I denne artikel vil vi besvare spørgsmålet: "Hvordan finder man koordinaterne for skæringspunktet mellem en linje og en plan, hvis ligningerne, der definerer linjen og planet er givet"? Lad os starte med konceptet om skæringspunktet mellem en linje og et plan. Dernæst vil vi vise to måder at finde koordinaterne for skæringspunktet mellem en linje og et plan. For at konsolidere materialet skal du overveje detaljerede løsninger til eksemplerne.
Sidenavigation.
Skæringspunktet mellem en linje og et plan - definition.
Der er tre mulige muligheder for den relative position af den rette linje og planet i rummet:
- en lige linje ligger i et plan;
- en ret linje er parallel med et plan;
- en lige linje skærer et plan.
Vi er interesserede i den tredje sag. Lad os huske, hvad udtrykket "en lige linje og et plan skærer hinanden" betyder. En linje og et plan siges at skære hinanden, hvis de kun har ét fælles punkt. Dette fælles punkt med skærende linje og plan kaldes skæringspunktet mellem en linje og et plan.
Lad os give en grafisk illustration.
At finde koordinaterne for skæringspunktet for en linje og et plan.
Lad os introducere Oxyz i tredimensionelt rum. Nu svarer hver linje til en lige linjeligning af en eller anden type (artiklen er viet til dem: typer af ligninger af en linje i rummet), hver plan svarer til en ligning af en plan (du kan læse artiklen: ligningstyper af et fly), og hvert punkt svarer til en ordnet tripel af tal - punktets koordinater. Yderligere præsentation indebærer kendskab til alle typer ligninger for en linje i rummet og alle typer af ligninger i et plan, samt evnen til at bevæge sig fra en type ligninger til en anden. Men vær ikke foruroliget, gennem hele teksten vil vi give links til den nødvendige teori.
Lad os først analysere i detaljer problemet, hvis løsning vi kan opnå baseret på at bestemme skæringspunktet mellem en lige linje og et plan. Denne opgave vil forberede os til at finde koordinaterne for skæringspunktet mellem en linje og et plan.
Eksempel.
Er punktet M 0 med koordinater skæringspunktet for linjen 
og fly 
.
Løsning.
Vi ved, at hvis et punkt hører til en bestemt linje, så opfylder punktets koordinater linjens ligninger. Tilsvarende, hvis et punkt ligger i et bestemt plan, så opfylder koordinaterne for punktet denne plans ligning. Per definition er skæringspunktet for en linje og et plan et fælles punkt for linjen og planet, så opfylder skæringspunktets koordinater både linjens ligninger og planens ligning.
For at løse problemet bør vi således erstatte koordinaterne for punktet M 0 i de givne ligninger for den rette linje og ind i planens ligning. Hvis i dette tilfælde alle ligningerne bliver til korrekte ligheder, så er punktet M 0 skæringspunktet for den givne linje og plan, ellers er punktet M 0 ikke skæringspunktet mellem linjen og planet.
Erstat koordinaterne for punktet 
:
Alle ligninger omdannet til korrekte ligheder, derfor hører punktet M 0 samtidig til den rette linje og fly , dvs. M 0 er skæringspunktet for den angivne rette linje og plan.
Svar:
Ja, punktum 
er skæringspunktet for linjen og fly .
Så koordinaterne for skæringspunktet for en linje og en plan opfylder både linjens ligninger og planens ligning. Vi vil bruge denne kendsgerning, når vi finder koordinaterne for skæringspunktet mellem en linje og et plan.
Den første metode er at finde koordinaterne for skæringspunktet for en linje og et plan.
Lad en ret linje a og en plan være givet i det rektangulære koordinatsystem Oxyz, og det er kendt, at lige a og planen skærer hinanden i punktet M 0 .
De nødvendige koordinater for skæringspunktet for den rette linje a og planen, som vi allerede har sagt, opfylder både ligningerne for den rette linje a og planens ligning, derfor kan de findes som en løsning på en system af lineære ligninger af formen 
. Dette er faktisk tilfældet, da løsning af et system af lineære ligninger gør hver ligning i systemet til en identitet.
Bemærk, at med denne formulering af problemet finder vi faktisk koordinaterne for skæringspunktet for tre planer angivet af ligningerne , og .
Lad os løse et eksempel for at konsolidere materialet.
Eksempel.
En ret linje givet af ligningerne for to skærende planer som 
, skærer flyet 
. Find koordinaterne for skæringspunktet mellem linjen og planet.
Løsning.
Vi opnår de nødvendige koordinater for skæringspunktet mellem linjen og planet ved at løse et ligningssystem af formen 
. I dette tilfælde vil vi stole på oplysningerne i artiklen.
Lad os først omskrive ligningssystemet i formen 
og beregn determinanten for systemets hovedmatrix (hvis det er nødvendigt, se artiklen):
Determinanten for systemets hovedmatrix er ikke-nul, så ligningssystemet har en unik løsning. For at finde det kan du bruge enhver metode. Vi bruger : 
Sådan fik vi koordinaterne for skæringspunktet mellem linjen og planet (-2, 1, 1).
Svar:
(-2, 1, 1) .
Det skal bemærkes, at ligningssystemet har en unik løsning, hvis linjen a defineret af ligningerne 
, og planen defineret af ligningen skærer hinanden. Hvis lige linje a ligger i planet, så har systemet et uendeligt antal løsninger. Hvis den rette linje a er parallel med planet, så har ligningssystemet ingen løsninger.
Eksempel.
Find skæringspunktet for linjen 
og fly 
, hvis det er muligt.
Løsning.
"Hvis det er muligt" betyder, at linjen og flyet ikke må skære hinanden.
. Hvis dette ligningssystem har en unik løsning, vil det give os de ønskede koordinater for skæringspunktet mellem linjen og planet. Hvis dette system ikke har nogen løsninger eller har uendeligt mange løsninger, så er det udelukket at finde koordinaterne for skæringspunktet, da den rette linje enten er parallel med planet eller ligger i dette plan.
Systemets hovedmatrix har formen 
, og den udvidede matrix er 
. Lad os definere A og rangeringen af matrix T: 
. Det vil sige, at rangeringen af hovedmatrixen er lig med rangeringen af systemets udvidede matrix og er lig med to. Derfor kan man ud fra Kronecker-Capelli-sætningen hævde, at ligningssystemet har et uendeligt antal løsninger.
Altså lige ligger i et fly , og vi kan ikke tale om at finde koordinaterne for linjens og planets skæringspunkt.
Svar:
Det er umuligt at finde koordinaterne for skæringspunktet for en linje og et plan.
Eksempel.
Hvis lige 
skærer planet, og find derefter koordinaterne for punktet for deres skæringspunkt.
Løsning.
Lad os skabe et system ud fra de givne ligninger 
. For at finde dens løsning bruger vi . Gauss-metoden giver os ikke kun mulighed for at bestemme, om det skrevne ligningssystem har én løsning, et uendeligt antal løsninger eller ikke har nogen løsninger, men også at finde løsninger, hvis de findes. 
Systemets sidste ligning efter den direkte passage af Gauss-metoden blev en ukorrekt lighed, derfor har ligningssystemet ingen løsninger. Fra dette konkluderer vi, at den lige linje og flyet har ikke fælles punkter. Vi kan således ikke tale om at finde koordinaterne til deres skæringspunkt.
Svar:
Linjen er parallel med planet, og de har ikke et skæringspunkt.
Bemærk, at hvis linje a svarer til parametriske ligninger for en linje i rummet eller kanoniske ligninger for en linje i rummet, så er det muligt at opnå ligningerne for to skærende planer, der definerer linje a, og derefter finde koordinaterne for skæringspunktet af linje a og planet på en parset måde. Det er dog nemmere at bruge en anden metode, som vi nu beskriver.
Skæringslinjen mellem to planer er en ret linje. Lad os først betragte det specielle tilfælde (fig. 3.9), hvor et af de skærende planer er parallelt med det vandrette projektionsplan (α π 1, f 0 α X). I dette tilfælde vil skæringslinjen a, der hører til planet α, også være parallel med planet π 1, (fig. 3.9. a), dvs. den vil falde sammen med de skærende planers horisontal (a ≡ h) .
Hvis et af planerne er parallelt med det frontale plan af projektioner (fig. 3.9. b), så vil skæringslinjen a, der hører til dette plan, være parallel med planet π 2 og vil falde sammen med fronten af de skærende planer (a ≡ f).
.
.
Ris. 3.9. Et særligt tilfælde af skæring af et generelt plan med planerne: a - vandret niveau; b - frontal niveau
Et eksempel på konstruktion af skæringspunktet (K) af den rette linje a (AB) med plan α (DEF) er vist i fig. 3.10. For at gøre dette er den rette linje a indesluttet i et vilkårligt plan β, og skæringslinjen mellem planerne α og β bestemmes.
I det undersøgte eksempel hører rette linjer AB og MN til det samme plan β og skærer hinanden i punktet K, og da lige linjen MN hører til et givet plan α (DEF), er punktet K også skæringspunktet for den rette linje a (AB) med plan α. (Fig. 3.11).
.
Ris. 3.10. Konstruktion af skæringspunktet mellem en linje og et plan
For at løse et sådant problem i en kompleks tegning skal du være i stand til at finde skæringspunktet for en ret linje i generel position med et plan i generel position.
Lad os overveje et eksempel på at finde skæringspunktet for den rette linje AB med trekantens plan DEF vist i fig. 3.11.
For at finde skæringspunktet gennem frontprojektionen af lige linje A 2 B 2 blev der tegnet et frontalt fremspringende plan β, som skærede trekanten i punkterne M og N. På det frontale projektionsplan (π 2) er disse punkter repræsenteret ved projektioner M2, N2. Fra betingelsen om at tilhøre et lige plan på det vandrette projektionsplan (π 1) findes vandrette projektioner af de resulterende punkter M 1 N 1. Ved skæringspunktet mellem de vandrette projektioner af linjerne A 1 B 1 og M 1 N 1 dannes en vandret projektion af deres skæringspunkt (K 1). Ifølge kommunikationslinjen og betingelserne for medlemskab på det frontale plan af projektioner er der en frontal projektion af skæringspunktet (K 2).
.
Ris. 3.11. Et eksempel på bestemmelse af skæringspunktet for en linje og et plan
Synligheden af segment AB i forhold til trekant DEF bestemmes af den konkurrerende punktmetode.
På planet π 2 betragtes to punkter NEF og 1AB. Ud fra disse punkters vandrette projektioner kan det fastslås, at punkt N er placeret tættere på observatøren (Y N >Y 1) end punkt 1 (retningen af sigtelinjen er parallel med S). Følgelig er den rette linje AB, dvs. en del af den rette linje AB (K 1) dækket af planet DEF på planet π 2 (dens projektion K 2 1 2 er vist med den stiplede linje). Sigtbarheden på π 1-planet etableres på samme måde.
Spørgsmål til selvkontrol
1) Hvad er essensen af den konkurrerende pointmetode?
2) Hvilke egenskaber ved en ret linje kender du?
3) Hvad er algoritmen til at bestemme skæringspunktet for en linje og et plan?
4) Hvilke opgaver kaldes positionelle?
5) Formuler betingelserne for at tilhøre et lige plan.
Vi gør dig opmærksom på magasiner udgivet af forlaget "Academy of Natural Sciences"
Lad os overveje tilfældene: 1) når den fremspringende overflade skæres af det fremspringende plan; 2) når den udragende overflade skærer et generelt plan. I begge tilfælde, for at konstruere et udsnit af diagrammet, bruger vi den projekterende figur-algoritme (algoritme nr. 1). I det første tilfælde ved tegningen allerede...(Beskrivende geometri)
Konstruktion af en skæringslinje mellem to planer i skæringspunkterne mellem rette linjer og planet
Figur 2.60 viser konstruktionen af skæringslinjen mellem to trekanter ABC Og DEF angiver de synlige og usynlige sektioner af disse trekanter. Figur 2.60 Lige K,K2 bygget på sidernes skæringspunkter AC Og Sol trekant ABC med et trekantplan DEF....(Teknikgrafik)
Særlige tilfælde
Ved moderat tryk (Re" 1000 atm.) kan væskefasen (f.eks. vand) antages at være inkompressibel (vedr= konst). I dette tilfælde kan ligningssystemet for dette inkompressible medium forenkles yderligere og reduceres til følgende form: hvor og ved hydrostatiske kræfter (udtrykket ue7) Til...(Grundlæggende om kavitationsbehandling af multikomponentmedier)
Særlige tilfælde af ligevægt i kontinuerte systemer Barometrisk ligning
Den barometriske ligning fastslår gastrykkets afhængighed af højden. Der er talrige metoder til at udlede denne ligning, der går tilbage til Laplace. I dette tilfælde vil vi drage fordel af, at en gas placeret i et tyngdefelt er et kontinuerligt system, der indeholder en komponent - en gas med...(Termodynamik i moderne kemi)
SÆRLIGE TILFÆLDE AF GENSIDIG PARALLEL OG PERPEDIKULARITET AF EN LIGE OG FLY. SÆRLIGE TILFÆLDE AF GENSIDIG PERPEDIKULARITET AF TO FLY
Hvis flyet projicerer, så er enhver fremspringende linje af samme navn parallel med dette plan, fordi man i et plan altid kan finde en fremspringende linje af samme navn. Så i fig. 67 viser planerne: T 1Sh, FJL Sh, G1 Pz. Linjerne vil være parallelle med disse planer: EN|| T (a 1 Pg);...(Beskrivende geometri)
GENERELLE SAGER. FREMGANGSMÅDE FOR MIDLER
For at finde skæringspunkterne for en ret linje med overfladen Ф ved hjælp af mellemledsmetoden, er det tilrådeligt at omslutte den rette linje i et mellemplan T, der skærer den givne overflade Ф langs nøjagtig linje- lige eller cirkel. En oversigt og klassificering af forskellige typer af sådanne fly blev givet tidligere (se....(Beskrivende geometri)
FREMGANGSMÅDE FOR MIDLER
Hvis begge generelle positionsplaner er givet vilkårligt, så kan problemet løses ved mellemledsmetoden i overensstemmelse med algoritme nr. 2. To planer T og T1 vælges som mellemled - projekterende eller niveau (fig. 254). I tilfælde af skæringen af to planer skriver vi algoritme nr. 2 som følger: 1. Vælg T og T1....(Beskrivende geometri)
Hej venner! I dag ser vi på et emne fra beskrivende geometri - skæring af en ret linje med et plan Og bestemme linjesynlighed.
Vi tager opgaven fra Bogolyubovs samling, 1989, s. 63, var. 1. Vi skal konstruere en kompleks tegning af trekant ABC og ret linje MN ved hjælp af givne koordinater. Find mødepunktet (skæringspunktet) af den rette linje med det uigennemsigtige plan ABC Bestem de synlige snit af den rette linje.
Skæring af en lige linje med et plan
1. Ved hjælp af koordinaterne for punkterne A, B og C konstruerer vi en kompleks tegning af en trekant og en ret linje NM. Vi begynder at tegne med en vandret projektion. Vi finder koordinaterne for projektionspunkterne ved hjælp af hjælpelinjer.
2. Vi får sådan en kompleks tegning.
3. At bestemme koordinater for skæringspunktet mellem en ret linje og et plan Lad os gøre følgende.
a) Gennem den rette linie NM tegner vi et hjælpeplan P, dvs. på frontalprojektionen tegner vi et spor af planet Pv, på det vandrette plan sænker vi det vinkelrette Pn - det vandrette spor af planet P.
b) Find frontprojektionen af skæringslinjen af sporet af planet P med trekanten ABC. Dette er segmentet d'e'. Vi finder den vandrette projektion langs forbindelseslinjerne, indtil de skærer siderne ab (punkt d) og ac (punkt e) i trekanten. Vi forbinder punkterne d og e.
c) Sammen med skæringerne mellem de og nm vil der være en horisontal projektion af det ønskede punkt skæring af en ret linje med et plan k.
d) Vi tegner en forbindelseslinje fra k til skæringspunktet med d’e’, vi får en frontalprojektion af punktet k’.
e) ved hjælp af kommunikationslinjerne finder vi profilprojektionen af punkt k''.
Koordinater for skæringspunktet mellem en linje og et plan K fundet. Dette punkt kaldes også mødepunktet for linjen og flyet.
Bestemmelse af linjesynlighed
Til bestemme linjesynlighed lad os bruge metoden konkurrerende point.
I forhold til vores tegning vil de konkurrerende point være:
— point: d' tilhørende a'b' og e' tilhørende n'm' (frontalt konkurrerende),
— point: g tilhørende bc og h tilhører nm (horisontalt konkurrerende),
— point: l'' tilhørende b''c'' og p'' tilhørende n''m'' (profilkonkurrerende).
Af de to konkurrerende punkter vil det, hvis højde er større, være synligt. Sigtbarhedsgrænsen er begrænset af punkt K.
For et par punkter d' og e' bestemmer vi synlighed som følger: sænk vinkelret på skæringspunktet med ab og nm på den vandrette projektion, find punkterne d og f. Vi ser, at y-koordinaten for punkt f er større end den for d → punkt f er synlig → ret linje nm er synlig i snit f'k', og usynlig i sektion k'm'.
Vi ræsonnerer på samme måde for et par punkter g og h: på frontalprojektionen er z-koordinaten for punkt h' større end den for g' → punkt h' er synlig, g' er ikke → ret linje nm er synlig på segment hk, men usynlig på segmentet kn.
Og for et par punkter l''p'': på frontalprojektionen er x-koordinaten større ved punktet p', hvilket betyder, at den dækker punkt l'' på profilprojektionen → p'' er synlig, l'' er ikke → lige linjestykke n' 'k'' er synlig, k''m'' er usynlig.
Dette kapitel taler om, hvordan man finder koordinaterne for skæringspunktet for en linje med en plan givet de ligninger, der definerer denne plan. Begrebet skæringspunktet for en linje med et plan og to måder at finde koordinaterne for skæringspunktet for en linje med et plan vil blive overvejet.
For en dybdegående undersøgelse af teorien er det nødvendigt at begynde overvejelserne med begrebet et punkt, en ret linje, et plan. Begrebet et punkt og en lige linje betragtes både på planet og i rummet. For en detaljeret overvejelse er det nødvendigt at vende sig til emnet lige linjer og planer i rummet.
Der er flere variationer i linjens placering i forhold til planet og rummet:
- en lige linje ligger i et plan;
- en ret linje er parallel med et plan;
- en lige linje skærer et plan.
Hvis vi betragter det tredje tilfælde, kan vi tydeligt se, at når en ret linje og et plan skærer hinanden, danner de et fælles punkt, som kaldes skæringspunktet mellem den rette linje og planet. Lad os se på denne sag ved hjælp af et eksempel.
At finde koordinaterne for skæringspunktet for en linje og et plan
Et rektangulært koordinatsystem O x y z af tredimensionelt rum blev introduceret. Hver lige linje har sin egen ligning, og hver plan svarer til sin egen givne ligning, hvert punkt har et vist antal reelle tal - koordinater.
For i detaljer at forstå emnet for skæringskoordinater, skal du kende alle typer af lige linjeligninger i rum- og planligninger. i dette tilfælde vil viden om overgangen fra en type ligning til en anden være nyttig.
Overvej et problem, der er baseret på et givet skæringspunkt mellem en linje og et plan. det handler om at finde koordinaterne for krydsene.
Eksempel 1
Beregn om punktet M 0 med koordinater - 2, 3, - 5 kan være skæringspunktet for linjen x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 med planen x - 2 y - z + 3 = 0.
Løsning
Når et punkt hører til en bestemt linje, er skæringspunktets koordinater løsningen på begge ligninger. Ud fra definitionen har vi, at der ved skæringspunktet dannes et fælles punkt. For at løse problemet skal du erstatte koordinaterne for punktet M 0 i begge ligninger og beregne. Hvis det er skæringspunktet, vil begge ligninger svare.
Lad os forestille os koordinaterne for punktet - 2, 3, - 5 og få:
2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0
Da vi opnår de korrekte ligheder, konkluderer vi, at punktet M 0 er skæringspunktet for den givne linje med planet.
Svar: det givne punkt med koordinater er skæringspunktet.
Hvis skæringspunktets koordinater er løsninger til begge ligninger, så skærer de hinanden.
Den første metode er at finde koordinaterne for skæringspunktet mellem en linje og et plan.
Når en ret linje a er specificeret med et plan α af et rektangulært koordinatsystem, er det kendt, at de skærer hinanden i punktet M 0. Lad os først se efter koordinaterne for et givet skæringspunkt for en given planligning, som har formen A x + B y + C z + D = 0 med en ret linje a, som er skæringspunktet mellem planerne A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Denne metode til at definere en linje i rummet er diskuteret i artiklen ligninger af en linje og ligninger af to skærende planer.
Koordinaterne til den rette linje a og planen α, vi skal bruge, skal opfylde begge ligninger. Således specificeres et system af lineære ligninger, som har formen
A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Løsning af systemet indebærer at gøre hver identitet til en ægte lighed. Det skal bemærkes, at vi med denne løsning bestemmer koordinaterne for skæringspunktet mellem 3 planer af formen A x + B y + C z + D = 0, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A2x + B2y + C2z + D2 = 0. For at konsolidere materialet vil vi overveje at løse disse problemer.
Eksempel 2
Den rette linje er defineret af ligningen af to skærende planer x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0, og skærer en anden 3 x - z + 7 = 0. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for skæringspunktet.
Løsning
Vi får de nødvendige koordinater ved at kompilere og løse et system, der har formen x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0.
Du bør være opmærksom på emnet løsning af lineære ligningssystemer.
Lad os tage et ligningssystem af formen x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 og udføre beregninger ved hjælp af determinanten af systemets hovedmatrix. Det forstår vi
∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 0 (- 1) + (- 1) 2 3 + 0 5 0 - 0 0 3 - 1 2 0 - (- 1) · 5 · (- 1 ) = - 11
Da determinanten af matricen ikke er lig med nul, har systemet kun én løsning. For at gøre dette vil vi bruge Cramers metode. Det anses for meget praktisk og velegnet til denne lejlighed.
∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) 0 (- 1) + (- 1) 2 (- 7) + 0 (- 8) 0 - - 0 0 (- 7) - (- 3) 2 0 - (- 1) (- 8) (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · ( - 8) 3 - 1 2 (- 7) - (- 3) 5 (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 0 (- 7) + ( - 1) (- 8) 3 + (- 3) 5 0 - - (- 3) 0 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1
Det følger heraf, at koordinaterne for skæringspunktet for en given linje og et plan har værdien (- 2, 1, 1).
Svar: (- 2 , 1 , 1) .
Et ligningssystem af formen A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 har kun én løsning. Når linje a er defineret af ligninger som A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, og planen α er givet ved A x + B y + C z + D = 0, så skærer de hinanden. Når en ret linje ligger i et plan, producerer systemet et uendeligt antal løsninger. Hvis de er parallelle, har ligningen ingen løsninger, da der ikke er nogen fælles skæringspunkter.
Eksempel 3
Find skæringspunktet for den rette linje z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 og planen 2 x - y - 3 z + 1 = 0.
Løsning
De givne ligninger skal konverteres til systemet z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0. Når den har en unik løsning, får vi de nødvendige krydskoordinater på punktet. Forudsat at hvis der ikke er løsninger, så er de parallelle, eller den rette linje ligger i samme plan.
Vi opnår, at systemets hovedmatrix er A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3, den udvidede matrix er T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1. Vi skal bestemme rangeringen af matrix A og T ved hjælp af Gauss-metoden:
1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0
Så finder vi ud af, at rangeringen af hovedmatrixen er lig med rangeringen af den udvidede. Lad os anvende Kronecker-Capelli-sætningen, som viser, at systemet har et uendeligt antal løsninger. Vi opnår, at den rette linje z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 tilhører planet 2 x - y - 3 z + 1 = 0, hvilket indikerer umuligheden af deres skæringspunkt og tilstedeværelsen af et fælles punkt.
Svar: der er ingen koordinater for skæringspunktet.
Eksempel 4
Givet skæringspunktet mellem den rette linje x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 og planen x + 4 y - 7 z + 2 = 0, find koordinaterne for skæringspunktet.
Løsning
Det er nødvendigt at samle de givne ligninger til et system af formen x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0. Til at løse bruger vi den Gaussiske metode. Med dens hjælp vil vi kortlægge alle tilgængelige løsninger. For at gøre dette, lad os skrive
x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25
Efter at have anvendt Gauss-metoden blev det klart, at ligheden er forkert, da ligningssystemet ikke har nogen løsninger.
Vi konkluderer, at den rette linje x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 med planen x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ikke har nogen skæringspunkter. Det følger heraf, at det er umuligt at finde punktets koordinater, da de ikke skærer hinanden.
Svar: der er ingen skæringspunkter, da linjen er parallel med planet.
Når en ret linje er givet ved en parametrisk eller kanonisk ligning, så kan du herfra finde ligningen for de skærende planer, der definerer den rette linje a, og derefter lede efter de nødvendige koordinater for skæringspunktet. Der er en anden metode, der bruges til at finde koordinaterne for skæringspunktet for en linje og et plan.
Den anden metode til at finde et punkt begynder med at specificere en ret linje a, der skærer planen α i punktet M 0. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for et givet skæringspunkt for en given planligning A x + B y + C z + D = 0. Vi definerer den rette linje a ved parametriske ligninger på formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, λ ∈ R.
Når der foretages substitution i ligningen A x + B y + C z + D = 0 x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , tager udtrykket form af en ligning med en ukendt λ. Det er nødvendigt at løse det med hensyn til λ, så får vi λ = λ 0, som svarer til koordinaterne for det punkt, hvor de skærer hinanden. Koordinaterne for et punkt beregnes ud fra x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .
Denne metode vil blive diskuteret mere detaljeret ved hjælp af eksemplerne nedenfor.
Eksempel 5
Find koordinaterne for linjens skæringspunkt x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ, λ ∈ R med planen x + 4 y + z - 2 = 0 .
Løsning
For at løse systemet er det nødvendigt at foretage en substitution. Så får vi det
1 + 4 λ + 4 7 - 7 λ + 2 - 3 λ - 2 = 0 ⇔ - 27 λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1
Lad os finde koordinaterne for skæringspunktet mellem planen og den rette linje ved hjælp af parametriske ligninger med værdien λ = 1.
x = - 1 + 4 1 y = 7 - 7 1 z = 2 - 3 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1
Svar: (3 , 0 , - 1) .
Når en linje med formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, hører λ ∈ R til planen A x + B y + C z + D = 0 , så er det nødvendigt at erstatte ligningen for udtryksplanet x = x 1 + a x · λ, y = y 1 + a y · λ, z = z 1 + a z · λ, så får vi en identitet af denne form 0 ≡ 0. Hvis planet og linjen er parallelle, får vi en forkert lighed, da der ikke er nogen skæringspunkter.
Hvis en ret linje er givet ved en kanonisk ligning med formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z, så er det nødvendigt at gå fra kanonisk til parametrisk, når man søger efter koordinaterne for punktet af skæring af den rette linje med planen A x + B y + C z + D = 0, det vil sige, vi får x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ og Vi vil anvende den nødvendige metode til at finde koordinaterne for skæringspunktet for en given linje og et plan i rummet.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Indlæser...
