Помислете за две равнини Р 1 и Р 2 с нормални вектори н 1 и н 2. Ъгъл φ между равнините Р 1 и Р 2 се изразява чрез ъгъл ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\), както следва: ако ψ < 90 °, тогава φ = ψ (фиг. 202, а); ако ψ > 90 °, тогава ψ = 180 ° - ψ (фиг. 202.6).
Очевидно е, че във всеки случай равенството е вярно
cos φ = |cos ψ|
Тъй като косинусът на ъгъла между ненулевите вектори е равен на скаларно произведениеот тези вектори, разделени на произведението на техните дължини, имаме
$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$
и следователно косинусът на ъгъла φ между равнините Р 1 и Р 2 може да се изчисли по формулата
$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$
Ако равнините са дадени с общи уравнения
A 1 х+ B 1 г+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 х+ B 2 г+ C 2 z+ D 2 = 0,
тогава за техните нормални вектори можем да вземем векторите н 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) и н 2 = (A 2; B 2; C 2).
Записвайки дясната страна на формула (1) по координати, получаваме
$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$
Задача 1.Изчислете ъгъла между равнините
х - √2 г + z- 2 = 0 и x+ √2 г - z + 13 = 0.
В този случай A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.
От формула (2) получаваме
$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$
Следователно ъгълът между тези равнини е 60°.
Плоскости с нормални вектори н 1 и н 2:
а) са успоредни тогава и само тогава, когато векторите н 1 и н 2 са колинеарни;
б) перпендикулярни тогава и само тогава, когато векторите н 1 и н 2 са перпендикулярни, т.е. когато н 1 н 2 = 0.
Оттук получаваме необходимите и достатъчни условия за успоредност и перпендикулярност на две равнини, дадени от общи уравнения.
Да самолет
A 1 х+ B 1 г+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 х+ B 2 г+ C 2 z+ D 2 = 0
са били успоредни, е необходимо и достатъчно равенствата да са в сила
$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$
Ако някой от коефициентите A 2 , B 2 , C 2 е равен на нула, се приема, че съответният коефициент A 1 , B 1 , C 1 също е равен на нула
Неспазването на поне едно от тези две равенства означава, че равнините не са успоредни, тоест се пресичат.
За перпендикулярност на равнините
A 1 х+ B 1 г+ C 1 z+ D 1 = 0 и A 2 х+ B 2 г+ C 2 z+ D 2 = 0
е необходимо и достатъчно, за да е спазено равенството
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)
Задача 2.Сред следните двойки самолети:
2х + 5при + 7z- 1 = 0 и 3 х - 4при + 2z = 0,
при - 3z+ 1 = 0 и 2 при - 6z + 5 = 0,
4х + 2при - 4z+ 1 = 0 и 2 х + при + 2z + 3 = 0
показват успоредни или перпендикулярни. За първата двойка самолети
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,
условието за перпендикулярност е изпълнено. Равнините са перпендикулярни.
За втората двойка самолети
\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), тъй като \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)
а коефициентите A 1 и A 2 са равни на нула. Следователно равнините на втората двойка са успоредни. За третия чифт
\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), тъй като \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)
и A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, т.е. равнините на третата двойка не са нито успоредни, нито перпендикулярни.
Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.
Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.
Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.
Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решение сложни задачи 2 части от Единния държавен изпит.
Тази статия е за ъгъла между равнините и как да го намерите. Първо е дадена дефиницията на ъгъла между две равнини и е дадена графична илюстрация. След това беше анализиран принципът за намиране на ъгъла между две пресичащи се равнини с помощта на координатния метод и беше получена формула, която ви позволява да изчислите ъгъла между пресичащите се равнини, като използвате известните координати на нормалните вектори на тези равнини. В заключение е показано подробни решенияхарактерни задачи.
Навигация в страницата.
Ъгъл между равнините - определение.
Нека представим аргументи, които ще ни позволят постепенно да се приближим до определянето на ъгъла между две пресичащи се равнини.
Нека ни бъдат дадени две пресичащи се равнини и . Тези равнини се пресичат по права линия, която означаваме с буквата c. Нека построим равнина, минаваща през точка M на права c и перпендикулярна на права c. В този случай равнината ще пресича равнините и. Правата, по която се пресичат равнините, да означим с a, а правата, по която се пресичат равнините, с b. Очевидно правите a и b се пресичат в точка M.
Лесно е да се покаже, че ъгълът между пресичащите се прави a и b не зависи от местоположението на точка M върху правата c, през която минава равнината.
Нека построим равнина, перпендикулярна на правата c и различна от равнината. Равнината се пресича от равнини и по прави линии, които означаваме съответно като a 1 и b 1.
От метода за конструиране на равнини следва, че правите a и b са перпендикулярни на права c, а правите a 1 и b 1 са перпендикулярни на права c. Тъй като правите a и a 1 лежат в една равнина и са перпендикулярни на правата c, то те са успоредни. По същия начин, правите b и b1 лежат в една и съща равнина и са перпендикулярни на права c, следователно, те са успоредни. По този начин е възможно да се извърши паралелно прехвърляне на равнината към равнината, в която права линия a 1 съвпада с права линия a, а права линия b с права линия b 1. Следователно ъгълът между две пресичащи се прави a 1 и b 1 равен на ъгълмежду пресичащите се прави a и b.
Това доказва, че ъгълът между пресичащите се прави a и b, лежащи в пресичащи се равнини, не зависи от избора на точка M, през която минава равнината. Следователно е логично този ъгъл да се приеме като ъгъл между две пресичащи се равнини.
Сега можете да изразите определението на ъгъла между две пресичащи се равнини и.
Определение.
Ъгълът между две равнини, пресичащи се по права линия и- това е ъгълът между две пресичащи се прави a и b, по които равнините и се пресичат с равнината, перпендикулярна на правата c.
Дефиницията на ъгъла между две равнини може да се даде малко по-различно. Ако на правата c, по която се пресичат равнините и, маркирате точка M и през нея прекарате прави a и b, перпендикулярни на правата c и лежащи в равнините и съответно, тогава ъгълът между правите a и b е ъгълът между равнините и. Обикновено в практиката се изпълняват точно такива конструкции, за да се получи ъгълът между равнините.
Тъй като ъгълът между пресичащите се прави линии не надвишава , от посоченото определение следва, че градусната мярка на ъгъла между две пресичащи се равнини се изразява реално числоот интервала. В този случай се наричат пресичащи се равнини перпендикулярен, ако ъгълът между тях е деветдесет градуса. Ъгъл между успоредни равниниили изобщо не го определят, или го смятат за равен на нула.
Намиране на ъгъла между две пресичащи се равнини.
Обикновено, когато намирате ъгъл между две пресичащи се равнини, първо трябва да извършите допълнителни конструкции, за да видите пресичащите се прави линии, ъгълът между които е равен на желания ъгъл, и след това да свържете този ъгъл с оригиналните данни, като използвате тестове за равенство, подобие тестове, косинусовата теорема или дефинициите на синус, косинус и тангенс на ъгъла. В курса по геометрия гимназиявъзникват подобни проблеми.
Като пример, нека дадем решението на задача С2 от Единния държавен изпит по математика за 2012 г. (условието е умишлено променено, но това не засяга принципа на решението). В него просто трябваше да намерите ъгъла между две пресичащи се равнини.
Пример.
Решение.
Първо, нека направим чертеж.
Нека направим допълнителни конструкции, за да „видим“ ъгъла между равнините.
Първо, нека определим права линия, по която се пресичат равнините ABC и BED 1. Точка B е една от техните общи точки. Нека намерим втората обща точка на тези равнини. Правите DA и D 1 E лежат в една и съща равнина ADD 1 и не са успоредни и следователно се пресичат. От друга страна, правата DA лежи в равнината ABC, а правата D 1 E - в равнината BED 1, следователно пресечната точка на правите DA и D 1 E ще бъде общата точка на равнините ABC и BED 1. И така, нека продължим линиите DA и D 1 E до тяхното пресичане, като обозначим точката на тяхното пресичане с буквата F. Тогава BF е правата, по която се пресичат равнините ABC и BED 1.
Остава да се построят две прави, лежащи съответно в равнините ABC и BED 1, минаващи през една точка на правата BF и перпендикулярна на правата BF - ъгълът между тези линии по дефиниция ще бъде равен на желания ъгъл между равнини ABC и BED 1. Хайде да го направим.
Точка A е проекцията на точка E върху равнината ABC. Нека начертаем права линия, пресичаща права BF под прав ъгъл в точка M. Тогава правата AM е проекцията на правата EM върху равнината ABC и по теоремата за трите перпендикуляра.
Така търсеният ъгъл между равнините ABC и BED 1 е равен на .
Можем да определим синуса, косинуса или тангенса на този ъгъл (и следователно самия ъгъл) от правоъгълен триъгълник AEM, ако знаем дължините на двете му страни. От условието е лесно да се намери дължината AE: тъй като точка E разделя страната AA 1 в съотношение 4 към 3, като се брои от точка A, а дължината на страната AA 1 е 7, тогава AE = 4. Нека намерим дължината AM.
За да направите това, разгледайте правоъгълен триъгълник ABF с прав ъгъл A, където AM е височината. По условие AB = 2. Можем да намерим дължината на страната AF от подобието на правоъгълни триъгълници DD 1 F и AEF: 
Използвайки Питагоровата теорема, намираме от триъгълник ABF. Намираме дължината AM през площта на триъгълника ABF: от едната страна площта на триъгълника ABF е равна на 
, от друга страна 
, където 
.
Така от правоъгълния триъгълник AEM имаме 
.
Тогава търсеният ъгъл между равнините ABC и BED 1 е равен (обърнете внимание, че 
).
Отговор:
В някои случаи, за да намерите ъгъла между две пресичащи се равнини, е удобно да зададете Oxyz и да използвате метода на координатите. Нека спрем до тук.
Нека поставим задачата: намерете ъгъла между две пресичащи се равнини и . Нека означим желания ъгъл като .
Ще приемем, че в дадена правоъгълна координатна система Oxyz знаем координатите на нормалните вектори на пресичащи се равнини и или имаме възможност да ги намерим. Позволявам 
е нормалният вектор на равнината и 
е нормалният вектор на равнината. Ще покажем как да намерим ъгъла между пресичащите се равнини и чрез координатите на нормалните вектори на тези равнини.
Нека означим правата, по която се пресичат равнините и като c. През точка M на права c прекарваме равнина, перпендикулярна на права c. Равнината пресича равнините и по правата a и b съответно правите a и b се пресичат в точка M. По дефиниция ъгълът между пресичащите се равнини и е равен на ъгъла между пресичащите се прави a и b.
Нека начертаем нормалните вектори и равнини и от точка М в равнината. В този случай векторът лежи на права, която е перпендикулярна на права a, а векторът лежи на права, която е перпендикулярна на права b. Така в равнината векторът е нормалният вектор на правата a, е нормалният вектор на правата b.
В статията за намиране на ъгъла между пресичащите се прави получихме формула, която ни позволява да изчислим косинуса на ъгъла между пресичащите се прави, като използваме координатите на нормалните вектори. По този начин косинусът на ъгъла между линиите a и b и, следователно, косинус на ъгъла между пресичащите се равнинии се намира по формулата, където И са нормалните вектори на равнините и, съответно. След това се изчислява като 
.
Нека решим предишния пример с помощта на координатния метод.
Пример.
Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в който AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 и точка E дели страната AA 1 в съотношение 4 към 3, считано от точка A. Намерете ъгъла между равнините ABC и BED 1.
Решение.
Тъй като страните правоъгълен паралелепипедкогато един връх е перпендикулярен по двойки, е удобно да се въведе правоъгълна системакоординира Oxyz по следния начин: подравнете началото с върха C и насочете координатните оси Ox, Oy и Oz съответно по страните CD, CB и CC 1.
Ъгълът между равнините ABC и BED 1 може да се намери чрез координатите на нормалните вектори на тези равнини, като се използва формулата , където и са нормалните вектори съответно на равнините ABC и BED 1. Да определим координатите на нормалните вектори.
Теорема
Ъгълът между равнините не зависи от избора на режеща равнина.
Доказателство.
Нека има две равнини α и β, които се пресичат по права c. Нека начертаем равнината γ, перпендикулярна на правата c. Тогава равнината γ пресича равнините α и β съответно по правите a и b. Ъгълът между равнините α и β е равен на ъгъла между правите a и b.
Нека вземем друга сечаща равнина γ`, перпендикулярна на c. Тогава равнината γ` пресича равнините α и β съответно по правите a` и b`.
При паралелна транслация точката на пресичане на равнината γ с правата линия c ще отиде до точката на пресичане на равнината γ` с правата линия c. в този случай, според свойството на паралелен превод, ред a ще влезе в ред a`, b - в ред b`. следователно ъглите между правите a и b, a` и b` са равни. Теоремата е доказана.
Тази статия е за ъгъла между равнините и как да го намерите. Първо е дадена дефиницията на ъгъла между две равнини и е дадена графична илюстрация. След това беше анализиран принципът за намиране на ъгъла между две пресичащи се равнини с помощта на координатния метод и беше получена формула, която ви позволява да изчислите ъгъла между пресичащите се равнини, като използвате известните координати на нормалните вектори на тези равнини. В заключение са показани подробни решения на типични проблеми.
Навигация в страницата.
Ъгъл между равнините - определение.
При представянето на материала ще използваме дефинициите и понятията, дадени в статиите: равнина в пространството и права в пространството.
Нека представим аргументи, които ще ни позволят постепенно да се приближим до определянето на ъгъла между две пресичащи се равнини.
Нека ни бъдат дадени две пресичащи се равнини и . Тези равнини се пресичат по права линия, която означаваме с буквата ° С. Нека построим равнина, минаваща през точката Мправ ° Си перпендикулярна на правата ° С. В този случай равнината ще пресича равнините и. Нека означим правата, по която се пресичат равнините и като а, а правата по която се пресичат равнините и как b. Очевидно направо аИ bпресичат се в точка М.
Лесно е да се покаже, че ъгълът между пресичащите се прави аИ bне зависи от местоположението на точката Мна права линия ° Спрез които минава самолета.
Нека построим равнина, перпендикулярна на правата ° Си различен от самолета. Равнината се пресича от равнини и по прави линии, които обозначаваме а 1И b 1съответно.
От метода за построяване на равнини следва, че правите линии аИ bперпендикулярна на правата ° С, и прав а 1И b 1перпендикулярна на правата ° С. Тъй като направо аИ а 1 ° С, тогава те са успоредни. По същия начин, прав bИ b 1лежат в една равнина и са перпендикулярни на правата ° С, следователно те са успоредни. По този начин е възможно да се извърши паралелно прехвърляне на равнината към равнината, в която е правата линия а 1съвпада с правата линия а, и правата линия bс права линия b 1. Следователно ъгълът между две пресичащи се прави а 1И b 1равен на ъгъла между пресичащите се прави аИ b.
Това доказва, че ъгълът между пресичащите се прави аИ b, лежащи в пресичащи се равнини и , не зависи от избора на точка Мпрез които минава самолета. Следователно е логично този ъгъл да се приеме като ъгъл между две пресичащи се равнини.
Сега можете да изразите определението на ъгъла между две пресичащи се равнини и.
Определение.
Ъгъл между две пресичащи се прави ° Ссамолети и– е ъгълът между две пресичащи се прави аИ b, по която равнините и се пресичат с равнина, перпендикулярна на правата ° С.
Дефиницията на ъгъла между две равнини може да се даде малко по-различно. Ако по права линия с, по която се пресичат равнините и маркирайте точката Ми начертайте прави линии през него АИ b, перпендикулярна на правата ° Си лежащи в равнини и съответно ъгълът между правите АИ bпредставлява ъгълът между равнините и . Обикновено в практиката се изпълняват точно такива конструкции, за да се получи ъгълът между равнините.
Тъй като ъгълът между пресичащите се прави не надвишава , от дадената дефиниция следва, че градусната мярка на ъгъла между две пресичащи се равнини се изразява с реално число от интервала. В този случай се наричат пресичащи се равнини перпендикулярен, ако ъгълът между тях е деветдесет градуса. Ъгълът между успоредните равнини или изобщо не се определя, или се счита за равен на нула.
Най-горе на страницата
Намиране на ъгъла между две пресичащи се равнини.
Обикновено, когато намирате ъгъл между две пресичащи се равнини, първо трябва да извършите допълнителни конструкции, за да видите пресичащите се прави линии, ъгълът между които е равен на желания ъгъл, и след това да свържете този ъгъл с оригиналните данни, като използвате тестове за равенство, подобие тестове, косинусовата теорема или дефинициите на синус, косинус и тангенс на ъгъла. В курса по геометрия в гимназията възникват подобни проблеми.
Като пример, нека дадем решението на задача С2 от Единния държавен изпит по математика за 2012 г. (условието е умишлено променено, но това не засяга принципа на решението). В него просто трябваше да намерите ъгъла между две пресичащи се равнини.
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в който АВ=3, AD=2, АА 1 =7и точка дразделя страната АА 1обвързан 4 Да се 3 , като се брои от точката А ABCИ ЛЕГЛО 1.
Първо, нека направим чертеж.
Нека направим допълнителни конструкции, за да „видим“ ъгъла между равнините.
Първо, нека дефинираме права линия, по която се пресичат равнините ABCИ ЛЕГЛО 1. Точка IN– това е една от общите им точки. Нека намерим втората обща точка на тези равнини. Директен Д.А.И D 1 Eлежат в една и съща равнина ДОБАВИ 1, и те не са успоредни, но, следователно, се пресичат. От друга страна направо Д.А.лежи в равнина ABC, и правата линия D 1 E– в самолета ЛЕГЛО 1, следователно, точката на пресичане на линиите Д.А.И D 1 Eще бъде общата точка на равнините ABCИ ЛЕГЛО 1. Така че да продължим направо Д.А.И D 1 Eпреди да се пресекат, отбелязваме точката на тяхното пресичане с буквата Е. Тогава Б.Ф.– права линия, по която се пресичат равнини ABCИ ЛЕГЛО 1.
Остава да се построят две прави, лежащи в равнините ABCИ ЛЕГЛО 1съответно, преминаващи през една точка от правата Б.Ф.и перпендикулярна на правата Б.Ф., - ъгълът между тези прави линии по дефиниция ще бъде равен на желания ъгъл между равнините ABCИ ЛЕГЛО 1. Хайде да го направим.
Точка Ае проекцията на точката ддо самолета ABC. Начертайте линия, пресичаща линията под прав ъгъл VFв точката М. После направо сутринтае проекцията на правата ЯЖТЕдо самолета ABC, и по теоремата за трите перпендикуляра.
По този начин желаният ъгъл между равнините ABCИ ЛЕГЛО 1равна на .
Можем да определим синуса, косинуса или тангенса на този ъгъл (и следователно самия ъгъл) от правоъгълен триъгълник AEM, ако знаем дължините на двете му страни. От състоянието лесно се намира дължината AE: тъй като точка дразделя страната АА 1обвързан 4 Да се 3 , като се брои от точката А, и дължината на страната АА 1равна на 7 , Че AE=4. Нека намерим друга дължина сутринта.
За да направите това, помислете за правоъгълен триъгълник ABFс прав ъгъл А, Където сутринтае височината. По условие АВ=2. Странична дължина AFможем да намерим от подобието на правоъгълни триъгълници DD 1 FИ AEF:
Според Питагоровата теорема от триъгълник ABFнамираме . Дължина сутринтанамерете през областта на триъгълника ABF: от едната страна площта на триъгълника ABFравно на , от друга страна, откъдето .
Така от правоъгълен триъгълник AEMние имаме .
След това желаният ъгъл между равнините ABCИ ЛЕГЛО 1е равен (обърнете внимание, че ).
В някои случаи, за да намерите ъгъла между две пресичащи се равнини, е удобно да посочите правоъгълна координатна система Oxyzи използвайте метода на координатите. Нека спрем до тук.
Нека поставим задачата: намерете ъгъла между две пресичащи се равнини и . Нека означим желания ъгъл като .
Ще приемем, че в дадена правоъгълна координатна система Oxyzние знаем координатите на нормалните вектори на пресичащи се равнини и или имаме възможност да ги намерим. Нека е нормалният вектор на равнината и нека е нормалният вектор на равнината. Ще покажем как да намерим ъгъла между пресичащите се равнини и чрез координатите на нормалните вектори на тези равнини.
Нека обозначим правата, по която се пресичат равнините и като ° С. През точката Мна права линия ° Сначертайте равнина, перпендикулярна на правата ° С. Равнината пресича равнините и по прави линии аИ bсъответно направо аИ bпресичат се в точка М. По дефиниция ъгълът между пресичащите се равнини и е равен на ъгъла между пресичащите се прави аИ b.
Да отложим от точката Мв равнината нормалните вектори и равнини и . В този случай векторът лежи на права, която е перпендикулярна на правата а, а векторът е на права, която е перпендикулярна на правата b. Така в равнината векторът е нормалният вектор на правата а, - вектор на нормална линия b.
В статията за намиране на ъгъла между пресичащите се прави получихме формула, която ни позволява да изчислим косинуса на ъгъла между пресичащите се прави, като използваме координатите на нормалните вектори. По този начин косинусът на ъгъла между линиите аИ bи, следователно, косинус на ъгъла между пресичащите се равнинии се намира по формулата , където и са нормалните вектори на равнините и съответно. Тогава ъгъл между пресичащите се равнинисе изчислява като .
Нека решим предишния пример с помощта на координатния метод.
Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в който АВ=3, AD=2, АА 1 =7и точка дразделя страната АА 1обвързан 4 Да се 3 , като се брои от точката А. Намерете ъгъла между равнините ABCИ ЛЕГЛО 1.
Тъй като страните на правоъгълен паралелепипед в един връх са перпендикулярни по двойки, е удобно да се въведе правоъгълна координатна система Oxyzтака: началото е подравнено с върха СЪС, и координатните оси вол, ОйИ Ознасочете към страните CD, C.B.И CC 1съответно.
Ъгъл между равнините ABCИ ЛЕГЛО 1могат да бъдат намерени чрез координатите на нормалните вектори на тези равнини с помощта на формулата , където и са нормалните вектори на равнините ABCИ ЛЕГЛО 1съответно. Да определим координатите на нормалните вектори.
Още от самолета ABCсъвпада с координатна равнина Окси, тогава неговият нормален вектор е координатният вектор, т.е.
Като нормален вектор на равнината ЛЕГЛО 1можете да вземете векторното произведение на векторите и на свой ред координатите на векторите и могат да бъдат намерени чрез координатите на точките IN, дИ D 1(както е написано в статията, координатите на вектор през координатите на точките на неговото начало и край) и координатите на точките IN, дИ D 1във въведената координатна система определяме от условията на задачата.
Очевидно, . Тъй като , намираме от координатите на точките (ако е необходимо, вижте статията разделяне на сегмент в дадено отношение). Тогава и Oxyz уравнения и .
Когато изучавахме общото уравнение на правата линия, открихме, че коефициентите А, INИ СЪСпредставляват съответните координати на нормалния вектор на равнината. По този начин и са нормални вектори на равнините и, съответно.
Заместваме координатите на нормалните вектори на равнините във формулата, за да изчислим ъгъла между две пресичащи се равнини:
Тогава . Тъй като ъгълът между две пресичащи се равнини не е тъп, тогава се използва основната тригонометрична идентичностнамерете синуса на ъгъла: .
Зареждане...
