Барлық нақты сандар жиынын үш жиынның бірігуі ретінде көрсетуге болады: оң сандар жиыны, теріс сандар жиыны және бір саннан тұратын жиын – нөл саны. Сан екенін көрсету үшін Аоң болса, жазбаны пайдаланыңыз a > 0, теріс санды көрсету үшін басқа белгіні пайдаланыңыз а< 0 .
Оң сандардың қосындысы мен көбейтіндісі де оң сандар. Егер нөмір Атеріс, содан кейін сан -Аоң (және керісінше). Кез келген оң а саны үшін оң а саны бар рационал сан r, Не r< а . Бұл фактілер теңсіздік теориясының негізінде жатыр.
Анықтау бойынша, a > b теңсіздігі (немесе, бірдей, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, яғни a - b саны оң болса.
Атап айтқанда, теңсіздікті қарастырыңыз А< 0 . Бұл теңсіздік нені білдіреді? Жоғарыдағы анықтамаға сәйкес, бұл дегеніміз 0 - a > 0, яғни. -a > 0немесе, басқаша айтқанда, қандай сан -Аоң. Бірақ бұл сан болған жағдайда ғана орын алады Атеріс. Сонымен теңсіздік А< 0 санын білдіреді бірақ теріс.
Белгілеу де жиі қолданылады аб(немесе, не бірдей, ба).
Жазба аб, анықтамасы бойынша, мұны да білдіреді a > b, немесе a = b. Жазбаны ескерсек абанықталмаған мәлімдеме ретінде, онда математикалық логиканың белгілеуінде жаза аламыз
(a b) [(a > b) V (a = b)]
1-мысал. 5 0, 0 0 теңсіздіктері дұрыс па?
5 0 теңсіздігі «немесе» (дизъюнкция) логикалық жалғауы арқылы байланысқан екі қарапайым мәлімдемеден тұратын күрделі мәлімдеме. Немесе 5 > 0 немесе 5 = 0. Бірінші мәлімдеме 5 > 0 ақиқат, екінші 5 = 0 мәлімдемесі жалған. Дизъюнкцияның анықтамасы бойынша мұндай күрделі тұжырым ақиқат болып табылады.
00 жазбасы да осылай талқыланады.
Пішіннің теңсіздіктері a > b, a< b біз оларды қатаң және формадағы теңсіздіктер деп атаймыз аб, аб- қатаң емес.
Теңсіздіктер a > bЖәне c > d(немесе А< b Және бірге< d ) бірдей мағынадағы теңсіздіктер, теңсіздіктер деп аталатын болады a > bЖәне в< d - қарама-қарсы мағынадағы теңсіздіктер. Назар аударыңыз, бұл екі термин (бір және қарама-қарсы мағынадағы теңсіздіктер) осы теңсіздіктермен көрсетілген фактілердің өзіне емес, тек теңсіздіктерді жазу формасына қатысты. Сонымен, теңсіздікке қатысты А< b теңсіздік бірге< d бірдей мағыналы теңсіздік болып табылады және белгілеуде d>c(бір мағынаны білдіреді) – қарама-қарсы мағынадағы теңсіздік.
Пішіннің теңсіздіктерімен қатар a>b, абқосарланған теңсіздіктер, яғни форма теңсіздіктері қолданылады А< с < b
, ак< b
, а< cb
,
аcb. Анықтама бойынша, рекорд
А< с < b
(1)
екі теңсіздік те орындалады дегенді білдіреді:
А< с Және бірге< b.
Теңсіздіктер ұқсас мағынаға ие acb, ac< b, а < сb.
Қос теңсіздікті (1) былай жазуға болады:
(а< c < b) [(a < c) & (c < b)]
және қос теңсіздік a ≤ c ≤ bкелесі формада жазуға болады:
(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]
Енді осы мақалада әріптер болатынына келісе отырып, теңсіздіктерге әрекет етудің негізгі қасиеттері мен ережелерін көрсетуге көшейік. a, b, cбелгілеу нақты сандар, А nнатурал санды білдіреді.
1) Егер a > b және b > c болса, онда a > c (өтпелілік).
Дәлелдеу.
Шарт бойынша a > bЖәне b > c, содан кейін сандар а - бЖәне б - боң, демек сан a - c = (a - b) + (b - c), оң сандардың қосындысы ретінде де оң болады. Бұл анықтама бойынша, бұл дегенді білдіреді a > c.
2) Егер a > b болса, онда кез келген с үшін a + c > b + c теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеу.
Өйткені a > b, содан кейін нөмір а - боң. Сондықтан, сан (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bда оң, яғни.
a + c > b + c.
3) a + b > c болса, a > b - c,яғни бұл мүшенің таңбасын қарама-қарсысына өзгерту арқылы кез келген мүше теңсіздіктің бір бөлігінен екінші бөлігіне ауыса алады.
Дәлелдеу қасиетінен шығады 2) теңсіздіктің екі жағына да жеткілікті a + b > cнөмірді қосыңыз - б.
4) a > b және c > d болса, онда a + c > b + d,яғни бір мағыналы екі теңсіздікті қосқанда бір мағыналы теңсіздік шығады.
Дәлелдеу.
Теңсіздік анықтамасының күші бойынша айырмашылықты көрсету жеткілікті
(a + c) - (b + c)оң. Бұл айырмашылықты келесідей жазуға болады:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Өйткені санның шарты бойынша а - бЖәне с - гонда оң (a + c) - (b + d)оң сан да бар.
Салдары. 2) және 4) ережелерден ол туындайды келесі ережетеңсіздіктерді алу: егер a > b, c > d, Бұл a - d > b - c(дәлелдеу үшін теңсіздіктің екі жағын да қолдану жеткілікті a + c > b + dнөмірді қосыңыз - c - d).
5) Егер a > b болса, онда с > 0 үшін ac > bc, ал с үшін болады< 0 имеем ас < bc.
Басқаша айтқанда, теңсіздіктің екі жағын да, оң санды да көбейткенде, теңсіздік белгісі сақталады (яғни мағынасы бірдей теңсіздік алынады), бірақ көбейткенде теріс сантеңсіздік белгісі керісінше өзгереді (яғни, қарама-қарсы мағынадағы теңсіздік алынады.
Дәлелдеу.
Егер a > b, Бұл а - боң сан болып табылады. Демек, айырмашылықтың белгісі ac-bc = такси)санның таңбасы сәйкес келеді бірге: Егер біргеоң сан болса, онда айырмашылық AC - б.з.боң, сондықтан ac > bc, ал егер бірге< 0 , онда бұл айырмашылық теріс және демек б.з.боң, яғни. bc > ac.
6) Егер a > b > 0 және c > d > 0 болса, онда ac > bd,яғни бір мағыналы екі теңсіздіктің барлық мүшелері оң болса, онда бұл теңсіздіктерді мүшеге көбейткенде бірдей мағыналы теңсіздік шығады.
Дәлелдеу.
Бізде бар ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Өйткені c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, содан кейін ac - bd > 0, яғни ac > bd.
Түсініктеме.Дәлелден шарт екені анық d > 0меншікті тұжырымдау кезінде 6) маңызды емес: бұл қасиет жарамды болуы үшін шарттарды орындау жеткілікті. a > b > 0, c > d, c > 0. Егер (теңсіздіктер орындалса a > b, c > d) сандар a, b, cбәрі оң болмайды, онда теңсіздік ac > bdорындалмауы мүмкін. Мысалы, қашан А = 2, б =1, в= -2, г= -3 бізде бар a > b, c > г, бірақ теңсіздік ac > bd(яғни -4 > -3) сәтсіз аяқталды. Осылайша, 6) қасиетін тұжырымдауда a, b, c сандарының оң болуы талабы өте маңызды.
7) Егер a ≥ b > 0 және c > d > 0 болса, онда (теңсіздіктерді бөлу).
Дәлелдеу.
Бізде бар 
Оң жақтағы бөлшектің алымы оң (5, 6) қасиеттерін қараңыз), бөлімі де оң. Демек,. Бұл 7) сипатты дәлелдейді.
Түсініктеме.Маңызды жайтты атап өтейік жеке оқиға 7 ереже), a = b = 1 кезінде алынады: егер c > d > 0 болса, онда. Сонымен, егер теңсіздіктің мүшелері оң болса, онда кері мәндерге өткенде қарама-қарсы мағыналы теңсіздікті аламыз. Оқырмандарға осы ереженің 7-де орындалатынын тексеруге шақырамыз) Егер ab > 0 және c > d > 0 болса, онда (теңсіздіктерді бөлу).
Дәлелдеу. Бұл.
Белгі арқылы жазылған теңсіздіктердің бірнеше қасиеттерін жоғарыда дәлелдедік > (Көбірек). Дегенмен, бұл қасиеттердің барлығын белгі арқылы тұжырымдауға болады < (кем), өйткені теңсіздік б< а анықтамасы бойынша теңсіздікпен бірдей дегенді білдіреді a > b. Сонымен қатар, тексеру оңай болғандықтан, жоғарыда дәлелденген қасиеттер қатаң емес теңсіздіктер үшін де сақталады. Мысалы, 1) қатаң емес теңсіздіктер үшін қасиет болады келесі көрініс: Егер аб және б.з.б, Бұл ак.
Әрине, жоғарыда айтылғандар теңсіздіктердің жалпы қасиеттерін шектемейді. Сондай-ақ бар тұтас сызықдәрежесін қарастыруға байланысты жалпы теңсіздіктер, көрсеткіштік, логарифмдік және тригонометриялық функциялар. Мұндай теңсіздіктерді жазудың жалпы тәсілі келесідей. Егер қандай да бір функция y = f(x)сегментте монотонды түрде артады [a, b], онда x 1 > x 2 үшін (мұндағы x 1 және x 2 осы кесіндіге жатады) бізде f болады (x 1) > f(x 2). Сол сияқты, егер функция y = f(x)аралықта монотонды түрде төмендейді [a, b], содан кейін қашан x 1 > x 2 (қайда x 1Және X 2 осы сегментке жатады) бізде бар f(x 1)< f(x 2 ). Әрине, айтылғандардың монотондылық анықтамасынан айырмашылығы жоқ, бірақ бұл әдіс теңсіздіктерді есте сақтау және жазу үшін өте ыңғайлы.
Мысалы, кез келген натурал n саны үшін функция y = xnсәуле бойымен монотонды өсуде ; өңдеген С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. – М.: Білім, 2008. – 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Жүктелуде...
