көлеміне не болады деген сұрақ туындайды?
5-суретті талдаудан
Жауаптың үш нұсқасы бар:
Өндіріс көлемі екі есе артады (масштабтың тұрақты қайтарымы);
Екі еседен асады (масштаб бойынша кірісті арттыру);
Ол ұлғаяды, бірақ екі еседен аз (масштаб бойынша кірістерді азайту).
Өндіріс ауқымының тұрақты қайтарымы айнымалы факторлардың біртектілігімен түсіндіріледі. Мұндай өндірісте капитал мен еңбектің пропорционалды өсуі кезінде бұл факторлардың орташа және шекті өнімділігі өзгеріссіз қалады. Бұл жағдайда бір ірі кәсіпорын жұмыс істей ме, оның орнына екі шағын кәсіпорын құрылғаны маңызды емес.
Масштабтың қайтарымы азайған кезде ауқымды өндіріс құру тиімсіз. Бұл жағдайда тиімділіктің төмен болуының себебі, әдетте, мұндай өндірісті басқаруға байланысты қосымша шығындар және ауқымды өндірісті үйлестірудің қиындығы.
Өндірістік процестерді кеңінен автоматтандыру және өндірістік және конвейерлік желілерді пайдалану мүмкін болатын салаларға, әдетте, ауқымды кірісті арттыру тән. Бірақ біз ауқымды кірісті арттыру үрдісіне өте сақ болуымыз керек. Ерте ме, кеш пе, ол тұрақты мәнге, содан кейін масштабта төмендейтін қайтарымға айналады.
Экономикалық талдау үшін аса маңызды өндірістік функциялардың кейбір сипаттамаларына тоқталайық. Пішіннің ҚҚ мысалында оларды қарастырайық 
.
Жоғарыда айтылғандай, қатынас 
(i=1,2) i-ші ресурстың орташа өнімділігі немесе i-ші ресурс бойынша орташа өнімділік деп аталады. ҚҚ бірінші жартылай туындысы 
(i=1,2) i-ші ресурстың шекті өнімділігі немесе i-ші ресурстың шекті өнімі деп аталады. Бұл шекті шама кейде шағын ақырлы шамалардың арақатынасының жақын жуықтауы арқылы түсіндіріледі. 
. Шамамен, егер кірістер көлемі болса, шығыс көлемі y қанша бірлікке өсетінін көрсетеді 
i-ші ресурс жұмсалған басқа ресурстың тұрақты көлемдерімен бір (жеткілікті аз) бірлікке артады.
Мысалы, PFKD-де негізгі капиталдың орташа өнімділігі u/K және еңбек u/L үшін тиісінше капитал өнімділігі және еңбек өнімділігі терминдері қолданылады:
Осы функция үшін факторлардың шекті өнімділігін анықтайық:
Осылайша, егер 
, Бұл 
(i=1,2), яғни i-ші ресурстың шекті өнімділігі осы ресурстың орташа өнімділігінен жоғары емес. Шекті өнімділік коэффициенті 
оның орташа өнімділігіне i-ші фактор 
өндірістің i-ші факторына қатысты өнімнің икемділігі деп аталады
немесе шамамен
Осылайша, белгілі бір фактор (икемділік коэффициенті) үшін шығарылатын өнімнің икемділігі (өндіріс көлемі) шамамен өсу қарқынының y осы фактордың өсу қарқынына қатынасы ретінде анықталады, яғни y өнімінің қанша пайызға шығатынын көрсетеді. өсу, егер басқа ресурстың тұрақты көлемдерінде i-ші ресурстың шығындары бір пайызға өссе.
сомасы 
+
=Еөндірістің икемділігі деп аталады. Мысалы, PFKD = үшін 
, Және E=.
Экономикалық талдау, болжау және жоспарлау мәселелерінде өндірістік функцияларды қолдану мысалдары
Өндірістік функциялар өндіріс саласындағы ең маңызды экономикалық тәуелділіктерді сандық талдауға мүмкіндік береді. Олар әртүрлі өндірістік ресурстардың орташа және шекті тиімділігін, әртүрлі ресурстар үшін шығарылатын өнімнің икемділігін, ресурстарды алмастырудың шекті қарқынын, өндірістегі ауқымды үнемдеуді және т.б. бағалауға мүмкіндік береді.
1-мысал.Өндіріс процесі шығыс функциясы арқылы сипатталады деп алайық
.
K = 400 және L = 200 болатын өндіріс әдісі үшін бұл функцияның негізгі сипаттамаларын бағалайық.
Шешім.
Факторлардың шекті өнімділігі.
Бұл шамаларды есептеу үшін факторлардың әрқайсысы үшін функцияның ішінара туындыларын анықтаймыз:
Осылайша, еңбек факторының шекті өнімділігі капитал факторынан төрт есе жоғары.
Өндірістің икемділігі.
Өндірістің икемділігі әрбір фактор бойынша шығарылатын өнімнің икемділіктерінің қосындысымен анықталады, яғни
Ресурстарды алмастырудың шекті нормасы.
Жоғарыда мәтінде бұл мән белгіленген 
және теңестірілді 
. Осылайша, біздің мысалда
яғни осы кездегі еңбек бірлігін ауыстыру үшін төрт бірлік капитал ресурстары қажет.
Изокванттық теңдеу.
Изокванта формасын анықтау үшін шығарылатын көлемнің мәнін (У) бекіту керек. Мысалы, Y=500 болсын. Ыңғайлы болу үшін L-ті K функциясы деп қабылдаймыз, сонда изокванта теңдеу пішінді алады.
.
Ресурсты алмастырудың шекті жылдамдығы жанаманың сәйкес нүктедегі изоквантаға еңкею бұрышының тангенсін анықтайды. 3-қадамның нәтижелерін пайдалана отырып, жанасу нүктесі изокванның жоғарғы бөлігінде орналасқан деп айтуға болады, өйткені бұрыш айтарлықтай үлкен.
2-мысал.Кобб-Дуглас функциясын жалпы түрде қарастырайық
.
K және L екі еселенген деп есептейік. Осылайша, жаңа шығыс деңгейі (Y) келесідей жазылады:
жағдайларда өндіріс масштабының әсерін анықтайық 
>1, =1 және
Егер, мысалы, =1,2, және 
=2,3, онда Y екі еседен астам артады; егер =1, a =2 болса, онда K мен L екі еселенуі Y еселенуіне әкеледі; =0,8 және =1,74 болса, онда Y екі еседен аз өседі.
Осылайша, 1-мысалда өндірістегі масштабтың тұрақты әсері болуы мүмкін.
Тарихи анықтама
Өздерінің бірінші мақаласында К.Кобб пен П.Дуглас бастапқыда масштаб бойынша тұрақты қайтарымды деп есептеді. Кейіннен олар бұл болжамды босаңсытып, кірісті масштаб бойынша бағалауды жөн көрді.
Өндірістік функциялардың негізгі міндеті бұрынғысынша ең тиімді басқару шешімдерін қабылдау үшін бастапқы материалмен қамтамасыз ету болып табылады. Өндірістік функцияларды пайдалану негізінде оңтайлы шешімдерді қабылдау мәселесін көрнекі түрде көрсетейік.
3-мысал.Кәсіпорынның өнім көлемін жұмысшылар санына байланыстыратын өндірістік функция берілсін 
, өндірістік қорлар 
және пайдаланылған машина сағаттарының көлемі 
шешімді қайдан аламыз? 
, бұл кезде y=2. Мысалы, (0,2,0) нүктесі рұқсат етілген аймаққа жататындықтан және ондағы у = 0 болғандықтан, (1,1,1) нүктесі ғаламдық максимум нүкте болып табылады деген қорытындыға келеміз. Алынған шешімнің экономикалық қорытындылары анық.
Қорытындылай келе, өндірістік функцияларды болашақтың белгілі бір кезеңінде өндірістің экономикалық әсерін экстраполяциялау үшін пайдалануға болатынын атап өтеміз. Кәдімгі эконометриялық модельдердегідей, экономикалық болжау өндіріс факторларының болжамдық мәндерін бағалаудан басталады. Бұл жағдайда әрбір жеке жағдайда ең қолайлы экономикалық болжау әдісін қолдануға болады.
Негізгі қорытындылар
Үйренген материалды тексеруге арналған тесттер
Дұрыс жауапты таңда.
Өндірістік функция нені сипаттайды?
А) пайдаланылған өндірістік ресурстардың жалпы көлемі;
В) өндірісті технологиялық ұйымдастырудың ең тиімді жолы;
C) шығындар мен максималды өнім арасындағы байланыс;
D) шығындарды азайту кезінде пайданы азайту әдісі.
Төмендегі теңдеулердің қайсысы Кобб-Дуглас өндіріс функциясының теңдеуі болып табылады?
D) у= 
.
3. Бір айнымалы факторы бар өндірістік функция нені сипаттайды?
А) өндіріс көлемінің факторлар бағасына тәуелділігі;
B) х факторы өзгеретін, ал қалғандары тұрақты болатын тәуелділік;
C) барлық факторлар өзгеретін, бірақ х факторы тұрақты болатын қатынас;
D) х және у факторларының арасындағы байланыс.
4. Изокванттық карта дегеніміз:
А) факторлардың белгілі комбинациясы кезінде өнімді көрсететін изокванталар жиынтығы;
B) айнымалы факторлардың өнімділігінің шекті жылдамдығын көрсететін изокванталардың ерікті жиынтығы;
C) технологиялық алмастырудың шекті жылдамдығын сипаттайтын сызықтардың комбинациясы.
Мәлімдемелер шын ба, жалған ба?
Өндірістік функция пайдаланылатын өндіріс факторлары мен осы факторлардың шекті өнімділігінің арақатынасын көрсетеді.
Кобб-Дуглас функциясы еңбек пен капиталды пайдалана отырып максималды өнімді көрсететін өндірістік функция болып табылады.
Өндірістің бір ауыспалы факторымен өндірілген өнімнің өсуіне шек жоқ.
Изокванта – тең туынды қисығы.
Изокванта максималды өнімді алу үшін екі айнымалы факторды пайдаланудың барлық мүмкін комбинацияларын көрсетеді.
Әдебиет
Догерти К. Эконометрикаға кіріспе. – М.: Қаржы және статистика, 2001 ж.
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Экономикадағы математикалық әдістер: Оқу құралы. – М.: Баспа үйі. «ДИС», 1997 ж.
Экономикалық теория курсы: оқу құралы. – Киров: «АСА», 1999 ж.
Микроэкономика / Ред. Проф. Яковлева Е.Б. – М.: Санкт-Петербург. Іздеу, 2002 ж.
Әлемдік экономика. Мұғалімдерге арналған сынып нұсқалары. – М.: ВЗФЭИ, 2001 ж.
Овчинников Г.П. Микроэкономика. – Санкт-Петербург: Баспа үйі. Володарский, 1997 ж.
Саяси экономика; экономикалық энциклопедия. – М.: Баспа үйі. «Жапалақ. Энциклопедия», 1979 ж.
Өндірістік функция
| Параметр аты | Мағынасы |
| Мақаланың тақырыбы: | Өндірістік функция |
| Рубрика (тақырыптық санат) | Экономика |
Өндірістік функция – түсінігі және түрлері. «Өндірістік функция» категориясының жіктелуі және ерекшеліктері 2017, 2018 ж.
Тауарлар мен қызметтерді өндірудің нақты жағдайында үш іргелі фактор қажет: еңбек (тірі еңбек), капитал (материалданған еңбек құны) және табиғи ресурстар. Қолданылатын шамалардың әртүрлі комбинациялары арасындағы техникалық тәуелділік... .
Өндірістік функция деп өндіріс факторларының жиынтығы мен осы факторлар жиынтығы шығаратын максималды мүмкін болатын өнім арасындағы қатынасты айтады. Өндірістік функция әрқашан ерекше, яғни. осы технологияға арналған. Жаңа....
Кәсіпорын экономикалық субъект ретінде. Кәсіпорындардың ұйымдық-құқықтық нысандары. Фирма (кәсіпорын) нарықтық экономиканың негізгі шаруашылық бірлігі болып табылады, ол: 1) ресурстарға сұранысты жасайды, 2) дайын өнім мен қызметтерді өндіреді және ұсынады, 3)... .
Жоспар. Тақырып 5. Өндіріс теориясы. Нарықтық экономикадағы кәсіпорын (фирма). Өндірістік функция. Экономикалық шығындар. Қысқа мерзімді кезеңдегі өндіріс шығындары. Ұзақ мерзімді өндірістік шығындар. Төрт нарық моделі. Таза....
Өндіріс технологиясы және технологиялық шектеулер. Өндіріс - бұл қажетті тауарлар мен қызметтерді өндіру үшін табиғи ресурстар мен материалдармен бірге еңбек пен құрал-жабдықты пайдалану процесі. Өндіріс процесінің факторлары... .
Техникалық тиімді өндіріс саласы Технологиялық прогрестің екі жалпы түрі бар: бейтарап және бейтарап. Бейтарап техникалық прогресс технология тиімділігінің және масштаб бірлігіне технологиялық қайтарым деңгейінің өзгеруінен көрінеді... .
Жаңа технологияларға көшу үдерісінің факторлары Қорытындылай келе, шекті және орташа өнім арасындағы байланыс туралы тағы бірнеше сөз. Жиынтық шығыс қисығының кез келген нүктесі үшін шекті өнім осы нүктедегі қисыққа жанаманың жанамасына тең. Үшін...
I. ЭКОНОМИКАЛЫҚ ТЕОРИЯ
10. Өндірістік функция. Табыстың азаю заңы. Масштаб экономикалары
Өндірістік функция өндіріс факторларының жиынтығы мен факторлардың берілген жиынтығын пайдалана отырып өндірілген өнімнің максималды мүмкін көлемі арасындағы қатынас болып табылады.
Өндірістік функция әрқашан ерекше, яғни. осы технологияға арналған. Жаңа технология – жаңа өнімділік функциясы.
Өндіріс функциясының көмегімен өнімнің берілген көлемін өндіруге қажетті ең аз шығын мөлшері анықталады.
Өндіріс функциялары қандай өндіріс түрін білдіретініне қарамастан келесі жалпы қасиеттерге ие:
1) Бір ғана ресурс үшін шығындардың өсуіне байланысты өндіріс көлемін ұлғайту шегі бар (бір бөлмеде көп жұмысшыларды жалдай алмайсыз - барлығында орын болмайды).
2) Өндіріс факторлары бірін-бірі толықтыратын (жұмысшылар мен еңбек құралдары) және бірін-бірі алмастыратын (өндірістің автоматтандырылуы) болуы мүмкін.
Өндірістік функция өзінің ең жалпы түрінде келесідей көрінеді:
өнім көлемі мұндағы;
К- капитал (жабдық);
М – шикізат, материалдар;
Т – технология;
N – кәсіпкерлік қабілеттер.
Ең қарапайымы – екі факторлы Кобб-Дуглас өндіріс функциясының моделі, ол еңбек (L) мен капитал (K) арасындағы байланысты ашады. Бұл факторлар бір-бірін алмастыратын және толықтыратын
,
мұндағы А – негізгі технология өзгерген кезде (30-40 жылдан кейін) барлық функциялардың және өзгерістердің пропорционалдылығын көрсететін өндірістік коэффициент;
K, L – капитал және еңбек;
Капитал мен еңбек шығындарына қатысты өндіріс көлемінің икемділік коэффициенттері.
Егер = 0,25 болса, онда күрделі шығындардың 1%-ға артуы өндіріс көлемін 0,25%-ға арттырады.
Кобб-Дуглас өндірістік функциясындағы икемділік коэффициенттерін талдау негізінде мыналарды ажыратуға болады:
1) пропорционалды өсетін өндірістік функция, ( 
).
2) пропорционалды емес – ұлғайту);
3) төмендеу.
Еңбек екі фактордың айнымалысы болып табылатын фирма қызметінің қысқа кезеңін қарастырайық. Мұндай жағдайда фирма еңбек ресурстарын көбірек пайдалану арқылы өндірісті ұлғайта алады. Бір айнымалысы бар Кобб-Дуглас өндіру функциясының графигі суретте көрсетілген. 10.1 (TP n қисығы).
Қысқа мерзімді кезеңде шекті өнімділіктің төмендеуі заңы қолданылады.
Шекті өнімділіктің кему заңы өндірістің бір факторы тұрақты болған кезде қысқа мерзімде әрекет етеді. Заңның әсері технология мен өндіріс технологиясының өзгеріссіз күйін болжайды, егер өндіріс процесінде соңғы өнертабыстар мен басқа да техникалық жетілдірулер қолданылса, сол өндіріс факторларын пайдалана отырып, өнім көлемін арттыруға қол жеткізуге болады. Яғни, технологиялық прогресс заңның қолданылу аясын өзгертуі мүмкін.
Егер капитал тұрақты фактор болса, ал жұмыс күші ауыспалы фактор болса, онда фирма еңбек ресурстарын көбірек пайдалану арқылы өндірісті ұлғайта алады. Бірақ қосулы Шекті өнімділіктің кему заңына сәйкес басқалары өзгеріссіз қалғанда айнымалы ресурстың дәйекті ұлғаюы осы фактордың табыстылығының төмендеуіне, яғни шекті өнімнің немесе еңбектің шекті өнімділігінің төмендеуіне әкеледі. Егер жұмысшыларды жалдау жалғаса берсе, онда ақырында олар бір-біріне кедергі жасайды (шекті өнімділік теріс болады) және өнім көлемі азаяды.
Еңбектің шекті өнімділігі (еңбектің шекті өнімі – МП Л) – әрбір келесі еңбек бірлігінен өндіріс көлемінің ұлғаюы
анау. жалпы өнімге өнімділіктің артуы (TP L)
МП К капиталының шекті өнімі де осылай анықталады.
Табыстың азаю заңына сүйене отырып, жалпы (TP L), орташа (AP L) және шекті өнімдер (MP L) арасындағы байланысты талдап көрейік (10.1-сурет).
Жалпы өнім (TP) қисығының қозғалысын үш кезеңге бөлуге болады. 1-кезеңде ол жеделдетілген қарқынмен жоғары көтеріледі, өйткені шекті өнім (МП) артады (әрбір жаңа жұмысшы алдыңғысынан көбірек өнім әкеледі) және А нүктесінде максимумға жетеді, яғни функцияның өсу қарқыны. максимум болып табылады. А нүктесінен кейін (2-кезең) төмендеу заңына байланысты MP қисығы төмендейді, яғни әрбір жалданған жұмысшы алдыңғымен салыстырғанда жалпы өнімге азырақ өсім береді, сондықтан TS-тен кейінгі TR өсу қарқыны. баяулайды. Бірақ MR оң болғанша, TP әлі де артып, MR=0 кезінде максимумға жетеді.
Күріш. 10.1. Жалпы орташа және шекті өнімдер арасындағы динамика және қатынас
3-кезеңде жұмысшылар саны негізгі капиталға (машиналарға) қатысты шамадан тыс болған кезде МП теріс болады, сондықтан ТР төмендей бастайды.
AP орташа өнім қисығының конфигурациясы да МП қисығының динамикасы арқылы анықталады. 1-кезеңде екі қисық жаңадан жалданған жұмысшылардың өнім көлемінің өсімі бұрын жалданған жұмысшылардың орташа өнімділігінен (AP L) жоғары болғанша өседі. Бірақ А нүктесінен кейін (макс. МП), төртінші жұмысшы жалпы өнімге (ТП) үшіншіден аз қосқанда, МП төмендейді, сондықтан төрт жұмысшының орташа өнімі де төмендейді.
Масштаб экономикалары
1. Өндірістің ұзақ мерзімді орташа шығындарының (ӨТК) өзгеруінен көрінеді.
2. LATC қисығы – фирманың өнім бірлігіне шаққандағы ең аз қысқа мерзімді орташа құнының конверті (10.2-сурет).
3. Кәсіпорын қызметіндегі ұзақ мерзімді кезең барлық пайдаланылатын өндірістік факторлар санының өзгеруімен сипатталады.
Күріш. 10.2. Фирманың ұзақ мерзімді және орташа шығындар қисығы
Компанияның параметрлерінің (шкаласының) өзгеруіне LATC реакциясы әртүрлі болуы мүмкін (10.3-сурет).
Күріш. 10.3. Ұзақ мерзімді орташа шығындар динамикасы
|
I кезең: |
Өндіріс көлемінің ұлғаюы LATC төмендеуімен қатар жүреді, бұл үнемдеу әсерімен түсіндіріледі (мысалы, еңбектің мамандануының артуы, жаңа технологияларды қолдану, қалдықтарды тиімді пайдалану есебінен). |
|
II кезең: |
Көлем өзгерген кезде шығындар өзгеріссіз қалады, яғни пайдаланылған ресурстар көлемінің 10%-ға артуы өндіріс көлемінің 10%-ға артуына себеп болды. |
|
III кезең: |
Өндіріс көлемінің ұлғаюы (мысалы, 7%-ға) LATC-тің ұлғаюына (10%-ға) себепші болады. Масштабтың зақымдануының себебі техникалық факторлар (кәсіпорынның негізсіз алып көлемі), ұйымдастырушылық себептер (әкімшілік-басқару аппаратының өсуі және икемсіздігі) болуы мүмкін. |
Өндіріс – кәсіпорын қызметінің негізгі бағыты. Фирмалар өндіріс факторларын пайдаланады, оларды өндірістің кіріс факторлары деп те атайды.
Өндіріс функциясы - бұл өндіріс факторларының жиынтығы мен факторлардың берілген жиынтығымен өндірілген өнімнің максималды мүмкін мөлшері арасындағы қатынас.
Өндіріс функциясы әртүрлі өнім деңгейлерімен байланысты көптеген изокванттар арқылы ұсынылуы мүмкін. Өндіріс көлемінің ресурстардың бар болуына немесе тұтынуына айқын тәуелділігі анықталған функцияның бұл түрі шығару функциясы деп аталады.
Атап айтқанда, өнім шығару функциялары ауыл шаруашылығында кеңінен қолданылады, олар, мысалы, тыңайтқыштардың әртүрлі түрлері мен құрамы, топырақты өңдеу әдістері сияқты факторлардың шығымдылығына әсерін зерттеу үшін қолданылады. Ұқсас өндірістік функциялармен қатар оларға кері өндірістік шығындар функциялары қолданылады. Олар ресурс шығындарының шығарылатын өнім көлеміне тәуелділігін сипаттайды (қатаң айтқанда, олар бір-бірін алмастыратын ресурстары бар ҚҚ-ға ғана кері). ҚҚ-ның ерекше жағдайларын шығындар функциясын (өндіріс көлемі мен өндіріс шығындарының арасындағы қатынас), инвестициялық функцияны: қажетті күрделі салымдардың болашақ кәсіпорынның өндірістік қуатына тәуелділігін қарастыруға болады.
Өндірістік функцияларды көрсету үшін қолдануға болатын көптеген алгебралық өрнектер бар. Ең қарапайым модель - өндірісті талдаудың жалпы моделінің ерекше жағдайы. Егер фирмада қызметтің бір ғана түрі болса, онда өндірістік функцияны масштаб бойынша тұрақты кірісі бар тікбұрышты изокванталармен көрсетуге болады. Өндіріс факторларының арақатынасын өзгерту мүмкіндігі жоқ, ал алмастыру икемділігі, әрине, нөлге тең. Бұл өте мамандандырылған өндірістік функция, бірақ оның қарапайымдылығы оның көптеген модельдерде кеңінен қолданылуын түсіндіреді.
Математикалық тұрғыдан өндірістік функциялар әртүрлі формаларда ұсынылуы мүмкін - зерттелетін бір факторға өндірістік нәтиженің сызықтық тәуелділігі сияқты қарапайымнан бастап, әртүрлі кезеңдердегі зерттелетін объектінің күйлерін байланыстыратын өте күрделі теңдеулер жүйесіне дейін. уақыт..
Өндірістік функция графикалық түрде изокванталар тобымен берілген. Изокванта координатордан неғұрлым алыс орналасса, соғұрлым ол шағылыстыратын өнім көлемі көп болады. Индивидуалдылық қисығына қарағанда әрбір изокванта шығарылатын өнімнің сандық анықталған көлемін сипаттайды.
2-сурет _ Өндірістің әртүрлі көлемдеріне сәйкес келетін изокванттар
Суретте. 1 200, 300 және 400 өнім бірлігінің өндіріс көлеміне сәйкес келетін үш изоквантты көрсетеді. 300 өнім бірлігін өндіру үшін K 1 капитал бірлігі және L 1 еңбек бірлігі немесе K 2 капитал және L 2 еңбек бірлігі немесе изоквантамен көрсетілген жиынтықтан олардың кез келген басқа комбинациясы қажет деп айта аламыз. Y 2 = 300.
Жалпы жағдайда, өндірістік факторлардың рұқсат етілген жиындарының Х жиынында кез келген вектор үшін теңдігімен сипатталатын өндірістік функцияның изоквантасы деп аталатын X c ішкі жиыны анықталады.
Осылайша, изоквантаға сәйкес келетін ресурстардың барлық жиынтықтары үшін өнім көлемі тең болып шығады. Негізінде изокванта өндірістің тұрақты көлемін қамтамасыз ететін өнімдерді өндіру процесіндегі факторлардың өзара алмастыру мүмкіндігінің сипаттамасы болып табылады. Осыған байланысты кез келген изокванта бойынша дифференциалдық қатынасты пайдалана отырып, ресурстарды өзара алмастыру коэффициентін анықтауға болады.
Осыдан j және k факторларының жұбын эквивалентті ауыстыру коэффициенті мынаған тең:
Нәтижесiнiң қатынасы, егер өндiрiстiк ресурстар өсiп-өнiмдiлiк қатынасына тең арақатынаста ауыстырылса, онда өндiрiс көлемi өзгермей қалатынын көрсетедi. Өндірістік функцияны білу тиімді технологиялық тәсілдермен ресурстарды өзара алмастыру мүмкіндігінің ауқымын сипаттауға мүмкіндік беретінін айту керек. Бұл мақсатқа жету үшін ресурстарды өнімдерге ауыстыру икемділік коэффициенті қолданылады
ол басқа өндірістік факторлар шығындарының тұрақты деңгейінде изокванта бойымен есептеледі. sjk мәні ресурстардың арасындағы арақатынас өзгерген кезде олардың өзара алмастыру коэффициентінің салыстырмалы өзгеруінің сипаттамасы болып табылады. Егер алмастырылатын ресурстардың қатынасы sjk пайызға өзгерсе, онда sjk ауыстыру коэффициенті бір пайызға өзгереді. Сызықтық өндірістік функция жағдайында өзара алмастыру коэффициенті пайдаланылған ресурстардың кез келген қатынасы үшін өзгеріссіз қалады, сондықтан икемділік s jk = 1 деп болжауға болады. Тиісінше, sjk үлкен мәндері үлкен еркіндік мүмкін екенін көрсетеді. изокванта бойынша өндірістік факторларды алмастыру және сонымен бірге өндірістік функцияның негізгі сипаттамалары (өнімділік, өзара алмасу коэффициенті) өте аз өзгереді.
Қуат заңының өндірістік функциялары үшін, кез келген ауыспалы ресурстар жұбы үшін s jk = 1 теңдігі дұрыс.
Өндірістік объектінің қызметінің нәтижелерін сипаттайтын бір көрсеткішпен жұмыс істеу мүмкін болмаған жағдайда, скалярлық өндірістік функцияны пайдалана отырып, тиімді технологиялық жиынтықты көрсету жеткіліксіз, бірақ бірнеше (М) шығыс көрсеткіштерін пайдалану қажет (3-сурет). .
3-сурет _ Изоквант мінез-құлқының әртүрлі жағдайлары
Бұл шарттарда векторлық өндіру функциясын қолдануға болады
Шекті (дифференциалды) өнімділіктің маңызды түсінігі қатынаспен енгізіледі
Ұқсас жалпылау скаляр ҚҚ-ның барлық басқа негізгі сипаттамаларына мүмкіндік береді.
Индивидуалдық қисық сызықтар сияқты изокванттар да әртүрлі түрлерге жіктеледі.
Пішіннің сызықтық өндірістік функциясы үшін
мұндағы Y – өндіріс көлемі; A, b 1, b 2 параметрлері; K, L капитал мен еңбек шығындары және бір ресурстың басқа ресурспен толық ауыстырылуы изокванта сызықтық пішінге ие болады (4-сурет, а).
Билік заңының өндірістік функциясы үшін
Сонда изокванта қисық тәрізді болады (4,б-сурет).
Егер изокванта берілген өнімді өндірудің бір ғана технологиялық әдісін көрсетсе, онда еңбек пен капитал жалғыз мүмкін комбинацияда біріктіріледі (4-сурет, в).
г) Бұзылған изокванттар
4-сурет – изокванталардың әртүрлі нұсқалары
Мұндай изокванттар кейде американдық экономист В.В. Леонтьев, изоквантаның осы түрін өзі әзірлеген енгізу-шығару әдісінің негізі ретінде пайдаланды.
Үзілген изокванта F технологияларының шектеулі санының болуын болжайды (4-сурет, г).
Ұқсас конфигурацияның изокванттары ресурстарды оңтайлы бөлу теориясын негіздеу үшін сызықтық бағдарламалауда қолданылады. Сынған изокванттар көптеген өндіріс орындарының технологиялық мүмкіндіктерін шынайы түрде көрсетеді. Дегенмен, экономикалық теорияда олар дәстүрлі түрде негізінен изокванта қисықтарын пайдаланады, олар технологиялар саны артқанда және сәйкесінше үзіліс нүктелері артқанда сынық сызықтардан алынады.
Өндірістік функцияларды бейнелеудің мультипликативтік дәреже формалары кеңінен қолданылады. Олардың ерекшелігі мынада: егер факторлардың бірі нөлге тең болса, онда нәтиже нөлге айналады. Бұл көп жағдайда барлық талданған бастапқы ресурстардың өндіріске тартылатынын және олардың ешқайсысынсыз өндіріс мүмкін еместігін шынайы түрде көрсететінін байқау қиын емес. Ең жалпы түрінде (канондық деп аталады) бұл функция келесідей жазылады:
Мұнда көбейту белгісінің алдындағы А коэффициенті өлшемді ескереді, ол кірістер мен шығыстардың таңдалған өлшем бірлігіне байланысты. Біріншіден n-ге дейінгі факторлар жалпы нәтижеге (шығыс) қандай факторлар әсер ететініне байланысты әртүрлі мазмұнға ие болуы мүмкін. Мысалы, жалпы экономиканы зерттеу үшін қолданылатын ҚҚ-да тиімді көрсеткіш ретінде соңғы өнім көлемін алуға болады, ал факторларға жұмыспен қамтылған халық саны х1, тұрақты және айналым капиталы x2, пайдаланылған жер ауданы х3. Кобб-Дуглас функциясында тек екі фактор бар, оның көмегімен 20-30 жылдардағы АҚШ ұлттық табысының өсуімен еңбек және капитал сияқты факторлардың байланысын бағалауға әрекет жасалды. ХХ ғасыр:
N = A Lb Кв,
мұндағы N – ұлттық табыс; L және K – сәйкесінше қолданылатын еңбек және капитал көлемі (толығырақ ақпаратты Кобб-Дуглас функциясын қараңыз).
Мультипликативті қуатты өндіру функциясының қуат коэффициенттері (параметрлері) факторлардың әрқайсысы ықпал ететін түпкілікті өнімнің пайыздық өсіміндегі үлесін көрсетеді (немесе сәйкес ресурстың шығындары бір есе өссе, өнім қанша пайызға өседі) пайыз); олар сәйкес ресурс шығындарына қатысты өндірістің икемділік коэффициенттері болып табылады. Егер коэффициенттердің қосындысы 1 болса, бұл функцияның біртекті екенін білдіреді: ол ресурстар санының өсуіне пропорционалды түрде артады. Бірақ параметрлердің қосындысы біреуден үлкен немесе аз болған жағдайлар да мүмкін; бұл кіріс көлемінің ұлғаюы өндіріс көлемінің пропорционалды емес үлкенірек немесе пропорционалды емес кішірек ұлғаюына әкелетінін көрсетеді — масштаб экономикасы.
Динамикалық нұсқада өндірістік функцияның әртүрлі формалары қолданылады. Мысалы, 2 факторлы жағдайда: Y(t) = A(t) Lb(t) Kв(t), мұндағы A(t) факторы әдетте өндіріс факторларының тиімділігінің жалпы өсуін көрсететін уақыт өте келе артады. біршама уақыттан кейін.
Логарифмді алып, содан кейін көрсетілген функцияны t-ге қатысты дифференциалдау арқылы түпкілікті өнімнің (ұлттық табыс) өсу қарқыны мен өндіріс факторларының өсу қарқыны арасындағы байланысты алуға болады (бұл жерде әдетте айнымалылардың өсу қарқыны сипатталады). пайыз).
ПФ-ны одан әрі «динамизациялау» айнымалы икемділік коэффициенттерін қолдануды қамтуы мүмкін.
ПФ сипаттайтын қатынастар статистикалық сипатқа ие, яғни олар тек орта есеппен, бақылаулардың үлкен массасында пайда болады, өйткені шын мәнінде өндірістік нәтижеге тек талданатын факторлар ғана емес, сонымен бірге көптеген есепке алынбаған факторлар да әсер етеді. Сонымен қатар, шығындардың да, нәтижелердің де қолданбалы көрсеткіштері сөзсіз күрделі жинақтау өнімдері болып табылады (мысалы, макроэкономикалық функциядағы еңбек шығындарының жалпыланған көрсеткішіне әртүрлі өнімділік, қарқындылық, біліктілік және т.б. еңбек шығындары кіреді).
Макроэкономикалық ҚФ техникалық прогресс факторын есепке алу ерекше мәселе болып табылады (толығырақ «Ғылыми-техникалық прогресс» мақаласын қараңыз). ПФ көмегімен өндірістік факторлардың эквивалентті өзара алмасуы да зерттеледі (Ресурстарды алмастыру икемділігін қараңыз), ол тұрақты немесе айнымалы болуы мүмкін (яғни ресурстардың көлеміне байланысты). Осыған сәйкес функциялар екі түрге бөлінеді: алмастырудың тұрақты икемділігімен (CES - Constant Elasticity of Substitution) және айнымалымен (VES - Variable Elasticity of Substitution) (төменде қараңыз).
Тәжірибеде макроэкономикалық ҚҚ параметрлерін анықтау үшін үш негізгі әдіс қолданылады: уақыттық қатарларды өңдеуге негізделген, жиынтықтардың құрылымдық элементтері туралы деректерге және ұлттық табысты бөлуге негізделген. Соңғы әдіс тарату деп аталады.
Өндірістік функцияны құру кезінде параметрлердің мультиколлинеарлық және автокорреляция құбылыстарынан арылу керек – әйтпесе өрескел қателер сөзсіз.
Мұнда бірнеше маңызды өндірістік функциялар берілген.
Сызықтық өндірістік функция:
P = a1x1 + ... + anxn,
мұндағы a1, ..., an – модельдің есептік параметрлері: мұнда өндіріс факторлары кез келген пропорцияда ауыстырылады.
CES функциясы:
P = A [(1 - b) K-b + bL-b]-c/b,
бұл жағдайда ресурстарды алмастыру икемділігі K немесе L-ге тәуелді емес, сондықтан тұрақты:
Функцияның аты осы жерден шыққан.
CES функциясы, Кобб-Дуглас функциясы сияқты, пайдаланылған ресурстарды ауыстырудың шекті жылдамдығының тұрақты төмендеуі туралы болжамға негізделген. Сонымен бірге, Кобб-Дуглас функциясындағы капиталды еңбекке және керісінше, капиталға ауыстыру икемділігі бірге тең, мұнда тұрақты болса да, бірге тең емес әртүрлі мәндерді қабылдауы мүмкін. Ақырында, Кобб-Дуглас функциясынан айырмашылығы, CES функциясының логарифмін алу оны сызықтық пішінге әкелмейді, бұл параметрлерді бағалау үшін сызықты емес регрессиялық талдаудың күрделі әдістерін қолдануға мәжбүр етеді.
Өндірістік функция әрқашан ерекше, яғни. осы технологияға арналған. Жаңа технология – жаңа өнімді функция. Өндіріс функциясының көмегімен өнімнің берілген көлемін өндіруге қажетті ең аз шығын мөлшері анықталады.
Өндіріс функциялары қандай өндіріс түрін білдіретініне қарамастан келесі жалпы қасиеттерге ие:
- 1) Бір ғана ресурс үшін шығындардың өсуіне байланысты өндіріс көлемін ұлғайту шегі бар (бір бөлмеде көп жұмысшыларды жалдай алмайсыз - барлығында орын болмайды).
- 2) Өндіріс факторлары бірін-бірі толықтыратын (жұмысшылар мен еңбек құралдары) және бірін-бірі алмастыратын (өндірістің автоматтандырылуы) болуы мүмкін.
Өндірістік функция өзінің ең жалпы түрінде келесідей көрінеді:
өнім көлемі мұндағы;
К- капитал (жабдық);
М – шикізат, материалдар;
Т – технология;
N – кәсіпкерлік қабілеттер.
Ең қарапайымы – екі факторлы Кобб-Дуглас өндіріс функциясының моделі, ол еңбек (L) мен капитал (K) арасындағы байланысты ашады.
Бұл факторлар бір-бірін алмастыратын және толықтыратын. Сонау 1928 жылы американдық ғалымдар – экономист П.Дуглас пен математик К.Кобб өндіріс көлемінің немесе ұлттық табыстың ұлғаюына өндірістің әртүрлі факторларының үлесін бағалауға мүмкіндік беретін макроэкономикалық модельді жасады. Бұл функция келесідей көрінеді:
мұндағы А – негізгі технология өзгерген кезде (30-40 жылдан кейін) барлық функциялардың және өзгерістердің пропорционалдылығын көрсететін өндірістік коэффициент;
K, L – капитал және еңбек;
b,c - өндіріс көлемінің капиталға және еңбек шығындарына қатысты икемділік коэффициенттері.
Егер b = 0,25 болса, онда күрделі шығындардың 1%-ға артуы өндіріс көлемін 0,25%-ға арттырады.
Кобб-Дуглас өндірістік функциясындағы икемділік коэффициенттерін талдау негізінде мыналарды ажыратуға болады:
1) пропорционалды өсетін өндірістік функция, қашан
2) пропорционалды түрде – өсу
3) төмендеу
Еңбек екі фактордың айнымалысы болып табылатын фирма қызметінің қысқа кезеңін қарастырайық. Мұндай жағдайда фирма еңбек ресурстарын көбірек пайдалану арқылы өндірісті ұлғайта алады (5-сурет).
5-сурет_ Жалпы орташа және шекті өнімдер арасындағы динамика және қатынас
5-суретте көрсетілген бір айнымалысы бар Кобб-Дуглас өндірістік функциясының графигі – Trn қисығы көрсетілген.
Кобб-Дуглас функциясы елеулі бәсекелестерсіз ұзақ және табысты өмір сүрді, бірақ жақында ол Arrow, Chenery, Minhas және Solow ұсынған жаңа функциядан күшті бәсекелестікке ие болды, біз оны қысқаша SMAC деп атаймыз. (Браун мен Де Кани де бұл мүмкіндікті өз бетінше әзірледі). SMAC функциясының негізгі айырмашылығы мынада: ауыстыру константасы y икемділігі енгізіледі, ол бірден (Кобб-Дуглас функциясындағыдай) және нөлден ерекшеленеді: енгізу-шығару моделіндегідей.
Қазіргі заманғы экономикаларда кездесетін нарықтық және технологиялық жағдайлардың алуан түрлілігі, мүмкін, бір саладағы немесе экономиканың шектеулі секторындағы жекелеген фирмалар арасынан басқа, ақылға қонымды біріктірудің негізгі талаптарын қанағаттандыру мүмкін еместігін көрсетеді.
Осылайша, өндірістің экономикалық-математикалық модельдерінде әрбір технологияны нүкте арқылы графикалық түрде көрсетуге болады, оның координаталары өнімнің берілген көлемін өндіру үшін К және L ресурстарының минималды қажетті шығындарын көрсетеді. Мұндай нүктелердің жиыны бірдей шығу сызығын немесе изоквантты құрайды. Яғни, өндірістік функция графикалық түрде изокванталар семьясымен берілген. Изокванта координатордан неғұрлым алыс орналасса, соғұрлым ол шағылыстыратын өнім көлемі көп болады. Индивидуалдылық қисығына қарағанда әрбір изокванта шығарылатын өнімнің сандық анықталған көлемін сипаттайды. Әдетте микроэкономикада екі факторлы өндірістік функция талданады, ол өндірілген өнімнің пайдаланылған еңбек пен капитал көлеміне тәуелділігін көрсетеді.
Өндіріс пен тұтынудың қарапайым үлгілерін қарастырайық. Өндірістік модельдер өндірістік функцияларды пайдалана отырып құрастырылады, ал тұтыну модельдері тұтыну мақсаты функциясына негізделеді.
Өндірістік функциялар және олардың сипаттамалары
Ең қарапайым өндіріс моделін әр түрлі ресурстарды дайын өнімге өңдейтін жүйе ретінде көрсетуге болады.
Ресурстар мыналарды қамтуы мүмкін:
- шикізат материалдары;
- еңбек шығындары;
- энергия тұтыну;
- зерттеу ресурстары;
- технологиялық ресурстар;
- көлік ресурстары және т.б.
Өндірістік функцияөнім көлемі арасындағы қатынас деп аталады у,және осы өнімдерді өндіруге қажетті ресурстардың әртүрлі түрлерінің шығындары: 
.
Іс жүзінде модельді жеңілдету үшін олар жиі пайдаланады екі факторлыресурстардың екі түрін қамтитын өндірістік функция:
1. шикізат, материалдар, энергия, көлік және басқа ресурстарға шығындарды қоса алғанда, материалдық;
2. еңбек ресурстары.
Өндірістік функция бірқатарын қанағаттандыруы керек талаптар
:
1. Ресурстарды жұмсамай босату болмайды: f(0,0)=0.
2. Ресурстардың кез келгенінің құнының өсуімен өнім көлемі артады, яғни. факторлардың кез келгені үшін өндірістік функция ұлғаюы керек. 
3. Тиімділіктің төмендеуі заңы: ресурстардың кез келгенінің құнының бірдей абсолютті өсуімен Δ Xөндіріс көлемінің ұлғаюы Δ сағнеғұрлым аз болса, соғұрлым көп өнім шығады. Басқаша айтқанда, өндіріс функциясы әрбір аргументте дөңес болуы керек.
Өндірістік функцияны біле отырып, қатарды есептей аламыз сандық сипаттамалар
. Негізгілеріне тоқталайық.
1. Орташа өнімділік
, ,
берілген ресурс бірлігінің шығындарына негізделген орташа өнім мәні бар.
Егер - материалдық шығындар, және - еңбек шығындары болса, онда А 1 деп аталады капиталдың қайтарымыА А 2 - шақырылды еңбек өнімділігі.
2. Шекті немесе шекті өнімділік
Әрбір ресурс үшін келесі мөлшерлер аталады: 
, 
.
Бұл мәндер белгілі бір ресурстың шығындары бір бірлікке өзгерсе, шығарылатын өнімнің шамамен қанша бірлігі өзгеретінін көрсетеді: 
.
3. Жеке серпімділік
Әрбір ресурс үшін келесі мөлшерлер аталады: 
Белгілі бір ресурстың шығындары бір пайызға өзгерсе, икемділік өнімділіктің қанша пайызға өзгеретінін шамамен көрсетеді: 
.
Мәні жалпы серпімділік немесе деп аталады өндірістің икемділігі.
4. Технологиялық ауыстыру стандарты
бір ресурс бірлігі екінші ресурс бірлігімен ауыстырылса, өнім шығару қалай өзгеретінін шамамен көрсететін шама.
МЫСАЛ.Өндірістік функцияның нысаны бар. Орташа және шекті өнімділікті, серпімділікті және технологиялық ауыстыру жылдамдығын табыңыз.
Шешім.
Орташа өнімділік дегеніміз:
Шекті өнімділік мынаған тең: 
Серпімділік мыналарға тең:
Ауыстырудың технологиялық стандарты бар 
.
Сызықтық және Кобб-Дуглас өндірістік функциялары
Іс жүзінде нақты өндірісті модельдеу кезінде өндірістік функциялардың екі түрі жиі қолданылады: сызықтық және Кобб-Дуглас.
Сызықтық өндірістік функция
пішіні бар: 
.
Ол өндірілген өнім көлемі шығындарға пропорционалды болған жағдайларда салынады. Алайда бұл функция қанағаттандырмайды 
өндірістік функцияларға қойылатын бірінші және үшінші талаптар, сондықтан ол олардың аргументтерінің өзгерістерінің шағын жергілікті аймақтарында нақты функцияларды жуықтау үшін пайдаланылуы мүмкін (суретті қараңыз). Екінші талапты орындау үшін шарттар орындалуы керек.
Кобб-Дуглас өндірістік функциясы
пішіні бар:
.
Өндірістік функцияларға қойылатын барлық талаптарды орындау үшін келесі шарттар орындалуы керек:
Сызықтық және Кобб-Дуглас өндірістік функцияларының орташа және шекті өнімділігін, серпімділігін және алмастырудың технологиялық жылдамдығын табайық.
Сызықтық функция үшін болады:
Осылайша, коэффициенттер А 1 және А 2 сызықтық өндірістік функциялар шекті өнімділік мәніне ие және оларды мына формулалар арқылы есептеуге болады: 
. (6.1)
Кобб-Дугластың өндірістік функциясы: 
Осылайша, коэффициенттер А 1 және А 2 Кобб-Дуглас өндірістік функциялары ішінара серпімділік мағынасына ие және келесі формулалар арқылы есептелуі мүмкін: 
(6.2)
Мысал.Белгілі бір кәсіпорын өндіріске 65 бірлік материалдық шығын мен 17 жұмыс күшін жұмсап, 120 бірлік өнім өндірді. Материалдық шығындардың 68 бірлікке дейін кеңеюі және ұлғаюы нәтижесінде өнім көлемі 124 бірлікке, ал еңбек шығындарының 19 бірлікке өсуімен өнім 127 бірлікке дейін өсті. Сызықтық өндіру функциясын және Кобб-Дуглас функциясын құрыңыз.
Шешім.
Сызықтық функция
. Параметрлерді табу үшін А 1 және А 2 (8.1) формуласын қолданамыз: Біз алып жатырмыз
. Табу б 
үшін теңдеуді шешіңіз б, Біз алып жатырмыз . Нәтижесінде сызықтық өндірістік функцияны аламыз 
.Кобб-Дуглас өндірістік функциясының пішіні бар. (8.2) формуласы арқылы теңдеудің коэффициенттерін табамыз:
.түрінің теңдеуін аламыз. Табу бКестенің 2-бағанындағы бастапқы деректерді теңдікке ауыстырамыз:
. Есептей отырып, біз аламыз 
. Нәтижесінде өндірістік функция келесідей болады: 
Тұтыну мақсаты функциясы
Кәсіпорындар мен фирмалардың өндірістік-өткізу қызметін басқарудың нарықтық жүйесі жағдайында шаруашылық шешімдерді қабылдаудың негізі нарықтық ақпарат болып табылады, ал шешімдердің негізділігін тауарлар мен қызметтерді өткізу кезінде нарық тексереді. Бұл тәсілмен кәсіпкерлік қызметтің барлық циклінің бастапқы нүктесі тұтынушылық сұранысты зерттеу болып табылады. Сұраныс пен тұтынуды модельдеудің кейбір мәселелерін қарастырайық.
Өзінің өмір сүруінің нәтижесінде кейбір тауарларды тұтынатын тұтынушыны алайық. Тұтынушылардың қажеттіліктерін қанағаттандыру деңгейі арқылы белгіленеді У. бар деп есептейік nтауар түрлері B 1, B 2,…, B n. Артықшылықтар мыналарды қамтуы мүмкін:
- азық-түлік;
- ең қажетті тауарлар;
- ең қажетті тауарлар;
- люкс;
- ақылы қызметтер және т.б.
Әрбір тауардың тұтыну мөлшері тең болсын X 1 , X 2 ,…, xn. Мақсатты тұтыну функциясықажеттіліктерді қанағаттандыру дәрежесі (деңгейі) арасындағы қатынас деп аталады Ужәне тұтынылған тауарлардың мөлшері: X 1 , X 2 ,…,x n. Бұл функция келесідей көрінеді: 
. 
Тұтыну тауарлары кеңістігінде әрбір теңдеу деп аталатын тауарлардың эквивалентті немесе немқұрайлы жиынтықтарының белгілі бір бетіне сәйкес келеді немқұрайлылық беті. Көпөлшемді немқұрайлылық беті деп аталатын мұндай қисықтың гипербеті келесі түрде көрсетілуі мүмкін: 
, Қайда МЕН- тұрақты. Түсінікті болу үшін екі тауардың кеңістігін қарастырайық, мысалы, тауарлардың екі біріктірілген тобы түрінде: тамақ өнімдері B 1 және азық-түлік емес тауарлар, оның ішінде ақылы қызметтер B 2. Содан кейін тұтыну мақсаты функциясының деңгейлерін тұрақтының әртүрлі мәндеріне сәйкес келетін немқұрайлылық қисықтары түрінде жазықтықта бейнелеуге болады. МЕН. Ол үшін бір тауардың тұтыну мөлшерін көрсетіңіз X 1 арқылы екіншісі X 2. Бір мысалды қарастырайық.
Мысал. 
. Индивидуалдық қисықтарды табыңыз.
Шешім.Анықтамалық қисық сызықтары мынаған ұқсайды 
, немесе (орындау керек екенін ескеру керек).
Әрбір тұтынушы қажеттіліктерді қанағаттандыру деңгейін барынша арттыруға ұмтылады, яғни. Алайда қажеттіліктерді қанағаттандыру дәрежесін барынша арттыру тұтынушының мүмкіндіктерімен тежеледі. Әрбір тауар бірлігінің бағасын арқылы белгілейік Р 1 , Р 2 ,…, р n, және арқылы тұтынушы табысы D. Содан кейін мұны істеу керек бюджеттік шектеу
, ол заңның мағынасына ие, оған сәйкес тұтынушылық шығындар табыс сомасынан аспауы керек:
.
Нәтижесінде тауарлардың оңтайлы жиынтығын табу үшін оңтайлы бағдарламалау мәселесін шешу қажет: 
(6.3)
Екі факторлы тұтыну функциясын қарастырайық, мұндағы X 1 – тағамды тұтыну көлемі және X 2. – азық-түлік емес тауарларды және ақылы қызметтерді тұтыну. Сонымен қатар, тұтынушы өзінің барлық табысын өз қажеттіліктерін қанағаттандыру үшін пайдаланады делік. Бұл жағдайда бюджеттік шектеу тек екі шартты қамтиды және теңсіздік теңдікке айналады. Оңтайлы бағдарламалау мәселесі келесі пішінді алады: 
(6.4)
Геометриялық тұрғыдан оңтайлы шешім бюджеттік шектеуге сәйкес сызыққа енжарлық қисығының жанасу нүктесінің мағынасына ие.
Жүйенің бюджеттік шектеуінен (8.4) біз айнымалыны өрнектей аламыз. Бұл өрнекті мақсат функциясына қойып, бір айнымалы функцияны аламыз 
, оның максимумын туындыны нөлге теңеу арқылы теңдеуден табуға болады: .
Мысал.Тұтыну мақсатты функциясының пішіні бар: 
. В 1 тауарының бағасы 20, В 2 тауарының бағасы 50. Тұтынушының табысы 1800 бірлік. Индивидуалдық қисықтарды, тұтыну тауарларының оңтайлы жиынын, баға бойынша бірінші тауарға сұраныс функциясын, кіріс бойынша бірінші тауарға сұраныс функциясын табыңыз.
Шешім.Анықтамалық қисықтар келесідей болады:
.
Бірінші координаталық квадрантта орналасқан және тұрақты шамасының мәніне байланысты координаталар басынан әртүрлі қашықтықта орналасқан гиперболалар жиынын аламыз. МЕН.
Біз тауарлардың оңтайлы жиынтығын табамыз. Оңтайлы бағдарламалау мәселесі келесі формада болады: 
Оны шешу үшін біз олардың бюджеттік шектеулерін білдіреміз 
бір айнымалы екіншісі арқылы: 
Біз алып жатырмыз.
Осылайша, тауарлардың оңтайлы жиынтығы 30,5 және 23,8 бірлікті құрайды. Енді бірінші тауарға сұраныс функциясын оның бағасы негізінде табамыз. Ол үшін бюджеттік шектеуде белгіленген құнның орнына бірінші тауардың бағасын енгізіп, теңдеуді аламыз: 
. білдіреміз 
. Мақсатты функцияға ауыстырыңыз:
Туындыны тауып, оны нөлге теңейміз: 
немесе 
, осы жерден баға бойынша бірінші тауарға сұраныс функциясын табамыз: .
Енді бірінші игілікке сұраныс функциясын табыс бойынша табамыз. Ол үшін бюджеттік шектеуден бір айнымалыны екіншісімен өрнектейміз: 
. Мақсатты функцияға ауыстырыңыз:
Туындыны тауып, оны нөлге теңейміз: 
Осыдан кіріс бойынша бірінші тауарға сұраныс функциясын табамыз:
.
Жүктелуде...
