Математикалық күту m. Күту формуласы

1-тапсырма.Бидай тұқымының өну ықтималдығы 0,9. Егілген төрт тұқымның кем дегенде үшеуі көктеп шығуының ықтималдығы қандай?

Шешім. Оқиға болсын А– 4 тұқымнан кем дегенде 3 тұқым шығады; оқиға IN– 4 тұқымнан 3 тұқым шығады; оқиға МЕН– 4 тұқымнан 4 тұқым шығады. Ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша

Ықтималдықтар
Және
Бернулли формуласы бойынша анықтаймыз, келесі жағдайда қолданылады. Сериал өтсін Птәуелсіз сынақтар, олардың әрқайсысы кезінде оқиғаның орын алу ықтималдығы тұрақты және тең Р, және бұл оқиғаның болмау ықтималдығы тең
. Содан кейін оқиғаның ықтималдығы АВ Псынақтар дәл пайда болады рет, Бернулли формуласымен есептелген

,

Қайда
– комбинациялар саны Пэлементтері бойынша . Содан кейін

Қажетті ықтималдық

2-тапсырма.Бидай тұқымының өну ықтималдығы 0,9. Егілген 400 тұқымның 350 тұқымының көктеп шығуының ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Қажетті ықтималдықты есептеңіз
Бернулли формуласын қолдану есептеулердің ауырлығына байланысты қиын. Сондықтан біз Лапластың жергілікті теоремасын өрнектейтін жуық формуланы қолданамыз:

,

Қайда
Және
.

Мәселе жағдайларынан. Содан кейін

.

Қосымшалардың 1-кестесінен табамыз. Қажетті ықтималдық тең

3-тапсырма.Бидай тұқымдарында 0,02% арамшөптер болады. Кездейсоқ 10 000 тұқым таңдалса, 6 арамшөп тұқымының табылу ықтималдығы қандай?

Шешім. Ықтималдықтың аздығына байланысты Лапластың жергілікті теоремасын қолдану
ықтималдықтың нақты мәннен айтарлықтай ауытқуына әкеледі
. Сондықтан шағын мәндерде Ресептеу үшін
асимптотикалық Пуассон формуласын қолданыңыз

, Қайда.

Бұл формула қашан қолданылады
, және соғұрлым аз Ржәне т.б П, нәтиже соғұрлым дәлірек болады.

Мәселенің шарттарына сәйкес
;
. Содан кейін

4-тапсырма.Бидай тұқымының өну пайызы 90% құрайды. Егілген 500 тұқымның 400-ден 440-қа дейін көктеп шығу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Егер оқиғаның орын алу ықтималдығы Аәрқайсысында Псынақтар тұрақты және тең Р, содан кейін ықтималдық
бұл оқиға Амұндай сынақтарда кем болмайды бір рет және артық емес уақыттары Лапластың интегралдық теоремасы бойынша келесі формуламен анықталады:

, Қайда

,
.

Функция
Лаплас функциясы деп аталады. Қосымшаларда (2-кесте) осы функцияның мәндері берілген
. Сағат
функциясы
. Теріс мәндер үшін XЛаплас функциясының тақтығына байланысты
. Лаплас функциясын қолданып, бізде:

Тапсырма шарты бойынша. Жоғарыдағы формулаларды қолданып табамыз
Және :

5-тапсырма.Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы берілген X:

2. Табыңыз: 1) математикалық күту; 2) дисперсия; 3) стандартты ауытқу.

Шешім. 1) Егер дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы кесте арқылы берілсе

2. Бірінші жолда x кездейсоқ шамасының мәндері, ал екінші жолда осы мәндердің ықтималдығы болса, онда математикалық күту формула бойынша есептеледі.

2) Дисперсия
дискретті кездейсоқ шама Xкездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен квадраттық ауытқуының математикалық күтуі деп аталады, яғни.

Бұл мән квадраттық ауытқудың орташа күтілетін мәнін сипаттайды Xбастап
. Бізде соңғы формуладан

Дисперсия
оның келесі қасиетіне негізделген басқа жолмен табуға болады: дисперсия
кездейсоқ шаманың квадратының математикалық күтуінің айырмасына тең Xжәне оның математикалық күту квадраты
, яғни

Есептеу үшін
шаманың келесідей үлестіру заңын құрастырайық
:

3) Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің оның орташа мәнінің айналасында шашырауын сипаттау үшін стандартты ауытқу енгізіледі
кездейсоқ шама X, дисперсияның квадрат түбіріне тең
, яғни

.

Бұл формуладан бізде:

6-тапсырма.Үздіксіз кездейсоқ шама Xжинақтаушы таралу функциясы арқылы берілген

Табыңыз: 1) дифференциалдық үлестірім функциясы
; 2) математикалық күту
; 3) дисперсия
.

Шешім. 1) Дифференциалды таралу функциясы
үздіксіз кездейсоқ шама Xжинақтаушы таралу функциясының туындысы деп аталады
, яғни

.

Ізделетін дифференциалдық функция келесі формада болады:

2) Үздіксіз кездейсоқ шама болса Xфункциясы арқылы беріледі
, онда оның математикалық күтуі формуламен анықталады

Функциядан бері
сағ
және сағат
нөлге тең болса, онда бізде соңғы формуладан

.

3) Дисперсия
формуласы бойынша анықтаймыз

7-тапсырма.Бөлшектің ұзындығы математикалық күту 40 мм және стандартты ауытқуы 3 мм болатын қалыпты таралған кездейсоқ шама. Табыңыз: 1) ерікті түрде алынған бөліктің ұзындығы 34 мм-ден көп және 43 мм-ден кем болу ықтималдығын; 2) бөліктің ұзындығының оның математикалық күтуінен 1,5 мм аспайтын ауытқу ықтималдығы.

Шешім. 1) рұқсат етіңіз X– бөліктің ұзындығы. Кездейсоқ шама болса Xдифференциалдық функция арқылы берілген
, онда ықтималдығы Xсегментке жататын мәндерді қабылдайды
, формуласымен анықталады

.

Қатаң теңсіздіктердің ықтималдығы
бірдей формуламен анықталады. Кездейсоқ шама болса Xонда қалыпты заң бойынша бөлінеді

, (1)

Қайда
– Лаплас функциясы,
.

Мәселеде. Содан кейін

2) Есептің шарты бойынша, қайда
. (1) орнына қойсақ

. (2)

(2) формуладан бізде.

Кездейсоқ Х шамасының математикалық күтуі орташа мән болып табылады.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), Қайда C= const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Кездейсоқ айнымалылар болса XЖәне Ытәуелсіз, демек M(XY) = M(X) M(Y)

Дисперсия

Кездейсоқ Х шамасының дисперсиясы деп аталады

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – М 2 (X).

Дисперсия – кездейсоқ шама мәндерінің оның орташа мәнінен ауытқу өлшемі.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), Қайда C= const

4. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясының квадрат түбірі стандартты ауытқу деп аталады .

@3-тапсырма: X кездейсоқ шама ықтималдығы бар тек екі мәнді (0 немесе 1) алсын q, б, Қайда p + q = 1. Математикалық күту мен дисперсияны табыңыз.

Шешімі:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@4-тапсырма: Кездейсоқ шаманың күту және дисперсиясы X 8-ге тең. Кездейсоқ шамалардың математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз: а) X – 4; б) 3X – 4.

Шешуі: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; М(3Х – 4) = 3М(Х) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@5-тапсырма: Отбасылардың жалпы саны балалар саны бойынша келесідей бөлінді:

x i	x 1	x 2
p i	0,1	p2	0,4	0,35

Анықтаңыз x 1, x 2Және p2, егер бұл белгілі болса M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Шешуі: p 2 ықтималдығы p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15 тең. Белгісіз х теңдеулерден табылады: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.

Популяция және үлгі. Параметрлерді бағалау

Таңдамалы бақылау

Статистикалық бақылау үздіксіз немесе үздіксіз ұйымдастырылуы мүмкін. Үздіксіз бақылау зерттелетін популяцияның барлық бірліктерін (жалпы популяция) зерттеуді қамтиды. Халық бұл зерттеуші өз міндетіне сәйкес зерттейтін жеке немесе заңды тұлғалардың жиынтығы. Бұл көбінесе экономикалық тұрғыдан тиімді емес, кейде мүмкін емес. Осыған байланысты жалпы халықтың бір бөлігі ғана зерттеледі - үлгі популяциясы .

Таңдамалы жиынтықтан алынған нәтижелер, егер келесі принциптер сақталса, жалпы жиынтыққа кеңейтілуі мүмкін:

1. Таңдамалы жиынтық кездейсоқ түрде анықталуы керек.

2. Таңдамалы жиынтықтағы бірліктердің саны жеткілікті болуы керек.

3. Берілуі керек өкілдік ( репрезентативтілік) үлгінің. Өкілдік үлгі - бұл көрсетуге арналған жиынтықтың кішірек, бірақ дәл үлгісі.

Үлгі түрлері

Тәжірибеде үлгілердің келесі түрлері қолданылады:

а) қатаң кездейсоқ, б) механикалық, в) типтік, г) сериялық, д) біріктірілген.

Дұрыс кездейсоқ таңдау

Сағат нақты кездейсоқ үлгі іріктеу жиынындағы бірліктерді таңдау кездейсоқ түрде, мысалы, жеребе тарту немесе кездейсоқ сандар генераторын пайдалану арқылы жүзеге асырылады.

Үлгілер қайталануы немесе қайталанбауы мүмкін. Қайта іріктеу кезінде сынама алынған бірлік қайтарылады және қайта іріктеуге тең мүмкіндікті сақтайды. Қайталанбайтын іріктеу кезінде іріктеуге енгізілген жиынтық бірлігі болашақта іріктеуге қатыспайды.

Таңдама жиынының жалпы жиынтықты толығымен қайта жасамауы салдарынан пайда болатын іріктемелерді бақылауға тән қателер деп аталады. стандартты қателер . Олар іріктемеден алынған көрсеткіштердің мәндері мен жалпы жиынтық көрсеткіштерінің сәйкес мәндері арасындағы орташа квадраттық айырмашылықты білдіреді.

Кездейсоқ қайталанатын іріктеу үшін стандартты қатені есептеу формулалары келесідей: , және кездейсоқ қайталанбайтын іріктеу үшін келесідей: , мұндағы S 2 – іріктеме жиынының дисперсиясы, жоқ –үлгі үлесі, н, Н- іріктеудегі және жалпы жиынтықтағы бірліктердің саны. Сағат n = Nстандартты қателік m = 0.

Механикалық сынама алу

Сағат механикалық сынама алу Популяция тең аралықтарға бөлінеді және әрбір аралықтан бір бірлік кездейсоқ таңдалады.

Мысалы, 2% іріктеу жылдамдығымен әрбір 50-ші бірлік жиынтық тізімінен таңдалады.

Механикалық іріктеудің стандартты қателігі шын мәнінде кездейсоқ қайталанбайтын іріктеу қатесі ретінде анықталады.

Типтік үлгі

Сағат типтік үлгі жалпы популяция біртекті типтік топтарға бөлінеді, содан кейін бірліктер әр топтан кездейсоқ таңдалады.

Типтік үлгі гетерогенді популяция жағдайында қолданылады. Әдеттегі үлгі дәлірек нәтижелер береді, себебі ол репрезентативтілікті қамтамасыз етеді.

Мысалы, мұғалімдер жалпы халық ретінде мынадай критерийлер бойынша топтарға бөлінеді: жынысы, тәжірибесі, біліктілігі, білімі, қалалық және ауылдық мектептері және т.б.

Типтік таңдаманың стандартты қателері шын кездейсоқ таңдаманың қателері ретінде анықталады, тек айырмашылығы бар S 2топ ішіндегі дисперсиялардың орташа мәнімен ауыстырылады.

Сериялық сынама алу

Сағат сериялық сынама алу жалпы халық жеке топтарға (қатарларға) бөлінеді, содан кейін кездейсоқ таңдалған топтар үздіксіз бақылауға жатады.

Сериялық үлгінің стандартты қателері шын кездейсоқ таңдаманың қателері ретінде анықталады, тек айырмашылығы мынада: S 2топтар арасындағы дисперсиялардың орташа мәнімен ауыстырылады.

Біріктірілген үлгі

Біріктірілген үлгіекі немесе одан да көп үлгі түрлерінің тіркесімі болып табылады.

Нүктелік бағалау

Таңдамалы бақылаудың түпкі мақсаты популяцияның сипаттамаларын табу болып табылады. Мұны тікелей орындау мүмкін болмағандықтан, іріктеу жиынының сипаттамалары жалпы жиынтыққа таратылады.

Орташа іріктеу деректерінен бастың арифметикалық ортасын анықтаудың іргелі мүмкіндігі дәлелденді Чебышев теоремасы. Шексіз үлкейтумен nтаңдамалы орта мен жалпы орта арасындағы айырмашылық ерікті түрде аз болу ықтималдығы 1-ге ұмтылады.

Бұл популяцияның сипаттамаларын дәлдікпен білдіреді. Бұл бағалау деп аталады нүкте .

Интервалды бағалау

Интервалды бағалаудың негізі болып табылады орталық шек теоремасы.

Интервалды бағалаудеген сұраққа жауап беруге мүмкіндік береді: популяция параметрінің белгісіз, қажетті мәні қандай интервалда және қандай ықтималдықпен орналасқан?

Әдетте біз сенімділік ықтималдығы туралы айтамыз б = 1 – a, ол аралықта болады – D< < + D, где D = t cr m > 0 шекті қате үлгілер, а - маңыздылық деңгейі (теңсіздіктің жалған болу ықтималдығы), t cr- мәндерге тәуелді критикалық мән nжәне а. Шағын үлгі үшін n< 30 t crкөмегімен екі жақты сынақ үшін Student t-үлестіруінің критикалық мәнін пайдалану арқылы көрсетіледі n– 1 дәрежелі еркіндік дәрежесі а маңыздылығымен ( t cr(n – 1, а) «Студенттің t-үлестіруінің критикалық мәндері» кестесінен, 2-қосымша) берілген. n > 30 үшін, t crқалыпты таралу заңының квантилі ( t crЛаплас функциясының мәндер кестесінен F(t) = (1) табылады – a)/2 аргумент ретінде). p = 0,954 кезінде критикалық мән t cr= 2 p = 0,997 критикалық мәнде t cr= 3. Бұл шекті қате әдетте стандартты қатеден 2-3 есе үлкен екенін білдіреді.

Сонымен, іріктеу әдісінің мәні мынада: популяцияның белгілі бір шағын бөлігінің статистикалық мәліметтеріне сүйене отырып, сенімді ықтималдықпен болатын интервалды табуға болады. бжалпы халықтың қажетті сипаттамасы (жұмысшылардың орташа саны, орташа балл, орташа өнімділік, стандартты ауытқу және т.б.) табылды.

@1-тапсырма.Корпоративтік кәсіпорындардың кредиторларымен есеп айырысу жылдамдығын анықтау үшін коммерциялық банк 100 төлем құжатының кездейсоқ іріктеуін жүргізді, олар үшін ақшаны аудару және алудың орташа уақыты 6 стандартты ауытқумен 22 күнді (= 22) құрады. күн (S = 6). Ықтималдықпен б= 0,954 осы корпорация кәсіпорындарының есеп айырысуларының орташа ұзақтығының сенімділік интервалы мен орташа іріктеменің максималды қателігін анықтайды.

Шешуі: Орташа таңдаманың шекті қателігі(1)тең D= 2· 0,6 = 1,2, ал сенімділік интервалы (22 – 1,2; 22 + 1,2) ретінде анықталады, яғни. (20.8; 23.2).

§6.5 Корреляция және регрессия

Дискретті ықтималдық кеңістігінде берілген Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуі (орташа мәні), егер қатар абсолютті жинақталса, m =M[X]=∑x i p i саны.

Қызметтің мақсаты. Онлайн қызметін пайдалану математикалық күту, дисперсия және стандартты ауытқу есептеледі(мысалды қараңыз). Сонымен қатар F(X) таралу функциясының графигі салынған.

Кездейсоқ шаманың математикалық күтуінің қасиеттері

1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі өзіне тең: M[C]=C, C – тұрақты;
2. M=C M[X]
3. Кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең: M=M[X]+M[Y]
4. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: M=M[X] M[Y] , егер X және Y тәуелсіз болса.

Дисперсиялық қасиеттер

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең: D(c)=0.
2. Тұрақты коэффициентті дисперсия белгісінің астынан квадраттап шығаруға болады: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Егер X және Y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда қосындының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең болады: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Егер X және Y кездейсоқ шамалары тәуелді болса: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Келесі есептеу формуласы дисперсия үшін жарамды:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Мысал. X және Y екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтулері мен дисперсиялары белгілі: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 кездейсоқ шамасының математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.
Шешім. Математикалық күтудің қасиеттеріне сүйене отырып: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Дисперсия қасиеттеріне қарай: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Математикалық күтуді есептеу алгоритмі

Дискретті кездейсоқ шамалардың қасиеттері: олардың барлық мәндерін натурал сандармен қайта нөмірлеуге болады; Әрбір мәнге нөлдік емес ықтималдықты тағайындаңыз.

1. Біз жұптарды бір-бірден көбейтеміз: x i - p i .
2. Әрбір жұптың көбейтіндісін қосыңыз x i p i .
   Мысалы, n = 4 үшін: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясыкезең-кезеңімен, ықтималдықтары оң болатын нүктелерде кенет өседі.

№1 мысал.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

m = ∑x i p i формуласы арқылы математикалық күтуді табамыз.
Күту M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Дисперсияны d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 формуласы арқылы табамыз.
D[X] дисперсиясы.
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандартты ауытқу σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

№2 мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың келесі таралу қатары болады:

X	-10	-5	0	5	10
Р	А	0,32	2а	0,41	0,03

Осы кездейсоқ шаманың а мәнін, математикалық күтуін және стандартты ауытқуын табыңыз.

Шешім. а мәні мына қатынастан табылады: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 немесе 0,24=3 a , мұндағы a = 0,08

№3 мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын анықтаңыз, егер оның дисперсиясы белгілі болса және x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Шешім.
Мұнда d(x) дисперсиясын табу формуласын құру керек:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
мұндағы күту m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Біздің деректеріміз үшін
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1х 3) 2
немесе -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Сәйкесінше, теңдеудің түбірлерін табуымыз керек және олардың екеуі болады.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 шартын қанағаттандыратын біреуін таңдаңыз x 3 =12

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Ықтималдықтар теориясы – жоғары оқу орындарының студенттері ғана оқитын математиканың ерекше саласы. Сізге есептеулер мен формулалар ұнай ма? Дискретті кездейсоқ шаманың қалыпты таралуымен, ансамбльдік энтропиясымен, математикалық күтуімен және дисперсиясымен танысу перспективалары сізді қорқытпай ма? Сонда бұл тақырып сізге өте қызықты болады. Осы ғылым саласының бірнеше маңызды негізгі ұғымдарымен танысайық.

Негіздерді еске түсірейік

Ықтималдықтар теориясының ең қарапайым түсініктерін есте сақтасаңыз да, мақаланың бірінші абзацтарын назардан тыс қалдырмаңыз. Мәселе мынада, негіздерді нақты түсінбей, төменде талқыланған формулалармен жұмыс істей алмайсыз.

Сонымен, кейбір кездейсоқ оқиға, кейбір эксперименттер орын алады. Біз қабылдаған әрекеттердің нәтижесінде біз бірнеше нәтижеге қол жеткізе аламыз - олардың кейбіреулері жиі кездеседі, басқалары сирек. Оқиғаның ықтималдығы – бір түрдегі нақты алынған нәтижелер санының мүмкін болатындардың жалпы санына қатынасы. Тек осы ұғымның классикалық анықтамасын біле отырып, үздіксіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтуін және дисперсиясын зерттеуді бастауға болады.

Орташа арифметикалық

Мектепте математика сабақтарында сіз арифметикалық ортамен жұмыс істей бастадыңыз. Бұл тұжырымдама ықтималдықтар теориясында кеңінен қолданылады, сондықтан оны елемеуге болмайды. Қазіргі уақытта біз үшін ең бастысы, біз оны кездейсоқ шаманың математикалық күту және дисперсиясының формулаларында кездестіреміз.

Бізде сандар тізбегі бар және арифметикалық ортаны тапқымыз келеді. Бізден талап етілетін нәрсе - қолда бардың барлығын қорытындылау және тізбектегі элементтердің санына бөлу. 1-ден 9-ға дейінгі сандарды алайық. Элементтердің қосындысы 45-ке тең болады және бұл мәнді 9-ға бөлеміз. Жауабы: - 5.

Дисперсия

Ғылыми тілмен айтқанда дисперсия - бұл сипаттаманың алынған мәндерінің орташа арифметикалық мәннен ауытқуының орташа квадраты. Ол бір бас латын әрпімен белгіленген D. Оны есептеу үшін не қажет? Тізбектің әрбір элементі үшін біз бар сан мен арифметикалық орта арасындағы айырмашылықты есептеп, оның квадратын аламыз. Біз қарастырып жатқан оқиға үшін нәтижелер болуы мүмкін дәл сонша құндылықтар болады. Әрі қарай, біз алынғанның бәрін қорытындылаймыз және тізбектегі элементтердің санына бөлеміз. Егер бізде бес ықтимал нәтиже болса, онда беске бөліңіз.

Дисперсияның да есептерді шешу кезінде пайдалану үшін есте сақтау қажет қасиеттері бар. Мысалы, кездейсоқ шаманы X есе ұлғайтқанда дисперсия X квадрат есе артады (яғни X*X). Ол ешқашан нөлден төмен емес және мәндерді бірдей мөлшерде жоғары немесе төмен ауыстыруға байланысты емес. Сонымен қатар, тәуелсіз сынақтар үшін қосындының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең болады.

Енді біз міндетті түрде дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясының және математикалық күтудің мысалдарын қарастыруымыз керек.

Біз 21 эксперимент жүргізіп, 7 түрлі нәтиже алдық делік. Олардың әрқайсысын тиісінше 1, 2, 2, 3, 4, 4 және 5 рет бақыладық. Дисперсия неге тең болады?

Алдымен, орташа арифметикалық мәнді есептейік: элементтердің қосындысы, әрине, 21. Оны 7-ге бөліңіз, 3-ті алыңыз. Енді бастапқы тізбектегі әрбір саннан 3-ті алып, әрбір мәннің квадратын алыңыз және нәтижелерді қосыңыз. Нәтиже – 12. Енді бізге санды элементтер санына бөлу ғана қалды, және, бұл бәрі де болған сияқты. Бірақ бір қулық бар! Оны талқылайық.

Тәжірибелер санына тәуелділік

Дисперсияны есептеу кезінде бөлгіш екі санның бірін қамтуы мүмкін екен: не N немесе N-1. Мұндағы N – орындалған тәжірибелер саны немесе тізбектегі элементтер саны (мәні бойынша бірдей). Бұл неге байланысты?

Егер сынақтар саны жүздікпен өлшенсе, онда бөлгішке N қою керек.Егер бірлікте болса, онда N-1. Ғалымдар шекараны өте символдық түрде салуды шешті: бүгін ол 30 саны арқылы өтеді. Егер біз 30-дан аз эксперимент жүргізсек, онда біз соманы N-1-ге, ал көп болса, онда N-ге бөлеміз.

Тапсырма

Дисперсия және математикалық күту есебін шешу мысалымызға оралайық. Біз N немесе N-1-ге бөлу керек болатын аралық 12 санын алдық. Біз 21 тәжірибе жүргізгендіктен, бұл 30-дан аз, біз екінші нұсқаны таңдаймыз. Демек, жауап: дисперсия 12/2 = 2.

Күтілетін мән

Осы мақалада қарастыруға тиіс екінші тұжырымдамаға көшейік. Математикалық күту барлық мүмкін нәтижелерді сәйкес ықтималдықтарға көбейтудің нәтижесі болып табылады. Алынған мән, сондай-ақ дисперсияны есептеу нәтижесі, онда қанша нәтиже қарастырылғанына қарамастан, бүкіл мәселе бойынша тек бір рет алынатынын түсіну маңызды.

Математикалық күтудің формуласы өте қарапайым: нәтижені аламыз, оны ықтималдығына көбейтеміз, екінші, үшінші нәтижеге бірдей қосамыз және т.б. Бұл тұжырымдамаға қатысты барлық нәрсені есептеу қиын емес. Мысалы, күтілетін мәндердің қосындысы қосындының күтілетін мәніне тең. Жұмысқа қатысты да солай. Ықтималдық теориясындағы әрбір шама мұндай қарапайым операцияларды орындауға мүмкіндік бермейді. Есепті алып, бірден зерттеген екі ұғымның мағынасын есептейік. Оның үстіне, біз теорияға алаңдадық - тәжірибеге уақыт келді.

Тағы бір мысал

Біз 50 сынақты өткіздік және нәтиженің 10 түрін алдық - 0-ден 9-ға дейінгі сандар - әртүрлі пайыздарда пайда болады. Олар сәйкесінше: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Еске салайық, ықтималдықтарды алу үшін пайыздық мәндерді 100-ге бөлу керек. Осылайша, біз 0,02 аламыз; 0,1 және т.б. Кездейсоқ шаманың дисперсиясына және математикалық күтуге арналған есепті шешудің мысалын келтірейік.

Орташа арифметикалық мәнді бастауыш мектептен есте қалған формула арқылы есептейміз: 50/10 = 5.

Енді санауды жеңілдету үшін ықтималдықтарды «бөлшектермен» нәтижелер санына айналдырайық. Біз 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 және 9-ды аламыз. Әрбір алынған мәннен орташа арифметикалық мәнді алып тастаймыз, содан кейін алынған нәтижелердің әрқайсысының квадратын аламыз. Мысал ретінде бірінші элементті пайдаланып мұны қалай жасау керектігін қараңыз: 1 - 5 = (-4). Келесі: (-4) * (-4) = 16. Басқа мәндер үшін осы әрекеттерді өзіңіз орындаңыз. Егер сіз бәрін дұрыс жасасаңыз, олардың барлығын қосқаннан кейін сіз 90 аласыз.

90-ды N-ге бөлу арқылы дисперсия мен күтілетін мәнді есептеуді жалғастырайық. Неліктен біз N-1 емес, N таңдаймыз? Дұрыс, себебі орындалған тәжірибелер саны 30-дан асады. Сонымен: 90/10 = 9. Біз дисперсияны алдық. Басқа нөмір алсаңыз, үмітіңізді үзбеңіз. Сіз есептеулерде қарапайым қате жіберген шығарсыз. Жазғаныңызды екі рет тексеріңіз, сонда бәрі орнына түсуі мүмкін.

Соңында, математикалық күту формуласын есте сақтаңыз. Біз барлық есептеулерді бермейміз, біз барлық қажетті процедураларды орындағаннан кейін тексеруге болатын жауапты ғана жазамыз. Күтілетін мән 5,48 болады. Бірінші элементтерді мысалға ала отырып, амалдарды қалай орындау керектігін ғана еске түсірейік: 0*0,02 + 1*0,1... және т.б. Көріп отырғаныңыздай, біз жай ғана нәтиже мәнін оның ықтималдығына көбейтеміз.

Ауытқу

Дисперсиялық және математикалық күтумен тығыз байланысты тағы бір түсінік стандартты ауытқу болып табылады. Ол латынның sd әріптерімен немесе гректің кіші әріптерімен «сигма» арқылы белгіленеді. Бұл концепция мәндердің орталық белгіден қаншалықты ауытқығанын көрсетеді. Оның мәнін табу үшін дисперсияның квадрат түбірін есептеу керек.

Егер сіз қалыпты таралу графигін салсаңыз және онда квадраттық ауытқуды тікелей көргіңіз келсе, мұны бірнеше кезеңде орындауға болады. Кескіннің жартысын режимнің сол немесе оң жағына алыңыз (орталық мән), алынған фигуралардың аудандары тең болатындай етіп көлденең оське перпендикуляр сызыңыз. Бөлімнің ортасы мен көлденең оське алынған проекция арасындағы сегменттің өлшемі стандартты ауытқуды көрсетеді.

Бағдарламалық қамтамасыз ету

Формулалардың сипаттамасынан және ұсынылған мысалдардан көрініп тұрғандай, дисперсия мен математикалық күтуді есептеу арифметикалық тұрғыдан ең қарапайым процедура емес. Уақытты босқа өткізбеу үшін жоғары оқу орындарында қолданылатын бағдарламаны пайдаланудың мәні бар - ол «R» деп аталады. Онда статистика мен ықтималдық теориясынан көптеген ұғымдардың мәндерін есептеуге мүмкіндік беретін функциялар бар.

Мысалы, мәндер векторын көрсетесіз. Бұл келесідей орындалады: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Қорытындылай келе

Дисперсиялық және математикалық күту - оларсыз болашақта ештеңені есептеу қиын. Университеттердегі дәрістердің негізгі курсында олар пәнді оқудың алғашқы айларында талқыланады. Дәл осы қарапайым ұғымдарды түсінбеу және оларды есептей алмау салдарынан көптеген студенттер бірден бағдарламадан қалып қояды және кейінірек сессия соңында нашар баға алады, бұл оларды шәкіртақыдан айырады.

Кем дегенде бір апта, күніне жарты сағат жаттығу, осы мақалада берілген тапсырмаларға ұқсас тапсырмаларды шешу. Содан кейін, ықтималдықтар теориясының кез келген сынақында сіз мысалдарды басқа кеңестерсіз және парақтарсыз жеңе аласыз.

Белгілі болғандай, таралу заңы кездейсоқ шаманы толығымен сипаттайды. Дегенмен, көбінесе тарату заңы белгісіз және аз ақпаратпен шектелуге тура келеді. Кейде жалпы кездейсоқ шаманы сипаттайтын сандарды пайдалану одан да тиімдірек; мұндай сандар деп аталады кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.Маңызды сандық сипаттамалардың бірі – математикалық күту.

Төменде көрсетілгендей математикалық күту кездейсоқ шаманың орташа мәніне шамамен тең. Көптеген есептерді шешу үшін математикалық күтуді білу жеткілікті. Мысалы, егер бірінші мергеннің жинаған ұпай санының математикалық күтуі екіншісінен көп екені белгілі болса, онда бірінші мерген орта есеппен екіншісінен көп ұпай жинайды, демек, жақсы атады. екіншісіне қарағанда. Математикалық күту кездейсоқ шама туралы оның таралу заңына қарағанда әлдеқайда аз ақпарат бергенімен, математикалық күту туралы білім жоғарыдағы және басқа да көптеген есептерді шешу үшін жеткілікті.

§ 2. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі

Математикалық күтуДискретті кездейсоқ шама - оның барлық мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы.

Кездейсоқ шама болсын X мәндерді ғана қабылдай алады X 1 , X 2 , ..., X П , ықтималдықтары сәйкесінше тең Р 1 , Р 2 , . . ., Р П . Содан кейін математикалық күту М(X) кездейсоқ шама X теңдігімен анықталады

М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x n б n .

Егер дискретті кездейсоқ шама болса X онда ықтимал мәндердің есептелетін жиынын қабылдайды

М(X)=

Сонымен қатар, теңдіктің оң жағындағы қатар абсолютті жинақталса, математикалық күту бар.

Түсініктеме. Анықтамадан дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі кездейсоқ емес (тұрақты) шама екені шығады. Бұл мәлімдемені есте сақтауды ұсынамыз, өйткені ол кейінірек бірнеше рет қолданылады. Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі де тұрақты шама екені кейінірек көрсетіледі.

1-мысал.Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табыңыз X, оның таралу заңын білу:

Шешім. Қажетті математикалық күту кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің және олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысына тең:

М(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

2-мысал.Оқиғаның қайталану санының математикалық болжамын табыңыз Абір сынақта, егер оқиғаның ықтималдығы болса Атең Р.

Шешім. Кездейсоқ мән X - оқиғаның орын алу саны Абір сынақта - тек екі мәнді қабылдай алады: X 1 = 1 (оқиға Аорын алған) ықтималдықпен РЖәне X 2 = 0 (оқиға Аорын алған жоқ) ықтималдықпен q= 1 -Р.Қажетті математикалық күту

М(X)= 1* б+ 0* q= б

Сонымен, бір сынақта оқиғаның пайда болу санының математикалық күтуі осы оқиғаның ықтималдығына тең.Бұл нәтиже төменде пайдаланылады.

§ 3. Математикалық күтудің ықтималдық мәні

Ол өндірілсін Пкездейсоқ шама болатын сынақтар X қабылданды Т 1 есе мәні X 1 , Т 2 есе мәні X 2 ,...,м к есе мәні x к , және Т 1 + Т 2 + …+т Кімге = б.Содан кейін барлық қабылданған мәндердің қосындысы X, тең

X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X Кімге Т Кімге .

Орта арифметикалық мәнді табайық Кездейсоқ шамамен қабылданған барлық мәндер, ол үшін табылған соманы сынақтардың жалпы санына бөлеміз:

= (X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X Кімге Т Кімге)/P,

= X 1 (м 1 / n) + X 2 (м 2 / n) + ... + X Кімге (Т Кімге /П). (*)

қатынас екенін байқап м 1 / n- салыстырмалы жиілік В 1 құндылықтар X 1 , м 2 / n - салыстырмалы жиілік В 2 құндылықтар X 2 т.б., қатынасты (*) былай жазамыз:

=X 1 В 1 + x 2 В 2 + .. . + X Кімге В к . (**)

Тесттер саны өте көп деп есептейік. Сонда салыстырмалы жиілік оқиғаның орын алу ықтималдығына шамамен тең (бұл IX тарауда, § 6-да дәлелденетін болады):

В 1 б 1 , В 2 б 2 , …, В к б к .

Салыстырмалы жиіліктерді (**) қатынасындағы сәйкес ықтималдықтармен ауыстыра отырып, аламыз

x 1 б 1 + X 2 Р 2 + … + X Кімге Р Кімге .

Бұл шамамен теңдіктің оң жағы М(X). Сонымен,

М(X).

Алынған нәтиженің ықтималдық мәні келесідей: математикалық күту шамамен тең(дәлірек болған сайын, сынақтар саны да көп болады) кездейсоқ шаманың байқалатын мәндерінің орташа арифметикалық мәні.

Ескерту 1. Математикалық күтудің ең кішіден үлкен және мүмкін болатын ең үлкен мәннен кіші екенін түсіну оңай. Басқаша айтқанда, сандық сызықта мүмкін мәндер математикалық күтудің сол және оң жағында орналасқан. Бұл мағынада математикалық күту таралу орнын сипаттайды және сондықтан жиі аталады тарату орталығы.

Бұл термин механикадан алынған: егер массалар Р 1 , Р 2 , ..., Р Пабсцисса нүктелерінде орналасады x 1 , X 2 , ..., X n, және
онда ауырлық центрінің абциссасы

x в =
.

Соны ескере отырып
= М (X) Және
Біз алып жатырмыз М(X)= x бірге .

Сонымен, математикалық күту дегеніміз абсциссалары кездейсоқ шаманың мүмкін мәндеріне тең, ал массалары олардың ықтималдықтарына тең болатын материалдық нүктелер жүйесінің ауырлық центрінің абсциссасы.

Ескертпе 2. «Математикалық күту» терминінің пайда болуы ықтималдық теориясының пайда болуының бастапқы кезеңімен (XVI - XVII ғасырлар) байланысты, оның қолданылу аясы құмар ойындармен шектелген. Ойыншыны күтілетін жеңістің орташа мәні немесе, басқаша айтқанда, жеңіске жетудің математикалық күтуі қызықтырды.