Здравейте котенца! Последния път анализирахме подробно какви са корените (ако не си спомняте, препоръчвам да прочетете). Основният извод от този урок: има само една универсална дефиниция за корени, която трябва да знаете. Останалото са глупости и загуба на време.
Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои проблеми, свързани с умножението (ако тези проблеми не се решат, тогава те могат да станат фатални на изпита) и ще практикуваме правилно. Така че запасете се с пуканки, настанете се удобно - и ще започнем. :)
Все още не си пушил, нали?
Урокът се оказа доста голям, затова го разделих на две части:
- Първо, ще разгледаме правилата за умножение. Изглежда, че шапката намеква: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножете“ - и ние искаме да направим нещо с него.
- След това ще анализираме обратната ситуация: има един голям корен и нямахме търпение да го представим като продукт на два корена по по-опростен начин. С каква уплаха е необходимо е отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.
За тези, които нямат търпение да скочат направо в част 2, не сте добре дошли. Да започнем с останалите по ред.
Основно правило за умножение
Нека започнем с най-простото - класически квадратни корени. Тези, които са обозначени с $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. За тях всичко е общо взето ясно:
правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто трябва да умножите техните радикални изрази и да напишете резултата под общия радикал:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват корените на множителя, тогава съществува и произведението.
Примери. Помислете за четири примера с числа наведнъж:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(подравняване)\]
Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационалните изрази. И ако в първия пример щяхме да извлечем корените от 25 и 4 без нови правила, тогава калай започва: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се броят сами по себе си, а тяхното произведение се оказва точен квадрат, така че коренът му е равен на рационално число.
Отделно бих искал да отбележа последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се отменят и целият израз се превръща в подходящо число.
Разбира се, не всичко винаги ще бъде толкова красиво. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да се прави с него и как да се трансформира след умножение. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, ще има всякакви променливи и функции като цяло. И много често съставителите на проблемите просто разчитат на факта, че ще намерите някои договорни условия или фактори, след което задачата ще бъде значително опростена.
Освен това не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три наведнъж, четири - да, дори десет! Това няма да промени правилото. Погледни:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(подравняване)\]
И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия множител има десетична дроб под корена - в процеса на изчисления я заменяме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. Така че: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всякакви ирационални изрази (тоест, съдържащи поне една радикална икона). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.
Но това беше лирично отклонение. Сега нека разгледаме един по-общ случай - когато коренната степен съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.
Случаят на произволен индикатор
И така, разбрахме квадратните корени. И какво да правя с кубчетата? Или изобщо с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:
За да умножите два корена от степен $n$, е достатъчно да умножите техните радикални изрази, след което резултатът се записва под един радикал.
Като цяло, нищо сложно. Освен ако обемът на изчисленията може да бъде повече. Нека разгледаме няколко примера:
Примери. Изчислете продуктите:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(подравняване)\]
И отново внимание към втория израз. Умножаваме кубичните корени, освобождаваме се от десетичната дроб и в резултат получаваме в знаменателя произведението на числата 625 и 25. Това е доста голямо число - лично аз няма да изчислявам веднага на какво е равно да се.
Следователно ние просто избрахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако желаете, дефиницията) на корена от $n$-та степен:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| а\вдясно|. \\ \end(подравняване)\]
Такива "измами" могат да ви спестят много време на изпит или тест, така че запомнете:
Не бързайте да умножавате числата в радикалния израз. Първо, проверете: ами ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?
При цялата очевидност на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти направо не виждат точните степени. Вместо това те умножават всичко напред и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)
Всичко това обаче е детска игра в сравнение с това, което ще изучаваме сега.
Умножение на корени с различни степени
Е, сега можем да умножим корени със същите степени. Ами ако оценките са различни? Кажете, как да умножите обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?
Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:
Правило за умножение на корените. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, просто направете следната трансформация:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна забележка, към която ще се върнем малко по-късно.
За сега нека разгледаме няколко примера:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(подравняване)\]
Както виждате, нищо сложно. Сега нека да разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим. :)
Лесно е да се размножават корените. Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?
Разбира се, можете да станете като училищни учители и да цитирате учебник с умен вид:
Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четна и нечетна степен (съответно техните области на дефиниране също са различни).
Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах за себе си нещо подобно: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, аз тогава не разбирах нищо. :)
Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.
Първо, нека разберем откъде идва формулата за умножение по-горе. За да направите това, нека ви напомня за едно важно свойство на корена:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
С други думи, можем безопасно да повишим коренния израз до произволна естествена степен $k$ - в този случай коренният индекс ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да сведем всякакви корени до общ индикатор, след което умножаваме. Ето откъде идва формулата за умножение:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Но има един проблем, който силно ограничава приложението на всички тези формули. Помислете за това число:
Според току-що дадена формула можем да добавим всяка степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Премахнахме минуса именно защото квадратът изгаря минуса (както всяка друга четна степен). И сега нека извършим обратното преобразуване: "намали" двете в степен и степен. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:
\[\begin(подравняване) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Надясно \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Надясно \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(подравняване)\]
Но тогава се случва нещо лудо:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Това не може да бъде, защото $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две опции:
- Да се бориш срещу стената, за да твърдиш, че математиката е глупава наука, където „има някакви правила, но това е неточно“;
- Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.
При първия вариант ще трябва непрекъснато да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, дълго и като цяло фу. Затова математиците предпочетоха втория вариант. :)
Но не се притеснявайте! На практика това ограничение не се отразява по никакъв начин на изчисленията, тъй като всички описани проблеми засягат само корените от нечетна степен и от тях могат да бъдат извадени минуси.
Ето защо формулираме друго правило, което се прилага като цяло за всички действия с корени:
Преди да умножите корените, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.
Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да извадите минуса под знака корен - тогава всичко ще бъде наред:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Стрелка надясно \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(подравняване)\]
Почувствай разликата? Ако оставите минус под корена, тогава когато коренният израз се постави на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупостите. И ако първо извадите минус, тогава можете дори да вдигнете / премахнете квадрат, докато не станете сини в лицето - числото ще остане отрицателно. :)
По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е както следва:
- Премахнете всички минуси от под радикалите. Минусите са само в корените на нечетно множество - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуса).
- Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако индексите на корените са еднакви, просто умножете коренните изрази. И ако са различни, ние използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Радваме се на резултата и добрите оценки. :)
Добре? Ще практикуваме ли?
Пример 1. Опростете израза:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \вдясно)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(подравняване)\]
Това е най-простият вариант: индикаторите на корените са еднакви и нечетни, проблемът е само в минуса на втория множител. Издържаме този минус нафиг, след което всичко се обмисля лесно.
Пример 2. Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]
Тук мнозина биха били объркани от факта, че изходът се оказа ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.
Пример 3. Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \вдясно))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
На това бих искал да ви обърна внимание. Тук има две точки:
- Под корена не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често ще трябва да имате работа с променливи.
- В крайна сметка успяхме да „намалим“ основния показател и степента в радикалния израз. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опрости изчисленията, ако не използвате основната формула.
Например, можете да направите това:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \вдясно))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(подравняване)\]
Всъщност всички трансформации бяха извършени само с втория радикал. И ако не рисувате подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството на изчисленията значително ще намалее.
Всъщност вече се сблъскахме с подобна задача по-горе, когато решавахме примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-лесно:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(подравняване)\]
Е, разбрахме умножението на корените. Сега помислете за обратната операция: какво да правите, когато има работа под корена?
Наличието на квадратни корени в израза усложнява процеса на деление, но има правила, по които работата с дроби става много по-лесна.
Единственото нещо, което трябва да имате предвид през цялото време- радикалните изрази се делят на радикални изрази, а факторите на фактори. В процеса на разделяне на квадратни корени, ние опростяваме дроба. Също така, припомнете си, че коренът може да бъде в знаменателя.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Метод 1. Разделяне на радикални изрази
Алгоритъм за действие:
Напишете дроб
Ако изразът не е представен като дроб, е необходимо да се запише така, защото е по-лесно да се следва принципът на разделяне на квадратни корени.
Пример 1
144 ÷ 36 , този израз трябва да се пренапише така: 144 36
Използвайте един коренен знак
Ако и числителят, и знаменателят съдържат квадратни корени, е необходимо да се запишат техните коренни изрази под един и същ коренен знак, за да се улесни процеса на решаване.
Напомняме ви, че радикален израз (или число) е израз под знака за корен.
Пример 2
144 36 . Този израз трябва да се запише така: 144 36
Разделени коренни изрази
Просто разделете един израз на друг и запишете резултата под знака корен.
Пример 3
144 36 = 4 , ние записваме този израз, както следва: 144 36 = 4
Опростете радикалния израз (ако е необходимо)
Ако коренният израз или един от факторите е перфектен квадрат, опростете този израз.
Припомнете си, че перфектният квадрат е число, което е квадрат на някакво цяло число.
Пример 4
4 е перфектен квадрат, защото 2 × 2 = 4. Следователно:
4 = 2 × 2 = 2. Следователно 144 36 = 4 = 2 .
Метод 2. Разлагане на радикалния израз на фактори
Алгоритъм за действие:
Напишете дроб
Препишете израза като дроб (ако е представен като такъв). Това значително опростява процеса на разделяне на изрази с квадратен корен, особено при разлагане на множители.
Пример 5
8 ÷ 36 , пренапишете така 8 36
Разложете на множители всеки от радикалните изрази
Разложете числото под корена, както всяко друго цяло число, запишете факторите само под знака за корен.
Пример 6
8 36 = 2 x 2 x 2 6 x 6
Опростете числителя и знаменателя на дроб
За да направите това, е необходимо да извадите фактори, които са пълни квадрати под знака на корена. По този начин факторът на коренния израз става фактор преди коренния знак.
Пример 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , от което следва: 8 36 = 2 2 6
Рационализирайте знаменателя (отървете се от корена)
В математиката има правила, според които оставянето на корена в знаменателя е признак на лош вкус, т.е. забранено е. Ако в знаменателя има корен квадратен, тогава се отървете от него.
Умножете числителя и знаменателя по корен квадратен, от който искате да се отървете.
Пример 8
В израза 6 2 3 трябва да умножите числителя и знаменателя по 3, за да се отървете от него в знаменателя:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Опростете получения израз (ако е необходимо)
Ако числителят и знаменателят съдържат числа, които могат и трябва да бъдат намалени. Опростете такива изрази, както бихте направили всяка дроб.
Пример 9
2 6 опростява до 1 3 ; така че 2 2 6 се опростява до 1 2 3 = 2 3
Метод 3. Разделяне на квадратни корени с фактори
Алгоритъм за действие:
Опростете множителите
Припомнете си, че факторите са числата преди основния знак. За да опростите факторите, ще трябва да ги разделите или намалите. Не докосвайте коренните изрази!
Пример 10
4 32 6 16 . Първо, намаляваме 4 6: разделяме на 2 както числителя, така и знаменателя: 4 6 = 2 3.
Опростете квадратните корени
Ако числителят се дели равномерно на знаменателя, тогава разделете. Ако не, тогава опростете радикалните изрази като всеки друг.
Пример 11
32 се дели равномерно на 16, така че: 32 16 = 2
Умножете опростените множители по опростени корени
Запомнете правилото: не оставяйте корени в знаменателя. Следователно, ние просто умножаваме числителя и знаменателя по този корен.
Пример 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Рационализирайте знаменателя (отървете се от корена в знаменателя)
Пример 13
4 3 2 7 . Умножете числителя и знаменателя по 7, за да се отървете от корена в знаменателя.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Метод 4. Деление на бином с корен квадратен
Алгоритъм за действие:
Определете дали биномът (биномът) е в знаменателя
Припомнете си, че биномът е израз, който включва 2 монома. Този метод се прилага само в случаите, когато знаменателят е бином с корен квадратен.
Пример 14
1 5 + 2 - в знаменателя има бином, тъй като има два монома.
Намерете израз, конюгат на бином
Припомнете си, че спрегнатият бином е бином със същите мономи, но противоположни знаци. За да опростите израза и да се отървете от корена в знаменателя, трябва да умножите спрегнатите биноми.
Пример 15
5 + 2 и 5 - 2 са спрегнати биноми.
Умножете числителя и знаменателя по бинома, който е конюгиран с бинома в знаменателя
Тази опция ще ви помогне да се отървете от корена в знаменателя, тъй като продуктът на спрегнатите биноми е равен на разликата на квадратите на всеки биномен член: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Пример 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
От това следва: 1 5 + 2 = 5 - 2 23 .
съвет:
- Ако работите с квадратните корени от смесени числа, тогава ги преобразувайте в неправилна дроб.
- Разликата между събиране и изваждане от деление е, че радикалните изрази в случай на деление не се препоръчват да се опростяват (поради пълни квадрати).
- Никога (!) не оставяйте корена в знаменателя.
- Без десетични знаци или смесени преди корена - трябва да ги преобразувате в обикновена дроб и след това да опростите.
- Знаменателят е сборът или разликата от два монома? Умножете такъв бином по неговия конюгиран бином и се отървете от корена в знаменателя.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Коренни формули. свойства на квадратни корени.
Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")
В предишния урок разбрахме какво е корен квадратен. Време е да разберем какви са формули за корени, какво са коренови свойстваи какво може да се направи за всичко това.
Основни формули, коренни свойства и правила за действия с корени- по същество е едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което, разбира се, радва! По-скоро можете да напишете много всякакви формули, но само три са достатъчни за практична и уверена работа с корени. Всичко останало произтича от тези три. Въпреки че много се отклоняват в трите формули на корените, да...
Нека започнем с най-простото. Ето я:
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Силови формулиизползва се в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.
номер ° Се н-та степен на число акога:
Операции с градуси.
1. Умножавайки градуси със същата основа, техните показатели се сумират:
а мa n = a m + n .
2. При деление на степени с една и съща основа техните показатели се изваждат:
3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:
(abc…) n = a n b n c n …
4. Степента на дроб е равна на съотношението на степените на дивидента и делителя:
(a/b) n = a n / b n .
5. Повишавайки степен на степен, степените се умножават:
(am) n = a m n .
Всяка формула по-горе е правилна в посоките отляво надясно и обратно.
например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Операции с корени.
1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:
2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:
3. Когато се повдига корен на степен, достатъчно е да се повиши коренното число на тази степен:
4. Ако увеличим степента на корена в нведнъж и в същото време повдигнете до нстепента е коренно число, тогава стойността на корена няма да се промени:
5. Ако намалим степента на корена в н root едновременно нта степен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:
Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (целочислен) показател се дефинира като единица, разделена на степента на същото число с експонент, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:
Формула а м:a n = a m - nможе да се използва не само за м> н, но и при м< н.
например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
За формула а м:a n = a m - nстана справедлив при m=n, имате нужда от наличието на нулева степен.
Степен с нулева степен.Силата на всяко ненулево число с нулева степен е равна на единица.
например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степен с дробен показател.За да съберете реално число адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на мстепен на това число а.
Известно е, че коренният знак е корен квадратен на някакво число. Въпреки това, коренният знак означава не само алгебрична операция, но се използва и в дървообработването - при изчисляване на относителните размери.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ако искате да научите как да умножавате корени "с" или "без" фактори, тогава тази статия е за вас. В него ще разгледаме методи за умножаване на корени:
- без множители;
- с множители;
- с различни показатели.
Метод за коренно умножение без множители
Алгоритъм за действие:
Уверете се, че коренът има еднакви експоненти (градуси). Припомнете си, че степента е написана вляво над коренния знак. Ако няма обозначение на степен, това означава, че коренът е квадратен, т.е. със степен 2 и може да се умножи по други корени със степен 2.
Пример
Пример 1: 18 × 2 = ?
Пример 2: 10 × 5 = ?
Пример
Пример 1: 18 × 2 = 36
Пример 2: 10 × 5 = 50
Пример 3: 3 3 × 9 3 = 27 3
Опростете коренните изрази.Когато умножим корените един с друг, можем да опростим получения радикален израз до произведението на число (или израз) от пълен квадрат или куб:
Пример
Пример 1: 36 = 6 . 36 е корен квадратен от шест (6 × 6 = 36).
Пример 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Разлагаме числото 50 на произведението на 25 и 2. Коренът от 25 е 5, така че изваждаме 5 под знака за корен и опростяваме израза.
Пример 3: 27 3 = 3 . Кубичният корен от 27 е 3: 3 × 3 × 3 = 27.
Методът за умножаване на показателите с множители
Алгоритъм за действие:
Умножете множителите.Множителят е числото, което идва преди основния знак. При липса на множител, по подразбиране се счита за единица. След това трябва да умножите факторите:
Пример
Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3
Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 х 3 = 12
Умножете числата под знака корен.След като умножите факторите, не се колебайте да умножите числата под коренния знак:
Пример
Пример 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20
Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18
Опростете коренния израз.След това трябва да опростите стойностите, които са под основния знак - трябва да извадите съответните числа от основния знак. След това трябва да умножите числата и факторите, които идват преди коренния знак:
Пример
Пример 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5
Пример 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2
Метод за коренно умножение с различни степени
Алгоритъм за действие:
Намерете най-малкото общо кратно (LCM) на експонентите.Най-малкото общо кратно е най-малкото число, делящо се на двата показателя.
Пример
Необходимо е да се намери LCM на индикаторите за следния израз:
Показателите са 3 и 2. За тези две числа най-малкото общо кратно е числото 6 (то се дели без остатък и на 3, и на 2). За да умножите корените, е необходим показател 6.
Запишете всеки израз с нов показател:
Намерете числата, с които трябва да умножите индикаторите, за да получите LCM.
В израза 5 3 трябва да умножите 3 по 2, за да получите 6. И в израза 2 2 - напротив, е необходимо да се умножи по 3, за да се получи 6.
Повишете числото под знака корен до степен, равна на числото, намерено в предишната стъпка. За първия израз 5 трябва да се повиши на степен 2, а вторият - 2 на степен 3:
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Повишете до степента на израза и запишете резултата под знака корен:
5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6
Умножете числата под корена:
(8×25) 6
Напишете резултат:
(8 × 25) 6 = 200 6
Ако е възможно, опростете израза, но в този случай той не е опростен.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Зареждане...
