ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
§ 38. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ УГЛАМИ,
ОБРАЗОВАННЫМИ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ И СЕКУЩЕЙ.
Мы знаем, что две прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой равны соответственные углы, или внутренние, или внешние накрест лежащие углы, или сумма внутренних, или сумма внешних односторонних углов равна 2d . Докажем, что верны и обратные теоремы, а именно:
Если две параллельные прямые пересечены третьей, то:
1) соответственные углы равны;
2) внутренние накрест лежащие углы равны;
3) внешние накрест лежащие углы равны;
4) сумма внутренних односторонних углов равна
2
d
;
5) сумма внешних односторонних углов равна
2
d
.
Докажем, например, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.
Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (черт. 202).Докажем, что соответственные углы 1 и 2 равны между собой.
Допустим, что / 1 и / 2 не равны. Тогда при точке О можно построить / МОК, соответственный и равный / 2 (черт. 203).
Но если / МОК = / 2, то прямая ОК будет параллельна СD (§ 35).
Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и ОК, параллельные прямой СD. Но этого быть не может (§ 37).
Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что / 1 и / 2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и / 1 должен быть равен / 2, т. е. соответственные углы равны.
Установим соотношения между остальными углами. Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (черт. 204).
Мы только что доказали, что в этом случае соответственные углы равны. Положим, что какие-нибудь два из них имеют по 119°. Вычислим величину каждого из остальных шести углов. На основании свойств смежных и вертикальных углов мы получим, что четыре угла из восьми будут иметь по 119°, а остальные - по 61°.
Оказалось, что как внутренние, так и внешние накрест лежащие углы попарно равны, а сумма внутренних или внешних односторонних углов равна 180° (или 2d ).
То же самое будет иметь место и при любом другом значении равных соответственных углов.
Следствие 1. Если каждая из двух прямых АВ и СD параллельна одной и той же третьей прямой МN, то первые две прямые параллельны между собой (черт. 205).
В самом деле, проведя секущую ЕF (черт. 206), получим:
а) /
1 = /
3, так как АВ || МN; б) /
2 = /
3, так как СО || МN.
Значит, / 1 = / 2, а это углы соответственные при прямых АВ и СD и секущей ЕF, следовательно, прямые АВ и СD параллельны.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (черт. 207).
В самом деле, если ЕF _|_ АВ, то / 1 = d ; если АВ || СD, то / 1 = / 2.
Следовательно, / 2 = d т. е. ЕF _|_ СD .
Признаки параллельности двух прямых
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна 180°, то
прямые параллельны (рис.1).
Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).
Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.
Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной
.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).
Справедлива и следующая теорема.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
накрест лежащие углы равны;
соответственные углы равны;
сумма односторонних углов равна 180°.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).
Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.
Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.
Мы знаем, что две прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой равны соответственные углы, или внутренние, или внешние накрест лежащие углы, или сумма внутренних, или сумма внешних односторонних углов равна 2d . Докажем, что верны и обратные теоремы, а именно:
Если две параллельные прямые пересечены третьей, то:
1. соответственные углы равны;
2. внутренние накрест лежащие углы равны;
3. внешние накрест лежащие углы равны;
4. сумма внутренних односторонних углов равна 2d;
5. сумма внешних односторонних углов равна 2d.
Докажем, например, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.
Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (рис.). Докажем, что соответственные углы 1 и 2 равны между собой.
Допустим, что ∠1 и ∠2 не равны. Тогда при точке О можно построить ∠МОК, соответственный и равный ∠2 (рис.).
Но если ∠МОК = ∠2, то прямая ОК будет параллельна СD.
Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и ОК, параллельные прямой СD. Но этого быть не может.
Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что ∠1 и ∠2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и ∠1 должен быть равен ∠2, т. е. соответственные углы равны.
Установим соотношения между остальными углами. Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (рис.).
Мы только что доказали, что в этом случае соответственные углы равны. Положим, что какие-нибудь два из них имеют по 119°. Вычислим величину каждого из остальных шести углов. На основании свойств смежных и вертикальных углов мы получим, что четыре угла из восьми будут иметь по 119°, а остальные - по 61°.
Оказалось, что как внутренние, так и внешние накрест лежащие углы попарно равны, а сумма внутренних или внешних односторонних углов равна 180° (или 2d).
То же самое будет иметь место и при любом другом значении равных соответственных углов.
Следствие 1. Если каждая из двух прямых АВ и СD параллельна одной и той же третьей прямой МN, то первые две прямые параллельны между собой .
В самом деле, проведя секущую ЕF (рис.), получим:
а) ∠1 = ∠3, так как АВ || МN; б) ∠ 2 = ∠3, так как СО || МN.
Значит, ∠1 = ∠2, а это углы соответственные при прямых АВ и СD и секущей ЕF, следовательно, прямые АВ и СD параллельны.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой .
В самом деле, если ЕF ⊥ АВ, то ∠1 = d ; если АВ || СD, то ∠1 = ∠2.
Следовательно, ∠ 2 = d т. е. ЕF ⊥ СD .
1) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3)Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
4 Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
5. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Свойства параллельных прямых
1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
3) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
7. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
8.Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное числовое равенство.
9.Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить, что их нет.
1. Способы решения системы уравнений:
а) подстановка
б) сложение;
в) графический.
10.Сумма углов треугольника равна 180°.
11.Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
12.В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
13Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
14.Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
15. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
16. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой , а две другие стороны – катетами.
17. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
18. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
19. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
20. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
21 Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
22. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Признаки равенства прямоугольных треугольников: 1) по двум катетам; 2) по гипотенузе и острому углу; 3) по гипотенузе и катету; 4) по катету и острому углу
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
Загрузка...
