Тік бұрышты үшбұрышты призма. Үшбұрышты призманың көлемі: жалпы типті формула және дұрыс призманың формуласы

Әртүрлі призмалар бір-бірінен ерекшеленеді. Сонымен бірге олардың ортақ тұстары да көп. Призманың табанының ауданын табу үшін оның қандай түрге ұқсайтынын анықтау керек.

Жалпы теория

Призма - қабырғалары параллелограмм тәрізді кез келген көпбұрыш. Оның үстіне кез келген полиэдр оның негізінде болуы мүмкін - үшбұрыштан n-бұрышқа дейін. Оның үстіне призманың табандары әрқашан бір-біріне тең. Бүйірлік беттерге не қолданылмайды - олар мөлшері бойынша айтарлықтай өзгеруі мүмкін.

Мәселелерді шешу кезінде тек призма табанының ауданы ғана емес. Бүйір бетін, яғни негіз болып табылмайтын барлық беттерді білу қажет болуы мүмкін. Толық бет қазірдің өзінде призманы құрайтын барлық беттердің бірігуі болады.

Кейде тапсырмаларда биіктіктер пайда болады. Ол негіздерге перпендикуляр. Көпбұрыштың диагоналы деп бір бетке жатпайтын кез келген екі төбені жұппен қосатын кесіндіні айтады.

Айта кету керек, түзу немесе көлбеу призманың табанының ауданы олардың және бүйір беттерінің арасындағы бұрышқа байланысты емес. Егер олардың жоғарғы және төменгі беттерінде бірдей фигуралар болса, онда олардың аудандары тең болады.

үшбұрышты призма

Оның негізінде үш төбесі бар фигура, яғни үшбұрыш бар. Әртүрлі болатыны белгілі. Егер онда оның ауданы аяқтың жарты өнімімен анықталатынын еске түсіру жеткілікті.

Математикалық белгілеу келесідей көрінеді: S = ½ av.

Негіздің ауданын жалпы түрде білу үшін формулалар пайдалы: Герон және оның жартысы оған тартылған биіктікке алынады.

Бірінші формула келесідей жазылуы керек: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Бұл жазбада жартылай периметр (p), яғни екіге бөлінген үш жақтың қосындысы бар.

Екінші: S = ½ n a * a.

Егер сіз үшбұрышты призманың табанының ауданын білгіңіз келсе, ол дұрыс болса, онда үшбұрыш тең ​​қабырғалы болып шығады. Оның өзіндік формуласы бар: S = ¼ a 2 * √3.

төртбұрышты призма

Оның негізі белгілі төртбұрыштардың кез келгені болып табылады. Ол тіктөртбұрыш немесе шаршы, параллелепипед немесе ромб болуы мүмкін. Әрбір жағдайда, призма табанының ауданын есептеу үшін сізге өзіңіздің формулаңыз қажет болады.

Егер табаны тіктөртбұрыш болса, онда оның ауданы былай анықталады: S = av, мұндағы a, b тіктөртбұрыштың қабырғалары.

Төртбұрышты призмаға келетін болсақ, тұрақты призманың базалық ауданы шаршы формуласы арқылы есептеледі. Өйткені іргеде жатқан сол. S \u003d a 2.

Негізі параллелепипед болған жағдайда келесі теңдік қажет болады: S \u003d a * n a. Параллелепипедтің қабырғасы мен бұрыштарының бірі берілген. Содан кейін биіктікті есептеу үшін сізге қосымша формуланы пайдалану қажет: na \u003d b * sin A. Сонымен қатар, А бұрышы «b» жағына іргелес, ал биіктік na осы бұрышқа қарама-қарсы.

Егер ромб призманың табанында жатса, оның ауданын анықтау үшін параллелограммдағы сияқты формула қажет болады (өйткені бұл оның ерекше жағдайы). Бірақ сіз мұны да пайдалана аласыз: S = ½ d 1 d 2. Мұндағы d 1 және d 2 - ромбтың екі диагоналы.

Тұрақты бесбұрышты призма

Бұл жағдай көпбұрышты үшбұрыштарға бөлуді қамтиды, олардың аудандарын табу оңайырақ. Фигуралар әртүрлі төбелер санымен болуы мүмкін болса да.

Призманың табаны дұрыс бесбұрыш болғандықтан, оны бес қабырғалы үшбұрышқа бөлуге болады. Сонда призма табанының ауданы беске көбейтілген осындай бір үшбұрыштың ауданына тең (формуланы жоғарыдан көруге болады).

Тұрақты алтыбұрышты призма

Бесбұрышты призма үшін сипатталған принцип бойынша негізі алтыбұрышты 6 тең бүйірлі үшбұрышқа бөлуге болады. Мұндай призманың табанының ауданының формуласы алдыңғыға ұқсас. Тек онда алтыға көбейту керек.

Формула келесідей болады: S = 3/2 және 2 * √3.

Тапсырмалар

№1.Дұрыс түзу берілген.Оның диагоналы 22см,көпбұрыштың биіктігі 14см.Призма табанының және бүкіл бетінің ауданын есептеңдер.

Шешім.Призманың табаны шаршы, бірақ оның қабырғасы белгісіз. Оның мәнін квадраттың диагоналынан (x) табуға болады, ол призманың диагоналіне (d) және оның биіктігіне (n) қатысты. x 2 \u003d d 2 - n 2. Екінші жағынан, бұл «x» кесіндісі катеттері шаршының қабырғасына тең болатын үшбұрыштағы гипотенузаны білдіреді. Яғни, x 2 \u003d a 2 + a 2. Осылайша, 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2 екені белгілі болды.

d санының орнына 22 санын қойып, «n» санын оның мәнімен ауыстырыңыз - 14, шаршының бүйір жағы 12 см болып шықты. Енді негізгі ауданды табу оңай: 12 * 12 \u003d 144 см 2 .

Бүкіл бетінің ауданын білу үшін негізгі ауданның екі есе мәнін қосып, жағын төрт есе көбейту керек. Соңғысын тіктөртбұрыштың формуласы арқылы табу оңай: көпбұрыштың биіктігін және негіздің жағын көбейтіңіз. Яғни, 14 және 12, бұл сан 168 см 2-ге тең болады. Призманың жалпы бетінің ауданы 960 см 2 екені анықталды.

Жауап.Призманың табанының ауданы 144 см2. Бүкіл беті - 960 см 2.

No 2. Дана табанында қабырғасы 6 см үшбұрыш жатыр.Бұл жағдайда бүйір бетінің диагоналы 10 см.Аудандарды есептеңдер: табан және бүйір беті.

Шешім.Призма дұрыс болғандықтан оның табаны тең бүйірлі үшбұрыш. Демек, оның ауданы 6 квадраттың ¼ және квадрат түбірі 3-ке тең болады. Қарапайым есептеу келесі нәтижеге әкеледі: 9√3 см 2. Бұл призманың бір табанының ауданы.

Барлық бүйір беттері бірдей және қабырғалары 6 және 10 см болатын тіктөртбұрыштар.Олардың аудандарын есептеу үшін осы сандарды көбейту жеткілікті. Содан кейін оларды үшке көбейтіңіз, өйткені призманың дәл сонша бүйір беттері бар. Содан кейін бүйір бетінің ауданы 180 см 2 жараланады.

Жауап.Аудандары: табаны – 9√3 см 2, призманың бүйір беті – 180 см 2.

Физикада ақ жарықтың спектрін зерттеу үшін шыныдан жасалған үшбұрышты призма жиі қолданылады, өйткені ол оны жеке құрамдас бөліктерге бөле алады. Бұл мақалада біз көлем формуласын қарастырамыз

Үшбұрышты призма дегеніміз не?

Көлем формуласын бермес бұрын осы фигураның қасиеттерін қарастырыңыз.

Мұны алу үшін ерікті пішіндегі үшбұрышты алып, оны белгілі бір қашықтыққа өзіне параллель жылжыту керек. Бастапқы және соңғы позициялардағы үшбұрыштың төбелері түзу кесінділер арқылы қосылуы керек. Алынған үш өлшемді фигураны үшбұрышты призма деп атайды. Оның бес жағы бар. Олардың екеуі негіздер деп аталады: олар параллель және бір-біріне тең. Қарастырылатын призманың табандары үшбұрыштар болып табылады. Қалған үш қабырғасы параллелограммдар.

Қарастырылып отырған призма жақтардан басқа алты төбемен (әрбір табан үшін үш) және тоғыз қырмен (6 қыры табандардың жазықтықтарында жатады және 3 шет жақтардың қиылысуынан пайда болады) сипатталады. Егер бүйірлік жиектер табандарына перпендикуляр болса, онда мұндай призманы тікбұрышты деп атайды.

Үшбұрышты призманың осы класстың барлық басқа фигураларынан айырмашылығы оның әрқашан дөңес болуы (төрт-, бес-, ..., n-бұрышты призмалар ойыс болуы мүмкін).

Бұл тікбұрышты фигура, оның негізінде тең қабырғалы үшбұрыш жатыр.

Жалпы типтегі үшбұрышты призманың көлемі

Үшбұрышты призманың көлемін қалай табуға болады? Жалпы алғанда формула кез келген түрдегі призмаға ұқсас. Оның келесі математикалық белгісі бар:

Мұнда h – фигураның биіктігі, яғни табандарының ара қашықтығы, S o – үшбұрыштың ауданы.

S o мәнін үшбұрыштың кейбір параметрлері белгілі болса табуға болады, мысалы, бір қабырғасы мен екі бұрышы немесе екі қабырғасы мен бір бұрышы. Үшбұрыштың ауданы оның биіктігі мен осы биіктік түсірілген жақтың ұзындығының көбейтіндісінің жартысына тең.

Фигураның h биіктігіне келетін болсақ, оны тік бұрышты призма үшін табу оңай. Соңғы жағдайда h бүйірлік жиектің ұзындығына сәйкес келеді.

Дұрыс үшбұрышты призманың көлемі

Мақаланың алдыңғы бөлімінде берілген үшбұрышты призманың көлемінің жалпы формуласы дұрыс үшбұрышты призманың сәйкес мәнін есептеу үшін пайдаланылуы мүмкін. Оның табаны тең бүйірлі үшбұрыш болғандықтан ауданы:

Тең бүйірлі үшбұрышта барлық бұрыштар бір-біріне тең және 60 o құрайтынын есте сақтаса, бұл формуланы әркім ала алады. Мұндағы а таңбасы үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы.

Биіктігі h - жиектің ұзындығы. Оның кәдімгі призманың негізіне ешқандай қатысы жоқ және ерікті мәндерді қабылдай алады. Нәтижесінде дұрыс пішіндегі үшбұрышты призманың көлемінің формуласы келесідей болады:

Түбірді есептеп, біз бұл формуланы келесідей қайта жаза аламыз:

Сонымен табаны үшбұрышты дұрыс призманың көлемін табу үшін табанының қабырғасын квадраттап, осы мәнді биіктікке көбейтіп, алынған мәнді 0,433-ке көбейту керек.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Тұрақты үшбұрышты ABCA_1B_1C_1 призмасында табанының қабырғалары 4 , ал бүйір қырлары 10 . AB, AC, A_1B_1 және A_1C_1 қырларының ортаңғы нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен призманың қима ауданын табыңыз.

Шешім

Келесі суретті қарастырыңыз.

MN сегменті - A_1B_1C_1 үшбұрышының орта сызығы, сондықтан MN = \frac12 B_1C_1=2.Сияқты, KL=\frac12BC=2.Сонымен қатар, MK = NL = 10. Бұл MNLK төртбұрышының параллелограмм екенін білдіреді. MK\параллель AA_1 болғандықтан, онда MK\perp ABC және MK\perp KL. Сондықтан MNLK төртбұрышы тіктөртбұрыш болып табылады. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

Жауап

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

ABCDA_1B_1C_1D_1 дұрыс төртбұрышты призманың көлемі 24 . K нүктесі - CC_1 жиегінің ортасы. KBCD пирамидасының көлемін табыңыз.

Шешім

Шарт бойынша KC – KBCD пирамидасының биіктігі. CC_1 - ABCDA_1B_1C_1D_1 призманың биіктігі.

K CC_1 ортасының нүктесі болғандықтан, онда KC=\frac12CC_1.Онда CC_1=H болсын KC=\frac12H. Мұны да ескеріңіз S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).Содан кейін, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).Демек, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Табан жағы 6, биіктігі 8 болатын дұрыс алтыбұрышты призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Шешім

Призманың бүйір бетінің ауданы S жағы формуласы бойынша табылады. = P негізгі. · h = 6a\cdot h, мұндағы P негізгі. және h сәйкесінше табанының периметрі мен призманың биіктігі 8-ге тең, ал a дұрыс алтыбұрыштың қабырғасы 6-ға тең. Сондықтан S жағы. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Су кәдімгі үшбұрышты призма тәрізді ыдысқа құйылады. Судың деңгейі 40 см-ге жетеді.Егер оны түп жағы біріншіден екі есе үлкен басқа бір пішіндегі ыдысқа құйса, су деңгейі қандай биіктікте болады? Жауабыңызды сантиметрмен көрсетіңіз.

Шешім

Бірінші ыдыстың табанының бүйір жағы а, онда 2 а екінші ыдыс табанының жағы болсын. Шарты бойынша бірінші және екінші ыдыстағы V сұйықтығының көлемі бірдей. Екінші ыдыста сұйықтық көтерілген деңгейді H арқылы белгілеңіз. Содан кейін V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,және, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.Осы жерден \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Кәдімгі алтыбұрышты призмада ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 барлық шеттері 2 болады. A және E_1 нүктелерінің арасындағы қашықтықты табыңыз.

Шешім

AEE_1 үшбұрышы тік бұрышты, EE_1 шеті призма табанының жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, AEE_1 бұрышы тік бұрыш болады.

Сонда Пифагор теоремасы бойынша AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Косинус теоремасын пайдаланып AFE үшбұрышынан AE табыңыз. Дұрыс алтыбұрыштың әрбір ішкі бұрышы 120^(\circ). Содан кейін AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\сол (-\frac12 \оң).

Демек, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Табаны диагональдары ромб болып табылатын түзу призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз. 4\sqrt5және 8 және бүйір жиегі 5-ке тең.

Шешім

Түзу призманың бүйір бетінің ауданы S жағы формуласы бойынша табылады. = P негізгі. · h = 4a\cdot h, мұндағы P негізгі. және h сәйкесінше табанының периметрі мен призманың биіктігі 5-ке тең, ал а - ромбтың қабырғасы. ABCD ромбының диагональдары өзара перпендикуляр және қиылысу нүктесі екіге бөлінгенін пайдаланып, ромбтың қабырғасын табайық.

Математикадан емтиханға дайындалып жатқан мектеп оқушылары түзу және дұрыс призманың ауданын табуға есептер шығаруды міндетті түрде үйренуі керек. Көптеген студенттер геометриядағы мұндай тапсырмаларды өте қиын деп санайтынын көп жылдық тәжірибе растайды.

Сонымен қатар кез келген дайындық деңгейіндегі жоғары сынып оқушылары дұрыс және тура призманың ауданы мен көлемін таба білуі керек. Тек осы жағдайда ғана олар емтиханды тапсыру нәтижелері бойынша конкурстық ұпайларды алуға сене алады.

Есте сақтау керек негізгі нүктелер

• Призманың бүйір қырлары табанына перпендикуляр болса, оны түзу деп атайды. Бұл фигураның барлық бүйір беттері тіктөртбұрыштар. Түзу призманың биіктігі оның жиегімен сәйкес келеді.
• Дұрыс көпбұрышты бүйір қырлары табанына перпендикуляр болатын дұрыс призма. Бұл фигураның бүйір беттері тең тіктөртбұрыштар. Дұрыс призма әрқашан түзу болады.

Школковомен бірге бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалу - сіздің табысыңыздың кепілі!

Сабақтарды мүмкіндігінше жеңіл және тиімді ету үшін біздің математикалық порталды таңдаңыз. Мұнда сіз сертификаттау сынағына дайындалуға көмектесетін барлық қажетті материалдарды таба аласыз.

«Школково» білім беру жобасының мамандары қарапайымнан күрделіге өтуді ұсынады: алдымен біз теорияны, негізгі формулаларды, теоремаларды және шешу жолдары бар элементар есептерді береміз, содан кейін біртіндеп сарапшылық деңгейдегі тапсырмаларға көшеміз.

Негізгі мәліметтер жүйеленген және «Теориялық анықтамалық» бөлімінде нақты берілген. Қажетті материалды қайталап үлгерсеңіз, түзу призманың ауданы мен көлемін табуға есептер шығаруға жаттығуды ұсынамыз. Каталог бөлімінде әртүрлі қиындық дәрежесіндегі жаттығулардың үлкен таңдауы берілген.

Түзу және дұрыс призманың ауданын немесе дәл қазір есептеп көріңіз. Кез келген тапсырманы бөлшектеңіз. Егер бұл қиындық тудырмаса, сіз сарапшы деңгейіндегі жаттығуларға қауіпсіз өтуге болады. Егер белгілі бір қиындықтар әлі де болса, Школково математикалық порталымен бірге емтиханға үнемі онлайн дайындалуды ұсынамыз, ал «Тікелей және тұрақты призма» тақырыбы бойынша тапсырмалар сізге оңай болады.