Формули степени Използва се в процеса на съкращение и опростяване на сложните изрази, при решаването на уравнения и неравенства.
Номер ° С. е н.Малка степен а. кога:
Операции с градуси.
1. Умножаване на степента със същата основа, техните индикатори фолд:
м.· N \u003d m + n.
2. В разделителните степени със същата основа техните показатели се приспадат:
3. Степента на работа на 2 или повече мултипликатори е равна на продукта на тези фактори:
(ABC ...) n \u003d a n · b n · c n ...
4. степента на фракция е равна на съотношението на степените на разделението и разделителя:
(A / b) n \u003d a n / b n.
5. Оберат степента до степента, индикаторите на градуси се удължават:
(A m) n \u003d a m n.
Всяка по-горе формула е вярна в посоки отляво надясно и обратно.
например. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.
Коренни операции.
1. Коренът на работата на няколко фактора е равен на продукта на корените на тези фактори:
2. Коренът на връзката е равен на отношението на разделението и разделителя на корените:
3. Когато коренът е издигнат, той е доста вграден в тази степен.
4. Ако увеличите степента на корен н. веднъж и в същото време изграждане н.Степента на фуражния номер, стойността на корена няма да се промени:
5. Ако намалите степента на root н. веднъж и в същото време извадете корена н.Степен от подцелен номер, стойността на корена няма да промени:
Степен с отрицателен индикатор.Степента на определен брой с неоспорим (цяло) индикатор се определя като единица, разделена на степента на същия номер с индикатор, равен на абсолютната стойност на неизискващия индикатор:
Формула м.: n \u003d a m - n може да се използва не само когато м.> н. но също м.< н..
например. а. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.
Към формула м.: n \u003d a m - n станаха справедливи като m \u003d n.Необходимо е наличието на нулева степен.
Степента с нулевия индикатор.Степента на произволен брой, който не е равен на нула, с нулевия индикатор е равен на такъв.
например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степен с фракционен индикатор.За изграждане на валиден номер но в степен m / n.е необходимо да се извлече коренът н.степен от м.степен на този брой но.
Броя, издигнат в степента Обадете се на такъв номер, който се умножава сам по себе си няколко пъти.
Степен на номер с отрицателна стойност (A - N) Тя може да се определи върху подобието на това как се определя степента на същия номер с положителен индикатор. (a n) . Той обаче изисква и допълнителна дефиниция. Тази формула се определя като:
a - N. \u003d (1 / a n)
Свойствата на отрицателните стойности на степените на числата са подобни на градуси с положителен индикатор. Представено уравнение а. m / a n \u003d m-n може да бъде справедливо
« Никъде, както в математиката, яснотата и точността на изхода не позволяват на човек да развива от отговор по въпроса».
А. Д. Александров
за н. Повече ▼ м. и когато м. Повече ▼ н. . Помислете за примера: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
За да започнем, е необходимо да се определи броят, който действа дефиниции. b \u003d a (-N) . В този пример -Н. е индикатор за степента б. - желаната цифрова стойност а. - основата на степента под формата на естествена цифрова стойност. След това дефинирайте модула, т.е. абсолютната стойност на отрицателното число, което действа като индикатор за степента. Изчислете степента на този брой относителни абсолютни числа като индикатор. Стойността на степента е разделянето на устройството към получения номер.
Фиг. един
Помислете за степента на брой с отрицателен дроб. Представете си, че номерът е всеки положителен брой, номера н. и м. - цели числа. Според дефиницията а. което се повдига до степен - равен на единица, разделена на същия брой с положителна степен (фиг. 1). Когато степента на число е фракцията, тогава в такива случаи се използват изключително числа с положителни показатели.
Струва си да си спомнимТази нула никога не може да бъде индикатор за степента на номера (правилото за отделяне за нула).
Разпространението на такава концепция, тъй като номерът се превърна в такива манипулации като изчисления на измерването, както и развитието на математиката, като науката. Въвеждането на отрицателни стойности се дължи на развитието на алгебра, което дава общи решения на аритметични задачи, независимо от тяхното специфично значение и първоначални цифрови данни. В Индия, в VI-XI век, отрицателните стойности на числата бяха систематично използвани по време на решаването на проблеми и бяха разширени по същия начин, както днес. В европейската наука негативните числа започнаха да се използват широко от R. descarte, което дава геометрично тълкуване на отрицателни числа като посоки на сегменти. Декортните предложи определянето на номера, издигнат за показване като двуетажна формула н. .
Като част от този материал, ние ще анализираме каква е степента на числото. В допълнение към основните дефиниции, ние формулираме, че такива степени с естествени, целочислени, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани от примерите за задачи.
Yandex.rtb r-a-339285-1
Първо формулираме основното определяне на степента с естествения индикатор. За да направите това, ще трябва да помним основните правила за умножение. Ние ще уточни предварително, че като база ние все още ще вземем валиден номер (означаваме с писмото си а) и като индикатор - естествено (обозначаваме буквата N).
Определение 1.
Степента на номер А с естествен индикатор N е продукт на N-брой мултипликатори, всеки от които е равен на броя а. Степента е написана: Н.И под формата на формула, съставът може да бъде представен, както следва:
Например, ако индикаторът на степента е 1, а основата е А, тогава първата степен на номер А е написана като А 1.. Като се има предвид, че А е мултиплицираща стойност, и 1 е броят на множителите, можем да заключим това A 1 \u003d a.
Като цяло, може да се каже, че степента е удобна форма за записване на голям брой равни множители. Така че, записване 8 · 8 · 8 · 8 Можете да го режете преди 8 4 . Приблизително продуктът ни помага да избегнем записването на голям брой термини (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8,4); Вече сме разбрали това в статията за умножаването на естествените числа.
Как да прочетете степента правилно? Общоприетите опции са "а до степен N". Или можете да кажете "N-местна степен" или "N-степен". Ако, да речем, в примера срещнах запис 8 12 , Можем да четем "8 на 12-та", "8 до степен 12" или "12-та степен 8-та".
Втората и третата степен на броя имат свои собствени установени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например, номер 7 (7 2), тогава можем да кажем "7 на квадрата" или "квадрат на номер 7". По същия начин, третата степен се чете така: 5 3 - Това е "куб от числа 5" или "5 в Куба". Също така е възможно да се използва стандартната формулировка "във втората / третата степен", тя няма да бъде грешка.
Пример 1.
Ще анализираме един пример с естествен индикатор: за 5 7 Петте ще бъдат основата и седемте индикатора.
В основата не е непременно цяло число: за степен (4 , 32) 9 Базата ще бъде фракция 4, 32 и индикаторът е девет. Обърнете внимание на скобите: такъв запис е направен за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа.
Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 73.
Защо се нуждаем от скоби? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 и − 2 3 . Първият от тях означава отрицателен брой минус две, построени в съотношение на естествения индикатор три; Вторият е номерът, съответстващ на противоположната стойност на степента 2 3 .
Понякога в книги можете да намерите малко различно правопис на броя на номерата - A ^ N. (където А е основа, и n е индикатор). Това е, 4 ^ 9 е същото като 4 9 . В случай, че N е многоценен номер, той се внася в скоби. Например, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Но ние ще използваме обозначението Н.колко повече от консумирани.
За как да изчислите стойността на степента с естествен индикатор, е лесно да се досети от дефиницията си: просто трябва да умножите N-номера. Написахме повече за това в друга статия.
Концепцията за степен е обратна математическа концепция - коренът на номера. Ако знаем стойността на степента и индикатора, можем да изчислим базата си. Степента има някои специфични свойства, полезни за решаване на задачите, които разглобявахме в отделен материал.
В степен на индикатори не само естествените числа могат да стоят, но и като цяло всички цели числа, включително отрицателни и нули, защото те също принадлежат на набор от цели числа.
Определение 2.
Степента на число с положителен индикатор може да бъде показан като формула: 
.
В този случай n е всеки цяло положителен брой.
Нека се чудим с концепцията за нулева степен. За да направите това, използваме подход, който отчита свойството на частни степени с равни основи. Формулира се, както следва:
Определение 3.
Равенство M: a n \u003d a m - n Това ще бъде вярно при условия: m и n - естествени числа, m< n , a ≠ 0 .
Последното условие е важно, защото избягва разделянето на нула. Ако стойностите m и n са равни, тогава ще получим следния резултат: N: a n \u003d a n - n \u003d a 0
Но в същото време n: a n \u003d 1 - частен равен брой Н. и a. Оказва се, че нулевата степен на всеки номер, различен от нула, е равен на един.
Тези доказателства обаче не са подходящи за нула до нула. За да направите това, имаме нужда от друго свойство на градуси - собствеността на творбите на градуси с равни основи. Изглежда така: m · n \u003d a m + n .
Ако n е равен на 0, тогава m · 0 \u003d a m (Такова равенство също ни доказва това a 0 \u003d 1). Но ако също е нула, нашето равенство става като 0 m · 0 0 \u003d 0 mТова ще бъде вярно за всяка естествена стойност N, и без значение какво точно е стойността на степента е равна 0 0 Това означава, че може да бъде равно на всеки номер и това няма да повлияе на лоялността на равенството. Следователно 0 0 Неговото специално значение не е, и ние няма да го приписваме.
Ако желаете, е лесно да се провери това a 0 \u003d 1 сближа се със степен (a m) n \u003d a m · n При условие, че основата на степента не е нула. По този начин степента на всеки номер, различен от нула с нулев индикатор, е равен на един.
Пример 2.
Ще анализираме един пример с конкретни номера: така 5 0 - един (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1, и стойността 0 0 неопределен.
След нулева степен остава да се разбира, че степента е отрицателна. За да направите това, ще се нуждаем от същото свойство на работата на градуса с равни основи, които вече сме използвали по-горе: m · n \u003d a m + n.
Въвеждаме състоянието: m \u003d - n, тогава a не трябва да бъде нула. Следва, че a - n · a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1. Оказва се, че n и A - N. Ние сме взаимно обърнати номера.
В резултат на това, като отрицателна степен, няма нищо друго освен фракцията 1 a n.
Този формулировка потвърждава, че всички същите свойства, които степента с естествена фигура е валидна за степента с цял отрицателен индикатор (при условие, че основата не е нула).
Пример 3.
Степен А с цял отрицателен индикатор N може да бъде представен като фракции 1 a n. Така, a - n \u003d 1 a n, предоставена A. 0. и n - всяко естествено число.
Илюстрираме нашата идея към конкретни примери:
Пример 4.
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко, което е казано ясно в същата формула:
Определение 4.
Степента на номер А с естествен индикатор Z е: AZ \u003d AZ, E с L и Z - TSE L O n O LO ZH и 0 ° С h и с ul около 1, z \u003d 0 и a ≠ 0, (pp и z \u003d 0 и a \u003d 0 poluh и et с I 0 0, zn и ini в zh IX 0 0 ne o n I) 1 az, е с 1 и z - tse l o ° и c и t ea и h и с l o и a ≠ 0 (е с 1 и z - tse loeotr и c и t el bnoeh и с lo и a \u003d 0 poluhaet с i 0 z и egoz n a c d e l i t s i)
Какво е степен с рационален индикатор
Ние разглобявахме случаи, когато през целия брой разходи. Възможно е обаче да се повдигне номер в степен и когато това е частично число в неговия индикатор. Това се нарича степен с рационален индикатор. В този момент доказваме, че той има същите свойства като други степени.
Какво е рационални числа? В техните комплекти са включени и цяло число и частични числа, докато фракционните числа могат да бъдат представени като обикновени фракции (както положителни, така и отрицателни). Ние формулираме дефиницията на степента на номер А с фракционен индикатор m / n, където n е естествено число, и m е цяло число.
Имаме известна степен с фракционен индикатор a m n. За да може степента, до степента, равенството a m n n \u003d a m n · n \u003d a m трябва да бъде правилно.
Като се има предвид дефиницията на корена на NIC степен и че m n n \u003d a m, можем да приемем състоянието m n \u003d a m n ако m n има смисъл в тези стойности m, n и a.
Горните свойства на степента с цяло число ще бъдат правилни при състоянието m n \u003d a m n.
Основният извод от нашето разсъждение е следният: степента на някакъв брой с фракционен индикатор m / N е корен от n-степен от степен m. Това е вярно, ако с тези стойности m, n и израз a m n запазват значението.
1. Ние можем да ограничим стойността на степента: да вземем, което с положителни стойности m, тя ще бъде по-голяма или равна на 0, и за отрицателна - стриктно по-малко (тъй като m ≤ 0 получаваме получаваме 0 M.И тази степен не е дефинирана). В този случай дефиницията на степента с фракционен индикатор ще изглежда така:
Степента с фракционен индикатор M / N за определен положителен брой А е коренът на N-степен от A, издигнат в степен m. Във формулата това може да бъде изобразено като това:
За степен с нулева основа, тази разпоредба е подходяща и само ако индикаторът му е положително.
Степента с нулева основа и фракционен положителен индикатор m / n могат да бъдат изразени като
0 m n \u003d 0 m n \u003d 0, при състоянието на цялото положително и естествено n.
С отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Отбелязваме една точка. Тъй като въведохме условие, че А е повече или равен на нула, се оказахме да бъдат отхвърлени някои случаи.
Изразът, който понякога все още има смисъл при някои отрицателни стойности на a и някои m. Така че, записите са правилни (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, в която основата е отрицателна.
2. Вторият подход е да се обмисли поотделно коренът M N с дори и нечетни индикатори. След това трябва да въведем друго условие: степен А, в индикатора, за който има намалена обикновена фракция, се счита за степен на А, в която съответната неинструктивна фракция си струва. По-късно ще обясним защо имаме това състояние и защо е толкова важно. Така, ако имаме запис на m · k n · k, тогава можем да го намалим до m n и да опростят изчисленията.
Ако n е нечетно число, и стойността m е положителна, а е някакво не-отрицателно число, тогава m n има смисъл. Условието не е необходим, тъй като коренът на дори степен от отрицателно число не се извлича. Ако стойността на m е положително, тогава a може да бъде отрицателен и нула, защото Въжето от странна степен може да бъде премахнато от всеки действителен брой.
Ние комбинираме всички данни над определението в едно влизане:
Тук m / n означава неразбираема фракция, m е всяко цяло число и n е естествено число.
Определение 5.
За всяка обикновена намалена фракция m · k N · k, степента може да бъде заменена с m n.
Степента на номер А с незабележим фракционен индикатор M / N - може да бъде изразен като m N в следните случаи: - за всички валидни а, целочислени положителни стойности на m и нечетни естествени стойности n. Пример: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19.
За всякакви различни валидни стойности на А, като много отрицателни стойности на m и нечетни стойности n, например, 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7
За всяка не-отрицателна А, всички положителни стойности на m и дори n, например, 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18.
За всеки положителен А, толкова отрицателен m и дори n, например, 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3 ,.
В случай на други стойности, степента с фракционния индикатор не се определя. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
Сега обяснете значението на разговора по-горе: Защо да замените фракцията с намалена фигура за фракция с неконструирани. Ако не сме готови, ще има такива ситуации, да речем, 6/10 \u003d 3/5. След това трябва да е вярно (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, но - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1, a (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.
Определяне на степента с фракционния индикатор, който доведохме до първия, по-удобно е да се прилага на практика от второто, така че ние ще го ползват още.
Определение 6.
По този начин степента на положително число с фракционен индикатор m / n се дефинира като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0. В случай на отрицателен А. Записването на m n няма смисъл. Степента на нула за положителни частични показатели M / n. Той се дефинира като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0, за отрицателни частични индикатори, ние не определяме степента на нула.
В заключенията отбелязваме, че всеки фракционен индикатор може да бъде написан както под формата на смесен брой, така и под формата на десетична фракция: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 37.
Когато изчислявате, по-добре е да замените индикатора на степента чрез обикновена фракция и допълнително да се насладите на дефиницията на степен с фракционен индикатор. За примери по-горе ще успеем:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Какво е степен с ирационален и действителен индикатор
Какво е валидно числата? В многобройните им те включват както рационални, така и ирационални. Следователно, за да разберем каква степен с валиден индикатор трябва да определим степени с рационални и ирационални показатели. Вече споменахме за рационално. Ще се справим с ирационалните показатели стъпка по стъпка.
Пример 5.
Да предположим, че имаме ирационален номер А и последователността на нейните десетични приближения 0, А1, А2,. . . . Например, вземете стойността А \u003d 1, 67175331. . . , тогава
0 \u003d 1, 6, 1 \u003d 1, 67, А2 \u003d 1, 671 ,. . . , 0 \u003d 1, 67, 1 \u003d 1, 6717, 2 \u003d 1, 671753 ,. . .
Можем да поставим последователността на градуси a a a a a a a a a a a a a aa2 в съответствие с апроксимационните последователности. . . . Ако си спомним, че преди това разказахме за изграждането на числата в рационална степен, тогава можем да изчислим стойностите на тези степени.
Пример A \u003d 3.след това a a a 0 \u003d 3 1, 67, a 1 \u003d 3 1, 6717, а А2 \u003d 3 1, 671753 ,. . . и т.н.
Последователността на градусите може да бъде намалена до число, което ще бъде стойността на степента с базата А и ирационалния индикатор a. В резултат: степента с ирационален индикатор на формата 3 1, 67175331. . Можете да минимизирате 6, 27.
Определение 7.
Степента на положително число с ирационален индикатор А е написан като a. Неговата стойност е границата на последователността А 0, А А1, А А2,. . . където 0, a 1, a2,. . . са последователни десетични приближения на ирационалното число a. Степента с нулева основа може да се определи и за положителни ирационални индикатори, с 0 A \u003d 0, 06 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. И за отрицателно е невъзможно да се направи това, защото, например, стойност 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Едината, издигната в всяка ирационална степен, остава единица, например и 1 2, 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъде равна на 1.
Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter
В един от предишните статии вече споменахме степента на числото. Днес ще се опитаме да се придвижим в процеса на намиране на нейното значение. Значително, ще разберем как да осъдим до степента. Ще разберем как се произвежда този процес, едновременно ще се докосне до всички вероятни степени: естествени, ирационални, рационални, цели.
Така че нека разгледаме подробно решаването на примерите и да разберем какво означава:
- Определяне на концепцията.
- Строителство до отрицателно изкуство.
- Цели индикатор.
- Ерекцията на номера в ирационалната степен.
Ето един отразяващ смисъл. Определение: "Определението на степента се нарича определяне на стойността на номера."
Съответно, ерекцията на номера А в чл. R и процесът на намиране на стойността на степен А с индикатор R е идентични понятия. Например, ако задачата е да се изчисли стойността на степента (0.6) 6, тогава тя може да бъде опростена преди изразяването "издигнете броя 0.6 до степен 6".
След това можете да пристъпите директно към правилата за строителство.
Отрицателен
За яснота обръщайте внимание на такава верига от изрази:
110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 на минус 1 супена лъжица.,
1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10 на минус 2 стъпка.,
11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 на минус 3 супени лъжици.,
110000 \u003d 0.00001 \u003d 1 * 10 на минус 4 стъпки.
Благодарение на този пример можете ясно да видите способността да се изчислява незабавно 10 към всяко малцинство. За тази цел е достатъчно да се смили след десетичната компонента:
- 10 V -1 степен - пред блок 1 нула;
- в -3 - три драскотина пред уреда;
- b -9 е 9 нули и така нататък.
Също така е лесно да се разбере според тази схема, колко ще бъде 10 на минус 5 супена лъжица. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Как да се изгради число в естественото сделка
Спомнете си за определяне, ние отчитаме, че естественият номер А в чл. N е равен на продукта от N мултипликатори и всеки от тях е равен на a. Илюстрираме: (a * a * ... a) n, където n е броят на числата, които се умножават. Съответно, че А е издигнат в n, е необходимо да се изчисли продуктът от следния вид: a * a * ... и разделен от n пъти.
Оттук става очевидно ерект по естество. разчита на способността да се размножават (Този материал е подчертан в раздела за умножаване на валидни номера). Нека разгледаме задачата:
Рано -2 през 4-ти век.
Ние се занимаваме с естествена фигура. Съответно решението на решението ще бъде както следва: (-2) в КТ. 4 \u003d (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Сега тя остава само за умножаване на цели числа: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Получаваме 16.
Отговорът на задачата:
(-2) в чл. 4 \u003d 16.
Пример:
Изчислете стойността: три цели два седма в квадрат.
Този пример е равен на следната работа: три цели числа са две седми, умножени по три цели числа два седма. Спомням си как се изпълнява размножаването на смесените номера, ние завършваме строителството:
- 3 цели 2 седма умножени сами;
- еднакво, 23 седми се размножават с 23 седми;
- равен на 529 четиридесет девета;
- ние намаляваме и получаваме 10 тридесет и девет четиридесет и девети.
Отговор: 10 39/49
Що се отнася до въпроса за изграждането на ирационален показател, следва да се отбележи, че изчисленията започват да се извършват след приключване на предварителното закръгляване на основата на степента до всяко освобождаване, което би позволило сумата с дадена точност. Например, трябва да изградим номер P (PI) на площада.
Започваме с факта, че сме закръглени N до стотни и получаваме:
P квадрат \u003d (3.14) 2 \u003d 9,8596. Въпреки това, ако сте отрязали n до десет хиляди, получаваме n \u003d 3,14159. След това изграждането на квадрат се различава напълно: 9,8695877281.
Трябва да се отбележи, че в много предизвикателства не е необходимо да се изграждат ирационални номера в теста. Като правило, отговорът се вписва или във формата, всъщност, степента, например, коренът от 6 до степен 3, или, ако изразът е разрешен, трансформацията му се извършва: корен от 5 до 7 клас \u003d 125 корен от 5.
Как да се изгради Chisce до цяла степен
Тази алгебрична манипулация е подходяща да вземат предвид следните случаи:
- за цели числа;
- за нула;
- за пълен положителен индикатор.
Тъй като почти всички цели положителни числа съвпадат с масата на естествените числа, постулацията на положителна цяла степен е същият процес като изявлението в чл. Естествено. Описахме този процес в предходния параграф.
Сега нека поговорим за изчисляването на изкуството. нула. Вече сме разбрали по-горе, че нулевата степен от номер a може да бъде определена за всяка различна от нула а (валидна), докато в чл. 0 ще бъде равен на 1.
Съответно, изграждането на всеки действителен брой в нула чл. ще даде единица.
Например, 10 в ST-0 \u003d 1, (-3.65) 0 \u003d 1, и 0 в чл. 0 не може да се определи.
За да завършите изграждането на цяла степен, остава да се определят възможностите за цели отрицателни стойности. Спомняме си, че изкуството. От a с цяло число -z, тя ще бъде определена като фракция. В денотатора фракцията се намира изкуство. С положителна стойност, чиято стойност вече сме се научили да намерим. Сега остава само да се разгледа пример за строителството.
Пример:
Изчислете стойността на номер 2 в Куба с цял отрицателен индикатор.
Процес на вземане на решения:
Според определянето на процедурата с отрицателен индикатор, ние означаваме: две в минус 3. равна на една до две в третия клас.
Знакчателят е просто изчислен: два в Куба;
3 = 2*2*2=8.
Отговор: две в минус третото изкуство. \u003d Една осма.
Очевидно числата с градуси могат да бъдат точни като други стойности , като ги добавите един след друг със своите знаци.
Така, сумата А 3 и В2 е 3 + В2.
Сумата А 3 - B N и H 5 -D4 е 3 - B N + H5 - D4.
Фактори идентични степени на същите променливи Може да бъде проектиран или приспаднат.
По този начин, сумата 2а2 и 3А2 е 5а2.
Също така е очевидно, че ако вземете две квадратчета a или три квадратчета a или пет квадратчета a.
Но степен различни променливи и различни степени идентични променливитрябва да се направи от тяхното допълнение със своите знаци.
Така, сумата А2 и А3 е сумата 2 + А3.
Това е очевидно, че площадът на номера А, и кубът на броя а, не е равен на двоен квадрат А, но двойна куба a.
Количество А3 B N и 3A 5N6 е 3 B N + 3A 5N6.
Изваждане Степените се извършват по същия начин като допълнение, с изключение на това, че признаците на изваждане трябва да се променят съответно.
Или:
2а 4 - (-6a 4) \u003d 8A 4
3H2 B 6 - 4H2C 6 \u003d -H2C 66
5 (А - Н) 6 - 2 (А - Н) 6 \u003d 3 (А - Н) 6
Умножаване на градуса
Числата с градуси могат да се умножават по други стойности, като ги пишат един след друг, със знак за умножение или без него между тях.
По този начин, резултатът от умножение a 3 на b 2 е 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3A 6 Y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
A 2 b 3 y2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y2 a 3 b 2 y
Резултатът в последния пример може да бъде поръчан чрез добавянето на същите променливи.
Изразът ще бъде под формата: A 5 B 5 y3.
Сравнявайки няколко номера (променливи) с градуси, можем да видим, че ако някой от тях се умножи, резултатът е номерът (променлива) със степен, равна на сума Степени на термините.
Така, a 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.
Тук 5 е степента на размножаване, равна на 2 + 3, сумата на степените на компонентите.
Така, n .a m \u003d m + n.
За N, А се приема като множител толкова пъти, колкото и степента N;
И m, приема като мултипликатор толкова пъти, колкото степен М;
Следователно, степените със същите основи могат да се умножат чрез добавяне на градуси.
Така че, 2 .a 6 \u003d A 2 + 6 \u003d A 8. И x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
Или:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8A 2N
B 2 Y 3 ⋅ B 4 Y \u003d B 6 Y 4
(B + H - Y) N ⋅ (B + H - Y) \u003d (B + H - Y) N + 1
Умножете (x 3 + x 2Y + xy2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Това правило е валидно за номера, степента на която - отрицателен.
1. така, a -2 .a -3 \u003d a -5. Това може да бъде написано във формата (1 / аа). (1 / AAA) \u003d 1 / AAAAA.
2. y-n. -M \u003d y-n-m.
3. A-n .a m \u003d m-n.
Ако A + B се умножи по a - b, резултатът ще бъде равен на 2 - B 2: който е
Резултатът от умножаването на количеството или разликата в две числа е равно на сумата или разликата на техните квадрати.
Ако сумата се умножи и разликата в две числа, построени в квадратрезултатът ще бъде равен на количеството или разликата в тези номера четвърто степен.
Така, (A - Y). (A + Y) \u003d 2 - у 2.
(A 2 - Y2) ⋅ (2 + Y2) \u003d 4 - у 4.
(4 - y4) ⋅ (4 + y 4) \u003d 8 - у 8.
Резолюция
Числата с градуси могат да бъдат разделени като други числа, като се вземе разделител на разделител или поставянето им под формата на фракция.
Така, 3 b2, разделен на B 2, равен на 3.
Или:
$ Frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) \u003d -3y ^ $ 4
$ Frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) \u003d frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) \u003d b + $ 3
$ Frac (d] cdot (A - h + y) ^ 3) (((a - h + y) ^ 3) \u003d d $
Записът А 5, разделен на 3, изглежда като $ RAC (A ^ 5) (a ^ 3) $. Но това е равно на 2. В редица числа
A +4, A +3, +2, A +1, 0, А -1, А -2, А -3, А -4.
Всеки номер може да бъде разделен на друг, а степента ще бъде равна на разлика Показатели за делими номера.
Когато се разделят степените със същата база, техните показатели се приспадат..
Така, Y 3: Y 2 \u003d Y 3-2 \u003d Y 1. Това е, $ frac (yyy) (yy) \u003d y $.
И n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. Т.н. frac (aa ^ n) (a) \u003d a ^ n $.
Или:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (B + Y) N: 3 (B + Y) 3 \u003d 4 (B + Y) N-3
Правилото също е справедливо и за числа с отрицателен стойности на градуси.
Резултатът от разделяне A -5 на A -3 е равен на -2.
Също така, $ RAC (1) (AAAAA): FRAC (1) (AAA) \u003d FRAC (1) (AAAAA). FRAC (AAA) (1) \u003d FRAC (AAA) (AAAAA) \u003d FRAC (1) (аа) $.
н 2: Н -1 \u003d Н2 + 1 \u003d Н3 или $ H ^ 2: frac (1) (h) \u003d h ^ 2. frac (h) (1) \u003d h ^ $ 3
Необходимо е много добре да се асимилира умножението и разделянето на градуси, тъй като такива операции са много широко използвани в алгебрата.
Примери за решаване на примери с фракции, съдържащи числа с градуси
1. Намалете градусите в $ frac (5A ^ 4) (3a ^ 2) $ Отговор: $ \\ t (5A ^ 2) (3) $.
2. Намалете градусите в $ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Отговор: $ \\ t (2x) (1) $ или 2X.
3. Намалете степените от 2 / А 3 и А -3 / А -4 и донесете на общ знаменател.
А2 .a -4 е -2 първи числител.
А 3 .a -3 е 0 \u003d 1, вторият числител.
А 3. -4 е A -1, общ числатор.
След опростяване: A -2 / A -1 и 1 / A -1.
4. Намалете индикаторите на градусите 2а 4 / 5А 3 и 2 / А 4 и донесете на общия знаменател.
Отговор: 2а 3 / 5А 7 и 5А 5 / 5А 7 или 2А 3 / 5а 2 и 5 / 5а 2.
5. Умножете (3 + B) / B 4 на (A - B) / 3.
6. Умножете (5 + 1) / x 2 на (b 2 - 1) / (x + а).
7. Умножете В 4 / А -2 върху Н-3 / х и N / Y -3.
8. Разделете 4 / y3 на 3 / y2. Отговор: A / Y.
9. Разделете (Н3 - 1) / D 4 на (D N + 1) / h.
Зареждане...
