Сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулердің мысалдары. Дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық және сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер

Кітап сызықты емес дифференциалдық теңдеулердің аналитикалық теориясына кіріспе болып табылады және сызықты емес математикалық модельдер мен динамикалық жүйелерді олардың нақты шешімі (интегралдық) үшін талдауға арналған.
Сызықты емес математикалық модельдерге, солитондар теориясына, сызықты емес дифференциалдық теңдеулердің нақты шешімдерін құру әдістеріне, Пейнлеве теңдеулерінің теориясына және олардың жоғары аналогтарына қызығушылық танытатын магистранттарға, аспиранттарға және зерттеушілерге арналған.

Су толқындарын сипаттауға арналған Кортевег-де Вриз теңдеуі.
Су бетіндегі толқындардың таралу құбылысы бұрыннан зерттеушілердің назарын аударған. Бұл әркім бала кезінде бақылай алатын және әдетте мектептегі физика курсының бөлігі ретінде көрсетілетін толқындардың мысалы. Дегенмен, бұл толқынның өте күрделі түрі. Ричард Фейнман айтқандай, «толқындарды көрсету үшін бұдан да өкінішті мысалды ойлау қиын, өйткені бұл толқындар дыбысқа немесе жарыққа мүлдем ұқсамайды; толқындарда болуы мүмкін барлық қиындықтар осында жиналды ».

Егер суға толы бассейнді қарастырсақ және оның бетінде біраз бұзылулар тудыратын болсақ, онда толқындар судың бетімен тарай бастайды. Олардың пайда болуы депрессияға жақын орналасқан сұйық бөлшектердің ауырлық күшінің әсерінен депрессияны толтыруға бейім болатындығымен түсіндіріледі. Уақыт өте келе бұл құбылыстың дамуы судағы толқындардың таралуына әкеледі. Мұндай толқындағы сұйық бөлшектер жоғары және төмен қозғалмайды, шамамен шеңбер бойымен қозғалады, сондықтан судағы толқындар бойлық та, көлденең де емес. Олар екеуінің қоспасы сияқты. Тереңдікпен сұйықтық бөлшектері қозғалатын шеңберлердің радиустары нөлге тең болғанша азаяды.

Толқынның судағы таралу жылдамдығын талдасақ, ол оның амплитудасына тәуелді болады. Ұзын толқындардың жылдамдығы ауырлық күшінің үдеуінің квадрат түбірін толқын амплитудасы мен бассейннің тереңдігінің қосындысына көбейтіндісіне пропорционал. Мұндай толқындардың себебі – тартылыс күші.

МАЗМҰНЫ
Алғы сөз 9
1-тарау. СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕР 13
1.1 Су толқындарын сипаттауға арналған Кортевег-де Вриз теңдеуі 13
1.2 Кортевег-де Вриз 23 теңдеуінің қарапайым шешімдері
1.3 Бірдей массалар тізбегіндегі бұзылуларды сипаттайтын модель 26
1.4 Түрлендірілген Кортевег – де Вриз теңдеуінің қарапайым шешімдері 32
1.5 Толқындардың фазалық және топтық жылдамдықтары 35
1.6 Толқындық пакет конверті үшін сызықты емес Шредингер теңдеуі 39
1.7 Шредингердің сызықты емес теңдеуі және топтық солитонмен сипатталған жалғыз толқындар 42
1.8 Қатты денедегі дислокацияларды сипаттауға арналған Син-Гордон теңдеуі 44
1.9 Синус-Гордон теңдеуінің және топологиялық солитонның қарапайым шешімдері 48
1.10 Сызықты емес тасымалдау теңдеуі және Бургерс теңдеуі 51
1.11 Henon-Heiles моделі 57
1.12 Лоренц жүйесі 60
1.13 1-тарауға есептер мен жаттығулар 68
2-тарау. ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕЛЕРДІҢ АНАЛИТИКАЛЫҚ ҚАСИЕТТЕРІ 71
2.1 Күрделі айнымалы функциялардың дара нүктелерінің классификациясы 71
2.2 Тұрақты және жылжымалы ерекше нүктелер 74
2.3 Критикалық қозғалыстағы ерекше нүктелері бар шешімі жоқ теңдеулер 76
2.4 Ковалевскаяның басты мәселесі 82
2.5 Пейнлеве қасиеті мен Пейнлев 85 теңдеуінің анықтамасы
2.6 Жартылай өткізгіш диодтағы электр өрісін сипаттауға арналған екінші Пейнлеве теңдеуі 87
2.7 Ковалевскаяның дифференциалдық теңдеулерді талдау алгоритмі 91
2.8 Пейнлеве типті теңдеулерінің шешімдерінің жергілікті репрезентациялары 96
2.9 Дифференциалдық теңдеулерді талдауға арналған Пейнлеве әдісі 100
2.10 Бірінші Пейнлеве 106 теңдеуіне шешімдердің трансцендентальды тәуелділігі
2.11 Пейнлеве теңдеулерінің азайтылмайтындығы 111
2.12 Екінші Пейнлев 113 теңдеуінің шешімдері үшін Бэклунд түрлендірулері
2.13 Екінші Пейнлев 114 теңдеуінің рационал және арнайы шешімдері
2.14 Дискретті Пейнлеве теңдеулері 116
2.15 Бірінші және екінші Пейнлеве теңдеулерінің асимптотикалық шешімдері 118
2.16 Пейнлеве теңдеулерінің сызықтық кескіндері 120
2.17 Comte - Fordy - Painlevé қасиеті үшін теңдеулерді тексеруге арналған Пикеринг алгоритмі 122
2.18 Пейнлевтің дірілдеу әдісі бойынша теңдеулерді талдау мысалдары 125
2.19 Хенон-Хейлес 128 теңдеулер жүйесіне арналған Пейнлеве сынағы
2.20 Лоренц жүйесінің дәл шешілетін жағдайлары 131
2.21 2-тарауға есептер мен жаттығулар 135
3-тарау. СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС ТУЫНДЫ ТЕҢДЕЛЕРДІҢ ҚАСИЕТТЕРІ 138
3.1 Біріктірілген жүйелер 138
3.2 Бургерс 141 теңдеуі үшін Коул – Хопф түрлендіруі
3.3 Корте-вега – де Вриз 144 теңдеуі үшін Миура түрлендіруі және Лакс жұбы
3.4 Кортевег-де-Вриз 146 теңдеуі үшін сақталу заңдары
3.5 Бэклунд карталары мен түрлендірулері 149
3.6 Sin-Gordon теңдеуі 151 үшін Бэклунд түрлендірулері
3.7 Кортевег-де Вриз 153 теңдеуі үшін Бэклунд түрлендірулері
3.8 Кортевег-де Вриз теңдеулерінің отбасы 155
3.9 AKNS 157 теңдеулер тобы
3.10 Абловиц-Рамани-Сигур сынағы 160 сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулер үшін
3.11 Сызықты емес теңдеулерді талдауға арналған Вайсс-Табор-Карневале әдісі 163
3.12 VTK 165 әдісі арқылы Бургер теңдеуінің Пейнлеве талдауы
3.13 Кортевег – де Вриз 168 теңдеуін талдау
3.14 VTC 169 әдісімен Кортевег – де Вриз теңдеуі үшін Лакс жұбын құру
3.15 Өзгертілген Кортевег – де Вриз 171 теңдеуін талдау
3.16 Сызықты емес теңдеулердің шешімдерін бейнелеу ретінде қысқартылған кеңейтулер 172
3.17 Инвариантты Painlevé талдауы 174
3.18 Лакс жұптарын табу үшін инвариантты Пейнлеве талдауын қолдану 176
3.19 Негізгі дәл шешілетін сызықтық емес теңдеулер арасындағы байланыс 179
3.20 Бургерлер отбасы теңдеулері 187
3.21 3-тарауға есептер мен жаттығулар 189
4-тарау. СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕЛЕРДІҢ НАҚТЫ ШЕШІМДЕРІ 193
4.1 Интегралданбайтын теңдеулердің ішінара шешімдерін құру үшін қысқартылған кеңейтулерді қолдану 193
4.2 Бургерс-Хаксли 197 теңдеуінің нақты шешімдері
4.3 Бургерлер – Кортевег – де Вриз теңдеуінің жартылай шешімдері 205
4.4 Курамото-Сивашинский 208 теңдеуімен сипатталған жалғыз толқындар
4.5 Курамото-Сивашинский 215 теңдеуімен сипатталған кноидальды толқындар
4.6 Қарапайым бесінші ретті сызықты емес толқындық теңдеудің жеке шешімдері 217
4.7 Су толқындарын сипаттайтын бесінші ретті сызықты емес теңдеудің нақты шешімдері 220
4.8 Жылжымалы толқын айнымалыларындағы бесінші ретті Кортевег-де Вриз теңдеуінің шешімдері 230
4.9 Хенон – Хейлес моделінің 235 нақты шешімдері
4.10 Кейбір дәл шешілетін сызықтық емес теңдеулердің рационал шешімдерін табу әдісі 237
4.11 4-тарауға есептер мен жаттығулар 241
5-тарау. ПАЙНЛЕВ ТЕҢДЕЛЕРІНІҢ ЖОҒАРЫ АНОЛОГТАРЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ 244
5.1 Пейнлев 244 қасиеті үшін төртінші ретті теңдеулерді талдау
5.2 Painlevé сынағы 251 тапсыратын төртінші ретті теңдеулер
5.3 Сызықты емес төртінші ретті теңдеулер арқылы анықталатын трансценденттер 253
5.4 Төртінші ретті теңдеулердің шешімдерінің локальді кескіндері 258
5.5 Төртінші ретті трансценденттік теңдеулердің асимптотикалық қасиеттері 264
5.6 Трансценденттік түрдегі шешімдері бар теңдеулер тобы 266
5.7 Төртінші ретті теңдеулер үшін лакс жұптары 271
5.8 Пейнлеве теңдеулерін жалпылау 277
5.9 Пейнлеве теңдеулерінің жоғары аналогтары үшін Бэклунд түрлендірулері 284
5.10 Пейнлеве теңдеулерінің жоғары аналогтарының рационалды және арнайы шешімдері 291
5.11 Пейнлеве теңдеулерінің жоғары аналогтарына сәйкес келетін дискретті теңдеулер 295
5.12 5 тарауға есептер мен жаттығулар 304
6-ТАРАУ. КЕРІ МӘСЕЛЕЛІК ӘДІСІ ЖӘНЕ КОРТЕВЕГ - ДЕ Вриз 306 ТЕҢДЕУІН ШЕШУ ҮШІН ХИРОТА ӘДІСІ
6.1 Кортевег-де Вриз 306 теңдеуі үшін Коши есебі
6.2 Тікелей шашырау мәселесі 307
6.3 Стационар Шредингер теңдеуінің интегралдық түрі 313
6.4 Шашырау амплитудасының аналитикалық қасиеттері 315
6.5 Гельфанд – Левитан – Марченко теңдеуі 318
6.6 Кері шашырау есеп әдісімен Кортевег-де Вриз теңдеуін интегралдау 321
6.7 Шағылыспайтын потенциалдар жағдайындағы Кортевег-де-Вриз теңдеуінің шешімі 323
6.8 Хирота операторы және оның қасиеттері 326
6.9 Хирота әдісі арқылы Кортевег-де-Фриз теңдеуінің солитондық шешімдерін табу 327
6.10 Модификацияланған Кортевег-де Вриз 331 теңдеуі үшін Хирота әдісі
6.11 6 тарауға есептер мен жаттығулар 333
Әдебиет 337
Пәндік көрсеткіш.

Физиканың кейбір есептерінде процесті сипаттайтын шамалар арасында тікелей байланыс орнату мүмкін емес. Бірақ зерттелетін функциялардың туындылары бар теңдік алуға болады. Дифференциалдық теңдеулер осылай туындайды және белгісіз функцияны табу үшін оларды шешу қажеттілігі туындайды.

Бұл мақала белгісіз функция бір айнымалының функциясы болатын дифференциалдық теңдеуді шешу мәселесімен бетпе-бет келгендерге арналған. Теория дифференциалдық теңдеулер туралы нөлдік біліммен сіз өз тапсырмаңызды жеңе алатындай құрылымдалған.

Дифференциалдық теңдеудің әрбір түрі типтік мысалдар мен есептердің егжей-тегжейлі түсіндірмелерімен және шешімдерімен шешу әдісімен байланысты. Есептің дифференциалдық теңдеуінің түрін анықтап, ұқсас талданған мысалды тауып, ұқсас әрекеттерді орындасаңыз болғаны.

Дифференциалдық теңдеулерді сәтті шешу үшін әртүрлі функциялардың антитуынды жиындарын (анықталмаған интегралдар) табу мүмкіндігі де қажет болады. Қажет болса, бөлімге жүгінуді ұсынамыз.

Алдымен туындыға қатысты шешілетін бірінші ретті кәдімгі дифференциалдық теңдеулердің түрлерін қарастырамыз, содан кейін екінші ретті ОДҚ-ға көшеміз, одан кейін жоғары дәрежелі теңдеулерге тоқталып, жүйемен аяқтаймыз. дифференциалдық теңдеулер.

Еске салайық, егер у х аргументінің функциясы болса.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

Пішіннің қарапайым бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

Осындай қашықтан басқару құралының бірнеше мысалын жазайық .

Дифференциалдық теңдеулер туындыға қатысты теңдіктің екі жағын f(x) -ға бөлу арқылы шешуге болады. Бұл жағдайда біз f(x) ≠ 0 үшін бастапқыға тең болатын теңдеуге келеміз. Мұндай ODE мысалдары болып табылады.

Егер f(x) және g(x) функциялары бір уақытта жойылатын х аргументінің мәндері болса, онда қосымша шешімдер пайда болады. Теңдеудің қосымша шешімдері берілген x - осы аргумент мәндері үшін анықталған кез келген функциялар. Мұндай дифференциалдық теңдеулердің мысалдарына мыналар жатады:

Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

Тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер.

Тұрақты коэффициенттері бар LDE дифференциалдық теңдеудің өте кең таралған түрі болып табылады. Олардың шешімі аса қиын емес. Алдымен сипаттамалық теңдеудің түбірлері табылады . Әртүрлі p және q үшін үш жағдай мүмкін: сипаттамалық теңдеудің түбірлері нақты және әртүрлі, нақты және сәйкес болуы мүмкін немесе күрделі конъюгаттар. Сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің мәндеріне байланысты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі былай жазылады. , немесе , немесе тиісінше.

Мысалы, тұрақты коэффициенттері бар сызықтық біртекті екінші ретті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық. Оның сипаттамалық теңдеуінің түбірлері k 1 = -3 және k 2 = 0. Түбірлер нақты және әртүрлі, сондықтан тұрақты коэффициенттері бар LODE жалпы шешімі пішінге ие


Тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер.

Тұрақты коэффициенттері y екінші ретті LDDE жалпы шешімі сәйкес LDDE жалпы шешімінің қосындысы түрінде ізделеді. және бастапқы біртекті емес теңдеудің белгілі бір шешімі, яғни . Алдыңғы параграф тұрақты коэффициенттері бар біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табуға арналған. Ал нақты шешім не бастапқы теңдеудің оң жағындағы f(x) функциясының белгілі бір түрі үшін анықталмаған коэффициенттер әдісімен немесе ерікті тұрақтыларды өзгерту әдісімен анықталады.

Тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті LDDE мысалдары ретінде біз келтіреміз


Теорияны түсіну және мысалдардың егжей-тегжейлі шешімдерімен танысу үшін біз сізге бетте тұрақты коэффициенттері бар сызықтық біртекті емес екінші ретті дифференциалдық теңдеулерді ұсынамыз.

Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер (LODE) және екінші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер (LNDE).

Осы түрдегі дифференциалдық теңдеулердің ерекше жағдайы тұрақты коэффициенттері бар LODE және LDDE болып табылады.

Белгілі бір кесіндідегі LODE жалпы шешімі осы теңдеудің сызықты тәуелсіз екі y 1 және y 2 дербес шешімдерінің сызықтық комбинациясы арқылы берілген, яғни, .

Негізгі қиындық дәл осы типтегі дифференциалдық теңдеудің сызықтық тәуелсіз дербес шешімдерін табуда жатыр. Әдетте, нақты шешімдер сызықты тәуелсіз функциялардың келесі жүйелерінен таңдалады:


Дегенмен, арнайы шешімдер әрқашан бұл пішінде ұсынылмайды.

LOD мысалы болып табылады .

LDDE жалпы шешімі , мұндағы сәйкес LDDE жалпы шешімі және бастапқы дифференциалдық теңдеудің жеке шешімі болып табылады. Біз оны табу туралы жаңа ғана айттық, бірақ оны еркін константаларды өзгерту әдісі арқылы анықтауға болады.

LNDU мысалын келтіруге болады .

Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.

Тәртіпті қысқартуға мүмкіндік беретін дифференциалдық теңдеулер.

Дифференциалдық теңдеудің реті , онда қажетті функция және оның k-1 ретіне дейінгі туындылары жоқ, оны ауыстыру арқылы n-k дейін азайтуға болады.

Бұл жағдайда бастапқы дифференциалдық теңдеу -ге дейін азайтылады. Оның p(x) шешімін тапқаннан кейін ауыстыруға оралу және белгісіз у функциясын анықтау қалады.

Мысалы, дифференциалдық теңдеу ауыстырудан кейін ол бөлінетін айнымалылары бар теңдеу болады және оның реті үшіншіден біріншіге дейін қысқарады.

Дифференциалдық теңдеулер- бір аргументтің (жай дифференциал) немесе бірнеше аргументтің (жартылай дифференциалдық теңдеулер) әр түрлі ретті туындылары және оның қажетті функциясы бар теңдеулерді шешудің теориясы мен әдістерін зерттейтін математиканың бөлімі. Дифференциалдық теңдеулер практикада, атап айтқанда өтпелі процестерді сипаттау үшін кеңінен қолданылады.

Дифференциалдық теңдеулер теориясы- дифференциалдық теңдеулер мен оған байланысты есептерді зерттейтін математиканың бөлімі. Олардың нәтижелері көптеген жаратылыстану ғылымдарында, әсіресе физикада кеңінен қолданылады.

Былай айтқанда, дифференциалдық теңдеубелгісіз шама белгілі функция болатын теңдеу.Сонымен қатар теңдеудің өзі белгісіз функцияны ғана емес, оның әр түрлі туындыларын да қамтиды. Дифференциалдық теңдеу белгісіз функция мен оның туындылары арасындағы байланысты сипаттайды. Мұндай байланыстар білімнің әртүрлі салаларында іздестіріледі: механика, физика, химия, биология, экономика және т.б.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер және дербес дифференциалдық теңдеулер бар. Интегро-дифференциалдық теңдеулер күрделірек.

Алғашында дифференциалдық теңдеулер уақыт функциясы ретінде қарастырылатын денелердің координаталарын, олардың жылдамдықтары мен үдеулерін қамтитын механика есептерінен туындады.

дифференциалдық теңдеу деп аталады квадраттарда интегралданатын, егер барлық байланыстарды табу тапсырмасын белгілі функциялардың және қарапайым алгебралық операциялардың интегралдарының ақырлы санын есептеуге келтіруге болады.

Оқиға

Леонард Эйлер

Джозеф-Луи Лагранж

Пьер-Симон Лаплас

Джозеф Лиувилл

Анри Пуанкаре

Дифференциалдық теңдеулерді Ньютон (1642-1727) ойлап тапқан. Ньютон бұл өнертабысты маңызды деп санағаны соншалық, оны анаграмма түрінде шифрлады, оның мағынасын қазіргі тілде былайша еркін жеткізуге болады: «табиғат заңдары дифференциалдық теңдеулер арқылы өрнектеледі».

Ньютонның негізгі аналитикалық жетістігі функциялардың барлық түрлерін дәрежелік қатарларға кеңейту болды (Ньютонның екінші, ұзын анаграммасының мағынасы кез келген теңдеуді шешу үшін қатарды теңдеуге ауыстыру және сол дәрежедегі мүшелерді теңестіру қажет). Бұл жерде оның ашқан Ньютон биномдық формуласы ерекше маңызға ие болды (әрине, формуланы, мысалы, Вьет (1540-1603) белгілі болған бүтін дәрежелі дәрежелермен ғана емес, сонымен қатар, ең бастысы, бөлшек және теріс дәрежелермен бірге. ). Ньютон барлық негізгі элементар функцияларды «Тейлор қатарларына» кеңейтті. Бұл өзі құрастырған қарабайыр кестемен бірге (ол қазіргі заманғы талдау оқулықтарына дерлік өзгеріссіз өтті) оның сөзімен айтқанда, кез келген фигуралардың аудандарын «жартысында» салыстыруға мүмкіндік берді. ширек сағат».

Ньютон оның қатарының коэффициенттері функцияның дәйекті туындыларына пропорционал болатынын атап көрсетті, бірақ бұл туралы егжей-тегжейлі тоқталмады, өйткені ол талдауда барлық есептеулерді бірнеше дифференциацияны пайдаланбай, жүргізу ыңғайлырақ деп дұрыс есептеді. қатардың бірінші мүшелерін есептеу арқылы. Ньютон үшін қатардың коэффициенттері мен туындылар арасындағы байланыс қатар құру құралына қарағанда туындыларды есептеу құралы болды. Ньютонның ең маңызды жетістіктерінің бірі – математикалық талдаудың көмегінсіз «Натурфилософияның математикалық принциптерінде» («Принципия») баяндалған Күн жүйесі туралы теориясы. Жалпы Ньютон өзінің талдауы арқылы бүкіләлемдік тартылыс заңын ашты деген пікір бар. Шын мәнінде, Ньютон (1680) тек кері квадрат заңы бойынша тартымды өрістегі орбиталардың эллипстігін дәлелдеді: бұл заңның өзін Ньютонға Гук (1635-1703) көрсеткен және, мүмкін, бірнеше басқа ғалымдар болжаған.

Дифференциалдық теңдеулер бойынша 18 ғасырдағы көптеген еңбектердің ішінде Эйлердің (1707-1783) және Лагранждың (1736-1813) еңбектері ерекше. Бұл еңбектерде алғаш рет шағын тербелістер теориясы, демек дифференциалдық теңдеулер сызықтық жүйелерінің теориясы жасалды; Осы жолда сызықтық алгебраның негізгі түсініктері (n-өлшемді жағдайдағы меншікті мәндер мен векторлар) пайда болды. Сызықтық оператордың сипаттамалық теңдеуі ежелден зайырлы деп аталды, өйткені дәл осындай теңдеуден планеталық орбиталардың секулярлық (жасқа байланысты, яғни жылдық қозғалыспен салыстырғанда баяу) ауытқулары Лагранждың шағын тербеліс теориясына сәйкес анықталады. Ньютон, Лаплас пен Лагранж, кейінірек Гаусс (1777-1855) ізінше, тежеу ​​теориясының әдістері де дамыды.

Радикалдардағы алгебралық теңдеулердің шешілмейтіндігі дәлелденген кезде, Джозеф Лиувилл (1809-1882) дифференциалдық теңдеулер үшін ұқсас теорияны құрастырып, бірқатар теңдеулерді (әсіресе екінші ретті сызықтық теңдеулер сияқты классикалық) шешудің мүмкін еместігін анықтады. функциялар мен квадраттар. Кейінірек, Соф Ли (1842-1899), квадратуралардағы теңдеулерді интегралдау мәселесін талдай отырып, дифеоморфизмдердің топтарын (кейінірек олар Ли топтары деп атады) егжей-тегжейлі зерттеу қажеттілігіне келді - осылайша дифференциалдық теңдеулер теориясында бір қазіргі заманғы математиканың ең жемісті салаларының бірі пайда болды, оның одан әрі дамуы мүлдем басқа сұрақтармен тығыз байланысты болды (Ли алгебрасын Симеон-Денис Пуассон (1781-1840) және әсіресе Карл Густав Якоб Якоби (1804) қарастырған. -1851)).

Дифференциалдық теңдеулер теориясының дамуындағы жаңа кезең Анри Пуанкаренің (1854-1912) жұмысынан басталады, ол жасаған «дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясы» күрделі айнымалы функциялар теориясымен бірге негізін қалады. қазіргі топология. Дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясы немесе қазір жиі аталып кеткендей, динамикалық жүйелер теориясы қазіргі уақытта ең белсенді дамып келеді және жаратылыстану ғылымында дифференциалдық теңдеулер теориясының ең маңызды қолданбаларына ие.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер- бұл түрдегі теңдеулер Ф (т, x, x ", x "",..., x(n)) = 0 , Қайда x = x (т) - белгісіз функция (мүмкін векторлық функция; бұл жағдайда олар жиі дифференциалдық теңдеулер жүйесі туралы айтады), уақыт айнымалысына байланысты т, жай-күйіне қатысты дифференциацияны білдіреді т. Сан nдифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.

Дифференциалдық теңдеудің шешімі (немесе шешімі) n рет дифференциалданатын және оның анықталу облысының барлық нүктелерінде теңдеуді қанағаттандыратын функция. Әдетте мұндай функциялардың алуан түрлілігі бар және нәтижелердің бірін таңдау үшін оған қосымша шарттарды қою керек: мысалы, шешімнің белгілі бір сәтте белгілі бір мәнді қабылдауын талап ету.

Дифференциалдық теңдеулер теориясының негізгі мәселелері мен нәтижелері: ОБД үшін әртүрлі есептердің шешімдерінің бар болуы және бірегейлігі, қарапайым ОБЖ шешу әдістері, ОБЖ шешімдерін олардың айқын түрін таппай сапалы түрде зерттеу.

Дербес дифференциалдық теңдеулер

Дербес дифференциалдық теңдеулербірнеше айнымалылардың белгісіз функцияларын және олардың жеке туындыларын қамтитын теңдеулер.

Мұндай теңдеулердің жалпы түрін келесідей көрсетуге болады:

,

тәуелсіз айнымалылар қайда және осы айнымалылардың функциясы болып табылады.

Сызықты емес дифференциалдық теңдеулер

Сызықты емес дифференциалдық теңдеулер — бір аргументтің (қарапайым сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер) немесе бірнеше аргументтердің (сызықсыз дербес дифференциалдық теңдеулер) әртүрлі ретті туындылары және оның қажетті функциясы бар сызықты емес теңдеулерді шешудің теориясы мен әдістерін зерттейтін математиканың бір бөлімі. Дифференциалдық теңдеулер практикада, атап айтқанда өтпелі процестерді сипаттау үшін кеңінен қолданылады.

Сызықты емес дифференциалдық теңдеулер теориясы дифференциалдық теңдеулер мен оған байланысты есептерді зерттейтін математиканың бір бөлімі. Олардың нәтижелері көптеген жаратылыстану ғылымдарында: механикада, физикада, термосерпімділікте, оптикада қолданылады.

Сызықты емес дифференциалдық теңдеу – белгісіз шама функция болатын теңдеу. Дифференциалдық теңдеудің өзі белгісіз функцияны ғана емес, сонымен қатар оның сызықтық емес түрдегі әртүрлі туындыларын да қамтиды. Сызықты емес дифференциалдық теңдеу белгісіз функция мен оның туындылары арасындағы байланысты сипаттайды. Мұндай байланыстар білімнің әртүрлі салаларында іздестіріледі: механика, физика, химия, биология, экономика және т.б.

Қарапайым сызықты емес дифференциалдық теңдеулер және сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулер бар.

Сызықты емес дифференциалдық теңдеулер уақыт функциясы ретінде қарастырылатын денелердің координаталарын, олардың жылдамдықтары мен үдеулерін қамтитын сызықты емес механиканың есептерінен туындады.

Мысалдар

• Ньютонның екінші заңын дифференциалдық теңдеу түрінде жазуға болады

,

Қайда м- дене салмағы, x- оның координаты, Ф (x, т) - координатасы бар денеге әсер ететін күш xбелгілі бір уақытта т. Оның шешімі - көрсетілген күштің әсерінен дененің траекториясы.

• Жолдың тербелісі теңдеу арқылы беріледі

,

Қайда u = u (x, т) - координатасы бар нүктедегі жолдың ауытқуы xбелгілі бір уақытта т, параметр ажолдың қасиеттерін анықтайды.

Дифференциалдық теңдеу – функцияны және оның бір немесе бірнеше туындыларын қамтитын теңдеу. Практикалық есептердің көпшілігінде функциялар физикалық шамаларды көрсетеді, туындылар осы шамалардың өзгеру жылдамдықтарына сәйкес келеді және олардың арасындағы байланысты теңдеу анықтайды.

Бұл мақалада шешімдерін түрінде жазуға болатын қарапайым дифференциалдық теңдеулердің белгілі бір түрлерін шешу әдістері қарастырылады. элементар функциялар, яғни көпмүшелік, көрсеткіштік, логарифмдік және тригонометриялық, сонымен қатар олардың кері функциялары. Бұл теңдеулердің көпшілігі өмірде кездеседі, дегенмен басқа дифференциалдық теңдеулердің көпшілігі бұл әдістермен шешілмейді және олар үшін жауап арнайы функциялар немесе дәрежелік қатарлар түрінде жазылады немесе сандық әдістермен табылады.

Бұл мақаланы түсіну үшін сіз дифференциалдық және интегралдық есептеулерді жақсы меңгеруіңіз керек, сонымен қатар ішінара туындылар туралы біраз түсінікке ие болуыңыз керек. Сондай-ақ, дифференциалдық және интегралдық есептеулерді білу оларды шешу үшін жеткілікті болса да, дифференциалдық теңдеулер, әсіресе екінші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін қолданылатын сызықтық алгебраның негіздерін білу ұсынылады.

Алдын ала ақпарат

• Дифференциалдық теңдеулердің кең классификациясы бар. Бұл мақалада айтылған қарапайым дифференциалдық теңдеулер, яғни бір айнымалының функциясын және оның туындыларын қамтитын теңдеулер туралы. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді түсіну және шешу оңайырақ дербес дифференциалдық теңдеулер, ол бірнеше айнымалылардың функцияларын қамтиды. Бұл мақалада дербес дифференциалдық теңдеулер талқыланбайды, өйткені бұл теңдеулерді шешу әдістері әдетте олардың нақты формасымен анықталады.
  • Төменде қарапайым дифференциалдық теңдеулердің кейбір мысалдары берілген.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Төменде дербес дифференциалдық теңдеулердің мысалдары берілген.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\жартылай ^(2)f)(\жартылай x^(2))))+(\frac (\жартылай ^(2) )f)(\жартылай y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\жартылай u)(\жартылай t))-\альфа (\frac (\жартылай ^(2)u)(\жартылай x) ^(2)=0)
• Тапсырысдифференциалдық теңдеудің мәні осы теңдеуге енгізілген ең жоғары туындының ретімен анықталады. Жоғарыда келтірілген қарапайым дифференциалдық теңдеулердің біріншісі бірінші ретті, ал екіншісі екінші ретті теңдеу. Дәрежедифференциалдық теңдеудің бір мүшесі көтерілетін ең жоғары дәрежесі.
  • Мысалы, төмендегі теңдеу үшінші ретті және екінші дәрежелі.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ оң)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Дифференциалдық теңдеу болып табылады сызықтық дифференциалдық теңдеуфункция және оның барлық туындылары бірінші дәрежеде болған жағдайда. Әйтпесе теңдеу болады сызықтық емес дифференциалдық теңдеу. Сызықтық дифференциалдық теңдеулер олардың шешімдерін берілген теңдеудің шешімдері болатын сызықтық комбинацияларды құру үшін пайдалануға болатындығымен ерекшеленеді.
  • Төменде сызықтық дифференциалдық теңдеулердің кейбір мысалдары берілген.
    • d y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) )
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
  • Төменде сызықты емес дифференциалдық теңдеулердің кейбір мысалдары берілген. Бірінші теңдеу синус мүшесіне байланысты сызықты емес.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2))))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Ортақ шешімқарапайым дифференциалдық теңдеу бірегей емес, ол қамтиды ерікті интегралдау константалары. Көп жағдайда ерікті тұрақтылар саны теңдеудің ретіне тең. Іс жүзінде бұл тұрақтылардың мәндері берілгендер негізінде анықталады бастапқы шарттар, яғни функцияның және оның туындыларының мәндеріне сәйкес x = 0. (\displaystyle x=0.)Табуға қажетті бастапқы шарттар саны жеке шешімдифференциалдық теңдеу, көп жағдайда берілген теңдеудің ретіне де тең.
  • Мысалы, бұл мақала төмендегі теңдеуді шешуді қарастырады. Бұл екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу. Оның жалпы шешімі екі ерікті тұрақтыдан тұрады. Бұл тұрақтыларды табу үшін бастапқы шарттарды білу керек x (0) (\displaystyle x(0))Және x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Әдетте бастапқы шарттар нүктеде көрсетіледі x = 0 , (\displaystyle x=0,), дегенмен бұл қажет емес. Бұл мақалада берілген бастапқы шарттар үшін нақты шешімдерді қалай табуға болатыны талқыланады.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Қадамдар

1 бөлім

Бірінші ретті теңдеулер

Бұл қызметті пайдаланған кезде кейбір ақпарат YouTube қызметіне тасымалдануы мүмкін.

Бұл бет 69 354 рет қаралған.

Бұл мақала пайдалы болды ма?

Біз жалпы жағдайда бірінші ретті дербес дифференциалдық теңдеулерді қарастыруға көшеміз. Жоғарыда талқыланған сызықтық теңдеулер сияқты, алдымен екі тәуелсіз айнымалы бар деп есептейміз. Екі тәуелсіз айнымалы функция үшін бірінші ретті дербес дифференциалдық теңдеу

Алдымен жазылған теңдеудің геометриялық мағынасын ашып алайық. Кез келген бекітілген нүктеде (59) теңдеу нормальдың бетке дейінгі бағыттағы косинустары арасындағы байланысты білдіреді. Осы қатынасты қанағаттандыратын нормальдар шыңы бар белгілі конустық бетті құрайды.Нүкте арқылы өтетін және осы конустың генераторларына перпендикуляр жазықтықтар мүмкін позицияларды білдіреді.

қажетті интегралдық беттерге бекітілген нүктедегі жанама жазықтық. Бұл ұшақтар тобы, сондай-ақ конусты құрайтын нормальдар тобы бір параметрге байланысты болады. Бұл жазықтықтар тобының конверті жаңа конусты бейнелейді, оны біз конус T деп атаймыз. Осылайша (59) теңдеу кеңістіктегі әрбір нүктедегі T конусын көрсетуге тең және (59) теңдеудің қажетті интегралдық беті болуы керек. Оның әрбір нүктесінде жанама жазықтық осы нүктеге сәйкес келетін T конусына тиюі керек қасиеті бар.

Берілген нүктедегі T конусының генераторларының теңдеулерін құрастырайық.Тек және q кейбір а параметрінің, (59) теңдеуді (59) бекітілген нүктеде қанағаттандыратын функциялары болсын.Т конусы жазықтықтар семьясының конверті болып табылады:

a параметріне қатысты дифференциалдау арқылы қосымша теңдеуді аламыз

a-ға қатысты дифференциалды қатынасты (59) аламыз

Бұдан әрі қарастырылатын айнымалы мәндер үшін олар бір уақытта жойылмайды деп есептейміз, яғни (59) теңдеуінің арнайы шешімдері ғана ерекшелік болады. - және екеуі бір уақытта нөлге тең бола алмайды деп есептесек, (61) және (62) біртекті теңдеулерден аламыз.

және ақырында, (60) теңдеу конустың генераторларының теңдеуін береді:

Т конусының әр түрлі генераторларын алу үшін біз q-ның әр түрлі мәндерін белгіленген нүктеде (59) қатынасты қанағаттандыратын бөлгіштерге ауыстыруымыз керек.

Сызықтық теңдеу (2) жағдайында бізде әр нүктеде бір нақты бағыт болды және қажетті интегралдық беттерге жанама жазықтықта осы бағыт болуы керек.Бұл жағдайда бізде бір нақты бағыттың орнына әрбір нүктеде, конус, ал қажетті интегралдық беттерге жанама жазықтығы осы конусқа тиюі керек.Сондықтан біз сызықтық теңдеу үшін (2) жасағандай сызықты емес теңдеу үшін (59) сипаттамалық қисықтарды тура сала алмаймыз. бағыттардың белгілі бір саласы. Бұл жағдайда бағыттар өрісінің орнына бізде конустар өрісі T болады. Бірақ енді біз (59) теңдеуінің интегралдық беті бола отырып, оны сипаттамалық сызықтарға өте ұқсас сызықтармен жабуға болатынын көрсетеміз. сызықтық теңдеуінің (2). Шынында да, интегралдық беттің әрбір нүктесінде жанама жазықтық осы нүктеге сәйкес келетін конусқа Т жанасуы керек және, осылайша, конусқа тиетін осы конустың генератрицаларының бірін қамтуы керек.Бұл конустардың генераторлары Т. бетінің әртүрлі нүктелерінде интегралдық бетінде бағыттардың кейбір өрісін жасайды және сол арқылы осы бағыттар өрісіне сәйкес келетін бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдаймыз, біз бір параметрге байланысты бетімізді T қисықтарының тобымен жабамыз. Көрсетілген бағыт өрісінің бағыт косинустары (64) теңдеудің бөлгіштеріне пропорционал болуы керек, мұндағы және q тікелей қарастырылатын интегралдық беттің теңдеуінен анықталады. Осылайша, берілген интегралдық бетті қамтитын аталған сызықтар бойымен қатынас қанағаттандырылуы керек

Берілген интегралдық беттегі аталған түзулерді табу үшін бірінші ретті теңдеуді интегралдау жеткілікті.

Оның үстіне жазылған бөлшектердің бөлгіштерінде тек x және y айнымалылары болады, өйткені берілген беттегі a функциясы және оның жеке туындылары және q х пен у-ның белгілі функциялары болып табылады. (67) теңдеуін интегралдау және беттік теңдеуді пайдалана отырып, жоғарыда айтылған түзулерді аламыз

(66) теңдеулердің оң жақтары интегралдық бетті белгілі бір таңдау үшін ғана белгілі бір мағынаға ие болады және . Интегралдық бетті білу бізге және q функциясы ретінде береді. Енді (66) теңдеулер жүйесін дифференциалдары бар тағы екі теңдеумен толықтырамыз, осылайша (59) теңдеудің интегралдық бетін таңдауға тәуелді емес дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз. Функцияның екінші туындыларын және t арқылы белгілейік және:

және (59) теңдеудің сол жағының туындыларын мыналарға қатысты белгілейік:

(55) теңдеудің сол жағын х пен у-ға қатысты толық дифференциалдасақ, мынаны аламыз.

Екінші жағынан, бізде бар екені анық

Жазбаша теңдеулерден тікелей мынау шығады

сондықтан (66) теңдеулерге соңғы екі теңдеуді қосуға болады, сөйтіп көмекші параметрдің бес функциясы бар бес дифференциалдық теңдеулердің келесі жүйесін алуға болады.