Кейбір адамдар «прогрессия» сөзін жоғары математиканың салаларының өте күрделі термині ретінде сақтықпен қарастырады. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия - бұл такси есептегішінің жұмысы (олар әлі де бар). Бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, арифметикалық тізбектің мәнін (және математикада «мәнін түсінуден» маңыздырақ ештеңе жоқ) түсіну соншалықты қиын емес.
Математикалық сандар тізбегі
Сандық реттілік әдетте сандар қатары деп аталады, олардың әрқайсысының өз нөмірі бар.
a 1 – тізбектің бірінші мүшесі;
және 2 - қатардың екінші мүшесі;
және 7 - қатардың жетінші мүшесі;
және n – қатардың n-ші мүшесі;
Дегенмен, сандар мен сандардың кез келген ерікті жиынтығы бізді қызықтырмайды. Біз назарымызды n-ші мүшесінің мәні оның реттік санына математикалық түрде анық тұжырымдауға болатын қатынас арқылы байланыстырылатын сандық тізбекке аударамыз. Басқаша айтқанда: n-ші санның сандық мәні n-дің кейбір функциясы болып табылады.
a – сандық қатардың мүшесінің мәні;
n – оның сериялық нөмірі;
f(n) – функция, мұндағы n сандық қатардағы реттік сан аргумент болып табылады.
Анықтама
Арифметикалық прогрессия әдетте әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан бірдей санға артық (кем) болатын сандық тізбек деп аталады. Арифметикалық қатардың n-ші мүшесінің формуласы келесідей:
a n – арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;
a n+1 – келесі санның формуласы;
d - айырмашылық (белгілі бір сан).
Айырма оң (d>0) болса, онда қарастырылып отырған қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессияның өсетінін анықтау оңай.
Төмендегі графикте сандар тізбегі неліктен «өсу» деп аталатынын түсіну оңай.
Айырмашылық теріс болған жағдайларда (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Көрсетілген мүше мәні
Кейде арифметикалық прогрессияның кез келген ерікті a n мүшесінің мәнін анықтау қажет болады. Мұны арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің мәндерін біріншіден бастап қажеттіге дейін дәйекті түрде есептеу арқылы жасауға болады. Алайда, мысалы, бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мәнін табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеулер көп уақытты алады. Дегенмен, белгілі бір арифметикалық прогрессияны белгілі формулалар арқылы зерттеуге болады. Сондай-ақ n-ші мүшесінің формуласы бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы прогрессияның айырмасымен, қажетті мүшенің санына көбейтілген, азайтылған қосындысы ретінде анықтауға болады. бір.
Формула прогрессияның жоғарылауы және төмендеуі үшін әмбебап болып табылады.
Берілген терминнің мәнін есептеудің мысалы
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің мәнін табуға келесі есепті шығарайық.
Шарты: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:
Тізбектің бірінші мүшесі 3;
Сандар қатарындағы айырмашылық 1,2.
Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек
Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:
a(n) = a1 + d(n-1)
Мәселе мәлімдемесіндегі деректерді өрнекке ауыстырсақ, бізде:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Жауабы: Тізбектің 214-ші мүшесі 258,6-ға тең.
Бұл есептеу әдісінің артықшылықтары айқын - бүкіл шешім 2 жолдан аспайды.
Берілген терминдер санының қосындысы
Көбінесе берілген арифметикалық қатарда оның кейбір сегменттерінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Мұны істеу үшін әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін оларды қосудың қажеті жоқ. Бұл әдіс қосындысын табуды қажет ететін мүшелердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлырақ.
1-ден n-ге дейінгі арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы бірінші және n-ші мүшелердің қосындысына тең, n мүшесінің санына көбейтіліп, екіге бөлінеді. Егер формулада n-ші мүшесінің мәні баптың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, мынаны аламыз:
Есептеу мысалы
Мысалы, келесі шарттармен мәселені шешейік:
Тізбектің бірінші мүшесі нөлге тең;
Айырмашылық 0,5.
Есеп 56-дан 101-ге дейінгі қатар мүшелерінің қосындысын анықтауды талап етеді.
Шешім. Прогрессия мөлшерін анықтау үшін формуланы қолданайық:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Біріншіден, есептің берілген шарттарын формулаға ауыстыру арқылы прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
56-дан 101-ге дейінгі прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу үшін S 101-ден S 55-ті алу керек екені анық.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Осылайша, осы мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
Арифметикалық прогрессияның практикалық қолданылуының мысалы
Мақаланың соңында бірінші абзацта келтірілген арифметикалық тізбектің мысалына оралайық - таксиметр (такси вагонының есептегіші). Осы мысалды қарастырайық.
Таксиге отыру (оның ішінде 3 км жол жүру) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі шақырым 22 рубль/км мөлшерінде төленеді. Жол жүру қашықтығы 30 км. Сапардың құнын есептеңіз.
1. Бағасы қону құнына кіретін алғашқы 3 км-ден бас тартайық.
30 - 3 = 27 км.
2. Әрі қарай есептеу арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.
Мүше нөмірі – жүріп өткен километрлер саны (алғашқы үшті алып тастағанда).
Мүшенің мәні қосынды болып табылады.
Бұл мәселедегі бірінші термин 1 = 50 рубльге тең болады.
Прогрессия айырмасы d = 22 r.
бізді қызықтыратын сан арифметикалық прогрессияның (27+1)-ші мүшесінің мәні - 27-ші километрдің соңындағы метрдің көрсеткіші 27,999... = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Ерікті ұзақ кезеңге арналған күнтізбе деректерінің есептеулері белгілі бір сандық реттіліктерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы геометриялық тұрғыдан аспан денесінің жұлдызға дейінгі қашықтығына тәуелді. Сонымен қатар, әртүрлі сандар қатарлары статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.
Сандар тізбегінің тағы бір түрі геометриялық
Геометриялық прогрессия арифметикалық прогрессиямен салыстырғанда өзгерудің үлкен қарқынымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада белгілі бір құбылыстың, мысалы, індет кезіндегі аурудың таралу жылдамдығының жоғарылығын көрсету үшін бұл процесс геометриялық прогрессияда дамиды деп бекер айтылмаған.
Геометриялық сандар қатарының N-ші мүшесінің алдыңғысынан айырмашылығы, ол қандай да бір тұрақты санға – бөлгішке көбейтіледі, мысалы, бірінші мүшесі 1, бөлгіш сәйкесінше 2-ге тең, сонда:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n – геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;
b n+1 – геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;
q – геометриялық прогрессияның бөлгіші (тұрақты сан).
Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, геометриялық прогрессия сәл басқаша суретті салады:
Арифметикалық жағдайдағы сияқты геометриялық прогрессияның ерікті мүшенің мәні үшін формуласы бар. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі бірінші мүшесінің көбейтіндісіне және n дәрежесіне азайтылған прогрессияның бөліміне тең:
Мысал. Бізде бірінші мүшесі 3-ке, ал прогрессияның бөлгіші 1,5-ке тең геометриялық прогрессия бар. Прогрессияның 5-ші мүшесін табайық
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Берілген терминдер санының қосындысы да арнайы формула арқылы есептеледі. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы прогрессияның n-ші мүшесі мен оның бөлгіші мен прогрессияның бірінші мүшесінің көбейтіндісінің айырмасына тең, оны бірге азайтылған бөлгішке бөледі:
Егер b n жоғарыда қарастырылған формула арқылы ауыстырылса, қарастырылып отырған сандар қатарының бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесідей болады:
Мысал. Геометриялық прогрессия 1-ге тең бірінші мүшесінен басталады. Бөлгіш 3-ке тең. Алғашқы сегіз мүшесінің қосындысын табайық.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Мысалы, тізбегі \(2\); \(5\); \(8\); \(он бір\); \(14\)... арифметикалық прогрессия болып табылады, өйткені әрбір келесі элемент алдыңғысынан үшке ерекшеленеді (алдыңғыдан үш қосу арқылы алуға болады):
Бұл прогрессияда \(d\) айырмасы оң болады (\(3\) тең), сондықтан әрбір келесі мүше алдыңғысынан үлкен. Мұндай прогрессиялар деп аталады ұлғайту.
Дегенмен, \(d\) теріс сан да болуы мүмкін. Мысалы, арифметикалық прогрессияда \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогрессияның айырмасы \(d\) минус алтыға тең.
Және бұл жағдайда әрбір келесі элемент алдыңғысынан кішірек болады. Бұл прогрессиялар деп аталады төмендеу.
Арифметикалық прогрессияның жазылуы
Прогрессия шағын латын әрпімен көрсетіледі.
Прогрессияны құрайтын сандар деп аталады мүшелері(немесе элементтер).
Олар арифметикалық прогрессиямен бірдей әріппен белгіленеді, бірақ реті бойынша элементтің санына тең сандық индексі бар.
Мысалы, арифметикалық прогрессия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) элементтерінен тұрады; \(a_2=5\); \(a_3=8\) және т.б.
Басқаша айтқанда, прогрессия үшін \(a_n = \сол\(2; 5; 8; 11; 14…\оң\)\)
Арифметикалық прогрессия есептерін шығару
Негізінде, жоғарыда келтірілген ақпарат кез келген дерлік арифметикалық прогрессия мәселесін шешуге жеткілікті (оның ішінде OGE-де ұсынылғандар).
Мысал (OGE).
Арифметикалық прогрессия \(b_1=7; d=4\) шарттарымен белгіленеді. \(b_5\) табыңыз.
Шешімі:
Жауап: \(b_5=23\)
Мысал (OGE).
Арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесі берілген: \(62; 49; 36...\) Осы прогрессияның бірінші теріс мүшесінің мәнін табыңыз.
Шешімі:
|
Бізге тізбектің бірінші элементтері берілген және оның арифметикалық прогрессия екенін білеміз. Яғни, әрбір элемент көршісінен бірдей санмен ерекшеленеді. Келесі элементтен алдыңғыны алып тастау арқылы қайсысы екенін анықтайық: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Енді біз қажетті (бірінші теріс) элементке прогрессімізді қалпына келтіре аламыз. |
|
|
Дайын. Жауабын жаза аласыз. |
Жауап: \(-3\)
Мысал (OGE).
Арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан элементтері берілген: \(…5; x; 10; 12,5...\) \(x\) әрпімен белгіленген элементтің мәнін табыңыз.
Шешімі:
|
|
\(x\) табу үшін келесі элементтің алдыңғысынан қаншалықты ерекшеленетінін, басқаша айтқанда прогрессияның айырмашылығын білу керек. Оны екі белгілі көрші элементтерден табайық: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Ал енді біз іздеген нәрсені оңай таба аламыз: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Дайын. Жауабын жаза аласыз. |
Жауап: \(7,5\).
Мысал (OGE).
Арифметикалық прогрессия келесі шарттармен анықталады: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Осы прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табыңыз.
Шешімі:
|
Прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табуымыз керек. Бірақ біз олардың мағынасын білмейміз, бізге тек бірінші элемент беріледі. Сондықтан, біз алдымен бізге берілгенді пайдалана отырып, мәндерді бір-бірден есептейміз: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Қажетті сома табылды. |
Жауап: \(S_6=9\).
Мысал (OGE).
Арифметикалық прогрессияда \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Осы прогрессияның айырмашылығын табыңыз.
Шешімі:
Жауап: \(d=7\).
Арифметикалық прогрессияның маңызды формулалары
Көріп отырғаныңыздай, арифметикалық прогрессия бойынша көптеген есептерді шешуге болады, ең бастысы - арифметикалық прогрессия сандар тізбегі екенін және осы тізбектің әрбір келесі элементі алдыңғысына бірдей санды қосу арқылы алынады ( прогрессияның айырмашылығы).
Дегенмен, кейде «басқа» шешім қабылдау өте ыңғайсыз болатын жағдайлар болады. Мысалы, ең бірінші мысалда бесінші элементті \(b_5\) емес, үш жүз сексен алтыншы \(b_(386)\) табу керек деп елестетіңіз. Төрт \(385\) есе қосу керек пе? Немесе соңғы мысалда бірінші жетпіс үш элементтің қосындысын табу керек деп елестетіңіз. Санаудан шаршайсың...
Сондықтан, мұндай жағдайларда олар нәрселерді «басқа» шешпейді, бірақ арифметикалық прогрессия үшін алынған арнайы формулаларды пайдаланады. Ал негізгілері прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы мен \(n\) бірінші мүшесінің қосындысының формуласы.
\(n\)-ші мүшесінің формуласы: \(a_n=a_1+(n-1)d\), мұндағы \(a_1\) прогрессияның бірінші мүшесі;
\(n\) – қажетті элементтің саны;
\(a_n\) – \(n\) саны бар прогрессияның мүшесі.
Бұл формула прогрессияның тек біріншісі мен айырмашылығын біле отырып, тіпті үш жүздік немесе миллионыншы элементті жылдам табуға мүмкіндік береді.
Мысал.
Арифметикалық прогрессия шарттармен анықталады: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) табыңыз.
Шешімі:
Жауап: \(b_(246)=1850\).
Бірінші n мүшесінің қосындысының формуласы: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), мұндағы
\(a_n\) – соңғы қосынды мүшесі;
Мысал (OGE).
Арифметикалық прогрессия \(a_n=3,4n-0,6\) шарттарымен белгіленеді. Осы прогрессияның бірінші \(25\) мүшелерінің қосындысын табыңыз.
Шешімі:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Алғашқы жиырма бес мүшенің қосындысын есептеу үшін бірінші және жиырма бесінші мүшелердің мәнін білуіміз керек. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Енді \(n\) орнына жиырма бесті қойып, жиырма бесінші мүшесін табайық. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Енді біз қажетті соманы оңай есептей аламыз. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Жауабы дайын. |
Жауап: \(S_(25)=1090\).
Бірінші мүшелердің \(n\) қосындысы үшін басқа формуланы алуға болады: тек \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) орнына оның формуласын \(a_n=a_1+(n-1)d\) ауыстырыңыз. Біз алып жатырмыз:
Бірінші n мүшесінің қосындысының формуласы: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), мұндағы
\(S_n\) – \(n\) бірінші элементтердің қажетті қосындысы;
\(a_1\) – бірінші қосынды мүшесі;
\(d\) – прогрессияның айырмашылығы;
\(n\) – элементтердің жалпы саны.
Мысал.
Арифметикалық прогрессияның бірінші \(33\)-ex мүшелерінің қосындысын табыңыз: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Шешімі:
Жауап: \(S_(33)=-231\).
Күрделі арифметикалық прогрессия есептері
Енді сізде кез келген дерлік арифметикалық прогрессия мәселесін шешуге қажетті барлық ақпарат бар. Формулаларды қолданып қана қоймай, аздап ойлану қажет болатын есептерді қарастыру арқылы тақырыпты аяқтаймыз (математикада бұл пайдалы болуы мүмкін ☺)
Мысал (OGE).
Прогрессияның барлық теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Шешімі:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Тапсырма алдыңғы тапсырмаға өте ұқсас. Біз бірдей нәрсені шеше бастаймыз: алдымен \(d\) табамыз. |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Енді мен \(d\) қосындысының формуласына ауыстырғым келеді... және бұл жерде кішкене нюанс пайда болады - біз \(n\) білмейміз. Басқаша айтқанда, біз қанша термин қосу керек екенін білмейміз. Қалай білуге болады? Ойланайық. Бірінші оң элементке жеткенде элементтерді қосуды тоқтатамыз. Яғни, бұл элементтің нөмірін білу керек. Қалай? Арифметикалық прогрессияның кез келген элементін есептеу формуласын жазайық: біздің жағдайымыз үшін \(a_n=a_1+(n-1)d\). |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Нөлден үлкен болу үшін бізге \(a_n\) керек. Бұл не болатынын білейік \(n\). |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Теңсіздіктің екі жағын да \(0,3\) бөлеміз. |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Біз белгілерді өзгертуді ұмытпай, минус біреуін аударамыз |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Есептеп көрейік... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...ал бірінші оң элементте \(66\) саны болады екен. Сәйкесінше, соңғы терісінде \(n=65\) бар. Мүмкін болса, мұны тексеріп көрейік. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Сондықтан бірінші \(65\) элементтерді қосу керек. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Жауабы дайын. |
Жауап: \(S_(65)=-630,5\).
Мысал (OGE).
Арифметикалық прогрессия шарттармен анықталады: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ші элементтен \(42\) элементіне дейінгі қосындыны табыңыз.
Шешімі:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Бұл есепте де элементтердің қосындысын табу керек, бірақ біріншіден емес, \(26\)-дан бастап. Мұндай жағдай үшін бізде формула жоқ. Қалай шешуге болады? |
|
|
Прогрессиямыз үшін \(a_1=-33\) және айырмашылық \(d=4\) үшін (ақыр соңында, келесі элементті табу үшін алдыңғы элементке қосамыз). Осыны біле отырып, бірінші \(42\)-y элементтерінің қосындысын табамыз. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Енді бірінші \(25\) элементтердің қосындысы. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Соңында біз жауапты есептейміз. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Жауап: \(S=1683\).
Арифметикалық прогрессия үшін практикалық пайдалылығы төмен болғандықтан осы мақалада қарастырмаған тағы бірнеше формулалар бар. Дегенмен, сіз оларды оңай таба аласыз.
Жалпы білім беретін мектепте (9-сынып) алгебраны оқығанда маңызды тақырыптардың бірі - геометриялық және арифметикалық прогрессияларды қамтитын сандық тізбектерді оқыту. Бұл мақалада біз арифметикалық прогрессияны және шешімдері бар мысалдарды қарастырамыз.
Арифметикалық прогрессия дегеніміз не?
Мұны түсіну үшін қарастырылып отырған прогрессияны анықтау керек, сонымен қатар кейінірек есептерді шешуде қолданылатын негізгі формулаларды беру қажет.
Арифметикалық немесе алгебралық прогрессия деп әрбір мүшесі алдыңғысынан қандай да бір тұрақты мәнмен ерекшеленетін реттелген рационал сандар жиынын айтады. Бұл мән айырмашылық деп аталады. Яғни, реттелген сандар қатарының кез келген мүшесін және айырмасын біле отырып, сіз бүкіл арифметикалық прогрессияны қалпына келтіре аласыз.
Мысал келтірейік. Келесі сандар тізбегі арифметикалық прогрессия болады: 4, 8, 12, 16, ..., өйткені бұл жағдайда айырмашылық 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Бірақ 3, 5, 8, 12, 17 сандар жиынын енді қарастырылып отырған прогрессия түріне жатқызуға болмайды, өйткені ол үшін айырмашылық тұрақты мән емес (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠) 17 - 12).
Маңызды формулалар
Енді арифметикалық прогрессияның көмегімен есептерді шешуге қажетті негізгі формулаларды көрсетейік. a n символымен қатардың n-ші мүшесін белгілейік, мұндағы n – бүтін сан. Айырмашылықты латынның d әрпімен белгілейміз. Сонда келесі өрнектер жарамды:
- n-ші мүшесінің мәнін анықтау үшін келесі формула қолайлы: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Бірінші n мүшесінің қосындысын анықтау үшін: S n = (a n +a 1)*n/2.
9-сыныпта шешімдері бар арифметикалық прогрессияның кез келген мысалдарын түсіну үшін осы екі формуланы есте сақтау жеткілікті, өйткені қарастырылатын типтегі кез келген есептер олардың қолданылуына негізделген. Прогрессия айырмашылығы мына формуламен анықталатынын есте ұстаған жөн: d = a n - a n-1.
№1 мысал: белгісіз мүшені табу
Арифметикалық прогрессияның қарапайым мысалын және оны шешу үшін қолданылатын формулаларды келтірейік.
10, 8, 6, 4, ... тізбегі берілсін, одан бес мүшесін табу керек.
Есептің шарттарынан алғашқы 4 термин белгілі екені шығады. Бесінші екі жолмен анықталуы мүмкін:
- Алдымен айырмашылықты есептейік. Бізде: d = 8 - 10 = -2. Сол сияқты, сіз бір-бірінің жанында тұрған кез келген басқа екі мүшені ала аласыз. Мысалы, d = 4 - 6 = -2. d = a n - a n-1 болатыны белгілі болғандықтан, d = a 5 - a 4, одан аламыз: a 5 = a 4 + d. Біз белгілі мәндерді ауыстырамыз: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Екінші әдіс сонымен қатар қарастырылып отырған прогрессияның айырмашылығын білуді талап етеді, сондықтан алдымен оны жоғарыда көрсетілгендей анықтау керек (d = -2). Бірінші мүшесі a 1 = 10 екенін біле отырып, біз тізбектің n санының формуласын қолданамыз. Бізде: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Соңғы өрнекке n = 5 мәнін қойып, мынаны аламыз: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Көріп отырғаныңыздай, екі шешім де бірдей нәтижеге әкелді. Бұл мысалдағы прогрессия айырмасы d теріс мән екенін ескеріңіз. Мұндай тізбектер кему деп аталады, өйткені әрбір келесі мүше алдыңғысынан аз болады.
№2 мысал: прогрессияның айырмашылығы
Енді тапсырманы сәл қиындатып көрейік, қалай болатынын мысалға келтірейік
Кейбіреулерінде 1-мүше 6-ға, ал 7-мүше 18-ге тең болатыны белгілі.Айырманы тауып, осы қатарды 7-ші мүшеге келтіру керек.
Белгісіз мүшені анықтау үшін формуланы қолданайық: a n = (n - 1) * d + a 1 . Шарттағы белгілі деректерді, яғни a 1 және a 7 сандарын ауыстырайық, бізде: 18 = 6 + 6 * d. Бұл өрнектен сіз айырмашылықты оңай есептей аласыз: d = (18 - 6) /6 = 2. Осылайша, біз есептің бірінші бөлігіне жауап бердік.
7-ші мүшеге тізбекті қалпына келтіру үшін алгебралық прогрессияның анықтамасын қолдану керек, яғни a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d және т.б. Нәтижесінде біз бүкіл тізбекті қалпына келтіреміз: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
№3 мысал: прогрессияны құрастыру
Мәселені одан да күрделендірейік. Енді арифметикалық прогрессияны қалай табуға болады деген сұраққа жауап беруіміз керек. Келесі мысалды келтіруге болады: екі сан берілген, мысалы – 4 және 5. Бұлардың арасына тағы үш мүше орналасатындай алгебралық прогрессия құру керек.
Бұл мәселені шешуді бастамас бұрын, берілген сандар болашақ прогрессияда қандай орынды алатынын түсінуіңіз керек. Олардың арасында тағы үш мүше болатындықтан, а 1 = -4 және 5 = 5. Осыны анықтап, біз алдыңғыға ұқсас мәселеге көшеміз. Тағы да, n-ші мүшесі үшін формуланы қолданамыз, біз мынаны аламыз: a 5 = a 1 + 4 * d. Қайдан: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Мұнда алғанымыз айырманың бүтін мәні емес, ол рационал сан, сондықтан алгебралық прогрессияның формулалары өзгеріссіз қалады.
Енді табылған айырманы 1-ге қосып, прогрессияның жетіспейтін мүшелерін қалпына келтірейік. Біз мыналарды аламыз: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, сәйкес келді. мәселенің шарттарымен.
№4 мысал: прогрессияның бірінші мүшесі
Шешімдері бар арифметикалық прогрессияның мысалдарын келтіруді жалғастырайық. Алдыңғы барлық есептерде алгебралық прогрессияның бірінші саны белгілі болды. Енді басқа типтегі есепті қарастырайық: екі сан берілсін, мұнда а 15 = 50 және 43 = 37. Бұл реттілік қай саннан басталатынын табу керек.
Осы уақытқа дейін қолданылған формулалар 1 және d туралы білімді болжайды. Мәселе мәлімдемесінде бұл сандар туралы ештеңе белгілі емес. Дегенмен, біз ақпарат бар әрбір термин үшін өрнектерді жазамыз: a 15 = a 1 + 14 * d және a 43 = a 1 + 42 * d. Біз 2 белгісіз шама (a 1 және d) бар екі теңдеу алдық. Бұл есептің сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге келтірілгенін білдіреді.
Бұл жүйені шешудің ең оңай жолы - әрбір теңдеуде 1-ді өрнектеп, содан кейін алынған өрнектерді салыстыру. Бірінші теңдеу: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; екінші теңдеу: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Бұл өрнектерді теңестіре отырып, біз аламыз: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, мұндағы айырма d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (тек 3 ондық белгі берілген).
d біле отырып, 1 үшін жоғарыдағы 2 өрнектің кез келгенін пайдалануға болады. Мысалы, бірінші: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Алынған нәтижеге күмәніңіз болса, оны тексеруге болады, мысалы, шартта көрсетілген прогрессияның 43-ші мүшесін анықтаңыз. Біз аламыз: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Кішігірім қате есептеулерде мыңнан бірге дейін дөңгелектеу қолданылғанына байланысты.
№5 мысал: сома
Енді арифметикалық прогрессияның қосындысының шешімдері бар бірнеше мысалдарды қарастырайық.
Мына түрдегі сандық прогрессия берілсін: 1, 2, 3, 4, ...,. Осы сандардың 100-нің қосындысын қалай есептеуге болады?
Компьютерлік технологияның дамуының арқасында бұл мәселені шешуге болады, яғни адам Enter пернесін басқаннан кейін компьютер орындайтын барлық сандарды рет-ретімен қосу. Алайда берілген сандар қатары алгебралық прогрессия және оның айырмасы 1-ге тең екеніне назар аударсаңыз, мәселені ойша шешуге болады. Қосынды формуласын қолданып, мынаны аламыз: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Бір қызығы, бұл мәселенің «гаусс» деп аталуының себебі, 18 ғасырдың басында атақты неміс, әлі 10 жаста болса да, оны бірнеше секундта шеше алды. Бала алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын білмеді, бірақ ол тізбектің соңындағы сандарды жұппен қоссаңыз, әрқашан бірдей нәтиже шығатынын, яғни 1 + 100 = 2 + 99 болатынын байқады. = 3 + 98 = ..., және бұл қосындылар дәл 50 (100/2) болатындықтан, дұрыс жауапты алу үшін 50-ні 101-ге көбейту жеткілікті.
№6 мысал: n-ден m-ге дейінгі мүшелердің қосындысы
Арифметикалық прогрессияның қосындысының тағы бір типтік мысалы келесідей: сандар қатары берілген: 3, 7, 11, 15, ..., оның 8-ден 14-ке дейінгі мүшелерінің қосындысы неге тең болатынын табу керек. .
Мәселе екі жолмен шешіледі. Олардың біріншісі 8-ден 14-ке дейінгі белгісіз мүшелерді табуды, содан кейін оларды ретімен қосуды қамтиды. Терминдер аз болғандықтан, бұл әдіс айтарлықтай еңбекті қажет етпейді. Осыған қарамастан, бұл мәселені екінші әдісті қолдану арқылы шешу ұсынылады, ол әмбебап болып табылады.
Мұндағы идея m және n мүшелері арасындағы алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын алу, мұндағы n > m бүтін сандар. Екі жағдайда да қосынды үшін екі өрнек жазамыз:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
n > m болғандықтан, 2-ші қосындыға біріншісі кіретіні анық. Соңғы қорытынды мынаны білдіреді: егер осы қосындылардың айырмасын алып, оған a m мүшесін қоссақ (айырымды қабылдаған жағдайда S n қосындысынан шегеріледі), есептің қажетті жауабын аламыз. Бізде: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- м/2). Бұл өрнекке a n және a m формулаларын ауыстыру қажет. Сонда мынаны аламыз: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * м - м 2 - 2) / 2.
Алынған формула біршама қиын, дегенмен S mn қосындысы тек n, m, a 1 және d-ге тәуелді. Біздің жағдайда a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Осы сандарды ауыстырсақ, мынаны аламыз: S mn = 301.
Жоғарыда келтірілген шешімдерден көрініп тұрғандай, барлық есептер n-ші мүшесінің өрнекін және бірінші мүшелер жиынының қосындысының формуласын білуге негізделген. Осы мәселелердің кез келгенін шешуді бастамас бұрын, шартты мұқият оқып шығып, нені табу керектігін нақты түсініп, содан кейін ғана шешімді жалғастыру ұсынылады.
Тағы бір кеңес - қарапайымдылыққа ұмтылу, яғни егер сіз күрделі математикалық есептеулерді қолданбай сұраққа жауап бере алсаңыз, дәл солай істеу керек, өйткені бұл жағдайда қателесу ықтималдығы аз болады. Мысалы, №6 шешімі бар арифметикалық прогрессия мысалында S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m формуласына тоқтауға болады, және жалпы есепті бөлек ішкі тапсырмаларға бөлу (бұл жағдайда алдымен a n және a m терминдерін табыңыз).
Алынған нәтижеге күмәніңіз болса, келтірілген мысалдардың кейбірінде жасалғандай, оны тексеру ұсынылады. Арифметикалық прогрессияны қалай табуға болатынын білдік. Егер сіз оны анықтасаңыз, бұл қиын емес.
И.В.Яковлев | Математика материалдары | MathUs.ru
Арифметикалық прогрессия
Арифметикалық прогрессия – тізбектің ерекше түрі. Сондықтан арифметикалық (содан кейін геометриялық) прогрессияны анықтамас бұрын, сандар тізбегі туралы маңызды ұғымды қысқаша талқылауымыз керек.
Кіші реттілік
Экранда белгілі бір сандар бірінен соң бірі көрсетілетін құрылғыны елестетіп көріңіз. 2 делік; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Бұл сандар жиыны дәйектіліктің дәл мысалы болып табылады.
Анықтама. Сандар тізбегі - әрбір нөмірге бірегей сан (яғни, бір натурал санмен байланысты) тағайындалуы мүмкін сандар жиыны1. n саны қатардың n-ші мүшесі деп аталады.
Сонымен, жоғарыдағы мысалда бірінші сан 2, бұл тізбектің бірінші мүшесі, оны a1 деп белгілеуге болады; бес санының 6 саны бар қатардың бесінші мүшесі, оны a5 арқылы белгілеуге болады. Жалпы алғанда, тізбектің n-ші мүшесі a (немесе bn, cn, т.б.) арқылы белгіленеді.
Тізбектің n-ші мүшесін қандай да бір формуламен анықтауға болатын өте ыңғайлы жағдай. Мысалы, an = 2n 3 формуласы реттілікті көрсетеді: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n формуласы реттілікті көрсетеді: 1; 1; 1; 1; : : :
Сандардың әрбір жиыны реттілік емес. Осылайша, сегмент реттілік емес; онда қайта нөмірленетін «тым көп» сандар бар. Барлық нақты сандардың R жиыны да тізбек емес. Бұл фактілер математикалық талдау барысында дәлелденеді.
Арифметикалық прогрессия: негізгі анықтамалар
Енді арифметикалық прогрессияны анықтауға дайынбыз.
Анықтама. Арифметикалық прогрессия деп әрбір мүшесі (екіншіден бастап) алдыңғы мүшесінің және кейбір тіркелген санның (арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады) қосындысына тең болатын тізбекті айтады.
Мысалы, 2-рет; 5; 8; он бір; : : : бірінші мүшесі 2 және айырмасы 3 болатын арифметикалық прогрессия. 7-ші рет; 2; 3; 8; : : : бірінші мүшесі 7 және айырмасы 5 болатын арифметикалық прогрессия. 3-тізбек; 3; 3; : : : айырмасы нөлге тең арифметикалық прогрессия.
Эквивалентті анықтама: an тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады, егер an+1 an айырмасы тұрақты шама болса (n-ге тәуелсіз).
Арифметикалық прогрессия айырымы оң болса өсу, ал теріс болса кему деп аталады.
1 Бірақ мұнда қысқарақ анықтама берілген: реттілік дегеніміз натурал сандар жиынында анықталған функция. Мысалы, нақты сандар тізбегі f функциясы болып табылады: N ! Р.
Әдепкі бойынша тізбектер шексіз болып саналады, яғни сандардың шексіз санын қамтиды. Бірақ бізді ақырғы тізбектерді қарастыру үшін ешкім алаңдатпайды; шын мәнінде, кез келген ақырлы сандар жиынын ақырлы тізбек деп атауға болады. Мысалы, аяқталу реті 1; 2; 3; 4; 5 бес саннан тұрады.
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы
Арифметикалық прогрессияның екі санмен толық анықталатынын түсіну оңай: бірінші мүшесі және айырмасы. Сондықтан сұрақ туындайды: бірінші мүшесі мен айырмасын біле отырып, арифметикалық прогрессияның ерікті мүшесін қалай табуға болады?
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесіне қажетті формуланы алу қиын емес. рұқсат етіңіз
айырмасы бар арифметикалық прогрессия d. Бізде бар: |
|
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): |
|
Атап айтқанда, біз жазамыз: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
ал енді a формуласы екені белгілі болды: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
Есеп 1. Арифметикалық прогрессияда 2; 5; 8; он бір; : : : n-ші мүшесінің формуласын тауып, жүздік мүшесін есепте.
Шешім. (1) формулаға сәйкес бізде:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Арифметикалық прогрессияның қасиеті және таңбасы
Арифметикалық прогрессияның қасиеті. Арифметикалық прогрессияда кез келген үшін
Басқаша айтқанда, арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесі (екіншіден бастап) оның көршілес мүшелерінің арифметикалық ортасы болып табылады.
Дәлелдеу. Бізде бар: |
||||
a n 1 + a n+1 |
(d) + (an + d) |
|||
бұл талап етілді.
Жалпы алғанда, арифметикалық прогрессия a теңдікті қанағаттандырады
a n = a n k + a n+k
кез келген n > 2 және кез келген табиғи k үшін< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
(2) формула қатардың арифметикалық прогрессия болуы үшін қажетті ғана емес, сонымен қатар жеткілікті шарт қызметін атқаратыны белгілі болды.
Арифметикалық прогрессияның белгісі. Егер (2) теңдігі барлық n > 2 үшін орындалса, онда a тізбегі арифметикалық прогрессия болады.
Дәлелдеу. (2) формуланы келесі түрде қайта жазайық:
a n a n 1 = a n+1 a n:
Бұдан an+1 an айырмасы n-ге тәуелді емес екенін көреміз және бұл an тізбегі арифметикалық прогрессия екенін дәл білдіреді.
Арифметикалық прогрессияның қасиеті мен белгісін бір мәлімдеме түрінде тұжырымдауға болады; Ыңғайлы болу үшін біз мұны үш сан үшін жасаймыз (бұл мәселеде жиі кездесетін жағдай).
Арифметикалық прогрессияның сипаттамасы. a, b, c үш саны арифметикалық прогрессияны құрайды, егер 2b = a + c болғанда ғана.
Есеп 2. (ММУ, Экономика факультеті, 2007) Көрсетілген ретпен үш саны 8х, 3х2 және 4 кемімелі арифметикалық прогрессияны құрайды. х-ті тауып, осы прогрессияның айырмасын көрсетіңіз.
Шешім. Арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша бізде:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Егер x = 1 болса, онда айырмасы 6 болатын 8, 2, 4 кемімелі прогрессияны аламыз. Егер x = 5 болса, онда 40, 22, 4 өсетін прогрессия аламыз; бұл жағдай жарамайды.
Жауабы: x = 1, айырмасы 6.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы
Аңыз бойынша, бір күні мұғалім балаларға 1-ден 100-ге дейінгі сандардың қосындысын табуды бұйырды да, газет оқуға үнсіз отырды. Алайда бірнеше минут ішінде бір бала мәселені шешкенін айтты. Бұл кейінірек тарихтағы ең ұлы математиктердің бірі болған 9 жасар Карл Фридрих Гаусс болатын.
Кішкентай Гаусстың идеясы келесідей болды. Болсын
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Бұл соманы кері ретпен жазайық:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
және осы екі формуланы қосыңыз:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Жақшадағы әрбір мүше 101-ге тең және барлығы 100 осындай мүше бар.Сондықтан
2S = 101 100 = 10100;
Бұл идеяны қосынды формуласын шығару үшін қолданамыз
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Егер оған an = a1 + (n 1)d n-ші мүшесінің формуласын қойсақ, (3) формуланың пайдалы түрлендіруі алынады:
2a1 + (n 1)d |
|||||
Есеп 3. 13-ке бөлінетін барлық оң үш таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.
Шешім. 13-ке еселік болатын үш таңбалы сандар бірінші мүшесі 104, ал айырмасы 13-ке тең арифметикалық прогрессияны құрайды; Бұл прогрессияның n-ші мүшесі келесі түрге ие:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Прогрессиямызда қанша термин бар екенін білейік. Ол үшін теңсіздікті шешеміз:
6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Сонымен, біздің прогрессте 69 мүше бар. Формула (4) арқылы біз қажетті мөлшерді табамыз:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Жүктелуде...
