Екі жазықтықтың арасындағы бұрыштың косинусы. Жазықтықтар арасындағы бұрышты табу (екілік бұрыш)

Жазықтықтар арасындағы бұрыштың өлшемі деп осы жазықтықтарда жатқан және олардың қиылысу сызығына перпендикуляр жүргізілген екі түзуден құралған сүйір бұрышты айтады.

Құру алгоритмі

1. Ерікті K нүктесінен берілген жазықтықтардың әрқайсысына перпендикулярлар жүргізілген.
2. Деңгей сызығының айналасында айналу арқылы K нүктесіндегі төбесімен γ° бұрышы анықталады.
3. γ° > 90° болған жағдайда ϕ° = 180 – γ° жазықтықтарының арасындағы бұрышты есептеңіз. γ° болса< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Суретте α және β жазықтықтары іздер арқылы берілген жағдай көрсетілген. Барлық қажетті құрылыстар алгоритмге сәйкес орындалды және төменде сипатталған.

Шешім

1. Сызбадағы ерікті жерде К нүктесін белгілеңіз.Одан α және β жазықтықтарына сәйкесінше m және n перпендикулярларды түсіреміз. m және n проекцияларының бағыты келесідей: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. m және n сызықтары арасындағы нақты өлшемді ∠γ° анықтаймыз. Ол үшін фронтальды f айналасында К төбесі бар бұрыш жазықтығын проекцияның фронталь жазықтығына параллель орынға айналдырамыз. K нүктесінің R айналу радиусы O""K""K 0 тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы өлшеміне тең, оның қабырғасы K""K 0 = y K – y O .
3. Қажетті бұрыш ϕ° = ∠γ°, өйткені ∠γ° сүйір.

Төмендегі суретте сәйкесінше параллель және қиылысатын түзулер арқылы берілген α және β жазықтықтарының арасындағы γ° бұрышын табу қажет болатын есептің шешімі көрсетілген.

Шешім

1. α және β жазықтықтарына жататын h 1, h 2 горизонтальдардың және f 1, f 2 фронттарының проекцияларының бағытын көрсеткілермен көрсетілген ретпен анықтаймыз. Шаршыдағы ерікті K нүктесінен. α және β перпендикулярлары e және k. Бұл жағдайда e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 және k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. e және k сызықтары арасында ∠γ° анықтаймыз. Ол үшін h 3 көлденең сызығын жүргіземіз және оның айналасында біз K нүктесін K 1 позициясына бұрамыз, бұл кезде △CKD көлденең жазықтыққа параллель болады және оған табиғи өлшемде - △C"K" 1 D көрсетіледі. ". Айналу центрінің проекциясы О" К"О"-ға перпендикуляр h" 3-ке сызылған. R радиусы О"К"К 0 тікбұрышты үшбұрышынан анықталады, оның қабырғасы K"K 0 =. Z O – Z K.
3. Қажетті мәннің мәні ∠ϕ° = ∠γ° болады, өйткені γ° бұрышы сүйір.

«А алу» бейне курсы табысты болу үшін қажетті барлық тақырыптарды қамтиды Бірыңғай мемлекеттік емтиханды тапсыруматематикадан 60-65 балл. Математикадан профильді бірыңғай мемлекеттік емтиханның 1-13 барлық тапсырмаларын орындаңыз. Сондай-ақ математикадан Базалық Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсыруға жарамды. Бірыңғай мемлекеттік емтиханды 90-100 баллмен тапсырғыңыз келсе, 1 бөлімді 30 минутта қатесіз шешуіңіз керек!

10-11 сыныптарға, сондай-ақ мұғалімдерге арналған Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық курсы. Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 1-бөлігін (алғашқы 12 есеп) және 13-есепті (тригонометрия) шешу үшін қажет нәрсенің бәрі. Ал бұл Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы 70 ұпайдан жоғары және оларсыз 100 баллдық студент те, гуманитарлық пәннің студенті де істей алмайды.

Барлық қажетті теория. Жылдам жолдарБірыңғай мемлекеттік емтиханның шешімдері, қателері мен құпиялары. FIPI тапсырмалар банкінен 1-бөлімнің барлық ағымдағы тапсырмалары талданды. Курс 2018 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханның талаптарына толығымен сәйкес келеді.

Курста 5 үлкен тақырыптар, әрқайсысы 2,5 сағат. Әрбір тақырып нөлден бастап, қарапайым және түсінікті түрде беріледі.

Жүздеген Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмалары. Сөздік есептер және ықтималдықтар теориясы. Есептерді шешудің қарапайым және есте сақтау оңай алгоритмдері. Геометрия. теория, анықтамалық материал, Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларының барлық түрлерін талдау. Стереометрия. Күрделі шешімдер, пайдалы парақтар, кеңістіктік қиялды дамыту. Тригонометрия нөлден есеп 13. Тығыздау орнына түсіну. Күрделі ұғымдардың анық түсіндірмесі. Алгебра. Түбірлер, дәрежелер және логарифмдер, функция және туынды. Шешім негізі күрделі міндеттерБірыңғай мемлекеттік емтиханның 2 бөлімі.

Екі ұшақты қарастырайық Р 1 және Р 2 қалыпты векторлары бар n 1 және n 2. Жазықтықтар арасындағы φ бұрышы Р 1 және Р 2 ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) бұрышы арқылы келесідей өрнектеледі: егер ψ < 90°, содан кейін φ = ψ (202-сурет, а); егер ψ > 90° болса, онда ψ = 180° - ψ (202.6-сурет).

Кез келген жағдайда теңдік ақиқат екені анық

cos φ = |cos ψ|

Нөлдік емес векторлар арасындағы бұрыштың косинусы тең болғандықтан скаляр көбейтіндісіосы векторлардың олардың ұзындықтарының көбейтіндісіне бөлінгені, бізде бар

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

және, демек, жазықтықтар арасындағы φ бұрышының косинусы Р 1 және Р 2 формуласы арқылы есептеуге болады

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Егер жазықтықтар жалпы теңдеулер арқылы берілсе

A 1 X+ B 1 ж+ C 1 z+ D 1 = 0 және A 2 X+ B 2 ж+ C 2 z+ D 2 = 0,

онда олардың қалыпты векторлары үшін векторларды алуға болады n 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) және n 2 = (A 2; B 2; C 2).

(1) формуланың оң жағын координаталар бойынша жазып, аламыз

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

1-тапсырма.Жазықтықтар арасындағы бұрышты есептеңдер

X - √2 ж + z- 2 = 0 және x+ √2 ж - z + 13 = 0.

Бұл жағдайда A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

(2) формуладан аламыз

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Демек, бұл жазықтықтардың арасындағы бұрыш 60°.

Қалыпты векторлары бар жазықтықтар n 1 және n 2:

а) векторлар болған жағдайда ғана параллель болады n 1 және n 2 коллинеар;

б) векторлар болған жағдайда ғана перпендикуляр n 1 және n 2 перпендикуляр, яғни қашан n 1 n 2 = 0.

Осыдан жалпы теңдеулер арқылы берілген екі жазықтықтың параллельдігі мен перпендикулярлығының қажетті және жеткілікті шарттарын аламыз.

Ұшаққа

A 1 X+ B 1 ж+ C 1 z+ D 1 = 0 және A 2 X+ B 2 ж+ C 2 z+ D 2 = 0

параллель болды, теңдіктердің сақталуы үшін қажет және жеткілікті

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$

Егер A 2 , B 2 , C 2 коэффициенттерінің кез келгені нөлге тең болса, сәйкес A 1 , B 1 , C 1 коэффициенттері де нөлге тең деп есептеледі.

Осы екі теңдіктің кем дегенде біреуі орындалмаса, жазықтықтар параллель емес, яғни қиылысады.

Жазықтықтардың перпендикулярлығы үшін

A 1 X+ B 1 ж+ C 1 z+ D 1 = 0 және A 2 X+ B 2 ж+ C 2 z+ D 2 = 0

теңдіктің сақталуы үшін қажетті және жеткілікті

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

2-тапсырма.Төмендегі жұп ұшақтардың арасында:

2X + 5сағ + 7z- 1 = 0 және 3 X - 4сағ + 2z = 0,

сағ - 3z+ 1 = 0 және 2 сағ - 6z + 5 = 0,

4X + 2сағ - 4z+ 1 = 0 және 2 X + сағ + 2z + 3 = 0

параллель немесе перпендикуляр көрсетіңіз. Ұшақтың бірінші жұбы үшін

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

яғни перпендикулярлық шарты орындалады. Жазықтықтар перпендикуляр.

Ұшақтың екінші жұбы үшін

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), өйткені \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

және А 1 және А 2 коэффициенттері нөлге тең. Демек, екінші жұптың жазықтықтары параллель. Үшінші жұп үшін

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), өйткені \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

және A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, яғни үшінші жұптың жазықтықтары параллель де, перпендикуляр да емес.

Бұл мақала жазықтықтар арасындағы бұрыш және оны қалай табуға болатыны туралы. Алдымен екі жазықтықтың арасындағы бұрыштың анықтамасы беріліп, графикалық иллюстрация беріледі. Осыдан кейін координаталық әдіс арқылы қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрышты табу принципі талданып, осы жазықтықтардың нормаль векторларының белгілі координаталары арқылы қиылысатын жазықтықтар арасындағы бұрышты есептеуге мүмкіндік беретін формула алынды. Қорытындысында көрсетілген егжей-тегжейлі шешімдертән тапсырмалар.

Бетті шарлау.

Жазықтықтар арасындағы бұрыш – анықтамасы.

Екі қиылысатын жазықтықтың арасындағы бұрышты анықтауға бірте-бірте жақындауға мүмкіндік беретін аргументтерді келтірейік.

Бізге қиылысатын екі жазықтық берілсін және . Бұл жазықтықтар түзу бойымен қиылысады, оны с әрпімен белгілейміз. с түзуінің М нүктесі арқылы өтетін және в түзуіне перпендикуляр жазықтық салайық. Бұл жағдайда ұшақ жазықтықтарды қиып өтеді және. Жазықтықтар қиылысатын түзуді а деп, ал жазықтықтар қиылысатын түзуді b деп белгілейік. А және b түзулері М нүктесінде қиылысатыны анық.

Қиылысатын a және b түзулерінің арасындағы бұрыш жазықтық өтетін с түзуіндегі М нүктесінің орналасуына тәуелді емес екенін көрсету оңай.

c түзуіне перпендикуляр және жазықтықтан өзгеше жазықтық салайық. Жазықтық жазықтықтармен және түзу сызықтардың бойымен қиылысады, оларды сәйкесінше 1 және b 1 деп белгілейміз.

Жазықтықтарды салу әдісінен a және b түзулері с түзуіне перпендикуляр, ал a 1 және b 1 түзулері с түзуіне перпендикуляр болатыны шығады. a және a 1 түзулері бір жазықтықта жатқандықтан және с түзуіне перпендикуляр болғандықтан, олар параллель болады. Сол сияқты b және b 1 түзулері бір жазықтықта жатады және с түзуіне перпендикуляр, сондықтан олар параллель. Осылайша, а 1 түзуі а түзуімен, b түзуі b 1 түзуімен сәйкес келетін жазықтықты жазықтыққа параллель көшіруді орындауға болады. Демек, екі қиылысатын түзулердің арасындағы бұрыш a 1 және b 1 бұрышқа теңқиылысатын a және b түзулерінің арасында.

Бұл қиылысатын жазықтықтарда жатқан a және b түзулерінің арасындағы бұрыштың және жазықтық өтетін М нүктесін таңдауға тәуелді емес екенін дәлелдейді. Сондықтан бұл бұрышты екі қиылысатын жазықтықтың арасындағы бұрыш ретінде қабылдау қисынды.

Енді сіз екі қиылысатын жазықтық арасындағы бұрыштың анықтамасын дауыстай аласыз және.

Анықтама.

Түзу сызықта қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрыш және- бұл жазықтықтар және с түзуіне перпендикуляр жазықтықпен қиылысатын екі қиылысатын a және b түзулерінің арасындағы бұрыш.

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыштың анықтамасын сәл басқаша беруге болады. Егер жазықтықтар мен қиылысатын с түзуінде М нүктесін белгілеп, ол арқылы с түзуіне перпендикуляр және жазықтықтарда жататын a және b түзулерін жүргіземіз және сәйкесінше а түзулерінің арасындағы бұрыш және b - жазықтықтар арасындағы бұрыш және. Әдетте тәжірибеде жазықтықтар арасындағы бұрышты алу үшін дәл осындай конструкциялар орындалады.

Қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш -тен аспайтындықтан, берілген анықтамадан қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрыштың градустық өлшемі өрнектелетіні шығады. нақты санаралықтан. Бұл жағдайда қиылысатын жазықтықтар деп аталады перпендикуляр, егер олардың арасындағы бұрыш тоқсан градус болса. Арасындағы бұрыш параллель жазықтықтарне оны мүлде анықтамайды, не нөлге тең деп есептейді.

Қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрышты табу.

Әдетте, қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрышты тапқанда, алдымен қиылысатын түзулерді көру үшін қосымша конструкцияларды орындау керек, олардың арасындағы бұрышы қажетті бұрышқа тең, содан кейін теңдік, ұқсастық сынақтары арқылы бұл бұрышты бастапқы деректермен байланыстыру керек. сынақтар, косинус теоремасы немесе бұрыштың синусының, косинусының және тангенсінің анықтамалары. Геометрия курсында орта мектепұқсас мәселелер туындайды.

Мысал ретінде 2012 жылғы математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан C2 мәселесінің шешімін келтірейік (шарт әдейі өзгертілген, бірақ бұл шешімнің принципіне әсер етпейді). Онда сізге тек қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрышты табу керек болды.

Мысал.

Шешім.

Алдымен сурет салайық.

Жазықтықтар арасындағы бұрышты «көру» үшін қосымша конструкцияларды орындайық.

Алдымен ABC және BED 1 жазықтықтары қиылысатын түзуді анықтайық. В нүктесі - олардың ортақ нүктелерінің бірі. Осы жазықтықтардың екінші ортақ нүктесін табайық. DA және D 1 E түзулері бір ADD 1 жазықтығында жатыр және олар параллель емес, сондықтан қиылысады. Екінші жағынан, DA сызығы ABC жазықтығында, ал D 1 E сызығы - BED 1 жазықтығында жатыр, сондықтан DA және D 1 E түзулерінің қиылысу нүктесі ABC және BED 1 жазықтықтарының ортақ нүктесі болады. Сонымен, DA және D 1 E түзулерін олардың F әрпімен қиылысу нүктесін белгілей отырып, олардың қиылысына дейін жалғастырайық. Сонда BF – ABC және BED 1 жазықтықтары қиылысатын түзу.

Сәйкесінше ABC және BED 1 жазықтықтарында жатқан, BF түзуінің бір нүктесі арқылы өтетін және BF сызығына перпендикуляр болатын екі түзуді тұрғызу қалады - бұл түзулердің арасындағы бұрыш, анықтамасы бойынша, сызықтар арасындағы қажетті бұрышқа тең болады. ABC және BED ұшақтары 1. Қанекей мынаны істейік.

Нүкте А – Е нүктесінің ABC жазықтығына проекциясы. M нүктесінде тік бұрыш жасап, BF түзуін қиып өтетін түзу жүргізейік. Сонда AM түзу EM түзуінің ABC жазықтығына және үш перпендикуляр теоремасы бойынша проекциясы болады.

Осылайша, ABC және BED 1 жазықтықтары арасындағы қажетті бұрыш -ге тең.

Егер біз оның екі қабырғасының ұзындықтарын білсек, AEM тікбұрышты үшбұрышынан осы бұрыштың синусын, косинусын немесе тангенсін (демек бұрыштың өзін) анықтай аламыз. Шарттан AE ұзындығын табу оңай: Е нүктесі AA 1 жағын 4-тен 3-ке дейін бөлетіндіктен, А нүктесінен санағанда, ал AA 1 қабырғасының ұзындығы 7-ге тең болса, онда AE = 4 болады. AM ұзындығын табайық.

Мұны істеу үшін қарастырыңыз тікбұрышты үшбұрышА тік бұрышы бар ABF, мұндағы AM – биіктік. AB = 2 шарты бойынша. DD 1 F және AEF тікбұрышты үшбұрыштарының ұқсастығынан AF қабырғасының ұзындығын таба аламыз:

Пифагор теоремасын пайдаланып ABF үшбұрышынан табамыз. ABF үшбұрышының ауданы арқылы AM ұзындығын табамыз: бір жағында ABF үшбұрышының ауданы тең , Басқа жақтан , қайда .

Осылайша, AEM тікбұрышты үшбұрышынан бізде .

Сонда ABC және BED 1 жазықтықтарының арасындағы қажетті бұрыш тең ​​болады (ескеріңіз ).

Жауап:

Кейбір жағдайларда қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрышты табу үшін Oxyz орнату және координат әдісін қолдану ыңғайлы. Сол жерде тоқталайық.

Тапсырманы қояйық: қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз және . Қалаған бұрышты деп белгілейік.

Берілген тік бұрышты координаталар жүйесінде біз қиылысатын жазықтықтардың нормаль векторларының координаталарын білеміз және немесе оларды табу мүмкіндігіміз бар деп есептейміз. Болсын жазықтықтың нормаль векторы болып табылады, және жазықтықтың нормаль векторы болып табылады. Біз қиылысатын жазықтықтар арасындағы бұрышты қалай табуға болатынын және осы жазықтықтардың нормаль векторларының координаталары арқылы көрсетеміз.

Жазықтықтар мен қиылысатын түзуді c деп белгілейік. c түзуіндегі М нүктесі арқылы с түзуіне перпендикуляр жазықтық жүргіземіз. Жазықтық жазықтықтарды қиып өтеді және a және b түзулерінің бойымен сәйкесінше a және b түзулері М нүктесінде қиылысады. Анықтау бойынша, қиылысатын жазықтықтар арасындағы бұрыш және қиылысатын a және b түзулерінің арасындағы бұрышқа тең.

Нормал векторлар мен жазықтықтарды және жазықтықтағы М нүктесінен бастап графигін салайық. Бұл жағдайда вектор а түзуіне перпендикуляр түзуде, ал вектор b түзуіне перпендикуляр түзуде жатады. Сонымен, жазықтықта вектор а түзуінің нормаль векторы, b түзуінің нормаль векторы болады.

Қиылысатын түзулер арасындағы бұрышты табу мақаласында қалыпты векторлардың координаталары арқылы қиылысатын түзулер арасындағы бұрыштың косинусын есептеуге мүмкіндік беретін формула алдық. Осылайша, a және b түзулерінің арасындағы бұрыштың косинусы, демек, қиылысатын жазықтықтар арасындағы бұрыштың косинусыжәне формула бойынша табылады, мұнда Және жазықтықтардың нормаль векторлары болып табылады және сәйкесінше. Содан кейін ол ретінде есептеледі .

Алдыңғы мысалды координат әдісі арқылы шешейік.

Мысал.

Дан куб тәрізді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, онда AB=2, AD=3, AA 1 =7 және Е нүктесі AA 1 жағын А нүктесінен санағанда 4-3 қатынасында бөледі. ABC және BED 1 жазықтықтарының арасындағы бұрышты табыңыз.

Шешім.

Тік бұрышты параллелепипедтің бір төбесіндегі қабырғалары жұптық перпендикуляр болғандықтан, оны енгізу ыңғайлы. тікбұрышты жүйе Oxyz координаталарын былайша көрсетеді: басын С төбесімен туралаңыз және сәйкесінше Ox, Oy және Oz координаталық осьтерін CD, CB және CC 1 жақтары бойымен бағыттаңыз.

ABC және BED 1 жазықтықтарының арасындағы бұрышты осы жазықтықтардың нормаль векторларының координаталары арқылы формуланы пайдаланып табуға болады, мұндағы және сәйкесінше ABC және BED 1 жазықтықтарының нормаль векторлары. Нормал векторлардың координаталарын анықтайық.

Мақалада жазықтықтар арасындағы бұрышты табу туралы айтылады. Анықтаманы бергеннен кейін графикалық иллюстрация беріп, қарастырайық егжей-тегжейлі әдіскоординат әдісімен табу. Қалыпты векторлардың координаталарын қамтитын қиылысатын жазықтықтардың формуласын аламыз.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Материалда бұрын кеңістіктегі жазықтық пен түзу туралы мақалаларда зерттелген деректер мен түсініктер пайдаланылады. Біріншіден, екі қиылысатын жазықтықтың арасындағы бұрышты анықтауға белгілі бір көзқарасқа ие болуға мүмкіндік беретін пайымдауға көшу керек.

γ 1 және γ 2 қиылысатын екі жазықтық берілген. Олардың қиылысы c белгісін алады. χ жазықтығының құрылысы осы жазықтықтардың қиылысуымен байланысты. χ жазықтығы M нүктесі арқылы c түзуімен өтеді. γ 1 және γ 2 жазықтықтарының қиылысуы χ жазықтығының көмегімен орындалады. γ 1 және χ қиылысатын түзудің белгілеуін а түзуі, ал γ 2 және χ қиылысатын түзуді b түзуі деп аламыз. a және b түзулерінің қиылысуы М нүктесін беретінін анықтаймыз.

М нүктесінің орналасуы қиылысатын a және b түзулерінің арасындағы бұрышқа әсер етпейді, ал M нүктесі с түзуінде орналасқан, ол арқылы χ жазықтығы өтеді.

c түзуіне перпендикуляр және χ жазықтығынан өзгеше χ 1 жазықтығын салу керек. χ 1 көмегімен γ 1 және γ 2 жазықтықтарының қиылысуы a 1 және b 1 түзулерінің белгіленуін алады.

χ және χ 1 тұрғызған кезде а және b түзулері с түзуіне перпендикуляр болатынын, онда а 1, b 1 с түзуіне перпендикуляр орналасқанын көруге болады. c түзуіне перпендикулярлық γ 1 жазықтығынан a және a 1 түзулерін тапсақ, онда оларды параллель деп санауға болады. Дәл осылай c түзуіне перпендикулярлықпен γ 2 жазықтықта b және b 1 орналасуы олардың параллельдігін көрсетеді. Бұл χ 1 жазықтығын χ-ке параллель көшіру қажет екенін білдіреді, мұнда екі сәйкес келетін a және a 1, b және b 1 түзулерін аламыз. Қиылысатын a және b 1 түзулерінің арасындағы бұрыш a және b түзулерінің қиылысу бұрышына тең екенін анықтаймыз.

Төмендегі суретке назар аударайық.

Бұл ұсыныс қиылысатын a және b түзулерінің арасында М нүктесінің орналасуына, яғни қиылысу нүктесіне тәуелді емес бұрыштың болуымен дәлелденеді. Бұл түзулер γ 1 және γ 2 жазықтықтарында орналасқан. Шын мәнінде, алынған бұрышты екі қиылысатын жазықтықтың арасындағы бұрыш деп санауға болады.

Бар қиылысатын γ 1 және γ 2 жазықтықтарының арасындағы бұрышты анықтауға көшейік.

Анықтама 1

Қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрыш γ 1 және γ 2γ 1 және γ 2 жазықтықтары с түзуіне перпендикуляр χ жазықтығымен қиылысатын a және b түзулерінің қиылысуынан пайда болатын бұрыш деп аталады.

Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Анықтама басқа нысанда берілуі мүмкін. γ 1 және γ 2 жазықтықтары қиылысқанда, мұндағы c – олар қиылысатын түзу, M нүктесін белгілеңіз, ол арқылы c түзуіне перпендикуляр және γ 1 және γ 2 жазықтықтарында жататын a және b түзулері жүргізілетін, содан кейін олардың арасындағы бұрыш a және b түзулері жазықтықтар арасындағы бұрыш болады. Іс жүзінде бұл жазықтықтар арасындағы бұрышты салу үшін қолданылады.

Қиылысу кезінде мәні 90 градустан аз бұрыш пайда болады, яғни бұрыштың градустық өлшемі осы түрдегі (0, 90] аралықта жарамды. Сонымен бірге бұл жазықтықтар перпендикуляр деп аталады, егер қиылысында тік бұрыш пайда болады.Параллель жазықтықтар арасындағы бұрыш нөлге тең деп есептеледі.

Қиылысатын жазықтықтар арасындағы бұрышты табудың әдеттегі жолы қосымша конструкцияларды орындау болып табылады. Бұл оны дәл анықтауға көмектеседі және мұны үшбұрыштың, бұрыштың синусы мен косинусының теңдік немесе ұқсастық белгілерін қолдану арқылы жасауға болады.

С 2 блогының Бірыңғай мемлекеттік емтихан есептерінен мысалды пайдаланып есептерді шешуді қарастырайық.

1-мысал

Тік бұрышты параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 берілген, мұндағы қабырға A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, E нүктесі А A 1 қабырғасын 4: 3 қатынасында бөледі. A B C және B E D 1 жазықтықтарының арасындағы бұрышты табыңыз.

Шешім

Түсінікті болу үшін сурет салу керек. Біз мұны түсінеміз

Жазықтықтар арасындағы бұрышпен жұмыс істеуді ыңғайлы ету үшін көрнекі бейнелеу қажет.

A B C және B E D 1 жазықтықтарының қиылысуы өтетін түзуді анықтаймыз. В нүктесі ортақ нүкте болып табылады. Тағы бір ортақ қиылысу нүктесін табу керек. Бір A D D 1 жазықтықта орналасқан D A және D 1 E түзулерін қарастырайық. Олардың орналасуы параллелизмді көрсетпейді, бұл олардың ортақ қиылысу нүктесі бар екенін білдіреді.

Дегенмен, D A түзуі A B C жазықтығында, ал D 1 E B E D 1 жазықтығында орналасқан. Осыдан түзу сызықтарды аламыз Д АЖәне D 1 Eортақ қиылысу нүктесі бар, ол A B C және B E D 1 жазықтықтары үшін ортақ. Түзулердің қиылысу нүктесін көрсетеді Д Ажәне D 1 E F әрпі. Бұдан B F – A B C және B E D 1 жазықтықтары қиылысатын түзу екенін аламыз.

Төмендегі суретке назар аударайық.

Жауапты алу үшін B F түзуінде орналасқан нүкте арқылы өтетін және оған перпендикуляр A B C және B E D 1 жазықтықтарында орналасқан түзулерді салу керек. Содан кейін осы түзулер арасындағы алынған бұрыш A B C және B E D 1 жазықтықтарының арасындағы қажетті бұрыш болып саналады.

Бұдан біз А нүктесі Е нүктесінің A B C жазықтығына проекциясы екенін көреміз. B F түзуін М нүктесінде тік бұрыш жасап қиылысатын түзу жүргізу керек. А M түзуінің проекция екенін көруге болады. A M ⊥ B F перпендикулярлары туралы теоремаға негізделген E M түзуінің A B C жазықтығына. Төмендегі суретті қарастырыңыз.

∠ A M E – A B C және B E D 1 жазықтықтары арқылы құрылған қажетті бұрыш. Пайда болған A E M үшбұрышынан оның екі қабырғасы белгілі болған жағдайда ғана бұрыштың синусын, косинусын немесе тангенсін, содан кейін бұрыштың өзін таба аламыз. Шарт бойынша бізде A E ұзындығы мына жолмен табылды: A A 1 түзу Е нүктесіне 4: 3 қатынасында бөлінеді, бұл түзудің жалпы ұзындығы 7 бөлікке тең, содан кейін A E = 4 бөлікке тең болады. Біз M табамыз.

A B F тікбұрышты үшбұрышты қарастыру керек. Бізде биіктігі A M болатын тік А бұрышы бар. A B = 2 шартынан D D 1 F және A E F үшбұрыштарының ұқсастығы арқылы A F ұзындығын табуға болады. Біз A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4 екенін аламыз.

Пифагор теоремасы арқылы A B F үшбұрышының B F қабырғасының ұзындығын табу керек. B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 болатынын аламыз. A M қабырғасының ұзындығы A B F үшбұрышының ауданы арқылы табылады. Бізде аудан S A B C = 1 2 · A B · A F және S A B C = 1 2 · B F · A M тең болуы мүмкін.

Біз A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5 екенін аламыз.

Сонда A E M үшбұрышының бұрышының жанамасының мәнін таба аламыз. Біз мынаны аламыз:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

A B C және B E D 1 жазықтықтарының қиылысуынан алынған қажетті бұрыш a r c t g 5-ке тең, онда ықшамдағанда r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 аламыз.

Жауап: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Қиылысатын түзулер арасындағы бұрышты табудың кейбір жағдайлары көмегімен көрсетілген координаталық жазықтық O x y z және координаталық әдіс. Толығырақ қарастырайық.

Егер қиылысатын γ 1 және γ 2 жазықтықтарының арасындағы бұрышты табу керек жерде есеп берілсе, қажетті бұрышты α деп белгілейміз.

Сонда берілген координаталар жүйесі бізде қиылысатын γ 1 және γ 2 жазықтықтарының нормаль векторларының координаталары бар екенін көрсетеді. Сонда n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z жазықтықтың нормаль векторы γ 1, ал n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - деп белгілейміз. жазықтық γ 2. Осы жазықтықтардың арасында орналасқан бұрышты векторлардың координаталары бойынша егжей-тегжейлі анықтауды қарастырайық.

γ 1 және γ 2 жазықтықтары с әрпімен қиылысатын түзуді белгілеу керек. c түзуінде M нүктесі бар, ол арқылы с-ке перпендикуляр χ жазықтығы жүргіземіз. a және b түзулерінің бойындағы χ жазықтығы γ 1 және γ 2 жазықтықтарын М нүктесінде қиып өтеді. анықтамадан γ 1 және γ 2 қиылысатын жазықтықтар арасындағы бұрыш сәйкесінше осы жазықтықтарға жататын a және b қиылысатын түзулердің бұрышына тең екендігі шығады.

χ жазықтығында М нүктесінен қалыпты векторларды саламыз және оларды n 1 → және n 2 → деп белгілейміз. n 1 → векторы а түзуіне перпендикуляр түзуде, ал n 2 → векторы b түзуіне перпендикуляр түзуде орналасқан. Осы жерден біз оны аламыз берілген ұшақχ n 1 → тең a түзуінің және n 2 → тең b түзуінің нормаль векторына ие. Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Осыдан векторлардың координаталары арқылы қиылысатын түзулердің бұрышының синусын есептеуге болатын формуланы аламыз. a және b түзулерінің арасындағы бұрыштың косинусы қиылысатын γ 1 және γ 2 жазықтықтарының арасындағы косинусымен бірдей екенін анықтадық, ол мынадан шыққан. cos формулаларыα = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, мұндағы бізде n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) және n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) координаталары болып табылады. берілген жазықтықтардың векторлары.

Қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш формула арқылы есептеледі

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

2-мысал

Шарт бойынша параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 берілген. , Мұндағы A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, және E нүктесі А қабырғасын A A 1 4: 3-ке бөледі. A B C және B E D 1 жазықтықтарының арасындағы бұрышты табыңыз.

Шешім

Шарттан оның қабырғалары жұптық перпендикуляр екені көрініп тұр. Бұл С нүктесіндегі төбесі және O x, O y, O z координаталық осьтері бар O x y z координаталар жүйесін енгізу қажет дегенді білдіреді. Тиісті жақтарға бағытты орнату қажет. Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Қиылысатын жазықтықтар A B CЖәне B E D 1α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n формуласын қолданып табуға болатын бұрышты құрыңдар. 2 y 2 + n 2 z 2, онда n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) және n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) нормаль векторлары болып табылады. бұл ұшақтар. Координаталарды анықтау қажет. Суреттен О х у координаталық осі А В С жазықтығымен сәйкес келетінін көреміз, бұл k → нормаль векторының координаталары n 1 → = k → = (0, 0, 1) мәніне тең екенін білдіреді.

B E D 1 жазықтығының нормаль векторы B E → және B D 1 → векторлық көбейтіндісі ретінде қабылданады, мұнда олардың координаталары B, E, D 1 шеткі нүктелерінің координаталары арқылы табылады, олар шарттардың негізінде анықталады. мәселе.

Біз B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7) аламыз. A E E A 1 = 4 3 болғандықтан, А 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 нүктелерінің координаталарынан E 2, 3, 4 нүктелерін табамыз. B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Табылған координаталарды доғаның косинусы арқылы бұрышты есептеу формуласына ауыстыру қажет. Біз алып жатырмыз

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Координат әдісі ұқсас нәтиже береді.

Жауап: a r c cos 6 6 .

Соңғы есеп жазықтықтардың бар белгілі теңдеулерімен қиылысатын жазықтықтар арасындағы бұрышты табу мақсатымен қарастырылады.

3-мысал

O x y z координаталар жүйесінде анықталған және 2 x - 4 y + z + 1 = 0 және 3 y - z теңдеулері арқылы берілген бұрыштың синусын, косинусын және қиылысатын екі түзуден құралған бұрыштың мәнін есептеңдер. - 1 = 0.

Шешім

A x + B y + C z + D = 0 түріндегі жалпы түзу теңдеуінің тақырыбын оқу барысында А, В, С нормаль векторының координаталарына тең коэффициенттер екені анықталды. Бұл n 1 → = 2, - 4, 1 және n 2 → = 0, 3, - 1 берілген түзулердің нормаль векторлары екенін білдіреді.

Жазықтықтардың нормаль векторларының координаталарын қиылысатын жазықтықтардың қажетті бұрышын есептеу формуласына ауыстыру қажет. Сонда біз оны аламыз

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Осыдан бұрыштың косинусы cos α = 13 210 түрін қабылдайтынын көреміз. Сонда қиылысатын түзулердің бұрышы доғал емес. Ауыстыру тригонометриялық сәйкестік, бұрыштың синусының мәні өрнекке тең екенін табамыз. Оны есептеп тауып көрейік

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

Жауап: sin α = 41,210, cos α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз