Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.
Жеке ақпаратты жинау және пайдалану
Жеке ақпарат сәйкестендіру үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады белгілі бір адамнемесе онымен байланыс.
Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.
Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.
Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:
- Сайтқа өтінім берген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, мекен-жайыңызды жинай аламыз Электрондық поштажәне т.б.
Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:
- Біз жинаған Жеке ақпаратсізбен байланысуға және сізге хабарлауға мүмкіндік береді бірегей ұсыныстар, акциялар және басқа оқиғалар және алдағы оқиғалар.
- Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
- Біз жеке ақпаратты аудит, деректерді талдау және сияқты ішкі мақсаттар үшін де пайдалана аламыз әртүрлі зерттеулербіз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін.
- Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.
Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу
Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.
Ерекшеліктер:
- Қажет болған жағдайда – заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізу және/немесе қоғамдық өтініштер немесе өтініштер негізінде мемлекеттік органдарРесей Федерациясының аумағында - жеке ақпаратыңызды ашыңыз. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
- Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.
Жеке ақпаратты қорғау
Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.
Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу
Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.
Кейбір мектеп оқушылары түбір белгісі бар теңдеулер мен есептерді ұнатпайды. Бірақ түбірден мысалды шешу соншалықты қиын емес, мәселеге қай жағынан келу керектігін білу маңызды. Түбірдің алынуын көрсететін белгішенің өзі радикал деп аталады. Түбірлерді қалай шешуге болады? Санның квадрат түбірін шығару дегеніміз, квадратты алған кезде түбегейлі таңбаның астында бірдей мән беретін санды таңдау.
Сонымен, квадрат түбірлерді қалай шешуге болады
Шешіңіз шаршы түбірлерқиын емес. Мысалы, 16 санының түбірі не екенін анықтау керек.Осы қарапайым мысалды шешу үшін 2 квадратының қанша екенін есте сақтау керек – 2 2, содан кейін 3 2, ең соңында 4 2. Енді ғана нәтиже (16) сұранысқа сәйкес келетінін көреміз. Яғни, түбірді алу үшін іріктеу керек болды мүмкін мәндер. Түбірлерді шешудің нақты және дәлелденген алгоритмі жоқ екені белгілі болды. «Шешушінің» жұмысын жеңілдету үшін математиктер жиырмаға дейінгі сандар квадраттарының мәндерін есте сақтауды ұсынады (дәл есте сақтау, көбейту кестесі сияқты). Сонда жүзден асатын сандардың түбірін оңай шығарып алуға болады. Ал, керісінше, бұл саннан түбірді шығаруға болмайтынын бірден көруге болады, яғни жауап бүтін сан болмайды.
Біз квадрат түбірлерді шешу жолын анықтадық. Енді қай квадрат түбірлердің шешімі жоқ екенін анықтайық. Мысалы, теріс сандар. Бұл жерде екі екені анық теріс сандаркөбейту - жауап қосу белгісімен болады. Мынаны білу керек: Түбір кез келген саннан алынуы мүмкін (жоғарыда айтылғандай теріс қоспағанда). Жауап жай ондық бөлшек болуы мүмкін. Яғни, ондық үтірден кейін белгілі бір сандар санын қамтиды. Мысалы, екі түбірінде 1,41421 мәні бар және бұл ондық бөлшектен кейінгі барлық сандар емес. Мұндай мәндер есептеулерді жеңілдету үшін, кейде екінші ондық белгіге, кейде үшінші немесе төртіншіге дейін дөңгелектенеді. Сонымен қатар, жақсы және жинақы болып көрінсе, жауап ретінде түбірдің астына сан қалдыру жиі жаттығады. Өйткені, бұл нені білдіретіні түсінікті.
Түбірлері бар теңдеулерді қалай шешуге болады?
Түбірлері бар теңдеулерді шешу үшін біз ойлап таппаған әдістердің бірін қолдану керек. Мысалы, мұндай теңдеудің екі жағын да квадрат. Мысалы:
X+3=5 түбірі
Теңдеудің сол және оң жақтарын квадраттайық:
Енді сіз бұл теңдеуді шешу жолын көре аласыз. Алдымен, X 2 неге тең екенін анықтайық (және ол 16-ға тең), содан кейін оның түбірін алайық. Жауап: 4. Дегенмен, бұл жерде бұл теңдеудің шын мәнінде екі шешімі, екі түбірі бар екенін айта кеткен жөн: 4 және -4. Өйткені, -4 квадраты да 16 береді.
Бұл әдіске қосымша кейде бұл түбірден құтылу үшін түбірдің астындағы айнымалыны басқа айнымалымен алмастыру тартымдырақ және ыңғайлы.
Y = X түбірі.
Содан кейін теңдеуді шешіп, біз ауыстыруға ораламыз және есептеулерді түбірмен аяқтаймыз.
Яғни, біз X = Y 2 аламыз. Және бұл шешім болады.
Түбірлері бар теңдеулерді шешудің тағы бірнеше әдістері бар екенін айту керек.
Күштердегі түбірлерді қалай шешуге болады?
Негізінде дәрежесі жоқ радикал өрнектің немесе санның квадрат түбірін, яғни квадрат дәрежесін кері алу керек дегенді білдіреді. Бұл қарапайым және түсінікті. Мысалы: 9 түбірі = 3, (және 3 2 = 9), 16 түбірі = 4 (4 2 = 16) және бәрі бірдей рухта. Бірақ түбірдің дәрежесі болса, бұл нені білдіреді? Бұл оны дәл осы күшке көтеруге қарсы әрекетті қайтадан орындау керек дегенді білдіреді. Мысалы, 27 санының текше түбірінің мәнін табу керек.
Ол үшін текшеленгенде 27 болатын санды таңдау керек. Бұл 3 (3*3*3=27).
27 санның 3 түбірі = 3
Ұқсас әрекеттерді, егер түбірдің дәрежесі 4, 5 болса, орындау қажет. Тек осы жағдайда ғана дәрежеге дейін көтерілетін санды таңдау керек. nтүбір астындағы мәнді береді n-ші дәреже.
Мұнда түбірлердің дәрежелері мен радикалды өрнектердің дәрежелерін азайтуға болатынын айту керек. Дегенмен, ережеге сәйкес. Түбір астындағы сан немесе айнымалы түбір дәрежесіне еселік дәрежеге ие болса, оларды азайтуға болады. Мысалы:
X 6 санының 3 түбірі = X 2
Түбірлер мен қуаттармен жұмыс істеудің бұл ережелері қарапайым; сіз оларды анық білуіңіз керек, содан кейін есептеу оңай болады. Біз түбірлерді қандай дәрежеде шешуге болатынын анықтадық, енді біз жалғастырамыз.
Тамыр астындағы тамырды қалай шешуге болады?
Бұл қорқынышты өрнектің түбірі бар және бір қарағанда оны шешу мүмкін емес. Бірақ мұндай өрнектің мәнін дұрыс есептеу үшін түбірлердің қасиеттерін білу керек. Бұл жағдайда екі тамырды біреуімен ауыстыру жеткілікті. Ол үшін бұл радикалдардың дәрежелерін жай ғана көбейту керек. Мысалы:
729 түбірдің 3 түбірі = (түбір 3 * 2 түбір) 729
Яғни, мұнда текше түбірін квадрат түбірге көбейттік. Нәтижесінде біз алтыншы түбірді алдық:
729 санның 6 түбірі = 3
Түбір астындағы басқа ұқсас түбірлерді де дәл осылай шешу керек.
Барлық ұсынылған мысалдарды қарастыра отырып, түбірлерді шешу соншалықты қиын мәселе емес екеніне келісу оңай. Әрине, қарапайым, қарапайым арифметикаға келгенде, кейде таныс калькуляторды пайдалану оңайырақ. Дегенмен, есептеулерді жасамас бұрын, мүмкіндігінше арифметикалық есептеулердің санын және күрделілігін азайта отырып, өзіңіз үшін тапсырманы жеңілдету үшін барлық мүмкіндікті жасау керек. Сонда шешім қарапайым және, ең бастысы, қызықты болады.
Теңдіктер түсінігін, атап айтқанда олардың бір түрі – сандық теңдіктерді зерттегеннен кейін екіншісіне көшуге болады. маңызды көзқарас– теңдеулер. Осы материал аясында біз теңдеу деген не екенін және оның түбірін түсіндіреміз, негізгі анықтамаларын тұжырымдап, береміз. әртүрлі мысалдартеңдеулер және олардың түбірін табу.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Теңдеу туралы түсінік
Әдетте теңдеу ұғымы ең басында зерттеледі мектеп курсыалгебра. Содан кейін ол келесідей анықталады:
Анықтама 1
Теңдеутабу керек белгісіз саны бар теңдік деп аталады.
Белгісіздерді кіші деп белгілеу әдетке айналған латын әріптерімен, мысалы, t, r, m т.б., бірақ көбінесе x, y, z қолданылады. Басқаша айтқанда, теңдеу оның жазылу формасымен анықталады, яғни белгілі бір түрге келтірілгенде ғана теңдік теңдеу болады – оның құрамында әріп болуы керек, мәні табылуы керек.
Ең қарапайым теңдеулерге бірнеше мысал келтірейік. Бұл х = 5, у = 6 және т.б. түріндегі теңдіктер, сондай-ақ арифметикалық амалдарды қамтитын теңдіктер болуы мүмкін, мысалы, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.
Жақша ұғымын меңгергеннен кейін жақшасы бар теңдеулер туралы түсінік пайда болады. Оларға 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, т.б. кіреді. Табылуы керек әріп бір реттен көп, бірақ бірнеше рет пайда болуы мүмкін, мысалы: , мысалы, x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 теңдеуінде. Сондай-ақ белгісіздер сол жақта ғана емес, сонымен қатар оң жақта немесе екі бөлікте де бір уақытта орналасуы мүмкін, мысалы, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 немесе 8 x. − 9 = 2 (x + 17) .
Одан әрі оқушылар бүтін сандар ұғымымен танысқаннан кейін нақты, рационал, натурал сандар, сонымен қатар логарифмдер, түбірлер және дәрежелер, осы нысандардың барлығын қамтитын жаңа теңдеулер пайда болады. Біз мұндай өрнектердің мысалдарына жеке мақала арнадық.
7-сынып оқу бағдарламасында айнымалылар ұғымы алғаш рет пайда болды. Бұл қабылдауға болатын әріптер әртүрлі мағыналар(Қосымша ақпарат алу үшін сандық, әріптік және айнымалы өрнектер туралы мақаланы қараңыз). Осы тұжырымдамаға сүйене отырып, біз теңдеуді қайта анықтай аламыз:
Анықтама 2
теңдеумәнін есептеуді қажет ететін айнымалыны қамтитын теңдік.
Яғни, мысалы, x + 3 = 6 x + 7 өрнегі х айнымалысы бар теңдеу, ал 3 y − 1 + y = 0 - у айнымалысы бар теңдеу.
Бір теңдеудің бірнеше айнымалысы болуы мүмкін, бірақ екі немесе одан да көп. Олар сәйкесінше екі, үш айнымалысы бар теңдеулер деп аталады және т.б. Анықтамасын жазайық:
Анықтама 3
Екі (үш, төрт немесе одан да көп) айнымалысы бар теңдеулер белгісіздердің сәйкес санын қамтитын теңдеулер болып табылады.
Мысалы, 3, 7 · x + 0, 6 = 1 түріндегі теңдік бір х айнымалысы бар теңдеу, ал x − z = 5 екі x және z айнымалысы бар теңдеу. Үш айнымалысы бар теңдеудің мысалы ретінде x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 болады.
Теңдеудің түбірі
Теңдеу туралы айтқанда, оның түбірі ұғымын анықтау қажеттілігі бірден туындайды. Оның нені білдіретінін түсіндіруге тырысайық.
1-мысал
Бізге бір айнымалыны қамтитын белгілі бір теңдеу берілген. Белгісіз әріптің орнына санды қойсақ, теңдеу сандық теңдікке айналады - ақиқат немесе жалған. Сонымен, а + 1 = 5 теңдеуіндегі әріпті 2 санымен ауыстырсақ, онда теңдік жалған болады, ал 4 болса, онда дұрыс теңдік 4 + 1 = 5 болады.
Бізді дәл сол мәндер қызықтырады, олармен айнымалы шынайы теңдікке айналады. Олар тамырлар немесе ерітінділер деп аталады. Анықтамасын жазып алайық.
Анықтама 4
Теңдеудің түбіріОлар берілген теңдеуді шын теңдікке айналдыратын айнымалының мәнін атайды.
Түбірді шешім деп те атауға болады немесе керісінше – бұл екі ұғым да бір мағынаны білдіреді.
2-мысал
Бұл анықтаманы нақтылау үшін мысал келтірейік. Жоғарыда а + 1 = 5 теңдеуін бердік. Анықтамаға сәйкес, бұл жағдайда түбір 4 болады, өйткені әріптің орнына ол дұрыс сандық теңдік береді, ал екеуі шешім болмайды, өйткені ол дұрыс емес 2 + 1 = 5 теңдігіне сәйкес келеді.
Бір теңдеудің қанша түбірі болуы мүмкін? Әрбір теңдеудің түбірі бар ма? Осы сұрақтарға жауап берейік.
Бір түбірі жоқ теңдеулер де бар. Мысал 0 x = 5 болады. Біз оған әртүрлі сандардың шексіз санын ауыстыра аламыз, бірақ олардың ешқайсысы оны шынайы теңдікке айналдырмайды, өйткені 0-ге көбейту әрқашан 0 береді.
Бірнеше түбірі бар теңдеулер де бар. Олар ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін көп санытамырлар.
3-мысал
Сонымен, x − 2 = 4 теңдеуінде бір ғана түбір бар - алты, x 2 = 9-да екі түбір - үш және минус үш, х -де · (x - 1) · (x - 2) = 0 үш түбір - нөл, бір және екі, x=x теңдеуінде шексіз көп түбірлер бар.
Енді теңдеудің түбірлерін қалай дұрыс жазу керектігін түсіндірейік. Егер олар болмаса, онда біз: «теңдеудің түбірі жоқ» деп жазамыз. Бұл жағдайда бос жиынның ∅ белгісін де көрсетуге болады. Егер түбірлер болса, оларды үтірмен ажыратып жазамыз немесе бұйра жақшаға алып жиынның элементтері ретінде көрсетеміз. Сонымен, кез келген теңдеудің үш түбірі болса - 2, 1 және 5, онда біз - 2, 1, 5 немесе (- 2, 1, 5) деп жазамыз.
Түбірлерді жай теңдіктер түрінде жазуға рұқсат етіледі. Сонымен, теңдеудегі белгісіз у әрпімен белгіленсе, ал түбірлері 2 және 7 болса, онда у = 2 және у = 7 деп жазамыз. Кейде әріптерге жазылулар қосылады, мысалы, x 1 = 3, x 2 = 5. Осылайша біз түбірлердің сандарын көрсетеміз. Егер теңдеудің шешімдерінің шексіз саны болса, онда жауапты сандық интервал ретінде жазамыз немесе жалпы қабылданған белгілерді пайдаланамыз: натурал сандар жиыны N, бүтін сандар - Z, нақты сандар - R деп белгіленеді. Айталық, егер теңдеудің шешімі кез келген бүтін сан болатынын жазу керек болса, онда х ∈ Z деп жазамыз, ал біреуден тоғызға дейінгі кез келген нақты сан болса, онда у ∈ 1, 9.
Теңдеудің екі, үш немесе одан да көп түбірі болса, әдетте, біз түбірлер туралы емес, теңдеудің шешімдері туралы айтамыз. Бірнеше айнымалысы бар теңдеудің шешімінің анықтамасын тұжырымдап көрейік.
Анықтама 5
Екі, үш немесе одан да көп айнымалысы бар теңдеудің шешімі берілген теңдеуді дұрыс сандық теңдікке айналдыратын айнымалылардың екі, үш немесе одан да көп мәндері болып табылады.
Анықтаманы мысалдармен түсіндірейік.
4-мысал
Екі айнымалысы бар теңдеу болып табылатын x + y = 7 өрнегі бар делік. Біріншінің орнына біреуді, екіншісінің орнына екіні ауыстырайық. Біз дұрыс емес теңдік аламыз, яғни бұл мәндер жұбы шешім болмайды берілген теңдеу. Егер 3 және 4 жұбын алсақ, онда теңдік ақиқатқа айналады, бұл шешімді тапқанымызды білдіреді.
Сондай-ақ мұндай теңдеулердің түбірлері болмауы немесе олардың шексіз саны болуы мүмкін. Егер екі, үш, төрт немесе одан да көп мәндерді жазу керек болса, онда оларды үтір арқылы жақшаға бөліп жазамыз. Яғни, жоғарыдағы мысалда жауап (3, 4) сияқты болады.
Тәжірибеде көбіне бір айнымалысы бар теңдеулермен айналысуға тура келеді. Оларды шешу алгоритмін теңдеулерді шешуге арналған мақалада егжей-тегжейлі қарастырамыз.
Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз
Алгебраны оқу барысында мектеп оқушылары теңдеулердің көптеген түрлерімен кездеседі. Қарапайымдардың ішінде бір белгісізі бар сызықтылар бар. Егер математикалық өрнектегі айнымалы белгілі дәрежеге көтерілсе, онда теңдеу квадраттық, кубтық, биквадраттық және т.б. Бұл өрнектерде рационал сандар болуы мүмкін. Бірақ иррационал теңдеулер де бар. Олар басқалардан белгісізі радикалды таңбаның астында болатын функцияның болуымен ерекшеленеді (яғни таза сыртқы, мұндағы айнымалы квадрат түбір астында жазылғанын көруге болады). Иррационал теңдеулерді шешудің өзіндік ерекшеліктері бар сипаттамалары. Дұрыс жауапты алу үшін айнымалының мәнін есептеу кезінде оларды ескеру қажет.
«Сөзбен айтып жеткізу мүмкін емес»
Ежелгі математиктер негізінен жұмыс істегені жасырын емес рационал сандар. Оларға, белгілі болғандай, жай және ондық периодты бөлшектер арқылы өрнектелетін бүтін сандар, берілген қауымдастықтың өкілдері жатады. Дегенмен, тригонометрияны, астрономияны және алгебраны дамыта отырып, Таяу және Таяу Шығыстың, Үндістанның ғалымдары да иррационал теңдеулерді шешуді үйренді. Мысалы, гректер осыған ұқсас шамаларды білген, бірақ оларды сөздік формаға келтіре отырып, олар «түсіндірілмейтін» дегенді білдіретін «alogos» ұғымын қолданды. Біраз уақыттан кейін еуропалықтар оларға еліктеп, мұндай сандарды «саңыраулар» деп атады. Олардың барлық басқаларынан айырмашылығы олар тек шексіз периодты емес бөлшек түрінде ұсынылуы мүмкін, оның соңғы сандық өрнегін алу жай ғана мүмкін емес. Сондықтан, көбінесе, сандар патшалығының мұндай өкілдері екінші немесе жоғары дәрежелі түбірдің астында орналасқан кейбір өрнек ретінде сандар мен белгілер түрінде жазылады.
Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, иррационал теңдеуді анықтауға тырысайық. Мұндай өрнектерде квадрат түбір белгісі арқылы жазылған «көрсетілмейтін сандар» бар. Олар өте күрделі нұсқалардың барлық түрлерін көрсете алады, бірақ олардың ішінде оның ең қарапайым түріндеОлар төмендегі фотоға ұқсайды.
Иррационал теңдеулерді шешуді бастаған кезде, ең алдымен, айнымалының рұқсат етілген мәндерінің диапазонын есептеу керек.
Өрнек мағынасы бар ма?
Алынған мәндерді тексеру қажеттілігі қасиеттерден туындайды.Белгілі болғандай, мұндай өрнек қолайлы және белгілі бір жағдайларда ғана кез келген мағынаға ие. Түбірлері жұп дәрежелі жағдайларда барлық радикалды өрнектер оң немесе нөлге тең болуы керек. Егер бұл шарт орындалмаса, онда берілген математикалық белгіні мағыналы деп санауға болмайды.
Иррационал теңдеулерді шешудің нақты мысалын келтірейік (төмендегі сурет).
Бұл жағдайда көрсетілген шарттарды қалаған мәнмен қабылданған кез келген мәндер үшін қанағаттандыра алмайтыны анық, өйткені 11 ≤ x ≤ 4 болып шығады. Бұл тек Ø шешімі бола алатынын білдіреді.
Талдау әдісі
Жоғарыда айтылғандардан иррационал теңдеулердің кейбір түрлерін шешу жолы белгілі болады. Мұнда тиімді түрдеқарапайым талдау болуы мүмкін.
Мұны тағы да анық көрсететін бірнеше мысал келтірейік (төмендегі сурет).
Бірінші жағдайда, өрнекті мұқият зерттеген кезде, оның шындыққа сәйкес келмейтіні бірден анық болады. Шынында да, теңдіктің сол жағында біз алуымыз керек оң сан, ол -1-ге тең болуы мүмкін емес.
Екінші жағдайда екі оң өрнектің қосындысын бір уақытта x - 3 = 0 және x + 3 = 0 болғанда ғана нөлге тең деп санауға болады. Және бұл қайтадан мүмкін емес. Бұл жауапты қайтадан Ø деп жазу керек дегенді білдіреді.
Үшінші мысал бұрын талқыланғанға өте ұқсас. Шынында да, бұл жерде ODZ шарттары келесі абсурдтық теңсіздіктің орындалуын талап етеді: 5 ≤ x ≤ 2. Ал мұндай теңдеудің дәл сол сияқты мағыналы шешімдері болуы мүмкін емес.
Шексіз масштабтау
Иррационалдың табиғатын тек сандардың шексіз тізбегі арқылы ғана анық және толық түсіндіруге және білуге болады. ондық. Және нақты, жарқын үлгібұл отбасы мүшелерінің бірі πi. Бұл математикалық тұрақтының көне заманнан белгілі болғаны бекер емес, ол шеңбердің шеңбері мен ауданын есептеуде қолданылады. Бірақ еуропалықтар арасында оны алғаш рет ағылшын Уильям Джонс пен швейцариялық Леонард Эйлер тәжірибеге енгізді.
Бұл тұрақты келесідей туындайды. Егер біз әртүрлі шеңберлердің шеңберлерін салыстыратын болсақ, онда олардың ұзындықтары мен диаметрлерінің қатынасы міндетті түрде бірдей санға тең болады. Бұл пи. арқылы білдіретін болсақ жай бөлшек, содан кейін біз шамамен 22/7 аламыз. Мұны алғаш рет портреті жоғарыдағы суретте көрсетілген ұлы Архимед жасады. Сондықтан ұқсас санесімін алды. Бірақ бұл анық емес, ең ғажайып санның шамамен алынған мәні. Тамаша ғалым қажетті мәнді 0,02 дәлдікпен тапты, бірақ, шын мәнінде, бұл тұрақтының нақты мағынасы жоқ, бірақ 3,1415926535 түрінде көрсетіледі... Бұл қандай да бір мифтік мәнге шексіз жақындап келе жатқан шексіз сандар тізбегі.
Квадраттау
Бірақ иррационал теңдеулерге оралайық. Белгісізді табу үшін бұл жағдайда олар жиі жүгінеді қарапайым әдіс: бар теңдіктің екі жағын да квадрат. Бұл әдіс әдетте береді жақсы нәтижелер. Бірақ иррационалды шамалардың қулығын ескеру керек. Осының нәтижесінде алынған барлық тамырларды тексеру керек, себебі олар сәйкес келмеуі мүмкін.
Бірақ мысалдарды қарауды жалғастырайық және жаңадан ұсынылған әдіс арқылы айнымалыларды табуға тырысайық.
Виет теоремасын пайдалана отырып, белгілі бір операциялардың нәтижесінде біз қалыптастырғаннан кейін шамалардың қажетті мәндерін табу қиын емес. квадрат теңдеу. Мұнда түбірлердің арасында 2 және -19 болатыны белгілі болды. Дегенмен, тексеру кезінде алынған мәндерді бастапқы өрнекке ауыстырғанда, осы түбірлердің ешқайсысы сәйкес келмейтініне көз жеткізуге болады. Бұл иррационал теңдеулерде жиі кездесетін құбылыс. Бұл біздің дилемманың шешімі жоқ екенін білдіреді және жауап бос жиынды көрсетуі керек.
Неғұрлым күрделі мысалдар
Кейбір жағдайларда өрнектің екі жағын да бір емес, бірнеше рет шаршылау қажет. Бұл талап етілетін мысалдарды қарастырайық. Оларды төменде көруге болады.
Тамырларды алғаннан кейін оларды тексеруді ұмытпаңыз, өйткені қосымшалар пайда болуы мүмкін. Неліктен бұл мүмкін екенін түсіндіру керек. Бұл әдісті қолданғанда теңдеу біршама ұтымды болады. Бірақ арифметикалық амалдарды орындауға кедергі келтіретін бізге ұнамайтын түбірлерден арылу арқылы біз мағыналардың бар ауқымын кеңейтетін сияқтымыз, оның салдары көп (түсінуге болады). Осыны болжап, біз тексеру жүргіземіз. Бұл жағдайда түбірлердің біреуі ғана жарамды екеніне көз жеткізуге мүмкіндік бар: x = 0.
Жүйелер
Иррационал теңдеулер жүйесін шешу қажет болған және бізде бір емес, екі белгісіз болған жағдайда не істеу керек? Мұнда біз кәдімгі жағдайлардағыдай әрекет етеміз, бірақ осы математикалық өрнектердің жоғарыдағы қасиеттерін ескере отырып. Және әрбір жаңа тапсырмада, әрине, шығармашылық тәсілді қолдану керек. Бірақ, тағы да, бәрін ескерген дұрыс нақты мысалтөменде берілген. Мұнда x және y айнымалыларын тауып қана қоймай, жауапта олардың қосындысын көрсету керек. Сонымен, иррационал шамаларды қамтитын жүйе бар (төмендегі суретті қараңыз).
Көріп отырғаныңыздай, мұндай тапсырма табиғаттан тыс қиын ештеңені білдірмейді. Сізге тек ақылды болу керек және нені анықтау керек сол жақБірінші теңдеу – қосындының квадраты. Ұқсас тапсырмалар Бірыңғай мемлекеттік емтиханда кездеседі.
Математикадағы иррационалдық
Әр жолы, кейбір теңдеулерді шешу үшін «кеңістік» жеткіліксіз болған кезде адамзат арасында сандардың жаңа түрлерін жасау қажеттілігі туындады. Иррационал сандар да ерекшелік емес. Тарихтағы деректер куәландыратындай, ұлы данышпандар бұған біздің дәуірімізге дейін де, 7 ғасырда-ақ назар аударған. Мұны Манава деп аталатын Үндістаннан келген математик жасады. Ол кейбір натурал сандардан түбір алу мүмкін емес екенін анық түсінді. Мысалы, оларға 2 кіреді; 17 немесе 61, сондай-ақ көптеген басқалар.
Пифагоршылардың бірі, ойшыл Гиппас пентаграмманың қабырғаларының сандық өрнектері арқылы есептеулер жүргізуге тырысып, осындай қорытындыға келді. Көрсетуге болмайтын математикалық элементтерді ашу сандық мәндержәне қасиеттері жоқ қарапайым сандар, ол әріптестерінің ашуын келтіргені сонша, оны кеменің үстінен теңізге лақтырып жіберген. Өйткені, басқа пифагоршылар оның пікірін ғалам заңдарына қарсы көтеріліс деп санады.
Радикалдың белгісі: эволюция
«Саңырау» сандардың сандық мәнін өрнектейтін түбір белгісі иррационал теңсіздіктер мен теңдеулерді шешуде бірден қолданыла бастаған жоқ. Еуропалық, атап айтқанда итальяндық математиктер радикал туралы алғаш рет шамамен 13 ғасырда ойлана бастады. Сонымен бірге олар латын R әрпін белгілеу үшін қолдану идеясын ұсынды.Бірақ неміс математиктері өз жұмыстарында басқаша әрекет етті. Оларға V әрпі көбірек ұнады.Германияда V(2), V(3) белгілеу көп ұзамай тарады, ол 2, 3 және т.б. түбірлерді білдіруге арналған. Кейінірек голландтар араласып, радикалдың белгісін өзгертті. Ал Рене Декарт квадрат түбір белгісін қазіргі кемелдікке жеткізіп, эволюцияны аяқтады.
Рационалдылықтан арылу
Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктер тек квадрат түбір белгісінің астына емес айнымалыны қамтуы мүмкін. Ол кез келген дәрежеде болуы мүмкін. Одан құтылудың ең көп тараған жолы – теңдеудің екі жағын да тиісті қуатқа көтеру. Бұл иррационалды әрекеттерге көмектесетін негізгі әрекет. Жұп санды істердегі әрекеттер біз бұрын талқылаған әрекеттерден ерекшеленбейді. Бұл жерде радикалды өрнектің теріс еместігінің шарттарын ескеру керек және шешімнің соңында қарастырылған мысалдарда көрсетілгендей айнымалылардың сыртқы мәндерін сүзгілеу қажет. .
Дұрыс жауапты табуға көмектесетін қосымша түрлендірулердің ішінде өрнекті оның конъюгатына көбейту жиі қолданылады, сонымен қатар шешімді жеңілдететін жаңа айнымалы енгізу қажет. Кейбір жағдайларда белгісіздердің мәнін табу үшін графиктерді қолданған жөн.
Математикадағы әрбір жаңа әрекет бірден оның қарама-қарсылығын тудырады. Бір кездері ежелгі гректер ұзындығы 2 метр және ені 2 метр шаршы жердің ауданы 2 * 2 = 4 болатынын анықтады. шаршы метр(бұдан әрі m^2 деп белгіленеді). Енді, керісінше, егер грек өз жерінің төртбұрышты екенін және ауданы 4 м^2 екенін білсе, оның учаскесінің ұзындығы мен ені қандай екенін қайдан біледі? Квадраттау операциясына кері операция енгізілді және квадрат түбірді алу деп аталды. Адамдар 2 квадратының (2^2) 4-ке тең екенін түсіне бастады. Керісінше, 4-тің (бұдан әрі √(4)) квадрат түбірі екіге тең болады. Модельдер күрделене түсті, ал түбірлері бар процестерді сипаттайтын жазбалар да күрделене түсті. Түбірі бар теңдеуді қалай шешуге болады деген сұрақ талай рет туындады.
Белгілі бір x мәнін өзіне бір рет көбейткенде 9 берсін. Мұны x*x=9 түрінде жазуға болады. Немесе дәреже арқылы: x^2=9. Х-ті табу үшін 9-ның түбірін алу керек, ол белгілі бір дәрежеде радикалы бар теңдеу болып табылады: x=√(9) . Түбірді ауызша немесе калькулятор арқылы алуға болады. Әрі қарай біз кері есепті қарастыруымыз керек. Белгілі бір шама, одан квадрат түбір алынғанда, 7 мәнін береді. Бұны иррационал теңдеу түрінде жазсақ, мынаны аламыз: √(x) = 7. Бұл есепті шешу үшін квадратты алу керек. өрнектің екі жағы. √(x) *√(x) =x екенін ескерсек, х = 49 шығады. Түбір таза күйінде бірден дайын болады. Әрі қарай, түбірі бар теңдеулердің күрделі мысалдарын қарастыруымыз керек.
Белгілі бір шамадан 5-ті алып тастаймыз, содан кейін өрнекті 1/2 дәрежесіне көтерейік. Нәтижесінде 3 саны алынды.Енді бұл шартты теңдеу түрінде жазу керек: √(x-5) =3. Әрі қарай, теңдеудің әрбір бөлігін өзіне көбейту керек: x-5 = 3. Екінші дәрежеге көтергеннен кейін өрнек радикалдардан босатылды. Енді ең қарапайымды шешудің уақыты келді сызықтық теңдеу, бесті оң жаққа жылжыту және оның белгісін өзгерту. x = 5+3. x = 8. Өкінішке орай, барлық өмірлік процестерді мұндай қарапайым теңдеулермен сипаттауға болмайды. Көбінесе бірнеше радикалы бар өрнектерді табуға болады, кейде түбірдің дәрежесі екіншіден жоғары болуы мүмкін. Мұндай сәйкестіктерді шешудің жалғыз алгоритмі жоқ. Әрбір теңдеу үшін ерекше тәсілді іздеген жөн. Түбірі бар теңдеу үшінші дәрежелі болатын мысал келтірілген.
Текше түбірі 3√ арқылы белгіленеді. Қабырғасы 5 метр куб тәрізді пішінді ыдыстың көлемін табыңыз. Көлемі x m^3 болсын. Сонда көлемнің текше түбірі болады жағына теңтекше және бес метрге тең. Алынған теңдеу: 3√(x) =5. Оны шешу үшін екі бөлікті де үшінші дәрежеге көтеру керек, x = 125. Жауабы: 125 текше метр. Төменде түбірлердің қосындысы бар теңдеудің мысалы келтірілген. √(x) +√(x-1) =5. Алдымен екі бөлікті төртбұрыштап алу керек. Ол үшін қосындының квадраты үшін қысқартылған көбейту формуласын есте ұстаған жөн: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Мұны теңдеуге қолданатын болсақ, біз мынаны аламыз: x + 2*√(x) *√(x-1) + x-1 = 25. Әрі қарай, түбірлер сол жақта қалдырылады, ал қалғанының бәрі оңға ауыстырылады. : 2*√(x) *√ (x-1) = 26 - 2x. Өрнектің екі жағын 2-ге бөлу ыңғайлы: √((x) (x-1)) = 13 - x. Қарапайым иррационал теңдеу алынады.
Әрі қарай, екі жағын қайтадан квадраттау керек: x*(x-1) = 169 - 26x + x^2. Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді әкелу керек: x^2 - x = 169 - 26x + x^2. Екінші дәреже жоғалады, демек 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Тексеру, алынған түбірді бастапқы теңдеуге ауыстыру: √(6,6) +√(6,6-1) = 2,6 + √(5,6) = 2,6 + 2,4 = 5, қанағаттанарлық жауап алуға болады. Түбірі жұп дәрежелі өрнек теріс бола алмайтынын түсіну де өте маңызды. Шынында да, кез келген санды өзіне жұп рет көбейту, мәнді алу мүмкін емес нөлден аз. Сондықтан √(x^2+7x-11) = -3 сияқты теңдеулерді қауіпсіз шешуге болмайды, бірақ теңдеудің түбірі жоқ деп жазуға болады. Жоғарыда айтылғандай, радикалдармен теңдеулерді шешу әртүрлі формада болуы мүмкін.
Айнымалыларды өзгерту қажет болатын теңдеудің қарапайым мысалы. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, мұндағы 4√(y) y санының төртінші түбірі. Ұсынылған ауыстыру келесідей болады: x = 4√(y) . Осыны орындағаннан кейін мынаны аламыз: x^2 - 5x + 6 = 0. Алынған квадрат теңдеу алынады. Оның дискриминанты: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Бірінші түбір x1 тең болады (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Екінші түбір x2 = (5 - √1) / 2 = 4/ 2 = 2. Сондай-ақ Виет теоремасының нәтижесін пайдаланып түбірлерді табуға болады. Тамырлар табылды, кері ауыстыруды жүргізу керек. 4√(y) = 3, демек y1 = 1,6. Сондай-ақ 4√(y) = 2, 4-ші түбірді алғанда у2 = 1,9 болады. Калькулятор арқылы есептелген мәндер. Бірақ жауапты радикалдар түрінде қалдырып, оларды орындаудың қажеті жоқ.
Жүктелуде...
